Universaali trigonometrinen substituutio, kaavojen johtaminen, esimerkkejä.

Tärkeimpien trigonometristen funktioiden - sini, kosini, tangentti ja kotangentti - väliset suhteet on annettu trigonometriset kaavat. Ja koska trigonometristen funktioiden välillä on melko paljon yhteyksiä, tämä selittää myös trigonometristen kaavojen runsauden. Jotkut kaavat yhdistävät saman kulman trigonometriset funktiot, toiset - usean kulman funktiot, toiset - antavat sinun laskea astetta, neljäs - ilmaista kaikki funktiot puolikulman tangentin kautta jne.

Tässä artikkelissa luetellaan järjestyksessä kaikki perustrigonometriset kaavat, jotka riittävät ratkaisemaan suurimman osan trigonometriatehtävistä. Muistamisen ja käytön helpottamiseksi ryhmittelemme ne käyttötarkoituksensa mukaan ja syötämme ne taulukoihin.

Sivulla navigointi.

Trigonometriset perusidentiteetit

Trigonometriset perusidentiteetit aseta suhde yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välillä. Ne johtuvat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmästä sekä yksikköympyrän käsitteestä. Niiden avulla voit ilmaista yhden trigonometrisen funktion minkä tahansa muun kautta.

Yksityiskohtainen kuvaus näistä trigonometriakaavoista, niiden johtamisesta ja sovellusesimerkeistä on artikkelissa.

Valokaavat

Valokaavat seuraavat sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuuksista, eli ne heijastavat trigonometristen funktioiden jaksollisuuden ominaisuutta, symmetriaominaisuutta ja myös ominaisuutta siirtyä tietyllä kulmalla. Näiden trigonometristen kaavojen avulla voit siirtyä mielivaltaisten kulmien käsittelystä kulmien työskentelyyn nollasta 90 asteeseen.

Artikkelissa voidaan tutkia näiden kaavojen perusteluja, muistosääntöä niiden muistamiseksi ulkoa ja esimerkkejä niiden soveltamisesta.

Lisäyskaavat

Trigonometriset summauskaavat näytä, kuinka kahden kulman summan tai eron trigonometriset funktiot ilmaistaan ​​näiden kulmien trigonometrisinä funktioina. Nämä kaavat toimivat perustana seuraavien trigonometristen kaavojen johtamiselle.

Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma

Kaavat kaksois-, kolmois- jne. kulma (niitä kutsutaan myös useiden kulmien kaavoiksi) osoittavat, kuinka kaksois-, kolmois- jne. trigonometriset funktiot. kulmat () ilmaistaan ​​yhden kulman trigonometrisinä funktioina. Niiden johtaminen perustuu summauskaavoihin.

Tarkempia tietoja kerätään artikkelikaavoissa tupla-, kolmois- jne. kulma.

Puolikulmakaavat

Puolikulmakaavat näytä kuinka puolikulman trigonometriset funktiot ilmaistaan ​​kokonaislukukulman kosinina. Nämä trigonometriset kaavat johtuvat kaksoiskulmakaavoista.

Heidän johtopäätöksensä ja sovellusesimerkit löytyvät artikkelista.

Vähennyskaavat

Trigonometriset kaavat aleneville asteille on suunniteltu helpottamaan siirtymistä trigonometristen funktioiden luonnollisista voimavaroista sineihin ja kosineihin ensimmäisessä asteessa, mutta useissa kulmissa. Toisin sanoen niiden avulla voidaan vähentää trigonometristen funktioiden tehot ensimmäiseksi.

Kaavat trigonometristen funktioiden summalle ja erolle

Päätarkoitus trigonometristen funktioiden summa- ja erotuskaavat koostuu siirtymisestä funktioiden tuloon, mikä on erittäin hyödyllistä yksinkertaistettaessa trigonometrisiä lausekkeita. Näitä kaavoja käytetään laajalti myös trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, koska ne mahdollistavat sinien ja kosinien summan ja eron laskemisen.

Kaavat sinien, kosinien ja sini kosinilta tulolle

Siirtyminen trigonometristen funktioiden tulosta summaan tai erotukseen suoritetaan sinien, kosinien ja sini kerrallaan tulokaavojen avulla.

