Tämä artikkeli jatkaa suoran viivan yhtälön teemaa tasossa: pidä tällaista yhtälöä suoran yleisenä yhtälönä. Määritetään lause ja todistetaan se; Selvitetään, mikä on suoran epätäydellinen yleinen yhtälö ja miten siirtymät yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin. Yhdistämme koko teorian kuvituksilla ja käytännön ongelmien ratkaisulla.

Yandex RTB R-A-339285-1

Annetaan suorakulmainen koordinaatisto O x y tasolle.

Lause 1

Mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö, jolla on muoto A x + B y + C \u003d 0, jossa A, B, C ovat joitain reaalilukuja (A ja B eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti), määrittelee suoran viivan suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tasossa. Puolestaan \u200b\u200bmikä tahansa suoran suorakulmaisen koordinaatistojärjestelmän taso määritetään yhtälöllä, jolla on muoto A x + B y + C \u003d 0 tietylle joukolle arvoja A, B, C.

Todisteet

tämä lause koostuu kahdesta pisteestä, todistamme kukin niistä.

1. Todistetaan, että yhtälö A x + B y + C \u003d 0 määrittelee suoran suoran tasossa.

Olkoon olemassa jokin piste М 0 (x 0, y 0), jonka koordinaatit vastaavat yhtälöä A x + B y + C \u003d 0. Siten: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Vähennä yhtälöiden A x + B y + C \u003d 0 vasemmalta ja oikealta puolelta yhtälön A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasen ja oikea puoli, saamme uuden yhtälön muodosta A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Se vastaa A x + B y + C \u003d 0.

Tuloksena oleva yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 on välttämätön ja riittävä ehto vektoreille n → \u003d (A, B) ja M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0). Siten pistejoukko M (x, y) määrittelee suoran suorakulmaisessa koordinaatistossa, joka on kohtisuorassa vektorin n → \u003d (A, B) suuntaan. Voidaan olettaa, että näin ei ole, mutta silloin vektorit n → \u003d (A, B) ja M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) eivät olisi kohtisuorassa, eikä yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ei olisi totta.

Siksi yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 määrittelee suoran suoran suorakulmaisessa koordinaatistossa tasossa, ja siten ekvivalentti yhtälö A x + B y + C \u003d 0 määrittelee sama suora. Näin todistimme lauseen ensimmäisen osan.

1. Annetaan todiste siitä, että mikä tahansa suoran suorakulmaisen koordinaatistojärjestelmän taso voidaan määrittää ensimmäisen asteen yhtälöllä A x + B y + C \u003d 0.

Asetetaan suora a suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasolle; piste M 0 (x 0, y 0), jonka läpi tämä viiva kulkee, samoin kuin tämän suoran normaalivektori n → \u003d (A, B).

Olkoon myös jokin piste M (x, y) - suora viiva. Tällöin vektorit n → \u003d (A, B) ja M 0 M → \u003d (x - x 0, y - y 0) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja niiden skalaarinen tulo on nolla:

n →, M 0 M → \u003d A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0

Kirjoita yhtälö A x + B y - A x 0 - B y 0 \u003d 0 uudelleen, määritä C: C \u003d - A x 0 - B y 0 ja lopulta saamme yhtälön A x + B y + C \u003d 0.

Siksi olemme todistaneet lauseen toisen osan ja todistaneet koko lauseen kokonaisuutena.

Määritelmä 1

Lomakkeen yhtälö A x + B y + C \u003d 0 - Tämä on linjan yleinen yhtälö suorakulmaisessa koordinaatistossa O x y.

Todistetun lauseen perusteella voidaan päätellä, että suora ja sen yleinen yhtälö, joka annetaan tasossa kiinteässä suorakulmaisessa koordinaatistossa, ovat erottamattomasti sidoksissa toisiinsa. Toisin sanoen alkusuora vastaa sen yleistä yhtälöä; suoran yleinen yhtälö vastaa tiettyä suoraa.

Lauseen todisteesta seuraa myös, että muuttujien x ja y kertoimet A ja B ovat suoran normaalivektorin koordinaatit, jotka saadaan suoran A x + B y + yleisen yhtälön avulla C \u003d 0.

Tarkastellaan tiettyä esimerkkiä suoran yleisestä yhtälöstä.

