Konstruktion og undersøgelse af en matematisk model kaldes. Foredrag: Matematisk modellering

hjem / skænderi

Matematisk model - dette er et system af matematiske relationer - formler, ligninger, uligheder osv., der afspejler de væsentlige egenskaber ved et objekt eller et fænomen.

Ethvert naturfænomen er uendeligt i sin kompleksitet.. Lad os illustrere dette ved hjælp af et eksempel hentet fra bogen af V.N. Trostnikov "Mand og information" (Forlag "Science", 1970).

Lægmanden formulerer matematikproblemet som følger: "Hvor længe vil en sten falde fra en højde på 200 meter?" Matematikeren vil begynde at skabe sin version af problemet sådan her: "Vi vil antage, at stenen falder i tomrummet, og at tyngdeaccelerationen er 9,8 meter i sekundet i sekundet. Så..."

- Lad mig- kan sige "kunde", - Jeg kan ikke lide denne forenkling. Jeg vil gerne vide præcis, hvor længe stenen vil falde under virkelige forhold, og ikke i et ikke-eksisterende tomrum.

- Godt, matematikeren er enig. - Lad os antage, at stenen har en sfærisk form og en diameter... Hvad er dens omtrentlige diameter?

- Omkring fem centimeter. Men den er slet ikke kugleformet, men aflang.

- Så vil vi antage dethar form som en ellipsoide med akselaksler fire, tre og tre centimeter og at hanfalder, så halvhovedaksen forbliver lodret hele tiden . Vi tager lufttrykket lig med760 mmHg , herfra finder vi lufttætheden...

Hvis den, der satte problemet i "menneskeligt" sprog, ikke vil blande sig yderligere i en matematikers tankegang, så vil sidstnævnte give et numerisk svar efter et stykke tid. Men "forbrugeren" kan indvende som før: stenen er faktisk slet ikke ellipseformet, lufttrykket på det sted og på det tidspunkt var ikke lig med 760 mm kviksølv osv. Hvad vil matematikeren svare ham?

Det vil han svare på en nøjagtig løsning af et reelt problem er generelt umuligt. Ikke kun det sten form som påvirker luftmodstanden, kan ikke beskrives med nogen matematisk ligning; dens rotation under flyvning er også uden for matematikkens kontrol på grund af dens kompleksitet. Yderligere, luften er ikke ensartet, da som et resultat af virkningen af tilfældige faktorer, opstår fluktuationer af tæthedssvingninger i den. Går man endnu dybere, må man tage højde for det ifølge loven om universel tyngdekraft virker ethvert legeme på ethvert andet legeme. Det følger heraf, at selv pendulet på et vægur ændrer stenens bane med dens bevægelse.

Kort sagt, hvis vi seriøst ønsker at præcist undersøge opførselen af et objekt, så skal vi først kende placeringen og hastigheden af alle andre objekter i universet. Og dette, selvfølgelig. umuligt.

Den mest effektive matematiske model kan implementeres på en computer i form af en algoritmisk model - det såkaldte "beregningseksperiment" (se [1], afsnit 26).

Selvfølgelig svarer resultaterne af et beregningseksperiment muligvis ikke til virkeligheden, hvis nogle vigtige aspekter af virkeligheden ikke tages i betragtning i modellen.

Så når du opretter en matematisk model til løsning af et problem, skal du:

Når man konstruerer matematiske modeller, er det langt fra altid muligt at finde formler, der eksplicit udtrykker de ønskede størrelser gennem data. I sådanne tilfælde bruges matematiske metoder til at give svar af forskellig grad af nøjagtighed. Der er ikke kun matematisk modellering af ethvert fænomen, men også visuel-naturlig modellering, som leveres ved at vise disse fænomener ved hjælp af computergrafik, dvs. forskeren får vist en slags "computertegnefilm" filmet i realtid. Sigtbarheden her er meget høj.

Andre poster

06/10/2016. 8.3. Hvad er de vigtigste trin i softwareudviklingsprocessen? 8.4. Hvordan styrer man programmets tekst før output til computeren?

8.3. Hvad er de vigtigste trin i softwareudviklingsprocessen? Processen med at udvikle et program kan udtrykkes med følgende formel: Tilstedeværelsen af fejl i et nyudviklet program er ret normalt ...

06/10/2016. 8.5. Hvad er debugging og test til? 8.6. Hvad er debugging? 8.7. Hvad er test og test? 8.8. Hvad skal testdataene være? 8.9. Hvad er trinene i testprocessen?

8.5. Hvad er debugging og test til? Fejlretning af et program er processen med at finde og eliminere fejl i et program baseret på resultaterne af dets kørsel på en computer. Tester...

06/10/2016. 8.10. Hvad er typiske programmeringsfejl? 8.11. Indikerer fraværet af syntaksfejl, at programmet er korrekt? 8.12. Hvilke fejl opdager oversætteren ikke? 8.13. Hvad er programsupport?

8.10. Hvad er typiske programmeringsfejl? Fejl kan begås på alle stadier af løsningen af et problem - fra dets formulering til udførelse. Der er givet forskellige fejl og tilsvarende eksempler ...

Matematisk model b er den matematiske repræsentation af virkeligheden.

Matematisk modellering- processen med at bygge og studere matematiske modeller.

Alle natur- og samfundsvidenskaber, der bruger det matematiske apparat, er faktisk beskæftiget med matematisk modellering: De erstatter det virkelige objekt med dets matematiske model og studerer derefter sidstnævnte.

Definitioner.

Ingen definition kan fuldt ud dække den virkelige aktivitet af matematisk modellering. På trods af dette er definitioner nyttige, fordi de forsøger at fremhæve de mest betydningsfulde funktioner.

Definition af en model ifølge A. A. Lyapunov: Modellering er en indirekte praktisk eller teoretisk undersøgelse af en genstand, hvori ikke genstanden af interesse for os direkte studeres, men et eller andet kunstigt eller naturligt hjælpesystem:

placeret i en eller anden objektiv overensstemmelse med det genkendelige objekt;

i stand til at erstatte ham i visse henseender;

som i løbet af sin undersøgelse i sidste ende giver information om det objekt, der modelleres.

Ifølge lærebogen af Sovetov og Yakovlev: "en model er en genstandserstatning af det originale objekt, som giver studiet af nogle egenskaber ved originalen." "At erstatte et objekt med et andet for at få information om de vigtigste egenskaber ved det originale objekt ved hjælp af modelobjektet kaldes modellering." "Under matematisk modellering vil vi forstå processen med at etablere korrespondance til et givet reelt objekt af et matematisk objekt, kaldet en matematisk model, og studiet af denne model, som gør det muligt at opnå karakteristikaene for det reelle objekt, der overvejes. Typen af matematisk model afhænger af både arten af det virkelige objekt og opgaverne med at studere objektet og den nødvendige pålidelighed og nøjagtighed til at løse dette problem."

Ifølge Samarsky og Mikhailov er en matematisk model en "ækvivalent" af et objekt, der i matematisk form afspejler dets vigtigste egenskaber: lovene, som det adlyder, forbindelserne i dets bestanddele osv. Det eksisterer i triaderne " model-algoritme-program”. Efter at have oprettet "model-algoritme-program"-triaden får forskeren et universelt, fleksibelt og billigt værktøj, som først fejlsøges og testes i beregningseksperimenter. Efter at treklangens tilstrækkelighed til det oprindelige objekt er etableret, udføres forskellige og detaljerede "eksperimenter" med modellen, der giver alle de nødvendige kvalitative og kvantitative egenskaber og karakteristika for objektet.

Ifølge monografien af Myshkis: "Lad os gå videre til en generel definition. Lad os udforske et sæt S af egenskaber for et rigtigt objekt a med

ved hjælp af matematik. For at gøre dette vælger vi et "matematisk objekt" a" - et system af ligninger, eller aritmetiske relationer, eller geometriske figurer, eller en kombination af begge osv., - hvis studie ved hjælp af matematik skal besvare de stillede spørgsmål om egenskaberne af S. Under disse forhold kaldes a" den matematiske model af objektet a med hensyn til helheden S af dets egenskaber".

Ifølge A. G. Sevostyanov: "En matematisk model er et sæt matematiske relationer, ligninger, uligheder osv., der beskriver de vigtigste mønstre, der er iboende i processen, objektet eller systemet under undersøgelse."

En noget mindre generel definition af en matematisk model, baseret på en idealisering af "input-output-tilstand" lånt fra automatteori, er givet af Wiktionary: "En abstrakt matematisk repræsentation af en proces, enhed eller teoretisk idé; den bruger et sæt af variable til at repræsentere input, output og interne tilstande, og sæt af ligninger og uligheder til at beskrive deres interaktioner."

Til sidst den mest kortfattede definition af en matematisk model: "En ligning, der udtrykker en idé."

Formel klassificering af modeller.

Den formelle klassificering af modeller er baseret på klassificeringen af de anvendte matematiske værktøjer. Ofte bygget i form af dikotomier. For eksempel er et af de populære sæt af dikotomier:

Lineære eller ikke-lineære modeller; Koncentrerede eller distribuerede systemer; Deterministisk eller stokastisk; Statisk eller dynamisk; diskret eller kontinuerlig.

etc. Hver konstrueret model er lineær eller ikke-lineær, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligvis er blandede typer også mulige: koncentreret i én henseende, distribuerede modeller i en anden osv.

Klassificering efter den måde, objektet er repræsenteret på.

Sammen med den formelle klassificering adskiller modellerne sig i den måde, de repræsenterer objektet på:

Strukturelle modeller repræsenterer et objekt som et system med sin egen enhed og funktionsmekanisme. Funktionelle modeller bruger ikke sådanne repræsentationer og afspejler kun objektets eksternt opfattede adfærd. I deres ekstreme udtryk kaldes de også "black box" modeller. Kombinerede typer modeller er også mulige, som nogle gange kaldes "grey box" modeller.

Næsten alle forfattere, der beskriver processen med matematisk modellering, indikerer, at der først bygges en særlig idealkonstruktion, en meningsfuld model. Der er ingen etableret terminologi her, og andre forfattere kalder dette ideelle objekt for en konceptuel model, en spekulativ model eller en præmodel. I dette tilfælde kaldes den endelige matematiske konstruktion en formel model eller blot en matematisk model opnået som et resultat af formaliseringen af denne indholdsmodel. Konstruktionen af en meningsfuld model kan ske ved hjælp af et sæt færdige idealiseringer, som i mekanik, hvor ideelle fjedre, stive kroppe, ideelle penduler, elastiske medier osv. giver færdige strukturelle elementer til meningsfuld modellering. Men i vidensområder, hvor der ikke er fuldt udfyldte formaliserede teorier, bliver skabelsen af meningsfulde modeller meget mere kompliceret.