Tekijänoikeus älykkäillä opiskelijoilla

Kaikki oikeudet pidätetään.
Tekijänoikeuslain suojaama. Mitään www.sivuston osaa, mukaan lukien sisäiset materiaalit ja ulkoinen suunnittelu, ei saa jäljentää missään muodossa tai käyttää ilman tekijänoikeuksien haltijan kirjallista lupaa.

Usein kysytyt kysymykset

Onko asiakirjaan mahdollista tehdä sinetti toimitetun näytteen mukaan? Vastaus Kyllä, se on mahdollista. Lähetä skannattu kopio tai hyvälaatuinen valokuva sähköpostiosoitteeseemme, niin teemme tarvittavan kaksoiskappaleen.

Millaisia ​​maksutyyppejä hyväksyt? Vastaus Voit maksaa asiakirjan vastaanotettuasi kuriirin, kun olet tarkistanut täytön oikeellisuuden ja tutkintotodistuksen laadun. Tämän voi tehdä myös postiennakkopalveluja tarjoavien postiyhtiöiden toimipisteissä.
Kaikki asiakirjojen toimitus- ja maksuehdot on kuvattu kohdassa "Maksu ja toimitus". Olemme myös valmiita kuuntelemaan ehdotuksiasi asiakirjan toimitus- ja maksuehdoista.

Voinko olla varma, että et katoa rahojeni kanssa tilauksen tekemisen jälkeen? Vastaus Meillä on melko pitkä kokemus diplomituotannosta. Meillä on useita sivustoja, joita päivitetään jatkuvasti. Asiantuntijamme työskentelevät eri puolilla maata ja tuottavat yli 10 dokumenttia päivässä. Vuosien mittaan asiakirjamme ovat auttaneet monia ihmisiä ratkaisemaan työllisyysongelmia tai siirtymään korkeapalkkaisiin töihin. Olemme ansainneet asiakkaiden luottamuksen ja tunnustuksen, joten meillä ei ole mitään syytä tehdä niin. Lisäksi se on yksinkertaisesti mahdotonta tehdä fyysisesti: maksat tilauksestasi, kun saat sen käsiisi, ennakkomaksua ei ole.

Voinko tilata tutkinnon mistä tahansa yliopistosta? Vastaus Yleisesti ottaen kyllä. Olemme työskennelleet tällä alalla lähes 12 vuotta. Tänä aikana on muodostunut lähes täydellinen tietokanta lähes kaikkien maan yliopistojen ja eri vuosien myöntämistä asiakirjoista. Sinun tarvitsee vain valita yliopisto, erikoisala, asiakirja ja täyttää tilauslomake.

Mitä minun tulee tehdä, jos löydän asiakirjasta kirjoitusvirheitä? Vastaus Kun vastaanotat asiakirjan kuriiriltamme tai postiyritykseltämme, suosittelemme tarkistamaan kaikki tiedot huolellisesti. Jos havaitset kirjoitusvirheen, virheen tai epätarkkuuden, sinulla on oikeus olla vastaanottamatta tutkintotodistusta ja sinun tulee ilmoittaa havaitsemistasi puutteista henkilökohtaisesti kuriirille tai kirjallisesti lähettämällä sähköpostia.
Korjaamme asiakirjan mahdollisimman pian ja lähetämme sen uudelleen ilmoitettuun osoitteeseen. Toimituskulut maksaa tietysti yrityksemme.
Tällaisten väärinkäsitysten välttämiseksi ennen alkuperäisen lomakkeen täyttöä lähetämme tulevan asiakirjan ulkoasun asiakkaan sähköpostiin tarkistettavaksi ja lopullisen version hyväksymiseksi. Ennen asiakirjan lähettämistä kuriirilla tai postitse otamme myös lisäkuvan ja -videon (myös ultraviolettivalossa), jotta sinulla on visuaalinen käsitys siitä, mitä saat loppujen lopuksi.

