Lyhyiden aritmeettisten etenemisten ominaisuudet erolla 9. Aritmeettinen eteneminen

Aritmeettisen etenemisen ongelmia esiintyi muinaisina aikoina. He ilmestyivät ja vaativat ratkaisua, koska heillä oli käytännön tarve.

Joten yksi muinaisen Egyptin papyruksista, jolla on matemaattinen sisältö - Rind-papyrus (XIX vuosisata eKr.) - sisältää seuraavan ongelman: jaa kymmenen leivämäärää kymmeneen ihmiseen edellyttäen, että niiden välinen ero on yksi kahdeksas mitta.

Muinaisten kreikkalaisten matemaattisissa teoksissa on tyylikkäitä lauseita, jotka liittyvät aritmeettiseen etenemiseen. Joten, Alexandria Hypsicles (II vuosisata, joka käsitteli monia mielenkiintoisia ongelmia ja lisäsi neljästoista kirjan Eukleidesin "Periaatteisiin"), muotoili ajatuksen: "Aritmeettisessa etenemisessä, jossa on parillinen määrä jäseniä, toisen jäsenen summa puolet on suurempi kuin ensimmäisen puoliskon jäsenten summa neliötä kohti 1/2 jäsentä ”.

Sekvenssi on nimetty. Sarjan numeroita kutsutaan sen jäseniksi, ja ne on yleensä merkitty kirjaimilla, joissa on indeksit, jotka osoittavat tämän jäsenen järjestysnumeron (a1, a2, a3 ... lukea: "1.", "2.", "3." ja niin edelleen).

Sarja voi olla loputon tai rajallinen.

Mikä on aritmeettinen eteneminen? Se ymmärretään sellaisena, joka saadaan lisäämällä edellinen termi (n) samalla luvulla d, mikä on etenemisen ero.

Jos d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, niin tämän etenemisen katsotaan nousevan.

Aritmeettista etenemistä kutsutaan rajalliseksi, jos vain muutama sen ensimmäisistä jäsenistä otetaan huomioon. Erittäin monien jäsenten lukumäärällä tämä on jo loputon edistyminen.

Mikä tahansa aritmeettinen eteneminen määritetään seuraavalla kaavalla:

an \u003d kn + b, kun taas b ja k ovat joitain lukuja.

Päinvastoin on totta: jos sekvenssi annetaan samanlaisella kaavalla, se on täsmälleen aritmeettinen eteneminen, jolla on seuraavat ominaisuudet:

1. Jokainen etenemisen jäsen on edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo.
2. Päinvastoin: jos jokainen termi on toisesta alkaen edellisen ja seuraavan termin aritmeettinen keskiarvo, ts. jos ehto täyttyy, niin tämä sekvenssi on aritmeettinen eteneminen. Tämä tasa-arvo on myös merkki etenemisestä, joten sitä kutsutaan yleensä etenemisen ominaispiirteeksi.
   Samalla tavalla tätä ominaisuutta heijastava lause on totta: sekvenssi on aritmeettinen eteneminen vain, jos tämä tasa-arvo on tosi jommallekummalle sekvenssin jäsenelle alkaen 2..

Aritmeettisen etenemisen minkä tahansa neljän luvun ominaisuusominaisuus voidaan ilmaista kaavalla an + am \u003d ak + al, jos n + m \u003d k + l (m, n, k ovat etenemisen numerot).

Aritmeettisessa etenemisessä mikä tahansa tarvittava (N-s) termi löytyy seuraavalla kaavalla:

Esimerkiksi: aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi (a1) annetaan ja on yhtä suuri kuin kolme, ja ero (d) on yhtä suuri kuin neljä. Sinun on löydettävä tämän edistymisen neljäkymmentäviides viides kausi. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

Kaavan an \u003d ak + d (n - k) avulla voit määrittää aritmeettisen etenemisen n: nnen termin minkä tahansa sen k: nnen termin kautta edellyttäen, että se on tiedossa.

Aritmeettisen etenemisen jäsenten summa (eli lopullisen etenemisen 1. n jäsentä) lasketaan seuraavasti:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Jos ensimmäinen termi tunnetaan myös, toinen laskukaava on kätevä laskentaan:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

N jäsentä sisältävän aritmeettisen etenemisen summa lasketaan seuraavasti:

Laskentakaavojen valinta riippuu ongelmien olosuhteista ja lähtötiedoista.

Minkä tahansa luvun luonnollinen sarja, kuten 1,2,3, ..., n, ..., on yksinkertaisin esimerkki aritmeettisesta etenemisestä.

Aritmeettisen etenemisen lisäksi on myös geometrinen, jolla on omat ominaisuutensa ja ominaisuutensa.

Jos jokainen luonnollinen luku n vastaa todellista lukua a n sitten he sanovat, että se on annettu numeerinen järjestys :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Joten, numerosarja on luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään ensimmäinen termi peräkkäin , numero a 2 — toinen termi , numero a 3 — kolmas jne. Määrä a n nimeltään sekvenssin n. termi ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

Kahdesta naapurijäsenestä a n ja a n +1 sekvenssin jäsen a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ) ja a n — edellinen (kohti a n +1 ).

Jakson määrittämiseksi sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit etsiä sarjan osan mistä tahansa numerosta.

Usein sekvenssi annetaan n. termikaava , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sekvenssi voidaan määrittää kaavalla

a n= 2n -1,

ja vuorotellen 1 ja -1 - kaavalla

b n = (-1) n +1 . ◄

Sekvenssi voidaan määrittää rekursiivinen kaava, eli kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 1 ja a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numerosarjan ensimmäiset seitsemän jäsentä asetetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen ja loputon .

Järjestystä kutsutaan äärimmäinen jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Järjestystä kutsutaan loputon jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroisten luonnollisten numeroiden sarja:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Päälukujen sarja:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Järjestystä kutsutaan kasvaa , jos kukin sen jäsenistä on toisesta alkaen suurempi kuin edellinen.