Olkoon annettu yhtälö 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, joka vastaa suoraa suorassa suorakulmaisessa koordinaatistossa. Tämän linjan normaali vektori on vektori n → \u003d (2, 3). Piirrä tietty suora viiva piirustukseen.

On myös mahdollista väittää seuraavaa: piirustuksessa näkyvä suora määritetään yleisen yhtälön 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 avulla, koska tietyn suoran kaikkien pisteiden koordinaatit vastaavat tätä yhtälöä.

Saamme yhtälön λ · A x + λ · B y + λ · C \u003d 0 kertomalla suoran yleisen yhtälön molemmat puolet luvulla λ, joka ei ole nolla. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä yleistä yhtälöä, joten se kuvaa samaa suoraa tasossa.

Täydellinen suora yhtälö - sellainen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, jossa luvut A, B, C eroavat nollasta. Muuten yhtälö on epätäydellinen.

Tarkastellaan kaikkia suoran epätäydellisen yleisen yhtälön muunnelmia.

1. Kun A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, yleiseksi yhtälöksi tulee B y + C \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yleinen yhtälö määrittelee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y suoran linjan, joka on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa, koska muuttuja y saa arvon x mihin tahansa todelliseen arvoon - C B. Toisin sanoen suoran A x + B y + C \u003d 0, kun A \u003d 0, B ≠ 0, yleinen yhtälö määrittää pisteiden (x, y) sijainnin, joiden koordinaatit ovat yhtä suuret kuin sama numero - C B.
2. Jos A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, yleinen yhtälö on muodossa y \u003d 0. Tämä epätäydellinen yhtälö määrittää abscissa-akselin Ox.
3. Kun A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saadaan epätäydellinen yleinen yhtälö A x + C \u003d 0, joka määrittelee suora viivan, joka on yhdensuuntainen ordinaatti-akselin kanssa.
4. Olkoon A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, epätäydellinen yleinen yhtälö saa muodon x \u003d 0, ja tämä on koordinaattilinjan O y yhtälö.
5. Lopuksi A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, epätäydellinen yleinen yhtälö on muodossa A x + B y \u003d 0. Ja tämä yhtälö kuvaa suoran, joka kulkee alkuperän läpi. Numeropari (0, 0) todellakin vastaa tasa-arvoa A x + B y \u003d 0, koska A 0 + B 0 \u003d 0.

Kuvitellaan graafisesti kaikki edellä mainitut suoran epätäydellisen yleisen yhtälön tyypit.

Esimerkki 1

Tiedetään, että annettu suora on yhdensuuntainen ordinaattiakselin kanssa ja kulkee pisteen 2 7, - 11 läpi. On tarpeen kirjoittaa tietyn suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Suoraviivainen, joka on yhdensuuntainen ordinaattiakselin kanssa, saadaan muodon A x + C \u003d 0 yhtälöllä, jossa A ≠ 0. Ehto määrittelee myös pisteen koordinaatit, jonka läpi viiva kulkee, ja tämän pisteen koordinaatit täyttävät epätäydellisen yleisen yhtälön A x + C \u003d 0 ehdot, ts. tasa-arvo on totta:

A · 2 7 + C \u003d 0

Siitä on mahdollista määrittää C antamalla A: lle jokin muu kuin nolla-arvo, esimerkiksi A \u003d 7. Tässä tapauksessa saadaan: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Tunnemme molemmat kertoimet A ja C, korvataan ne yhtälöllä A x + C \u003d 0 ja saadaan vaadittu suoran yhtälö: 7 x - 2 \u003d 0

Vastaus: 7 x - 2 \u003d 0

Esimerkki 2

Piirros esittää suoraa viivaa, on tarpeen kirjoittaa sen yhtälö.

Päätös

Yllä olevan piirustuksen avulla voimme helposti ottaa lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi. Piirroksessa nähdään, että annettu viiva on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa ja kulkee pisteen (0, 3) läpi.

Suora viiva, joka on yhdensuuntainen abskissan silmien kanssa, määritetään epätäydellisellä yleisyhtälöllä B y + C \u003d 0. Etsitään B: n ja C: n arvot Pisteen (0, 3) koordinaatit, koska tietty suora kulkee sen läpi, tyydyttävät suoran B y + C \u003d 0 yhtälön, niin yhtälö on pätevä: B · 3 + C \u003d 0. Asetetaan B: lle jokin muu arvo kuin nolla. Oletetaan, että B \u003d 1, tässä tapauksessa yhtälöstä B 3 + C \u003d 0 löydetään C: C \u003d - 3. Käytämme tunnettuja B: n ja C: n arvoja, saadaan vaadittu suora yhtälö: y - 3 \u003d 0.

