Onko avaruus vahingossa? Joukko satunnaisia \u200b\u200btapahtumia on ennustettavissa, vaikka yksittäiset tapahtumat eivät olisikaan.

Online-noppageneraattorin etu tavallisiin noppiin nähden on ilmeinen - se ei koskaan eksy! Virtuaalinen kuutio selviää toiminnoistaan \u200b\u200bpaljon paremmin kuin todellinen - tulosten manipulointi on täysin poissuljettua ja voi vain toivoa Hänen majesteettinsa mahdollisuudesta. Noppa verkossa on muun muassa hauskaa vapaa-ajalla. Tuloksen luominen kestää kolme sekuntia, mikä lämmittää pelaajien jännitystä ja kiinnostusta. Nopparullien simuloimiseksi sinun tarvitsee vain painaa näppäimistön "1" -painiketta, jolloin voit olla häiritsemättä esimerkiksi jännittävää lautapeliä.

Noppaiden lukumäärä:

Auta palvelua yhdellä napsautuksella: Kerro ystävillesi generaattorista!

Kun kuulemme sellaisen lauseen kuin "Noppa", tulee heti kasinoyhdistys, jossa he eivät yksinkertaisesti voi tehdä ilman niitä. Aluksi muistetaan vain vähän mikä tämä esine on.

Nopat ovat kuutioita, joiden jokaisella reunalla pisteet edustavat numeroita 1 - 6. Kun heitämme ne, toivomme aina, että suunnittelemamme ja toivomamme numero putoaa. Mutta on aikoja, jolloin reunaan putoava kuutio ei näytä numeroa. Tämä tarkoittaa, että joka heitti, voi valita kenen tahansa.

Sattuu myös, että kuutio voi rullata sängyn tai vaatekaapin alle, ja kun se poistetaan sieltä, numero muuttuu vastaavasti. Tällöin luu heitetään uudestaan, jotta kaikki näkevät numeron selvästi.

Online-nopparulla yhdellä napsautuksella

Pelissä, jossa on tavalliset noppat, on helppo huijata. Halutun numeron saamiseksi sinun on laitettava kuution tämä puoli päälle ja kierrettävä niin, että se pysyy samana (vain sivuosa pyörii). Tämä on puutteellinen takuu, mutta voittoprosentti on seitsemänkymmentäviisi prosenttia.

Jos käytät kahta noppaa, mahdollisuudet pienenevät kolmekymmentä, mutta tämä ei ole pieni prosenttiosuus. Petosten takia monet pelaajakampanjat eivät halua käyttää noppaa.

Todellakin, upea palvelumme toimii juuri sellaisten tilanteiden välttämiseksi. Kanssamme on mahdotonta huijata, koska online-nopparullaa ei voida väärentää. Numero 1-6 ilmestyy sivulle täysin satunnaisella ja hallitsemattomalla tavalla.

Kätevä nopanmuodostin

Erittäin suuri etu on, että online-noppageneraattoria ei voi hukata (sitäkin enemmän, se voidaan lisätä kirjanmerkkeihin) ja tavallinen pieni noppu voi helposti kadota jonnekin. Valtava plus on myös se, että tulosten manipulointi on täysin suljettu pois. Generaattorilla on toiminto, jonka avulla voit valita yhdestä kolmeen noppaa kerralla.

Online-nopanmuodostin on erittäin mielenkiintoinen viihde, yksi tapa kehittää intuitiota. Käytä palvelumme ja saa välittömiä ja luotettavia tuloksia.

Yleisin muoto on kuutio, jonka kummallakin puolella on esitetty numerot yhdestä kuuteen. Pelaaja heittää sen tasaiselle pinnalle ja näkee tuloksen yläreunalla. Luut ovat todellinen suupala sattumalle, onnelle tai huonolle onnelle.

Satunnaisuus.
Kuutiot (luut) ovat olleet olemassa pitkään, mutta ne saivat perinteisen ulkonäön kuudella puolella noin 2600 eKr. e. Muinaiset kreikkalaiset rakastivat leikkiä noppilla, ja legendoissaan sankaria Palamedia, jota Odysseus syyttää perusteettomasti maanpetoksesta, kutsutaan heidän keksijöksi. Legendan mukaan hän keksi tämän pelin viihdyttääkseen sotilaita, jotka piirittivät Troojaa, jonka valtava puuhevonen vangitsi. Roomalaiset nauttivat Julius Caesarin aikana myös erilaisista noppapeleistä. Latinaksi kuutiota kutsuttiin datumiksi, mikä tarkoittaa "annettu".

Kiellot.
Keskiajalla, noin 1100-luvulla, noppapelistä tuli erittäin suosittu Euroopassa: kuutiot, jotka voidaan ottaa mukaasi kaikkialle, ovat suosittuja sekä sotilaiden että talonpoikien keskuudessa. Yli kuusisataa erilaista peliä sanotaan olevan olemassa! Nopan tuottamisesta on tulossa erillinen ammatti. Kuningas Louis IX (1214-1270) palasi ristiretkeltä ja hylkäsi uhkapelit ja käski noppien tuotannon kieltää koko valtakunnassa. Enemmän kuin itse peli, viranomaiset olivat tyytymättömiä siihen liittyviin mellakoihin - sitten he pelasivat pääasiassa tavernoissa ja osapuolet päättyivät usein taisteluihin ja puukotuksiin. Mutta mikään kielto ei estänyt noppaa selviämästä aikaa ja selviytymästä tähän päivään saakka.

Luut "latauksella"!
Muotorullan tulos on aina satunnainen, mutta jotkut huijarit yrittävät muuttaa sitä. Poraamalla reikä kuutioon ja kaatamalla lyijyä tai elohopeaa siihen, voit saavuttaa saman tuloksen joka kerta kun heität. Tällaista kuutiota kutsutaan "varatuksi". Valmistettu eri materiaaleista, olipa se kulta, kivi, kristalli, luu, noppilla voi olla erilainen muoto. Suuret pyramidit rakentaneiden egyptiläisten faraoiden haudoista on löydetty pieniä pyramidin (tetraedrin) muotoisia noppia! Eri aikoina luita tehtiin 8, 10, 12, 20 ja jopa 100 sivua. Yleensä niihin käytetään numeroita, mutta kirjaimet tai kuvat voivat myös ilmestyä niiden tilalle, mikä antaa tilaa mielikuvitukselle.

Kuinka heittää noppaa.
Nopat eivät ole vain eri muotoisia, mutta niillä on myös erilaisia \u200b\u200btapoja pelata. Jotkut pelit edellyttävät rullan tekemistä tietyllä tavalla, yleensä lasketun heiton välttämiseksi tai estääkseen muotin pysähtymisen kaltevassa asennossa. Joskus niihin kiinnitetään erityinen lasi, jotta vältetään huijaaminen tai putoaminen pelipöydältä. Englanninkielisessä kreppipelissä kaikkien kolmen noppan on välttämättä osuma pelipöytään tai seinään estääkseen huijareita väärentämästä heittoa yksinkertaisesti siirtämällä noppaa, muttei kääntämällä sitä.

Satunnaisuus ja todennäköisyys.
Muotti antaa aina satunnaisen tuloksen, jota ei voida ennustaa. Yhdellä kuolemalla pelaajalla on samat mahdollisuudet heittää 1 kuin 6 - kaikki määritetään sattumalta. Kahdella nopalla päinvastoin satunnaisuuden taso laskee, koska pelaajalla on enemmän tietoa tuloksesta: esimerkiksi kahdella nopalla numero 7 voidaan saada monin tavoin - heittämällä 1 ja 6, 5 ja 2 , tai 4 ja 3 ... Mutta mahdollisuus saada numero 2 on vain yksi: heittää kahdesti 1. Näin ollen todennäköisyys saada 7 on suurempi kuin saada 2! Tätä kutsutaan todennäköisyysteoriaksi. Tähän periaatteeseen liittyy monia pelejä, etenkin käteispelejä.

Nopan käytöstä.
Noppa voi olla itsenäinen peli ilman muita elementtejä. Ainoa asia, jota käytännössä ei ole, on pelit yhdelle kuutiolle. Säännöt edellyttävät vähintään kahta (esimerkiksi kreppiä). Noppapokerin pelaamiseen tarvitaan viisi noppaa, kynä ja paperi. Tavoitteena on täyttää yhdistelmiä, jotka ovat samanlaisia \u200b\u200bkuin saman nimisen korttipelin yhdistelmät, kirjoittamalla heille pisteitä erityiseen taulukkoon. Lisäksi kuutio on erittäin suosittu osa lautapelejä, joten voit siirtää pelimerkkejä tai päättää pelitaistelujen lopputuloksen.

Die on valettu.
Vuonna 49 eKr. e. nuori Julius Caesar valloitti Gallian ja palasi Pompejiin. Mutta hänen voimansa herättivät huolta senaattoreista, jotka päättivät hajottaa armeijansa ennen paluutaan. Saapuessaan tasavallan rajoille tuleva keisari päättää rikkoa järjestystä ylittämällä sen armeijan kanssa. Ennen kuin ylitti Rubiconin (joki, joka oli raja), hän lausui "Alea jacta est" ("arpa on heitetty") legiooniensa edessä. Tästä sanasta on tullut saalislause, jonka merkitys on, että kuten pelissä, ei ole enää mahdollista peruuttaa joidenkin päätösten tekemisen jälkeen.

Kirjoittanut suunnittelija Tyler Sigman, Gamasutralla. Kutsun sitä mielelläni "hiuksiksi orkin sieraimiin", mutta se tekee melko hyvää työtä asettamalla pelien todennäköisyyksien perusteet.

Tämän viikon aihe

Tähän päivään asti melkein kaikki, josta olemme puhuneet, on ollut determinististä, ja viime viikolla tarkastelimme tarkasti transitiivista mekaniikkaa ja lajittelimme sen niin yksityiskohtaisesti kuin pystyn selittämään. Mutta toistaiseksi emme ole kiinnittäneet huomiota monien pelien valtavaan osaan, nimittäin ei-deterministisiin näkökohtiin, toisin sanoen satunnaisuuteen. Satunnaisuuden luonteen ymmärtäminen on erittäin tärkeää pelisuunnittelijoille, koska luomme järjestelmiä, jotka vaikuttavat pelaajan kokemukseen tietyssä pelissä, joten meidän on tiedettävä, miten nämä järjestelmät toimivat. Jos järjestelmässä on satunnaisuutta, sinun on ymmärrettävä luontotämä satunnaisuus ja miten sitä voidaan muuttaa tarvitsemiemme tulosten saamiseksi.

Noppa

Aloitetaan jollakin yksinkertaisella: noppien heittäminen. Kun useimmat ihmiset ajattelevat noppaa, he ajattelevat kuusisuuntaista kuolemaa, joka tunnetaan nimellä d6. Mutta useimmat pelaajat ovat nähneet monia muita noppia: tetraedrinen (d4), oktaedrinen (d8), kaksitoista (d12), kaksikymmentä (d20) ... ja jos esittäägeek, sinulla voi olla 30- tai 100-puolisia luita jossain. Jos et ole perehtynyt tähän terminologiaan, ”d” tarkoittaa kuolemaa ja sen jälkeistä lukua, kuinka monta kasvoa sillä on. Jos edessä"D" tarkoittaa lukua, se tarkoittaa määrä noppaa heitettäessä. Esimerkiksi monopolissa heität 2d6.

