Sinus er lig med forholdet. Sinus, cosinus, tangens, cotangens med en spids vinkel

Foredrag: Sinus, cosinus, tangens, cotangens med en vilkårlig vinkel

Sinus, cosinus med en vilkårlig vinkel

For at forstå, hvad trigonometriske funktioner er, lad os vende os til cirklen med enhedsradius. Denne cirkel er centreret ved oprindelsen på koordinatplanet. For at bestemme de givne funktioner bruger vi radiusvektoren ELLERsom starter i midten af \u200b\u200bcirklen og punktet R er punktet i cirklen. Denne radiusvektor danner en vinkel alfa med aksen OH... Da cirklen har en radius lig med en, så OP \u003d R \u003d 1.

Hvis fra det punkt R sænk vinkelret på aksen OH, så får vi en retvinklet trekant med en hypotenus lig med en.

Hvis radiusvektoren bevæger sig med uret, kaldes denne retning negativ, hvis den bevæger sig mod uret - positiv.

Sinus vinkel ELLERer punktets ordinat R vektorer på en cirkel.

For at opnå sinusværdien af \u200b\u200ben given vinkel alpha er det nødvendigt at bestemme koordinaten Har på overfladen.

Hvordan blev denne værdi opnået? Da vi ved, at sinus af en vilkårlig vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen, får vi det

Og siden R \u003d 1derefter sin (α) \u003d y 0 .

I enhedscirklen kan ordinatens værdi ikke være mindre end -1 og mere end 1, hvilket betyder det

Sinus er positiv i enhedens cirkel første og andet kvartal og negativ i tredje og fjerde.

Cosinus vinkel en given cirkel dannet af radiusvektoren ELLER, er punktets abscissa R vektorer på en cirkel.

Det vil sige at for at opnå værdien af \u200b\u200bcosinus for en given vinkel alfa er det nødvendigt at bestemme koordinaten x på overfladen.

Cosinus af en vilkårlig vinkel i en højre trekant er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen, vi får det

Og siden R \u003d 1derefter cos (α) \u003d x 0 .

I enhedscirklen kan værdien af \u200b\u200babscissen ikke være mindre end -1 og mere end 1, hvilket betyder det

Cosinus er positiv i enhedens cirkel første og fjerde kvartal og negativ i andet og tredje.

Tangent vilkårlig vinkel forholdet mellem sinus og cosinus betragtes.

Hvis vi betragter en retvinklet trekant, så er dette forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende. Hvis vi taler om enhedscirklen, er dette forholdet mellem ordinaten og abscissen.

At dømme efter disse forhold kan det forstås, at tangenten ikke kan eksistere, hvis værdien af \u200b\u200babscissen er lig med nul, det vil sige i en vinkel på 90 grader. Tangenten kan tage alle andre værdier.

Tangensen er positiv i enhedens cirkel første og tredje kvartal og negativ i andet og fjerde.

Trigonometri opstod som videnskab i det gamle øst. De første trigonometriske forhold blev afledt af astronomer for at skabe en nøjagtig kalender- og stjerneorientering. Disse beregninger relaterede til sfærisk trigonometri, mens de i skolekurset studerer aspektforholdet og vinklen på en flad trekant.

Trigonometri er en gren af \u200b\u200bmatematik, der beskæftiger sig med trigonometriske funktioners egenskaber og forholdet mellem siderne og vinklerne på trekanter.

I storhedstid for kultur og videnskab i 1. årtusinde e.Kr. spredte viden sig fra det gamle øst til Grækenland. Men de vigtigste opdagelser af trigonometri er fortjenesten for mændene i det arabiske kalifat. Især den turkmeniske videnskabsmand al-Marazvi introducerede funktioner som tangens og cotangent, udarbejdede de første tabeller med værdier for sines, tangents og cotangents. Begrebet sinus og cosinus blev introduceret af indiske forskere. Meget opmærksomhed er viet til trigonometri i værker af sådanne store figurer fra oldtiden som Euklider, Archimedes og Eratosthenes.

Grundlæggende mængder trigonometri

De grundlæggende trigonometriske funktioner i et numerisk argument er sinus, cosinus, tangens og cotangens. Hver af dem har sin egen graf: sinusformet, cosinus, tangent og cotangent.

Formlerne til beregning af værdierne for disse størrelser er baseret på Pythagoras sætning. Skolebørn kender det bedre i ordlyden: "Pythagoreiske bukser, lige i alle retninger", da beviset er givet på eksemplet med en ligebenet retvinklet trekant.

