Stor encyklopædi om olie og gas. Udbredelse af vibrationer i et medium

Overvej eksperimentet vist i figur 69. En lang fjeder er ophængt på gevind. De rammer dens venstre ende med hånden (fig. 69, a). Slaget bringer flere spoler af fjederen tættere sammen, og der opstår en elastisk kraft, under hvilken indflydelse disse spoler begynder at divergere. Ligesom et pendul passerer gennem ligevægtspositionen i sin bevægelse, så vil spolerne, der passerer ligevægtspositionen, fortsætte med at divergere. Som et resultat er der allerede dannet et vist vakuum på samme sted af fjederen (fig. 69, b). Med rytmisk handling vil spolerne i slutningen af ​​fjederen med jævne mellemrum bevæge sig tættere på hinanden, derefter bevæge sig væk fra hinanden og svinge rundt i deres ligevægtsposition. Disse vibrationer vil gradvist blive overført fra spole til spole langs hele fjederen. Kondenseringer og slyngning af spolerne vil spredes langs fjederen, som vist i figur 69, f.eks.

Ris. 69. Udseendet af en bølge i en fjeder

Med andre ord forplanter en forstyrrelse sig langs fjederen fra dens venstre ende til højre, det vil sige en ændring i nogle fysiske størrelser, der karakteriserer mediets tilstand. I dette tilfælde repræsenterer denne forstyrrelse en ændring over tid i den elastiske kraft i fjederen, accelerationen og bevægelseshastigheden af ​​de oscillerende spoler og deres forskydning fra ligevægtspositionen.

• Forstyrrelser, der forplanter sig i rummet, bevæger sig væk fra deres oprindelsessted, kaldes bølger

I denne definition Vi taler om såkaldte rejsebølger. Hovedegenskaben ved vandrende bølger af enhver art er, at de udbreder sig i rummet og overfører energi.

For eksempel har en fjeders oscillerende spoler energi. I samspil med nabospoler overfører de en del af deres energi til dem, og en mekanisk forstyrrelse (deformation) forplanter sig langs fjederen, det vil sige, at der dannes en rejsebølge.

Men på samme tid svinger hver fjederspiral rundt i sin ligevægtsposition, og hele fjederen forbliver på sin oprindelige plads.

Dermed, i en vandrende bølge sker energioverførsel uden stofoverførsel.

I dette emne vil vi kun overveje elastiske rejsebølger, hvoraf et særligt tilfælde er lyd.

• Elastiske bølger er mekaniske forstyrrelser, der forplanter sig i et elastisk medium

Med andre ord skyldes dannelsen af ​​elastiske bølger i et medium forekomsten af ​​elastiske kræfter i det forårsaget af deformation. For eksempel, hvis du slår et metallegeme med en hammer, vil der opstå en elastisk bølge i den.

Ud over elastiske bølger findes der andre typer bølger, for eksempel elektromagnetiske bølger (se § 44). Bølgeprocesser forekommer i næsten alle områder af fysiske fænomener, så deres undersøgelse er af stor betydning.

Når bølger dukkede op om foråret, opstod vibrationer af dens drejninger langs udbredelsesretningen af ​​bølgen i den (se fig. 69).

• Bølger, hvor svingninger opstår langs deres udbredelsesretning, kaldes langsgående bølger

Udover langsgående bølger er der også tværgående bølger. Lad os overveje denne oplevelse. Figur 70a viser en lang gummisnor, hvis ene ende er fastgjort. Den anden ende sættes i oscillerende bevægelse i et lodret plan (vinkelret på den vandret placerede snor). På grund af de elastiske kræfter, der opstår i ledningen, vil vibrationer forplante sig langs ledningen. Bølger opstår i den (fig. 70, b), og vibrationer af ledningens partikler forekommer vinkelret på bølgernes udbredelsesretning.

Ris. 70. Udseendet af bølger i en snor

• Bølger, hvor vibrationer opstår vinkelret på deres udbredelsesretning, kaldes tværgående bølger

Bevægelsen af ​​partikler af mediet, hvori både tværgående og langsgående bølger dannes, kan tydeligt demonstreres ved hjælp af en bølgemaskine (fig. 71). Figur 71, a viser en tværgående bølge, og figur 71, b - en langsgående bølge. Begge bølger udbreder sig i vandret retning.

Ris. 71. Tværgående (a) og langsgående (b) bølger

Der er kun én række bolde på bølgemaskinen. Men ved at observere deres bevægelse kan man forstå, hvordan bølger udbreder sig i kontinuerlige medier, der strækker sig i alle tre retninger (for eksempel i et bestemt volumen af ​​fast, flydende eller gasformigt stof).

For at gøre dette skal du forestille dig, at hver kugle er en del af et lodret lag af stof placeret vinkelret på tegningens plan. Fra figur 71 er det klart, at når en tværgående bølge udbreder sig, vil disse lag ligesom kugler forskydes i forhold til hinanden og oscillere i lodret retning. Derfor er tværgående mekaniske bølger forskydningsbølger.

Og langsgående bølger, som det kan ses af figur 71, b, er kompressions- og sjældnebølger. I dette tilfælde består deformationen af ​​mediets lag af en ændring i deres tæthed, således at de langsgående bølger repræsenterer vekslende komprimering og sjældenhed.

Det er kendt, at elastiske kræfter under forskydning af lag kun opstår i faste stoffer. I væsker og gasser glider tilstødende lag frit over hinanden uden tilsynekomsten af ​​modsatrettede elastiske kræfter. Da der ikke er nogen elastiske kræfter, er dannelsen af ​​elastiske bølger i væsker og gasser umulig. Derfor kan tværgående bølger kun forplante sig i faste stoffer.

