Mikä on niin outoa Escher Fallsissa. Escher - hollantilainen graafikko

Moritz Escherin matemaattinen taide 28. helmikuuta 2014

Alkuperäinen otettu imit_omsu teoksessa Moritz Escherin matemaattinen taide

"Matemaatikot avasivat oven, joka johti toiseen maailmaan, mutta he eivät itse uskaltaneet tulla tähän maailmaan. Heitä kiinnostaa enemmän polku, jolla ovi seisoo, kuin sen takana oleva puutarha. "
(M.C. Escher)

Litografia "Käsi peilipallolla", omakuva.

Maurits Cornelius Escher on hollantilainen graafikko, jonka kaikki matemaatikot tuntevat.
Escherin teosten juonille on ominaista nerokas ymmärrys loogisista ja plastisista paradoksista.
Hänet tunnetaan ennen kaikkea teoksista, joissa hän käytti erilaisia \u200b\u200bmatemaattisia käsitteitä - rajasta ja Mobius-nauhasta Lobachevskin geometriaan.

Puupiirros "Punaiset muurahaiset".

Maurits Escher ei saanut erityistä matemaattista koulutusta. Mutta luovan uransa alusta lähtien hän oli kiinnostunut avaruuden ominaisuuksista, tutki sen odottamattomia puolia.

"Yhtenäisyyden siteet".

Escher tapasi usein 2-D- ja 3-D-maailmojen yhdistelmiä.


Litografia "Käsien piirtäminen".

Litografia "Matelijat".

Laatoitus.

Laatoitus on tason jako identtisiin lukuihin. Tällaisten osioiden tutkimiseen käytetään perinteisesti symmetriaryhmän käsitettä. Kuvittele taso, johon jotkut laatat piirretään. Tasoa voidaan kiertää mielivaltaisen akselin ympäri ja liikuttaa. Poikkeama määritetään siirtovektorin avulla, ja kierto määritetään keskipisteen ja kulman avulla. Tällaisia \u200b\u200bmuunnoksia kutsutaan liikkeiksi. He sanovat, että tämä tai toinen liike on symmetria, jos sen jälkeen laatoitus siirtyy itseensä.

Tarkastellaan esimerkiksi tasoa, joka on jaettu yhtä suureen neliöön - loputon muistikirjan arkki solussa kaikkiin suuntiin. Jos tällaista tasoa käännetään 90 astetta (180, 270 tai 360 astetta) minkä tahansa neliön keskipisteen ympäri, laatoitus muuttuu itsekseen. Se muuttuu myös itseksi, kun sitä siirretään vektorilla, joka on yhdensuuntainen neliön toisen sivun kanssa. Vektorin pituuden on oltava neliön sivun moninkertainen.

Vuonna 1924 geometrikko George Polia (ennen siirtymistään Yhdysvaltoihin Gyorgy Poya) julkaisi paperin laatoitusten symmetriaryhmistä, jossa hän osoitti merkittävän tosiasian (tosin venäläisen matemaatikon Evgraf Fedorov löysi jo vuonna 1891 ja myöhemmin unohdettiin turvallisesti) : on vain 17 ryhmäsymmetriaa, jotka sisältävät siirtymiä ainakin kahteen eri suuntaan. Vuonna 1936 Escher, kiinnostunut maurien koristeista (geometrisesta näkökulmasta, muunnelma päällystyksestä), luki Polian teoksen. Huolimatta siitä, että hän ei oman tunnustuksensa mukaan ymmärtänyt kaikkea työn takana olevaa matematiikkaa, Escher pystyi ymmärtämään sen geometrisen olemuksen. Tämän seurauksena Escher loi kaikkien 17 ryhmän perusteella yli 40 teosta.

Mosaiikki.

Puupiirros "Päivä ja yö".

"Tason IV säännöllinen päällystys".

Puupiirros "Taivas ja vesi".

Laatoitus. Ryhmä on jotain yksinkertaista, generaattorit: liukuva symmetria ja rinnakkainen siirto. Mutta kivilaatat ovat upeita. Ja siinä yhdessä Mobius-nauhan kanssa.


Puupiirros "Hevosmiehet".

Toinen muunnelma teemasta tasainen ja kolmiulotteinen maailma ja laatat.


Litografia "Maaginen peili".