Järjestystä kutsutaan vähenee jos kukin sen jäsenistä on toisesta alkaen pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - kasvava sekvenssi;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - laskeva sekvenssi. ◄

Kutsutaan sekvenssiä, jonka elementit eivät vähene lukumäärän kasvaessa tai päinvastoin, eivät kasva yksitoikkoinen sekvenssi .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat nousevia ja laskevia sekvenssejä.

Aritmeettinen eteneminen

Aritmeettinen eteneminen kutsutaan sekvenssi, jonka kukin jäsen on toisesta alkaen yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen eteneminen, jos jokin luonnollinen luku n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

missä d - jokin numero.

Siten tietyn aritmeettisen etenemisen seuraavan ja edellisen jäsenen välinen ero on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen etenemisen ero.

Aritmeettisen etenemisen asettamiseksi riittää, että ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja ero.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 3, d = 4 , sitten jakson viisi ensimmäistä jäsentä löytyvät seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle etenemiselle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

löytää aritmeettisen etenemisen kolmekymmentä termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

kukin aritmeettisen etenemisen jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen etenemisen peräkkäisiä jäseniä vain ja vain, jos yksi niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen eteneminen.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Näin ollen

◄

Ota huomioon, että n - aritmeettisen etenemisen kolmas termi löytyy paitsi a 1 , mutta myös kaikki edelliset a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

sitten ilmeisesti

mikä tahansa aritmeettisen etenemisen jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen etenemisen jäsenten summasta, jotka ovat yhtä kaukana toisistaan.

Lisäksi missä tahansa aritmeettisessa etenemisessä tasa-arvo on totta:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa etenemisessä

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

ensimmäinen n aritmeettisen etenemisen jäsenet ovat yhtä suuria kuin ääripisteiden puolisumman tulo termien lukumäärällä:

Tästä seuraa erityisesti, että jos on välttämätöntä tiivistää ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

sitten edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa etenemisessä 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos annetaan aritmeettinen eteneminen, niin arvot a 1 , a n, d, n jaS n linkitetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos annetaan arvot kolmelle näistä suureista, kahden muun määrän vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen eteneminen on monotoninen sekvenssi. Jossa:

• jos d > 0 , niin se kasvaa;
• jos d < 0 , sitten se vähenee;
• jos d = 0 , niin jakso on paikallaan.

Geometrinen eteneminen

Geometrinen eteneminen kutsutaan sekvenssi, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen eteneminen, jos jokin luonnollinen luku n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

missä q ≠ 0 - jokin numero.

Siten tietyn geometrisen etenemisen seuraavan jäsenen suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen etenemisen nimittäjä.

Geometrisen etenemisen asettamiseksi riittää, että ilmoitetaan sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

jos b 1 = 1, q = -3 , sitten jakson viisi ensimmäistä jäsentä löytyvät seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n Kolmas termi löytyy kaavasta:

b n = b 1 · q n -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen etenemisen seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kukin geometrisen etenemisen jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin edellisten ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska päinvastainen lause on myös totta, seuraava väite pätee:

numerot a, b ja c ovat jonkun geometrisen etenemisen peräkkäisiä jäseniä vain ja vain, jos yhden neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, toisin sanoen yksi numeroista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

todistetaan, että kaavan antama sekvenssi b n \u003d -3 2 n on geometrinen eteneminen. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

Näin ollen

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mikä todistaa vaaditun lausunnon. ◄

Ota huomioon, että n - geometrisen etenemisen kolmas termi löytyy paitsi b 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat termit b k , jolle riittää käyttää kaavaa

b n = b k · q n - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

minkä tahansa geometrisen etenemisen jäsenen neliö, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin sen etenemisen jäsenten tulo, joka on yhtä kaukana toisistaan.

Lisäksi kaikilla geometrisilla etenemisillä tasa-arvo on totta:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen etenemisen jäsenet nimittäjän kanssa q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 - kaavan mukaan

S n= huom 1

Huomaa, että jos haluat summata ehdot

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos annetaan geometrinen eteneminen, niin arvot b 1 , b n, q, n ja S n linkitetty kahdella kaavalla:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näistä arvoista annetaan, kahden muun määrän vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriseen etenemiseen ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q seuraavat monotoniset ominaisuudet :

• eteneminen on nouseva, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Jos q< 0 , niin geometrinen eteneminen on vuorotellen: sen parittomilla jäsenillä on sama merkki kuin ensimmäisellä termillä ja parillisilla termeillä on päinvastainen merkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole yksitoikkoista.

Ensimmäisen työ n geometrisen etenemisen jäsenet voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaaton geometrinen eteneminen

Portaaton geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi etenemiseksi, jonka nimittäjän moduuli on pienempi 1 eli

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömän pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole laskeva sekvenssi. Tämä sopii tapaukseen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi vuorotellen. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Rajattoman pienenevän geometrisen etenemisen summa on luku, johon ensimmäisen summa n jäsenet etenemiseen rajoittamattomalla määrällä n ... Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisten ja geometristen etenemien suhde

Aritmeettinen ja geometrinen eteneminen liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d sitten

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä q sitten

kirjaa a b 1, kirjaa a b 2, kirjaa a b 3, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla loki aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . - geometrinen eteneminen nimittäjällä 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeettinen eteneminen erolla lg 6 . ◄

Oppitunnin tyyppi: oppia uutta materiaalia.

Oppitunnin tavoitteet:

• opiskelijoiden ajatusten laajentaminen ja syventäminen aritmeettisella etenemisellä ratkaistavista tehtävistä; opiskelijoiden hakutoiminnan järjestäminen johdettaessa kaava aritmeettisen etenemisen ensimmäisten n jäsenen summalle;
• taitojen kehittäminen itsenäisen uuden tiedon hankkimiseksi, jo hankitun tiedon käyttämiseksi asetetun tehtävän saavuttamiseksi;
• halu ja tarve yleistää saatuja tosiasioita, itsenäisyyden kehittyminen.