Under kompression og sjældenhed (dvs. når volumenet af dele af en krop ændres), opstår der elastiske kræfter både i faste stoffer og i væsker og gasser. Derfor kan langsgående bølger forplante sig i ethvert medium - fast, flydende og gasformigt.

Spørgsmål

1. Hvad er bølger?
2. Hvad er hovedegenskaben ved vandrende bølger af enhver art? Forekommer stofoverførsel i en vandrende bølge?
3. Hvad er elastiske bølger?
4. Giv et eksempel på bølger, der ikke er elastiske.
5. Hvilke bølger kaldes langsgående; tværgående? Giv eksempler.
6. Hvilke bølger - tværgående eller langsgående - er forskydningsbølger; bølger af kompression og sjældenhed?
7. Hvorfor forplanter tværgående bølger sig ikke i flydende og gasformige medier?

Lad os starte med definitionen af ​​et elastisk medium. Som man kan slutte af navnet, er et elastisk medium et medie, hvori elastiske kræfter virker. Med hensyn til vores mål vil vi tilføje, at med enhver forstyrrelse af dette miljø (ikke en følelsesmæssig voldelig reaktion, men en afvigelse af miljøets parametre et eller andet sted fra ligevægt), opstår der kræfter i det, der stræber efter at returnere vores miljø til dens oprindelige ligevægtstilstand. I dette tilfælde vil vi overveje udvidede medier. Vi vil afklare, hvor omfattende det er i fremtiden, men indtil videre vil vi antage, at det er nok. Forestil dig for eksempel en lang fjeder fastgjort i begge ender. Hvis flere vindinger af fjederen komprimeres et eller andet sted, vil de sammenpressede vindinger have tendens til at udvide sig, og de tilstødende vindinger, der strækkes, vil have tendens til at komprimeres. Således vil vores elastiske medium - fjederen - forsøge at vende tilbage til sin oprindelige rolige (uforstyrrede) tilstand.

Gasser, væsker og faste stoffer er elastiske medier. En vigtig ting i det foregående eksempel er, at fjederens komprimerede sektion virker på tilstødende sektioner eller, i videnskabelige termer, overfører en forstyrrelse. På lignende måde og i gas, for eksempel at skabe et område med lavt tryk, vil naboområder, der forsøger at udligne trykket, overføre forstyrrelsen til deres naboer, som igen er deres egne, og så videre.

Et par ord om fysiske mængder. Inden for termodynamik er et legemes tilstand som regel bestemt af parametre, der er fælles for hele kroppen, gastryk, dets temperatur og tæthed. Nu vil vi være interesserede i den lokale fordeling af disse mængder.

Hvis et oscillerende legeme (streng, membran osv.) er i et elastisk medium (gas er, som vi allerede ved, et elastisk medium), så sætter det mediets partikler i kontakt med det i oscillerende bevægelse. Som følge heraf forekommer periodiske deformationer (for eksempel kompression og udledning) i de elementer i miljøet, der støder op til kroppen. Med disse deformationer opstår der elastiske kræfter i mediet, der har tendens til at returnere mediets elementer til deres oprindelige ligevægtstilstande; På grund af samspillet mellem tilstødende elementer i mediet vil elastiske deformationer blive overført fra en del af mediet til andre, længere væk fra det oscillerende legeme.

Således vil periodiske deformationer forårsaget et eller andet sted af et elastisk medium forplante sig i mediet med en vis hastighed, afhængigt af dets fysiske egenskaber. I dette tilfælde udfører mediets partikler oscillerende bevægelser omkring ligevægtspositioner; Kun deformationstilstanden overføres fra en del af mediet til en anden.

Når en fisk "bider" (trækker i krogen), spredes cirkler ud over vandoverfladen fra flyderen. Sammen med flyderen bevæger de vandpartikler, der er i kontakt med den, sig, hvilket involverer andre partikler nærmest dem i bevægelse, og så videre.

Det samme fænomen opstår med partikler af en strakt gummisnor, hvis den ene ende af den vibreres (fig. 1.1).

Udbredelsen af ​​svingninger i et medium kaldes bølgebevægelse Lad os se nærmere på, hvordan en bølge opstår på en snor. Hvis vi fikserer ledningens positioner hver 1/4 T (T er ​​den periode, hvormed hånden svinger i fig. 1.1) efter starten af ​​oscillationen af ​​dets første punkt, får du billedet vist i fig. 1.2, b-d. Position a svarer til begyndelsen af ​​svingninger i det første punkt på ledningen. Dens ti punkter er markeret med tal, og de stiplede linjer viser, hvor de samme punkter på ledningen er placeret på forskellige tidspunkter.

1/4 T efter oscillationens start indtager punkt 1 den højeste position, og punkt 2 er lige begyndt sin bevægelse. Da hvert efterfølgende punkt på ledningen begynder sin bevægelse senere end det forrige, er der i intervallet 1-2 punkter placeret, som vist i fig. 1.2, b. Efter yderligere 1/4 T vil punkt 1 indtage ligevægtspositionen og bevæge sig nedad, og punkt 2 vil indtage den øverste position (position c). Punkt 3 i dette øjeblik er lige begyndt at bevæge sig.