Joten tässä tapauksessa ilmaisu "noppaa" on tavanomainen nimitys. On olemassa valtava määrä muita satunnaislukugeneraattoreita, jotka eivät ole muovikokonaisuuden muotoisia, mutta suorittavat saman toiminnon satunnaisluvun generoimiseksi välillä 1 - n. Tavallisen kolikon voidaan ajatella olevan myös d2-kaksoiskappale. Näin kaksi seitsemänpuolisen noppan mallia: yksi näytti noppaa ja toinen näytti enemmän kuin seitsemänpuolinen puukynä. Tetraedrinen dreidel (tunnetaan myös nimellä titotum) on analoginen tetraedrisen luun kanssa. Pelikenttä pyörivällä nuolella pelissä "Chutes & Ladders", jossa tulos voi olla 1-6, vastaa kuusikulmaista noppaa. Tietokoneen satunnaislukugeneraattori voi luoda minkä tahansa luvun 1: stä 19: een, jos suunnittelija pyytää tällaista komentoa, vaikka tietokoneessa ei ole 19-puolisia noppia (puhun yleensä numeroiden saamisen todennäköisyydestä tarkemmin) tietokoneella osoitteessa seuraavaviikko). Vaikka nämä tuotteet näyttävät kaikki erilaisilta, ne ovat tosiasiallisesti samat: sinulla on samat mahdollisuudet saada yksi useista tuloksista.

Nopalla on mielenkiintoisia ominaisuuksia, joista meidän on tiedettävä. Ensinnäkin minkä tahansa kasvon putoamisen todennäköisyys on sama (oletan, että pyörit oikean muotin, ei epäsäännöllisen geometrisen muodon kanssa). Joten jos haluat tietää tarkoittaa heitto (tunnetaan myös niiden keskuudessa, jotka pitävät todennäköisyysaiheesta "matemaattisena odotuksena"), summaa kaikkien reunojen arvot ja jaa tämä summa määräkasvot. Keskimääräinen heitto tavalliselle kuusikulmalle on 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21, jaa se reunojen lukumäärällä (6), jolloin saadaan keskiarvo 21/6 \u003d 3,5. Tämä on erityistapaus, koska oletamme, että kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Entä jos sinulla on erityisiä noppia? Näin esimerkiksi pelin, jossa oli kuusikulmainen noppaa ja reunoilla erityiset tarrat: 1, 1, 1, 2, 2, 3, joten se käyttäytyy kuin outo kolmion muotoinen noppaa, jolla on paremmat mahdollisuudet saada numero 1 kuin 2, ja 2 kuin 3. Mikä on tämän suulakkeen keskimääräinen rullan arvo? Joten 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, jaetaan 6: lla, on 5/3 tai noin 1,66. Joten jos sinulla on niin erityinen kuolla ja pelaajat heittävät kolme noppaa ja lisäävät tulokset yhteen, tiedät, että heidän likimääräinen kokonaissummansa on noin 5, ja voit tasapainottaa pelin tämän oletuksen perusteella.

Noppa ja itsenäisyys

Kuten sanoin, lähdemme siitä oletuksesta, että kukin kasvot putoavat yhtä todennäköisesti. Ei ole väliä kuinka monta noppaa heität. Jokainen noppapala aivan sama, tämä tarkoittaa, että edelliset heitot eivät vaikuta seuraavien heittojen tuloksiin. Tarpeeksi riittävästi kokeita ilmoitus "Numerosarja", kuten putoaminen enimmäkseen suuremmista tai pienemmistä arvoista tai muista ominaisuuksista, ja puhumme siitä myöhemmin, mutta se ei tarkoita, että nopat ovat "kuumia" tai "kylmiä". Jos heität tavallisen kuusisivumuotin ja numero 6 nousee kaksi kertaa peräkkäin, todennäköisyys, että seuraava rulla johtaa 6: een, on myös 1/6. Todennäköisyyttä ei lisää se, että kuutio “lämmitetään”. Todennäköisyys ei vähene, koska numero 6 on jo pudonnut kahdesti peräkkäin, mikä tarkoittaa, että nyt toinen kasvot putoavat. (Tietysti, jos heität noppaa kaksikymmentä kertaa ja joka kerta kun numero 6 tulee esiin, mahdollisuudet saada numero 6 ensimmäisellä kerralla ovat melko suuret ... koska ehkä se tarkoittaa, että sinulla on väärä noppaa!) Mutta jos sinulla on oikeat noppat, todennäköisyys pudota jokaisesta kasvosta on sama riippumatta muiden rullien tuloksista. Voit myös kuvitella, että joka kerta, kun vaihdamme muotin, joten jos numero 6 tulee esiin kahdesti peräkkäin, poista "kuuma" muotti pelistä ja korvaa se uudella kuusisivuisella muotilla. Pahoittelen, jos joku teistä tiesi jo tästä, mutta minun oli selvitettävä asia ennen kuin jatkan.

Kuinka saada noppat putoamaan enemmän tai vähemmän satunnaisesti

Puhutaan siitä, kuinka saada erilaisia \u200b\u200btuloksia eri noppilla. Jos heität noppaa vain kerran tai useita kertoja, peli tuntuu satunnaisemmalta, jos noppilla on enemmän reunoja. Mitä enemmän noppaa heität tai mitä enemmän noppaa heität, sitä enemmän tulokset ovat lähempänä keskiarvoa. Esimerkiksi, jos heität 1d6 + 4 (eli tavanomainen kuusikulmainen noppu kerran ja lisäät tulokseen 4), keskiarvo on 5-10. Jos heität 5d2, keskiarvo on myös 5-10. Mutta kun heittää kuusi-puolinen noppu, todennäköisyys saada numerot 5, 8 tai 10 on sama. 5d2 heiton tulos on lähinnä numerot 7 ja 8, harvemmin muut arvot. Sama sarja, jopa sama keskiarvo (molemmissa tapauksissa 7,5), mutta satunnaisuuden luonne on erilainen.

Odota hetki. Enkö vain sanonut, että nopat eivät kuumene tai jäähtyisi? Nyt sanon, että jos heität paljon noppaa, ovatko sämpylät lähellä keskiarvoa? Miksi?

Anna minun selittää. Jos heität yksinoppaa, todennäköisyys pudota jokaisesta kasvosta on sama. Tämä tarkoittaa, että jos heität useita noppia, kukin kasvot putoavat suunnilleen yhtä monta kertaa ajan myötä. Mitä enemmän noppaa heität, sitä enemmän kumulatiivinen tulos tulee lähemmäksi keskiarvoa. Tämä ei johdu siitä, että pudonnut numero "tekee" toisen numeron, joka ei ole vielä pudonnut. Mutta koska pienellä 6: n (tai 20 tai jonkin muun numeron) sarjalla ei ole loppujen lopuksi merkitystä, jos heität noppaa vielä kymmenentuhatta kertaa ja keskimäärin putoaa ... ehkä nyt sinulla on muutama numero suurella arvolla, mutta ehkä myöhemmin muutama pieni arvoinen luku ja ajan mittaan ne lähestyvät keskiarvoa. Ei siksi, että edelliset rullat vaikuttavat noppiin (vakavasti noppaa tehdään muovi-, hänellä ei ole aivoja ajatella: "Voi, sitä ei ole rullattu pitkään aikaan"), mutta koska näin tapahtuu yleensä suurella määrällä noppapaloja. Pieni toistuvien numeroiden sarja on melkein näkymätön useissa tuloksissa.

Siten yhden satunnaisen noppapalan laskeminen on melko suoraviivaista, ainakin siltä osin kuin on kyse keskimääräisen rullan laskemisesta. On myös tapoja laskea "kuinka satunnainen" jokin on, tapa sanoa, että 1d6 + 4: n vierityksen tulokset ovat "satunnaisempia" kuin 5d2, 5d2: lle tulosten jakauma on tasaisempi, yleensä tälle Laske keskihajonta ja mitä suurempi arvo, sitä satunnaisemmat tulokset ovat, mutta tämä vaatii enemmän laskelmia kuin haluaisin antaa tänään (selitän tämän aiheen myöhemmin). Ainoa asia, jonka pyydän teitä tietämään, on se, että pääsääntöisesti, mitä vähemmän noppaa heitetään, sitä suurempi on satunnaisuus. Ja vielä yksi lisäys tästä aiheesta: mitä enemmän noppilla on reunoja, sitä enemmän satunnaisuutta, koska sinulla on enemmän vaihtoehtoja.

Kuinka lasketaan todennäköisyys laskemalla

Saatat miettiä: kuinka voimme laskea tarkan todennäköisyyden saada tietty tulos? Tämä on oikeastaan \u200b\u200bvarsin tärkeää monissa peleissä, koska jos heität noppaa, todennäköisesti on aluksi optimaalinen tulos. Vastaus on: meidän on laskettava kaksi arvoa. Laske ensin noppien maksimimäärä tuloksia (riippumatta lopputuloksesta). Laske sitten myönteisten tulosten määrä. Jakamalla toinen arvo ensimmäisellä, saat haluamasi todennäköisyyden. Saadaksesi prosenttiosuuden, kerro tulos 100: lla.

Esimerkkejä:

Tässä on hyvin yksinkertainen esimerkki. Haluat vähintään 4: n nousevan ja heittävän kuusikulmion kerran. Tulosten enimmäismäärä on 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Näistä 3 lopputulosta (4, 5, 6) ovat suotuisia. Joten laskeaksesi todennäköisyyden, jaa 3 6: lla ja saa 0,5 tai 50%.

Tässä on esimerkki, joka on hieman monimutkaisempi. Haluat vierittää parillisen numeron 2d6-rullalle. Tulosten enimmäismäärä on 36 (6 kutakin kuolemaa kohden, ja koska yksi kuolema ei vaikuta toiseen, kerrotaan 6 tulosta 6: lla, jotta saadaan 36). Tämäntyyppisen kysymyksen vaikeus on se, että se on helppo laskea kahdesti. Esimerkiksi 2d6-rullan 3 tulokselle on oikeastaan \u200b\u200bkaksi vaihtoehtoa: 1 + 2 ja 2 + 1. Ne näyttävät samoilta, mutta ero on siinä, mikä numero näytetään ensimmäisessä kuolla ja mikä toisessa. Voit myös kuvitella, että nopat ovat eri värejä, joten esimerkiksi tässä tapauksessa yksi noppa on punainen ja toinen sininen. Laske sitten parillisen luvun vaihtoehtojen määrä: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Osoittautuu, että suotuisalle lopputulokselle on 18 vaihtoehtoa 36: sta, kuten edellisessä tapauksessa todennäköisyys on 0,5 tai 50%. Ehkä odottamaton, mutta melko tarkka.

