Onko monitahoinen hahmo, jonka pohjassa on monikulmio, ja loput kasvot on esitetty kolmioilla, joilla on yhteinen kärki.

Jos pohjassa on neliö, niin pyramidia kutsutaan nelikulmainen, jos kolmio - sitten kolmiomainen... Pyramidin korkeus vedetään sen yläosasta kohtisuoraan pohjaan nähden. Käytetään myös alueen laskemiseen apothem- sivupinnan korkeus putosi sen yläosasta.
Pyramidin lateraalisen pinta-alan kaava on sen sivupintojen pinta-alojen summa, jotka ovat yhtä suuret. Tätä laskentamenetelmää käytetään kuitenkin hyvin harvoin. Pohjimmiltaan pyramidin pinta-ala lasketaan pohjan ja aukon kehän kautta:

Tarkastellaan esimerkkiä pyramidin sivupinnan pinta-alan laskemisesta.

Annetaan pyramidi, jonka pohja on ABCDE ja yläosa F. AB = BC = CD = DE = EA = 3 cm. Apothem a = 5 cm. Etsi pyramidin sivupinnan alue.
Etsitään kehä. Koska kaikki alustan pinnat ovat samat, viisikulmion kehä on yhtä suuri kuin:
Nyt löydät pyramidin sivualueen:

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin alue

Säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi koostuu pohjasta, jossa on säännöllinen kolmio, ja kolmesta sivupinnasta, jotka ovat yhtä suuret.
Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinnan kaava voidaan laskea eri tavoin. Voit käyttää tavallista kaavaa laskettaessa kehän ja aukon läpi, tai voit löytää yhden kasvon alueen ja kertoa sen kolmella. Koska pyramidin pinta on kolmio, käytämme kaavaa kolmion pinta-alalle. Se vaatii aukon ja pohjan pituuden. Tarkastellaan esimerkkiä säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinnan laskemisesta.

Sinulle annetaan pyramidi, jonka apoteemi a = 4 cm ja pohjareuna b = 2 cm. Etsi pyramidin sivupinnan alue.
Ensinnäkin löydämme yhden sivupinnan alueen. Tässä tapauksessa se on:
Korvaa arvot kaavaan:
Koska tavallisessa pyramidissa kaikki sivut ovat samat, pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmen pinnan alueiden summa. Vastaavasti:

Katkaistu pyramidialue

Katkaistu Pyramidi on monikulmio, joka muodostuu pyramidista ja sen osasta, joka on yhdensuuntainen pohjan kanssa.
Katkaistun pyramidin sivupinnan kaava on hyvin yksinkertainen. Pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet alustojen kehän summan tulosta apotemilla:

Pyramidin pinta-ala. Tässä artikkelissa tarkastelemme ongelmia oikean pyramidin kanssa kanssasi. Haluan muistuttaa teitä siitä, että tavallinen pyramidi on pyramidi, jonka pohja on säännöllinen monikulmio, ja pyramidin yläosa on heijastettu tämän polygonin keskelle.

Tällaisen pyramidin sivupinta on tasakylkinen kolmio.Tämän säännöllisen pyramidin huipulta vedetyn kolmion korkeutta kutsutaan apoteemiksi, SF on apoteemi:

Alla esitetyissä ongelmatyypeissä on löydettävä koko pyramidin pinta-ala tai sen sivupinnan alue. Blogi on jo tarkastellut useita ongelmia tavallisten pyramidien kanssa, joissa herätettiin kysymys elementtien löytämisestä (korkeus, pohjareuna, sivureuna).

Kokeen tehtävissä otetaan yleensä huomioon säännölliset kolmio-, nelikulmaiset ja kuusikulmaiset pyramidit. En ole kohdannut ongelmia tavallisten viisikulmaisten ja kuusikulmaisten pyramidien kanssa.

Kaava koko pinnan alueelle on yksinkertainen - sinun on löydettävä pyramidin pohjan pinnan ja sen sivupinnan pinta-ala:

Harkitse tehtäviä:

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 72, sivureunat 164. Etsi tämän pyramidin pinta-ala.

Pyramidin pinta-ala on yhtä suuri kuin sivu- ja pohjapinta-alan summa:

* Sivupinta koostuu neljästä kolmiosta, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Pyramidin pohja on neliö.

Pyramidin sivupinta-ala voidaan laskea käyttämällä:

Täten pyramidin pinta-ala on:

Vastaus: 28224

Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 22, sivureunat ovat 61. Etsi tämän pyramidin sivupinnan alue.

Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin pohja on säännöllinen kuusikulmio.

Tämän pyramidin sivupinta-ala koostuu kuudesta alueesta, joissa on yhtä suuret kolmiot sivuilla 61.61 ja 22:

Etsi kolmion alue, käytä Heronin kaavaa:

Siten sivupinta-ala on yhtä suuri kuin:

Vastaus: 3240

* Edellä esitetyissä ongelmissa sivupinnan alue voitiin löytää käyttämällä eri kolmion kaavaa, mutta tätä varten sinun on laskettava apothem.

27155. Etsi säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pinta-ala, jonka pohjan sivut ovat 6 ja korkeus 4.

Pyramidin pinta-alan löytämiseksi meidän on tiedettävä pohjapinta ja sivupinta-ala:

Pohjapinta-ala on 36, koska se on neliö, jonka sivu on 6.

Sivupinta koostuu neljästä kasvosta, jotka ovat yhtä suuria kolmioita. Tällaisen kolmion alueen löytämiseksi sinun on tiedettävä sen pohja ja korkeus (apoteemi):

* Kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet alustan ja tähän pohjaan vedetyn korkeuden tulokseen.

Pohja tunnetaan, se on kuusi. Etsitään korkeus. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota (korostettu keltaisella):

Yksi jalka on 4, koska tämä on pyramidin korkeus, toinen on 3, koska se on puolet alustan reunasta. Voimme löytää hypotenuusin Pythagoraan lauseen mukaan:

Joten pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin:

Siten koko pyramidin pinta-ala on yhtä suuri kuin:

Vastaus: 96

27069. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat 10, sivureunat ovat 13. Etsi tämän pyramidin pinta-ala.

27070. Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin pohjan sivut ovat yhtä suuret kuin 10, sivureunat ovat yhtä suuret kuin 13. Löydä tämän pyramidin sivupinnan alue.

On myös kaavoja tavallisen pyramidin sivupinnalle. Tavallisessa pyramidissa pohja on ortogonaalinen sivupinnan projektio, joten:

P- peruskehys, l- pyramidin apoteemi

* Tämä kaava perustuu kolmion kaavan pinta-alaan.

Jos haluat oppia lisää näiden kaavojen johtamisesta, älä missaa, seuraa artikkeleiden julkaisua.Siinä kaikki. Menestystä sinulle!

Ystävällisin terveisin, Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos voisit kertoa meille sivustosta sosiaalisissa verkostoissa.

Lyhyesti tärkeimmistä

Pinta-ala (2019)

Prisman pinta-ala

Onko olemassa yleistä kaavaa? Ei, yleensä ei. Sinun tarvitsee vain etsiä sivupintojen alueita ja tiivistää ne.

Kaava voidaan kirjoittaa suora prisma:

Missä on pohjan kehä.

Mutta joka tapauksessa on paljon helpompaa lisätä kaikki alueet kuin muistaa kaavoja. Lasketaan esimerkiksi säännöllisen kuusikulmaisen prisman kokonaispinta.

Kaikki sivupinnat ovat suorakulmioita. Tarkoittaa.

Tämä on jo päätelty tilavuutta laskettaessa.

Joten saamme:

Pyramidin pinta-ala

Pyramidiin sovelletaan myös yleistä sääntöä:

Lasketaan nyt suosituimpien pyramidien pinta-ala.

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pinta-ala

Olkoon alustan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri. Sinun täytyy löytää ja.

Muistakaamme nyt

Tämä on säännöllisen kolmion pinta-ala.

Ja muistetaan, kuinka etsiä tätä aluetta. Käytämme pinta-alan kaavaa:

Meillä on "" - tämä, ja "" - tämäkin, ja.

Nyt löydämme.

Käyttämällä perusalueen kaavaa ja Pythagorean teoreemaa löydämme

Huomio: jos sinulla on säännöllinen tetraedri (eli), kaava on seuraava:

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pinta-ala

Olkoon alustan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri.

Alareunassa on neliö, ja siksi.

On vielä löydettävä sivupinnan alue

Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin pinta-ala.

Anna pohjan sivun olla yhtä suuri ja sivureuna.

Kuinka löytää? Kuusikulmio koostuu täsmälleen kuudesta identtisestä kolmiosta. Olemme jo etsineet säännöllisen kolmion pinta-alaa laskettaessa säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pinta-alaa, tässä käytämme löydettyä kaavaa.

No, olemme jo etsineet sivupinnan aluetta jo kahdesti.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun asti, olet siinä 5 prosentissa!