R. Peierls arbejde giver en klassificering af matematiske modeller, der bruges i fysik og mere generelt i naturvidenskaberne. I bogen af A. N. Gorban og R. G. Khlebopros er denne klassifikation analyseret og udvidet. Denne klassifikation er primært fokuseret på stadiet med at konstruere en meningsfuld model.

Disse modeller "repræsenterer en prøvebeskrivelse af fænomenet, og forfatteren tror enten på dets mulighed eller anser det endda for at være sandt." Ifølge R. Peierls for eksempel modellen af solsystemet efter Ptolemæus og den kopernikanske model, Rutherfords model af atomet og Big Bang-modellen.

Ingen hypotese i videnskaben kan bevises én gang for alle. Richard Feynman udtrykte det meget klart:

”Vi har altid evnen til at modbevise en teori, men bemærk, at vi aldrig kan bevise, at den er korrekt. Lad os antage, at du fremsætter en vellykket hypotese, beregnet, hvor den fører hen, og fandt ud af, at alle dens konsekvenser bekræftes eksperimentelt. Betyder det, at din teori er korrekt? Nej, det betyder blot, at du undlod at modbevise det.

Hvis der bygges en model af den første type, betyder det, at den midlertidigt erkendes som sand, og man kan koncentrere sig om andre problemer. Dette kan dog ikke være et punkt i forskningen, men kun en midlertidig pause: Status for modellen af den første type kan kun være midlertidig.

Den fænomenologiske model indeholder en mekanisme til at beskrive fænomenet. Denne mekanisme er imidlertid ikke overbevisende nok, kan ikke bekræftes tilstrækkeligt af de tilgængelige data eller stemmer dårligt overens med de tilgængelige teorier og akkumuleret viden om objektet. Derfor har fænomenologiske modeller status som midlertidige løsninger. Det menes, at svaret stadig er ukendt, og det er nødvendigt at fortsætte søgningen efter "sande mekanismer". Peierls refererer for eksempel kaloriemodellen og kvarkmodellen af elementarpartikler til den anden type.

Modellens rolle i forskningen kan ændre sig over tid, det kan ske, at nye data og teorier bekræfter de fænomenologiske modeller, og de vil blive opgraderet til

hypotesestatus. Ligeledes kan ny viden gradvist komme i konflikt med modeller-hypoteser af den første type, og de kan overføres til den anden. Kvarkmodellen bevæger sig således gradvist ind i kategorien hypoteser; atomismen i fysikken opstod som en midlertidig løsning, men med historiens gang gik den over i den første type. Men ætermodellerne er gået fra type 1 til type 2, og nu er de uden for videnskaben.

Ideen om forenkling er meget populær, når man bygger modeller. Men forenkling er anderledes. Peierls skelner mellem tre typer forenklinger i modellering.

Hvis det er muligt at konstruere ligninger, der beskriver det undersøgte system, betyder det ikke, at de kan løses selv ved hjælp af en computer. En almindelig teknik i dette tilfælde er brugen af tilnærmelser. Blandt dem er lineære responsmodeller. Ligningerne erstattes af lineære. Standardeksemplet er Ohms lov.

Hvis vi bruger idealgasmodellen til at beskrive tilstrækkeligt fordærvede gasser, så er der tale om en model 3. Ved højere gastætheder er det også nyttigt at forestille sig en enklere idealgassituation til kvalitativ forståelse og evaluering, men så er dette allerede type 4 .

I en type 4-model kasseres detaljer, der mærkbart og ikke altid kontrollerbart kan påvirke resultatet. De samme ligninger kan fungere som en Type 3 eller Type 4 model, afhængigt af det fænomen, modellen bruges til at studere. Så hvis lineære responsmodeller bruges i fravær af mere komplekse modeller, så er disse allerede fænomenologiske lineære modeller, og de tilhører følgende type 4.

Eksempler: anvendelse af en ideel gasmodel til en ikke-ideal, van der Waals tilstandsligning, de fleste modeller af fast tilstand, flydende og nuklear fysik. Vejen fra mikrobeskrivelse til egenskaberne af legemer, der består af et stort antal partikler, er meget lang. Mange detaljer skal udelades. Dette fører til modeller af den 4. type.

Den heuristiske model bevarer kun en kvalitativ lighed med virkeligheden og giver kun forudsigelser "i størrelsesorden". Et typisk eksempel er den gennemsnitlige frie vejapproksimation i kinetisk teori. Det giver enkle formler for koefficienterne for viskositet, diffusion, termisk ledningsevne, i overensstemmelse med virkeligheden i størrelsesorden.

Men når man bygger en ny fysik, får man langt fra umiddelbart en model, der i det mindste giver en kvalitativ beskrivelse af et objekt - en model af den femte type. I dette tilfælde bruges en model ofte analogt, idet den afspejler virkeligheden i det mindste på en eller anden måde.

R. Peierls citerer historien om brugen af analogier i W. Heisenbergs første artikel om atomkræfternes natur. »Det skete efter opdagelsen af neutronen, og selvom W. Heisenberg selv forstod, at kerner kunne beskrives som bestående af neutroner og protoner, kunne han stadig ikke slippe tanken om, at neutronen i sidste ende skulle bestå af en proton og en elektron . I dette tilfælde opstod der en analogi mellem interaktionen i neutron-protonsystemet og interaktionen mellem et brintatom og en proton. Det var denne analogi, der førte ham til den konklusion, at der må være udvekslingskræfter af interaktion mellem en neutron og en proton, som er analoge med udvekslingskræfterne i H − H systemet, på grund af overgangen af en elektron mellem to protoner. ... Senere blev eksistensen af udvekslingskræfter af interaktion mellem en neutron og en proton ikke desto mindre bevist, selvom de ikke var fuldstændig udtømte

interaktion mellem to partikler ... Men efter samme analogi kom W. Heisenberg til den konklusion, at der ikke er nogen nukleare kræfter af interaktion mellem to protoner og til postulationen om frastødning mellem to neutroner. Begge disse sidstnævnte fund er i modstrid med resultaterne af senere undersøgelser.

A. Einstein var en af tankeeksperimentets store mestre. Her er et af hans eksperimenter. Den blev opfundet i ungdommen og førte til sidst til konstruktionen af den særlige relativitetsteori. Antag, at vi i klassisk fysik følger en lysbølge med lysets hastighed. Vi vil observere et elektromagnetisk felt, der periodisk ændrer sig i rummet og konstant i tid. Ifølge Maxwells ligninger kan dette ikke være tilfældet. Heraf konkluderede unge Einstein: enten ændres naturlovene, når referencerammen ændres, eller også afhænger lysets hastighed ikke af referencerammen. Han valgte den anden - smukkere mulighed. Et andet berømt Einstein-tankeeksperiment er Einstein-Podolsky-Rosen-paradokset.

Og her er type 8, som er meget brugt i matematiske modeller af biologiske systemer.

Disse er også tankeeksperimenter med imaginære enheder, der viser, at det påståede fænomen er i overensstemmelse med de grundlæggende principper og er internt konsistent. Dette er hovedforskellen fra modeller af type 7, som afslører skjulte modsætninger.

Et af de mest berømte sådanne eksperimenter er Lobachevskys geometri. Et andet eksempel er masseproduktionen af formelt kinetiske modeller af kemiske og biologiske svingninger, autobølger osv. Einstein-Podolsky-Rosen-paradokset blev udtænkt som en type 7-model for at demonstrere inkonsistensen i kvantemekanikken. Helt uplanlagt blev det til sidst til en type 8-model – en demonstration af muligheden for kvanteteleportering af information.

Overvej et mekanisk system bestående af en fjeder fastgjort i den ene ende og en belastning med masse m fastgjort til fjederens frie ende. Vi vil antage, at lasten kun kan bevæge sig i retning af fjederaksen. Lad os konstruere en matematisk model af dette system. Vi vil beskrive systemets tilstand ved afstanden x fra centrum af belastningen til dets ligevægtsposition. Vi beskriver samspillet mellem en fjeder og en belastning ved hjælp af Hookes lov, hvorefter vi bruger Newtons anden lov til at udtrykke den i form af en differentialligning:

hvor betyder den anden afledede af x med hensyn til tid..

Den resulterende ligning beskriver den matematiske model af det betragtede fysiske system. Dette mønster kaldes den "harmoniske oscillator".

Ifølge den formelle klassifikation er denne model lineær, deterministisk, dynamisk, koncentreret, kontinuerlig. I processen med at bygge det, gjorde vi mange antagelser, som måske ikke er sande i virkeligheden.

I forhold til virkeligheden er der oftest tale om en type 4-model, en forenkling, da nogle væsentlige universelle træk er udeladt. I en vis tilnærmelse beskriver en sådan model et rigtigt mekanisk system ganske godt, da

kasserede faktorer har en ubetydelig indflydelse på dens adfærd. Modellen kan dog finpudses ved at tage højde for nogle af disse faktorer. Dette vil føre til en ny model med et bredere anvendelsesområde.

Men når modellen raffineres, kan kompleksiteten af dens matematiske undersøgelse øges betydeligt og gøre modellen praktisk talt ubrugelig. Ofte giver en enklere model dig mulighed for bedre og dybere at udforske det virkelige system end en mere kompleks.

Hvis vi anvender den harmoniske oscillatormodel på objekter, der er langt fra fysik, kan dens meningsfulde status være anderledes. For eksempel, når man anvender denne model på biologiske populationer, bør den højst sandsynligt tilskrives type 6-analogi.

Hårde og bløde modeller.

Den harmoniske oscillator er et eksempel på en såkaldt "hård" model. Det opnås som et resultat af en stærk idealisering af et ægte fysisk system. For at løse spørgsmålet om dets anvendelighed er det nødvendigt at forstå, hvor væsentlige de faktorer er, som vi har forsømt. Det er med andre ord nødvendigt at undersøge den "bløde" model, som opnås ved en lille forstyrrelse af den "hårde". Det kan for eksempel gives ved følgende ligning:

Her - en funktion, som kan tage højde for friktionskraften eller afhængigheden af fjederens stivhedskoefficient på graden af dens strækning, ε - en lille parameter. Den eksplicitte form af funktionen f interesserer os ikke i øjeblikket. Hvis vi beviser, at en blød models adfærd ikke er fundamentalt forskellig fra en hård models adfærd, vil problemet blive reduceret til undersøgelsen af en hård model. Ellers vil anvendelsen af de opnåede resultater i undersøgelsen af den stive model kræve yderligere forskning. For eksempel er løsningen til ligningen for en harmonisk oscillator funktioner af formen

Det vil sige svingninger med konstant amplitude. Følger det heraf, at en rigtig oscillator vil oscillere i det uendelige med en konstant amplitude? Nej, for i betragtning af et system med en vilkårligt lille friktion, får vi dæmpede svingninger. Systemets adfærd har ændret sig kvalitativt.