Mitä sinun tulee tehdä, jotta voit tilata tutkinnon yrityksestäsi? Vastaus Tilataksesi asiakirjan (todistus, tutkintotodistus, akateeminen todistus jne.) sinun tulee täyttää verkkotilauslomake verkkosivuillamme tai antaa sähköpostiosoitteesi, jotta voimme lähettää sinulle kyselylomakkeen, joka sinun tulee täyttää ja lähettää. takaisin meille.
Jos et tiedä mitä merkitä johonkin tilauslomakkeen/kyselyn kenttään, jätä ne tyhjäksi. Siksi selvitämme kaikki puuttuvat tiedot puhelimitse.

Uusimmat arvostelut

Aleksei:

Minun piti hankkia tutkinto, jotta voisin työskennellä johtajana. Ja mikä tärkeintä, minulla on sekä kokemusta että taitoja, mutta ilman asiakirjaa en voi, saan työpaikan missä tahansa. Sivustollasi päätin silti ostaa tutkintotodistuksen. Diplomi valmistui 2 päivässä! Nyt minulla on työ, josta en koskaan ennen unelmoinut!! Kiitos!

Aloitamme trigonometrian tutkimisen suorakulmaisella kolmiolla. Määritellään mitä ovat sini ja kosini sekä terävän kulman tangentti ja kotangentti. Nämä ovat trigonometrian perusteet.

Muista tuo oikea kulma on 90 asteen kulma. Toisin sanoen puolet avatusta kulmasta.

Terävä kulma- alle 90 astetta.

Tylppä kulma- yli 90 astetta. Suhteessa sellaiseen kulmaan "tyhmä" ei ole loukkaus, vaan matemaattinen termi :-)

Piirretään suorakulmainen kolmio. Yleensä merkitään suora kulma. Huomaa, että kulman vastakkainen puoli on merkitty samalla kirjaimella, vain pienellä. Joten kulmaa A vastapäätä olevaa sivua merkitään.

Kulma on merkitty vastaavalla kreikkalaisella kirjaimella.

Hypotenuusa Suorakulmainen kolmio on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu.

Jalat- teräviä kulmia vastapäätä olevat sivut.

Kulmaa vastapäätä olevaa jalkaa kutsutaan vastapäätä(suhteessa kulmaan). Toista jalkaa, joka sijaitsee kulman toisella puolella, kutsutaan vieressä.

Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:

Kosini terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde hypotenuusaan:

Tangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - vastakkaisen jalan suhde viereiseen:

Toinen (ekvivalentti) määritelmä: terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:

Kotangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde vastakkaiseen (tai vastaavasti kosinin ja sinin suhde):

Kiinnitä huomiota sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perussuhteisiin, jotka on annettu alla. Niistä on meille hyötyä ongelmien ratkaisemisessa.

Todistakaamme joitain niistä.

Okei, olemme antaneet määritelmät ja kirjoitetut kaavat. Mutta miksi tarvitsemme siniä, kosinia, tangenttia ja kotangenttia?

Tiedämme sen minkä tahansa kolmion kulmien summa on.

Tiedämme välisen suhteen juhlia suorakulmainen kolmio. Tämä on Pythagoraan lause: .

Osoittautuu, että kun tiedät kolmion kaksi kulmaa, voit löytää kolmannen. Kun tiedät suoran kolmion kaksi sivua, voit löytää kolmannen. Joten kulmille - niiden suhde, sivuille - omansa. Mutta mitä tehdä, jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan yksi kulma (paitsi oikea) ja yksi sivu, mutta sinun on löydettävä muut sivut?

Tätä ihmiset kohtasivat menneisyydessä tehdessään karttoja alueesta ja tähtitaivasta. Loppujen lopuksi ei aina ole mahdollista mitata suoraan kolmion kaikkia sivuja.

Sini, kosini ja tangentti - niitä kutsutaan myös kulman trigonometriset funktiot- anna välinen suhde juhlia ja kulmat kolmio. Kun tiedät kulman, voit löytää kaikki sen trigonometriset funktiot erityisten taulukoiden avulla. Ja kun tiedät kolmion ja sen yhden sivun kulmien sinit, kosinit ja tangentit, voit löytää loput.

Piirrämme myös taulukon sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvoista "hyville" kulmille välillä -.

Huomaa kaksi punaista viivaa taulukossa. Kulmien vastaaville arvoille tangenttia ja kotangenttia ei ole olemassa.

Analysoidaan useita trigonometrian ongelmia FIPI-tehtävien pankista.

