Onko mahdollista pienentää logaritmeja? Logaritmin määritelmä, logaritmisen perusidentiteetti

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Seuraa sen määritelmästä. Ja niin luvun logaritmi b perustuen A on määritelty eksponenttiksi, johon luku on nostettava a saadaksesi numeron b(logaritmi on olemassa vain positiivisille luvuille).

Tästä muotoilusta seuraa, että laskelma x=log a b, vastaa yhtälön ratkaisemista a x = b. Esimerkiksi, log 2 8 = 3 koska 8 = 2 3 . Logaritmin muotoilu mahdollistaa sen, että jos b=a c, sitten luvun logaritmi b perustuen a on yhtä suuri Kanssa. On myös selvää, että logaritmien aihe liittyy läheisesti luvun potenssien aiheeseen.

Logaritmeilla, kuten millä tahansa numerolla, voit tehdä yhteen- ja vähennysoperaatiot ja muuttaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole täysin tavallisia lukuja, tässä pätevät omat erityissäännönsä, joita kutsutaan ns. pääominaisuudet.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen.

Otetaan kaksi logaritmia, joilla on sama kanta: kirjaa x Ja kirjaudu a y. Sitten on mahdollista suorittaa yhteen- ja vähennysoperaatioita:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

kirjaudu a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = kirjaa x 1 + kirjaa x 2 + kirjaa x 3 + ... + log a x k.

From logaritmin osamäärälause Vielä yksi logaritmin ominaisuus voidaan saada. On yleisesti tiedossa, että loki a 1 = 0 siis

Hirsi a 1 /b= loki a 1 - loki a b= - loki a b.

Tämä tarkoittaa, että on olemassa tasa-arvo:

log a 1 / b = - log a b.

Kahden käänteisluvun logaritmit samasta syystä eroavat toisistaan ​​vain merkin perusteella. Niin:

Log 3 9= - log 3 1/9; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Positiivisen luvun b logaritmi kantaan a (a>0, a ei ole yhtä suuri kuin 1) on luku c siten, että a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Huomaa, että ei-positiivisen luvun logaritmi on määrittelemätön. Lisäksi logaritmin kannan on oltava positiivinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Jos esimerkiksi neliöimme -2, saamme luvun 4, mutta tämä ei tarkoita, että logaritmi 4:n kantaan -2 on yhtä suuri kuin 2.

Peruslogaritminen identiteetti

On tärkeää, että tämän kaavan oikean ja vasemman puolen määritelmä on erilainen. Vasen puoli on määritelty vain b>0:lle, a>0:lle ja a ≠ 1:lle. Oikea puoli on määritelty mille tahansa b:lle, eikä se riipu a:sta ollenkaan. Siten peruslogaritmisen "identiteetin" soveltaminen yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa voi johtaa OD:n muutokseen.

Kaksi ilmeistä logaritmin määritelmän seurausta

Todellakin, kun nostetaan lukua a ensimmäiseen potenssiin, saamme saman luvun, ja kun nostetaan se nollapotenssiin, saamme yhden.

Tulon logaritmi ja osamäärän logaritmi

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Haluaisin varoittaa koululaisia ​​käyttämästä ajattelemattomasti näitä kaavoja ratkaessaan logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Kun niitä käytetään "vasemmalta oikealle", ODZ kapenee, ja kun siirrytään logaritmien summasta tai erotuksesta tulon tai osamäärän logaritmiin, ODZ laajenee.

Itse asiassa lauseke log a (f (x) g (x)) määritellään kahdessa tapauksessa: kun molemmat funktiot ovat ehdottomasti positiivisia tai kun f(x) ja g(x) ovat molemmat pienempiä kuin nolla.

Muuntamalla tämä lauseke summaksi log a f (x) + log a g (x), joudumme rajoittumaan vain tapaukseen, jossa f(x)>0 ja g(x)>0. Hyväksyttyjen arvojen vaihteluväli kaventuu, ja tämä on kategorisesti mahdotonta hyväksyä, koska se voi johtaa ratkaisujen menettämiseen. Samanlainen ongelma on kaavalla (6).

Aste voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä

Ja taas haluaisin vaatia tarkkuutta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Yhtälön vasen puoli on luonnollisesti määritelty kaikille f(x):n arvoille nollaa lukuun ottamatta. Oikea puoli on vain f(x)>0! Ottamalla aste pois logaritmista kavennetaan jälleen ODZ:tä. Käänteinen menettely johtaa hyväksyttävien arvojen alueen laajentamiseen. Kaikki nämä huomautukset eivät koske vain tehoa 2, vaan myös mitä tahansa parillista tehoa.

Kaava siirtyäksesi uudelle perustalle

Se harvinainen tapaus, jolloin ODZ ei muutu muunnoksen aikana. Jos olet valinnut kannan c viisaasti (positiivinen eikä yhtä suuri kuin 1), kaava uuteen kantaan siirtymiseen on täysin turvallinen.

Jos valitsemme uudeksi kantaksi c luvun b, saadaan tärkeä kaavan (8) erikoistapaus:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä logaritmeilla

Esimerkki 1. Laske: log2 + log50.
Ratkaisu. log2 + log50 = log100 = 2. Käytimme logaritmien summakaavan (5) ja desimaalilogaritmin määritelmää.

Esimerkki 2. Laske: lg125/lg5.
Ratkaisu. log125/log5 = log 5 125 = 3. Käytimme kaavaa uuteen kantaan siirtymiseen (8).

Taulukko logaritmiin liittyvistä kaavoista

274. Huomautuksia.

A) Jos lauseke, jonka haluat arvioida, sisältää summa tai ero numeroita, ne on löydettävä ilman taulukoiden apua tavallisella yhteen- tai vähennyslaskulla. Esim:

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

b) Kun tiedämme, kuinka lausekkeita logaritoidaan, voimme käänteisesti, käyttämällä annettua logaritmitulosta, löytää lausekkeen, josta tämä tulos on saatu; Niin jos

Hirsi X= loki a+ loki b- 3 lokia Kanssa,

niin se on helppo ymmärtää

V) Ennen kuin siirrymme tarkastelemaan logaritmien taulukoiden rakennetta, osoitamme joitakin desimaalilogaritmien ominaisuuksia, ts. ne, joissa luku 10 on otettu kantana (vain tällaisia ​​logaritmeja käytetään laskelmissa).

Toinen luku.

Desimaalilogaritmien ominaisuudet.