Over hele perioden forplanter oscillationerne sig til punkt 5 i snoren (position d). Ved slutningen af ​​periode T vil punkt 1, der bevæger sig opad, begynde sin anden svingning. Samtidig vil punkt 5 begynde at bevæge sig opad og lave sin første svingning. I fremtiden vil disse punkter have de samme svingningsfaser. Kombinationen af ​​snorpunkter i intervallet 1-5 danner en bølge. Når punkt 1 fuldfører den anden svingning, vil yderligere 5-10 punkter på snoren være involveret i bevægelsen, det vil sige, at der dannes en anden bølge.

Hvis du sporer positionen af ​​punkter, der har samme fase, vil du se, at fasen ser ud til at bevæge sig fra punkt til punkt og bevæger sig til højre. Faktisk, hvis punkt 1 i position b har fase 1/4, så har punkt 2 i position c den samme fase osv.

Bølger, hvor fasen bevæger sig med en bestemt hastighed, kaldes at rejse. Når man observerer bølger, er det faseudbredelsen, der er synlig, såsom bølgetoppens bevægelse. Bemærk, at alle punkter på mediet i bølgen svinger rundt om deres ligevægtsposition og ikke bevæger sig med fasen.

Processen med udbredelse af oscillerende bevægelse i et medium kaldes en bølgeproces eller blot en bølge.

Afhængigt af arten af ​​de elastiske deformationer, der opstår, skelnes bølger langsgående Og tværgående. I langsgående bølger svinger mediets partikler langs en linje, der falder sammen med udbredelsesretningen af ​​svingningerne. I tværgående bølger svinger mediets partikler vinkelret på bølgens udbredelsesretning. I fig. Figur 1.3 viser placeringen af ​​partikler af mediet (konventionelt afbildet som bindestreger) i langsgående (a) og tværgående (b) bølger.

Flydende og gasformige medier har ikke forskydningselasticitet, og derfor exciteres kun langsgående bølger i dem, der udbreder sig i form af vekslende kompression og sjældenhed af mediet. Bølgerne ophidset på overfladen af ​​ildstedet er tværgående: de skylder deres eksistens til tyngdekraften. I faste stoffer kan der genereres både langsgående og tværgående bølger; En særlig type tværgående vilje er torsion, exciteret i elastiske stænger, som torsionsvibrationer påføres.

Lad os antage, at en punktkilde til en bølge begyndte at excitere svingninger i mediet på tidspunktet for tiden t= 0; efter at tiden er gået t denne vibration vil spredes i forskellige retninger på afstand r i =c i t, Hvor med i- bølgehastighed i en given retning.

Den overflade, som oscillationen når på et tidspunkt kaldes bølgefronten.

Det er tydeligt, at bølgefronten (bølgefronten) bevæger sig med tiden i rummet.

Formen af ​​bølgefronten bestemmes af konfigurationen af ​​oscillationskilden og mediets egenskaber. I homogene medier er hastigheden af ​​bølgeudbredelsen den samme overalt. Miljøet kaldes isotropisk, hvis denne hastighed er den samme i alle retninger. Bølgefronten fra en punktkilde af svingninger i et homogent og isotropt medium har form som en kugle; sådanne bølger kaldes sfærisk.

I en ikke-ensartet og ikke-isotropisk ( anisotropisk) miljø, samt fra ikke-punkt kilder til svingninger, bølgefronten har kompleks form. Hvis bølgefronten er et plan, og denne form bibeholdes, når vibrationer forplanter sig i mediet, kaldes bølgen flad. Små sektioner af bølgefronten af ​​en kompleks form kan betragtes som en plan bølge (hvis vi kun betragter de korte afstande, som denne bølge tilbagelægger).

Ved beskrivelse af bølgeprocesser identificeres overflader, hvor alle partikler vibrerer i samme fase; disse "overflader af samme fase" kaldes bølge eller fase.

Det er tydeligt, at bølgefronten repræsenterer frontbølgefladen, dvs. den fjerneste fra kilden, der skaber bølgerne, og bølgeoverfladerne kan også være sfæriske, flade eller have en kompleks form, afhængigt af konfigurationen af ​​kilden til oscillation og mediets egenskaber. I fig. 1.4 viser konventionelt: I - en sfærisk bølge fra en punktkilde, II - en bølge fra en vibrerende plade, III - en elliptisk bølge fra en punktkilde i et anisotropt medium, hvor bølgeudbredelseshastigheden Medændres jævnt, når vinklen α øges, og når et maksimum langs AA-retningen og et minimum langs BB.

For at forstå, hvordan vibrationer forplanter sig i et medium, lad os starte på afstand. Har du nogensinde slappet af ved kysten og set bølgerne metodisk rulle op i sandet? Et vidunderligt syn, ikke? Men ud over fornøjelsen kan du finde noget udbytte i dette skuespil, hvis du tænker og ræsonnerer lidt. Lad os også ræsonnere for at gavne vores sind.

Hvad er bølger?

Det er almindeligt accepteret, at bølger er vandets bevægelse. De opstår som følge af vinden, der blæser over havet. Men det viser sig, at hvis bølger er vandets bevægelse, så skal vinden, der blæser i én retning, simpelthen overhale om nogen tid mest havvand fra den ene ende af pesten til den anden. Og så et sted, f.eks. ud for Tyrkiets kyst, ville vandet gå flere kilometer fra kysten, og der ville være en oversvømmelse på Krim.

