Kahden suoran välinen kulma. Risteävien suorien viiva: määritelmä, esimerkkejä löydöksestä

ja. Annetaan kaksi suoraa viivaa. Nämä luvussa 1 esitetyt suorat muodostavat useita positiivisia ja negatiivisia kulmia, jotka voivat olla sekä teräviä että tylsiä. Kun tunnemme yhden näistä kulmista, voimme helposti löytää kaikki muut.

Muuten, kaikilla näillä kulmilla tangentin numeerinen arvo on sama, ero voi olla vain merkissä

Linjojen yhtälöt. Numerot ovat ensimmäisen ja toisen suoran suuntavektorien projektioita, joiden välinen kulma on yhtä suuri kuin yksi suorien muodostamasta kulmasta. Siksi tehtävä supistuu vektorien välisen kulman määrittämiseen

Yksinkertaisuuden vuoksi voimme sopia kahden suoran välisestä kulmasta tarkan positiivisen kulman tarkoittamiseksi (kuten esimerkiksi kuvassa 53).

Tällöin tämän kulman tangentti on aina positiivinen. Jos siis kaavan (1) oikealle puolelle ilmestyy miinusmerkki, meidän on hylättävä se eli pidettävä vain absoluuttinen arvo.

Esimerkki. Määritä suorien viivojen välinen kulma

Kaavan (1) mukaan meillä on

alkaen. Jos on osoitettu, mikä kulman sivuista on sen alku ja mikä on loppu, niin laskemalla kulman suunta aina vastapäivään, voimme poimia jotain enemmän kaavasta (1). Kuten on helppo nähdä kuviosta. Kaavan (1) oikealla puolella saatu 53. merkki osoittaa, mikä - terävä tai tylsä \u200b\u200b- kulma muodostaa toisen suoran ensimmäisen kanssa.

(Kuvasta 53 todellakin näemme, että ensimmäisen ja toisen suuntavektorin välinen kulma on joko yhtä suuri kuin suora viivojen välinen haluttu kulma tai eroaa siitä ± 180 °.)

d. Jos suorat viivat ovat yhdensuuntaiset, niin niiden suuntavektorit ovat myös yhdensuuntaiset.Käyttämällä kahden vektorin rinnakkaisuusedellytys saadaan!

Tämä on välttämätön ja riittävä edellytys kahden suoran yhdensuuntaisuudelle.

Esimerkki. Suoraan

ovat rinnakkaisia, koska

e. Jos suorat viivat ovat kohtisuorassa, niin myös niiden suuntavektorit ovat kohtisuorassa. Soveltamalla kahden vektorin kohtisuoruuden ehtoa saadaan kahden linjan kohtisuoruuden ehto, nimittäin

Esimerkki. Suoraan

ovat kohtisuoria johtuen siitä, että

Rinnakkaisuuden ja kohtisuoruuden olosuhteiden yhteydessä ratkaistaan \u200b\u200bseuraavat kaksi ongelmaa.

f. Piirrä suora viiva tämän suoran kanssa yhdensuuntaisen pisteen läpi

Liuos suoritetaan seuraavasti. Koska etsittävä viiva on yhdensuuntainen annetun kanssa, niin sen suuntavektori voidaan ottaa sama kuin annetun suoran eli vektorin, jossa on projektioita A ja B.Ja sitten kirjoitetaan etsittävän suoran yhtälö muodossa (§ 1)

Esimerkki. Suoran, joka kulkee suoran kanssa yhdensuuntaisen pisteen (1; 3) läpi, yhtälö

on seuraava!

g. Piirrä suora viiva kohtisuoraan tähän suoraan nähden

Tällöin ei ole enää sopivaa ottaa vektoria projektioilla A ja suuntavektoreina, mutta siihen kohtisuora vektori on puhallettava. Tämän vektorin projektiot tulisi valita siten kummankin vektorin kohtisuoruuden ehdon mukaan, toisin sanoen ehdon mukaan

Tämä ehto voidaan täyttää lukemattomilla tavoilla, koska on olemassa yksi yhtälö kahdella tuntemattomalla, mutta helpoin tapa on mennä. Sitten halutun suoran yhtälö kirjoitetaan muotoon

Esimerkki. Pisteen (-7; 2) läpi kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

on seuraava (toisen kaavan mukaan)!

h. Siinä tapauksessa, että suorat viivat annetaan muodon yhtälöillä

Ohjeet

Huomautus

Tangenssin trigonometrisen funktion jakso on 180 astetta, mikä tarkoittaa, että suorien viistokulmat eivät voi absoluuttisessa arvossa ylittää tätä arvoa.