Nyt tulee tärkein asia.

Selvisit tämän aiheen teorian. Ja jälleen, tämä on ... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei välttämättä riitä ...

Minkä vuoksi?

Tentin onnistuneesta läpäisemisestä, pääsylle instituuttiin budjetilla ja, TÄRKEÄÄ, elämään.

En vakuuttaa sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ihmiset ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Nämä ovat tilastoja.

Mutta tämä ei myöskään ole pääasia.

Tärkeintä on, että he ovat enemmän onnellisia (on olemassa tällaisia ​​tutkimuksia). Ehkä siksi, että heille on niin paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämä muuttuu kirkkaammaksi? En tiedä...

Mutta ajattele itse ...

Mitä tarvitaan olemaan varmasti parempi kuin muut tentissä olevat henkilöt ja lopulta ... onnellisempi?

SAA KÄSITTELEVÄT ONGELMAT TÄMÄSSÄ AIHEESSA.

Tentillä sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmia jonkin aikaa.

Ja jos et ratkaissut niitä (PALJON!), Olet varma, että menet jonnekin typerästi väärin tai et yksinkertaisesti tule ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun on toistettava se uudestaan ​​ja uudestaan ​​voittaaksesi varmasti.

Etsi kokoelma mistä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtainen analyysi ja päättää, päättää, päättää!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen), ja me tietysti suosittelemme niitä.

Täyttääkseen kätesi tehtävillämme sinun on autettava pidentämään lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? On olemassa kaksi vaihtoehtoa:

1. Jaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät - 299 r
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin opetusohjelman kaikissa 99 artikkelissa - 999 RUB

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjamme, ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin piilotettuihin teksteihin voidaan avata kerralla.

Toisessa tapauksessa annamme sinulle simulaattori "6000 ongelmaa ratkaisuineen ja vastauksineen kullekin aihealueelle kaikilla monimutkaisuustasoilla." Se varmasti riittää saamaan käsityksen ongelmien ratkaisemisesta mistä tahansa aiheesta.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin vain simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan sivuston koko eliniän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysy teoriassa.

"Ymmärretty" ja "pystyn ratkaisemaan" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molempia.

Etsi ongelmia ja ratkaise!

Pyramidi- yksi monikulmion muunnoksista, jotka muodostuvat polygoneista ja kolmioista, jotka ovat pohjassa ja ovat sen kasvot.

Lisäksi pyramidin yläosassa (ts. Yhdessä pisteessä) kaikki kasvot yhdistetään.

Pyramidin pinta-alan laskemiseksi on syytä määrittää, että sen sivupinta koostuu useista kolmioista. Ja voimme helposti löytää heidän alueet hakemalla

erilaisia ​​kaavoja. Riippuen siitä, minkä tyyppiset kolmiotiedot tiedämme, etsimme niiden aluetta.

Luetellaan joitain kaavoja, joiden avulla löydät kolmiopinta-alan:

1. S = (a * h) / 2 ... Tässä tapauksessa tiedämme kolmion korkeuden h joka lasketaan sivulle a .
2. S = a * b * sinβ ... Tässä kolmion sivut a , b ja niiden välinen kulma on β .
3. S = (r * (a + b + c)) / 2 ... Tässä kolmion sivut a, b, c ... Kolmioon merkitty ympyrän säde on r .
4. S = (a * b * c) / 4 * R ... Kolmion ympärillä olevan ympyrän säde on R .
5. S = (a * b) / 2 = r2 + 2 * r * R ... Tätä kaavaa tulee käyttää vain, kun kolmio on suorakulmainen.
6. S = (a² * √3) / 4 ... Sovellamme tätä kaavaa tasasivuiseen kolmioon.

Vasta sen jälkeen, kun olemme laskeneet kaikkien pyramidimme kasvot muodostavien kolmioiden pinta-alat, voimme laskea sen sivupinnan pinta-alan. Tätä varten käytämme yllä olevia kaavoja.

Pyramidin sivupinnan pinta-alan laskemiseksi ei esiinny vaikeuksia: sinun on selvitettävä kaikkien kolmioiden pinta-alojen summa. Ilmaistaan ​​se kaavalla:

Sп = ΣSi

Tässä Si on ensimmäisen kolmion pinta-ala ja S P - pyramidin sivupinnan pinta-ala.

Katsotaanpa esimerkkiä. Annetaan säännöllinen pyramidi, jonka sivupinnat muodostavat useita tasasivuisia kolmioita,

« Geometria on tehokkain työkalu henkisten kykyjemme terävöittämiseen.».