Vastaus: y - 3 \u003d 0.

Tietyn tason pisteen läpi kulkevan suoran yleinen yhtälö

Anna annetun viivan kulkea pisteen М 0 (x 0, y 0) läpi, sitten sen koordinaatit vastaavat linjan yleistä yhtälöä, so. tasa-arvo on totta: A x 0 + B y 0 + C \u003d 0. Vähennämme tämän yhtälön vasemman ja oikean puolen viivan yleisen täydellisen yhtälön vasemmasta ja oikealta puolelta. Saamme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yleistä, kulkee pisteen М 0 (x 0, y 0) läpi ja jolla on normaali vektori n → \u003d (A, B).

Saamamme tulos antaa mahdollisuuden kirjoittaa suoran suoran yleinen yhtälö suoran normaalivektorin tunnetuilla koordinaateilla ja tämän suoran tietyn pisteen koordinaateilla.

Esimerkki 3

Annetaan piste М 0 (- 3, 4), jonka läpi suora kulkee, ja tämän suoran normaali vektori n → \u003d (1, - 2). On tarpeen kirjoittaa tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuehtojen avulla voimme saada tarvittavat tiedot yhtälön muodostamiseksi: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sitten:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 v (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 v + 22 \u003d 0

Ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Suoran yleinen yhtälö on A x + B y + C \u003d 0. Annetun normaalivektorin avulla voit saada kertoimien A ja B arvot, sitten:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ 1 x - 2 y + C \u003d 0 ⇔ x - 2 y + C \u003d 0

Nyt löydetään C: n arvo käyttämällä tehtävän ehdon määrittelemää pistettä M 0 (- 3, 4), jonka läpi suora kulkee. Tämän pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä x - 2 y + C \u003d 0, ts. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Siksi C \u003d 11. Vaadittu suoran yhtälö on muodossa: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Vastaus: x - 2 y + 11 \u003d 0.

Esimerkki 4

Annetaan suora viiva 2 3 x - y - 1 2 \u003d 0 ja tällä suoralla oleva piste М 0. Vain tämän pisteen absessi tunnetaan ja se on yhtä suuri kuin - 3. On tarpeen määrittää annetun pisteen ordinaatti.

Päätös

Asetetaan pisteen М 0 koordinaattien nimeksi x 0 ja y 0. Lähtötiedot osoittavat, että x 0 \u003d - 3. Koska piste kuuluu tiettyyn suoraan, sen koordinaatit vastaavat tämän suoran yleistä yhtälöä. Silloin tasa-arvo on totta:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 \u003d 0

Määritä y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - y 0 \u003d 0 ⇔ y 0 \u003d - 5 2

Vastaus: - 5 2

Siirtyminen suoran suoran yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran ja selän yhtälöihin

Kuten tiedämme, samalle suoralle tasolle on olemassa useita yhtälötyyppejä. Yhtälötyypin valinta riippuu ongelman olosuhteista; on mahdollista valita se, joka on helpompaa sen ratkaisemiseksi. Tässä on taito muuntaa yhden tyyppinen yhtälö toisenlaiseksi yhtälöksi.

Aluksi tarkastellaan siirtymistä muodon A x + B y + C \u003d 0 yleisestä yhtälöstä kanoniseen yhtälöön x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.

Jos А ≠ 0, siirrämme termi B y yleisen yhtälön oikealle puolelle. Aseta A vasemmalle puolelle sulkujen ulkopuolelle. Tuloksena saadaan: A x + C A \u003d - B y.

Tämä tasa-arvo voidaan kirjoittaa suhteena: x + C A - B \u003d y A.

Jos В ≠ 0, jätetään vain yhtälön A x vasemmalle puolelle yleistä yhtälöä, siirretään muut oikealle puolelle, saadaan: A x \u003d - B y - C. Otamme - B sulkujen ulkopuolelle, sitten: A x \u003d - B y + C B.

Kirjoitetaan uudestaan \u200b\u200btasa-arvo suhteeksi: x - B \u003d y + C B A.