Hyödyllisiä neuvoja

Jos kaltevuudet ovat yhtä suuret toistensa kanssa, niin viivojen välinen kulma on 0, koska tällaiset viivat joko osuvat yhteen tai ovat yhdensuuntaiset.

Suorien viivojen välisen kulman arvon määrittämiseksi on tarpeen siirtää molemmat suorat (tai yksi niistä) uuteen asentoon käyttämällä rinnakkaista siirtomenetelmää ennen ylitystä. Sen jälkeen sinun pitäisi löytää tulevien leikkaavien suorien viivojen välinen kulma.

Tarvitset

• Viivain, suorakulmio, lyijykynä, astelevy.

Ohjeet

Annetaan siis vektori V \u003d (a, b, c) ja taso A x + B y + C z \u003d 0, missä A, B ja C ovat normaalin N koordinaatit. Sitten kulman kosini vektorien V ja N välinen α on yhtä suuri kuin: сos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B2 + C2)).

Kulman arvon laskemiseksi asteina tai radiaaneina on laskettava funktio käänteisenä kosiniin saadusta lausekkeesta, ts. arkosiini: α \u003d arccos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C2))).

Esimerkki: etsi kulma välillä vektori (5, -3, 8) ja koneantaa yleinen yhtälö 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 Ratkaisu: kirjoita tason N \u003d (2, -5, 3) normaalivektorin koordinaatit. Korvaa kaikki tunnetut arvot yllä olevassa kaavassa: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α \u003d 36,87 °.

Liittyvät videot

Suora viiva, jolla on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa, koskettaa ympyrää. Toinen tangentin piirre on, että se on aina kohtisuorassa tangenttipisteeseen piirrettyyn säteeseen, eli tangentti ja säde muodostavat suoran viivan kulma... Jos yhdestä pisteestä A piirretään kaksi tangenttia ympyrään AB ja AC, ne ovat aina yhtä suuria toistensa kanssa. Tangenttien välisen kulman määrittäminen ( kulma ABC) tuotetaan Pythagoraan lauseen avulla.

Ohjeet

Kulman määrittämiseksi sinun on tiedettävä ympyrän OB ja OS säde ja tangentin alkupisteen etäisyys ympyrän keskustasta - O. Joten ABO: n ja ACO: n kulmat ovat samat, säde esimerkiksi 10 cm, ja etäisyys ympyrän AO keskipisteeseen on 15 cm. 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Annetaan kaksi suoraa linjaa l ja m suorakulmaisen koordinaatiston tasossa yleisten yhtälöiden avulla: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

Normaalien vektorit annettuihin viivoihin: \u003d (A 1, B 1) - linjaan l,

\u003d (A 2, B 2) - viivalle m.

Olkoon j suorien l ja m välinen kulma.

Koska kulmat, joissa on keskenään kohtisuorat sivut, ovat joko yhtä suuria tai summaavat p: n, niin eli cos j \u003d.

Joten olemme todistaneet seuraavan lauseen.

Lause. Olkoon j kahden suoran välinen kulma tasossa, ja annetaan nämä suorat suorakulmaisessa koordinaatistossa yleisten yhtälöiden A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ja A 2 x + B 2 y + avulla C 2 \u003d 0. Sitten cos j \u003d .

Harjoitukset.

1) Anna kaava suorien viivojen välisen kulman laskemiseksi, jos:

(1) molemmat linjat määritellään parametrisesti; (2) molemmat linjat ovat kanonisia yhtälöitä; (3) yksi suora annetaan parametrisesti, toinen suora - yleisen yhtälön avulla; (4) molemmat suorat on annettu yhtälöllä, jolla on kaltevuus.

2) Olkoon j kahden suoran välinen kulma tasossa, ja antakoon suorat viivat suorakulmaisten koordinaatistojen avulla yhtälöillä y \u003d k 1 x + b 1 ja y \u003d k 2 x + b 2.

Sitten tg j \u003d.

3) Tutki suorakulmaisten koordinaatistojen yleisten yhtälöiden antamaa kahden suoran suhteellista sijaintia ja täytä taulukko:

Etäisyys pisteestä suoraan tasoon.