Monte Carlon simulaatio

Entä jos sinulla on liian monta noppaa laskettavaksi? Haluat esimerkiksi tietää, mikä on todennäköisyys sille, että vähintään 15 kpl rullataan 8d6-rullalle. Kahdeksalle noppalle on olemassa monia erilaisia \u200b\u200byksittäisiä tuloksia, ja niiden laskeminen manuaalisesti vie hyvin kauan. Vaikka löydämme hyvän ratkaisun erilaisten nopparullien ryhmittelemiseen, laskeminen vie silti hyvin kauan. Tässä tapauksessa helpoin tapa laskea todennäköisyys ei ole laskea sitä manuaalisesti, vaan käyttää tietokonetta. On kaksi tapaa laskea todennäköisyydet tietokoneella.

Ensimmäistä menetelmää voidaan käyttää tarkan vastauksen saamiseen, mutta siihen liittyy pieni ohjelmointi tai komentosarja. Pohjimmiltaan tietokone tutkii jokaista mahdollisuutta, arvioi ja laskee iterointien kokonaismäärän ja haluttua tulosta vastaavien iteraatioiden määrän ja antaa sitten vastaukset. Koodisi voi näyttää tältä:

int wincount \u003d 0, totalcount \u003d 0;

varten (int i \u003d 1; i<=6; i++) {

varten (int j \u003d 1; j<=6; j++) {

for (int k \u003d 1; k<=6; k++) {

… // lisää lisää silmukoita tähän

jos (i + j + k +…\u003e \u003d 15) (

kelluva todennäköisyys \u003d wincount / totalcount;

Jos et ole perehtynyt ohjelmointiin ja tarvitset vain epätarkan, mutta likimääräisen vastauksen, voit simuloida tätä tilannetta Excelissä, jossa heität 8d6 useita tuhansia kertoja ja saat vastauksen. Suoratoista 1d6 Excelissä käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Lattia (RAND () * 6) +1

On olemassa nimi tilanteelle, jossa et tiedä vastausta ja yrität vain monta kertaa - monte Carlon simulointija tämä on loistava ratkaisu palata takaisin, kun yrität laskea todennäköisyyttä, ja se on liian vaikeaa. Hienoa on, että tässä tapauksessa meidän ei tarvitse ymmärtää, miten matemaattinen laskenta toimii, ja tiedämme, että vastaus on "melko hyvä", koska kuten jo tiedämme, mitä enemmän heittoja on, sitä enemmän tulos lähestyy keskiarvoa.

Kuinka yhdistää riippumattomia testejä

Jos kysyt useista toistuvista mutta itsenäisistä haasteista, yhden heiton tulos ei vaikuta muiden heittojen tulokseen. Tälle tilanteelle on toinen yksinkertaisempi selitys.

Kuinka erottaa toisistaan \u200b\u200briippuvainen ja riippumaton? Pohjimmiltaan, jos pystyt erottamaan jokaisen noppapallon (tai rullasarjan) erillisenä tapahtumana, se on riippumaton. Esimerkiksi, jos haluamme 15: n liikkuvan 8d6: lla, tätä tapausta ei voida jakaa useisiin itsenäisiin nopparulliin. Koska tulokseen lasketaan kaikkien noppien arvojen summa, yhdelle noppalle pudonnut tulos vaikuttaa tuloksiin, joiden pitäisi pudota toiselle noppalle, koska vain lisäämällä kaikki arvot saat halutun tuloksen .

Tässä on esimerkki itsenäisistä heitoista: pelaat noppilla ja heität heksanoppaita useita kertoja. Pysyäkseen pelissä ensimmäisen rullasi on oltava vähintään 2. Toista rullaa varten vähintään 3. Kolmas vaatii vähintään 4, neljäs vähintään 5 ja viides 6. Jos kaikki viisi heittoa onnistuvat, voitat. Tässä tapauksessa kaikki rullat ovat itsenäisiä. Kyllä, jos yksi heitto ei onnistu, se vaikuttaa koko pelin lopputulokseen, mutta yksi heitto ei vaikuta toiseen heittoon. Esimerkiksi, jos toinen noppasi on onnistunut hyvin, se ei millään tavalla vaikuta todennäköisyyteen, että seuraavat heitot ovat yhtä onnistuneita. Siksi voimme tarkastella kunkin noppanheiton todennäköisyyttä erikseen.

Jos sinulla on erilliset, riippumattomat todennäköisyydet ja haluat tietää, mikä on todennäköisyys kaikki tapahtumia tulee, määrität kukin yksittäisen todennäköisyyden ja kerrot ne. Toinen tapa: jos käytät yhdistettä ”ja” kuvaamaan useita ehtoja (esimerkiksi mikä on satunnaisen tapahtuman todennäköisyys) ja jokin muu itsenäinen satunnainen tapahtuma?), laske yksittäiset todennäköisyydet ja kerro ne.

Ei ole väliä mitä ajattelet ei koskaanÄlä lisää itsenäisiä todennäköisyyksiä. Tämä on yleinen virhe. Kuvittele tilanne, jossa käännät 50/50 kolikon, ymmärtääksesi miksi tämä on väärin, haluat tietää kuinka todennäköinen on, että kaksi kertaa peräkkäin "päätä". Kummankin sivun osumien todennäköisyys on 50%, joten jos lisäät nämä kaksi todennäköisyyttä, sinulla on 100% mahdollisuus lyödä päätä, mutta tiedämme, että tämä ei ole totta, koska kaksi kertaa peräkkäin se voi saada päät. Jos kerrot nämä kaksi todennäköisyyttä sen sijaan, saat 50% * 50% \u003d 25%, mikä on oikea vastaus laskettaessa todennäköisyyttä lyödä päitä kahdesti peräkkäin.

Esimerkki

Palataan takaisin peliin, jossa on kuusikulmainen noppu, jossa sinun on ensin hankittava suurempi numero kuin 2, sitten suurempi kuin 3 ja niin edelleen. jopa 6. Mitkä ovat mahdollisuudet, että tietyssä 5 heiton sarjassa kaikki tulokset ovat suotuisia?

Kuten edellä todettiin, nämä ovat itsenäisiä testejä, ja siksi laskemme todennäköisyydet jokaiselle yksittäiselle rullalle ja kerrotaan sitten. Todennäköisyys, että ensimmäisen heiton tulos on suotuisa, on 5/6. Toinen on 4/6. Kolmas on 3/6. Neljäs - 2/6, viides - 1/6. Kerro kaikki nämä tulokset ja saamme noin 1,5% ... Siten voittaminen tässä pelissä on melko harvinaista, joten jos lisäät tämän elementin peliin, tarvitset melko suuren jättipotin.

Negation

Tässä on toinen hyödyllinen vihje: joskus on vaikea laskea tapahtuman todennäköisyyttä, mutta on helpompaa määrittää, mitkä ovat mahdollisuudet tapahtuman tapahtumiseen. eivät tule.

Oletetaan esimerkiksi, että meillä on toinen peli ja heität 6d6, ja jos ainakin kerran 6 on heitetty, voitat. Mikä on todennäköisyys voittaa?

Tässä tapauksessa on monia vaihtoehtoja laskea. On mahdollista, että yksi numero 6 pudotetaan, ts. yhdelle noppapelistä numero 6 pudotetaan ja muille numeroille 1-5, ja on 6 vaihtoehtoa siitä, kumpi noppaa on numero 6. Sitten saat numeron 6 kahdella noppalla tai kolmella tai jopa useammalla, ja joka kerta meidän on tehtävä erillinen laskenta, joten on helppo hämmentyä tästä.

Mutta on toinen tapa ratkaista tämä ongelma, katsotaanpa sitä toiselta puolelta. Sinä menettääjos ei mitään numero 6. ei putoa noppaa. Tässä tapauksessa meillä on kuusi riippumatonta testiä, joista jokaisen todennäköisyys on 5/6 (mikä tahansa muu numero kuin 6 voidaan pudottaa noppiin). Kerro ne ja saat noin 33%. Täten häviämisen todennäköisyys on yksi kolmesta.

Siksi voiton todennäköisyys on 67% (tai 2-3).

Tästä esimerkistä on selvää, että jos otat huomioon, että tapahtumaa ei tapahdu, sinun on vähennettävä tulos 100%: sta. Jos todennäköisyys voittaa on 67%, niin todennäköisyys menettää — 100% miinus 67% tai 33%. Ja päinvastoin. Jos yhden todennäköisyyden laskeminen on vaikeaa, mutta päinvastaisen laskeminen on helppoa, päinvastaisen laskeminen ja sitten vähennys 100%: sta.

Ehtojen yhdistäminen yhdeksi riippumattomaksi testiksi

Sanoin juuri edellä, että sinun ei pitäisi koskaan laskea yhteen todennäköisyyksiä riippumattomissa kokeissa. Onko olemassa tapauksia, joissa voisumma todennäköisyydet? - Kyllä, yhdessä erityistilanteessa.

Jos haluat laskea saman tutkimuksen useiden etuyhteydettömien myönteisten tulosten todennäköisyyden, lisää kunkin suotuisan lopputuloksen todennäköisyys. Esimerkiksi todennäköisyys saada numerot 4, 5 tai 6 pisteeseen 1d6 on summa todennäköisyys saada numero 4, todennäköisyys saada luku 5 ja todennäköisyys saada numero 6. Voit myös kuvitella tämän tilanteen seuraavasti: jos käytät todennäköisyyttä koskevassa kysymyksessä konjunktiota "tai" (esimerkiksi , mikä on sen todennäköisyys tai yhden satunnaisen tapahtuman erilainen tulos?), laske yksittäiset todennäköisyydet ja summataan ne yhteen.

Huomaa, että kun lasket yhteen kaikki mahdolliset tulokset kaikkien todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin 100%. Jos summa ei ole 100%, laskutoimituksesi on tehty väärin. Tämä on hyvä tapa tarkistaa laskelmat uudelleen. Esimerkiksi, jos olet analysoinut todennäköisyyttä saada kaikki kädet pokerissa, jos lasket kaikki tulokset, sinun pitäisi saada täsmälleen 100% (tai ainakin arvo, joka on melko lähellä 100%, jos käytät laskinta, sinulla saattaa olla pieni pyöristysvirhe., mutta jos lisäät tarkat numerot käsin, sen pitäisi toimia.) Jos summa ei ole summa, niin et todennäköisesti ottanut huomioon joitain yhdistelmiä tai laskenut joidenkin yhdistelmien todennäköisyyksiä väärin, ja sinun on tarkistettava laskelmat uudelleen.

Epätasainen todennäköisyys

Tähän asti olemme olettaneet, että nopan molemmat kasvot putoavat samalla jaksollisuudella, koska noppat toimivat näin. Mutta joskus kohtaat tilanteen, jossa erilaiset tulokset ovat mahdollisia ja niillä on eri mahdollisuudet pudota. Esimerkiksi yhdessä Nuclear War -korttipelin lisäosassa on nuolikenttä, josta raketin laukaisun tulos riippuu: periaatteessa se aiheuttaa normaalia vahinkoa, vahvempaa tai heikompaa, mutta joskus vahinko kasvaa kaksi tai kolme kertaa, tai raketti räjähtää laukaisualustalla ja satuttaa sinua tai tapahtuu jokin muu tapahtuma. Toisin kuin nuolinäppäimet "Chutes & Ladders" tai "A Game of Life", "Ydinsodan" pelikentän tulokset ovat epätasaiset. Jotkut pelikentän osat ovat suurempia ja nuoli pysähtyy niihin paljon useammin, kun taas toiset osiot ovat hyvin pieniä ja nuoli pysähtyy niihin harvoin.