Tehtävät:

• yleistää ja järjestelmällisesti olemassa oleva tieto aiheesta "Aritmeettinen eteneminen";
• johtaa kaavat aritmeettisen etenemisen ensimmäisen n termin summan laskemiseksi;
• opettaa, miten saatuja kaavoja sovelletaan erilaisten ongelmien ratkaisemiseen;
• kiinnittää opiskelijoiden huomio toimintajärjestykseen numeerisen lausekkeen arvon löytämisessä.

Laitteet:

• kortit, joissa on tehtäviä ryhmätyöskentelyyn ja pareittain;
• arviointipaperi;
• esitys "Aritmeettinen eteneminen".

I. Perustietojen päivittäminen.

1. Itsenäinen työskentely pareittain.

1. vaihtoehto:

Määritä aritmeettinen eteneminen. Kirjoita ylös rekursiivinen kaava, joka määrittelee aritmeettisen etenemisen. Hei esimerkki aritmeettisesta etenemisestä ja ilmoita sen ero.

2. vaihtoehto:

Kirjoita kaava aritmeettisen etenemisen n: nnelle termille. Etsi aritmeettisen etenemisen 100. termi ( a n}: 2, 5, 8 …
Tällä hetkellä kaksi taulun taakse sijoitettua opiskelijaa valmistelee vastauksia samoihin kysymyksiin.
Opiskelijat arvioivat kumppanin työtä taulua vastaan. (Vastausarkit luovutetaan).

2. Pelin hetki.

Harjoitus 1.

Opettaja. Minulla on mielessä aritmeettinen eteneminen. Esitä minulle vain kaksi kysymystä, jotta vastausten jälkeen voit nopeasti nimetä tämän etenemisen 7. aikavälin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Opiskelijoiden kysymykset.

1. Mikä on etenemisen kuudes termi ja mikä on ero?
2. Mikä on etenemisen kahdeksas termi ja mikä on ero?

Jos kysymyksiä ei ole enää, opettaja voi stimuloida niitä - kieltää d (ero), toisin sanoen ei saa kysyä, mikä ero on. Voit esittää kysymyksiä: mikä on edistyksen kuudes ja mikä etenemisen kahdeksas lukukausi?

Tehtävä 2.

Taululle on kirjoitettu 20 numeroa: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Opettaja seisoo selkä taululle. Opiskelijat soittavat numeron numeroon, ja opettaja soittaa välittömästi itse numeroon. Selitä miten teen sen?

Opettaja muistaa n: n lukukauden kaavan a n \u003d 3n - 2ja korvaamalla annetut n: n arvot löytää vastaavat arvot a n.

II. Lausunto koulutusongelmasta.

Ehdotan ratkaisevan muinaisen ongelman, joka juontaa juurensa 2. vuosituhannesta eKr., Joka löydettiin Egyptin papyruksista.

Tehtävä: "Sanotaan sinulle: jaa 10 ohraa 10 ihmisen kesken, kunkin henkilön ja hänen naapurinsa välinen ero on 1/8 mitasta."

• Kuinka tämä tehtävä liittyy aritmeettisen etenemisen aiheeseen? (Jokainen seuraava saa 1/8 mitasta enemmän, mikä tarkoittaa eroa d \u003d 1/8, 10 henkilöä, mikä tarkoittaa n \u003d 10.)
• Mitä luulet numeron 10 merkitsevän? (Edistymisen kaikkien jäsenten summa.)
• Mitä muuta sinun on tiedettävä, jotta ohran jakaminen tehtävän mukaan olisi helppoa ja helppoa? (Etenemisen ensimmäinen termi.)

Oppitunnin tavoite - saada etenemisen jäsenten summan riippuvuus heidän lukumäärästään, ensimmäisestä termistään ja erostaan \u200b\u200bja tarkistamaan, onko ongelma ratkaistu oikein muinaisina aikoina.

Ennen kuin tehdään kaavan johtopäätös, katsotaanpa, kuinka muinaiset egyptiläiset ratkaisivat ongelman.

Ja he ratkaisivat sen seuraavasti:

1) 10 mittausta: 10 \u003d 1 mitta - keskimääräinen osuus;
2) 1 mitta ∙ \u003d 2 mittaa - kaksinkertaistettu keskiverto Jaa.
Kaksinkertaistui keskiverto osake on viidennen ja kuudennen henkilön osakkeiden summa.
3) 2 mittaa - 1/8 mittaa \u003d 1 7/8 mittaa - kaksinkertainen osuus viidennestä.
4) 1 7/8: 2 \u003d 5/16 - osuus viidennestä; ja niin edelleen, löydät kunkin edellisen ja seuraavan henkilön osuuden.

Saamme järjestyksen:

III. Tehtävän ratkaisu.

1. Työskentely ryhmissä

Ryhmä I: Etsi 20 peräkkäisen luonnollisen luvun summa: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Yleisesti

II ryhmä: Etsi luonnollisten lukujen summa välillä 1-100 (Legend of the Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Tuotos:

III ryhmä: Etsi luonnollisten lukujen summa välillä 1 - 21.

Ratkaisu: 1 + 21 \u003d 2 + 20 \u003d 3 + 19 \u003d 4 + 18 ...

Tuotos:

IV ryhmä:Etsi luonnollisten lukujen summa välillä 1-101.

Tuotos:

Tätä menetelmää tarkasteltujen ongelmien ratkaisemiseksi kutsutaan "Gaussin menetelmäksi".