Hvis et system bevarer sin kvalitative adfærd under en lille forstyrrelse, siges det at være strukturelt stabilt. Den harmoniske oscillator er et eksempel på et strukturelt ustabilt system. Denne model kan dog bruges til at studere processer over begrænsede tidsintervaller.

Model alsidighed.

De vigtigste matematiske modeller har normalt en vigtig egenskab ved universalitet: fundamentalt forskellige virkelige fænomener kan beskrives af den samme matematiske model. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke kun opførselen af en belastning på en fjeder, men også andre oscillatoriske processer, ofte af en helt anden karakter: små svingninger af et pendul, udsving i væskeniveauet i et U-formet kar, eller en ændring i strømstyrken i et oscillerende kredsløb. Når vi studerer en matematisk model, studerer vi på én gang en hel klasse af fænomener beskrevet af den. Det er denne isomorfi af lovene udtrykt af matematiske modeller i forskellige segmenter af videnskabelig viden, der fik Ludwig von Bertalanffy til at skabe den generelle systemteori.

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

kroppe fra forskellige materialer, er hvert materiale specificeret som dets standard mekaniske idealisering, hvorefter ligninger kompileres, undervejs kasseres nogle detaljer som uvæsentlige, der foretages beregninger, sammenlignes med målinger, modellen forfines og så videre. Men for udviklingen af matematiske modelleringsteknologier er det nyttigt at adskille denne proces i dens hovedbestanddele.

Traditionelt er der to hovedklasser af problemer forbundet med matematiske modeller: direkte og omvendt.

Direkte opgave: strukturen af modellen og alle dens parametre anses for kendte, hovedopgaven er at studere modellen for at udtrække nyttig viden om objektet. Hvilken statisk belastning kan broen modstå? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning, hvordan flyet vil overvinde lydmuren, om det vil falde fra hinanden fra flagren - det er typiske eksempler på et direkte problem. Formuleringen af et korrekt direkte problem kræver særlig dygtighed. Hvis de rigtige spørgsmål ikke stilles, kan broen bryde sammen, selvom der er bygget en god model for dens adfærd. Så i 1879 i Det Forenede Kongerige kollapsede en metalbro over floden Tey, hvis designere byggede en model af broen, beregnede den til en 20-dobbelt sikkerhedsmargen for nyttelasten, men glemte vinden, der konstant blæste i disse. steder. Og efter halvandet år brød det sammen.

V I det simpleste tilfælde er det direkte problem meget simpelt og reduceres til en eksplicit løsning af denne ligning.

Omvendt problem: et sæt mulige modeller er kendt, det er nødvendigt at vælge en specifik model baseret på yderligere data om objektet. Oftest er modellens struktur kendt, og nogle ukendte parametre skal bestemmes. Yderligere information kan bestå i yderligere empiriske data eller i kravene til objektet. Yderligere data kan komme uafhængigt af processen med at løse det omvendte problem eller være resultatet af et eksperiment, der er specielt planlagt i løbet af løsningen.

Et af de første eksempler på en virtuos løsning af et omvendt problem med størst mulig brug af tilgængelige data var metoden konstrueret af I. Newton til at rekonstruere friktionskræfter fra observerede dæmpede svingninger.

V Et andet eksempel er matematisk statistik. Denne videnskabs opgave er udviklingen af metoder til registrering, beskrivelse og analyse af observations- og eksperimentelle data for at opbygge probabilistiske modeller af tilfældige massefænomener. De der. sættet af mulige modeller er begrænset af probabilistiske modeller. I specifikke problemer er sættet af modeller mere begrænset.

Computersystemer til modellering.

For at understøtte matematisk modellering er der udviklet computermatematiske systemer, for eksempel Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim osv. De giver dig mulighed for at skabe formelle og blokmodeller af både simple og komplekse processer og enheder og nemt ændre modelparametre i løbet af simulering. Blokmodeller er repræsenteret af blokke, hvis sæt og forbindelse er specificeret af modeldiagrammet.

Yderligere eksempler.

Væksthastigheden er proportional med den nuværende befolkningsstørrelse. Det er beskrevet af differentialligningen

hvor α er en parameter bestemt af forskellen mellem fertilitet og dødelighed. Løsningen til denne ligning er eksponentialfunktionen x = x0 e. Hvis fødselsraten overstiger dødsraten, stiger befolkningens størrelse uendeligt og meget hurtigt. Det er klart, at dette i virkeligheden ikke kan ske på grund af det begrænsede

ressourcer. Når en vis kritisk populationsstørrelse er nået, holder modellen op med at være tilstrækkelig, da den ikke tager højde for de begrænsede ressourcer. En forfining af Malthus-modellen kan være den logistiske model, som er beskrevet af Verhulst differentialligning

hvor xs er "ligevægts" befolkningsstørrelsen, hvor fødselsraten er nøjagtigt kompenseret af dødsraten. Populationsstørrelsen i en sådan model har tendens til ligevægtsværdien xs, og denne adfærd er strukturelt stabil.

Lad os antage, at to slags dyr lever i et bestemt territorium: kaniner og ræve. Lad antallet af kaniner være x, antallet af ræve y. Ved at bruge Malthus-modellen med de nødvendige korrektioner, under hensyntagen til ræves spisning af kaniner, kommer vi frem til følgende system, som bærer navnet på Lotka-Volterra-modellen:

Dette system har en ligevægtstilstand, når antallet af kaniner og ræve er konstant. Afvigelse fra denne tilstand fører til fluktuationer i antallet af kaniner og ræve, svarende til fluktuationer i den harmoniske oscillator. Som i tilfældet med en harmonisk oscillator er denne adfærd ikke strukturelt stabil: En lille ændring i modellen kan føre til en kvalitativ ændring i adfærd. For eksempel kan ligevægtstilstanden blive stabil, og befolkningsudsving vil falme. Den modsatte situation er også mulig, når enhver lille afvigelse fra ligevægtspositionen vil føre til katastrofale konsekvenser, op til den fuldstændige udryddelse af en af arterne. På spørgsmålet om, hvilket af disse scenarier, der realiseres, giver Volterra-Lotka-modellen ikke et svar: yderligere forskning er påkrævet her.

Første niveau

Matematiske modeller ved OGE og Unified State Examination (2019)

Begrebet en matematisk model

Forestil dig et fly: vinger, skrog, hale, alt dette sammen - et rigtig stort, enormt, helt fly. Og du kan lave en model af et fly, lille, men alt er ægte, de samme vinger osv., men kompakt. Det samme er den matematiske model. Der er et tekstproblem, besværligt, man kan se på det, læse det, men ikke helt forstå det, og endnu mere er det ikke klart, hvordan man løser det. Men hvad nu hvis vi laver en lille model af det, en matematisk model, ud af en stor verbal opgave? Hvad betyder matematisk? Så ved at bruge reglerne og lovene for matematisk notation, omskab teksten til en logisk korrekt repræsentation ved hjælp af tal og aritmetiske tegn. Så, En matematisk model er en repræsentation af en virkelig situation ved hjælp af et matematisk sprog.

Lad os starte enkelt: Tallet er større end tallet med. Vi skal skrive det ned uden at bruge ord, kun matematikkens sprog. Hvis mere med, så viser det sig, at hvis vi trækker fra, så vil selve forskellen mellem disse tal forblive ens. De der. eller. Har du essensen?

Nu er det mere kompliceret, nu kommer der en tekst, som du skal prøve at præsentere i form af en matematisk model, indtil du læser, hvordan jeg vil gøre det, prøv selv! Der er fire tal: , og. Et produkt og flere produkter og to gange.

Hvad skete der?

I form af en matematisk model vil det se sådan ud:

De der. produktet er relateret til som to til én, men dette kan forenkles yderligere:

Nå, med simple eksempler forstår du vel pointen. Lad os gå videre til fuldgyldige opgaver, hvor disse matematiske modeller også skal løses! Her er opgaven.

Matematisk model i praksis

Opgave 1

Efter regn kan vandstanden i brønden stige. Drengen måler tidspunktet for faldende småsten i brønden og beregner afstanden til vandet ved hjælp af formlen, hvor er afstanden i meter og er faldtidspunktet i sekunder. Før regnen var tidspunktet for småstenens fald s. Hvor meget skal vandstanden stige efter regnen, for at den målte tid kan ændre sig til s? Udtryk dit svar i meter.

Åh gud! Hvilke formler, hvilken slags brønd, hvad sker der, hvad skal man gøre? Læste jeg dine tanker? Slap af, i opgaver af denne type er forholdene endnu mere forfærdelige, det vigtigste at huske er, at du i denne opgave er interesseret i formler og forhold mellem variabler, og hvad alt dette betyder i de fleste tilfælde er ikke særlig vigtigt. Hvad ser du nyttigt her? ser jeg personligt. Princippet for at løse disse problemer er som følger: du tager alle kendte mængder og erstatter dem.Men nogle gange skal man tænke!

Efter mit første råd og erstatter alle de kendte i ligningen, får vi:

Det var mig, der erstattede tidspunktet for den anden og fandt den højde, som stenen fløj før regnen. Og nu skal vi tælle efter regnen og finde forskellen!

Lyt nu til det andet råd og tænk over det, spørgsmålet specificerer "hvor meget vandstanden skal stige efter regn, for at den målte tid ændres med s". Du skal finde ud af det med det samme, såååå, efter regnen stiger vandstanden, hvilket betyder, at tiden for stenen at falde til vandstanden er kortere, og her tager den udsmykkede sætning "så den målte tid ændrer sig" på en bestemt betydning: faldtiden øges ikke, men reduceres med de angivne sekunder. Det betyder, at i tilfælde af et kast efter regnen, skal vi blot trække c fra den indledende tid c, og vi får ligningen for højden, som stenen vil flyve efter regnen:

Og endelig, for at finde ud af, hvor meget vandstanden skal stige efter regnen, så den målte tid ændres med s, skal du blot trække den anden fra den første faldhøjde!

Vi får svaret: pr meter.

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret, vigtigst af alt, lad være med at genere for meget, hvor en sådan uforståelig og til tider kompleks ligning kom fra i forhold til betingelserne og hvad alt i den betyder, tag mit ord for det, de fleste af disse ligninger er taget fra fysikken, og der er junglen værre end i algebra. Nogle gange forekommer det mig, at disse opgaver blev opfundet for at skræmme den studerende ved eksamen med en overflod af komplekse formler og udtryk, og i de fleste tilfælde kræver de næsten ingen viden. Læs blot betingelsen omhyggeligt og erstat de kendte værdier i formlen!