Og hvis to forskellige vinde blæser over det samme hav, så kan de et eller andet sted skabe et kæmpe hul lige i vandet. Dette sker dog ikke. Der er selvfølgelig oversvømmelser af kystområder under orkaner, men havet slår simpelthen sine bølger ind mod kysten, jo længere jo højere de er, men det bevæger sig ikke selv.

Ellers kunne havene fortsætte med at rejse gennem hele planeten sammen med vindene. Derfor viser det sig, at vandet ikke bevæger sig med bølgerne, men bliver på plads. Hvad er så bølger? Hvad er deres natur?

Er udbredelsen af ​​oscillationer bølger?

Svingninger og bølger undervises i 9. klasses fysikkursus i ét emne. Det er da logisk at antage, at der er tale om to fænomener af samme karakter, at de er forbundet. Og det er helt rigtigt. Udbredelsen af ​​vibrationer i et medium er bølger.

Det er meget nemt at se dette tydeligt. Bind den ene ende af rebet til noget stationært, stræk den anden ende og ryst det derefter let.

Du vil se bølger løbe langs rebet fra din hånd. Samtidig flytter selve rebet sig ikke væk fra dig, det svinger. Vibrationer fra kilden forplanter sig langs den, og energien fra disse vibrationer transmitteres.

Det er grunden til, at bølger kaster genstande i land og falder med kraft; de overfører selv energi. Selve stoffet bevæger sig dog ikke. Havet forbliver på sin retmæssige plads.

Langsgående og tværgående bølger

Der er langsgående og tværgående bølger. Bølger, hvor svingninger opstår langs deres udbredelsesretning kaldes langsgående. EN tværgående bølger er bølger, der forplanter sig vinkelret på vibrationsretningen.

Hvilken slags bølger tror du rebet havde eller havets bølger? Tværbølger var til stede i vores reb-eksempel. Vores vibrationer var rettet op og ned, og bølgen forplantede sig langs rebet, det vil sige vinkelret.

For at få langsgående bølger i vores eksempel skal vi udskifte rebet med en gummisnor. Når du har trukket ledningen ubevægelig, skal du strække den med fingrene et bestemt sted og slippe den. Den strakte del af snoren vil forkortes, men energien fra denne strækning og sammentrækning vil blive overført længere langs snoren i nogen tid i form af vibrationer.

Bølger

De vigtigste typer bølger er elastiske (såsom lyd- og seismiske bølger), væskeoverfladebølger og elektromagnetiske bølger (herunder lys- og radiobølger). Feature bølger er, at under deres udbredelse sker energioverførsel uden stofoverførsel. Lad os først overveje udbredelsen af ​​bølger i et elastisk medium.

Bølgeudbredelse i et elastisk medium

Et oscillerende legeme placeret i et elastisk medium vil bære med sig og sætte i oscillerende bevægelse partiklerne af mediet, der støder op til det. Sidstnævnte vil til gengæld påvirke nabopartikler. Det er klart, at de medbragte partikler vil sakke bagud i fase de partikler, der medbringer dem, da overførslen af ​​svingninger fra punkt til punkt altid sker med en endelig hastighed.

Så et oscillerende legeme placeret i et elastisk medium er en kilde til vibrationer, der spredes fra det i alle retninger.

Processen med udbredelse af vibrationer i et medium kaldes en bølge. Eller elastisk bølge er processen med udbredelse af en forstyrrelse i et elastisk medium .

Der er bølger tværgående (oscillationer forekommer i et plan vinkelret på bølgeudbredelsesretningen). Disse omfatter elektromagnetiske bølger. Der er bølger langsgående , når oscillationsretningen falder sammen med bølgeudbredelsesretningen. For eksempel udbredelsen af ​​lyd i luft. Kompression og udledning af partikler af mediet sker i retning af bølgeudbredelse.

Bølger kan have forskellige former, de kan være regelmæssige og uregelmæssige. Af særlig betydning i bølgeteorien er den harmoniske bølge, dvs. en uendelig bølge, hvor mediets tilstand ændres i henhold til loven om sinus eller cosinus.

Lad os overveje elastiske harmoniske bølger . En række parametre bruges til at beskrive bølgeprocessen. Lad os nedskrive definitionerne af nogle af dem. En forstyrrelse, der opstår på et bestemt punkt i mediet på et bestemt tidspunkt, forplanter sig i et elastisk medie med en bestemt hastighed. Bølgeprocessen forplanter sig fra kilden til oscillationer og dækker flere og flere nye dele af rummet.

Den geometriske placering af de punkter, som oscillationerne når til på et bestemt tidspunkt, kaldes bølgefronten eller bølgefronten.

Bølgefronten adskiller den del af rummet, der allerede er involveret i bølgeprocessen, fra det område, hvor der endnu ikke er opstået svingninger.

Den geometriske placering af punkter, der svinger i samme fase, kaldes en bølgeoverflade.

Der kan være mange bølgeoverflader, men der er kun én bølgefront på et givet tidspunkt.

Bølgeoverflader kan have enhver form. I de enkleste tilfælde har de form som et fly eller en kugle. Følgelig kaldes bølgen i dette tilfælde flad eller sfærisk . I en plan bølge er bølgeoverfladerne et sæt planer parallelt med hinanden, i en sfærisk bølge - et sæt koncentriske sfærer.

Lad en plan harmonisk bølge forplante sig med hastighed langs aksen. Grafisk er en sådan bølge afbildet som en funktion (zeta) for et fast tidspunkt og repræsenterer afhængigheden af ​​forskydningen af ​​punkter med forskellige betydninger fra ligevægtspositionen. – dette er afstanden fra vibrationskilden, hvor f.eks. en partikel befinder sig. Figuren giver et øjeblikkeligt billede af fordelingen af ​​forstyrrelser langs bølgeudbredelsesretningen. Den afstand, over hvilken en bølge forplanter sig i en tid svarende til oscillationsperioden for mediets partikler, kaldes bølgelængde .