2. Jokainen ryhmä esittää taululla ratkaisun ongelmaan.

3. Ehdotettujen ratkaisujen yleistäminen mielivaltaiselle aritmeettiselle etenemiselle:

a 1, 2, 3, ..., n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Löydetään tämä summa perustelemalla samalla tavalla:

4. Olemmeko ratkaisseet tehtävän? (Joo.)

IV. Saatujen kaavojen ensisijainen ymmärtäminen ja soveltaminen ongelmien ratkaisussa.

1. Tarkista vanhan ongelman ratkaisu kaavan avulla.

2. Kaavan soveltaminen erilaisten ongelmien ratkaisemiseen.

3. Harjoitukset, joilla muodostetaan kyky soveltaa kaavaa ongelmanratkaisussa.

A) nro 613

Annettu: ( a n) -aritmeettinen eteneminen;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Löytää: S 1500

Päätös: , a 1 \u003d 1, 1500 \u003d 1500,

B) Annettu: ( a n) -aritmeettinen eteneminen;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n \u003d 210

Löytää: n
Päätös:

V. Itsenäinen työ keskinäisellä todentamisella.

Denis meni töihin kuriiriksi. Ensimmäisenä kuukautena hänen palkkansa oli 200 ruplaa, jokaisessa seuraavassa kuukaudessa 30 ruplaa. Kuinka paljon hän ansaitsi vuodessa?

Annettu: ( a n) -aritmeettinen eteneminen;
a 1 \u003d 200, d \u003d 30, n \u003d 12
Löytää: S 12
Päätös:

Vastaus: Denis sai vuodessa 4380 ruplaa.

Vi. Kotitehtävien tiedotus.

1. s. 4.3 - opi kaavan johtaminen.
2. №№ 585, 623 .
3. Luo ongelma, joka ratkaistaisiin käyttämällä kaavaa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten n lauseen summalle.

Vii. Yhteenveto oppitunnista.

1. Arviointilomake

2. Jatka lauseita

• Tänään oppitunnilla ...
• Opitut kaavat ...
• Luulen että …

3. Löydätkö numeroiden summan välillä 1–500? Mitä menetelmää aiot käyttää tämän ongelman ratkaisemiseksi?

Luettelo viitteistä.

1. Algebra, 9. luokka. Oppikirja oppilaitoksille. Toim. G.V. Dorofeeva. M.: "Koulutus", 2009.

I. V. Jakovlev | Matematiikan materiaalit MathUs.ru

Aritmeettinen eteneminen

Aritmeettinen eteneminen on erityinen sekvenssi. Siksi ennen aritmeettisen (ja sitten geometrisen) etenemisen määrittämistä meidän on keskusteltava lyhyesti numerosarjan tärkeästä käsitteestä.

Järjestys

Kuvittele laite, jonka näytöllä jotkut numerot näkyvät peräkkäin. Sanotaan 2; 7; kolmetoista; yksi; 6; 0; 3; ::: Tämä numerosarja on vain esimerkki sekvenssistä.

Määritelmä. Numeerinen sekvenssi on joukko numeroita, joissa jokaiselle numerolle voidaan antaa yksilöllinen numero (eli yhdistää yksi luonnollinen numero) 1. Numeroa n kutsutaan sekvenssin n: nneksi jäseneksi.

Joten yllä olevassa esimerkissä ensimmäisellä numerolla on numero 2, tämä on sekvenssin ensimmäinen jäsen, joka voidaan merkitä a1: ksi; numerolla viisi on numero 6, tämä on sekvenssin viides termi, joka voidaan merkitä a5: ksi. Yleensä sekvenssin n: tä termiä merkitään (tai bn, cn jne.).

Tilanne on erittäin kätevä, kun sekvenssin n: s termi voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava an \u003d 2n3 määrittelee sekvenssin: 1; yksi; 3; viisi; 7; ::: Kaava an \u003d (1) n määrittelee sekvenssin: 1; yksi; yksi; yksi; :::

Kaikki numerosarjat eivät ole sekvenssejä. Joten segmentti ei ole sekvenssi; se sisältää "liian monta" numeroa, jotta sitä ei voida numeroida uudelleen. Kaikkien reaalilukujen joukko R ei myöskään ole sekvenssi. Nämä tosiasiat todistetaan matemaattisen analyysin aikana.

Aritmeettinen eteneminen: perusmäärittelyt

Nyt olemme valmiita määrittelemään aritmeettisen etenemisen.

Määritelmä. Aritmeettinen eteneminen on sekvenssi, jonka kukin termi (alkaen toisesta) on yhtä suuri kuin edellisen termin ja jonkin kiinteän luvun summa (kutsutaan aritmeettisen etenemisen eroksi).

Esimerkiksi sekvenssi 2; viisi; 8; yksitoista; ::: on aritmeettinen eteneminen ensimmäisellä termillä 2 ja erolla 3. Sekvenssi 7; 2; 3; 8; ::: on aritmeettinen eteneminen ensimmäisellä termillä 7 ja erolla 5. Sekvenssi 3; 3; 3; ::: on aritmeettinen eteneminen nollan erolla.

Vastaava määritelmä: jaksoa a kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi, jos ero an + 1 an on vakioarvo (riippumaton n: stä).

Aritmeettista etenemistä kutsutaan kasvavaksi, jos sen ero on positiivinen, ja pieneneväksi, jos sen ero on negatiivinen.

1 Ja tässä on lakonisempi määritelmä: sekvenssi on funktio, joka määritetään luonnollisten numeroiden joukossa. Esimerkiksi reaalilukujen sarja on funktio f: N! R.

Oletusarvoisesti sekvenssejä pidetään äärettöminä, eli ne sisältävät loputtoman määrän numeroita. Mutta kukaan ei viitsi harkita myös rajallisia sekvenssejä; itse asiassa mitä tahansa äärellistä numerosarjaa voidaan kutsua rajalliseksi sekvenssiksi. Esimerkiksi lopullinen sekvenssi on 1; 2; 3; neljä; 5 koostuu viidestä numerosta.

Aritmeettisen etenemisen n: nten kaavan kaava

On helppo ymmärtää, että aritmeettinen eteneminen määräytyy kokonaan kahdella luvulla: ensimmäinen termi ja ero. Siksi herää kysymys: miten löytää ensimmäinen termi ja ero, löytää aritmeettisen etenemisen mielivaltainen termi?