1. Kolmion kulma on , . Löytö .

Ongelma ratkeaa neljässä sekunnissa.

Sikäli kuin , .

2. Kolmiossa kulma on , , . Löytö .

Etsitään Pythagoraan lauseella.

Ongelma ratkaistu.

Usein ongelmissa on kolmioita, joissa on kulmat ja tai kulmat ja . Muista niiden perussuhteet ulkoa!

Kolmiolle, jossa on kulmat ja kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Kolmio, jossa on kulmia ja on tasakylkinen. Siinä hypotenuusa on kertaa suurempi kuin jalka.

Pohdimme tehtäviä suorakulmaisten kolmioiden ratkaisemiseksi - eli tuntemattomien sivujen tai kulmien löytämiseksi. Mutta ei siinä vielä kaikki! Matematiikan kokeen muunnelmissa on monia tehtäviä, joissa esiintyy kolmion ulkokulman sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Tästä lisää seuraavassa artikkelissa.

Tässä artikkelissa tarkastelemme kattavasti . Trigonometriset perusidentiteetit ovat yhtäläisyyksiä, jotka muodostavat suhteen yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välille ja antavat sinun löytää minkä tahansa näistä trigonometrisista funktioista tunnetun toisen kulman kautta.

Luettelemme välittömästi tärkeimmät trigonometriset identiteetit, joita analysoimme tässä artikkelissa. Kirjoitamme ne taulukkoon, ja alla annamme näiden kaavojen johtamisen ja annamme tarvittavat selitykset.

Sivulla navigointi.

Yhden kulman sinin ja kosinin suhde

Joskus he eivät puhu yllä olevassa taulukossa luetelluista tärkeimmistä trigonometrisista identiteeteistä, vaan yhdestä yksittäisestä trigonometrinen perusidentiteetti ystävällinen . Selitys tälle tosiasialle on melko yksinkertainen: yhtäläisyydet saadaan trigonometrisesta perusidentiteetistä sen jälkeen, kun sen molemmat osat on jaettu vastaavasti ja yhtäläisyydet ja seuraa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Keskustelemme tästä tarkemmin seuraavissa kappaleissa.

Toisin sanoen tasa-arvo on erityisen kiinnostava, jolle annettiin trigonometrisen pääidentiteetin nimi.

Ennen trigonometrisen perusidentiteetin todistamista annamme sen muotoilun: yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Nyt todistetaan se.

Trigonometristä perusidentiteettiä käytetään hyvin usein trigonometristen lausekkeiden muunnos. Se mahdollistaa yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summan korvaamisen yhdellä. Yhtä usein trigonometristä perusidentiteettiä käytetään käänteisessä järjestyksessä: yksikkö korvataan minkä tahansa kulman sinin ja kosinin neliöiden summalla.

Tangentti ja kotangentti sinin ja kosinin kautta

Identiteetit, jotka yhdistävät tangentin ja kotangentin muodon ja yhden kulman siniin ja kosiniin seuraa välittömästi sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Itse asiassa, määritelmän mukaan sini on y:n ordinaatta, kosini on x:n abskissa, tangentti on ordinaatin suhde abskissaan, eli , ja kotangentti on abskissan suhde ordinaataan, eli .

Tämän ilmeisyyden vuoksi identiteetit ja usein tangentin ja kotangentin määritelmää ei anneta abskissan ja ordinaatan suhteen, vaan sinin ja kosinin suhteen kautta. Joten kulman tangentti on tämän kulman sinin ja kosinin suhde, ja kotangentti on kosinin suhde siniin.

Tämän jakson päätteeksi on huomattava, että identiteetit ja pidä kiinni kaikista sellaisista kulmista, joille niissä olevilla trigonometrisilla funktioilla on järkeä. Joten kaava pätee mille tahansa muulle kuin (muuten nimittäjä on nolla, emmekä määrittäneet jakoa nollalla) ja kaava - kaikille erilainen kuin , jossa z on mikä tahansa.

Tangentin ja kotangentin välinen suhde

Vielä ilmeisempi trigonometrinen identiteetti kuin kaksi edellistä on identiteetti, joka yhdistää muodon yhden kulman tangentin ja kotangentin . On selvää, että se tapahtuu kaikille muille kulmille kuin , muuten tangenttia tai kotangenttia ei ole määritelty.