,

hvor er hastigheden af ​​bølgeudbredelsen.

Gruppehastighed

En strengt monokromatisk bølge er en uendelig sekvens af "pukler" og "dale" i tid og rum.

Fasehastigheden af ​​denne bølge eller (2)

Det er umuligt at transmittere et signal ved hjælp af en sådan bølge, fordi på ethvert tidspunkt i bølgen er alle "puklerne" de samme. Signalet skal være anderledes. At være et tegn (mærke) på bølgen. Men så vil bølgen ikke længere være harmonisk, og vil ikke blive beskrevet af ligning (1). Et signal (puls) kan ifølge Fouriers sætning repræsenteres som en superposition af harmoniske bølger med frekvenser indeholdt i et bestemt interval Dw . Superposition af bølger, der afviger lidt fra hinanden i frekvens,

Udtrykket for en gruppe af bølger kan skrives som følger.

(3)

Ikon w understreger, at disse mængder afhænger af hyppigheden.

Denne bølgepakke kan være en sum af bølger med lidt forskellige frekvenser. Hvor bølgernes faser falder sammen, observeres en stigning i amplituden, og hvor faserne er modsatte, observeres en dæmpning af amplituden (resultatet af interferens). Dette billede er vist på figuren. For at en superposition af bølger kan betragtes som en gruppe af bølger, skal følgende betingelse være opfyldt: Dw<< w 0 .

I et ikke-dispersivt medium udbreder alle plane bølger, der danner en bølgepakke, med samme fasehastighed v . Dispersion er afhængigheden af ​​fasehastigheden af ​​en sinusformet bølge i et medium af frekvensen. Vi vil overveje fænomenet spredning senere i afsnittet "Bølgeoptik". I fravær af spredning falder bevægelseshastigheden af ​​bølgepakken sammen med fasehastigheden v . I et dispersivt medium spredes hver bølge med sin egen hastighed. Derfor spredes bølgepakken ud over tid, og dens bredde øges.

Hvis spredningen er lille, spredes bølgepakken ikke for hurtigt. Derfor kan en vis hastighed tilskrives hele pakkens bevægelse U .

Den hastighed, hvormed midten af ​​bølgepakken (punktet med den maksimale amplitude) bevæger sig, kaldes gruppehastighed.

I et spredt miljø v¹U . Sammen med bevægelsen af ​​selve bølgepakken, bevæger "puklerne" inde i selve pakken sig. "Humps" bevæger sig i rummet med fart v , og pakken som helhed med fart U .

Lad os overveje mere detaljeret bevægelsen af ​​en bølgepakke ved at bruge eksemplet på en superposition af to bølger med samme amplitude og forskellige frekvenser w (forskellige bølgelængder l ).

Lad os nedskrive ligningerne for to bølger. Lad os for nemheds skyld antage de indledende faser j 0 = 0.

Her

Lade Dw<< w , henholdsvis Dk<< k .

Lad os lægge vibrationerne sammen og udføre transformationer ved hjælp af den trigonometriske formel for summen af ​​cosinus:

I den første cosinus vil vi forsømme Dwt Og Dkx , som er meget mindre end andre mængder. Lad os tage højde for det cos(–a) = cosa . Vi skriver det endelig ned.

(4)

Multiplikatoren i firkantede parenteser ændres med tiden og koordinerer meget langsommere end den anden multiplikator. Som følge heraf kan udtryk (4) betragtes som en ligning af en plan bølge med en amplitude beskrevet af den første faktor. Grafisk er bølgen beskrevet af udtryk (4) præsenteret i figuren vist ovenfor.

Den resulterende amplitude opnås som et resultat af tilføjelsen af ​​bølger, derfor vil maksima og minima af amplituden blive observeret.

Den maksimale amplitude vil blive bestemt af følgende betingelse.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax– koordinat for den maksimale amplitude.

Cosinus tager sin maksimale modulo-værdi igennem s .

Hver af disse maksima kan betragtes som centrum for den tilsvarende gruppe af bølger.

Løser (5) relativt xmax vi får det.

Da fasehastigheden er kaldet gruppehastighed. Den maksimale amplitude af bølgepakken bevæger sig med denne hastighed. I grænsen vil udtrykket for gruppehastigheden have følgende form.

(6)

Dette udtryk er gyldigt for midten af ​​en gruppe med et vilkårligt antal bølger.

Det skal bemærkes, at når alle termer for ekspansionen er nøjagtigt taget i betragtning (for et vilkårligt antal bølger), opnås udtrykket for amplituden på en sådan måde, at det følger, at bølgepakken spredes ud over tid.
Udtrykket for gruppehastighed kan gives en anden form.

Derfor kan udtrykket for gruppehastigheden skrives som følger.

(7)

er et implicit udtryk, da v , Og k afhænger af bølgelængden l .

Derefter (8)

Lad os erstatte (7) og få.

(9)

Dette er den såkaldte Rayleigh-formel. J. W. Rayleigh (1842 - 1919) engelsk fysiker, nobelprismodtager i 1904, for opdagelsen af ​​argon.

Af denne formel følger det, at gruppehastigheden kan være større eller mindre end fasehastigheden, afhængigt af fortegn for den afledte.