Ei ole vaikea saada vaadittua kaavaa aritmeettisen etenemisen n: nnelle aikavälille. Anna

Tehtävä 1. Aritmeettisessa etenemisessä 2; viisi; 8; yksitoista; ::: etsi kaavan n: lle termille ja laske sata luku.

Päätös. Kaavan (1) mukaan meillä on:

an \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3100 1 \u003d 299:

Aritmeettisen etenemisen ominaisuus ja merkki

Aritmeettinen etenemisominaisuus. Aritmeettisessa etenemisessä an kaikille

Toisin sanoen kukin aritmeettisen etenemisen jäsen (alkaen toisesta) on naapurielinten aritmeettinen keskiarvo.

tarvittaessa.

Yleisemmin aritmeettiselle etenemiselle an, tasa-arvo

a n \u003d a n k + a n + k

minkä tahansa n\u003e 2: n ja minkä tahansa luonnollisen k: n suhteen< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

On käynyt ilmi, että kaava (2) toimii paitsi välttämättömänä myös riittävänä ehtona sekvenssin ollessa aritmeettinen eteneminen.

Merkki aritmeettisesta etenemisestä. Jos yhtälö (2) pätee kaikille n\u003e 2, niin sekvenssi a on aritmeettinen eteneminen.

Todisteet. Kirjoita kaava (2) seuraavasti:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

Tämä osoittaa, että ero an + 1 a ei riipu n: stä, ja tämä tarkoittaa vain sitä, että sekvenssi a on aritmeettinen eteneminen.

Aritmeettisen etenemisen ominaisuus ja piirre voidaan muotoilla yhtenä lauseena; Mukavuuden vuoksi teemme tämän kolmelle numerolle (tämä on tilanne, joka esiintyy usein ongelmissa).

Aritmeettisen etenemisen luonnehdinta. Kolme numeroa a, b, c muodostavat aritmeettisen etenemisen vain ja vain, jos 2b \u003d a + c.

Tehtävä 2. (Moskovan valtionyliopisto, taloustieteellinen tiedekunta, 2007) Kolme numeroa 8x, 3 x2 ja 4 ilmoitetussa järjestyksessä muodostavat laskevan aritmeettisen etenemisen. Etsi x ja ilmoita tämän etenemisen ero.

Päätös. Aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella meillä on:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x10 \u003d 0, x2 + 4x5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Jos x \u003d 1, saadaan laskeva eteneminen 8, 2, 4 erolla 6. Jos x \u003d 5, niin saamme kasvavan etenemisen 40, 22, 4; tämä tapaus ei ole hyvä.

Vastaus: x \u003d 1, ero on 6.

Aritmeettisen etenemisen ensimmäisen n termin summa

Legendan mukaan kerran opettaja käski lapsia etsimään numerosumman 1: stä 100: een ja istui lukemaan sanomalehteä rauhallisesti. Kuitenkin alle muutama minuutti myöhemmin yksi poika sanoi, että hän oli ratkaissut ongelman. Se oli 9-vuotias Karl Friedrich Gauss, myöhemmin yksi historian suurimmista matemaatikoista.

Pikku Gaussin idea oli tämä. Anna olla

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Kirjoitetaan tämä summa päinvastaisessa järjestyksessä:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

ja lisää nämä kaksi kaavaa:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Jokainen sulkeissa oleva termi on 101, ja tällaisia \u200b\u200btermejä on yhteensä 100. Siksi

2S \u003d 101100 \u003d 10100;

Käytämme tätä ajatusta summakaavan johtamiseen

S \u003d a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

Kaavan (3) hyödyllinen muunnos saadaan korvaamalla kaavan n: s termi an \u003d a1 + (n1) d siihen:

Tehtävä 3. Etsi kaikkien positiivisten kolminumeroisten lukujen summa, joka on jaettavissa 13: lla.

Päätös. Kolminumeroiset luvut, 13: n kerrannaiset, muodostavat aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin 104 ja eron 13 kanssa; Tämän etenemisen n. Kausi on:

an \u003d 104 + 13 (n1) \u003d 91 + 13n:

Selvitetään, kuinka monta jäsentä etenemisemme sisältää. Tätä varten ratkaisemme eriarvoisuuden:

an 6 999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n 6 69:

Joten etenemisessä on 69 jäsentä. Kaavan (4) avulla löydämme vaaditun summan:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

Huomio!
On muita
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat hyvin "ei kovin ..."
Ja niille, jotka ovat "erittäin tasaisia \u200b\u200b...")

Aritmeettinen eteneminen on numerosarja, jossa jokainen luku on suurempi (tai vähemmän) kuin edellinen yhtä suurella määrällä.

Tämä aihe on usein vaikea ja käsittämätön. Kirjainten indeksit, etenemisen n: s termi, etenemisen ero - kaikki tämä on jotenkin hämmentävää, kyllä \u200b\u200b... Selvitetään aritmeettisen etenemisen merkitys ja kaikki onnistuu heti.)

Aritmeettinen etenemiskonsepti.

Aritmeettinen eteneminen on hyvin yksinkertainen ja selkeä käsite. Epäillä? Turhaan.) Katso itse.

Kirjoitan keskeneräisen numerosarjan:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Voitteko pidentää tätä riviä? Mitkä numerot menevät pidemmälle viiden takaa? Kaikki ... uh-uh ..., lyhyesti sanottuna, kaikki ymmärtävät, että numerot 6, 7, 8, 9 jne. Menevät pidemmälle.

Tehdään monimutkainen tehtävä. Annan keskeneräisen numerosarjan:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Pystyt saamaan kuvion kiinni, laajentamaan sarjaa ja nimeä seitsemäs rivinumero?

Jos huomaat, että tämä luku on 20 - onnittelen sinua! Paitsi että sinusta tuntui aritmeettisen etenemisen avainkohdat, mutta myös onnistuneesti käyttänyt niitä liiketoiminnassa! Jos et ole selvittänyt sitä, lue lisää.

Käännetään nyt avainkohdat sensaatiosta matematiikkaan.)

Ensimmäinen keskeinen kohta.