Escher oli ystäviä fyysikko Roger Penrosen kanssa. Fysiikasta vapaa-ajallaan Penrose oli mukana matemaattisten pulmien ratkaisemisessa. Eräänä päivänä hän keksi seuraavan idean: jos kuvittelet laatan, joka koostuu useammasta kuin yhdestä kuviosta, eroako sen symmetriaryhmä Polian kuvaamasta ryhmästä? Kuten kävi ilmi, vastaus tähän kysymykseen on kyllä \u200b\u200b- näin syntyi Penrose-mosaiikki. 1980-luvulla paljastettiin, että se liittyy kvasikiteisiin (kemian Nobel-palkinto 2011).

Escherillä ei kuitenkaan ollut aikaa (tai ehkä ei halunnut) käyttää tätä mosaiikkia työssään. (Mutta siellä on Penrosen ehdottoman upea mosaiikki "Penrose Chickens", ei Escher piirtänyt heitä.)

Lobachevsky-kone.

Heibergin jälleenrakennuksessa Eukleidin "Periaatteiden" aksiomaluettelon viides on seuraava toteamus: jos kahden suoran leikkaava suora muodostaa sisäisiä yksipuolisia kulmia alle kaksi suoraa, jatkoivat loputtomiin nämä kaksi suoraa viivat kohtaavat puolella, jossa kulmat ovat alle kaksi suoraa ... Nykyaikaisessa kirjallisuudessa suositellaan vastaavaa ja tyylikkäämpää muotoilua: Pisteen kautta, joka ei ole suoralla, on suora, joka on yhdensuuntainen annetun kanssa, ja lisäksi vain yksi. Mutta jopa tässä muotoilussa aksioma, toisin kuin muut Eukleidesin postulaatit, näyttää hankalalta ja hämmentävältä - siksi tiedemiehet ovat kahden tuhannen vuoden ajan yrittäneet johtaa tätä lausuntoa muista aksioomista. Se tarkoittaa itse asiassa, että postulaatista tulee lause.

1800-luvulla matemaatikko Nikolai Lobachevsky yritti tehdä sen ristiriitaisesti: hän oletti, että postulaatti oli väärä, ja yritti löytää ristiriidan. Mutta häntä ei löytynyt - ja seurauksena Lobachevsky rakensi uuden geometrian. Siinä läpi pisteen, joka ei ole suoralla viivalla, kulkee ääretön määrä erilaisia \u200b\u200bsuoria viivoja, jotka eivät leikkaa annettuja. Lobachevsky ei ollut ensimmäinen, joka löysi tämän uuden geometrian. Mutta hän oli ensimmäinen, joka uskalsi julistaa sen julkisesti - minkä vuoksi häntä tietysti pilkattiin.

Lobachevskyn teosten jälkihenkinen tunnustaminen tapahtui muun muassa hänen geometriamalliensa ansiosta - objektijärjestelmät tavallisella euklidisella tasolla, jotka tyydyttivät kaikki euklidiset aksioomat, viidennen postulaattia lukuun ottamatta. Matemaatikko ja fyysikko Henri Poincaré ehdotti yhtä näistä malleista vuonna 1882 toiminnallisen ja monimutkaisen analyysin tarpeisiin.

Olkoon ympyrä, jonka rajaa kutsumme absoluuttiseksi. Mallissamme olevat "pisteet" ovat ympyrän sisäpisteet. "Suorien viivojen" roolia ovat ympyrät tai suorat, kohtisuorassa absoluuttiseen suuntaan (tarkemmin sanottuna niiden kaaret, jotka putoavat ympyrän sisään). Tosiasia, että tällaisten "suorien viivojen" viides postulaatti ei täyty, on käytännössä ilmeistä. Tosiasia, että loput postulaatit täyttyvät näille esineille, on hieman vähemmän ilmeistä, mutta näin on.

On käynyt ilmi, että Poincaré-mallissa on mahdollista määrittää pisteiden välinen etäisyys. Pituuden laskeminen vaatii Riemannin metriikan käsitteen. Sen ominaisuudet ovat seuraavat: mitä lähempänä "suoran" pistepari absoluuttista, sitä suurempi on niiden välinen etäisyys. Kulmat määritellään myös "suorien viivojen" välillä - nämä ovat tangenttien väliset kulmat "suorien" leikkauspisteessä.

