Summen af ​​sinus og tangenter med forskellige argumenter. Sum og forskel af sinus og cosinus: afledning af formler, eksempler

Formler for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus for to vinkler α og β giver os mulighed for at flytte fra summen af ​​disse vinkler til produktet af vinklerne α + β 2 og α - β 2. Lad os straks bemærke, at du ikke skal forveksle formlerne for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus med formlerne for sinus og cosinus for summen og forskellen. Nedenfor lister vi disse formler, giver deres afledninger og viser eksempler på anvendelse til specifikke problemer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formler for summen og forskellen mellem sinus og cosinus

Lad os skrive ned, hvordan sum- og differensformlerne ser ud for sinus og cosinus

Sum- og differensformler for sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Sum- og differensformler for cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Disse formler er gyldige for alle vinkler α og β. Vinklerne α + β 2 og α - β 2 kaldes halv-sum og halv-forskel af vinklerne henholdsvis alfa og beta. Lad os give formuleringen for hver formel.

Definitioner af formler for summer og forskelle af sinus og cosinus

Summen af ​​sinus af to vinkler er lig med to gange produktet af sinus af halvsummen af ​​disse vinkler og cosinus af halvforskellen.

Forskellen mellem sinus i to vinkler er lig med to gange produktet af sinus af halv-forskellen af ​​disse vinkler og cosinus af halvsummen.

Summen af ​​cosinus af to vinkler er lig med to gange produktet af cosinus af halvsummen og cosinus af halvforskel af disse vinkler.

Forskellen på cosinus af to vinkler er lig med to gange produktet af sinus af halvsummen og cosinus af halv-forskellen af ​​disse vinkler taget med et negativt fortegn.

Udledning af formler for summen og forskellen mellem sinus og cosinus

For at udlede formler for summen og differensen af ​​sinus og cosinus af to vinkler bruges additionsformler. Lad os liste dem nedenfor

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Lad os også forestille os selve vinklerne som en sum af halve summer og halve forskelle.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Vi går direkte videre til udledningen af ​​sum- og differensformlerne for sin og cos.

Afledning af formlen for summen af ​​sinus

I summen sin α + sin β erstatter vi α og β med udtrykkene for disse vinkler givet ovenfor. Vi får

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Nu anvender vi additionsformlen på det første udtryk, og på det andet - formlen for sinus af vinkelforskelle (se formlerne ovenfor)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Åbn parenteserne, tilføj lignende udtryk og få den nødvendige formel

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Trinene til at udlede de resterende formler er ens.

Afledning af formlen for forskellen på sinus

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Afledning af formlen for summen af ​​cosinus

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Afledning af formlen for forskellen på cosinus

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Eksempler på løsning af praktiske problemer

Lad os først tjekke en af ​​formlerne ved at erstatte specifikke vinkelværdier i den. Lad α = π 2, β = π 6. Lad os beregne værdien af ​​summen af ​​disse vinklers sinus. Først vil vi bruge tabellen over grundlæggende værdier af trigonometriske funktioner, og derefter vil vi anvende formlen for summen af ​​sinus.

Eksempel 1. Kontrol af formlen for summen af ​​sinus af to vinkler

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Lad os nu overveje tilfældet, når vinkelværdierne adskiller sig fra de grundlæggende værdier præsenteret i tabellen. Lad α = 165°, β = 75°. Lad os beregne forskellen mellem sinus af disse vinkler.

Eksempel 2. Anvendelse af sinusforskellens formel

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Ved at bruge formlerne for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus kan du flytte fra summen eller forskellen til produktet af trigonometriske funktioner. Ofte kaldes disse formler formler for at flytte fra en sum til et produkt. Formlerne for summen og forskellen af ​​sinus og cosinus er meget brugt til at løse trigonometriske ligninger og til at konvertere trigonometriske udtryk.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Denne elektroniske ressource er et fremragende materiale til at udføre interaktiv læring i moderne skoler. Den er skrevet korrekt, har en klar struktur og svarer til skolens læseplan. Takket være detaljerede forklaringer vil emnet, der præsenteres i videolektionen, blive klart for så mange elever i klassen som muligt. Lærere skal huske, at ikke alle elever har samme grad af opfattelse, forståelseshastighed eller grundlag. Sådanne materialer vil hjælpe dig med at klare vanskeligheder og indhente dine jævnaldrende, forbedre din akademiske præstation. Med deres hjælp, i et roligt hjemmemiljø, selvstændigt eller sammen med en vejleder, kan en studerende forstå et bestemt emne, studere teorien og se eksempler på den praktiske anvendelse af en bestemt formel osv.