275 . A) Koska 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10 000 jne., sitten log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10 000 = 4 jne.

tarkoittaa, Yhden ja nollien edustaman kokonaisluvun logaritmi on positiivinen kokonaisluku, joka sisältää yhtä monta ykköstä kuin luvun esityksessä on nollia.

Täten: log 100 000 = 5, Hirsi 1000 000 = 6 , jne.

b) Koska

log 0,1 = -l; log 0,01 = -2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, jne.

tarkoittaa, Desimaalimurtoluvun logaritmi, jota edustaa yksikkö, jossa on edeltäviä nollia, on negatiivinen kokonaisluku, joka sisältää yhtä monta negatiivista yksikköä kuin murto-osan esityksessä on nollia, mukaan lukien 0 kokonaislukua.

Täten: log 0,00001 = - 5, log 0,000001 = -6, jne.

V) Otetaan esimerkiksi kokonaisluku, jota ei edusta yksi ja nollia. 35 tai kokonaisluku, jossa on esimerkiksi murto. 10.7. Tällaisen luvun logaritmi ei voi olla kokonaisluku, koska nostamalla 10 potenssiin kokonaislukueksponentilla (positiivinen tai negatiivinen), saamme 1:n nollien kanssa (1:n jälkeen tai sitä edeltävänä). Oletetaan nyt, että tällaisen luvun logaritmi on jokin murto-osa a / b . Silloin meillä olisi tasa-arvo

Mutta nämä tasa-arvot ovat mahdottomia, kuten 10A on 1s nollien kanssa, kun taas asteet 35b Ja 10,7b millään mitalla b ei voi antaa 1:tä ja sen jälkeen nollia. Tämä tarkoittaa, että emme voi sallia loki 35 Ja loki 10.7 olivat yhtä suuria kuin murtoluvut. Mutta logaritmisen funktion ominaisuuksista tiedämme (), että jokaisella positiivisella luvulla on logaritmi; näin ollen jokaisella luvulla 35 ja 10,7 on oma logaritminsa, ja koska se ei voi olla kokonaisluku tai murtoluku, se on irrationaalinen luku, eikä sitä siksi voida ilmaista tarkasti numeroiden avulla. Irrationaaliset logaritmit ilmaistaan ​​yleensä likimäärin useiden desimaalien murtolukuna. Tämän murtoluvun kokonaislukua (vaikka se olisi "0 kokonaislukua") kutsutaan ominaisuus, ja murto-osa on logaritmin mantissa. Jos esimerkiksi on logaritmi 1,5441 , niin sen ominaisuus on sama 1 , ja mantissa on 0,5441 .

G) Otetaan esimerkiksi jokin kokonaisluku tai sekaluku. 623 tai 623,57 . Tällaisen luvun logaritmi koostuu ominaisuudesta ja mantissasta. Osoittautuu, että desimaalilogaritmeilla on se mukavuus voimme aina löytää niiden ominaisuudet yhden numerotyypin perusteella . Tätä varten lasketaan kuinka monta numeroa on annetussa kokonaisluvussa tai sekaluvun kokonaislukuosassa. Esimerkeissämme näistä numeroista 3 . Siksi jokainen numero 623 Ja 623,57 yli 100 mutta vähemmän kuin 1000; tämä tarkoittaa, että kunkin niistä logaritmi on suurempi loki 100, eli enemmän 2 , mutta vähemmän log 1000 eli vähemmän 3 (muista, että suuremmalla luvulla on myös suurempi logaritmi). Siten, log 623 = 2,..., Ja log 623,57 = 2,... (pisteet korvaavat tuntemattomat mantissot).

Näin löydämme:

Olkoon yleisesti, että annettu kokonaisluku tai tietyn sekaluvun kokonaisluku sisältää m numeroita Koska pienin kokonaisluku sisältää m numerot kyllä 1 Kanssa m - 1 nollia lopussa, sitten (merkitsee tätä numeroa N) voimme kirjoittaa epäyhtälöt:

ja siksi,

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + positiivinen murtoluku.

Ominaisuus siis logN = m - 1 .

Näemme sen tällä tavalla kokonaisluvun tai sekaluvun logaritmin ominaisuus sisältää niin monta positiivista yksikköä kuin on numeroita luvun kokonaislukuosassa miinus yksi.

Tämän huomattuamme voimme kirjoittaa suoraan:

log 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720,4 = 2,... ja niin edelleen.

d) Otetaan useita desimaalilukuja pienemmiksi 1 (eli joilla on 0 koko): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, ja niin edelleen.

Siten jokainen näistä logaritmeista sisältyy kahden negatiivisen kokonaisluvun väliin, jotka eroavat yhden yksikön verran; siksi jokainen niistä on yhtä suuri kuin pienempi näistä negatiivisista luvuista lisättynä jollain positiivisella murto-osalla. Esimerkiksi, log0.0056= -3 + positiivinen murtoluku. Oletetaan, että tämä murtoluku on 0,7482. Sitten se tarkoittaa:

log 0,0056 = -3 + 0,7482 (= -2,2518).

Summat kuten - 3 + 0,7482 , joka koostuu negatiivisesta kokonaisluvusta ja positiivisesta desimaaliluvusta, sovimme kirjoittavamme lyhennettynä seuraavasti logaritmisissa laskelmissa: 3 ,7482 (Tämä luku on: 3 miinus, 7482 kymmenen tuhannesosaa.), eli ne laittavat miinusmerkin ominaisuuden päälle osoittaakseen, että se liittyy vain tähän ominaisuuteen, ei mantissaan, joka pysyy positiivisena. Yllä olevasta taulukosta on siis selvää, että

log 0,35 == 1,....; log 0,07 = 2,...; log 0,0008 = 4 ,....

Antaa ollenkaan . on desimaalimurto, jossa ennen ensimmäistä merkitsevää numeroa α kustannuksia m nollia, mukaan lukien 0 kokonaislukua. Sitten se on selvää

- m < log A < - (m- 1).

Koska kahdesta kokonaisluvusta:- m Ja - (m- 1) on vähemmän - m , Tuo

log A = - m+ positiivinen murto-osa,

ja siksi ominaisuus log A = - m (positiivisella mantissalla).