Her er et andet problem, ikke længere inden for fysik, men fra den økonomiske teoris verden, selvom kendskab til andre videnskaber end matematik igen ikke er påkrævet her.

Opgave 2

Afhængigheden af mængden af efterspørgsel (enheder pr. måned) for produkter fra en monopolvirksomhed af prisen (tusind rubler) er givet ved formlen

Virksomhedens månedlige omsætning (i tusind rubler) beregnes ved hjælp af formlen. Bestem den højeste pris, hvor den månedlige omsætning vil være mindst tusind rubler. Giv svaret i tusind rubler.

Gæt hvad jeg skal gøre nu? Ja, jeg begynder at erstatte det, vi ved, men igen, du skal stadig tænke lidt. Lad os gå fra slutningen, vi skal finde ud af, hvor. Så der er, lig med nogle, vi finder, hvad det ellers er lig med, og det er lige, og vi vil skrive det ned. Som du kan se, bekymrer jeg mig ikke specielt om betydningen af alle disse mængder, jeg ser bare ud fra betingelserne, hvad der er lig med hvad, det er det, du skal gøre. Lad os vende tilbage til opgaven, du har den allerede, men som du husker, fra en ligning med to variable, kan ingen af dem findes, hvad skal man gøre? Ja, vi har stadig en ubrugt partikel i tilstanden. Her er der allerede to ligninger og to variable, hvilket betyder, at nu kan begge variable findes – fantastisk!

Kan du løse sådan et system?

Vi løser ved substitution, vi har allerede udtrykt det, hvilket betyder, at vi vil erstatte det i den første ligning og forenkle det.

Det viser sig her er sådan en andengradsligning: , vi løser, rødderne er sådan her, . I opgaven er det påkrævet at finde den højeste pris, hvortil alle de betingelser, som vi tog højde for, da vi kompilerede systemet, vil være opfyldt. Åh, det viser sig, at det var prisen. Fedt, så vi fandt priserne: og. Den højeste pris, siger du? Okay, den største af dem, selvfølgelig, vi skriver det som svar. Nå, er det svært? Det tror jeg ikke, og du behøver ikke dykke for meget i det!

Og her er en skræmmende fysik til dig, eller rettere sagt et andet problem:

Opgave 3

For at bestemme stjernernes effektive temperatur bruges Stefan-Boltzmann-loven, ifølge hvilken, hvor er stjernens strålingsstyrke, er en konstant, er stjernens overfladeareal og er temperaturen. Det er kendt, at overfladearealet af en bestemt stjerne er lig, og styrken af dens stråling er lig med W. Find temperaturen på denne stjerne i grader Kelvin.

Hvor er det klart? Ja, betingelsen siger, hvad der er lig med hvad. Tidligere anbefalede jeg, at alle ukendte straks blev erstattet, men her er det bedre først at udtrykke det ukendte, der søges. Se hvor simpelt alt er: der er en formel, og de er kendt i den, og (dette er det græske bogstav "sigma". Generelt elsker fysikere græske bogstaver, væn dig til det). Temperaturen er ukendt. Lad os udtrykke det i form af en formel. Hvordan gør jeg det, håber du ved? Sådanne opgaver til GIA i klasse 9 giver normalt:

Nu er det tilbage at erstatte tal i stedet for bogstaver på højre side og forenkle:

Her er svaret: grader Kelvin! Og hvilken frygtelig opgave det var!

Vi fortsætter med at plage problemer i fysik.

Opgave 4

Højden over jorden på en bold, der kastes op, ændres ifølge loven, hvor er højden i meter, er den tid i sekunder, der er forløbet siden kastet. Hvor mange sekunder vil bolden være i en højde af mindst tre meter?

Det var alle ligningerne, men her er det nødvendigt at bestemme, hvor meget bolden var i en højde på mindst tre meter, hvilket betyder i en højde. Hvad skal vi lave? Ulighed, ja! Vi har en funktion der beskriver hvordan bolden flyver, hvor er præcis den samme højde i meter, vi skal bruge højden. Midler

Og nu løser du bare uligheden, vigtigst af alt, glem ikke at ændre ulighedstegnet fra mere eller lig til mindre eller lig, når du ganger med begge dele af uligheden for at slippe af med minus foran.

Her er rødderne, vi bygger intervaller for ulighed:

Vi er interesserede i intervallet, hvor tegnet er minus, da uligheden tager negative værdier der, er dette fra til begge inklusive. Og nu tænder vi hjernen og tænker os godt om: for ulighed brugte vi en ligning, der beskriver boldens flugt, den flyver på en eller anden måde langs en parabel, dvs. den letter, når en top og falder, hvordan forstår man hvor lang den vil være i en højde på mindst meter? Vi fandt 2 vendepunkter, dvs. det øjeblik, hvor den svæver over meter og det øjeblik, hvor den når samme mærke, mens den falder, kommer disse to punkter til udtryk i vores form i form af tid, dvs. vi ved, i hvilket sekund af flyvningen den kom ind i den zone, der er af interesse for os (over meter), og hvor den forlod den (faldt under metermærket). Hvor mange sekunder var han i denne zone? Det er logisk, at vi tager tidspunktet for udrejse fra zonen og trækker tidspunktet for indrejse i denne zone fra det. Derfor: - så meget han var i zonen over meter, dette er svaret.

Du er så heldig, at de fleste eksempler på dette emne kan tages fra kategorien af problemer i fysik, så tag et til, det er det sidste, så pres dig selv, der er meget lidt tilbage!

Opgave 5

For et varmeelement af en bestemt enhed blev temperaturafhængigheden af driftstiden eksperimentelt opnået:

Hvor er tiden i minutter. Det er kendt, at ved en temperatur af varmeelementet over enheden kan forringes, så den skal slukkes. Find den maksimale tid efter arbejdets start til at slukke for enheden. Udtryk dit svar på få minutter.

Vi handler efter en veletableret ordning, alt hvad der er givet, skriver vi først ud:

Nu tager vi formlen og sidestiller den med den temperaturværdi, som enheden kan opvarmes til så meget som muligt, indtil den brænder ud, det vil sige:

Nu erstatter vi tal i stedet for bogstaver, hvor de er kendt:

Som du kan se, er temperaturen under drift af enheden beskrevet af en andengradsligning, hvilket betyder, at den er fordelt langs en parabel, dvs. enheden varmer op til en bestemt temperatur og køler derefter ned. Vi modtog svar, og derfor er temperaturen under og under minutter med opvarmning kritisk, men mellem og minutter er den endda højere end grænsen!

Så du skal slukke for enheden efter et minut.

MATEMATISKE MODELLER. KORT OM DE VIGTIGSTE

Oftest bruges matematiske modeller i fysik: trods alt skulle du sandsynligvis lære snesevis af fysiske formler udenad. Og formlen er den matematiske repræsentation af situationen.

I OGE og Unified State Examination er der opgaver netop om dette emne. I USE (profilen) er dette opgave nummer 11 (tidligere B12). I OGE - opgave nummer 20.

Løsningsskemaet er indlysende:

1) Fra teksten til betingelsen er det nødvendigt at "isolere" nyttig information - hvad vi skriver i fysikproblemer under ordet "Given". Denne nyttige information er:

Formel
Kendte fysiske mængder.

Det vil sige, at hvert bogstav fra formlen skal tildeles et bestemt nummer.

2) Tag alle de kendte mængder og indsæt dem i formlen. Den ukendte værdi forbliver som et bogstav. Nu mangler du bare at løse ligningen (som regel ret simpelt), og svaret er klar.

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, så er du meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du har læst til ende, så er du i de 5%!

Nu det vigtigste.

Du har fundet ud af teorien om dette emne. Og jeg gentager, det er ... det er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For en vellykket beståelse af eksamen, for optagelse på instituttet på budgettet og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige en ting ...

Folk, der har fået en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke har fået den. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi der åbner sig mange flere muligheder, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre til eksamen og i sidste ende være ... gladere?

FYLD DIN HÅND, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNE.

På eksamen bliver du ikke spurgt om teori.

Du får brug for løse problemer til tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MASSER!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke klare det i tide.

Det er ligesom i sport - du skal gentage mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (ikke nødvendigt), og vi anbefaler dem bestemt.

For at få en hånd med ved hjælp af vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, som du læser i øjeblikket.

Hvordan? Der er to muligheder:

Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 rub.
Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i selvstudiet - 999 gnid.

Ja, vi har 99 sådanne artikler i lærebogen og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

I det andet tilfælde vi vil give dig simulator "6000 opgaver med løsninger og svar, for hvert emne, for alle niveauer af kompleksitet." Det er bestemt nok at få hånden på at løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette meget mere end blot en simulator - et helt træningsprogram. Hvis det er nødvendigt, kan du også bruge det GRATIS.

Adgang til alle tekster og programmer er givet i hele webstedets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke med teori.

"Forstået" og "Jeg ved, hvordan man løser" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs!

Ifølge lærebogen fra Sovetov og Yakovlev: "en model (lat. modulus - mål) er en genstandserstatning af det originale objekt, der giver studiet af nogle af originalens egenskaber." (s. 6) "At udskifte et objekt med et andet for at få information om de vigtigste egenskaber ved det originale objekt ved hjælp af modelobjektet kaldes modellering." (s. 6) "Under matematisk modellering vil vi forstå processen med at etablere korrespondance til et givet virkeligt objekt af et matematisk objekt, kaldet en matematisk model, og studiet af denne model, som gør det muligt at opnå karakteristika for det reelle objekt, der overvejes . Typen af matematisk model afhænger af både arten af det virkelige objekt og opgaverne med at studere objektet og den nødvendige pålidelighed og nøjagtighed til at løse dette problem."

Til sidst den mest kortfattede definition af en matematisk model: "En ligning, der udtrykker en idé."

Modelklassificering

Formel klassificering af modeller

etc. Hver konstrueret model er lineær eller ikke-lineær, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligvis er blandede typer også mulige: koncentreret i én henseende (i forhold til parametre), distribuerede modeller i en anden osv.

Klassificering efter den måde, objektet er repræsenteret på

Sammen med den formelle klassificering adskiller modellerne sig i den måde, de repræsenterer objektet på:

Strukturelle eller funktionelle modeller

Strukturelle modeller repræsenterer et objekt som et system med sin egen enhed og funktionsmekanisme. Funktionelle modeller bruger ikke sådanne repræsentationer og afspejler kun den eksternt opfattede adfærd (funktion) af objektet. I deres ekstreme udtryk kaldes de også "black box" modeller. Kombinerede typer modeller er også mulige, som nogle gange kaldes "grey box" modeller.