Denne videolektion er afsat til emnet "Sinus og cosinus af argumenternes forskel." Det antages, at eleverne allerede har lært det grundlæggende i trigonometri, er bekendt med de grundlæggende funktioner og deres egenskaber, spøgelsesformler og tabeller med trigonometriske værdier.

Før du går videre til at studere dette emne, skal du også have en forståelse af sinus og cosinus af summen af ​​argumenter, kende to grundlæggende formler og være i stand til at bruge dem.

I begyndelsen af ​​videolektionen minder omtaleren eleverne om disse to formler. Dernæst demonstreres den første formel - sinus for forskellen mellem argumenter. Ud over hvordan selve formlen er afledt, vises det hvordan den er afledt af en anden. Eleven skal således ikke lære en ny formel udenad uden at forstå den, hvilket er en almindelig fejl. Dette er meget vigtigt for eleverne i denne klasse. Du skal altid huske, at du kan tilføje et +-tegn foran minustegnet, og et minus på plustegnet bliver til sidst til et minus. Med dette enkle trin kan du bruge formlen for sinus af en sum og få formlen for sinus for forskellen af ​​argumenter.

Formlen for forskellens cosinus er afledt på lignende måde fra formlen for cosinus af summen af ​​argumenterne.

Taleren forklarer alt trin for trin, og som et resultat heraf udledes den generelle formel for cosinus af summen og forskellen af ​​argumenter og sinus på samme måde.

Det første eksempel fra den praktiske del af denne videolektion foreslår at finde cosinus af Pi/12. Det foreslås at præsentere denne værdi i form af en vis forskel, hvor minuend og subtrahend vil være tabelværdier. Dernæst vil cosinusformlen for forskellen mellem argumenter blive anvendt. Ved at erstatte udtrykket kan du erstatte de resulterende værdier og få svaret. Melderen læser svaret op, som vises i slutningen af ​​eksemplet.

Det andet eksempel er en ligning. På både højre og venstre side ser vi cosinus af argumenternes forskelle. Højttaleren minder om støbeformler, som bruges til at erstatte og forenkle disse udtryk. Disse formler er skrevet på højre side, så eleverne kan forstå, hvor visse ændringer kommer fra.

Et andet eksempel, det tredje, er en vis brøk, hvor vi i både tæller og nævner har trigonometriske udtryk, nemlig produkternes forskelle.

Også her, ved løsning, anvendes reduktionsformler. Således kan skolebørn se, at hvis de savner ét emne i trigonometri, bliver det stadig sværere at forstå resten.

Og endelig det fjerde eksempel. Dette er også en ligning, hvor det er nødvendigt at bruge nye indlærte og gamle formler, når man løser dem.

Du kan se nærmere på eksemplerne i videovejledningen og prøve at løse det selv. De kan tildeles som lektier til skolebørn.

TEKSTAFKODNING:

Emnet for lektionen er "Sinus og cosinus af argumenternes forskel."

I det foregående kursus blev vi introduceret til to trigonometriske formler: sinus og cosinus af summen af ​​argumenter.

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

sinusen af ​​summen af ​​to vinkler er lig med summen mellem produktet af sinus af den første vinkel og cosinus af den anden vinkel og produktet af cosinus af den første vinkel og sinus af den anden vinkel;

Cosinus af summen af ​​to vinkler er lig med forskellen mellem produktet af disse vinklers cosinus og produktet af summen af ​​disse vinkler.

Ved at bruge disse formler vil vi udlede formlerne Sinus og cosinus for forskellen mellem argumenter.

Sinus af forskellen mellem argumenter sin(x-y)

To formler (sinus af summen og sinus af forskellen) kan skrives som:

synd (xy) = sin x cos yfordi x sin y.