Täten, alle 1:n desimaalimurtoluvun logaritmin ominaisuus sisältää yhtä monta negatiivista kuin on nollia ennen ensimmäistä merkitsevää numeroa olevan desimaaliluvun kuvassa, mukaan lukien nolla kokonaislukua; Tällaisen logaritmin mantissa on positiivinen.

e) Kerrotaan jokin luku N(kokonaisluku tai murtoluku - sillä ei ole väliä) 10:llä, 100:lla 1000:lla..., yleensä 1:llä nollien kanssa. Katsotaan kuinka tämä muuttuu log N. Koska tuotteen logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien summa, niin

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; jne.

Milloin log N lisäämme jonkin kokonaisluvun, niin voimme aina lisätä tämän luvun ominaisuuteen, ei mantissaan.

Joten jos log N = 2,7804, niin 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 jne.;

tai jos log N = 3,5649, niin 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 jne.

Kun luku kerrotaan 10:llä, 100:lla, 1000:lla,..., yleensä 1:llä nollien kanssa, logaritmin mantissa ei muutu ja ominaisuus kasvaa niin monella yksiköllä kuin kertoimessa on nollia .

Vastaavasti, kun otetaan huomioon, että osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osingon logaritmi ilman jakajan logaritmia, saadaan:

log N/10 = log N - log 10 = log N-1;

log N/100 = log N- log 100 = log N-2;

log N / 1000 = log N - log 1000 = log N -3; ja niin edelleen.

Jos sovimme, että kun vähennämme kokonaisluvun logaritmista, vähennämme aina tämän kokonaisluvun ominaisuudesta ja jätämme mantissan ennalleen, voimme sanoa:

Luvun jakaminen ykkösellä nollalla ei muuta logaritmin mantissaa, mutta ominaisuus pienenee niin monella yksiköllä kuin jakajassa on nollia.

276. Seuraukset. Kiinteistöstä ( e) voidaan päätellä seuraavat kaksi seurausta:

A) Desimaaliluvun logaritmin mantissi ei muutu, kun se siirretään desimaalipilkuun , koska desimaalipilkun siirtäminen vastaa kertomista tai jakamista luvulla 10, 100, 1000 jne. Siten lukujen logaritmit:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

eroavat vain ominaisuuksiltaan, mutta eivät mantissoilta (edellyttäen, että kaikki mantissot ovat positiivisia).

b) Numeroiden mantissit, joilla on sama merkittävä osa, mutta jotka eroavat vain nollien päätteestä, ovat samat: Siten lukujen logaritmit: 23, 230, 2300, 23 000 eroavat vain ominaisuuksista.

Kommentti. Esitetyistä desimaalilogaritmien ominaisuuksista on selvää, että voimme löytää kokonaisluvun ja desimaaliluvun logaritmin ominaisuudet ilman taulukoiden apua (tämä on desimaalilogaritmien suuri mukavuus); seurauksena vain yksi mantissa sijoitetaan logaritmisihin taulukoihin; Lisäksi koska murtolukujen logaritmien löytäminen on pelkistetty kokonaislukujen logaritmien löytämiseen (murtoluvun logaritmi = osoittajan logaritmi ilman nimittäjän logaritmia), taulukoihin sijoitetaan vain kokonaislukujen logaritmien mantissit.

Luku kolme.

Nelinumeroisten taulukoiden suunnittelu ja käyttö.

277. Logaritmijärjestelmät. Logaritmijärjestelmä on logaritmien joukko, joka lasketaan useille peräkkäisille kokonaisluvuille samaa kantaa käyttäen. Käytetään kahta järjestelmää: tavallisten tai desimaalilogaritmien järjestelmää, jossa luku otetaan kantana 10 , ja ns. luonnollisten logaritmien järjestelmä, jossa irrationaaliluku otetaan perustana (joistain syistä, jotka ovat selvät muilla matematiikan aloilla) 2,7182818 ... Laskennassa käytetään desimaalilogaritmeja, koska osoitimme tällaisten logaritmien ominaisuudet lueteltuamme.

Luonnollisia logaritmeja kutsutaan myös nimellä Neperov, joka on nimetty logaritmien keksijän, skotlantilaisen matemaatikon mukaan. Nepera(1550-1617), ja desimaalilogaritmit - professorin mukaan nimetty Briggs Brigga(Napierin nykyaikainen ja ystävä), joka ensimmäisenä laati taulukot näistä logaritmeista.

278. Negatiivisen logaritmin muuntaminen sellaiseksi, jonka mantissa on positiivinen, ja käänteismuunnos. Olemme nähneet, että alle 1:n lukujen logaritmit ovat negatiivisia. Tämä tarkoittaa, että ne koostuvat negatiivisesta ominaisuudesta ja negatiivisesta mantissasta. Tällaiset logaritmit voidaan aina muuttaa siten, että niiden mantissa on positiivinen, mutta ominaisuus pysyy negatiivisena. Tätä varten riittää, että lisäät positiivisen mantissaan ja negatiivisen ominaisuuteen (joka ei tietenkään muuta logaritmin arvoa).

Jos meillä on esimerkiksi logaritmi - 2,0873 , sitten voit kirjoittaa:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

tai lyhennettynä:

Toisaalta mikä tahansa logaritmi, jolla on negatiivinen ominaisuus ja positiivinen mantissa, voidaan muuttaa negatiiviseksi. Tätä varten riittää, että lisäät negatiivisen positiiviseen mantissaan ja positiivisen negatiiviseen ominaisuuteen: voit kirjoittaa:

279. Nelinumeroisten taulukoiden kuvaus. Useimpien käytännön ongelmien ratkaisemiseen riittävät nelinumeroiset taulukot, joiden käsittely on hyvin yksinkertaista. Nämä taulukot (joiden yläosassa teksti "logaritmit") on sijoitettu tämän kirjan loppuun, ja pieni osa niistä on painettu tälle sivulle.

Logaritmit.

kaikkien kokonaislukujen logaritmit alkaen 1 ennen 9999 mukaan lukien, laskettuna neljän desimaalin tarkkuudella, ja viimeistä näistä paikoista on lisätty 1 kaikissa niissä tapauksissa, joissa viides desimaali on 5 tai enemmän kuin 5; siksi 4-numeroiset taulukot antavat likimääräiset mantissot enintään 1 / 2 kymmenesosa (puutteella tai ylimäärällä).