Palataan nyt laatoituksiin. Kuinka ne näyttävät, jos jakaudumme samoihin säännöllisiin polygoneihin (eli monikulmioihin, joilla on kaikki yhtäläiset sivut ja kulmat), jo Poincaré-malli? Esimerkiksi monikulmioiden tulisi pienentyä sitä lähempänä absoluuttia. Escher toteutti tämän idean teossarjassa "Raja-ympyrä". Hollantilainen ei kuitenkaan käyttänyt oikeita osioita, vaan niiden symmetrisempiä versioita. Tapaus, jossa kauneus oli tärkeämpää kuin matemaattinen tarkkuus.

Puupiirros "Raja - ympyrä II".

Puupiirros "Raja - ympyrä III".

Puupiirros "Taivas ja helvetti".

Mahdolliset luvut.

On mahdotonta kutsua mahdottomia hahmoja erityisiksi optisiksi illuusioiksi - ne näyttävät olevan kuva jostakin kolmiulotteisesta esineestä tasossa. Mutta tarkasti tarkasteltuna niiden rakenteessa paljastuvat geometriset ristiriidat. Mahdolliset luvut ovat mielenkiintoisia paitsi matemaatikoille - he ovat tekemisissä psykologien ja suunnittelun asiantuntijoiden kanssa.

Mahdottomien hahmojen isoisänisä on ns. Necker-kuutio, tuttu kuva kuutiosta. Sen ehdotti ruotsalainen kristallografi Louis Necker vuonna 1832. Tämän kuvan erikoisuus on, että sitä voidaan tulkita eri tavoin. Esimerkiksi tässä kuvassa punaisella ympyrällä merkitty kulma voi olla joko lähinnä meitä kuution kaikista kulmista ja päinvastoin, kauimpana.

Ensimmäiset todelliset mahdottomat luvut sellaisenaan loi toinen ruotsalainen tiedemies Oskar Ruthersward 1930-luvulla. Erityisesti hän keksi idean koota kolmio kuutioista, joita ei voi olla luonnossa. Rutherswardista riippumatta edellä mainittu Roger Penrose ja hänen isänsä Lionel Penrose julkaisivat British Journal of Psychology -työn nimeltä Impossible Objects: A Special Type of Optical Illusion (1956). Siinä Penrose ehdotti kahta tällaista esinettä - Penrose-kolmio (kiinteä versio Rutherswardin kuutioiden rakentamisesta) ja Penrose-tikkaat. He nimittivät Maurits Escherin työn inspiraationa.

Molemmat esineet - kolmio ja portaikko - ilmestyivät myöhemmin Escherin maalauksissa.

Litografia "Suhteellisuusteoria".

Litografia "Vesiputous".

Litografia "Belvedere".

Litografia "Nousu ja lasku".

Muita teoksia, joilla on matemaattinen merkitys:

Tähtien polygonit:

Puupiirros "Tähdet".

Litografia "Avaruuden kuutiojako".

Litografia "Rippled Surface".

Litografia "Kolme maailmaa"

Illuusioidulla taideteoksella on tietty viehätys. Ne ovat kuvataiteen voitto todellisuudesta. Miksi illuusiat ovat niin mielenkiintoisia? Miksi niin monet taiteilijat käyttävät niitä taiteessaan? Ehkä siksi, että ne eivät näytä, mitä todella piirretään. Kaikki merkitsevät litografia Maurits C. Escherin "vesiputous"... Vesi kiertää täällä loputtomasti, pyörän pyörimisen jälkeen se virtaa edelleen ja palaa takaisin lähtöpisteeseen. Jos tällainen rakenne voitaisiin rakentaa, niin siellä olisi ikuinen liike! Mutta tarkastelemalla maalausta tarkemmin, näemme, että taiteilija pettää meitä, ja kaikki yritykset rakentaa tämä rakenne on tuomittu epäonnistumiseen.

Isometriset piirustukset

Kolmiulotteisen todellisuuden illuusion välittämiseksi käytetään kaksiulotteisia piirustuksia (piirroksia tasaiselle pinnalle). Yleensä petos kuvaa kiinteiden hahmojen projektioiden esittämistä, joita henkilö yrittää edustaa kolmiulotteisina esineinä henkilökohtaisen kokemuksensa mukaisesti.