Indhold og formelle modeller

Næsten alle forfattere, der beskriver processen med matematisk modellering, indikerer, at der først bygges en særlig ideel konstruktion, indholdsmodel. Der er ingen etableret terminologi her, og andre forfattere kalder dette idealobjekt konceptuel model , spekulativ model eller præmodel. I dette tilfælde kaldes den endelige matematiske konstruktion formel model eller blot en matematisk model opnået som et resultat af formaliseringen af denne indholdsmodel (præ-model). Konstruktionen af en meningsfuld model kan ske ved hjælp af et sæt færdige idealiseringer, som i mekanik, hvor ideelle fjedre, stive kroppe, ideelle penduler, elastiske medier osv. giver færdige strukturelle elementer til meningsfuld modellering. Men på vidensområder, hvor der ikke er fuldt udfyldte formaliserede teorier (forkanten af fysik, biologi, økonomi, sociologi, psykologi og de fleste andre områder), er skabelsen af meningsfulde modeller dramatisk mere kompliceret.

Meningsfuld klassificering af modeller

Ingen hypotese i videnskaben kan bevises én gang for alle. Richard Feynman udtrykte det meget klart:

”Vi har altid evnen til at modbevise en teori, men bemærk, at vi aldrig kan bevise, at den er korrekt. Lad os antage, at du fremsætter en vellykket hypotese, beregnet, hvor den fører hen, og fandt ud af, at alle dens konsekvenser bekræftes eksperimentelt. Betyder det, at din teori er korrekt? Nej, det betyder blot, at du undlod at modbevise det.

Type 2: Fænomenologisk model (opføre sig som om…)

Modellens rolle i forskningen kan ændre sig over tid, det kan ske, at nye data og teorier bekræfter fænomenologiske modeller, og de forfremmes til status som en hypotese. Ligeledes kan ny viden gradvist komme i konflikt med modeller-hypoteser af den første type, og de kan overføres til den anden. Kvarkmodellen bevæger sig således gradvist ind i kategorien hypoteser; atomismen i fysikken opstod som en midlertidig løsning, men med historiens gang gik den over i den første type. Men ætermodellerne er gået fra type 1 til type 2, og nu er de uden for videnskaben.

Ideen om forenkling er meget populær, når man bygger modeller. Men forenkling er anderledes. Peierls skelner mellem tre typer forenklinger i modellering.

Type 3: Tilnærmelse (noget anses for meget stort eller meget lille)

Hvis det er muligt at konstruere ligninger, der beskriver det undersøgte system, betyder det ikke, at de kan løses selv ved hjælp af en computer. En almindelig teknik i dette tilfælde er brugen af tilnærmelser (modeller af type 3). Blandt dem lineære responsmodeller. Ligningerne erstattes af lineære. Standardeksemplet er Ohms lov.

Og her er type 8, som er meget brugt i matematiske modeller af biologiske systemer.

Type 8: Mulighed demonstration (det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng)

Disse er også tankeeksperimenter med imaginære entiteter, der viser det formodet fænomen i overensstemmelse med grundlæggende principper og internt konsistent. Dette er hovedforskellen fra modeller af type 7, som afslører skjulte modsætninger.

Et af de mest berømte af disse eksperimenter er Lobachevskys geometri (Lobachevsky kaldte det "imaginær geometri"). Et andet eksempel er masseproduktionen af formelt kinetiske modeller af kemiske og biologiske svingninger, autobølger osv. Einstein-Podolsky-Rosen-paradokset blev udtænkt som en type 7-model for at demonstrere inkonsistensen i kvantemekanikken. Helt uplanlagt blev det til sidst til en type 8-model – en demonstration af muligheden for kvanteteleportering af information.

Eksempel

Overvej et mekanisk system bestående af en fjeder fastgjort i den ene ende og en massebelastning m fastgjort til den frie ende af fjederen. Vi vil antage, at belastningen kun kan bevæge sig i retning af fjederaksen (for eksempel sker bevægelsen langs stangen). Lad os konstruere en matematisk model af dette system. Vi vil beskrive systemets tilstand ved afstanden x fra midten af lasten til dens ligevægtsposition. Lad os beskrive samspillet mellem en fjeder og en belastning ved hjælp af Hookes lov (F = − kx ) hvorefter vi bruger Newtons anden lov til at udtrykke den i form af en differentialligning:

hvor betyder den anden afledte af x Med tiden: .

Den resulterende ligning beskriver den matematiske model af det betragtede fysiske system. Dette mønster kaldes den "harmoniske oscillator".

Ifølge den formelle klassifikation er denne model lineær, deterministisk, dynamisk, koncentreret, kontinuerlig. I processen med at konstruere det, gjorde vi mange antagelser (om fraværet af ydre kræfter, fraværet af friktion, små afvigelser osv.), som i virkeligheden måske ikke er opfyldt.

I forhold til virkeligheden er der oftest tale om en type 4 model. forenkling("vi udelader nogle detaljer for klarhedens skyld"), da nogle væsentlige universelle træk (f.eks. dissipation) er udeladt. I en vis tilnærmelse (f.eks. så længe belastningens afvigelse fra ligevægt er lille, med lille friktion, i ikke for lang tid og underlagt visse andre forhold), beskriver en sådan model et rigtigt mekanisk system ganske godt, da kasserede faktorer har en ubetydelig effekt på dens adfærd. Modellen kan dog finpudses ved at tage højde for nogle af disse faktorer. Dette vil føre til en ny model med et bredere (men igen begrænset) anvendelsesområde.

Hårde og bløde modeller

Her - en funktion, som kan tage højde for friktionskraften eller afhængigheden af fjederens stivhedskoefficient på graden af dens strækning - en lille parameter. Eksplicit form af en funktion f vi er ikke interesserede i øjeblikket. Hvis vi beviser, at en blød models adfærd ikke adskiller sig fundamentalt fra en hård (uanset den eksplicitte form af de forstyrrende faktorer, hvis de er små nok), vil problemet blive reduceret til at studere den hårde model. Ellers vil anvendelsen af de opnåede resultater i undersøgelsen af den stive model kræve yderligere forskning. For eksempel er løsningen til ligningen for en harmonisk oscillator funktioner af formen , det vil sige svingninger med en konstant amplitude. Følger det heraf, at en rigtig oscillator vil oscillere i det uendelige med en konstant amplitude? Nej, for i betragtning af et system med en vilkårligt lille friktion (altid til stede i et rigtigt system), får vi dæmpede svingninger. Systemets adfærd har ændret sig kvalitativt.

Hvis et system bevarer sin kvalitative adfærd under en lille forstyrrelse, siges det at være strukturelt stabilt. Den harmoniske oscillator er et eksempel på et strukturelt ustabilt (ikke-ru) system. Denne model kan dog bruges til at studere processer over begrænsede tidsintervaller.

Universalitet af modeller

De vigtigste matematiske modeller har normalt den vigtige egenskab universalitet: fundamentalt forskellige virkelige fænomener kan beskrives ved den samme matematiske model. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke kun opførselen af en belastning på en fjeder, men også andre oscillatoriske processer, ofte af en helt anden karakter: små svingninger af et pendul, udsving i væskeniveauet i U-formet kar eller en ændring i strømstyrken i svingningskredsløbet. Når vi studerer en matematisk model, studerer vi på én gang en hel klasse af fænomener beskrevet af den. Det er denne isomorfi af lovene udtrykt af matematiske modeller i forskellige segmenter af videnskabelig viden, der fik Ludwig von Bertalanffy til at skabe "den generelle systemteori".

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

Der er mange problemer forbundet med matematisk modellering. For det første er det nødvendigt at komme med det grundlæggende skema for det objekt, der modelleres, for at gengive det inden for rammerne af denne videnskabs idealiseringer. Så en togvogn bliver til et system af plader og mere komplekse kroppe lavet af forskellige materialer, hvert materiale er givet som dets standard mekaniske idealisering (densitet, elasticitetsmoduler, standard styrkekarakteristika), hvorefter ligninger tegnes undervejs nogle detaljer kasseres som uvæsentlige, der foretages beregninger, sammenlignes med målinger, modellen forfines, og så videre. Men for udviklingen af matematiske modelleringsteknologier er det nyttigt at adskille denne proces i dens hovedbestanddele.

Traditionelt er der to hovedklasser af problemer forbundet med matematiske modeller: direkte og omvendt.

Direkte problem: strukturen af modellen og alle dens parametre anses for kendte, hovedopgaven er at studere modellen for at udtrække nyttig viden om objektet. Hvilken statisk belastning kan broen modstå? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning (for eksempel på march af et kompagni af soldater eller på passage af et tog med forskellige hastigheder), hvordan flyet vil overvinde lydmuren, om det vil falde fra hinanden fra flagren - disse er typiske eksempler på en direkte opgave. At indstille det korrekte direkte problem (at stille det rigtige spørgsmål) kræver særlige færdigheder. Hvis de rigtige spørgsmål ikke stilles, kan broen bryde sammen, selvom der er bygget en god model for dens adfærd. Så i 1879 i England kollapsede en metalbro over floden Tey, hvis designere byggede en model af broen, beregnede den for en 20-dobbelt sikkerhedsmargin for nyttelasten, men glemte vinden, der konstant blæser i disse. steder. Og efter halvandet år brød det sammen.

I det simpleste tilfælde (f.eks. én oscillatorligning) er det direkte problem meget simpelt og reduceres til en eksplicit løsning af denne ligning.

Omvendt problem: mange mulige modeller er kendt, det er nødvendigt at vælge en specifik model baseret på yderligere data om objektet. Oftest er modellens struktur kendt, og nogle ukendte parametre skal bestemmes. Yderligere information kan bestå i yderligere empiriske data eller i kravene til objektet ( design opgave). Yderligere data kan komme uanset processen med at løse det omvendte problem ( passiv observation) eller være resultatet af et eksperiment, der er specielt planlagt i løbet af løsningen ( aktiv overvågning).

Yderligere eksempler

hvor x s- "ligevægts" befolkningsstørrelse, hvor fødselsraten nøjagtigt kompenseres af dødsraten. Populationsstørrelsen i en sådan model har tendens til ligevægtsværdien x s, og denne adfærd er strukturelt stabil.

Dette system har en ligevægtstilstand, hvor antallet af kaniner og ræve er konstant. Afvigelse fra denne tilstand fører til fluktuationer i antallet af kaniner og ræve, svarende til fluktuationer i den harmoniske oscillator. Som i tilfældet med den harmoniske oscillator er denne adfærd ikke strukturelt stabil: en lille ændring i modellen (for eksempel under hensyntagen til de begrænsede ressourcer, som kaniner har brug for) kan føre til en kvalitativ ændring i adfærd. For eksempel kan ligevægtstilstanden blive stabil, og befolkningsudsving vil falme. Den modsatte situation er også mulig, når enhver lille afvigelse fra ligevægtspositionen vil føre til katastrofale konsekvenser, op til den fuldstændige udryddelse af en af arterne. På spørgsmålet om, hvilket af disse scenarier, der realiseres, giver Volterra-Lotka-modellen ikke et svar: yderligere forskning er påkrævet her.