Joten ensi silmäyksellä luu näyttää tältä: 1, 1, 1, 2, 2, 3; puhuimme siitä jo, se on jotain painotettua 1d3, joten meidän on jaettava kaikki nämä osiot yhtä suuriksi osiksi, löydettävä pienin mittayksikkö, joka on moninkertainen kaikesta, ja sitten edustettava tilannetta d522 (tai jokin muu), jossa nopan monet kasvot edustavat samaa tilannetta, mutta enemmän tuloksia. Ja tämä on yksi tapa ratkaista ongelma, ja se on teknisesti mahdollista, mutta on myös helpompi tapa.

Palataan takaisin normaaliin kuusikulmaiseen noppaan. Sanoimme, että normaalin muotin keskimääräisen rullan arvon laskemiseksi sinun on laskettava yhteen kaikkien reunojen arvot ja jaettava ne reunojen määrällä, mutta miten tarkalleenonko laskenta käynnissä? Voit sanoa sen toisin. Kuusikulmaisten noppien todennäköisyys jokaisen kasvon putoamisesta on tarkalleen 1/6. Nyt me lisääntymme exoduskaikki kasvot todennäköisyys tämä tulos (tässä tapauksessa 1/6 kummallekin kasvolle), sitten summataan saadut arvot. Joten yhteenveto (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , saamme saman tuloksen (3.5) kuin yllä olevassa laskelmassa. Itse asiassa laskemme tämän joka kerta: kerrotaan jokainen tulos sen todennäköisyydellä.

Voimmeko tehdä saman laskelman ampujalle pelikentällä ydinsodassa? Tietenkin me voimme. Ja jos laskemme yhteen kaikki löydetyt tulokset, saamme keskiarvon. Meidän on vain laskettava taululla olevan nuolen kunkin tuloksen todennäköisyys ja kerrottava tuloksella.

Toinen esimerkki

Tämä menetelmä keskiarvon laskemiseksi kertomalla kukin tulos yksilöllisellä todennäköisyydellä on myös sopiva, jos tulokset ovat yhtä todennäköiset, mutta niillä on erilaiset edut, esimerkiksi jos heität muotin ja voitat enemmän joillakin reunoilla kuin toiset. Harkitse esimerkiksi kasinopeliä: panostat ja heität 2d6. Jos tulee kolme numeroa, joilla on pienin arvo (2, 3, 4) tai neljä suurinta arvoa (9, 10, 11, 12), voitat panoksesi määrän. Pienimmät ja suurimmat arvot ovat erityisiä: jos heität 2 tai 12, voitat kaksi kertaa niin paljonkuin korko. Jos jokin muu numero putoaa (5, 6, 7, 8), menetät panoksesi. Se on melko yksinkertainen peli. Mutta mikä on todennäköisyys voittaa?

Aloitetaan laskemalla kuinka monta kertaa voit voittaa:

• 2d6-rullan enimmäismäärä tuloksia on 36. Kuinka monta hyvää lopputulosta on?
• Yksi vaihtoehto kahdelle ja yksi vaihtoehto kahdelletoista.
• Kolme ja yksitoista on kaksi vaihtoehtoa.
• Neljä vaihtoehtoa on 3 ja kymmenen vaihtoehtoa kolme.
• Yhdeksälle vaihtoehdolle on neljä vaihtoehtoa.
• Yhteenvetona kaikista vaihtoehdoista saadaan suotuisten tulosten lukumäärä 16 36: sta.

Joten voitat normaaleissa olosuhteissa 16 kertaa 36 mahdollisesta ... todennäköisyys voittaa on hieman alle 50%.

Mutta kahdessa tapauksessa näistä 16 voitat kaksinkertaisen määrän eli se on kuin voittaa kahdesti! Jos pelaat tätä peliä 36 kertaa, vedonlyönti $ 1 joka kerta, ja kaikki mahdolliset tulokset tulevat esiin kerran, voitat 18 dollaria (itse asiassa voitat 16 kertaa, mutta kaksi kertaa lasketaan kahdeksi voitoksi). Jos pelaat 36 kertaa ja voitat 18 dollaria, eikö tämä tarkoita sitä, että sillä on tasavertaiset mahdollisuudet?

Älä kiirehdi. Jos lasket tappioiden määrän, voit saada 20, ei 18. Jos pelaat 36 kertaa, vedonlyönti 1 dollari joka kerta, voitat yhteensä 18 dollaria kaikista suotuisista tuloksista ... mutta menetät 20 dollarin kokonaismäärä kaikilla 20 epäsuotuisalla tuloksella! Tämän seurauksena olet hieman jäljessä: menetät keskimäärin 2 dollaria nettoa jokaista 36 peliä kohden (voit myös sanoa, että menetät keskimäärin 1/18 dollaria päivässä). Nyt voit nähdä, kuinka helppoa on tässä tapauksessa tehdä virhe ja laskea todennäköisyys väärin!

Permutaatio

Tähän asti olemme olettaneet, että numeroiden järjestyksellä heitettäessä noppaa ei ole merkitystä. 2 + 4 rulla on sama kuin 4 + 2 rulla. Useimmissa tapauksissa laskemme manuaalisesti myönteisten tulosten määrän, mutta joskus tämä menetelmä on epäkäytännöllinen ja on parempi käyttää matemaattista kaavaa.

Esimerkki tilanteesta on pelistä, jossa on noppaa “Farkle”. Kullakin uudella kierroksella heität 6d6. Jos olet onnekas ja kaikki mahdolliset tulokset ovat 1-2-3-4-5-6 ("suorat"), saat suuren bonuksen. Kuinka todennäköistä tämä tapahtuu? Tässä tapauksessa tälle yhdistelmälle on monia vaihtoehtoja!

Ratkaisu näyttää tältä: yhdellä noppaa (ja vain yhdellä) pitäisi olla numero 1! Kuinka monta numeron 1 muunnosta putoaa yhdelle nopalle? Kuusi, koska noppia on kuusi ja millä tahansa niistä voi olla numero 1. Ota siis yksi noppu ja aseta se sivuun. Nyt yhdellä jäljellä olevista noppista pitäisi olla numero 2. Tähän on viisi vaihtoehtoa. Ota toinen noppu ja aseta se sivuun. Sitten seuraa, että neljästä jäljellä olevasta noppasta numero 3 voi pudota, kolmesta jäljellä olevasta noppasta numero 4 voi pudota, kahdesta - numero 5 ja seurauksena sinulla on yksi noppaa, joihin luvun 6 tulisi putoaminen (jälkimmäisessä tapauksessa muotti on yksi eikä ole muuta vaihtoehtoa). Yhdistelmän "suora" suotuisten tulosten määrän laskemiseksi kerrotaan kaikki erilaiset, riippumattomat vaihtoehdot: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 - näyttää siltä, \u200b\u200bettä vaihtoehtoja on melko paljon, mitä tämä yhdistelmä keksi.

Suoran yhdistelmän saamisen todennäköisyyden laskemiseksi meidän on jaettava 720 kaikkien mahdollisten 6d6-rullan tulosten määrällä. Mikä on kaikkien mahdollisten tulosten määrä? Jokaisella muotilla voi olla 6 kasvoa, joten kerrotaan 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (luku on paljon suurempi!). Jaamme 720/46656 ja todennäköisyys on noin 1,5%. Jos suunnittelet tätä peliä, sinun olisi hyödyllistä tietää, että voit luoda sopivan pisteytysjärjestelmän. Nyt ymmärrämme, miksi Farkle-pelissä saat niin suuren bonuksen, jos saat yhdistelmän "suora", koska tämä tilanne on melko harvinainen!

Tulos on mielenkiintoinen myös toisesta syystä. Esimerkki osoittaa, kuinka harvoin todennäköisyyttä vastaava tulos putoaa lyhyessä ajassa. Tietenkin, jos heittäisimme useita tuhansia noppia, noppien eri kasvot putosivat melko usein. Mutta kun heitämme vain kuusi noppaa, melkein ei koskaanei tapahdu, että kaikki kasvot putoavat! Tästä seuraa, että on typerää odottaa, että nyt putoavat uudet kasvot, jotka eivät ole vielä pudonneet, "koska emme ole saaneet numeroa 6 pitkään aikaan, mikä tarkoittaa, että se putoaa nyt" .

Kuuntele, satunnaislukugeneraattorisi on rikki ...

Tämä johtaa meidät yleiseen väärinkäsitykseen todennäköisyydestä: olettamuksesta, että kaikki tulokset tulevat samalla taajuudella. lyhyeksi ajaksimikä ei todellakaan ole kyse. Jos heitämme noppaa useita kertoja, kummankin reunan taajuus ei ole sama.

Jos olet koskaan työskennellyt online-pelin parissa jonkin satunnaislukugeneraattorin kanssa, olet todennäköisesti törmännyt tilanteeseen, jossa pelaaja kirjoittaa tekniselle tuelle sanoen, että satunnaislukugeneraattorisi on rikki eikä näytä satunnaislukuja. hän tuli tähän johtopäätökseen, koska hän oli juuri tappanut neljä hirviötä peräkkäin ja saanut 4 täysin samanlaista palkintoa, ja näiden palkkioiden pitäisi pudota vain 10 prosentissa tapauksista, joten tämä melkein ikinä ei pitäisi tapahtuu, mikä tarkoittaa sitä ilmeisestiettä satunnaislukugeneraattorisi on rikki.

Teet matemaattista laskutoimitusta. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 on yhtä suuri kuin 10000, mikä tarkoittaa, että tämä on melko harvinainen tapaus. Sitä pelaaja yrittää kertoa sinulle. Onko tässä tapauksessa ongelmia?

Kaikki riippuu olosuhteista. Kuinka monta pelaajaa on palvelimellasi nyt? Oletetaan, että sinulla on melko suosittu peli ja 100 000 ihmistä pelaa sitä päivittäin. Kuinka monta pelaajaa tappaa neljä hirviötä peräkkäin? Kaikki on mahdollista, useita kertoja päivässä, mutta oletetaan, että puolet heistä yksinkertaisesti vaihtaa erilaisia \u200b\u200besineitä huutokaupoissa tai kirjoittaa uudelleen RP-palvelimille tai suorittaa muita pelitoimintoja, joten itse asiassa vain puolet heistä metsästää hirviöitä. Mikä on tämän todennäköisyys jollekulle Pudotetaanko sama palkkio? Tässä tilanteessa voit odottaa, että sama palkkio voi pudota ainakin useita kertoja päivässä!

Muuten, joten näyttää siltä, \u200b\u200bettä ainakin muutaman viikon välein joku voittaa arpajaiset, vaikka joku ei koskaanei sinä tai ystäväsi. Jos tarpeeksi ihmisiä pelaa joka viikko, on todennäköistä, että ainakin on yksionnekas ... mutta jos sinäarpajaisten pelaaminen on vähemmän todennäköistä, että voitat työpaikan Infinity Wardissa.