Klassinen näkökulma on tehokas todellisuuden jäljittelemisessä "valokuvallisen" kuvan muodossa. Tämä näkymä on epätäydellinen useista syistä. Se estää meitä näkemästä kohtausta eri näkökulmista, pääsemästä lähemmäksi sitä tai katsomasta esinettä kaikilta puolilta. Se ei anna meille syvyyden vaikutusta, joka todellisella esineellä olisi. Syvyyden vaikutus johtuu siitä, että silmämme katsovat kohdetta kahdesta eri näkökulmasta ja aivomme yhdistävät ne yhdeksi kuvaksi. Litteä piirustus edustaa näkymää vain yhdestä tietystä näkökulmasta. Esimerkki tällaisesta piirustuksesta olisi valokuva, joka on otettu tavanomaisella monokulaarikameralla.

Kun käytetään tätä illuusioiden luokkaa, piirustus näyttää ensi silmäyksellä olevan normaali kiinteän rungon perspektiivi. Mutta tarkemmin tarkasteltuna tällaisen kohteen sisäiset ristiriidat tulevat näkyviin. Ja käy selväksi, että sellaista esinettä ei voi olla todellisuudessa.

Penrose-illuusio

Escher Falls perustuu Penrose-illuusioon, jota joskus kutsutaan mahdottomaksi kolmion harhaksi. Tämä illuusio on kuvattu tässä yksinkertaisimmassa muodossaan.

Näyttää siltä, \u200b\u200bettä näemme kolme neliöpalkkia yhdistettynä kolmioon. Jos peität minkä tahansa tämän muodon kulman, huomaat, että kaikki kolme palkkia on kytketty oikein. Mutta kun poistat kätesi suljetusta kulmasta, petos tulee ilmeiseksi. Näiden kulmassa olevien kahden tangon ei pitäisi edes olla lähellä toisiaan.

Penrose-illuusio käyttää "väärää perspektiiviä". Vääriä perspektiiviä käytetään myös isometrisessä renderöinnissä. Joskus tätä näkökulmaa kutsutaan kiinaksi (kääntäjän huomautus: Reutersvard kutsui tätä näkökulmaa japaniksi). Tätä maalausmenetelmää on usein käytetty kiinalaisessa kuvataiteessa. Tällä piirustusmenetelmällä piirustuksen syvyys on epäselvä.

Isometrisissä piirustuksissa kaikki yhdensuuntaiset viivat näyttävät yhdensuuntaisilta, vaikka ne kallistuvatkin tarkkailijoiden suhteen. Katsojasta pois kallistettu esine näyttää täsmälleen samalta kuin jos se olisi kallistettu katsojaa kohti samassa kulmassa. Puolikkaaksi taivutettu suorakaide (Mach-kuva) osoittaa tämän epäselvyyden elävästi. Tämä luku saattaa tuntua sinulle avoimelta kirjalta, ikään kuin katsot kirjan sivuja, tai se voi tuntua siltä, \u200b\u200bettä sinulle on avattu sitova kirja ja katsot kirjan kantta. Tämä luku voi myös näyttää olevan kaksi suuntaista samansuuntaista viivaa, mutta hyvin harvat ihmiset näkevät tämän kuvan suuntaisina.

Thieryn kuva kuvaa samaa kaksinaisuutta

Tarkastellaan Schroederin portaikon illuusiota - "puhdasta" esimerkkiä isometrisen syvyyden epäselvyydestä. Tätä kuvaa voidaan ajatella portaikkona, johon voidaan kiivetä oikealta vasemmalle, tai portaikon alhaalta katsottuna. Kaikki yritykset sijoittaa kuvan viivat tuhoavat illuusion.

Tämä yksinkertainen piirustus muistuttaa kuutioiden viivaa, joka näkyy ulkopuolelta ja sisältä. Toisaalta tämä piirustus muistuttaa kuutioiden viivaa, joka näkyy ylhäältä ja alhaalta. Mutta on hyvin vaikeaa ymmärtää tätä piirustusta vain yhdensuuntaisena.

Maalataan jotkut alueet mustalla. Musta rinnakkain voi näyttää siltä, \u200b\u200bettä katsomme niitä joko alhaalta tai ylhäältä. Yritä, jos voit, nähdä tämän kuvan eri tavalla, ikään kuin katsomme yhtä suuntaista alhaalta ja toista ylhäältä vuorotellen. Suurin osa ihmisistä ei voi ymmärtää tätä kuvaa tällä tavalla. Miksi emme pysty hahmottamaan kuvaa tällä tavalla? Minusta tämä on vaikein yksinkertaisista illuusioista.