Noter

"En matematisk fremstilling af virkeligheden" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I.B., Om filosofiske spørgsmål om kybernetisk modellering. M., Viden, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Systemmodellering: Proc. for universiteter - 3. udg., revideret. og yderligere - M.: Højere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matematisk modellering. Ideer. Metoder. Eksempler. . - 2. udg., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 med ISBN 978-5-484-00953-4
Wiktionary: matematiske modeller
Cliffs Notes
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"En teori anses for at være lineær eller ikke-lineær, afhængigt af hvilket - lineært eller ikke-lineært - matematisk apparat, hvilke - lineære eller ikke-lineære - matematiske modeller den bruger. ... uden at benægte det sidste. En moderne fysiker, hvis han tilfældigvis redefinerede en så vigtig entitet som ikke-linearitet, ville højst sandsynligt handle anderledes, og ville foretrække ikke-linearitet som den vigtigste og mest almindelige af de to modsætninger, definere linearitet som "ikke-ikke-linearitet". linearitet”. Danilov Yu. A., Forelæsninger om ikke-lineær dynamik. Elementær introduktion. Synergetik: fra fortiden til fremtidens serie. Udg.2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
"Dynamiske systemer modelleret af et endeligt antal almindelige differentialligninger kaldes klumpsystemer eller punktsystemer. De er beskrevet ved hjælp af et endeligt dimensionelt faserum og er karakteriseret ved et endeligt antal frihedsgrader. Et og samme system under forskellige forhold kan betragtes som enten koncentreret eller distribueret. Matematiske modeller af distribuerede systemer er partielle differentialligninger, integralligninger eller almindelige forsinkelsesligninger. Antallet af frihedsgrader for et distribueret system er uendeligt, og der kræves et uendeligt antal data for at bestemme dets tilstand. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, nr. 11, s. 77-84.
”Afhængig af karakteren af de undersøgte processer i systemet S, kan alle typer modellering opdeles i deterministisk og stokastisk, statisk og dynamisk, diskret, kontinuert og diskret-kontinuerlig. Deterministisk modellering viser deterministiske processer, det vil sige processer, hvor fraværet af tilfældige påvirkninger antages; stokastisk modellering viser probabilistiske processer og hændelser. … Statisk modellering bruges til at beskrive et objekts adfærd på ethvert tidspunkt, mens dynamisk modellering afspejler et objekts adfærd over tid. Diskret modellering tjener til at beskrive processer, der antages at være diskrete, henholdsvis kontinuert modellering giver mulighed for at afspejle kontinuerlige processer i systemer, og diskret-kontinuerlig modellering bruges til tilfælde, hvor man ønsker at fremhæve tilstedeværelsen af både diskrete og kontinuerte processer. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Systemmodellering: Proc. for universiteter - 3. udg., revideret. og yderligere - M.: Højere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Normalt afspejler den matematiske model strukturen (arrangementet) af det objekt, der modelleres, egenskaberne og sammenkoblingerne af komponenterne i dette objekt, som er væsentlige for undersøgelsens formål; sådan en model kaldes strukturel. Hvis modellen kun afspejler, hvordan objektet fungerer - for eksempel hvordan det reagerer på ydre påvirkninger - så kaldes det en funktionel eller billedligt talt en sort boks. Kombinerede modeller er også mulige. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 med ISBN 978-5-484-00953-4
"Det er klart, men det vigtigste indledende trin i at konstruere eller vælge en matematisk model er at opnå den klarest mulige idé om objektet, der modelleres, og at forfine dens indholdsmodel baseret på uformelle diskussioner. Der bør ikke spares på tid og kræfter på dette stadium; succesen af hele undersøgelsen afhænger i høj grad af det. Mere end én gang skete det, at betydeligt arbejde brugt på at løse et matematisk problem viste sig at være ineffektivt eller endda spildt på grund af utilstrækkelig opmærksomhed på denne side af sagen. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. udg., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 med ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
« Beskrivelse af systemets konceptuelle model. På dette delstadium af opbygningen af en systemmodel: a) er den konceptuelle model M beskrevet i abstrakte termer og begreber; b) en beskrivelse af modellen er givet ved brug af typiske matematiske skemaer; c) hypoteser og antagelser er endeligt accepteret; d) valget af en procedure for tilnærmelse af reelle processer ved opbygning af en model er begrundet. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Systemmodellering: Proc. for universiteter - 3. udg., revideret. og yderligere - M.: Højere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

Begrebet model og simulering.

Model i bred forstand- dette er ethvert billede, analog til et mentalt eller etableret billede, beskrivelse, diagram, tegning, kort osv. af enhver volumen, proces eller fænomen, brugt som dets erstatning eller repræsentant. Selve objektet, processen eller fænomenet kaldes originalen af denne model.

Modellering - dette er studiet af ethvert objekt eller system af objekter ved at bygge og studere deres modeller. Dette er brugen af modeller til at bestemme eller forfine egenskaberne og rationalisere måderne at konstruere nykonstruerede objekter på.

Enhver metode til videnskabelig forskning er baseret på ideen om modellering, samtidig bruges forskellige slags tegn, abstrakte modeller i teoretiske metoder, og emnemodeller bruges i eksperimentelle.

I undersøgelsen er et komplekst virkeligt fænomen erstattet af en forenklet kopi eller skema, nogle gange tjener en sådan kopi kun til at huske og genkende det ønskede fænomen ved det næste møde. Nogle gange afspejler det konstruerede skema nogle væsentlige funktioner, giver dig mulighed for at forstå fænomenets mekanisme, gør det muligt at forudsige dets ændring. Forskellige modeller kan svare til det samme fænomen.

Forskerens opgave er at forudsige fænomenets karakter og processens forløb.

Nogle gange sker det, at et objekt er tilgængeligt, men eksperimenter med det er dyre eller fører til alvorlige miljømæssige konsekvenser. Viden om sådanne processer opnås ved hjælp af modeller.

En vigtig pointe er, at selve naturvidenskaben involverer studiet af ikke ét specifikt fænomen, men en bred klasse af relaterede fænomener. Det indebærer behovet for at formulere nogle generelle kategoriske udsagn, som kaldes love. Naturligvis bliver mange detaljer forsømt med en sådan formulering. For mere tydeligt at identificere mønsteret går de bevidst efter forgrovning, idealisering, skematicitet, det vil sige, de studerer ikke selve fænomenet, men en mere eller mindre nøjagtig kopi eller model af det. Alle love er love om modeller, og derfor er det ikke overraskende, at nogle videnskabelige teorier over tid viser sig at være ubrugelige. Dette fører ikke til videnskabens sammenbrud, da en model er blevet erstattet af en anden. mere moderne.

En særlig rolle i videnskaben spilles af matematiske modeller, byggematerialet og værktøjerne til disse modeller - matematiske begreber. De er akkumuleret og forbedret gennem tusinder af år. Moderne matematik giver usædvanligt kraftfulde og universelle forskningsmidler. Næsten hvert begreb i matematik, ethvert matematisk objekt, startende fra begrebet et tal, er en matematisk model. Når man konstruerer en matematisk model af et objekt eller fænomen, der undersøges, udskilles de af dets egenskaber, træk og detaljer, som på den ene side indeholder mere eller mindre fuldstændige oplysninger om objektet, og på den anden side tillader matematisk formalisering. Matematisk formalisering betyder, at et objekts egenskaber og detaljer kan forbindes med passende passende matematiske begreber: tal, funktioner, matricer og så videre. Derefter kan de forbindelser og sammenhænge, der findes og antages i det undersøgte objekt mellem dets individuelle dele og komponenter, skrives ved hjælp af matematiske sammenhænge: ligheder, uligheder, ligninger. Resultatet er en matematisk beskrivelse af den proces eller det fænomen, der undersøges, det vil sige dens matematiske model.

Studiet af en matematisk model er altid forbundet med nogle handlingsregler på de genstande, der undersøges. Disse regler afspejler forholdet mellem årsager og virkninger.

Opbygning af en matematisk model er en central fase i undersøgelsen eller design af ethvert system. Hele den efterfølgende analyse af objektet afhænger af modellens kvalitet. At bygge en model er ikke en formel procedure. Det afhænger stærkt af forskeren, hans erfaring og smag, er altid afhængig af bestemt eksperimentelt materiale. Modellen skal være nøjagtig nok, passende og skal være praktisk at bruge.

Matematisk modellering.

Klassificering af matematiske modeller.

Matematiske modeller kan værefast besluttet og stokastisk .

Deterministisk model og - disse er modeller, hvor der etableres en en-til-en overensstemmelse mellem de variabler, der beskriver et objekt eller et fænomen.

Denne tilgang er baseret på viden om mekanismen for funktion af objekter. Objektet, der modelleres, er ofte komplekst, og det kan være meget besværligt og tidskrævende at dechifrere dens mekanisme. I dette tilfælde fortsætter de som følger: eksperimenter udføres på originalen, resultaterne behandles, og uden at dykke ned i mekanismen og teorien for det modellerede objekt ved hjælp af metoderne til matematisk statistik og sandsynlighedsteori etablerer de sammenhænge mellem variablerne, der beskriver objektet. I dette tilfælde, fåstokastisk model . V stokastisk model, er forholdet mellem variabler tilfældigt, nogle gange sker det fundamentalt. Virkningen af et stort antal faktorer, deres kombination fører til et tilfældigt sæt variabler, der beskriver et objekt eller et fænomen. Af tilstandens natur er modellenstatistisk og dynamisk.

Statistiskmodelomfatter en beskrivelse af forholdet mellem hovedvariablerne for det simulerede objekt i steady state uden at tage højde for ændringen i parametre over tid.

V dynamiskmodellerbeskriver forholdet mellem hovedvariablerne for det simulerede objekt i overgangen fra en tilstand til en anden.

Modeller er diskret og sammenhængende, såvel som blandet type. V sammenhængende variabler tager værdier fra et bestemt interval, idiskretvariabler tager isolerede værdier.

Lineære modeller- alle funktioner og relationer, der beskriver modellen er lineært afhængige af variablerne ogikke lineærEllers.

Matematisk modellering.

Krav , præsenteret til modellerne.

1. Alsidighed- karakteriserer fuldstændigheden af displayet ved modellen af de undersøgte egenskaber af det virkelige objekt.