Koska voimme suoraan karakterisoida kokonaisluvun tai desimaaliluvun logaritmia desimaalilogaritmien ominaisuuksien perusteella, meidän on otettava taulukoista vain mantissot; Samalla on muistettava, että desimaalipisteen sijainti desimaaliluvussa, samoin kuin nollien lukumäärä luvun lopussa, eivät vaikuta mantissan arvoon. Siksi, kun löydämme tietyn luvun mantissan, hylkäämme tämän luvun pilkun sekä sen lopussa olevat nollat, jos niitä on, ja etsimme tämän jälkeen muodostetun kokonaisluvun mantissan. Seuraavia tapauksia voi esiintyä.

1) Kokonaisluku koostuu 3 numerosta. Oletetaan esimerkiksi, että meidän on löydettävä luvun 536 logaritmin mantissa. Tämän luvun kaksi ensimmäistä numeroa, eli 53, löytyvät taulukoista vasemmalla olevassa ensimmäisessä pystysarakkeessa (katso taulukko). Kun olet löytänyt luvun 53, siirrymme siitä vaakaviivaa pitkin oikealle, kunnes tämä viiva leikkaa pystysuoran sarakkeen, joka kulkee yhden yläreunassa olevista numeroista 0, 1, 2, 3,... 9 (ja taulukon alaosa), joka on 3. numero tietystä luvusta, eli esimerkissämme luku 6. Leikkaukseen saadaan mantissa 7292 (eli 0,7292), joka kuuluu luvun 536 logaritmiin. , numerolle 508 löydämme mantissan 0,7059, numerolle 500 löydämme 0,6990 jne.

2) Kokonaisluku koostuu 2 tai 1 numerosta. Sitten annamme henkisesti yhden tai kaksi nollaa tälle numerolle ja löydämme näin muodostetun kolminumeroisen luvun mantissan. Esimerkiksi lisäämme yhden nollan numeroon 51, josta saamme 510 ja löydämme mantissan 7070; numeroon 5 annamme 2 nollaa ja löydämme mantissan 6990 jne.

3) Kokonaisluku ilmaistaan ​​4 numerolla. Esimerkiksi, sinun on löydettävä mantissa logista 5436. Sitten löydämme taulukoista ensin, kuten juuri osoitettiin, mantissa numerolle, jota edustavat tämän luvun 3 ensimmäistä numeroa, eli 543 (tämä mantissa on 7348) ; sitten siirrymme löydetystä mantissasta vaakaviivaa pitkin oikealle (taulukon oikealle puolelle, joka sijaitsee paksun pystyviivan takana), kunnes se leikkaa pystysuoran sarakkeen, joka kulkee yhden numeron kautta: 1, 2 3,. .. 9, joka sijaitsee tämän taulukon osan yläosassa (ja alareunassa ), joka edustaa tietyn luvun 4. numeroa, eli esimerkissämme numeroa 6. Leikkauksesta löydämme korjauksen (numero 5), joka täytyy soveltaa henkisesti mantissaan 7348 saadakseen numeron 5436 mantissan; Näin saamme mantissan 0,7353.

4) Kokonaisluku ilmaistaan ​​viidellä tai useammalla numerolla. Sitten hylkäämme kaikki numerot ensimmäistä 4 lukuun ottamatta ja otamme likimääräisen nelinumeroisen luvun ja lisäämme tämän luvun viimeistä numeroa 1:llä tässä numerossa. tapaus, jossa luvun hylätty 5. numero on 5 tai enemmän kuin 5. Eli 57842:n sijasta otamme 5784:n, 30257:n sijaan 3026, 583263:n sijaan 5833 jne. Tästä pyöristetystä nelinumeroisesta luvusta löydämme mantissan, kuten juuri selitettiin.

Etsitään näiden ohjeiden johdolla esimerkiksi seuraavien lukujen logaritmit:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Ensinnäkin, siirrymättä nyt taulukoihin, kirjoitamme vain ominaisuudet, jättäen tilaa mantissoille, jotka kirjoitamme sen jälkeen:

log 36,5 = 1,... log 0,00345 = 3,....

log 804,7 = 2,... log 7,2634 = 0,....

log 0,26 = 1,... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Huom. Joissakin nelinumeroisissa taulukoissa (esimerkiksi taulukoissa V. Lorchenko ja N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) tämän numeron 4. numeron korjauksia ei tehdä. Tällaisia ​​taulukoita käsiteltäessä nämä korjaukset on löydettävä yksinkertaisella laskutoimituksella, joka voidaan suorittaa seuraavan totuuden perusteella: jos luvut ylittävät 100 ja niiden väliset erot ovat pienempiä kuin 1, niin se ilman herkkää virhettä sen voi olettaa logaritmien väliset erot ovat verrannollisia vastaavien lukujen välisiin eroihin . Olkoon esimerkiksi, että meidän on löydettävä mantissa, joka vastaa numeroa 5367. Tämä mantissa on tietysti sama kuin numerolla 536.7. Löydämme taulukoista numeron 536 mantissan 7292. Vertaamalla tätä mantissaa oikealla olevaan mantissaan 7300, joka vastaa numeroa 537, huomaamme, että jos luku 536 kasvaa yhdellä, niin sen mantissa kasvaa 8 kymmenellä -tuhannesosa (8 on ns taulukon ero kahden vierekkäisen mantissan välissä); jos luku 536 kasvaa 0,7, niin sen mantissa ei kasva 8 kymmentuhannen osalla, vaan pienemmällä luvulla X kymmenen tuhannesosaa, joiden on oletetun suhteellisuuden mukaan täytettävä suhteet:

X :8 = 0,7:1; missä X = 8 07 = 5,6,

joka pyöristetään kuuteen kymmenesosaan. Tämä tarkoittaa, että luvun 536,7 (ja siten luvun 5367) mantissa on: 7292 + 6 = 7298.

Huomaa, että väliluvun etsiminen kahden vierekkäisen taulukon numeron avulla kutsutaan interpolointi. Tässä kuvattu interpolointi on ns suhteellinen, koska se perustuu oletukseen, että logaritmin muutos on verrannollinen luvun muutokseen. Sitä kutsutaan myös lineaariseksi, koska se olettaa, että logaritmisen funktion muutos ilmaistaan ​​graafisesti suoralla viivalla.