Sinus, cosinus og andre afhængigheder etablerer et forhold mellem akutte vinkler og siderne af enhver ret trekant. Lad os give formler til beregning af disse værdier for vinkel A og spore forholdet mellem trigonometriske funktioner:

Som du kan se, er tg og ctg inverse funktioner. Hvis vi repræsenterer ben a som produktet af sin A og hypotenus c og ben b som cos A * c, får vi følgende formler for tangens og cotangens:

Trigonometrisk cirkel

Grafisk kan forholdet mellem disse størrelser repræsenteres som følger:

Cirklen repræsenterer i dette tilfælde alle mulige værdier for vinklen α - fra 0 ° til 360 °. Som du kan se på figuren, tager hver funktion en negativ eller positiv værdi afhængigt af vinklen. For eksempel vil sin α være med et "+" - tegn, hvis α hører til I- og II-kvartalerne af cirklen, dvs. er i området fra 0 ° til 180 °. Når α er fra 180 ° til 360 ° (III og IV kvartaler), kan sin α kun være negativ.

Lad os prøve at opbygge trigonometriske tabeller til bestemte vinkler og finde ud af værdien af \u200b\u200bstørrelserne.

Værdierne af α lig med 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° og så videre kaldes specielle tilfælde. Værdierne for trigonometriske funktioner for dem beregnes og præsenteres i form af specielle tabeller.

Disse vinkler blev ikke valgt tilfældigt. Betegnelsen π i tabellerne står for radianer. Rad er den vinkel, hvor længden af \u200b\u200ben cirkelbue svarer til dens radius. Denne værdi blev indført for at etablere en universel afhængighed; når man beregner i radianer, betyder den faktiske længde af radius i cm ikke noget.

Vinklerne i tabellerne for trigonometriske funktioner svarer til værdierne for radianer:

Så det er ikke svært at gætte, at 2π er en fuld cirkel eller 360 °.

Egenskaber ved trigonometriske funktioner: sinus og cosinus

For at overveje og sammenligne de vigtigste egenskaber ved sinus og cosinus, tangens og cotangens er det nødvendigt at tegne deres funktioner. Dette kan gøres i form af en kurve placeret i et todimensionalt koordinatsystem.

Overvej en sammenlignende tabel over egenskaber for en sinusbølge og en cosinusbølge:

Det er meget simpelt at afgøre, om en funktion er jævn eller ej. Det er nok at forestille sig en trigonometrisk cirkel med tegn på trigonometriske størrelser og mentalt "tilføje" grafen om OX-aksen. Hvis tegnene falder sammen, er funktionen jævn, ellers er den underlig.

Indførelsen af \u200b\u200bradianer og optællingen af \u200b\u200bde vigtigste egenskaber ved en sinusformet og cosinus giver os mulighed for at give følgende mønster:

Det er meget let at sikre sig, at formlen er korrekt. For eksempel er for x \u003d π / 2 sinus 1, ligesom cosinus x \u003d 0. Kontrollen kan udføres ved at henvise til tabeller eller ved at spore funktionskurverne for givne værdier.

Tangentoid og Cotangentoid egenskaber

Plotter af tangent- og cotangentfunktioner adskiller sig markant fra sinus og cosinus. Tg- og ctg-værdierne er omvendte af hinanden.

1. Y \u003d tg x.
2. Tangensoiden har en tendens til y-værdierne ved x \u003d π / 2 + πk, men når aldrig dem.
3. Den mindste positive periode for tangentoid er π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, det vil sige, funktionen er ulige.
5. Tg x \u003d 0, for x \u003d πk.
6. Funktionen øges.
7. Tg x ›0, for x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, for x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Derivat (tg x) ’\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Overvej en grafisk gengivelse af en cotangentoid nedenfor i teksten.

De vigtigste egenskaber ved en cotangensoid:

1. Y \u003d ctg x.
2. I modsætning til sinus- og cosinusfunktioner kan Y i tangentoid påtage sig værdierne for sættet af alle reelle tal.
3. Cotangensoiden har tendens til værdierne y ved x \u003d πk, men når aldrig dem.
4. Den mindste positive periode for en cotangensoid er π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, det vil sige, funktionen er ulige.
6. Ctg x \u003d 0, for x \u003d π / 2 + πk.
7. Funktionen er faldende.
8. Ctg x ›0, for x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, for x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Derivat (ctg x) ’\u003d - 1 / sin 2 \u2061x Korrekt

Hvordan finder man sinus?