Tilstrækkelighed - evnen til at afspejle objektets ønskede egenskaber med en fejl, der ikke er højere end den angivne.
Nøjagtighed - estimeres ved graden af sammenfald af værdierne af egenskaberne for et rigtigt objekt og værdierne af disse egenskaber opnået ved hjælp af modeller.
Økonomi - bestemmes af omkostningerne ved computerhukommelsesressourcer og tid til implementering og drift.

Matematisk modellering.

De vigtigste stadier af modellering.

1. Beskrivelse af problemet.

Bestemmelse af formålet med analysen og måder at opnå det på og udvikle en fælles tilgang til det undersøgte problem. På dette stadium kræves en dyb forståelse af essensen af opgaven. Nogle gange er det ikke mindre svært at indstille en opgave korrekt end at løse den. Iscenesættelse er ikke en formel proces, der er ingen generelle regler.

2. Studiet af det teoretiske grundlag og indsamling af oplysninger om originalens genstand.

På dette stadium udvælges eller udvikles en passende teori. Hvis den ikke er til stede, etableres årsagssammenhænge mellem de variabler, der beskriver objektet. Input og output data bestemmes, forenklede antagelser er lavet.

3. Formalisering.

Det består i at vælge et system af symboler og bruge dem til at nedskrive forholdet mellem objektets komponenter i form af matematiske udtryk. Der etableres en klasse af opgaver, som den resulterende matematiske model af objektet kan henføres til. Værdierne for nogle parametre på dette stadium er muligvis ikke specificeret endnu.

4. Valg af løsningsmetode.

På dette stadium indstilles de endelige parametre for modellerne under hensyntagen til betingelserne for objektets drift. Til den opnåede matematiske opgave vælges en løsningsmetode eller udvikles en speciel metode. Når du vælger en metode, tages der hensyn til brugerens viden, hans præferencer samt udviklerens præferencer.

5. Implementering af modellen.

Efter at have udviklet en algoritme, skrives et program, der fejlsøges, testes, og der opnås en løsning på det ønskede problem.

6. Analyse af de modtagne oplysninger.

Den modtagne og forventede løsning sammenlignes, modelleringsfejlen kontrolleres.

7. Kontrol af tilstrækkeligheden af et rigtigt objekt.

Resultaterne opnået af modellen sammenlignesenten med de tilgængelige oplysninger om objektet, eller der udføres et eksperiment, og dets resultater sammenlignes med de beregnede.

Modelleringsprocessen er iterativ. I tilfælde af utilfredsstillende resultater af etaperne 6. eller 7. en tilbagevenden til et af de tidlige stadier, hvilket kan føre til udviklingen af en mislykket model, gennemføres. Dette trin og alle efterfølgende trin raffineres, og en sådan raffinering af modellen sker, indtil acceptable resultater er opnået.

En matematisk model er en omtrentlig beskrivelse af enhver klasse af fænomener eller objekter i den virkelige verden på matematiksproget. Hovedformålet med modellering er at udforske disse objekter og forudsige resultaterne af fremtidige observationer. Modellering er dog også en metode til erkendelse af omverdenen, som gør det muligt at kontrollere den.

Matematisk modellering og det tilhørende computereksperiment er uundværligt i tilfælde, hvor et fuldskalaforsøg er umuligt eller svært af den ene eller anden grund. For eksempel er det umuligt at opstille et fuldskala eksperiment i historien for at kontrollere "hvad ville ske, hvis..." Det er umuligt at kontrollere rigtigheden af denne eller hin kosmologiske teori. I princippet er det muligt, men næppe rimeligt, at eksperimentere med spredningen af en sygdom, såsom pesten, eller at udføre en atomeksplosion for at undersøge konsekvenserne heraf. Alt dette kan dog gøres på en computer, der tidligere har bygget matematiske modeller af de fænomener, der undersøges.

1.1.2 2. Hovedstadier af matematisk modellering

1) Modelbygning. På dette stadium er et eller andet "ikke-matematisk" objekt specificeret - et naturligt fænomen, konstruktion, økonomisk plan, produktionsproces osv. I dette tilfælde er en klar beskrivelse af situationen som regel vanskelig. Først identificeres hovedtræk ved fænomenet og forholdet mellem dem på et kvalitativt niveau. Derefter formuleres de fundne kvalitative afhængigheder i matematikkens sprog, det vil sige, at der bygges en matematisk model. Dette er den sværeste del af modelleringen.

2) Løsning af det matematiske problem, som modellen fører til. På dette stadium er der meget opmærksomhed på udviklingen af algoritmer og numeriske metoder til at løse problemet på en computer, ved hjælp af hvilke resultatet kan findes med den nødvendige nøjagtighed og inden for en acceptabel tid.

3) Fortolkning af de opnåede konsekvenser fra den matematiske model.Konsekvenserne afledt af modellen i matematiksproget fortolkes i det sprog, der er accepteret på dette felt.

4) Kontrol af modellens tilstrækkelighed.På dette stadie finder man ud af, om forsøgets resultater stemmer overens med de teoretiske konsekvenser fra modellen inden for en vis nøjagtighed.

5) Modelændring.På dette stadie bliver modellen enten mere kompleks, så den er mere adækvat til virkeligheden, eller også forenkles den for at opnå en praktisk acceptabel løsning.

1.1.3 3. Modelklassificering

Modeller kan klassificeres efter forskellige kriterier. For eksempel kan modellerne opdeles i funktionelle og strukturelle, afhængigt af arten af de problemer, der løses. I det første tilfælde udtrykkes alle mængder, der karakteriserer et fænomen eller objekt, kvantitativt. Samtidig betragtes nogle af dem som uafhængige variable, mens andre betragtes som funktioner af disse størrelser. En matematisk model er normalt et system af ligninger af forskellige typer (differential, algebraisk osv.), der etablerer kvantitative sammenhænge mellem de betragtede mængder. I det andet tilfælde karakteriserer modellen strukturen af et komplekst objekt, der består af separate dele, mellem hvilke der er visse forbindelser. Typisk er disse sammenhænge ikke kvantificerbare. For at bygge sådanne modeller er det praktisk at bruge grafteori. En graf er et matematisk objekt, som er et sæt punkter (hjørnepunkter) på et plan eller i rummet, hvoraf nogle er forbundet med linjer (kanter).

Af arten af de indledende data og forudsigelsesresultater kan modeller opdeles i deterministiske og probabilistisk-statistiske. Modeller af den første type giver klare, utvetydige forudsigelser. Modeller af den anden type er baseret på statistisk information, og forudsigelserne opnået med deres hjælp er af sandsynlighed.

MATEMATISK MODELLERING OG GENEREL COMPUTERINGS- ELLER SIMULATIONSMODELLER

Nu, hvor næsten universel computerisering finder sted i landet, kan man høre udtalelser fra specialister fra forskellige erhverv: "Lad os indføre en computer i vores land, så bliver alle opgaver løst med det samme." Dette synspunkt er helt forkert, computere kan ikke selv noget uden matematiske modeller af bestemte processer, og man kan kun drømme om universel computerisering.

Til støtte for ovenstående vil vi forsøge at retfærdiggøre behovet for modellering, herunder matematisk modellering, afsløre dets fordele i viden og transformation af den ydre verden af en person, identificere eksisterende mangler og gå ... til simuleringsmodellering, dvs. modellering ved hjælp af computere. Men alt er i orden.

Først og fremmest, lad os besvare spørgsmålet: hvad er en model?

En model er et materielt eller mentalt repræsenteret objekt, der i erkendelsesprocessen (studiet) erstatter det originale og bevarer nogle typiske egenskaber, som er vigtige for denne undersøgelse.

En velbygget model er mere tilgængelig for forskning end et rigtigt objekt. Eksempelvis er forsøg med landets økonomi til uddannelsesformål uacceptable, her kan man ikke undvære en model.

Sammenfattende, hvad der er blevet sagt, kan vi besvare spørgsmålet: hvad er modeller for? For at

forstå, hvordan et objekt fungerer (dets struktur, egenskaber, udviklingslove, interaktion med omverdenen).
lære at styre et objekt (proces) og bestemme de bedste strategier
forudsige konsekvenserne af påvirkningen på objektet.

Hvad er positivt i enhver model? Det giver dig mulighed for at få ny viden om objektet, men det er desværre ikke komplet i den ene eller anden grad.

Modelformuleret i matematiksproget ved hjælp af matematiske metoder kaldes en matematisk model.

Udgangspunktet for dens konstruktion er normalt en opgave, for eksempel en økonomisk. Udbredt, både beskrivende og optimeringsmatematisk, karakteriserer forskellige økonomiske processer og begivenheder som:

ressourceallokering
rationel skæring
transport
konsolidering af virksomheder
netværksplanlægning.

Hvordan opbygges en matematisk model?

Først formuleres formålet med og emnet for undersøgelsen.
For det andet fremhæves de vigtigste egenskaber svarende til dette mål.
For det tredje beskrives forholdet mellem elementerne i modellen verbalt.
Yderligere er forholdet formaliseret.
Og beregningen udføres i henhold til den matematiske model og analysen af den opnåede løsning.

Ved at bruge denne algoritme kan du løse ethvert optimeringsproblem, inklusive et multikriterie, dvs. et, hvor ikke ét, men flere mål, herunder modstridende, forfølges.

Lad os tage et eksempel. Køteori - problemet med kø. Du skal balancere to faktorer - omkostningerne ved at vedligeholde serviceenheder og omkostningerne ved at holde sig i kø. Efter at have bygget en formel beskrivelse af modellen, foretages beregninger ved hjælp af analytiske og beregningsmetoder. Hvis modellen er god, så er svarene fundet med dens hjælp tilstrækkelige til modelleringssystemet; hvis den er dårlig, så skal den forbedres og udskiftes. Kriteriet for tilstrækkelighed er praksis.

Optimeringsmodeller, herunder multikriterier, har en fælles egenskab - et mål (eller flere mål) er kendt for at nå, som man ofte skal forholde sig til komplekse systemer, hvor det ikke så meget handler om at løse optimeringsproblemer, men om at undersøge og forudsige tilstande. afhængig af valgte kontrolstrategier. Og her står vi over for vanskeligheder med at gennemføre den tidligere plan. De er som følger:

et komplekst system indeholder mange forbindelser mellem elementer
det virkelige system er påvirket af tilfældige faktorer, det er umuligt at tage hensyn til dem analytisk
muligheden for at sammenligne originalen med modellen eksisterer kun i begyndelsen og efter anvendelsen af det matematiske apparat, fordi mellemresultater har muligvis ikke analoger i et rigtigt system.

I forbindelse med de anførte vanskeligheder, der opstår ved undersøgelse af komplekse systemer, krævede praksis en mere fleksibel metode, og det viste sig - simuleringsmodellering "Simujationsmodellering".