I mangel af varians

Den maksimale intensitet forekommer i midten af ​​bølgegruppen. Derfor er hastigheden af ​​energioverførsel lig med gruppehastigheden.

Konceptet med gruppehastighed er kun anvendeligt under den betingelse, at bølgeabsorptionen i mediet er lav. Med betydelig bølgedæmpning mister begrebet gruppehastighed sin betydning. Dette tilfælde er observeret i området med unormal spredning. Vi vil overveje dette i afsnittet "Wave Optics".

String vibrationer

I en spændt streng fastgjort i begge ender, når tværgående vibrationer exciteres, etableres stående bølger, og noder er placeret på de steder, hvor strengen er fastgjort. Derfor exciteres kun sådanne vibrationer i strengen med mærkbar intensitet, hvor halvdelen af ​​bølgelængden passer til et helt antal gange langs længden af ​​strengen.

Dette indebærer følgende betingelse.

Eller

(n = 1, 2, 3, …),

l– strenglængde. Bølgelængderne svarer til følgende frekvenser.

(n = 1, 2, 3, …).

Bølgens fasehastighed bestemmes af strengens trækkraft og massen pr. længdeenhed, dvs. lineær tæthed af strengen.

F – strengspændingskraft, ρ" – lineær tæthed af strengmaterialet. Frekvenser νn hedder naturlige frekvenser strenge. Naturlige frekvenser er multipla af grundfrekvensen.

Denne frekvens kaldes grundlæggende frekvens .

Harmoniske vibrationer med sådanne frekvenser kaldes naturlige eller normale vibrationer. De kaldes også harmoniske . Generelt er vibrationen af ​​en streng en superposition af forskellige harmoniske.

Vibrationerne af en streng er bemærkelsesværdige ved, at for dem, ifølge klassiske koncepter, opnås diskrete værdier af en af ​​de størrelser, der karakteriserer vibrationerne (frekvensen). For klassisk fysik er en sådan diskrethed en undtagelse. For kvanteprocesser er diskrethed reglen snarere end undtagelsen.

Elastisk bølgeenergi

Lad på et tidspunkt af mediet i retningen x en plan bølge breder sig.

(1)

Lad os vælge et elementært volumen i miljøet ΔV så inden for dette volumen er forskydningshastigheden af ​​mediets partikler og deformationen af ​​mediet konstant.

Bind ΔV har kinetisk energi.

(2)

(ρ·ΔV – massen af ​​dette volumen).

Dette volumen har også potentiel energi.

Lad os huske for forståelse.

Relativ forskydning, α – proportionalitetskoefficient.

Youngs modul E = 1/a . Normal spænding T = F/S . Herfra.

I vores tilfælde.

I vores tilfælde har vi.

(3)

Lad os også huske.

Derefter . Lad os erstatte i (3).

(4)

For den samlede energi vi får.

Lad os dividere med det elementære volumen ΔV og vi opnår den volumetriske energitæthed af bølgen.

(5)

Vi får fra (1) og .

Lad os erstatte (6) med (5) og tage højde for det . Vi får det.

Af (7) følger det, at den volumetriske energitæthed på hvert tidspunkt af tiden på forskellige punkter i rummet er forskellig. På et punkt i rummet ændres W 0 i henhold til loven for sinuskvadrat. Og den gennemsnitlige værdi af denne mængde fra den periodiske funktion . Som følge heraf bestemmes gennemsnitsværdien af ​​den volumetriske energitæthed af udtrykket.

(8)

Udtryk (8) ligner meget udtrykket for den samlede energi af et oscillerende legeme . Følgelig har mediet, hvori bølgen udbreder sig, en forsyning af energi. Denne energi overføres fra vibrationskilden til forskellige punkter i mediet.

Mængden af ​​energi, der overføres af en bølge gennem en bestemt overflade pr. tidsenhed, kaldes energiflux.

Hvis gennem en given overflade i tid dt energi overført dW , så strømmer energien F vil være lige.

(9)

- målt i watt.

For at karakterisere strømmen af ​​energi på forskellige punkter i rummet indføres en vektormængde, som kaldes energifluxtæthed . Det er numerisk lig med energistrømmen gennem en enhedsareal placeret på et givet punkt i rummet vinkelret på energioverførselsretningen. Retningen af ​​energifluxtæthedsvektoren falder sammen med retningen for energioverførsel.

(10)

Denne karakteristik af den energi, der overføres af en bølge, blev introduceret af den russiske fysiker N.A. Umovov (1846 – 1915) i 1874.

Lad os overveje strømmen af ​​bølgeenergi.

Bølgeenergiflow

Bølgeenergi

W 0 er den volumetriske energitæthed.

Så får vi det.

(11)

Da bølgen udbreder sig i en bestemt retning, kan den skrives ned.

(12)

Det her energi flux vektor eller strømmen af ​​energi gennem en enhedsareal vinkelret på bølgeudbredelsesretningen pr. tidsenhed. Denne vektor kaldes Umov-vektoren.

~ synd 2 ωt.

Så vil gennemsnitsværdien af ​​Umov-vektoren være lig med.

(13)

Bølgeintensitet – tidsgennemsnitsværdi af energifluxtætheden, der overføres af bølgen .

Naturligvis.

(14)

Henholdsvis.

(15)

Lyd

Lyd er vibrationen af ​​et elastisk medium, som opfattes af det menneskelige øre.

Studiet af lyd kaldes akustik .