Kartat ja riippuvuus

Olemme keskustelleet itsenäisistä tapahtumista, kuten noppien heittämisestä, ja nyt tiedämme monia tehokkaita työkaluja satunnaisuuden analysointiin monissa peleissä. Todennäköisyyden laskeminen on hieman hankalampaa, kun on kyse korttien poistamisesta pakasta, koska jokainen nostamamme kortti vaikuttaa kannen jäljellä oleviin korteihin. Jos sinulla on tavallinen 52 kortin pakkaus ja vedät esimerkiksi 10 sydäntä ja haluat tietää todennäköisyyden, että seuraava kortti on samanlainen, todennäköisyys on muuttunut, koska olet jo poistanut yhden kortin sydänpuvusta kannelta. Jokainen poistamasi kortti muuttaa seuraavan kannen todennäköisyyttä pakassa. Koska tässä tapauksessa edellinen tapahtuma vaikuttaa seuraavaan, kutsumme tätä todennäköisyyttä riippuvainen.

Huomaa, että kun sanon kortteja, tarkoitan minkä tahansa pelimekaniikka, jossa on joukko esineitä ja poistat yhden esineistä korvaamatta sitä, ”korttipakka” on tässä tapauksessa analoginen rahapussiin, josta otat yhden tunnuksen etkä korvaa se tai urna, josta otat värillisiä palloja (itse asiassa en ole koskaan nähnyt peliä, jossa olisi ollut urnaa, josta värillisiä palloja otettaisiin, mutta näyttää siltä, \u200b\u200bettä todennäköisyysteorian opettajat pitävät parempana tätä esimerkkiä jostakin syystä).

Riippuvuusominaisuudet

Haluaisin selventää, että kun kyseessä on kortit, oletan, että vedät kortteja, katsot niitä ja poistat ne kannelta. Jokainen näistä toimista on tärkeä ominaisuus.

Jos minulla olisi paketti, esimerkiksi kuusi korttia, joiden numerot ovat 1–6, sekaisin ne ja otin yhden kortin ja sekoitin sitten kaikki kuusi korttia uudelleen, se olisi kuin heittäisi kuusisivuinen kuolla; yksi tulos ei vaikuta seuraavaan. Vain jos piirrän kortteja enkä vaihda niitä, tulos siitä, että piirrän kortin numerolla 1, lisää todennäköisyyttä, että seuraavan kerran kun vedän kortin numerolla 6 (todennäköisyys kasvaa, kunnes lopulta vedän tai kunnes sekoitan kortteja).

Se, että me katsokorttien käyttö on myös tärkeää. Jos otan kortin ulos kannesta enkä katso sitä, minulla ei ole lisätietoja, eikä todellisuus todennäköisesti muutu. Tämä saattaa kuulostaa epäluuloiselta. Kuinka yksinkertainen kortin kääntäminen voi maagisesti muuttaa todennäköisyyttä? Mutta tämä on mahdollista, koska voit laskea tuntemattomien objektien todennäköisyyden vain sen perusteella, että sinä tiedät kyllä... Esimerkiksi, jos sekoitat tavallisen korttipakan, paljastat 51 korttia ja mikään niistä ei ole seurojen kuningatar, tiedät 100% varmuudella, että jäljellä oleva kortti on klubien kuningatar. Jos sekoitat tavallisen korttipakan ja vedät 51 korttia, huolimattaniiden todennäköisyys, että jäljellä oleva kortti on seurojen kuningatar, on edelleen 1/52. Avaamalla jokaisen kortin saat lisätietoja.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyden laskeminen noudattaa samoja periaatteita kuin itsenäisten tapahtumien kohdalla, paitsi että se on hieman monimutkaisempi, koska todennäköisyydet muuttuvat, kun avaat kortteja. Siksi sinun on kerrottava useita eri arvoja saman arvon kertomisen sijaan. Itse asiassa tämä tarkoittaa, että meidän on yhdistettävä kaikki tekemämme laskelmat yhdeksi yhdistelmäksi.

Esimerkki

Sekoitat tavallisen 52 kortin pakan ja vedät kaksi korttia. Mikä on todennäköisyys, että otat parin? Tämän todennäköisyyden laskemiseksi on useita tapoja, mutta ehkä yksinkertaisin on seuraava: Mikä on todennäköisyys, että kun otat yhden kortin, et voi vetää paria? Tämä todennäköisyys on nolla, joten sillä ei ole merkitystä, minkä ensimmäisen kortin vedät, kunhan se vastaa toista. Ei ole väliä minkä kortin otamme ensin, meillä on vielä mahdollisuus ottaa pari, joten todennäköisyys, että voimme ottaa parin ensimmäisen kortin ottamisen jälkeen, on 100%.

Kuinka todennäköinen on, että toinen kortti on sama kuin ensimmäinen? Kannessa on jäljellä 51 korttia ja 3 niistä yhtyy ensimmäisen kortin kanssa (oikeastaan \u200b\u200bniitä olisi 4 52: stä, mutta poistat jo yhden vastaavista korteista, kun otit ensimmäisen kortin!), Joten todennäköisyys on 1/17. (Joten seuraavan kerran, kun Texas Hold'emia pelaava poikasi poikasi sanoo: "Viileä, vielä yksi pari? Olen onnekas tänään", tiedät, että on melko suuri mahdollisuus bluffata.)

Entä jos lisäämme kaksi jokeria ja nyt meillä on 54 korttia pakassa, ja haluamme tietää, mikä on todennäköisyys ottaa pari pois? Ensimmäinen kortti voi olla jokeri, ja sitten on vain yksikortti, ei kolme, jotka sopivat yhteen. Kuinka löydät todennäköisyyden tässä tapauksessa? Jaamme todennäköisyydet ja kerrotaan kukin mahdollisuus.

Ensimmäinen korttimme voi olla jokeri tai jokin muu kortti. Jokerin piirtämisen todennäköisyys on 2/54, minkä tahansa muun kortin vetämisen todennäköisyys on 52/54.

Jos ensimmäinen kortti on jokeri (2/54), todennäköisyys, että toinen kortti osuu ensimmäiseen, on 1/53. Kerro arvot (voimme kertoa ne, koska nämä ovat erillisiä tapahtumia ja haluamme molemmattapahtui) ja saamme 1/1431 - alle kymmenesosa prosentista.

Jos vedät ensin jonkin muun kortin (52/54), sattuman todennäköisyys toisen kortin kanssa on 3/53. Kerro arvot ja saa 78/1431 (hieman yli 5,5%).

Mitä teemme näillä kahdella tuloksella? Ne eivät leikkaa toisiaan ja haluamme tietää todennäköisyyden kukinniistä, joten tiivistämme arvot! Saamme lopputuloksen 79/1431 (silti noin 5,5%).

Jos haluaisimme olla varmoja vastauksen oikeellisuudesta, voisimme laskea kaikkien muiden mahdollisten tulosten todennäköisyyden: ottamalla jokeri pois ja sovittamatta toista korttia tai vetämällä jotain muuta korttia ja sovittamatta toista korttia ja summaamalla ne kaikki voittotodennäköisyyden ollessa 100%. En anna matemaattista laskutoimitusta tässä, mutta voit yrittää laskea sen tarkistamaan.

Monty Hallin paradoksi

Tämä johtaa meidät melko tunnettuun paradoksiin, joka usein hämmentää monia - Monty Hallin paradoksi. Paradoksi on nimetty ”Let’s Make a Deal” -isännän Monty Hallin mukaan. Jos et ole koskaan nähnyt tätä ohjelmaa, se oli päinvastainen The Price Is Right-TV-ohjelmalle. Kohteessa "Hinta on oikea" isäntä (aiemmin Bob Barker, nyt ... Drew Carey? Joka tapauksessa ...) on ystäväsi. Hän haluaajoten voit voittaa rahaa tai hyviä palkintoja. Hän yrittää tarjota sinulle kaikki mahdollisuudet voittaa, jos voit arvata, kuinka paljon sponsorien ostamat tuotteet todella maksavat.

Monty Hall käyttäytyi eri tavalla. Hän oli kuin Bob Barkerin paha kaksos. Hänen tavoitteenaan oli saada sinut näyttämään idiootilta kansallisessa televisiossa. Jos olit näyttelyssä, hän oli vastustajasi, pelasit häntä vastaan, ja voittokerroin oli hänen hyväkseen. Olen ehkä liian ankara, mutta kun mahdollisuus tulla kilpailijaksi vaikuttaa suorassa suhteessa siihen, onko sinulla naurettavaa pukua, olen tullut tällaiseen johtopäätökseen.

Mutta yksi näyttelyn tunnetuimmista meemeistä oli tämä: edessäsi oli kolme ovea, ja niitä kutsuttiin oveksi numero 1, ovi numero 2 ja ovi numero 3. Voit valita minkä tahansa oven ... ilmaiseksi! Yhden näistä ovista takana oli suuri palkinto, kuten uusi henkilöauto. Muiden ovien takana ei ollut palkintoja, näillä kahdella ovella ei ollut arvoa. Heidän tavoitteenaan oli nöyryyttää sinua, ja siksi ei ollut takana mitään takana, heidän takanaan oli jotain tyhmää, esimerkiksi heidän takanaan oli vuohi tai valtava putki hammastahnaa tai jotain ... jotain, mitä tarkalleen oli ei uusi henkilöauto.

Valitsit yhden ovista ja Monty oli avaamassa sitä, jotta tiedät voititko vai ei ... mutta odota, ennen kuin tiedämme, katsotaanpa yksi nuo ovet sinulle ei valittu... Koska Monty tietää, minkä oven takana palkinto on, ja palkintoja on vain yksi ja kaksi ovet, joita et ole valinnut, ei väliä mitä tahansa, hän voi aina avata oven, jolle ei ole palkintoa. "Valitsetko oven numero 3? Avaa sitten ovi 1 osoittaaksemme, ettei sen takana ollut palkintoa. " Ja nyt anteliaisuudesta hän tarjoaa sinulle mahdollisuuden vaihtaa valittu ovi numero 3 oven 2 takana olevalle. Juuri tällä hetkellä herää todennäköisyyden kysymys: lisääkö toisen oven valinta mahdollisuutesi voittaa vai laskeeko se vai pysyykö se samana? Mitä mieltä sinä olet?

Oikea vastaus: kyky valita toinen ovi kasvaatodennäköisyys voittaa arvosta 1/3 arvoon 2/3. Tämä on epäloogista. Jos et ole aiemmin törmännyt tähän paradoksiin, ajattelet todennäköisesti: odota, avaamalla yhden oven, muutimme maagisesti todennäköisyyttä? Mutta kuten olemme jo nähneet esimerkissä yllä olevista kartoista, tämä tarkalleenmitä tapahtuu, kun saamme lisätietoja. On selvää, että todennäköisyys voittaa ensimmäisen kerran valitsemasi on 1/3, ja oletan, että kaikki ovat samaa mieltä. Kun yksi ovi avautuu, se ei muuta lainkaan todennäköisyyttä voittaa ensimmäisellä valinnalla, sillä on kuitenkin todennäköisyys 1/3, mutta tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että toinenoikea ovi on nyt 2/3.