281. Likimääräisen logaritmin virheraja. Jos luku, jonka logaritmia haetaan, on tarkka luku, niin sen logaritmin virheraja, joka löytyy 4-numeroisista taulukoista, voidaan ottaa, kuten sanoimme. 1 / 2 kymmenentuhannen osa. Jos tämä luku ei ole tarkka, niin tähän virherajaan on lisättävä myös toisen virheen raja, joka johtuu itse luvun epätarkkuudesta. On todistettu (jätämme tämän todisteen pois), että tällainen raja voidaan katsoa tuotteeksi

a(d +1) kymmenen tuhannesosaa.,

jossa A on virhemarginaali epätarkimmalle luvulle olettaen, että sen kokonaislukuosa sisältää 3 numeroa,a d mantissien taulukkoero, joka vastaa kahta peräkkäistä kolminumeroista lukua, joiden välissä annettu epätarkka luku on. Siten logaritmin lopullisen virheen raja ilmaistaan ​​kaavalla:

1 / 2 + a(d +1) kymmenen tuhannesosaa

Esimerkki. Etsi loki π , ottaen huomioon π likimääräinen luku 3.14, täsmälleen 1 / 2 sadasosa.

Siirtämällä pilkkua luvun 3.14 3. numeron jälkeen vasemmalta laskettuna saadaan kolminumeroinen luku 314, täsmälleen 1 / 2 yksiköt; Tämä tarkoittaa, että virhemarginaali epätarkalle numerolle, eli sille, mitä merkitsimme kirjaimella A , on 1 / 2 Taulukoista löydämme:

log 3,14 = 0,4969.

Pöydän ero d lukujen 314 ja 315 mantissien välillä on 14, joten löydetyn logaritmin virhe on pienempi

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 kymmenesosaa.

Koska emme tiedä logaritmista 0,4969, onko se puutteellinen vai liiallinen, voimme vain taata, että tarkka logaritmi π on välillä 0,4969 - 0,0008 ja 0,4969 + 0,0008, eli 0,4961< log π < 0,4977.

282. Etsi luku tietyllä logaritmilla. Löytääksesi luvun tietyllä logaritmilla, samojen taulukoiden avulla voidaan löytää tiettyjen lukujen mantissoja; mutta on kätevämpää käyttää muita taulukoita, jotka sisältävät ns. antilogaritmit eli näitä mantissoja vastaavat numerot. Nämä taulukot, jotka on merkitty yläosassa olevalla merkinnällä "antilogaritmit", on sijoitettu tämän kirjan loppuun logaritmitaulukoiden jälkeen; pieni osa niistä on sijoitettu tälle sivulle (selvitystä varten).

Oletetaan, että sinulle annetaan 4-numeroinen mantissa 2863 (emme kiinnitä huomiota ominaisuuteen) ja sinun on löydettävä vastaava kokonaisluku. Sitten, kun sinulla on antilogaritmitaulukot, sinun on käytettävä niitä täsmälleen samalla tavalla kuin aiemmin selitettiin löytääksesi mantissa tietylle numerolle, nimittäin: löydämme mantissan 2 ensimmäistä numeroa ensimmäisestä sarakkeesta vasemmalla. Sitten siirrymme näistä numeroista vaakaviivaa pitkin oikealle, kunnes se leikkaa pystysuoran sarakkeen, joka tulee mantissan 3. numerosta, jota on etsittävä yläriviltä (tai alapuolelta). Risteyksestä löydämme nelinumeroisen luvun 1932, joka vastaa mantissaa 286. Sitten tästä numerosta siirrymme vaakaviivaa pitkin edelleen oikealle mantissan 4. numerosta tulevan pystysarakkeen leikkauspisteeseen, jonka täytyy löytyy ylhäältä (tai alhaalta) sinne sijoitettujen numeroiden 1, 2 , 3,... 9 joukosta. Risteyksestä löytyy korjaus 1, joka täytyy soveltaa (mielessä) aiemmin löydettyyn numeroon 1032 järjestykseen saadaksesi mantissaa 2863 vastaavan numeron.

Luku on siis 1933. Tämän jälkeen, huomioimalla ominaisuuden, sinun on asetettava varattu oikeaan paikkaan numerossa 1933. Esimerkiksi:

Jos Hirsi x = 3,2863 siis X = 1933,

„ Hirsi x = 1,2863, „ X = 19,33,

, Hirsi x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ Hirsi x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Tässä lisää esimerkkejä:

Hirsi x = 0,2287, X = 1,693,

Hirsi x = 1 ,7635, X = 0,5801,

Hirsi x = 3,5029, X = 3184,

Hirsi x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Jos mantissa sisältää 5 tai enemmän numeroa, otamme vain ensimmäiset 4 numeroa ja hylkäämme loput (ja lisäämme neljättä numeroa yhdellä, jos viidennessä numerossa on viisi tai enemmän). Esimerkiksi mantissan 35478 sijaan otamme 3548:n, 47562:n sijasta 4756.

283. Huom. Korjaus mantissan neljänteen ja sitä seuraaviin numeroihin löytyy myös interpoloimalla. Joten, jos mantissa on 84357, niin löydettyämme mantissaa 843 vastaavan luvun 6966 voimme edelleen perustella seuraavasti: jos mantissa kasvaa 1:llä (tuhannesosa), eli se on 844, niin luku, kuten näkyy taulukoista, kasvaa 16 yksiköllä; jos mantissa ei kasva 1:llä (tuhannesosa), vaan 0,57:llä (tuhannesosa), luku kasvaa X yksiköt ja X on täytettävä mittasuhteet:

X : 16 = 0,57: 1, mistä x = 16 0,57 = 9,12.

Tämä tarkoittaa, että vaadittava numero on 6966+ 9.12 = 6975.12 tai (vain neljään numeroon) 6975.

284. Löydetyn numeron virheraja. On todistettu, että siinä tapauksessa, että löydetyssä luvussa pilkku on 3. luvun jälkeen vasemmalta, eli logaritmin ominaisuus on 2, summa voidaan ottaa virherajaksi

Missä A on logaritmin virheraja (ilmaistuna kymmenessä tuhannesosassa), jolla luku löydettiin, ja d - kahden kolminumeroisen peräkkäisen luvun mantissien välinen ero, joiden välissä löydetty numero on (pilkku 3. numeron jälkeen vasemmalta). Kun ominaisuus ei ole 2, vaan jokin muu, niin löydetyssä numerossa pilkkua on siirrettävä vasemmalle tai oikealle, eli jaettava tai kerrottava luku jollain potenssilla 10. Tässä tapauksessa virhe tuloksesta myös jaetaan tai kerrotaan samalla potenssilla 10.