Annetaan suorakulmaisten koordinaatistojen tasossa oleva viiva l yleisen yhtälön Ax + By + C \u003d 0. Etsitään etäisyys pisteestä M (x 0, y 0) linjaan l.

Etäisyys pisteestä M viivaan l on kohtisuoran HM: n pituus (H Î l, HM ^ l).

Vektori ja linjan l normaali vektori ovat kolineaariset, joten | | \u003d | | | | ja | | \u003d.

Anna pisteen H (x, y) koordinaatit.

Koska piste H kuuluu linjalle l, Ax + By + C \u003d 0 (*).

Vektorien ja: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B) koordinaatit.

| | = = =

(C \u003d -Ax - By, katso (*))

Lause. Antakaa suoran l suorakulmaisessa koordinaatistossa yleinen yhtälö Ax + By + C \u003d 0. Sitten etäisyys pisteestä M (x 0, y 0) tähän viivaan lasketaan kaavalla: r (M; l) \u003d .

Harjoitukset.

1) Suorita kaava etäisyyden laskemiseksi pisteestä suoraan, jos: (1) suora annetaan parametrisesti; (2) suora saadaan kanonisilla yhtälöillä; (3) suora saadaan yhtälöllä, jonka kaltevuus on.

2) Kirjoita ympyrän yhtälö, joka koskettaa suoraa 3x - y \u003d 0, jonka keskellä on Q (-2,4).

3) Kirjoita suorien yhtälöt, jotka jakavat suorien 2x + y - 1 \u003d 0 ja x + y + 1 \u003d 0 leikkauksen muodostamat kulmat puoliksi.

§ 27. Avaruuden tason analyyttinen määrittely

Määritelmä. Normaali vektori tasoon kutsumme nollavektorin, jonka mikä tahansa edustaja on kohtisuorassa annettuun tasoon nähden.

Kommentti. On selvää, että jos ainakin yksi vektorin edustaja on kohtisuorassa tasoon nähden, niin kaikki muut vektorin edustajat ovat kohtisuorassa tähän tasoon nähden.

Annetaan suorakulmainen koordinaatisto avaruudessa.

Annetaan taso a, \u003d (A, B, C) on tämän tason normaalivektori, piste M (x 0, y 0, z 0) kuuluu tasoon a.

Mille tahansa tason a pisteelle N (x, y, z) vektorit ovat ortogonaalisia, toisin sanoen niiden skalaarinen tulo on yhtä suuri kuin nolla: \u003d 0. Viimeinen yhtälö kirjoitetaan koordinaateissa: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

Olkoon -Ax 0 - 0 - Cz 0 \u003d D, sitten Ax + By + Cz + D \u003d 0.

Ota piste K (x, y) siten, että Ax + By + Cz + D \u003d 0. Koska D \u003d -Ax 0 - 0 - Cz 0, niin A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0. Koska suunnatun segmentin koordinaatit \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0), viimeinen tasa-arvo tarkoittaa, että ^ ja siten K Î a.

Joten olemme todistaneet seuraavan lauseen:

Lause. Mikä tahansa suorakulmaisten koordinaatistojen avaruudessa oleva taso voidaan määritellä yhtälöllä, jonka muoto on Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), missä (A, B, C) ovat normaalivektorin koordinaatit tähän tasoon.

Päinvastoin on totta.

Lause. Mikä tahansa kaavan Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) yhtälö suorakaiteen koordinaatistossa määrittää tietyn tason, kun taas (A, B, C) ovat normaalin koordinaatit vektori tälle tasolle.

Todisteet.

Ota piste M (x 0, y 0, z 0) siten, että Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D \u003d 0 ja vektori \u003d (A, B, C) (≠ q).

Taso kulkee vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen M läpi (ja lisäksi vain yhden). Edellisen lauseen mukaan tämä taso annetaan yhtälöllä Ax + By + Cz + D \u003d 0.

Määritelmä. Muodon Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) yhtälöä kutsutaan tason yleinen yhtälö.

Esimerkki.

Kirjoitetaan pisteiden M (0,2,4), N (1, -1,0) ja K (-1,0,5) läpi kulkevan tason yhtälö.

1. Etsi normaalin vektorin koordinaatit tasoon (MNK). Koska vektorituote on kohtisuorassa ei-kolineaaristen vektorien kanssa ja vektori on kolineaarinen.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ \u003d (-11, 3, -5).

Joten normaalivektorina otamme vektorin \u003d (-11, 3, -5).