På samme måde udleder vi formlen for forskellens cosinus:

Lad os omskrive cosinus for forskellen mellem argumenterne som en sum og anvende den allerede kendte formel for summens cosinus: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

kun for argumenterne x og -y. Ved at indsætte disse argumenter i formlen får vi cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

sin(- y)= - siny). og vi får det endelige udtryk cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Dette betyder cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

Cosinus af forskellen mellem to vinkler er lig med summen mellem produktet af disse vinklers cosinus og produktet af disse vinklers sinus.

Ved at kombinere to formler (cosinus af summen og cosinus af forskellen) til én, skriver vi

cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.

Lad os huske, at formler i praksis kan anvendes både fra venstre mod højre og omvendt.

Lad os se på eksempler.

EKSEMPEL 1. Beregn cos (cosinus af pi divideret med tolv).

Løsning. Lad os skrive pi divideret med tolv som forskellen mellem pi med tre og pi divideret med fire: = - .

Lad os erstatte værdierne i differenscosinusformlen: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, således cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Vi ved, at cos = , cos = sin= , sin = . Vis værditabel.

Vi erstatter værdien af ​​sinus og cosinus med numeriske værdier og får ∙ + ∙ når vi multiplicerer en brøk med en brøk, multiplicerer vi tællere og nævnere, vi får

cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.

Svar: cos =.

EKSEMPEL 2. Løs ligningen cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (cosinus af to pi minus fem x er lig med cosinus for pi med to minus fem x).

Løsning. Til venstre og højre side af ligningen anvender vi reduktionsformlerne cos(2π - cos (cosinus af to pi minus alfa er lig med cosinus af alfa) og cos(- = sin (cosinus af pi med to minus alfa er lig med sinus af alfa), får vi cos 5x = sin 5x, vi giver det til form af en homogen ligning af første grad, og vi får cos 5x - sin 5x = 0. Dette er en homogen ligning af første grad. Lad os divider begge sider af ligningsleddet med cos 5x. Vi har:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, fordi cos 5x: cos 5x = 1, og sin 5x: cos 5x = tan 5x, så får vi:

Da vi allerede ved, at ligningen tgt = a har en løsning t = arctga + πn, og da vi har t = 5x, a = 1, får vi

5x = arktan 1 + πn,

og værdien af ​​arctg er 1, så er tg 1= Vis tabel

Indsæt værdien i ligningen og løs den:

Svar: x = +.

EKSEMPEL 3. Find værdien af ​​brøken. (i tælleren er forskellen af ​​produktet af cosinus på femoghalvfjerds grader og femogtres grader og produktet af sinus på femoghalvfjerds grader og femogtres grader, og i nævneren er forskellen af ​​produktet af sinus på femogfirs grader og cosinus på femogtredive grader og produktet af cosinus på femogfirs grader og sinus på femogtredive grader).

Løsning. I tælleren for denne brøk kan forskellen "sammenklemmes" til cosinus af summen af ​​argumenterne 75° og 65°, og i nævneren kan forskellen "kollapses" til sinus af forskellen mellem argumenterne 85° og 35°. Vi får

Svar: - 1.

EKSEMPEL 4. Løs ligningen: cos(-x) + sin(-x) = 1(cosinus af forskellen mellem pi med fire og x plus sinus for forskellen mellem pi med fire og x er lig med en).

Løsning. Lad os anvende formlerne cosinusforskel og sinusforskel.

Vis generel forskel cosinus formel

Så cos (-x) = cos cos x + sinsinх

Vis den generelle formel for sinusforskel

og sin (-х)= sin cosх - cos sinх

Erstat disse udtryk i ligningen cos(-x) + sin(-x) = 1 og få:

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,

Da cos= og sin= Vis tabel betydningen af ​​sinus og cosinus

Vi får ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,

det andet og det fjerde led er modsat, derfor ophæver de hinanden og efterlader:

∙ cos + ∙ cos = 1,

Lad os løse denne ligning og få det

2∙ ∙ cos x= 1,

Da vi allerede ved, at ligningen cos = a har en løsning t = arcos-en+ 2πk, og da vi har t=x, a =, får vi

x = arccos + 2πn,

og da værdien er arccos, så er cos =