Olkoon esimerkiksi, että etsimme lukua logaritmin avulla 1,5950 , jonka tiedetään olevan tarkkuudella 3 kymmenen tuhannesosaa; se tarkoittaa sitten A = 3 . Tätä logaritmia vastaava luku, joka löytyy antilogaritmien taulukosta, on 39,36 . Siirtämällä pilkkua 3. numeron jälkeen vasemmalta, meillä on numero 393,6 , joka koostuu väliltä 393 Ja 394 . Logaritmitaulukoista näemme, että näitä kahta numeroa vastaavien mantissien välinen ero on 11 kymmenen tuhannesosaa; Keinot d = 11 . Numeron 393.6 virhe on pienempi

Tämä tarkoittaa, että numerossa on virhe 39,36 tulee vähemmän 0,05 .

285. Operaatiot logaritmeille, joilla on negatiiviset ominaisuudet. Logaritmien lisääminen ja vähentäminen ei aiheuta vaikeuksia, kuten seuraavista esimerkeistä voidaan nähdä:

Ei myöskään ole vaikeuksia kertoa logaritmi positiivisella luvulla, esimerkiksi:

Viimeisessä esimerkissä positiivinen mantissa kerrotaan erikseen 34:llä, sitten negatiivinen ominaisuus kerrotaan 34:llä.

Jos negatiivisen ominaisuuden ja positiivisen mantissan logaritmi kerrotaan negatiivisella luvulla, toimitaan kahdella tavalla: joko annetusta logaritmista muutetaan ensin negatiivinen tai mantissa ja ominaisuus kerrotaan erikseen ja tulokset yhdistetään esim. :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Jaettaessa voi syntyä kaksi tapausta: 1) negatiivinen ominaisuus jaetaan ja 2) ei ole jaollinen jakajalla. Ensimmäisessä tapauksessa ominaisuus ja mantissa erotetaan erikseen:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

Toisessa tapauksessa ominaisuuteen lisätään niin monta negatiivista yksikköä, että tuloksena oleva luku jaetaan jakajalla; sama määrä positiivisia yksiköitä lisätään mantissaan:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Tämä muutos on tehtävä mielessä, joten toiminta menee näin:

286. Vähennettyjen logaritmien korvaaminen termeillä. Kun lasket joitain monimutkaisia ​​lausekkeita logaritmeilla, sinun on lisättävä joitain logaritmeja ja vähennettävä toiset; tässä tapauksessa tavanomaisella toimintojen suorittamistavalla he löytävät erikseen lisättyjen logaritmien summan, sitten vähennettyjen summan ja vähentävät toisen ensimmäisestä summasta. Esimerkiksi, jos meillä on:

Hirsi X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

sitten tavallinen toimintojen suorittaminen näyttää tältä:

Vähennys on kuitenkin mahdollista korvata yhteenlaskemalla. Niin:

Nyt voit järjestää laskennan seuraavasti:

287. Esimerkkejä laskelmista.

Esimerkki 1. Arvioi lauseke:

Jos A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Ja D = 7,246.

Otetaan tämän lausekkeen logaritmi:

Hirsi X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Nyt, välttääksemme tarpeettoman ajanhukan ja vähentääksemme virheiden mahdollisuutta, järjestämme ensin kaikki laskelmat suorittamatta niitä toistaiseksi ja siksi viittaamatta taulukoihin:

Tämän jälkeen otamme taulukot ja laitamme logaritmit jäljellä oleviin vapaisiin tiloihin:

Virherajoitus. Ensin selvitetään luvun virheraja x 1 = 194,5 , yhtä kuin:

Joten ensin sinun on löydettävä A , eli likimääräisen logaritmin virheraja, ilmaistuna kymmenessä tuhannesosassa. Oletetaan, että nämä luvut A, B, C Ja D kaikki ovat tarkkoja. Tällöin yksittäisten logaritmien virheet ovat seuraavat (kymmenen tuhannesosissa):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 lisätty, koska jakaessamme 3:lla logaritmilla 1,9146, pyöristimme osamäärän hylkäämällä sen viidennen numeron, ja siksi teimme vielä pienemmän virheen 1 / 2 kymmenesosa).

Nyt löydämme logaritmin virherajan:

A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (kymmenen tuhannesosa).

Määritellään tarkemmin d . Koska x 1 = 194,5 , sitten 2 peräkkäistä kokonaislukua, joiden välissä on x 1 tahtoa 194 Ja 195 . Pöydän ero d näitä lukuja vastaavien mantissien välillä on yhtä suuri kuin 22 . Tämä tarkoittaa, että luvun virheraja on x 1 On:

Koska x = x 1 : 10, sitten virheraja numerossa x on yhtä suuri 0,3:10 = 0,03 . Löysimme siis numeron 19,45 eroaa tarkasta määrästä vähemmän kuin 0,03 . Koska emme tiedä, löytyikö approksimaatiomme puute vai ylimäärä, voimme vain taata sen

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , eli

19,48 > X > 19,42 ,

ja siksi, jos hyväksymme X =19,4 , niin meillä on likimääräinen haitallinen arvio, jonka tarkkuus on jopa 0,1.

Esimerkki 2. Laskea:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Koska negatiivisilla luvuilla ei ole logaritmeja, löydämme ensin:

X" = (2,31) 3 5 √72

hajoamalla:

Hirsi X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

Laskennan jälkeen selviää:

X" = 28,99 ;

siten,

x = - 28,99 .

Esimerkki 3. Laskea:

Jatkuvaa logaritmisointia ei voi käyttää tässä, koska juuren etumerkki on c u m m a. Laske tällöin kaava osittain.

Ensin löydämme N = 5 √8 , Sitten N 1 = 4 √3 ; sitten yksinkertaisella summauksella määritämme N+ N 1 , ja lopuksi laskemme 3 √N+ N 1 ; käy ilmi:

N = 1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

Hirsi x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2,830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Luku neljä.

Eksponentiaaliset ja logaritmiset yhtälöt.

288. Eksponentiaaliyhtälöt ovat niitä, joissa tuntematon sisältyy eksponenttiin ja logaritminen- ne, joihin tuntematon tulee merkin alle Hirsi. Tällaiset yhtälöt voivat olla ratkaistavissa vain erikoistapauksissa, ja täytyy luottaa logaritmien ominaisuuksiin ja periaatteeseen, että jos luvut ovat yhtä suuret, niin niiden logaritmit ovat yhtä suuret, ja päinvastoin, jos logaritmit ovat yhtä suuret, niin vastaavat luvut ovat yhtä suuret.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö: 2 x = 1024 .