2. Käytämme nyt ensimmäisen lauseen tuloksia:

annetun tason A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0 yhtälö, jossa (A, B, C) ovat normaalivektorin koordinaatit, (x 0 , y 0, z 0) - tasossa olevan pisteen koordinaatit (esimerkiksi piste M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

Vastaus: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

Harjoitukset.

1) Kirjoita tason yhtälö, jos

(1) taso kulkee pisteen M (-2,3,0) läpi, joka on yhdensuuntainen tason 3x + y + z \u003d 0 kanssa;

(2) taso sisältää (Ox) -akselin ja on kohtisuorassa x + 2y - 5z + 7 \u003d 0 -tasoon nähden.

2) Kirjoita yhtälö näiden kolmen pisteen läpi kulkevalle tasolle.

§ 28. Puolitilan analyyttinen määritelmä *

Kommentti*... Anna jonkin tason olla kiinteä. Alla puolitilaymmärrämme joukon pisteitä, jotka sijaitsevat tietyn tason toisella puolella, toisin sanoen kaksi pistettä on yhdessä puoliavaruudessa, jos niitä yhdistävä segmentti ei leikkaa tätä tasoa. Tätä tasoa kutsutaan tämän puoliavaruuden raja... Tämän tason ja puoliavaruuden yhdistämistä kutsutaan suljettu puolitila.

Olkoon suorakulmainen koordinaatisto kiinteä avaruudessa.

Lause. Annetaan taso a yleisen yhtälön Ax + By + Cz + D \u003d 0. Sitten toinen kahdesta puolivälistä, johon taso a jakaa tilan, annetaan epätasa-arvolla Ax + By + Cz + D\u003e 0 , ja toisen puoliavaruuden antaa epäyhtälö Ax + By + Cz + D< 0.

Todisteet.

Erotetaan normaalivektori \u003d (A, B, C) tasolle a tälle tasolle makaavasta pisteestä M (x 0, y 0, z 0): \u003d, M Î a, MN ^ a. Jaa taso kahteen puoliväliin: b 1 ja b 2. On selvää, että piste N kuuluu johonkin näistä puolivälistä. Oletetaan, että N Î b 1 menettämättä yleisyyttä.

Todistetaan, että puoliavaruus b 1 saadaan epäyhtälöltä Ax + By + Cz + D\u003e 0.

1) Ota piste K (x, y, z) puolivälissä b 1. Kulma Л NMK on vektorien välinen kulma ja se on terävä, joten näiden vektorien skalaarinen tulo on positiivinen:\u003e 0. Kirjoitamme tämän eriarvoisuuden koordinaatteina: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0, ts. Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0\u003e 0.

Koska M Î b 1, niin Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0, siis -Ax 0 - By 0 - C z 0 \u003d D. Siksi viimeinen epätasa-arvo voidaan kirjoittaa seuraavasti: Ax + By + Cz + D\u003e 0.

2) Ota piste L (x, y) siten, että Ax + By + Cz + D\u003e 0.

Kirjoita epätasa-arvo uudelleen korvaamalla D luvulla (-Ax 0 - 0 - C z 0) (koska M Î b 1, sitten Ax 0 + 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

Vektori, jolla on koordinaatit (x - x 0, y - y 0, z - z 0), on vektori, joten lauseke A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) voidaan ymmärtää vektorien pistetulona ja. Koska vektorien skalaarinen tulo on positiivinen, niiden välinen kulma on terävä ja piste L Î b 1.

Vastaavasti voidaan todistaa, että puolivälin b 2 antaa epäyhtälö Ax + By + Cz + D< 0.

Huomautukset.

1) On selvää, että yllä oleva todiste ei riipu pisteen M valinnasta tasossa a.

2) On selvää, että sama puolitila voidaan määrittää erilaisten eriarvoisuuksien avulla.

Päinvastoin on totta.

Lause. Mikä tahansa muodon Ax + By + Cz + D\u003e 0 (tai Ax + By + Cz + D - lineaarinen epätasa-arvo)< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Todisteet.

Yhtälö Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) avaruudessa määrittelee tietyn tason a (katso §…). Kuten edellisessä lauseessa todistettiin, eräs epätasa-arvo Ax Ax + By + Cz + D\u003e 0 antaa toisen kahdesta puolivälistä, johon taso jakaa tilan.

Huomautukset.