Katsotaanpa tätä esimerkkiä toisesta näkökulmasta. Valitset oven. Todennäköisyys voittaa on 1/3. Ehdotan, että muutat kaksimuut ovet, joita Monty Hall todella ehdottaa tekevän. Tietenkin hän avaa yhden ovista osoittaakseen, ettei sen takana ole palkintoa, mutta hän on ainavoi tehdä sen, joten se ei todellakaan muuta mitään. Tietysti haluat valita toisen oven!

Jos et ole aivan selvä tässä kysymyksessä ja tarvitset vakuuttavamman selityksen, napsauta tätä linkkiä siirtyäksesi upeaan pieneen Flash-sovellukseen, jonka avulla voit tutkia tätä paradoksaa tarkemmin. Voit pelata alkaen noin 10 ovesta ja siirtyä sitten vähitellen peliin, jossa on kolme ovea; siellä on myös simulaattori, jossa voit valita minkä tahansa määrän ovia 3-50 ja pelata tai suorittaa useita tuhansia simulaatioita ja nähdä kuinka monta kertaa voitit jos pelasit.

Korkeamman matematiikan opettajan ja pelitasapainon asiantuntijan Maxim Soldatovin huomautus, jota Schreiberillä ei tietenkään ollut, mutta jota ilman on melko vaikea ymmärtää tätä maagista muutosta:

Valitse ovi, yksi kolmesta, todennäköisyys "voittaa" on 1/3. Nyt sinulla on kaksi strategiaa: muuta valintaa avaamalla väärä ovi vai älä. Jos et muuta valintasi, todennäköisyys pysyy 1/3, koska valinta on vasta ensimmäisessä vaiheessa, ja sinun täytyy arvailla heti, jos muutat, voit voittaa, jos valitset väärän oven ensin (silloin he avaavat toisen väärän, pysyvät uskollisina, muutat mieltäsi ja vain otat sen)
Todennäköisyys valita väärä ovi alussa on 2/3, joten käy ilmi, että muuttamalla päätöstäsi voit voittaa 2 kertaa enemmän

Ja jälleen Monty Hallin paradoksista

Itse näyttelystä Monty Hall tiesi tämän, koska vaikka hänen kilpailijansa eivät olisikaan hyvät matematiikassa, onko hän ymmärtää sen hyvin. Tässä hän teki muuttaakseen peliä hieman. Jos valitsit oven, jonka takana palkinto sijaitsi, todennäköisyys on 1/3, se on ainatarjosi sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi. Loppujen lopuksi valitsit henkilöauton ja vaihdat sen sitten vuoheksi ja näytät melko typerältä, mitä hän tarvitsee, koska hän on eräänlainen paha kaveri. Mutta jos valitset oven, jonka takana palkintoa ei tulevain puolivälissä Tällaisissa tapauksissa hän tarjoaa sinulle valita toisen oven, ja muissa tapauksissa hän yksinkertaisesti näyttää sinulle uuden vuohesi, ja sinä poistut lavalta. Analysoidaan tämä uusi peli, jossa Monty Hall voi valitsetarjoavat sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi vai ei.

Oletetaan, että hän noudattaa tätä algoritmia: jos valitset oven, jolla on palkinto, hän tarjoaa sinulle aina mahdollisuuden valita toinen ovi, muuten todennäköisyys, että hän tarjoaa sinulle valita toisen oven tai antaa vuohen, on 50/50. Mikä on todennäköisyys voittaa?

Yhdessä kolmesta vaihtoehdosta valitset heti oven, jonka takana palkinto sijaitsee, ja isäntä kutsuu sinut valitsemaan toisen oven.

Kahdesta muusta vaihtoehdosta kolmesta (valitset aluksi oven ilman palkintoa), puolessa tapauksista isäntä tarjoaa sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi, ja toisessa puolessa tapauksista ei. Puolet 2/3 on 1/3, ts. yhdessä tapauksessa kolmesta saat vuohen, yhdessä tapauksessa kolmesta valitset väärän oven ja isäntä tarjoaa sinulle valita toisen ja yhdessä tapauksessa kolmesta valitset oikea ovi ja hän pyytää sinua valitsemaan toisen oven.

Jos johtaja tarjoaa valita toisen oven, tiedämme jo, että yhtä tapausta kolmesta, kun hän antaa meille vuohen ja lähdemme, ei tapahtunut. Tämä on hyödyllistä tietoa, koska se tarkoittaa, että mahdollisuutemme voittaa ovat muuttuneet. Kahdessa tapauksessa kolmesta, kun meillä on mahdollisuus valita, yhdessä tapauksessa se tarkoittaa, että arvasimme oikein, ja toisessa arvasimme väärin, joten jos meille tarjottiin mahdollisuus valita ollenkaan, se tarkoittaa, että todennäköisyys voittaa on 50/50, eikä sitä ole matemaattinen edut, pysy valintasi kanssa tai valitse toinen ovi.

Kuten pokeri, se on nyt psykologinen peli, ei matemaattinen. Monty tarjosi sinulle valinnanvaraa, koska hän uskoo sinun olevan yksinkertainen ihminen, joka ei tiedä, että toisen oven valitseminen on ”oikea” päätös ja että pidät itsepäisesti valinnastasi kiinni, koska psykologisesti tilanne, kun valitsit auton, ja sitten menetti sen, kovemmin? Vai ajatteleeko hän, että olet älykäs ja valitset toisen oven, ja tarjoaa sinulle tämän mahdollisuuden, koska hän tietää, että arvasit alun perin oikein ja että olet koukussa ja loukussa? Tai ehkä hän on epätyypillisesti ystävällinen itselleen ja ajaa sinut tekemään jotain henkilökohtaisen edun vuoksi, koska hän ei ole antanut autoa pitkään aikaan, ja hänen tuottajansa kertovat hänelle, että yleisö kyllästyy ja olisi parempi, jos hän antaisi iso palkinto pian, jotta arvosanat eivät putoa?

Täten Monty onnistuu tarjoamaan valinnan (joskus) ja yleinen voittotodennäköisyys on edelleen 1/3. Muista, että todennäköisyys hävitä heti on 1/3. Todennäköisyys saada se heti on 1/3, ja 50% näistä tapauksista voitat (1/3 x 1/2 \u003d 1/6). Todennäköisyys arvata aluksi väärin, mutta sitten sinulla on mahdollisuus valita toinen ovi, on 1/3, ja 50% näistä tapauksista voitat (myös 1/6). Lisää kaksi itsenäistä voittomahdollisuutta, niin saat todennäköisyyden, joka on yhtä suuri kuin 1/3, joten ei ole väliä, pysytkö valinnassasi vai valitset toisen oven, voittosi todennäköisyys koko pelissä on yhtä suuri kuin 1/3. .. todennäköisyys ei ole suurempi kuin tilanteessa, jossa olisit arvannut oven ja juontaja näyttäisi sinulle, mikä on tämän oven takana, ilman mahdollisuutta valita toista ovea! Siksi mahdollisuus valita toinen ovi ei ole muuttaa todennäköisyyttä, vaan tehdä päätöksentekoprosessista hauskempaa television katselulle.

Muuten, tämä on yksi syy miksi pokeri voi olla niin mielenkiintoinen: useimmissa kierrosten välisissä muodoissa, kun vedot tehdään (esimerkiksi floppi, turn ja river Texas Hold'emissa), kortit paljastuvat vähitellen, ja jos pelin alussa sinulla on yksi todennäköisyys voittaa, niin jokaisen panoskierroksen jälkeen, kun useampia kortteja on auki, tämä todennäköisyys muuttuu.

Poika ja tyttö -paradoksi

Tämä johtaa meidät toiseen tunnettuun paradoksiin, joka yleensä hämmentää kaikkia - pojan ja tytön paradoksi. Ainoa asia, josta kirjoitan tänään, ei liity suoraan peleihin (vaikka oletan, että tämä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että minun pitäisi viedä sinut luomaan sopiva pelimekaniikka). Tämä on enemmän palapeli, mutta mielenkiintoinen, ja sen ratkaisemiseksi sinun on ymmärrettävä ehdollinen todennäköisyys, josta puhuimme edellä.

Haaste: Minulla on ystävä, jolla on kaksi lasta, ainakin yksi lapsi on tyttö. Mikä on todennäköisyys, että toinen lapsi myöstyttö? Oletetaan, että missä tahansa perheessä tytön tai pojan mahdollisuus on 50/50, ja tämä pätee jokaiselle lapselle (itse asiassa joillakin miehillä on enemmän siittiöitä X- tai Y-kromosomilla, joten todennäköisyys muuttuu hieman, jos tiedät, että yksi lapsi on tyttö, tytön synnyttämisen todennäköisyys on hieman suurempi, ja lisäksi on muita ehtoja, esimerkiksi hermafroditismi, mutta tämän ongelman ratkaisemiseksi emme ota tätä huomioon ja oletamme, että lapsen syntymä on itsenäinen tapahtuma ja todennäköisyys saada poika tai tytöt ovat samat).

Koska puhumme 1/2 mahdollisuudesta, odotamme intuitiivisesti, että vastaus on todennäköisesti 1/2 tai 1/4 tai jokin muu pyöreä luku, joka on kahden kerroin. Mutta vastaus on: 1/3 ... Odota miksi?

Tässä tapauksessa vaikeus on, että meillä oleva tieto vähentää mahdollisuuksien määrää. Oletetaan, että vanhemmat ovat Seesamikadun faneja, ja riippumatta siitä, onko poika vai tyttö syntynyt, he nimeivät lapsensa A: ksi ja B. Normaaleissa olosuhteissa on neljä yhtä todennäköistä mahdollisuutta: A ja B ovat kaksi poikaa, A ja B ovat kaksi tyttöä, A on poika ja B on tyttö, A on tyttö ja B on poika. Koska tiedämme sen ainakin yksi lapsi on tyttö, voimme sulkea pois mahdollisuuden, että A ja B ovat kaksi poikaa, joten meille jää kolme (vielä yhtä todennäköistä) mahdollisuutta. Jos kaikki mahdollisuudet ovat yhtä todennäköisiä ja niitä on kolme, tiedämme, että jokaisen todennäköisyys on 1/3. Vain yhdessä näistä kolmesta vaihtoehdosta molemmat lapset ovat kaksi tyttöä, joten vastaus on 1/3.

Ja vielä kerran pojan ja tytön paradoksista

Ongelman ratkaisusta tulee vieläkin epäloogisempi. Kuvittele, jos kerron sinulle, että ystäväni on kaksi lasta ja yksi lapsi - tyttö, joka syntyi tiistaina... Oletetaan, että normaaleissa olosuhteissa todennäköisyys saada vauva jonain viikon seitsemästä päivästä on sama. Kuinka todennäköinen on, että toinen lapsi on myös tyttö? Saatat ajatella, että vastaus olisi edelleen 1/3; mitä tiistai tarkoittaa? Mutta jopa tässä tapauksessa intuitio pettää meitä. Vastaus: 13/27 mikä ei ole vain intuitiivista, se on hyvin outoa. Mikä hätänä tässä tapauksessa?