Tuloksena olevia kaavoja ei tietenkään tarvitse muistaa. Riittää, kun tiedetään toiminnan algoritmi siirtymässä yleisestä yhtälöstä kanoniseen.

Esimerkki 5

Suoran yleinen yhtälö annetaan: 3 y - 4 \u003d 0. On tarpeen muuttaa se kanoniseksi yhtälöksi.

Päätös

Kirjoita alkuperäinen yhtälö uudelleen arvoon 3 y - 4 \u003d 0. Seuraavaksi toimimme algoritmin mukaan: termi 0x jää vasemmalle puolelle; ja oikealla puolella otamme ulos - 3 suluiden ulkopuolella; saamme: 0 x \u003d - 3 y - 4 3.

Kirjoitetaan tuloksena oleva tasa-arvo suhteeksi: x - 3 \u003d y - 4 3 0. Joten saimme yhtälön kanonisesta muodosta.

Vastaus: x - 3 \u003d y - 4 3 0.

Suoran yleisen yhtälön muuntamiseksi parametrisiksi siirtymiseksi ensin tehdään kanoniseen muotoon ja sitten siirtyminen suoran kanonisesta yhtälöstä parametrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 6

Suora viiva saadaan yhtälöstä 2 x - 5 y - 1 \u003d 0. Kirjoita tämän suoran parametriset yhtälöt muistiin.

Päätös

Tehdään siirtymä yleisestä yhtälöstä kanoniseen:

2 x - 5 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d y + 1 5 2

Nyt otamme tuloksena olevan kanonisen yhtälön molemmat puolet yhtä suuriksi kuin λ, sitten:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Vastaus: x \u003d 5 λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Yleinen yhtälö voidaan muuntaa suoran yhtälöksi, jonka kaltevuus on y \u003d k x + b, mutta vain jos B ≠ 0. Vasemmalle siirtymälle jätetään termi B y, loput siirretään oikealle. Saamme: B y \u003d - A x - C. Jaa tuloksena olevan tasa-arvon molemmat puolet B: llä, joka eroaa nollasta: y \u003d - A B x - C B.

Esimerkki 7

Suoran yleinen yhtälö annetaan: 2 x + 7 y \u003d 0. Sinun on muunnettava yhtälö kaltevuusyhtälöksi.

Päätös

Suoritetaan tarvittavat toimet algoritmin mukaisesti:

2 x + 7 y \u003d 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y \u003d - 2 7 x

Vastaus: y \u003d - 2 7 x.

Suoran yleisen yhtälön perusteella riittää yksinkertaisesti saada yhtälö muodon x a + y b \u003d 1 segmentteinä. Tällaisen siirtymän suorittamiseksi siirrämme numero C tasa-arvon oikealle puolelle, jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet - С: llä ja lopuksi siirrämme muuttujien x ja y kertoimet nimittäjille:

A x + B y + C \u003d 0 ⇔ A x + B y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y \u003d 1 ⇔ x - C A + y - C B \u003d 1

Esimerkki 8

Suoran x - 7 y + 1 2 \u003d 0 yleinen yhtälö on muunnettava suoran yhtälöksi segmentteinä.

Päätös

Siirrä 1 2 oikealle puolelle: x - 7 y + 1 2 \u003d 0 ⇔ x - 7 y \u003d - 1 2.

Jaa yhtälön molemmat puolet -1/2: x - 7 y \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y \u003d 1.

Vastaus: x - 1 2 + y 1 14 \u003d 1.

Yleensä käänteinen siirtyminen on myös helppoa: muun tyyppisistä yhtälöistä yleisiin.

Suoran yhtälön segmentit ja yhtälön kaltevuus on helppo muuttaa yleiseksi yksinkertaisesti keräämällä kaikki yhtälön vasemmalla puolella olevat termit:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ y - k x - b \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Kanoninen yhtälö muunnetaan yleiseksi seuraavan kaavan mukaisesti:

x - x 1 kirves \u003d y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) \u003d kirves (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Parametrisesta siirtymisestä tehdään ensin siirtyminen kanoniseen ja sitten yleiseen:

x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C \u003d 0

Esimerkki 9

Annetaan suoran x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 parametriset yhtälöt. On tarpeen kirjoittaa tämän suoran yleinen yhtälö.