Galileo Galilei.

ja neliö on pyramidin pohja. Lisäksi pyramidin reunan pituus on 17 cm, löydetään tämän pyramidin sivupinnan alue.

Me väitämme näin: tiedämme, että pyramidin kasvot ovat kolmioita, ne ovat tasasivuisia. Tiedämme myös, kuinka pitkä tietyn pyramidin kylkiluu on. Tästä seuraa, että kaikilla kolmioilla on samat sivupinnat, niiden pituus on 17 cm.

Voit laskea kunkin näiden kolmioiden pinta-alan käyttämällä seuraavaa kaavaa:

S = (17² * √3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 cm2

Koska tiedämme, että neliö sijaitsee pyramidin pohjalla, käy ilmi, että meillä on neljä tasasivuista kolmiota. Tämä tarkoittaa, että pyramidin sivupinnan pinta-ala voidaan helposti laskea seuraavalla kaavalla: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm2

Vastauksemme on seuraava: 500,548 cm² - tämä on tämän pyramidin sivupinnan pinta-ala.

• Tehtävä 1. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala
• Tehtävä 2. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinta-ala

Tehtävä 1... Etsi säännöllisen pyramidin kokonaispinta-ala

Päätös.

Tasasivuinen kolmio on säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjassa.
Siksi ongelman ratkaisemiseksi käytämme säännöllisen kolmion ominaisuuksia:

Tiedämme kolmion korkeuden, josta voimme löytää sen alueen.
h = √3 / 2 a
a = h / (√3 / 2)
a = 3 / (√3 / 2)
a = 6 / √3

Sieltä peruspinta-ala on yhtä suuri kuin:
S = √3 / 4 a 2
S = √3 / 4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Sivupinnan alueen löytämiseksi laskemme korkeuden KM. OKM-kulma on 45 astetta ongelmalausekkeen mukaan.
Tällä tavalla:
OK / MK = cos 45
Käytetään trigonometristen funktioiden arvotaulukkoa ja korvataan tunnetut arvot.

OK / MK = √2 / 2

Otetaan huomioon, että OK on yhtä suuri kuin kirjoitetun ympyrän säde. Sitten
OK = √3 / 6 a
OK = √3 / 6 * 6 / √3 = 1

Sitten
OK / MK = √2 / 2
1 / MK = √2 / 2
MK = 2 / √2

Sivupinnan pinta-ala on tällöin puolikas kolmion korkeuden ja pohjan tulon tulo.
Sivu = 1/2 (6 / √3) (2 / √2) = 6 / √6

Täten pyramidin kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin
S = 3√3 + 3 * 6 / √6
S = 3√3 + 18 / √6

Vastaus: 3√3 + 18/√6

Tehtävä 2... Etsi tavallisen pyramidin sivupinta-ala

Päätös.

Koska säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohja on tasasivuinen kolmio, AO on pohjan ympärillä olevan ympyrän säde.
(Tämä seuraa)

Tasasivuisen kolmion ympärille ympyröidyn ympyrän säde löytyy sen ominaisuuksista

Siitä lähtien säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin reunojen pituus on yhtä suuri kuin:
AM 2 = MO 2 + AO 2
pyramidin korkeus tunnetaan olosuhteesta (10 cm), AO = 16√3 / 3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Pyramidin molemmat puolet ovat tasakylkinen kolmio. Löydämme tasakylkisen kolmion alueen ensimmäisestä alla esitetystä kaavasta

S = 1/2 * 16 neliömetriä ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S = 8 neliömetriä ((556/3) - 64)
S = 8 neliömetriä (364/3)
S = 16 neliömetriä (91/3)

Koska säännöllisen pyramidin kaikki kolme pintaa ovat samat, sivupinta-ala on sama
3S = 48 √ (91/3)

Vastaus: 48 √(91/3)

Tehtävä 3. Etsi säännöllisen pyramidin kokonaispinta-ala

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivu on 3 cm ja sivupinnan ja pyramidin pohjan välinen kulma on 45 astetta. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Päätös.
Koska pyramidi on säännöllinen, sen pohjassa on tasasivuinen kolmio. Siksi pohjan pinta-ala on


Joten = 9 * √3 / 4

Sivupinnan alueen löytämiseksi laskemme korkeuden KM. OKM-kulma on 45 astetta ongelmalausekkeen mukaan.
Tällä tavalla:
OK / MK = cos 45
Käytämme