Oikealla olevassa kuvassa käytetään harhaa mahdottomasta kolmiosta isometrisesti. Tämä on yksi AutoCAD (TM) -ohjelmaohjelmien "luukku" -malleista. Tätä näytettä kutsutaan nimellä "Escher".

Isometrinen piirustus lanka-kuutiorakenteesta osoittaa isometrisen epäselvyyden. Tätä kuvaa kutsutaan joskus Necker-kuutioksi. Jos musta piste on kuution toisen puolen keskellä, onko tämä sivu edessä tai takana? Voit myös kuvitella, että piste on lähellä sivun oikeaa alakulmaa, mutta et silti voi kertoa, onko kyseinen puoli edessä vai ei. Sinulla ei myöskään voi olla mitään syytä olettaa, että piste on kuution pinnalla tai sen sisällä, se voi yhtä hyvin olla kuution edessä ja takana, koska meillä ei ole tietoa pisteen todellisista mitoista.

Jos ajattelet kuution reunoja puulankuina, saat odottamattomia tuloksia. Tässä käytimme vaakasuorien liuskojen epäselvää liitäntää, jota käsitellään jäljempänä. Tätä kuvan versiota kutsutaan mahdottomaksi laatikoksi. Se on perusta monille samanlaisille illuusioille.

Mahdotonta laatikkoa ei voida valmistaa puusta. Ja silti näemme täällä valokuvan mahdottomasta puusta tehdystä laatikosta. Tämä on valhe. Yksi laatikkopalkkeista, joka näyttää kulkevan toisen takana, on itse asiassa kaksi erillistä rikkoutumistankoa, yksi lähempänä ja toinen kauempana kuin ylitystanko. Tällainen luku näkyy vain yhdestä näkökulmasta. Jos katsomme todellista rakennetta, niin stereoskooppisen näkemyksemme avulla näemme temppu, jonka vuoksi hahmo muuttuu mahdottomaksi. Jos muuttaisimme näkemystämme, tämä temppu tulisi vieläkin havaittavammaksi. Siksi, kun näytät mahdottomia hahmoja näyttelyissä ja museoissa, sinun on pakko katsoa niitä pienen reiän läpi yhdellä silmällä.

Epäselvät yhteydet

Mihin tämä illuusio perustuu? Onko se muunnelma Machin kirjassa?

Itse asiassa se on yhdistelmä Machin harhaa ja epäselvää linjojen yhdistämistä. Näillä kahdella kirjalla on yhteinen kuvan keskipinta. Tämä tekee kirjan kannen kallistuksen epäselväksi.

Illuusioita kannasta

Poggendorf-illuusio eli "ristissä oleva suorakulmio" johtaa meidät harhaan siitä, kumpi linjoista A tai B on jatkoa viivalle C. Yksiselitteinen vastaus voidaan antaa vain liittämällä viiva C-linjaan ja seuraamalla, mitkä linjoista yhtyvät siihen .

Muodosta illuusioita

Muodon illuusiot liittyvät läheisesti sijainnin illuusioihin, mutta tässä piirustuksen rakenne pakottaa meidät muuttamaan mielipiteitämme piirustuksen geometrisesta muodosta. Alla olevassa esimerkissä lyhyet vinoviivat antavat illuusion siitä, että kaksi vaakasuoraa viivaa ovat kaarevat. Itse asiassa nämä ovat suoria yhdensuuntaisia \u200b\u200bviivoja.

Nämä illuusiot käyttävät aivojemme kykyä käsitellä näkyvää tietoa, mukaan lukien varjostetut pinnat. Yksi luukku voi olla niin hallitseva, että kuvion muut elementit näyttävät vääristyneiltä.

Klassinen esimerkki on joukko samankeskisiä ympyröitä, joihin on asetettu neliö. Vaikka neliön sivut ovat täysin suorat, ne näyttävät olevan kaarevat. Se, että neliön sivut ovat suorat, voidaan varmistaa kiinnittämällä niihin viivain. Suurin osa illuusioista perustuu tähän vaikutukseen.

Seuraava esimerkki toimii samalla periaatteella. Vaikka molemmat ympyrät ovat samankokoisia, toinen niistä näyttää pienemmältä kuin toinen. Tämä on yksi monista koon illuusioista.