Aritmeettinen eteneminen käsittelee numerosarjoja. Tämä on aluksi hämmentävää. Olemme tottuneet ratkaisemaan yhtälöitä, piirtämään kaavioita ja kaikkea muuta ... Ja sitten pidennä sarjaa, etsi sarjan numero ...

Ei mitään väärin. Pelkkä eteneminen on ensimmäinen tutustuminen uuteen matematiikkaosaan. Osaa kutsutaan "Riveiksi", ja se toimii numeroiden ja lausekesarjojen kanssa. Totu siihen.)

Toinen keskeinen asia.

Aritmeettisessa etenemisessä mikä tahansa luku eroaa edellisestä samalla määrällä.

Ensimmäisessä esimerkissä tämä ero on yksi. Mitä numeroa valitsetkin, se on enemmän kuin edellinen yksi kerrallaan. Toisessa - kolme. Mikä tahansa luku, joka on suurempi kuin edellinen yksi kerrallaan. Itse asiassa juuri tämä hetki antaa meille mahdollisuuden saada kuvio kiinni ja laskea seuraavat luvut.

Kolmas keskeinen kohta.

Tämä hetki ei ole silmiinpistävä, kyllä \u200b\u200b... Mutta se on erittäin, erittäin tärkeä. Tässä se on: kukin etenemisessä oleva numero seisoo paikoillaan. On ensimmäinen numero, on seitsemäs, on neljäkymmentäviides, jne. Jos ne sekoitetaan satunnaisesti, kuvio katoaa. Myös aritmeettinen eteneminen katoaa. Vain rivi numeroita jää.

Se on koko asia.

Tietysti uudet aiheet näkyvät uusilla termeillä. Sinun täytyy tuntea heidät. Muuten et ymmärrä tehtävää. Sinun on esimerkiksi päätettävä jotain:

Kirjoita aritmeettisen etenemisen kuusi ensimmäistä termiä (a n), jos a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Innoittako se?) Kirjeet, jotkut hakemistot ... Ja tehtävä, muuten, ei voisi olla helpompaa. Sinun tarvitsee vain ymmärtää termien ja nimitysten merkitys. Nyt hallitsemme tämän liiketoiminnan ja palaamme tehtävään.

Ehdot ja nimitykset.

Aritmeettinen eteneminen on numerosarja, jossa kukin numero eroaa edellisestä samalla määrällä.

Tätä määrää kutsutaan ... Käsittelemme tätä käsitettä tarkemmin.

Aritmeettisen etenemisen ero.

Ero aritmeettisessa etenemisessä on summa, jolla mikä tahansa numero etenemisestä lisää edellinen.

Yksi tärkeä asia. Kiinnitä huomiota sanaan "lisää". Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että jokainen numero etenemisessä saadaan lisäämällä aritmeettisen etenemisen ero edelliseen lukuun.

Lasketaan, sanotaan toinen sarjanumero, on tarpeen ensimmäinen numero lisätä tämä sama ero aritmeettisessa etenemisessä. Laskentaa varten viides - ero on välttämätön lisätä että neljäs, hyvin jne.

Ero aritmeettisessa etenemisessä voi olla positiivinen, sitten jokainen rivin numero osoittautuu todella enemmän kuin edellinen. Tätä etenemistä kutsutaan kasvaa. Esimerkiksi:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tässä saadaan jokainen numero lisäämällä positiivinen luku, +5 edelliseen.

Ero voi olla negatiivinen, sitten jokainen numero rivillä osoittautuu vähemmän kuin edellinen. Tällaista etenemistä kutsutaan (et usko sitä!) vähenee.

Esimerkiksi:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Täältä saadaan myös jokainen numero lisäämällä edelliseen, mutta jo negatiiviseen lukuun, -5.

Muuten, kun työskentelet etenemisen kanssa, on erittäin hyödyllistä määrittää välittömästi sen luonne - onko se kasvamassa vai laskussa. Se auttaa paljon navigoinnissa ratkaisussa, havaitsemaan virheesi ja korjaamaan ne ennen kuin on liian myöhäistä.

Ero aritmeettisessa etenemisessä merkitty pääsääntöisesti kirjaimella d.

Kuinka löytää d ? Erittäin yksinkertainen. Sarjan mistä tahansa numerosta on vähennettävä edellinen määrä. Vähentää. Muuten vähennystulosta kutsutaan "eroksi".)

Määritellään esimerkiksi d nousevalle aritmeettiselle etenemiselle:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Otamme haluamasi määrän riviä, esimerkiksi 11. Vähennä siitä edellinen numero, nuo. 8:

Tämä on oikea vastaus. Tälle aritmeettiselle etenemiselle ero on kolme.

Voit ottaa tarkalleen mikä tahansa määrä etenemistä, siitä asti kun tietylle etenemiselle d -aina sama. Ainakin jonnekin rivin alussa, ainakin keskellä, ainakin missä tahansa. Et voi ottaa vain ensimmäistä numeroa. Vain siksi, että aivan ensimmäinen numero ei ole edellistä.)

Muuten, tietäen sen d \u003d 3, on erittäin helppo löytää tämän etenemisen seitsemäs numero. Lisää 3 viidenteen numeroon - saamme kuudennen, se on 17. Lisää kolme kuudenteen numeroon, saamme seitsemännen luvun - kaksikymmentä.

Me määrittelemme d laskevalle aritmeettiselle etenemiselle:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Muistutan teille, että riippumatta merkeistä, määrittää d se on tarpeen mistä tahansa numerosta ota pois edellinen. Valitsemme minkä tahansa määrän etenemistä, esimerkiksi -7. Edellinen on -2. Sitten:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Aritmeettisen etenemisen ero voi olla mikä tahansa luku: kokonaisuus, murtoluku, irrationaalinen, mikä tahansa.

Muut termit ja nimitykset.

Kutakin sarjan numeroa kutsutaan aritmeettisen etenemisen jäsen.