Todiste kaavasta erittäin yksinkertainen. Määritelmän mukaan ja mistä . Todistus olisi voitu tehdä hieman eri tavalla. Siitä lähtien ja , sitten .

Joten yhden kulman tangentti ja kotangentti, jossa niillä on järkeä, on.

Kahden kulman summan ja erotuksen kosini

Tässä osiossa todistetaan seuraavat kaksi kaavaa:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Kahden kulman summan (eron) kosini on yhtä suuri kuin näiden kulmien kosinien tulo miinus (plus) näiden kulmien sinien tulo.

Meidän on helpompi aloittaa kaavan (2) todistuksella. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan ensin, että kulmat α ja β täyttää seuraavat ehdot:

1) jokainen näistä kulmista ei ole negatiivinen ja pienempi kuin 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Olkoon 0x-akselin positiivinen osa kulmien yhteinen alkupuoli α ja β .

Merkitään näiden kulmien päätysivuja 0A ja 0B vastaavasti. Ilmeisesti kulma α - β voidaan pitää kulmana, jolla palkkia 0B on tarpeen kiertää pisteen 0 ympäri vastapäivään siten, että sen suunta on sama kuin säteen 0A suunta.

Merkitsemme säteille 0A ja 0B pisteet M ja N, jotka ovat 1:n etäisyydellä koordinaattien 0 origosta siten, että 0M = 0N = 1.

Koordinaatistossa x0y pisteellä M on koordinaatit ( cosα, sinα), ja piste N - koordinaatit ( cos β , sin β). Joten niiden välisen etäisyyden neliö on:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Laskelmissa käytimme identiteettiä

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Tarkastellaan nyt toista koordinaattijärjestelmää B0C, joka saadaan kiertämällä akseleita 0x ja 0y pisteen 0 ympäri vastapäivään kulman verran β .

Tässä koordinaattijärjestelmässä pisteellä M on koordinaatit (cos ( α - β ), synti ( α - β )), ja piste on N-koordinaatit (1,0). Joten niiden välisen etäisyyden neliö on:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) \u003d 2.

Mutta pisteiden M ja N välinen etäisyys ei riipu siitä, mitä koordinaattijärjestelmää tarkastelemme näitä pisteitä. Niin

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Tästä seuraa kaava (2).

Nyt meidän pitäisi muistaa ne kaksi rajoitusta, jotka olemme asettaneet kulmien esittämisen yksinkertaistamiseksi α ja β .

Vaatimus, että jokainen kulmat α ja β ei ollut negatiivinen, ei todellakaan merkittävä. Loppujen lopuksi kulma, joka on 2n:n kerrannainen, voidaan lisätä mihin tahansa näistä kulmista, mikä ei vaikuta kaavan (2) pätevyyteen millään tavalla. Vastaavasti jokaisesta annetusta kulmasta voit vähentää kulman, joka on kerrannainen 2π. Siksi voidaan katsoa, ​​että 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Kunto α > β . Todellakin, jos α < β , sitten β >α ; siksi ottaen huomioon funktion tasaisuus cos X , saamme:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

joka on olennaisesti yhtäpitävä kaavan (2) kanssa. Siis kaava

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

totta kaikille kulmille α ja β . Varsinkin vaihtamalla β - β ja ottaen huomioon, että toiminto cosX on tasainen ja funktio syntiX outoa, saamme:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

joka todistaa kaavan (1).

Siten kaavat (1) ja (2) todistetaan.

Esimerkkejä.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Harjoitukset

1 . Laske ilman trigonometrisiä taulukoita:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Yksinkertaista lausekkeet:

a). cos( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

b). cos (36°+ α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) synti ( α -24°).

sisään). sin (π / 4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α +tg α synti 2 α .

3 . Laskea :

a) cos (α - β), jos

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos( α + π / 6), jos cos α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Löytää cos(α + β) ja cos (α - β) , jos tiedetään, että synti α = 7/25 kustannuksia β = - 5/13 ja molemmat kulmat ( α ja β ) päättyvät samalla vuosineljänneksellä.

5 .Laskea:

a). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]

b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .

sisään). cos [arctg 1/2 + arccos (-2)]