Selitys tälle vaikutukselle löytyy näkemyksistämme valokuvista ja maalauksista. Todellisessa maailmassa näemme, että kaksi yhdensuuntaista viivaa lähestyy etäisyyden kasvaessa, joten havaitsemme, että viivoja koskettava ympyrä on kauempana meistä ja siksi sen pitäisi olla suurempi.

Jos maalat ympyrät mustalla, ympyrät ja viivojen rajoittamat alueet tekevät illuusiosta heikomman.

Laipan leveys ja hatun korkeus ovat samat, vaikka se ei näytä ensi silmäyksellä. Yritä kiertää kuvaa 90 astetta. Onko vaikutus säilynyt? Tämä on illuusio suhteellisista ulottuvuuksista kuvassa.

Epäselvät ellipsit

Kaltevat ympyrät projisoidaan tasolle ellipseillä, ja näillä ellipseillä on syvyyden epäselvyyksiä. Jos muoto (yläpuolella) on kallistettu ympyrä, ei ole mitään keinoa tietää, onko yläkaari lähempänä meitä tai kauempana meistä kuin alempi kaari.

Linjojen epäselvä yhteys on olennainen tekijä epäselvän renkaan illuusiossa:

Epäselvä rengas, © Donald E.Simanek, 1996.

Jos peität puolet kuvasta, loput muistuttavat puolta tavallisesta renkaasta.

Kun keksin tämän kuvan, ajattelin, että se saattaa olla alkuperäinen illuusio. Mutta myöhemmin näin mainoksen kuituoptisen yrityksen, Canstarin, logolla. Vaikka Canstar-tunnus on minun, ne voidaan luokitella samaan illuusio-luokkaan. Siksi yhtiö ja minä kehitimme toisistaan \u200b\u200briippumatta mahdottoman pyörän kuvan. Luulen, että jos menet syvemmälle, voit todennäköisesti löytää aikaisempia esimerkkejä mahdottomasta pyörästä.

Loputon portaikko

Toinen Penrosen klassisista illuusioista on mahdoton portaikko. Hänet kuvataan useimmiten isometrisenä piirustuksena (jopa Penrosen teoksessa). Versiomme äärettömästä portaikosta on identtinen Penrose-portaikon version kanssa (lukuun ottamatta ristikkäisyyttä).

Hänet voidaan kuvata myös perspektiivissä, kuten tehdään M. K. Escherin litografiassa.

Litografian "Nousu ja lasku" petos on rakennettu hieman eri tavalla. Escher sijoitti portaikon rakennuksen katolle ja kuvasi rakennuksen alapuolella siten, että se antaa vaikutelman perspektiivistä.

Taiteilija kuvasi loputonta portaikkoa varjolla. Varjostuksen tavoin varjo voi tuhota illuusion. Mutta taiteilija sijoitti valonlähteen sellaiseen paikkaan, että varjo sulautuu hyvin maalauksen muihin osiin. Ehkä portaiden varjo on sinänsä illuusio.

Johtopäätös

Jotkut ihmiset eivät ole lainkaan kiinnostuneita kuvitteellisista kuvista. "Se on vain väärä kuva", he sanovat. Jotkut ihmiset, ehkä alle prosentti väestöstä, eivät ymmärrä heitä, koska heidän aivonsa eivät pysty muuttamaan tasaisia \u200b\u200bkuvia kolmiulotteisiksi kuviksi. Näillä ihmisillä on vaikeuksia ymmärtää kirjojen kolmiulotteisten kuvien teknisiä piirustuksia ja piirroksia.

Toiset saattavat nähdä, että maalauksessa on "jotain vikaa", mutta he eivät ajattele kysyä, miten petos saadaan. Näillä ihmisillä ei ole koskaan tarvetta ymmärtää, miten luonto toimii, he eivät voi keskittyä yksityiskohtiin henkisen uteliaisuuden puutteen vuoksi.

Ehkä visuaalisten paradoksien ymmärtäminen on yksi parhaiden matemaatikkojen, tutkijoiden ja taiteilijoiden luovuuden tunnusmerkeistä. M.C.Escherin (M.C.Escher) teoksista löytyy monia maalauksia-illuusioita sekä monimutkaisia \u200b\u200bgeometrisia maalauksia, jotka voidaan katsoa johtuvan enemmän "älyllisistä matemaattisista peleistä" kuin taiteesta. Ne vaikuttavat kuitenkin matemaatikoihin ja tutkijoihin.