1) On selvää, että suljettu puoliavaruus voidaan määrittää ei-tiukalla lineaarisella epätasa-arvolla, ja mikä tahansa epätarkka lineaarinen epätasa-arvo suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä määrittelee suljetun puolitilan.

2) Mikä tahansa kupera polyhedron voidaan määritellä suljettujen puolitilojen (joiden rajat ovat tasot, jotka sisältävät polyhedrin pinnat) leikkauspisteen, toisin sanoen analyyttisesti - lineaaristen epätasa-arvoisten järjestelmien avulla.

Harjoitukset.

1) Todista, että kaksi esitettyä teoreemaa mielivaltaiselle affiinikoordinaattijärjestelmälle.

2) Onko totta, että mikä tahansa rajoittamattomien lineaaristen epätasa-arvojen järjestelmä määrittelee kuperan monikulmion?

1) Tutki kahden suorakulmaisen koordinaatiston yleisten yhtälöiden antamaa tasoa suhteellisen sijainnin mukaan ja täytä taulukko.

Olen lyhyt. Kahden linjan välinen kulma on yhtä suuri kuin niiden suuntavektorien välinen kulma. Jos siis löydät suuntavektorien a \u003d (x 1; y 1; z 1) ja b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinaatit, voit löytää kulman. Tarkemmin sanottuna kulman kosini kaavalla:

Katsotaanpa, kuinka tämä kaava toimii, esimerkkien avulla:

Tehtävä. Pisteet E ja F on merkitty kuutioon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.

Koska kuution reunaa ei ole ilmoitettu, asetamme AB \u003d 1. Esitetään vakiokoordinaatistojärjestelmä: origo on pisteessä A, akselit x, y, z on suunnattu AB: tä, AD: tä ja AA 1: tä pitkin. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB \u003d 1. Nyt löydämme linjojemme suuntavektorien koordinaatit.

Etsi vektorin AE koordinaatit. Tätä varten tarvitsemme pisteet A \u003d (0; 0; 0) ja E \u003d (0,5; 0; 1). Koska piste E on segmentin A1B1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuret kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Huomaa, että vektorin AE alkuperä on sama kuin origo, joten AE \u003d (0,5; 0; 1).

Nyt käsitellään vektori BF. Vastaavasti jäsennetään pisteet B \u003d (1; 0; 0) ja F \u003d (1; 0,5; 1), koska F - segmentin B 1 C 1 keskipiste. Meillä on:
BF \u003d (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0,5; 1).

Joten suuntavektorit ovat valmiita. Suorien linjojen välisen kulman kosini on suuntavektorien välisen kulman kosini, joten meillä on:

Tehtävä. Säännöllisessä kolmiomaisessa prismassa ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet D ja E - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet. Selvitä viivojen AD ja BE välinen kulma.

Esitellään vakiokoordinaatisto: origo on pisteessä A, x-akseli on suunnattu pitkin AB, z - pitkin AA 1. Suunnataan y-akseli siten, että OXY-taso osuu yhteen ABC-tason kanssa. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB \u003d 1. Etsi etsittyjen linjojen suuntavektorien koordinaatit.

Ensin löydetään AD-vektorin koordinaatit. Harkitse pisteitä: A \u003d (0; 0; 0) ja D \u003d (0,5; 0; 1), koska D - segmentin A 1 B 1 keskipiste. Koska AD-vektorin alkuperä on sama kuin alkuperä, saamme AD \u003d (0,5; 0; 1).

Etsitään nyt vektorin BE koordinaatit. Piste B \u003d (1; 0; 0) on helppo. Pisteellä E - segmentin C 1 B 1 keskellä - se on hieman vaikeampi. Meillä on:

On vielä löydettävä kulman kosini:

Tehtävä. Säännöllisessä kuusikulmaisessa prismassa ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, on merkitty pisteet K ja L - reunojen A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskipisteet. Etsi viivojen AK ja BL välinen kulma.

Otetaan käyttöön tavallinen prisma-koordinaatisto: aseta koordinaattien lähtöpaikka alemman pohjan keskelle, ohjaa x-akseli pitkin FC: tä, y-akseli segmenttien AB ja DE keskipisteiden läpi ja z- akseli pystysuunnassa ylöspäin. Yksikkösegmentti on jälleen yhtä suuri kuin AB \u003d 1. Kirjoitetaan meille kiinnostavien pisteiden koordinaatit:

Pisteet K ja L ovat vastaavasti segmenttien A1B1 ja B1C1 keskipisteet, joten niiden koordinaatit löytyvät aritmeettisen keskiarvon kautta. Pisteiden tietäessä löydämme suuntavektorien AK ja BL koordinaatit:

Löydetään nyt kulman kosini:

Tehtävä. Säännöllisessä nelikulmaisessa pyramidissa SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuria kuin 1, on merkitty pisteet E ja F - vastaavasti SB: n ja SC: n keskipisteet. Etsi viivojen AE ja BF välinen kulma.