Jokainen etenemisen jäsen on oma numero. Numerot ovat tiukassa järjestyksessä, ilman temppuja. Ensimmäinen, toinen, kolmas, neljäs jne. Esimerkiksi etenemisessä 2, 5, 8, 11, 14, ... kaksi on ensimmäinen termi, viisi on toinen, yksitoista on neljäs, no, ymmärrät ...) Ymmärrä selvästi - numerot itse voi olla ehdottomasti mikä tahansa, koko, murto-osa, negatiivinen, mikä tahansa, mutta numeroiden numerointi - tiukasti kunnossa!

Kuinka tallentaa yleinen eteneminen? Ei ongelmaa! Jokainen rivin numero kirjoitetaan kirjaimena. Kirjainta käytetään pääsääntöisesti merkitsemään aritmeettista etenemistä a... Jäsenen numero on merkitty hakemistolla oikeassa alakulmassa. Kirjoitamme jäsenet pilkuilla (tai puolipisteillä) erotettuna seuraavasti:

a 1, 2, 3, 4, 5, ...

a 1on ensimmäinen numero, a 3 - kolmas jne. Ei mitään hankalaa. Voit kirjoittaa tämän sarjan lyhyesti seuraavasti: (a n).

Edistyminen on äärellinen ja loputon.

Äärimmäinen etenemisessä on rajoitettu määrä jäseniä. Viisi, kolmekymmentäkahdeksan, mitä tahansa. Mutta - rajallinen luku.

Loputon eteneminen - sillä on ääretön määrä jäseniä, kuten arvata voi.)

Voit kirjoittaa lopullisen etenemisen tämän sarjan kautta, kaikki jäsenet ja pisteen lopussa:

a 1, 2, 3, 4, 5.

Tai niin, jos jäseniä on paljon:

a 1, 2, ... a 14, 15.

Lyhyessä merkinnässä sinun on lisäksi ilmoitettava jäsenten lukumäärä. Esimerkiksi (20 jäsenelle), näin:

(a n), n \u003d 20

Rivin lopussa oleva ellipsi tunnistaa loputtoman etenemisen, kuten tämän oppitunnin esimerkeissä.

Nyt voit ratkaista tehtäviä. Tehtävät ovat yksinkertaisia, puhtaasti aritmeettisen etenemisen merkityksen ymmärtämiseksi.

Esimerkkejä aritmeettisen etenemisen tehtävistä.

Analysoidaan tehtävää yksityiskohtaisesti, joka on annettu yllä:

1. Kirjoita aritmeettisen etenemisen kuusi ensimmäistä termiä (a n), jos a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Käännämme tehtävän ymmärrettävälle kielelle. Annetaan ääretön aritmeettinen eteneminen. Tämän etenemisen toinen numero tunnetaan: a 2 \u003d 5. Ero etenemisessä on tiedossa: d \u003d -2,5. Tämän etenemisen on löydettävä ensimmäinen, kolmas, neljäs, viides ja kuudes jäsen.

Selvyyden vuoksi kirjoitan sarjan ongelman tilan mukaan. Kuusi ensimmäistä termiä, joissa toinen on viisi:

a 1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Korvaa ilmaisussa a 2 \u003d 5 ja d \u003d -2,5... Älä unohda miinusta!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Kolmas termi on pienempi kuin toinen. Kaikki on loogista. Jos luku on suurempi kuin edellinen numero negatiivinen arvo, luku itse osoittautuu pienemmäksi kuin edellinen. Eteneminen on laskussa. Okei, otetaan se huomioon.) Katsomme sarjamme neljännen jäsenen:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Joten lasketaan kolmannen ja kuudennen väliset ehdot. Tuloksena on sellainen sarja:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Ensimmäisen termin löytäminen on vielä jäljellä a 1 tunnetun toisen mukaan. Tämä on askel toiseen suuntaan, vasemmalle.) Siksi aritmeettisen etenemisen ero d ei tarvitse lisätä a 2ja ottaa mukaan:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Siinä kaikki siinä on. Tehtävän vastaus:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Matkan varrella huomaan, että ratkaisimme tämän tehtävän toistuva tapa. Tämä pelottava sana tarkoittaa vain etenemisen jäsenen etsimistä. edellisellä (viereisellä) numerolla. Harkitsemme muita tapoja työskennellä etenemisen kanssa myöhemmin.

Tästä yksinkertaisesta tehtävästä voidaan tehdä yksi tärkeä johtopäätös.

Muistaa:

Jos tiedämme ainakin yhden termin ja aritmeettisen etenemisen eron, voimme löytää minkä tahansa jäsenen tästä etenemisestä.

Muistaa? Tämän yksinkertaisen johtopäätöksen avulla voit ratkaista suurimman osan tämän aiheen koulukurssin tehtävistä. Kaikki tehtävät kiertävät kolmea pääparametriä: aritmeettisen etenemisen jäsen, etenemisen ero, etenemisen jäsenen lukumäärä. Kaikki.

Tietysti kaikkea edellistä algebraa ei peruuteta.) Etenemiseen on liitetty eriarvoisuuksia, yhtälöitä ja muita asioita. Mutta aivan etenemisellä - kaikki pyörii kolmen parametrin ympärillä.

Harkitse esimerkkinä joitain suosittuja tehtäviä tästä aiheesta.

2. Kirjoita viimeinen aritmeettinen eteneminen sarjana, jos n \u003d 5, d \u003d 0,4 ja a 1 \u003d 3,6.

Kaikki on täällä yksinkertaista. Kaikki on jo annettu. Sinun on muistettava, kuinka laskennallisen etenemisen jäsenet lasketaan, lasketaan ja kirjoitetaan ylös. On suositeltavaa olla välittämättä tehtävän ehdoissa olevista sanoista: "lopullinen" ja " n \u003d 5". Ei lasketa, ennen kuin kasvot ovat täysin sinisiä.) Tässä etenemisessä on vain 5 (viisi) jäsentä:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d \u003d 4,4 + 0,4 \u003d 4,8

a 5 = a 4 + d \u003d 4,8 + 0,4 \u003d 5,2

Jäljellä on vastauksen kirjoittaminen:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Toinen tehtävä:

3. Määritä, onko luku 7 aritmeettisen etenemisen (a n) jäsen, jos a 1 \u003d 4,1; d \u003d 1,2.

Hmm ... Kuka tietää? Kuinka määrittää jotain?