Logaritoidaan yhtälön molemmat puolet:

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö: a 2x - a x = 1 . Laittaminen a x = klo , saamme toisen asteen yhtälön:

y 2 - klo - 1 = 0 ,

Koska 1-√5 < 0 , niin viimeinen yhtälö on mahdoton (funktio a x aina on positiivinen luku), ja ensimmäinen antaa:

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö:

Hirsi( a + x) + loki ( b + x) = loki ( c + x) .

Yhtälö voidaan kirjoittaa näin:

Hirsi[( a + x) (b + x)] = loki ( c + x) .

Logaritmien yhtälöstä päätämme, että luvut ovat yhtä suuret:

(a + x) (b + x) = c + x .

Tämä on toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisu ei ole vaikeaa.

Luku viisi.

Korkokorko, määräaikaiset maksut ja määräaikaiset maksut.

289. Perusongelma koronkorosta. Kuinka paljon pääoma muuttuu? A ruplaa, ilmoitettuna kasvuna R korkokorko sen jälkeen t vuotta ( t - kokonaisluku)?

He sanovat, että pääomaa maksetaan korkokorolla, jos niin sanottu "korkokorko" otetaan huomioon, eli jos pääomalle maksettava korkoraha lisätään pääomaan jokaisen vuoden lopussa korotuksen lisäämiseksi. sitä mielenkiinnolla seuraavina vuosina.

Jokainen pääoman rupla luovutetaan R %, tuo voittoa vuoden sisällä s / 100 ruplaa, ja siksi jokainen pääoman rupla yhden vuoden aikana muuttuu 1 + s / 100 ruplaa (esimerkiksi jos pääoma annetaan 5 %, niin jokainen sen rupla vuodessa muuttuu 1 + 5 / 100 , eli sisään 1,05 rupla).

Lyhytisyys tarkoittaa murtolukua s / 100 yhdellä kirjaimella esim. r , voimme sanoa, että jokainen pääoman rupla vuodessa muuttuu 1 + r ruplaa; siten, A ruplaa palautetaan 1 vuoden kuluttua A (1 + r ) hieroa. Toisen vuoden kuluttua, eli 2 vuotta kasvun alkamisesta, jokainen rupla näistä A (1 + r ) hieroa. ottaa uudelleen yhteyttä 1 + r hieroa.; Tämä tarkoittaa, että kaikki pääoma muuttuu A (1 + r ) 2 hieroa. Samalla tavalla huomaamme, että kolmen vuoden kuluttua pääkaupunki on A (1 + r ) 3 , se on neljän vuoden kuluttua A (1 + r ) 4 ,... yleensä läpi t vuotta jos t on kokonaisluku, se kääntyy A (1 + r ) t hieroa. Eli merkitsee A lopullinen pääoma, meillä on seuraava korkokaava:

A = A (1 + r ) t Missä r = s / 100 .

Esimerkki. Antaa a =2300 ruplaa, s = 4, t=20 vuotta; sitten kaava antaa:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2 300 (1,04) 20.

Laskea A, käytämme logaritmeja:

Hirsi a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617 + 0,3400 = 3,7017.

A = 5031 rupla.

Kommentti. Tässä esimerkissä meidän oli pakko loki 1.04 Kerro 20 . Numerosta lähtien 0,0170 on likimääräinen arvo loki 1.04 aikeissa 1 / 2 kymmentuhannen osa, sitten tämän luvun tulo 20 se on varmasti vain kunnes 1 / 2 20, eli 10 kymmenesosaan asti = 1 tuhannesosa. Yhteensä siis 3,7017 Emme voi taata vain kymmenen tuhannesosan määrää, vaan myös tuhannesosien määrää. Suuremman tarkkuuden saavuttamiseksi tällaisissa tapauksissa se on parempi numerolle 1 + r ota logaritmit, joissa ei ole 4 numeroa, vaan esimerkiksi suuri määrä numeroita. 7-numeroinen. Tätä tarkoitusta varten esitämme tässä pienen taulukon, jossa 7-numeroiset logaritmit on kirjoitettu yleisimmille arvoille R .

290. Päätehtävä on kiireelliset maksut. Joku otti A ruplaa per R % ehdolla maksaa velka takaisin korkoineen t maksamalla saman summan kunkin vuoden lopussa. Mikä tämän määrän pitäisi olla?

Summa x , maksetaan vuosittain tällaisissa olosuhteissa, kutsutaan kiireelliseksi maksuksi. Merkitään taas kirjaimella r vuosikorko rahaa 1 ruplasta, eli numero s / 100 . Sitten ensimmäisen vuoden loppuun mennessä velka A kasvaa A (1 + r ), perusmaksu X se maksaa ruplaa A (1 + r )-X .

Toisen vuoden loppuun mennessä jokainen tämän summan rupla muuttuu jälleen 1 + r ruplaa, ja siksi velka on [ A (1 + r )-X ](1 + r ) = A (1 + r ) 2 - x (1 + r ) ja maksua vastaan x ruplaa tulee: A (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . Samalla tavalla huolehdimme siitä, että velka on 3. vuoden loppuun mennessä

A (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

ja ylipäätään ja loppu t vuosi tulee olemaan:

A (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , tai

A (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

Suluissa oleva polynomi edustaa geometrisen progression ehtojen summaa; jossa on ensimmäinen jäsen 1 , viimeinen ( 1 + r ) t -1, ja nimittäjä ( 1 + r ). Geometrisen progression termien summan kaavalla (10 § 3 luku 249 §) saadaan:

ja velan määrä sen jälkeen t - maksu tulee olemaan:

Ongelman ehtojen mukaan velka on lopussa t -vuoden on oltava yhtä suuri kuin 0 ; Siksi:

missä

Tätä laskettaessa kiireelliset maksukaavat logaritmeja käyttämällä meidän on ensin löydettävä apuluku N = (1 + r ) t logaritmin mukaan: log N= t log(1+ r) ; löydettyään N, vähennä siitä 1, niin saadaan kaavan nimittäjä X, jonka jälkeen löydämme toissijaisella logaritmilla:

Hirsi X= loki a+ log N + log r - log (N - 1).

291. Aikakausimaksujen päätehtävä. Joku tallettaa saman summan pankkiin jokaisen vuoden alussa. A hieroa. Määritä, mikä pääoma näistä maksuista muodostuu sen jälkeen t vuotta, jos pankki maksaa R korkoa korolle.