Sanotaan, että ihmiset, jotka asuvat Tyynenmeren saarella tai syvällä Amazonin viidakossa, missä he eivät ole koskaan nähneet valokuvaa, eivät voi ensin ymmärtää, mikä valokuva on, kun niitä näytetään. Tämän erityisen kuvan tulkinta on hankittu taito. Jotkut ihmiset oppivat tämän taiton paremmin, toiset huonommin.

Taiteilijat alkoivat käyttää geometrista perspektiiviä työssään paljon aikaisemmin kuin valokuvan keksiminen. Mutta he eivät voineet tutkia sitä ilman tieteen apua. Linssit tulivat yleisesti saataville vasta 1400-luvulla. Tuolloin niitä käytettiin kokeissa tummennetuilla kameroilla. Suuri linssi asetettiin aukkoon pimeän kammion seinässä niin, että vastakkaiseen seinään näytettiin käänteinen kuva. Peilin lisääminen antoi kuvan heittää lattiasta kameran kattoon. Tätä laitetta käyttivät usein taiteilijat, jotka kokeilivat uutta "eurooppalaista" perspektiivityyliä taiteessa. Siihen mennessä matematiikka oli jo riittävän monimutkainen tiede, joka tarjosi teoreettisen perustan perspektiiville, ja nämä teoreettiset periaatteet julkaistiin taiteilijoiden kirjoissa.

Vain yrittämällä piirtää illusorisia kuvia itse, voit arvostaa kaikkia sellaisia \u200b\u200bpetosten luomiseen tarvittavia hienovaraisuuksia. Hyvin usein illuusion luonne asettaa omat rajoituksensa ja asettaa "logiikkansa" taiteilijalle. Tämän seurauksena maalauksen luomisesta tulee taistelua taiteilijan järkeisyydestä epäloogisen illuusion kummallisuuden kanssa.

Nyt kun olemme keskustelleet joidenkin illuusioiden olemuksesta, voit käyttää niitä luodaksesi omia illuusioita sekä luokitellaksesi kohtaamasi illuusiot. Jonkin ajan kuluttua sinulla on suuri kokoelma illuusioita, ja sinun on osoitettava ne jollain tavalla. Suunnittelin tätä varten lasisen vitriinikotelon.

Illuusioiden esittely. © Donald E.Simanek, 1996.

Voit tarkastella viivojen lähentymistä perspektiivissä ja muita geometrian näkökohtia tässä piirustuksessa. Analysoimalla tällaisia \u200b\u200bkuvia ja yrittämällä piirtää ne, saat selville kuvassa käytettyjen petosten olemuksen. MC Escher käytti samanlaisia \u200b\u200btemppuja maalauksessaan "Belvedere" (alla).

Donald E. Simanek, joulukuu 1996. Käännetty englanniksi

Maurits Cornelis Escher on hollantilainen graafikko, joka on saavuttanut menestystä käsitteellisillä litografioillaan, puu- ja metallikaiverruksillaan sekä kirjojen, postimerkkien, freskojen ja kuvakudosten kuvituksilla. Im-taiteen kirkkain edustaja (mahdottomien hahmojen esittäminen).

Maurits Escher syntyi Alankomaissa Louvanderin kaupungissa insinööri George Arnold Escherin ja ministeri Sarah Adriana Gleichmann-Escherin tyttäressä. Maurits oli perheen nuorin ja neljäs lapsi. Kun hän oli 5-vuotias, koko perhe muutti Arnhemiin, missä hän vietti suurimman osan nuoruudestaan. Lukioon ottamisen aikana tuleva taiteilija epäonnistui kokeissa, joista hänet lähetettiin Haarlemin arkkitehtikouluun. Saatuaan uuteen kouluun Maurits Escher jatkoi luovuutensa kehittämistä matkan varrella näyttämällä piirustuksia ja linoleikkauksia opettajalleen Samuel Jessernille, joka innoitti häntä jatkamaan työskentelyä sisustuselokuvassa. Myöhemmin Escher ilmoitti isälleen haluavansa opiskella koriste-taidetta ja että hän ei käytännössä ollut kiinnostunut arkkitehtuurista.