Päätös

Tehdään siirtymä parametrisista yhtälöistä kanonisiin:

x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 λ y \u003d 4 + 0 λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 4 0

Siirrytään kanonisesta yleiseen:

x + 1 2 \u003d y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) \u003d 2 (y - 4) ⇔ y - 4 \u003d 0

Vastaus: y - 4 \u003d 0

Esimerkki 10

Annetaan suoran yhtälö segmenteissä x 3 + y 1 2 \u003d 1. On tarpeen siirtyä yhtälön yleiseen muotoon.

Päätös:

Kirjoitetaan vain yhtälö tarpeen mukaan:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Vastaus: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Suoran yleisen yhtälön laatiminen

Edellä sanottiin, että yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa normaalivektorin tunnetuilla koordinaateilla ja sen pisteen koordinaateilla, jonka läpi suora kulkee. Tällainen suora määritetään yhtälöllä A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0. Analysoimme myös vastaavaa esimerkkiä siellä.

Katsotaan nyt monimutkaisempia esimerkkejä, joissa sinun on ensin määritettävä normaalivektorin koordinaatit.

Esimerkki 11

Annetaan suora, joka on yhdensuuntainen suoran 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0 kanssa. Tunnetaan myös piste M 0 (4, 1), jonka läpi annettu viiva kulkee. On tarpeen kirjoittaa tietyn suoran yhtälö.

Päätös

Alkuolosuhteet kertovat meille, että suorat ovat yhdensuuntaisia, minkä jälkeen suoran, jonka yhtälö kirjoitetaan, normaalivektorina otetaan suoran viivan n vektorin ohjausvektori : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Nyt tiedämme kaikki tarvittavat tiedot linjan yleisen yhtälön muodostamiseksi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Vastaus: 2 x - 3 y - 5 \u003d 0.

Esimerkki 12

Määritetty viiva kulkee alkupisteen läpi kohtisuorassa viivaan x - 2 3 \u003d y + 4 5. On tarpeen laatia yleinen yhtälö tietylle suoralle.

Päätös

Annetun suoran normaalivektori on suoran x - 2 3 \u003d y + 4 5 suuntavektori.

Sitten n → \u003d (3, 5). Suora viiva kulkee alkuperän, ts. pisteen O (0, 0) läpi. Laaditaan tietyn suoran yleinen yhtälö:

A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Vastaus: 3 x + 5 y \u003d 0.

Jos huomaat virheen tekstissä, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Pisteen K (x 0; y 0) läpi kulkeva ja suoran y \u003d kx + a kanssa yhdensuuntainen suora saadaan kaavalla:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Missä k on suoran kulma.

Vaihtoehtoinen kaava:
Pisteen M 1 (x 1; y 1) läpi kulkeva ja suoran Ax + By + C \u003d 0 suuntainen suoraa kuvaa yhtälö

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0. (2)

Esimerkki 2. Kirjoita suoran yhtälö, joka on yhdensuuntainen suoran 2x + 5y \u003d 0 kanssa ja muodostaa yhdessä koordinaattiakselien kanssa kolmion, jonka pinta-ala on 5.
Päätös ... Koska suorat ovat yhdensuuntaisia, halutun suoran yhtälö on 2x + 5y + C \u003d 0. Suorakulmaisen kolmion alue, jossa a ja b ovat sen jalat. Etsi halutun suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleilla:
;
.
Joten A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Korvataan alueen kaavassa: ... Saamme kaksi ratkaisua: 2x + 5y + 10 \u003d 0 ja 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Esimerkki 3. Tee yhtälö suorasta, joka kulkee pisteen (-2; 5) läpi ja yhdensuuntainen suoran 5x-7y-4 \u003d 0 kanssa.
Päätös. Tätä viivaa voidaan esittää yhtälöllä y \u003d 5/7 x - 4/7 (tässä a \u003d 5/7). Halutun suoran yhtälö on y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), so. 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) tai 5x-7y + 45 \u003d 0.

Esimerkki 4. Ratkaisemalla esimerkki 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) kaavan (2) avulla löydämme 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0.

Esimerkki nro 5. Tee pisteen (-2; 5) läpi kulkevan ja suoran 7x + 10 \u003d 0 suuntainen suoran yhtälö.
Päätös. Tässä A \u003d 7, B \u003d 0. Kaavasta (2) saadaan 7 (x + 2) \u003d 0, ts. x + 2 \u003d 0. Kaavaa (1) ei voida käyttää, koska tätä yhtälöä ei voida ratkaista y: n suhteen (tämä viiva on yhdensuuntainen ordinaatti-akselin kanssa).