Den fysiologiske opfattelse af lyd: høj, stille, høj, lav, behagelig, ubehagelig - er en afspejling af dens fysiske egenskaber. En harmonisk vibration af en bestemt frekvens opfattes som en musikalsk tone.

Frekvensen af ​​en lyd svarer til tonehøjden af ​​en tone.

Øret opfatter et frekvensområde fra 16 Hz til 20.000 Hz. Ved frekvenser mindre end 16 Hz - infralyd, og ved frekvenser over 20 kHz - ultralyd.

Flere samtidige lydvibrationer er konsonans. Behagelig er konsonans, ubehagelig er dissonans. Et stort antal samtidigt lydende vibrationer med forskellige frekvenser er støj.

Som vi allerede ved, forstås lydintensitet som den tidsgennemsnitlige værdi af den energifluxtæthed, som en lydbølge bærer med sig. For at fremkalde en lydfornemmelse skal bølgen have en vis minimumsintensitet, som kaldes høretærskel (kurve 1 på figuren). Høretærsklen varierer noget mellem forskellige personer og er meget afhængig af lydens frekvens. Det menneskelige øre er mest følsomt over for frekvenser fra 1 kHz til 4 kHz. I dette område er høretærsklen i gennemsnit 10 -12 W/m2. Ved andre frekvenser er høretærsklen højere.

Ved intensiteter af størrelsesordenen 1 ÷ 10 W/m2 ophører bølgen med at blive opfattet som lyd, hvilket kun forårsager en følelse af smerte og tryk i øret. Den intensitetsværdi, ved hvilken dette sker, kaldes smertegrænse (kurve 2 på figuren). Smertetærsklen afhænger ligesom høretærsklen af ​​hyppigheden.

Der er således næsten 13 størrelsesordener. Derfor er det menneskelige øre ikke følsomt over for små ændringer i lydintensiteten. For at mærke en ændring i lydstyrken skal lydbølgens intensitet ændre sig med mindst 10 ÷ 20 %. Som karakteristik af intensitet er det derfor ikke selve lydintensiteten, der vælges, men den næste værdi, som kaldes lydintensitetsniveauet (eller lydstyrkeniveauet) og måles i bel. Til ære for den amerikanske elektroingeniør A.G. Bell (1847 - 1922), en af ​​opfinderne af telefonen.

I 0 = 10 -12 W/m2 – nulniveau (høretærskel).

De der. 1 B = 10 jeg 0 .

De bruger også en 10 gange mindre enhed - decibel (dB).

Ved hjælp af denne formel kan faldet i intensitet (dæmpning) af en bølge langs en bestemt sti udtrykkes i decibel. For eksempel betyder en dæmpning på 20 dB, at bølgens intensitet reduceres med en faktor 100.

Hele området af intensiteter, hvormed bølgen forårsager en lydfornemmelse i det menneskelige øre (fra 10 -12 til 10 W/m2), svarer til lydstyrkeværdier fra 0 til 130 dB.

Den energi, som lydbølger bærer, er ekstremt lille. For eksempel, at opvarme et glas vand fra stuetemperatur til kogning med en lydbølge med et volumenniveau på 70 dB (i dette tilfælde vil ca. ti tusind år.

Ultralydsbølger kan produceres i form af rettede stråler, svarende til lysstråler. Rettede ultralydsstråler har fundet bred anvendelse i ekkolod. Idéen blev fremsat af den franske fysiker P. Langevin (1872 - 1946) under Første Verdenskrig (i 1916). Ultralydsplaceringsmetoden giver i øvrigt flagermusen mulighed for at navigere godt, når den flyver i mørke.

Bølgeligning

Inden for bølgeprocesser er der ligninger kaldet bølge , som beskriver alle mulige bølger, uanset deres specifikke type. Betydningen af ​​bølgeligningen ligner den grundlæggende dynamiks ligning, som beskriver alle mulige bevægelser af et materielt punkt. Ligningen for en bestemt bølge er løsningen på bølgeligningen. Lad os få det. For at gøre dette differentierer vi to gange mhp t og for alle koordinater planbølgeligningen .

(1)

Herfra får vi.

(*)

Lad os tilføje ligninger (2).

Vi vil erstatte x i (3) fra ligning (*). Vi får det.

Lad os tage højde for det og vi får det.

, eller . (4)

Dette er bølgeligningen. I denne ligning er fasehastigheden, – Nabla-operatør eller Laplace-operatør.

Enhver funktion, der opfylder ligning (4), beskriver en bestemt bølge, og kvadratroden af ​​værdien invers til koefficienten af ​​den anden afledede af forskydningen versus tid giver bølgens fasehastighed.

Det er let at verificere, at bølgeligningen er opfyldt af ligningerne for plane og sfæriske bølger, såvel som enhver ligning af formen

For en plan bølge, der udbreder sig i retningen, har bølgeligningen formen:

.

Dette er en endimensionel andenordens partiel differentialbølgeligning, der er gyldig for homogene isotrope medier med ubetydelig dæmpning.

Elektromagnetiske bølger

I betragtning af Maxwells ligninger skrev vi den vigtige konklusion ned, at et vekslende elektrisk felt genererer et magnetisk felt, som også viser sig at være vekslende. Til gengæld genererer et vekslende magnetfelt et vekslende elektrisk felt osv. Det elektromagnetiske felt er i stand til at eksistere uafhængigt - uden elektriske ladninger og strømme. Ændringen i dette felts tilstand har en bølgekarakter. Felter af denne art kaldes elektromagnetiske bølger . Eksistensen af ​​elektromagnetiske bølger følger af Maxwells ligninger.