Opintojensa päätyttyä Maurits Escher meni matkustamaan Italiaan, missä tapasi tulevan vaimonsa Getta Wimkerin. Nuori pari asui Roomaan, jossa he asuivat vuoteen 1935 saakka. Tänä aikana Escher matkusti säännöllisesti Italiaan ja teki piirustuksia ja luonnoksia. Monia niistä käytettiin myöhemmin puupiirrosten luomisen perustana.

1920-luvun lopulla Escheristä tuli melko suosittu Alankomaissa, ja taiteilijan vanhemmat vaikuttivat siihen suurelta osin. Vuonna 1929 hän järjesti viisi näyttelyä Hollannissa ja Sveitsissä, jotka arvostelijat saivat melko mairittelevan arvostelun. Tänä aikana Escherin maalauksia kutsuttiin ensin mekaanisiksi ja "loogisiksi". Vuonna 1931 taiteilija kääntyi puupiirrosten lopettamiseen. Valitettavasti taiteilijan menestys ei tuonut hänelle paljon rahaa, ja hän kääntyi usein isänsä puoleen saadakseen taloudellista apua. Vanhemmat tukivat koko elämänsä ajan Maurits Escheriä kaikissa pyrkimyksissään, joten kun hänen isänsä kuoli vuonna 1939 ja vuotta myöhemmin äitinsä, Escher ei tuntenut sitä parhaalla mahdollisella tavalla.

Vuonna 1946 taiteilija kiinnostui syväpainotekniikasta, joka erotettiin tietyllä monimutkaisuudella. Tästä syystä vuoteen 1951 asti Escher teki vain seitsemän vaikutelmaa mezzotinto-tavalla eikä toiminut enää tällä tekniikalla. Vuonna 1949 Escher järjesti kahden muun taiteilijan kanssa suuren näyttelyn graafisista teoksistaan \u200b\u200bRotterdamissa, josta julkaistun julkaisusarjan jälkeen Escher tuli tunnetuksi paitsi Euroopassa, myös Yhdysvalloissa. Hän jatkoi työskentelyä valitulla tavalla luoden yhä uusia ja joskus odottamattomia taideteoksia.

Yksi Escherin merkittävimmistä teoksista on Waterfall-litografia, joka perustuu mahdottomaan kolmioon. Vesiputous on ikuisen liikkeen kone, ja tornit näyttävät olevan saman korkeita, vaikka yksi niistä on yhtä kerrosta vähemmän kuin toinen. Escherin kaksi myöhempää kaiverrusta mahdottomista hahmoista, Belvedere ja Going Down and Ascending, luotiin vuosina 1958-1961. Hyvin viihdyttävien teosten joukossa on myös kaiverruksia "Ylös ja alas", "Suhteellisuusteoria", "Metamorfoosit I", "Metamorfoosit II", "Metamorfoosit III" (suurin teos - 48 metriä), "Taivas ja vesi" tai "Matelijat" ...

Heinäkuussa 1969 Escher loi viimeisen puupiirroksen nimeltä Käärmeet. Ja jo 27. maaliskuuta 1972 taiteilija kuoli suolistosyöpään. Koko elämänsä ajan Escher loi 448 litografiaa, tulosteita ja puupiirroksia sekä yli 2000 erilaista piirustusta ja luonnosta. Toinen mielenkiintoinen piirre oli, että Escher, kuten monet hänen suurista edeltäjistään (Michelangelo, Leonardo da Vinci, Durer ja Holben), oli vasenkätinen.

Tässä Escherin teoksessa kuvataan paradoksi - vesiputouksen putoava vesi ajaa pyörää, joka ohjaa veden vesiputouksen huipulle. Vesiputouksella on "mahdoton" Penrose-kolmion rakenne: litografia luotiin British Journal of Psychology -lehden artikkelin perusteella.

Rakenne koostuu kolmesta poikittaispalkista, jotka on asetettu päällekkäin suorassa kulmassa. Litografian vesiputous toimii kuin ikuinen liike. Katseen liikkeestä riippuen näyttää vuorotellen, että molemmat tornit ovat samat ja että oikealla oleva torni on yksi kerros matalampi kuin vasen torni.

Kirjoita arvostelu artikkelista "Vesiputous (litografia)"

Muistiinpanot (muokkaa)

Linkit

• Virallinen sivusto: (englanti)

Ote vesiputouksesta (litografia)