Otetaan käyttöön standardikoordinaatisto: origo on pisteessä A, x- ja y-akselit on suunnattu vastaavasti AB: tä ja AD: tä pitkin ja z-akseli pystysuunnassa ylöspäin. Yksikkösegmentti on yhtä suuri kuin AB \u003d 1.

Pisteet E ja F ovat vastaavasti segmenttien SB ja SC keskipisteet, joten niiden koordinaatit löytyvät päiden aritmeettisena keskiarvona. Kirjoitetaan meille kiinnostavien kohteiden koordinaatit:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

Pisteiden tietäessä löydämme suuntavektorien AE ja BF koordinaatit:

Vektorin AE koordinaatit ovat yhtäpitävät pisteen E koordinaattien kanssa, koska piste A on alkupiste. On vielä löydettävä kulman kosini:

KONEEN VÄLISET KULMAT

Tarkastellaan kahta tasoa α 1 ja α 2, jotka saadaan yhtälöiltä, \u200b\u200bvastaavasti:

Alla kulma kahden tason välillä tarkoitamme yhtä näiden tasojen muodostamasta kaksisuuntaisesta kulmasta. On selvää, että normaalivektorien ja tasojen α1 ja α2 välinen kulma on yhtä suuri kuin yksi ilmoitetuista vierekkäisistä kaksikulmaisista kulmista tai ... siksi ... Koska ja sitten

.

Esimerkki. Määritä tasojen välinen kulma x+2y-3z+ 4 \u003d 0 ja 2 x+3y+z+8=0.

Kahden tason rinnakkaisuus.

Kaksi tasoa α1 ja α2 ovat yhdensuuntaiset vain ja vain, jos niiden normaalit vektorit ja ovat yhdensuuntaisia, mikä tarkoittaa .

Joten kaksi tasoa ovat keskenään yhdensuuntaiset vain ja vain, jos vastaavien koordinaattien kertoimet ovat verrannollisia:

tai

Tasojen kohtisuoruuden tila.

On selvää, että kaksi tasoa ovat kohtisuorassa vain ja vain, jos niiden normaalit vektorit ovat kohtisuorassa, ja siksi.

Täten, .

Esimerkkejä.

SUORA Avaruudessa.

VECTOR LINE Yhtälö.

LINJAN PARAMETRISET YKSIKÖT

Suoran viivan sijainti avaruudessa määritetään kokonaan määrittämällä mikä tahansa sen kiinteä piste M 1 ja tämän linjan kanssa yhdensuuntainen vektori.

Suoran viivan suuntaista vektoria kutsutaan ohjaava tämän linjan vektori.

Joten anna sen olla suora l käy läpi pisteen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) makaa suoralla viivalla yhdensuuntaisella viivalla.

Tarkastellaan mielivaltaista kohtaa M (x, y, z) suoralla viivalla. Kuvio osoittaa sen .

Vektorit ja ovat kolineaarisia, joten on olemassa sellainen luku t, mikä, missä tekijä on t voi ottaa minkä tahansa numeerisen arvon pisteen sijainnista riippuen M suoralla viivalla. Tekijä t kutsutaan parametriksi. Merkitään pisteiden säteen vektorit M 1 ja M vastaavasti läpi ja saamme. Tätä yhtälöä kutsutaan vektori suoran yhtälö. Se osoittaa, että parametrin jokaiselle arvolle t vastaa jonkin pisteen sädevektoria Mmakaa suoralla viivalla.

Kirjoitetaan tämä yhtälö koordinaattimuodossa. Huomaa, että , ja täältä

Tuloksena olevia yhtälöitä kutsutaan parametrinen suoran yhtälöt.

Parametriä muutettaessa t koordinaatit muuttuvat x, y ja z ja kohta M liikkuu suorassa linjassa.

Suoran kanoniset yhtälöt

Anna olla M 1 (x 1 , y 1 , z 1) on suora viiva lja Onko sen suuntavektori. Ota jälleen mielivaltainen piste suoralla viivalla M (x, y, z) ja harkitse vektoria.