Lad os overveje et homogent neutralt () ikke-ledende () medium, for eksempel for enkelhedens skyld, vakuum. Til dette miljø kan du skrive:

, .

Hvis et andet homogent neutralt ikke-ledende medium overvejes, er det nødvendigt at tilføje og til ligningerne skrevet ovenfor.

Lad os skrive Maxwells differentialligninger i generel form.

, , , .

For det betragtede medium har disse ligninger formen:

, , ,

Lad os skrive disse ligninger som følger:

, , , .

Enhver bølgeproces skal beskrives med en bølgeligning, der relaterer de anden afledede med hensyn til tid og koordinater. Fra ligningerne skrevet ovenfor, gennem simple transformationer, kan du opnå følgende ligningspar:

,

Disse relationer repræsenterer identiske bølgeligninger for felterne og .

Lad os huske, at i bølgeligningen ( ) faktoren foran den anden afledede på højre side er den reciproke af kvadratet af bølgens fasehastighed. Derfor,. Det viste sig, at i et vakuum er denne hastighed for en elektromagnetisk bølge lig med lysets hastighed.

Så kan bølgeligningerne for felterne og skrives som

Og .

Disse ligninger indikerer, at elektromagnetiske felter kan eksistere i form af elektromagnetiske bølger, hvis fasehastighed i et vakuum er lig med lysets hastighed.

Matematisk analyse af Maxwells ligninger giver os mulighed for at drage en konklusion om strukturen af ​​en elektromagnetisk bølge, der forplanter sig i et homogent neutralt ikke-ledende medium i fravær af strømme og frie ladninger. Især kan vi drage en konklusion om bølgens vektorstruktur. En elektromagnetisk bølge er strengt tværgående bølge i den forstand, at vektorerne, der karakteriserer det og vinkelret på bølgehastighedsvektoren , dvs. til dens udbredelsesretning. Vektorer og , i den rækkefølge, de er skrevet i, dannes højrehåndet ortogonal trippel af vektorer . I naturen eksisterer kun højrehåndede elektromagnetiske bølger, og der er ingen venstrehåndede bølger. Dette er en af ​​manifestationerne af lovene om gensidig skabelse af vekslende magnetiske og elektriske felter.

Store faste, flydende og gasformige legemer kan betragtes som et medium bestående af individuelle partikler, der interagerer med hinanden gennem kohæsionskræfter. Excitation af oscillationer af partikler af mediet på ét sted forårsager forcerede oscillationer af nabopartikler, som igen exciterer oscillationer af de næste osv.

Processen med udbredelse af vibrationer i rummet kaldes en bølge.

Lad os tage en lang gummisnor og tvinge den ene ende af ledningen til at udføre tvungne vibrationer i det lodrette plan. De elastiske kræfter, der virker mellem de enkelte dele af snoren, vil føre til udbredelse af vibrationer langs snoren, og vi vil se en bølge løbe langs snoren.

Et andet eksempel på mekaniske bølger er bølger på overfladen af ​​vand.

Når bølger forplanter sig i en snor eller på vandoverfladen, opstår vibrationer vinkelret på bølgeudbredelsesretningen. Bølger, hvor vibrationer opstår vinkelret på udbredelsesretningen, kaldes tværbølger.

Langsgående bølger.

Ikke alle bølger kan ses. Efter at have ramt grenen af ​​en stemmegaffel med en hammer, hører vi en lyd, selvom vi ikke ser nogen bølger i luften. Fornemmelsen af ​​lyd i vores høreorganer opstår, når lufttrykket med jævne mellemrum ændrer sig. Vibrationer af stemmegaffelarmen ledsages af periodisk kompression og udslætning af luften i nærheden af ​​den. Disse processer med kompression og sjældenhed spredes

i luften i alle retninger (fig. 220). De er lydbølger.

Når en lydbølge forplanter sig, svinger mediets partikler langs svingningernes udbredelsesretning. Bølger, hvor der opstår svingninger langs bølgeudbredelsesretningen, kaldes langsgående bølger.

Længdebølger kan forekomme i gasser, væsker og faste stoffer; tværgående bølger forplanter sig i faste stoffer, hvori elastiske kræfter opstår under forskydningsdeformation eller under påvirkning af overfladespænding og tyngdekraft.

I både tværgående og langsgående bølger, udbredelsesprocessen: svingninger er ikke ledsaget af overførsel af stof i retning af udbredelse af bølgen. Ved hvert punkt i rummet svinger partikler kun i forhold til deres ligevægtsposition. Men udbredelsen af ​​svingninger ledsages af overførsel af oscillationsenergi fra et punkt i mediet til et andet.

Bølgelængde.

Bølgeudbredelseshastighed. Den hastighed, hvormed vibrationer forplanter sig i rummet, kaldes bølgehastighed. Afstanden mellem punkter tættest på hinanden, svingende i de samme faser (fig. 221), kaldes bølgelængden. Forholdet mellem bølgelængde K, bølgehastighed og svingningsperiode Г er givet ved udtrykket

Da bølgehastigheden er relateret til oscillationsfrekvensen ved ligningen

Afhængighed af hastigheden af ​​bølgeudbredelsen af ​​mediets egenskaber.

Når bølger opstår, er deres frekvens bestemt af bølgekildens oscillationsfrekvens, og hastigheden afhænger af mediets egenskaber. Derfor har bølger af samme frekvens forskellig længde i forskellige medier.