At studere geometri hjælper med at udvikle tænkning. Dette emne er nødvendigvis inkluderet i skoletræning. I livet kan viden om dette emne være nyttigt - for eksempel når man planlægger en lejlighed.

Fra historien

Som en del af geometrisk forløb undersøges også trigonometri, som undersøger trigonometriske funktioner. I trigonometri studerer vi sines, cosinus, tangenter og cotangenter i en vinkel.

Men for nu, lad os starte med den enkleste ting - sinus. Lad os se nærmere på det allerførste koncept - sinus for en vinkel i geometri. Hvad er sinus, og hvordan finder du det?

Begrebet "sinusvinkel" og sinusoider

Sinus af en vinkel er forholdet mellem værdierne for det modsatte ben og hypotenusen for en højre trekant. Dette er en direkte trigonometrisk funktion, som skriftligt betegnes som "sin (x)", hvor (x) er trekantsvinklen.

På grafen betegnes sinus af en vinkel med en sinusform med sine egne egenskaber. En sinusform ligner en kontinuerlig bølget linje, der ligger inden for visse grænser på koordinatplanet. Funktionen er ulige, derfor er den symmetrisk med hensyn til 0 på koordinatplanet (den efterlader koordinatens oprindelse).

Omfanget af denne funktion ligger i området fra -1 til +1 i det kartesianske koordinatsystem. Perioden for sinusvinkelfunktionen er 2 Pi. Dette betyder, at hver 2 pi gentages mønsteret, og sinusformet gennemgår en fuld cyklus.

Sinusoid ligning

• sin x \u003d a / c
• hvor a er benet modsat vinklen på trekanten
• c - hypotenus af højre trekant

Sinusvinkelegenskaber

1. sin (x) \u003d - sin (x). Denne funktion viser, at funktionen er symmetrisk, og hvis værdierne for x og (-x) er indstillet i begge retninger på koordinatsystemet, vil ordinaterne for disse punkter være modsatte. De vil være lige langt fra hinanden.
2. Et andet træk ved denne funktion er, at grafen for funktionen øges med intervallet [- P / 2 + 2 Pn]; [П / 2 + 2Пn], hvor n er et hvilket som helst heltal. Et fald i grafen for sinus for vinklen vil blive observeret på segmentet: [P / 2 + 2 Pn]; [3P / 2 + 2Pn].
3. sin (x)\u003e 0 når x ligger i området (2Пn, П + 2Пn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Værdierne for vinklernes bihuler bestemmes i henhold til specielle tabeller. Sådanne tabeller er oprettet for at lette processen med at beregne komplekse formler og ligninger. Det er let at bruge og indeholder værdierne for ikke kun sin (x) -funktionen, men også værdierne for andre funktioner.

Desuden er tabellen over standardværdier for disse funktioner inkluderet i den obligatoriske hukommelsesundersøgelse som en multiplikationstabel. Dette gælder især for klasser med en fysisk og matematisk bias. I tabellen kan du se værdierne for de vigtigste vinkler, der anvendes i trigonometri: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 og 360 grader.

Der er også en tabel, der bestemmer værdierne for de trigonometriske funktioner for ikke-standardvinkler. Ved hjælp af forskellige tabeller kan du nemt beregne sinus, cosinus, tangens og cotangens for nogle vinkler.

Ligninger er sammensat med trigonometriske funktioner. Det er let at løse disse ligninger, hvis du kender enkle trigonometriske identiteter og funktionskonverteringer, f.eks. Som sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) og andre. Der er også udarbejdet en separat tabel til sådanne rollebesætninger.

Sådan finder du sinus i en vinkel

Når opgaven er at finde sinus af en vinkel, og hvis vi kun har cosinus, tangens eller cotangens i en vinkel, kan vi let beregne, hvad vi har brug for ved hjælp af trigonometriske identiteter.