Itse asiassa tiistai muuttaa todennäköisyyttä, koska emme tiedä kumpilapsi syntyi tiistaina tai mahdollisesti kaksi lasta syntyivät tiistaina. Tässä tapauksessa käytämme samaa logiikkaa kuin yllä, laskemme kaikki mahdolliset yhdistelmät, kun ainakin yksi lapsi on tyttö, joka syntyi tiistaina. Kuten edellisessä esimerkissä, oletetaan, että lapsille on annettu nimi A ja B, yhdistelmät ovat seuraavat:

• A - tiistaina syntynyt tyttö, B - poika (tässä tilanteessa on 7 mahdollisuutta, yksi jokaiselle viikonpäivälle, jolloin poika voisi syntyä).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - poika (myös 7 mahdollisuutta).
• A - tyttö, joka syntyi tiistaina, B - tyttö, joka syntyi muut viikonpäivä (6 mahdollisuutta).
• B - tyttö, joka syntyi tiistaina, A - tyttö, joka syntyi muuna kuin tiistaina (myös 6 todennäköisyyttä).
• A ja B - kaksi tyttöä, jotka ovat syntyneet tiistaina (yksi mahdollisuus, sinun on kiinnitettävä tähän huomiota, jotta et laskisi kahdesti).

Tiivistämme ja saamme 27 erilaista yhtä mahdollista yhdistelmää lasten syntymästä ja päivistä, ainakin yhdellä mahdollisuudella saada tyttö tiistaina. Näistä 13 mahdollisuutta on, kun kaksi tyttöä syntyy. Se näyttää myös täysin epäloogiselta, ja näyttää siltä, \u200b\u200bettä tämä tehtävä luotiin vain aiheuttamaan päänsärkyä. Jos olet edelleen hämmentynyt tästä esimerkistä, peliteoreetikko Jesper Yule on selittänyt asian verkkosivustollaan.

Jos työskentelet parhaillaan pelin parissa ...

Jos suunnittelemassasi pelissä on satunnaisuutta, tämä on loistava tilaisuus analysoida sitä. Valitse jokin elementti, jonka haluat analysoida. Ensinnäkin, kysy itseltäsi, mitä odotat tietyn elementin todennäköisyyden olevan, minkä uskot sen olevan pelin yhteydessä. Esimerkiksi, jos luot RPG: tä ja mietit, kuinka todennäköisen pelaajan pitäisi voittaa hirviö taistelussa, kysy itseltäsi, kuinka suuri prosenttiosuus voitosta näyttää sinulle oikealta. Yleensä pelatessaan konsoli-RPG: tä pelaajat turhautuvat häviönsä takia, joten on parempi, että he eivät häviä usein ... ehkä 10% tai vähemmän? Jos olet RPG-suunnittelija, tiedät todennäköisesti paremmin kuin minä, mutta sinulla on oltava perusajatus siitä, minkä todennäköisyyden pitäisi olla.

Kysy sitten itseltäsi, onko tämä jotain riippuvainen(kuten kortit) tai riippumaton(kuten noppaa). Analysoi kaikki mahdolliset tulokset ja niiden todennäköisyydet. Varmista, että kaikkien todennäköisyyksien summa on 100%. Lopuksi, tietysti, vertaa saavutettuja tuloksia odotuksiisi. Heitätkö noppaa tai piirrät kortteja haluamallasi tavalla tai huomaat, että sinun on mukautettava arvoja. Ja tietenkin, jos sinä löytömitä on säädettävä, voit käyttää samoja laskelmia määrittääksesi, kuinka paljon sinun on mukautettava jotain!

Kotitehtävät

Tämän viikon "kotitehtäväsi" auttavat sinua hioa todennäköisiä työtaitojasi. Tässä on kaksi nopapeliä ja korttipeli, joita analysoit todennäköisyyden avulla, sekä outo pelimekaanikko, jonka kehitin kerran ja jonka avulla voit testata Monte Carlon menetelmää.

Peli numero 1 - Lohikäärmeen luut

Tämä on noppapeli, jonka keksimme kerran kollegojemme kanssa (kiitos Jeb Havensille ja Jesse Kingille!), Ja joka tuo tarkoituksella aivot ihmisille. Tämä on yksinkertainen kasinopeli nimeltä Dragon Bones ja se on noppakilpailu pelaajan ja talon välillä. Sinulle annetaan tavallinen 1d6 kuolla. Pelin tarkoituksena on heittää numero taloa korkeammalle. Tomille annetaan epätyypillinen 1d6 - sama kuin sinun, mutta yhden vastakkaisella puolella - kuvan Dragonista (siten kasinolla on Dragon-2-3-4-5-6-kuutio). Jos talo saa lohikäärmeen, se voittaa automaattisesti ja menetät. Jos saat molemmat saman numeron, se on tasapeli ja heität noppaa uudelleen. Se, joka heittää eniten, voittaa.

Kaikki ei tietenkään mene kokonaan pelaajan eduksi, koska kasinolla on etu Dragon's Edgen muodossa. Mutta onko se todella niin? Sinun täytyy selvittää se. Mutta ennen sitä tarkista intuitiosi. Oletetaan, että voitot ovat 2-1. Joten jos voitat, pidät panoksesi ja kaksinkertaistuu. Esimerkiksi, jos lyöt vetoa $ 1 ja voitat, pidät sen dollarin ja saat 2 lisää ylhäältä yhteensä $ 3. Jos häviät, menetät vain panoksesi. Pelaisitko? Joten tunnetko intuitiivisesti, että todennäköisyys on suurempi kuin 2: 1, vai luuletko silti, että se on pienempi? Toisin sanoen, odotatko keskimäärin kolmen pelin voittaa useammin kuin kerran, vähemmän tai kerran?

Kun intuitiosi on selvitetty, käytä matematiikkaa. Molemmille nopoille on vain 36 mahdollista paikkaa, joten voit laskea ne kaikki ilman ongelmia. Jos et ole varma tästä 2: 1-lauseesta, mieti tätä: Oletetaan, että pelasit peliä 36 kertaa (panostat $ 1 joka kerta). Jokaisesta voitosta saat 2 dollaria, kaikista tappiosta menetät 1 dollarin, ja tasapeli ei muuta mitään. Laske kaikki todennäköiset voitot ja tappiot ja päätä, menetätkö jonkin verran dollareita vai voittoja. Kysy sitten itseltäsi, kuinka oikea intuitiosi oli. Ja sitten - ymmärrä mikä konna olen.

Ja kyllä, jos olet jo miettinyt tätä kysymystä - sekoitan sinut tarkoituksellisesti vääristämällä nopapelien todellista mekaniikkaa, mutta olen varma, että voit voittaa tämän esteen vain hyvin paljon ajatellen. Yritä ratkaista tämä ongelma itse. Lähetän kaikki vastaukset tänne ensi viikolla.

Peli # 2 - Toss for Luck

Tämä on Lucky Roll -niminen noppapeli (myös Birdcage, koska joskus noppaa ei heitetä, vaan se asetetaan isoon lankakehikkoon, joka muistuttaa Bingon häkkiä). Se on yksinkertainen peli, joka supistuu tuollaiseksi: laita esimerkiksi 1 dollari numerolle, joka on välillä 1 ja 6. Sitten heität 3d6. Jokaisesta numeroon osuvasta kuolemasta saat $ 1 (ja pidä alkuperäinen panoksesi). Jos numerosi ei näy yhdellä kuolla, kasino saa dollarin, etkä saa mitään. Joten jos lyöt vetoa yhdestä ja saat 1 reunoilla kolme kertaa, saat 3 dollaria.

Intuitiivisesti tällä pelillä näyttää olevan yhtäläiset mahdollisuudet. Jokainen kuolla on yksilöllinen 1/6-voittomahdollisuus, joten kaikkien kolmen voiton mahdollisuutesi on 3–6. Muista kuitenkin tietysti, että sävelet kolme erillistä noppaa, ja voit lisätä vain, jos puhumme saman noppan erillisistä voittoyhdistelmistä. Jotain mitä sinun on kerrottava.

Kun olet selvittänyt kaikki mahdolliset tulokset (se on todennäköisesti helpompaa tehdä Excelissä kuin käsin, koska niitä on 216), peli näyttää silti oudolta ja tasaiselta ensi silmäyksellä. Mutta todellisuudessa kasinolla on vielä enemmän mahdollisuuksia voittaa - kuinka paljon enemmän? Erityisesti kuinka paljon rahaa odotat keskimäärin menettävän jokaisesta pelikierroksesta? Sinun tarvitsee vain laskea kaikkien 216 tuloksen voitot ja tappiot ja jakaa sitten 216: lla, jonka pitäisi olla melko helppoa ... Mutta kuten näette, voit pudota muutamaan karhuun, minkä vuoksi minä Kerron sinulle: jos luulet, että tässä pelissä on jopa mahdollisuus voittaa, sinulla on kaikki väärin.

Peli # 3 - 5 Card Stud Poker

Jos olet lämmennyt edellisissä peleissä, tarkistetaan, mitä tiedämme ehdollisesta todennäköisyydestä tällä korttipelillä. Kuvitellaan erityisesti pokeria, jossa on 52 kortin pakkaus. Kuvitellaan myös 5 Card Stud, jossa jokainen pelaaja saa vain 5 korttia. Et voi hylätä korttia, et voi piirtää uutta, ei yhteistä pakkaa - saat vain 5 korttia.

Royal Flush on 10-J-Q-K-A toisessa kädessä, kaikkiaan on neljä, joten on neljä mahdollista tapaa saada Royal Flush. Laske todennäköisyys, että saat yhden tällaisen yhdistelmän.

Minun on varoitettava sinua yhdestä asiasta: muista, että voit piirtää nämä viisi korttia missä tahansa järjestyksessä. Eli aluksi voit piirtää ässän tai kymmenen, sillä ei ole väliä. Joten laskettaessa tätä, pidä mielessä, että on todella enemmän kuin neljä tapaa saada Royal Flush, jos kortit jaettiin kunnossa!

Peli # 4 - IMF: n arpajaiset

Neljäs ongelma ei ole niin helppo ratkaista menetelmillä, joista puhuimme tänään, mutta voit simuloida tilannetta helposti ohjelmoinnin tai Excelin avulla. Tämän ongelman esimerkin avulla voit selvittää Monte Carlon menetelmän.