Nimeänyt r vuosikorkorahaa 1 ruplasta, ts. s / 100 , perustelemme näin: ensimmäisen vuoden loppuun mennessä pääkaupunki on A (1 + r );

2. vuoden alussa lisätään tähän summaan A ruplaa; tämä tarkoittaa, että tällä hetkellä pääomaa on A (1 + r ) + a . Toisen vuoden lopussa hän on A (1 + r ) 2 + a (1 + r );

3. vuoden alussa se syötetään uudelleen A ruplaa; tämä tarkoittaa, että tällä hetkellä on pääomaa A (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + A ; 3. päivän loppuun mennessä hän on A (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Jatkamalla näitä väitteitä edelleen, huomaamme, että lopussa t vuosi vaaditun pääoman A tahtoa:

Tämä on kaava kunkin vuoden alussa suoritetuille määräaikaismaksuille.

Sama kaava voidaan saada seuraavalla päättelyllä: käsiraha osoitteeseen A ruplaa pankissa ollessaan t vuosi, muuttuu korkokaavan mukaan A (1 + r ) t hieroa. Toinen erä, ollessaan pankissa vuoden vähemmän, ts. t - 1 vuotta vanha, ota yhteyttä A (1 + r ) t-1 hieroa. Samoin kolmas erä antaa A (1 + r ) t-2 jne., ja lopulta viimeinen erä, joka on ollut pankissa vain 1 vuoden, menee A (1 + r ) hieroa. Tämä tarkoittaa lopullista pääomaa A hieroa. tahtoa:

A= A (1 + r ) t + A (1 + r ) t-1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ),

joka yksinkertaistamisen jälkeen antaa yllä olevan kaavan.

Kun lasket tämän kaavan logaritmeilla, sinun on edettävä samalla tavalla kuin kiireellisten maksujen kaavaa laskettaessa, eli ensin löydettävä luku N = ( 1 + r ) t logaritmillaan: log N= t Hirsi(1 + r ), sitten numero N-1 ja ota sitten kaavan logaritmi:

log A = loki a+log(1+ r) + log (N - 1) - 1 ogr

Kommentti. Jos kiireellinen panos A hieroa. ei suoritettu jokaisen vuoden alussa, vaan lopussa (esimerkiksi kiireellinen maksu suoritetaan X velan maksamiseksi), niin päätellen samalla tavalla kuin edellinen, huomaamme, että lopussa t vuosi vaaditun pääoman A" hieroa. tulee olemaan (mukaan lukien viimeinen erä A hiero, ei korkoa):

A"= A (1 + r ) t-1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ) + A

joka on yhtä suuri kuin:

eli A" päätyy ( 1 + r ) kertaa vähemmän A, mikä oli odotettavissa, koska jokainen pääoman rupla A" on pankissa vuoden vähemmän kuin vastaava pääoman rupla A.

1. Tarkista, onko logaritmimerkin alla negatiivisia lukuja vai yksi. Tätä menetelmää voidaan soveltaa muodon ilmauksiin log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Se ei kuitenkaan sovellu joihinkin erikoistapauksiin:

   • Negatiivisen luvun logaritmi on määrittelemätön missään kannassa (esim. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) tai log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4) (-5))). Kirjoita tässä tapauksessa "ei ratkaisua".
   • Nollan logaritmi mihin tahansa kantaan on myös määrittelemätön. Jos jää kiinni ln ⁡ (0) (\näyttötyyli \ln(0)), kirjoita "ei ratkaisua".
   • Yhden logaritmi mihin tahansa kantaan ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) on aina nolla, koska x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) kaikille arvoille x. Kirjoita 1 tämän logaritmin sijaan äläkä käytä alla olevaa menetelmää.
   • Jos logaritmeilla on esimerkiksi eri kanta l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), eikä niitä pelkistetä kokonaisluvuiksi, lausekkeen arvoa ei löydy manuaalisesti.

2. Muunna lauseke yhdeksi logaritmiksi. Jos lauseke ei päde yllä oleviin erikoistapauksiin, se voidaan ilmaista yhtenä logaritmina. Käytä tähän seuraavaa kaavaa: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Esimerkki 1: Harkitse lauseketta log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))).
     Esitetään ensin lauseke yhtenä logaritmina käyttämällä yllä olevaa kaavaa: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Tämä kaava logaritmin "kannan korvaamiseksi" on johdettu logaritmien perusominaisuuksista.

3. Jos mahdollista, arvioi lausekkeen arvo manuaalisesti. Löytää log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), kuvittele ilmaus " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", eli kysy seuraava kysymys: "Mihin valtaan sinun tulisi nostaa a, Saada haltuunsa x?. Tähän kysymykseen vastaaminen saattaa vaatia laskimen, mutta jos olet onnekas, voit löytää sen manuaalisesti.

   • Esimerkki 1 (jatkuu): Kirjoita uudelleen muotoon 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Sinun on selvitettävä, mikä numero tulee olla "?"-merkin tilalla. Tämä voidaan tehdä yrityksen ja erehdyksen avulla:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\näyttötyyli 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\näyttötyyli 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\näyttötyyli 2^(4)=8*2=16)
     Joten etsimämme numero on 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Jätä vastauksesi logaritmisessa muodossa, jos et voi yksinkertaistaa sitä. Monia logaritmeja on erittäin vaikea laskea käsin. Tässä tapauksessa tarvitset laskimen saadaksesi tarkan vastauksen. Jos kuitenkin ratkaiset tehtävää tunnilla, opettaja on todennäköisesti tyytyväinen vastaukseen logaritmisessa muodossa. Alla käsiteltyä menetelmää käytetään monimutkaisemman esimerkin ratkaisemiseen:

   • esimerkki 2: mikä on yhtä suuri log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Muunnetaan tämä lauseke yhdeksi logaritmiksi: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ loki_(7)(58)). Huomaa, että molemmille logaritmille yhteinen kanta 3 katoaa; tämä on totta mistä tahansa syystä.
   • Kirjoitetaan lauseke muotoon uudelleen 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) ja yritetään löytää arvo?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\näyttötyyli 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\näyttötyyli 7^(3) = 49*7 = 343)
     Koska 58 on näiden kahden luvun välissä, sitä ei ilmaista kokonaislukuna.
   • Jätämme vastauksen logaritmiseen muotoon: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7) (58)).