• sin 2 x + cos 2 x \u003d 1

Baseret på denne ligning kan vi finde både sinus og cosinus, afhængigt af hvilken værdi der er ukendt. Vi får en trigonometrisk ligning med en ukendt:

• sin 2 x \u003d 1 - cos 2 x
• sin x \u003d ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 \u003d 1 / sin 2 x

Fra denne ligning kan du finde sinusværdien ved at kende værdien af \u200b\u200bvinkelens cotangens. For enkelheds skyld skal du erstatte sin 2 x \u003d y, og så har du en simpel ligning. For eksempel er den cotangente værdi 1, og derefter:

• 1 + 1 \u003d 1 / y
• 2 \u003d 1 / å
• 2y \u003d 1
• y \u003d 1/2

Nu udfører vi den omvendte udskiftning af spillet:

• sin 2 x \u003d ½
• sin x \u003d 1 / √2

Da vi tog den cotangente værdi for standardvinklen (45 0), kan de opnåede værdier kontrolleres i forhold til tabellen.

Hvis du får værdien af \u200b\u200btangenten, men du skal finde sinussen, hjælper en anden trigonometrisk identitet:

• tg x * ctg x \u003d 1

Den følger det:

• ctg x \u003d 1 / tg x

For at finde sinus for en ikke-standardvinkel, for eksempel 240 0, skal du bruge vinklereduktionsformlerne. Vi ved, at π svarer til 180 0. Således vil vi udtrykke vores lighed med hensyn til standardvinkler ved ekspansion.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Vi skal finde følgende: synd (180 0 + 60 0). Trigonometri har reduktionsformler, der er nyttige i dette tilfælde. Dette er formlen:

• sin (π + x) \u003d - sin (x)

Således er sinus i en vinkel på 240 grader:

• sin (180 0 + 60 0) \u003d - sin (60 0) \u003d - √3 / 2

I vores tilfælde er henholdsvis x \u003d 60 og P 180 grader. Vi fandt værdien (-√3 / 2) fra værditabellen for funktionerne i standardvinkler.

På denne måde kan ikke-standardvinkler udvides, for eksempel: 210 \u003d 180 + 30.

Bihule spids vinkel α i en ret trekant er forholdet modsatte ben til hypotenusen.
Det betegnes som: sin α.

Cosine spids vinkel α i en ret trekant er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen.
Det betegnes som: cos α.

Tangent spids vinkel α er forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende ben.
Det betegnes som følger: tg α.

Cotangent spids vinkel α er forholdet mellem det tilstødende ben og det modsatte.
Det betegnes som følger: ctg α.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens i en vinkel afhænger kun af størrelsen af \u200b\u200bvinklen.

Regler:

Grundlæggende trigonometriske identiteter i en ret trekant:

(α - en spids vinkel over for benet b og støder op til benet -en ... Side fra - hypotenuse. β Er den anden spidse vinkel).

Med stigende spids vinkelsin α ogtg α stigning, ogcos α falder.

For enhver spids vinkel α:

sin (90 ° - α) \u003d cos α

cos (90 ° - α) \u003d sin α

Eksempel på afklaring:

Lad en retvinklet trekant ABC
AB \u003d 6,
BC \u003d 3,
vinkel A \u003d 30º.

Find ud af sinus for vinkel A og cosinus for vinkel B.

Afgørelse .

1) For det første finder vi værdien af \u200b\u200bvinklen B. Alt er simpelt: da i en retvinklet trekant er summen af \u200b\u200bde skarpe vinkler 90 °, så er vinklen B \u003d 60 °:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Beregn sin A. Vi ved, at sinussen er lig med forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen. For vinkel A er det modsatte ben side BC. Så:

BC 3 1
sin A \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

3) Nu beregner vi cos B. Vi ved, at cosinus er lig med forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen. For vinkel B er det tilstødende ben den samme side f.Kr. Dette betyder, at vi igen skal dele BC med AB - dvs. udføre de samme handlinger som ved beregning af sinus for vinkel A:

BC 3 1
cos B \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2

Resultatet er:
sin A \u003d cos B \u003d 1/2.

sin 30º \u003d cos 60º \u003d 1/2.

Det følger heraf, at i en retvinklet trekant er sinus for en spids vinkel lig med cosinus for en anden spids vinkel - og omvendt. Dette er hvad vores to formler betyder:
sin (90 ° - α) \u003d cos α
cos (90 ° - α) \u003d sin α

Lad os sørge for dette igen:

1) Lad α \u003d 60º. Ved at erstatte værdien af \u200b\u200bα i sinusformlen får vi:
sin (90º - 60º) \u003d cos 60º.
sin 30º \u003d cos 60º.