Mainitsin aiemmin pelin "Chron X", jossa työskentelin, ja siellä oli yksi erittäin mielenkiintoinen kortti - IMF: n arpajaiset. Näin se toimi: käytit sitä pelissä. Kierroksen päättymisen jälkeen kortit jaettiin uudelleen, ja oli 10% mahdollisuus, että kortti poistuu pelistä ja että satunnainen pelaaja saa 5 yksikköä kutakin resurssityyppiä, jonka tunnus oli tällä kortilla. Kortti pantiin peliin ilman yhtä merkkiä, mutta joka kerta, kun se pysyi pelissä seuraavan kierroksen alussa, se sai yhden merkin. Joten oli 10% mahdollisuus, että tuot hänet peliin, kierros päättyy, kortti poistuu pelistä, eikä kukaan saa mitään. Jos näin ei tapahdu (90%: n todennäköisyydellä), on 10% mahdollisuus (oikeastaan \u200b\u200b9%, koska tämä on 10% 90%: sta), että seuraavalla kierroksella hän jättää pelin ja joku saa 5 yksikköä resursseja. Jos kortti lähtee pelistä yhden kierroksen jälkeen (10% käytettävissä olevasta 81%, joten todennäköisyys on 8,1%), joku saa 10 yksikköä toisen kierroksen jälkeen - 15, toinen 20 ja niin edelleen. Kysymys: Mikä on yleinen odotettu arvo resursseille, jotka saat tältä kortilta, kun se lopulta poistuu pelistä?

Tyypillisesti yritämme ratkaista tämän ongelman etsimällä kunkin tuloksen mahdollisuuden ja kertomalla kaikkien tulosten lukumäärällä. Joten on 10% mahdollisuus, että saat 0 (0,1 * 0 \u003d 0). 9% siitä, että saat 5 yksikköä resursseja (9% * 5 \u003d 0,45 resurssia). 8,1% siitä, mitä saat 10: stä (8,1% * 10 \u003d 0,81 kokonaisresursseja, odotettu arvo). Jne. Ja sitten laskisimme kaiken yhteen.

Ja nyt ongelma on sinulle ilmeinen: kortilla on aina mahdollisuus ei jättää pelin, jotta hän voi pysyä pelissä aina ja ikuisesti, lukemattomille kierroksille niin, että laskentamahdollisuudet kaikki mahdollisuudet ei ole olemassa. Tänään oppimamme menetelmät eivät anna meille mahdollisuutta laskea ääretöntä rekursiota, joten meidän on luotava se keinotekoisesti.

Jos olet tarpeeksi hyvä ohjelmoinnissa, kirjoita ohjelma, joka simuloi tätä korttia. Sinulla tulisi olla aikasilmukka, joka tuo muuttujan takaisin alkuperäiseen nolla-asemaansa, näyttää satunnaisluvun ja 10%: n todennäköisyydellä muuttuja poistuu silmukasta. Muuten se lisää muuttujaan 5 ja silmukka toistaa. Kun se lopulta irtoaa silmukasta, lisää kokeilujen kokonaismäärää yhdellä ja resurssien kokonaismäärällä (kuinka paljon riippuu siitä, mistä muuttuja jäi). Nollaa sitten muuttuja ja aloita alusta. Suorita ohjelma useita tuhansia kertoja. Jaa lopuksi resurssit kokonaisajoilla - tämä on odotettu Monte Carlon arvo. Suorita ohjelma useita kertoja varmistaaksesi, että saamasi numerot ovat suunnilleen samat; jos leviäminen on edelleen suuri, lisää ulkosilmukan toistojen määrää, kunnes alat saada otteluita. Voit olla varma, että lopputuloksesi ovat suunnilleen oikeat.

Jos et tunne ohjelmointia (tai vaikka olisitkin), tässä on pieni harjoitus sinulle Excel-taitojesi lämmittämiseen. Jos olet pelisuunnittelija, Excel-taidot eivät ole koskaan tarpeettomia.

Toistaiseksi IF- ja RAND-toiminnot ovat käteviä. RAND ei vaadi arvoja, se antaa vain satunnaisen desimaaliluvun välillä 0 ja 1. Yleensä yhdistämme sen FLOOR: n ja hyvien ja huonojen puolien kanssa simuloimaan suuttimen rullan, jonka mainitsin aiemmin. Tässä tapauksessa jätämme kuitenkin vain 10%: n todennäköisyyden kortin poistumisesta pelistä, joten voimme vain tarkistaa, onko RAND-arvo alle 0,1, eikä enää vaivautua siihen.

IF: llä on kolme merkitystä. Järjestyksessä ehto, joka on joko totta tai ei, arvo, joka palautetaan, jos ehto on tosi, ja arvo, joka palautetaan, jos ehto ei ole totta. Joten seuraava funktio palauttaa 5% ajasta ja 0 muuta 90% ajasta:
\u003d JOS (RAND ()<0.1,5,0)

Tämän komennon asettamiseksi on monia tapoja, mutta käytän tällaista kaavaa ensimmäistä kierrosta edustavalle solulle, sanotaanpa, että se on solu A1:

JOS (RAND ()<0.1,0,-1)

Tässä käytän negatiivista muuttujaa tarkoittaakseni "tämä kortti ei ole poistunut pelistä eikä ole vielä lahjoittanut mitään resursseja". Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti on poissa pelistä, A1 on 0; muuten se on -1.

Seuraavaa toisen kierroksen solua varten:

JOS (A1\u003e -1, A1, JOS (RAND ()<0.1,5,-1))

Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti poistuu pelistä välittömästi, A1 on 0 (resurssien määrä) ja tämä solu yksinkertaisesti kopioi kyseisen arvon. Päinvastaisessa tapauksessa A1 on -1 (kortti ei ole vielä poistunut pelistä), ja tämä solu liikkuu edelleen satunnaisesti: 10% ajasta se palauttaa 5 yksikköä resursseja, lopun ajan sen arvo pysyy edelleen olla -1. Jos sovellamme tätä kaavaa muihin soluihin, saamme lisää kierroksia, ja kumpi tahansa solu putoaa sinulle lopussa, saat lopputuloksen (tai -1, jos kortti ei ole poistunut pelistä kaikkien pelattujen kierrosten jälkeen) .

Ota tämä solurivi, joka on ainoa kierros tällä kortilla, ja kopioi ja liitä useita satoja (tai tuhansia) rivejä. Emme ehkä pysty siihen loputontesti Excelille (taulukossa on rajoitettu määrä soluja), mutta ainakin voimme kattaa useimmat tapaukset. Valitse sitten yksi solu, johon sijoitat kaikkien kierrosten tulosten keskiarvon (Excel tarjoaa ystävällisesti AVERAGE () -toiminnon tälle).

Windowsissa voit ainakin painaa F9 laskeaksesi kaikki satunnaisluvut. Kuten aiemmin, tee tämä useita kertoja ja katso, ovatko saamasi arvot samat. Jos leviäminen on liian leveä, kaksinkertaista ajoiden määrä ja yritä uudelleen.

Ratkaisemattomat tehtävät

Jos sinulla on tutkinto todennäköisyydestä ja yllä olevat ongelmat näyttävät sinulle liian helpoilta, tässä on kaksi ongelmaa, joista olen ollut hämmentävää vuosien ajan, mutta valitettavasti en ole niin hyvä matematiikassa niiden ratkaisemiseksi. Jos tiedät yhtäkkiä ratkaisun, lähetä se tänne kommentteihin, luen sen mielelläni.

Ratkaisematon ongelma numero 1: ArpajaisetIMF

Ensimmäinen ratkaisematon ongelma on edellinen kotitehtävä. Voin helposti soveltaa Monte Carlon menetelmää (käyttäen C ++ tai Excel), ja olen varma vastauksesta kysymykseen "kuinka paljon resursseja pelaaja saa", mutta en tiedä tarkalleen, kuinka tarjota tarkka todistettava vastaa matemaattisesti (tämä on loputon sarja). Jos tiedät vastauksen, lähetä se tänne ... tarkistaessasi sen tietysti Monte Carlon kanssa.

Ratkaisematon ongelma # 2: Muotojen sekvenssit

Tämä ongelma (ja jälleen kerran se menee paljon pidemmälle kuin tässä blogissa ratkaistut tehtävät) heitti minulle tuttu pelaaja yli 10 vuotta sitten. Hän huomasi yhden mielenkiintoisen piirteen pelatessaan blackjackia Vegasissa: kun hän otti kengistään kortteja kahdeksalle kannelle, hän näki kymmenen kappaletta peräkkäin (pala tai pala kortti - 10, Joker, King tai Queen, joten tavallisessa 52 kortin pakassa on niitä 16, joten 416 kortin kengässä on 128). Mikä on todennäköisyys, että tässä kengässä vähintään yksi jakso kymmenen tai enemmänluvut? Oletetaan, että ne sekoitettiin rehellisesti, satunnaisessa järjestyksessä. (Tai jos pidät siitä paremmin, mikä on sen todennäköisyys ei löydy mistään kymmenen tai useamman muodon sarja?)

Voimme yksinkertaistaa tehtävää. Tässä on 416-osainen sekvenssi. Jokainen kappale on 0 tai 1. Sekvenssissä on satunnaisesti hajallaan 128 kappaletta ja 288 nollaa. Kuinka monta tapaa on satunnaisesti leikata 128 yksikköä 288 nollalla, ja kuinka monta kertaa näillä menetelmillä on vähintään yksi kymmenen tai useamman ryhmän ryhmä?

Joka kerta kun aloin ratkaista tätä ongelmaa, se tuntui minusta helpolta ja ilmeiseltä, mutta heti kun käsittelin yksityiskohtia, se yhtäkkiä hajosi ja näytti minusta yksinkertaisesti mahdottomalta. Joten älä kiirehdi hämärtämään vastausta: istu alas, ajattele huolellisesti, tutki ongelman olosuhteita, yritä korvata reaaliluvut, koska kaikki ihmiset, joiden kanssa puhuin tästä ongelmasta (mukaan lukien useat tällä alalla työskentelevät jatko-opiskelijat) reagoi suunnilleen samaan: "Se on aivan selvää ... Voi ei, odota, se ei ole ollenkaan ilmeistä." Juuri tässä tapauksessa minulla ei ole menetelmää kaikkien vaihtoehtojen laskemiseen. Voisin varmasti raa'asti pakottaa ongelman tietokonealgoritmin avulla, mutta olisi paljon uteliaampaa tietää matemaattinen tapa ratkaista tämä ongelma.

Käännös - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Ihmiset ovat käyttäneet noppaa tuhansia vuosia.

2000-luvulla uusien tekniikoiden avulla voit heittää noppaa milloin tahansa sopivana ajankohtana, ja jos sinulla on Internet-yhteys, kätevässä paikassa. Noppa on aina mukanasi kotona tai tien päällä.

Noppa generaattorin avulla voit heittää verkossa 1-4 noppaa.

Nosta noppaa melkoisesti verkossa

Todellisia noppia käytettäessä voidaan käyttää manuaalista näppäryyttä tai erikoisvalmistettuja ylipainoja toisella puolella. Voit esimerkiksi pyörittää kuutioa yhtä akselia pitkin, ja sitten todennäköisyysjakauma muuttuu. Virtuaalikuutioiden ominaisuus on ohjelmallisen näennäissatunnaislukugeneraattorin käyttö. Tämän avulla voit tarjota todella satunnaisen vaihtoehdon tälle tai tälle tulokselle.

Ja jos lisäät tämän sivun kirjanmerkkeihisi, online-noppasi eivät häviä missään ja ovat aina käsillä oikeaan aikaan!

Jotkut ihmiset ovat sopeutuneet käyttämään noppaa verkossa ennustamiseen tai ennusteiden ja horoskooppien tekemiseen.

Hyvää tunnelmaa, hyvää päivää ja onnea!