On selvää, että vektorit ja ovat kolineaarisia, joten niiden vastaavien koordinaattien on oltava verrannollisia

– kanoninen suoran yhtälöt.

Huomautus 1. Huomaa, että suoran viivan kanoniset yhtälöt voitaisiin saada parametrisista yhtälöistä sulkemalla parametri pois t... Todellakin, saamistamme parametrisista yhtälöistä tai .

Esimerkki. Kirjoita suoran yhtälö parametrisessa muodossa.

Me merkitsemme , täältä x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Huomautus 2. Olkoon suora viiva kohtisuorassa yhtä koordinaattiakseleista, esimerkiksi akselia Härkä... Sitten ohjausvektori on kohtisuorassa HärkäNäin ollen m\u003d 0. Näin ollen suoran parametriset yhtälöt ovat muodoltaan

Poistetaan parametri yhtälöistä t, saadaan suoran yhtälöt muodossa

Tässäkin tapauksessa suostumme kuitenkin kirjoittamaan muodollisesti suoran kanoniset yhtälöt muotoon ... Jos yhden jakeen nimittäjä on nolla, se tarkoittaa, että viiva on kohtisuorassa vastaavaa koordinaatti-akselia vastaan.

Samoin kanoniset yhtälöt vastaa akseleihin kohtisuoraa suoraa viivaa Härkä ja Oy tai yhdensuuntainen akseli Oz.

Esimerkkejä.

LINJAN YLEISET YHDENMUKAISUUDET KAKSI KONEEN RISTIKKOON

Loputon määrä lentokoneita kulkee jokaisen avaruudessa olevan suoran läpi. Jokainen heistä, jotka leikkaavat, määrittelevät sen avaruudessa. Näin ollen minkä tahansa kahden tällaisen tason yhtälöt yhdessä tarkasteltuna edustavat tämän suoran yhtälöitä.

Yleensä mikä tahansa kaksi ei-yhdensuuntaista tasoa, jotka yleiset yhtälöt antavat

määritellä niiden leikkauspiste. Näitä yhtälöitä kutsutaan yleiset yhtälöt suoraan.

Esimerkkejä.

Muodosta yhtälöiden antama suora viiva

Suoran rakentamiseksi riittää, että löydetään kaksi sen pistettä. Helpoin tapa on valita linjan leikkauspisteet koordinaattitasojen kanssa. Esimerkiksi leikkauspiste tason kanssa xOy saadaan suoran yhtälön yhtälöistä z= 0:

Tämän järjestelmän ratkaisemisen jälkeen löydämme asian M 1 (1;2;0).

Samoin asetus y\u003d 0, saadaan suoran ja leikkauspisteen taso xOz:

Suoran yleisen yhtälön joukosta voit siirtyä sen kanonisiin tai parametrisiin yhtälöihin. Tätä varten sinun on löydettävä jokin kohta M 1 viivalla ja linjan suuntavektori.

Pistekoordinaatit M 1 saadaan tästä yhtälöjärjestelmästä osoittamalla mielivaltainen arvo yhdelle koordinaatista. Suuntavektorin löytämiseksi huomaa, että tämän vektorin on oltava kohtisuorassa molempiin normaalivektoreihin ja ... Siksi suoran suoravektorin takana l voimme ottaa normaalien vektorien ristitulon:

.

Esimerkki. Anna suoran yleiset yhtälöt kanoniseen muotoon.

Etsi piste, joka makaa suoralla viivalla. Tätä varten valitsemme mielivaltaisesti yhden koordinaateista, esimerkiksi y\u003d 0 ja ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Suoran linjan määrittävien tasojen normaaleilla vektoreilla on koordinaatit Siksi ohjausvektori on

... Näin ollen l: .

KULMA SUORAN VÄLILLÄ

Kulma avaruudessa olevien suorien viivojen välillä kutsumme mitä tahansa vierekkäisiä kulmia, jotka muodostavat kaksi suoraa, jotka on vedetty mielivaltaisen pisteen läpi, joka on yhdensuuntainen tietojen kanssa.

Annetaan avaruudessa kaksi suoraa:

Suorien viivojen välinen kulma voidaan luonnollisesti ottaa kulmaksi niiden suuntavektoreiden ja. Koska sitten saamme vektorien välisen kulman kosinikaavan mukaan