Kuinka, miten ... Kyllä, kirjoita eteneminen sarjassa ja katso, onko siellä seitsemän vai ei! Me harkitsemme:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nyt on selvästi nähtävissä, että olemme vasta seitsemän liukastui läpi välillä 6,5 ja 7,7! Seitsemän eivät päässeet numerosarjaamme, ja siksi ne seitsemän eivät ole jäsenenä annetussa etenemisessä.

Vastaus on ei.

Ja tässä on tehtävä, joka perustuu GIA: n todelliseen versioon:

4. Useat peräkkäiset jäsenet laskennassa etenevät:

...; 15; x; 9; 6; ...

Rivi kirjoitetaan tähän ilman loppua ja alkua. Ei jäsenmääriä, ei eroa d... Ei mitään väärin. Ongelman ratkaisemiseksi riittää ymmärtämään aritmeettisen etenemisen merkitys. Katsomme ja ajattelemme, mikä on mahdollista löytää tästä sarjasta? Mitkä ovat kolme pääparametriä?

Jäsentenumerot? Täällä ei ole yhtä numeroa.

Mutta on olemassa kolme numeroa ja - huomio! - sana "peräkkäinen" kunnossa. Tämä tarkoittaa, että numerot ovat tiukasti järjestyksessä, ilman aukkoja. Onko tässä rivissä kaksi naapurimaassa tunnetut numerot? Kyllä on! Nämä ovat 9 ja 6. Joten voimme laskea aritmeettisen etenemisen eron! Vähennämme kuudesta edellinen numero, ts. yhdeksän:

Pelkästään pieniä asioita on jäljellä. Mikä on X: n edellinen numero? Viisitoista. Tämä tarkoittaa, että x voidaan helposti löytää yksinkertaisella lisäyksellä. Lisää aritmeettisen etenemisen ero arvoon 15:

Siinä kaikki. Vastaus: x \u003d 12

Ratkaisemme seuraavat ongelmat itse. Huomaa: nämä ongelmat eivät koske kaavoja. Pelkästään aritmeettisen etenemisen merkityksen ymmärtämiseksi.) Kirjoitamme vain sarjan, jossa on numeroita-kirjaimia, katsomme ja ajattelemme.

5. Etsi aritmeettisen etenemisen ensimmäinen positiivinen termi, jos 5 \u003d -3; d \u003d 1,1.

6. Tiedetään, että luku 5.5 on aritmeettisen etenemisen (a n) jäsen, jossa a \u003d 1,6; d \u003d 1,3. Määritä tämän jäsenen numero n.

7. Tiedetään, että aritmeettisessa etenemisessä a 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15,1. Etsi 3.

8. Kirjoitettu useita peräkkäisiä jäseniä aritmeettisesta etenemisestä:

...; 15,6; x; 3,4; ...

Etsi termi etenemisestä, jota merkitään kirjaimella x.

9. Juna alkoi liikkua asemalta ja nosti nopeuttaan tasaisesti 30 metrillä minuutissa. Mikä on junan nopeus viidessä minuutissa? Anna vastauksesi km / h.

10. Tiedetään, että aritmeettisessa etenemisessä a 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. Etsi 1.

Vastaukset (epäjärjestyksessä): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; neljä.

Kaikki toimi? Loistava! Voit hallita aritmeettisen etenemisen korkeammalla tasolla seuraavissa oppitunneissa.

Eivätkö kaikki onnistuneet? Ei ongelmaa. Erikoiskappaleessa 555 kaikki nämä tehtävät on jaoteltu palasiksi.) Ja tietysti kuvataan yksinkertainen käytännön tekniikka, joka tuo välittömästi esiin tällaisten tehtävien ratkaisun selvästi, selvästi kuin kämmenelläsi!

Muuten, junaa koskevassa palapelissä on kaksi ongelmaa, joihin ihmiset usein kompastuvat. Yksi on puhtaasti etenemisvaiheessa, ja toinen on yhteinen matematiikan ja fysiikan ongelmiin. Tämä on ulottuvuuksien käännös toisesta. Siinä esitetään, miten nämä ongelmat tulisi ratkaista.

Tässä oppitunnissa tarkastelimme aritmeettisen etenemisen perusarvoa ja sen pääparametreja. Tämä riittää ratkaisemaan melkein kaikki aiheeseen liittyvät ongelmat. Lisätä d numeroihin, kirjoita sarja, kaikki päätetään.

Sormiliuos toimii hyvin hyvin lyhyille rivikappaleille, kuten tämän oppitunnin esimerkeissä. Jos rivi on pidempi, laskelmat monimutkaistuvat. Jos esimerkiksi kysymyksessä on ongelma 9, korvaa se "viisi minuuttia" päällä "kolmekymmentäviisi minuuttia" tehtävä muuttuu huomattavasti vihaisemmaksi.)

Ja on myös tehtäviä, jotka ovat pohjimmiltaan yksinkertaisia, mutta uskomattomia laskelmien kannalta, esimerkiksi:

Sinulle annetaan aritmeettinen eteneminen (a n). Etsi 121, jos a 1 \u003d 3 ja d \u003d 1/6.

Ja mitä, lisäämme monta, monta kertaa 1/6? Voit tappaa sen!

Voit.) Jos et tiedä yksinkertaista kaavaa, jonka mukaan tällaiset tehtävät voidaan ratkaista minuutissa. Tämä kaava on seuraavassa oppitunnissa. Ja tämä ongelma on ratkaistu siellä. Minuutissa.)

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten, minulla on pari mielenkiintoisempaa sivustoa sinulle.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.