2) Lad α \u003d 30º. Ved at erstatte værdien af \u200b\u200bα i cosinusformlen får vi:
cos (90 ° - 30 °) \u003d sin 30 °.
cos 60 ° \u003d sin 30 °.

(For mere om trigonometri, se afsnittet Algebra)

Vi starter studiet af trigonometri med en retvinklet trekant. Lad os definere, hvad sinus og cosinus er såvel som tangenten og cotangenten i en spids vinkel. Dette er de grundlæggende i trigonometri.

Husk det ret vinkel er en vinkel på 90 grader. Med andre ord halvdelen af \u200b\u200bet fladt hjørne.

Skarpt hjørne - mindre end 90 grader.

Stump vinkel - større end 90 grader. Når det anvendes til et sådant hjørne, er "dum" ikke en fornærmelse, men et matematisk udtryk :-)

Lad os tegne en ret trekant. En ret vinkel er normalt angivet. Bemærk, at siden modsat hjørnet er betegnet med det samme bogstav, kun lille. Så er siden modsat hjørne A betegnet.

Vinklen er angivet med det tilsvarende græske bogstav.

Hypotenus en retvinklet trekant er siden modsat den rigtige vinkel.

Ben- sider, der ligger overfor skarpe hjørner.

Benet overfor hjørnet kaldes modsatte (i forhold til hjørnet). Et andet ben, der ligger på den ene side af hjørnet, kaldes tilstødende.

Bihule en spids vinkel i en højre trekant er forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen:

Cosine en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen:

Tangent en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem det modsatte ben og det tilstødende:

En anden (ækvivalent) definition: tangenten til en spids vinkel er forholdet mellem sinus for en vinkel og dets cosinus:

Cotangent en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem det tilstødende ben og det modsatte (eller, hvilket er det samme, forholdet mellem cosinus og sinus):

Bemærk de grundlæggende forhold for sinus, cosinus, tangens og cotangens nedenfor. De vil være nyttige for os, når vi løser problemer.

Lad os bevise nogle af dem.

Okay, vi har defineret og nedskrevet formler. Og hvad er sinus, cosinus, tangens og cotangens til?

Vi ved det summen af \u200b\u200bvinklerne på en hvilken som helst trekant er.

Vi kender forholdet mellem fester højre trekant. Dette er den Pythagoras sætning :.

Det viser sig at kende to vinkler i en trekant, du kan finde den tredje. At kende de to sider i en retvinklet trekant kan du finde den tredje. Dette betyder, at for hjørnerne - dets eget forhold, for siderne - dets egne. Men hvad nu hvis der i en retvinklet trekant kendes en vinkel (bortset fra den rigtige) og den ene side, men du skal finde andre sider?

Folk har tidligere været udsat for dette og lavet kort over området og stjernehimlen. Når alt kommer til alt er det ikke altid muligt at måle alle sider af en trekant direkte.

Sinus, cosinus og tangens - de kaldes også trigonometriske vinkelfunktioner - giv forholdet mellem fester og hjørner trekant. Når du kender vinklen, kan du finde alle dens trigonometriske funktioner ved hjælp af specielle tabeller. Og ved at kende sines, cosinus og tangenser til vinklerne i en trekant og en af \u200b\u200bdens sider, kan du finde resten.

Vi tegner også en tabel med sinus-, cosinus-, tangent- og cotangentværdier for "gode" vinkler fra til.

Bemærk de to røde bindestreger i tabellen. Tangenten og cotangenten findes ikke for de tilsvarende vinkler.

Lad os analysere flere trigonometriopgaver fra FIPI Task Bank.

1. I en trekant er vinklen ,. Finde.

Problemet løses på fire sekunder.

For så vidt

2. I en trekant er vinklen ,,. Finde.

Find ved Pythagoras sætning.

Problemet er løst.

Trekanter med hjørner og eller med hjørner og findes ofte i problemer. Husk de grundlæggende forhold for dem!

For en trekant med hjørner og et ben modsat vinkel b er lig med halvdelen af \u200b\u200bhypotenusen.

En trekant med hjørner og er ligebenet. I den er hypotenusen gange større end benet.

Vi undersøgte problemet med at løse retvinklede trekanter - det vil sige at finde ukendte sider eller vinkler. Men det er ikke alt! I versionerne af eksamen i matematik er der mange problemer, hvor sinus, cosinus, tangens eller cotangens i det ydre hjørne af trekanten vises. Mere om dette i den næste artikel.