Normalt forstås en simuleringsmodel som et sæt computerprogrammer, der beskriver funktionen af individuelle blokke af systemer og reglerne for interaktion mellem dem. Brugen af tilfældige variabler gør det nødvendigt gentagne gange at udføre eksperimenter med et simuleringssystem (på en computer) og efterfølgende statistisk analyse af de opnåede resultater. Et meget almindeligt eksempel på brugen af simuleringsmodeller er løsningen af et køproblem ved MONTE CARLO-metoden.

Arbejdet med simuleringssystemet er således et eksperiment udført på en computer. Hvad er fordelene?

– Større nærhed til det virkelige system end matematiske modeller;

– Blokprincippet gør det muligt at verificere hver blok, før den indgår i det samlede system;

– Brugen af afhængigheder af mere kompleks karakter, ikke beskrevet af simple matematiske sammenhænge.

De anførte fordele bestemmer ulemperne

– at bygge en simuleringsmodel er længere, vanskeligere og dyrere;

– for at arbejde med simuleringssystemet skal du have en computer, der passer til klassen;

– interaktion mellem brugeren og simuleringsmodellen (grænsefladen) bør ikke være for kompliceret, bekvem og velkendt;

- konstruktionen af en simuleringsmodel kræver en dybere undersøgelse af den virkelige proces end matematisk modellering.

Spørgsmålet opstår: kan simuleringsmodellering erstatte optimeringsmetoder? Nej, men det supplerer dem bekvemt. En simuleringsmodel er et program, der implementerer en eller anden algoritme, for at optimere styringen af, som et optimeringsproblem først løses.

Så hverken en computer eller en matematisk model eller en algoritme til at studere den separat kan løse et ret kompliceret problem. Men sammen repræsenterer de den kraft, der giver dig mulighed for at kende verden omkring dig, styre den i menneskets interesse.

1.2 Modelklassificering

1.2.1
Klassificering under hensyntagen til tidsfaktoren og området for bus (Makarova N.A.)

Statisk model - det er som et engangsudsnit af information om objektet (resultatet af en undersøgelse)
Dynamisk model-tillader se ændringer i objektet over tid (Kort i klinikken)
Modeller kan klassificeres efter hvilket vidensområde de tilhører(biologisk, historisk, økologisk osv.)
Vend tilbage til start

1.2.2 Klassificering efter anvendelsesområde (Makarova N.A.)

Uddannelse- visuel hjælpemidler, trænere , åh tæsk programmer
Erfaren modeller-reduceret kopier (bil i vindtunnel)
Videnskabeligt og teknisk synkrofasotron, stativ til test af elektronisk udstyr
Spil-økonomisk, sport, forretningsspil
simulering- ikke de afspejler simpelthen virkeligheden, men efterligner den (stoffer testes på mus, eksperimenter udføres i skoler osv.. Denne modelleringsmetode kaldes forsøg og fejl
Vend tilbage til start

1.2.3 Klassificering i henhold til præsentationsmetoden Makarova N.A.)

materiale modeller- Ellers kan kaldes emne. De opfatter originalens geometriske og fysiske egenskaber og har altid en reel udførelsesform.
Oplysende modeller - ikke tilladt røre ved eller se. De er baseret på information. .Information model er et sæt informationer, der karakteriserer egenskaber og tilstande af et objekt, en proces, et fænomen samt forholdet til omverdenen.
Verbal model - informationsmodel i en mental eller samtaleform.
Ikonisk modeloplysende model udtrykt med tegn , dvs.. ved hjælp af ethvert formelt sprog.
Computermodel - m En model implementeret ved hjælp af et softwaremiljø.

1.2.4 Klassificering af modeller givet i bogen "Land of Informatics" (Gein A.G.))

"...her er en tilsyneladende simpel opgave: Hvor lang tid vil det tage at krydse Karakum-ørkenen? Svar, selvfølgelig afhænger af rejseformen. Hvis rejse videre kameler, så vil der kræves en periode, en anden hvis du kører i bil, en tredje hvis du flyver med fly. Og vigtigst af alt kræves der forskellige modeller for at planlægge en rejse. For det første tilfælde kan den krævede model findes i erindringer fra berømte ørkenforskere: man kan trods alt ikke undvære information om oaser og kamelstier. I det andet tilfælde uerstattelig information indeholdt i vejatlaset. I den tredje - kan du bruge flyveplanen.
Disse tre modeller er forskellige - erindringer, atlas og tidsplan og arten af præsentationen af information. I det første tilfælde er modellen repræsenteret af en verbal beskrivelse af informationen (beskrivende model), i den anden - som et fotografi fra naturen (naturlig model), i den tredje - en tabel med symboler: tidspunkt for afgang og ankomst, ugedag, billetpris (den såkaldte skiltemodel) Denne opdeling er dog meget vilkårlig - kort og diagrammer (elementer i en fuldskalamodel) kan findes i erindringer, der er symboler på kortene (elementer af en symbolsk model), en afkodning af symboler (elementer af en beskrivende model). ) er angivet i tidsplanen. Så denne klassificering af modeller ... efter vores mening er uproduktiv"
Efter min mening demonstrerer dette fragment det beskrivende (vidunderlige sprog og præsentationsstil), der er fælles for alle Geins bøger, og så at sige den sokratiske undervisningsstil (Alle tror, at det er sådan. Jeg er fuldstændig enig med dig, men hvis du ser godt efter, så...). I sådanne bøger er det ret svært at finde et klart system af definitioner (det er ikke tiltænkt af forfatteren). I lærebogen redigeret af N.A. Makarova demonstrerer en anden tilgang - definitionerne af begreber er klart adskilte og noget statiske.

1.2.5 Klassificering af modeller angivet i manualen til A.I. Bochkin

Der er mange måder at klassificere på .Vi præsenterer blot et par af de mere kendte fonde og tegn: diskrethed og kontinuitet, matrix og skalære modeller, statiske og dynamiske modeller, analytiske og informationsmodeller, emne- og figurative tegnmodeller, storskala og ikke-skala...
Hvert tegn giver en vis viden om egenskaberne ved både modellen og den modellerede virkelighed. Skiltet kan tjene som et hint om, hvordan simuleringen er udført eller skal udføres.
Diskrethed og kontinuitet diskrethed - et karakteristisk træk ved computermodeller .Trods alt en computer kan være i et begrænset, omend meget stort antal tilstande. Derfor, selvom objektet er kontinuerlig (tid), vil det i modellen ændre sig i hop. Det kunne overvejes kontinuitet et tegn på modeller af ikke-computertype.
Tilfældighed og determinisme . Usikkerhed, ulykke i første omgang i modsætning til computerverdenen: Algoritmen, der lanceres igen, skal gentage sig selv og give de samme resultater. Men for at simulere tilfældige processer bruges pseudo-tilfældige talsensorer. Indførelsen af tilfældighed i deterministiske problemer fører til kraftfulde og interessante modeller (Random Toss Area Calculation).
Matrix - skalær. Tilgængelighed af parametre matrix model angiver dens større kompleksitet og muligvis nøjagtighed i forhold til skalar. For eksempel, hvis vi ikke udskiller alle aldersgrupper i landets befolkning, set i betragtning af dens ændring som helhed, får vi en skalarmodel (for eksempel Malthus-modellen), hvis vi udskiller en matrix (køn og alder). model. Det var matrixmodellen, der gjorde det muligt at forklare udsvingene i fødselsraten efter krigen.
statisk dynamik. Disse egenskaber af modellen er normalt forudbestemt af egenskaberne for det virkelige objekt. Her er ingen valgfrihed. Lige statisk model kan være et skridt hen imod dynamisk, eller nogle af modelvariablerne kan betragtes som uændrede indtil videre. For eksempel bevæger en satellit sig rundt om Jorden, dens bevægelse er påvirket af Månen. Hvis vi anser Månen for at være stationær under satellittens omdrejning, får vi en enklere model.
Analytiske modeller. Beskrivelse af processer analytisk, formler og ligninger. Men når man prøver at bygge en graf, er det mere praktisk at have tabeller med funktionsværdier og argumenter.
simuleringsmodeller. simulering modeller dukkede op for lang tid siden i form af store kopier af skibe, broer osv. dukkede op for længe siden, men i forbindelse med computere anses de for nylig. At vide, hvordan forbundet modellere elementer analytisk og logisk, er det lettere ikke at løse et system af bestemte relationer og ligninger, men at kortlægge det virkelige system i computerhukommelsen under hensyntagen til forbindelserne mellem hukommelseselementer.
Informationsmodeller. Oplysende Det er sædvanligt at modsætte modeller til matematiske, mere præcist algoritmiske. Data/algoritme-forholdet er vigtigt her. Hvis der er flere data, eller de er vigtigere, har vi en informationsmodel, ellers - matematisk.
Fagmodeller. Dette er primært en børnemodel - et legetøj.
Figurative tegn modeller. Det er primært en model i det menneskelige sind: figurativ, hvis grafiske billeder dominerer, og ikonisk, hvis der er mere end ord og/eller tal. Figurtegnsmodeller er bygget på en computer.
skalamodeller. TIL storstilet modeller er dem af motivet eller figurative modeller, der gentager formen af objektet (kortet).

Andre poster

Matematiske modeller ved OGE og Unified State Examination (2019)

Begrebet en matematisk model

Matematisk model i praksis

MATEMATISKE MODELLER. KORT OM DE VIGTIGSTE

Modelklassificering

Formel klassificering af modeller

Klassificering efter den måde, objektet er repræsenteret på

Indhold og formelle modeller

Meningsfuld klassificering af modeller

Type 2: Fænomenologisk model (opføre sig som om…)

Type 3: Tilnærmelse (noget anses for meget stort eller meget lille)

Type 8: Mulighed demonstration (det vigtigste er at vise mulighedens interne sammenhæng)

Eksempel

Hårde og bløde modeller

Universalitet af modeller

Direkte og omvendte problemer med matematisk modellering

Yderligere eksempler

Noter

1.1.2 2. Hovedstadier af matematisk modellering

1.1.3 3. Modelklassificering

1.2 Modelklassificering

1.2.1 Klassificering under hensyntagen til tidsfaktoren og området for bus (Makarova N.A.)

1.2.2 Klassificering efter anvendelsesområde (Makarova N.A.)

1.2.3 Klassificering i henhold til præsentationsmetoden Makarova N.A.)

1.2.4 Klassificering af modeller givet i bogen "Land of Informatics" (Gein A.G.))

1.2.5 Klassificering af modeller angivet i manualen til A.I. Bochkin

Redaktørens valg

1.2.1
Klassificering under hensyntagen til tidsfaktoren og området for bus (Makarova N.A.)