Oppitunti sarjasta "Geometriset algoritmit"

Hei rakas lukija!

Tänään aloitamme geometriaan liittyvien algoritmien tutkimisen. Tosiasia on, että tietojenkäsittelytieteessä on paljon olympialaisten ongelmia, jotka liittyvät laskennalliseen geometriaan, ja tällaisten ongelmien ratkaiseminen aiheuttaa usein vaikeuksia.

Muutamassa oppitunnissa tarkastelemme useita alkeisongelmia, jotka ovat perusta useimpien laskennallisen geometrian ongelmien ratkaisemiselle.

Tässä oppitunnissa luomme ohjelman suoran yhtälön löytäminenkulkee annetun kautta kaksi pistettä... Geometristen ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme jonkin verran tietoa laskennallisesta geometriasta. Omistamme osan oppitunnista heidän tuntemiseen.

Laskennallisen geometrian tiedot

Laskennallinen geometria on tietojenkäsittelytieteen ala, joka tutkii algoritmeja geometristen ongelmien ratkaisemiseksi.

Tällaisten tehtävien lähtötiedot voivat olla joukko pisteitä tasossa, joukko segmenttejä, monikulmio (määritetty esimerkiksi luettelolla sen kärjistä myötäpäivään) jne.

Tulos voi olla joko vastaus kysymykseen (kuten kuuluuko piste segmenttiin, leikkaavatko kaksi segmenttiä ...), tai jokin geometrinen esine (esimerkiksi pienin kupera polygoni, joka yhdistää tiettyjä pisteitä, Monikulmio jne.) ...

Harkitsemme laskennallisen geometrian ongelmia vain tasossa ja vain suorakulmaisessa koordinaatistossa.

Vektorit ja koordinaatit

Laskennallisten geometriamenetelmien soveltamiseksi on tarpeen kääntää geometriset kuvat numeroiden kielelle. Oletetaan, että tasolle on määritetty suorakulmainen koordinaatisto, jossa pyörimissuuntaa vastapäivään kutsutaan positiiviseksi.

Geometriset objektit ilmaistaan \u200b\u200bnyt analyyttisesti. Joten pisteen asettamiseksi riittää ilmoittamaan sen koordinaatit: numeropari (x; y). Segmentti voidaan määrittää määrittämällä sen päiden koordinaatit, suora viiva voidaan määrittää määrittämällä sen pisteiden parin koordinaatit.

Mutta tärkein työkalu ongelmien ratkaisemiseen ovat vektorit. Siksi haluaisin muistuttaa joitain tietoja heistä.

Osa AB, missä vaiheessa JA pidetään alku (sovelluskohta) ja kohta SISÄÄN - loppu, jota kutsutaan vektoriksi AB ja tarkoittaa esimerkiksi joko lihavoitua pientä kirjainta ja .

Vektorin pituuden (eli vastaavan segmentin pituuden) merkitsemiseksi käytämme moduulisymbolia (esimerkiksi).

Mielivaltaisella vektorilla on koordinaatit, jotka ovat yhtä suuret kuin lopun ja alun vastaavien koordinaattien välinen ero:

,

tässä pisteet A ja B on koordinaatit vastaavasti.

Laskelmissa käytämme käsitettä suunnattu kulmaeli kulma, joka ottaa huomioon vektorien suhteellisen sijainnin.

Suunnattu kulma vektorien välillä a ja b positiivinen, jos kiertyminen poispäin vektorista a vektoriksi b tehdään positiiviseen suuntaan (vastapäivään) ja negatiivisesti muuten. Katso kuva 1a, kuva 1b. He sanovat myös, että pari vektoreita a ja b positiivisesti (negatiivisesti) suuntautunut.

Suunnatun kulman arvo riippuu siis vektorien luettelointijärjestyksestä ja voi ottaa arvot alueelle.

Monissa laskennallisissa geometrian ongelmissa käytetään vektorien (vino tai pseudoskalaarinen) vektorituotteiden käsitettä.

Vektorien a ja b vektoritulo on näiden vektoreiden pituuksien tulo niiden välisen kulman sinisillä:

.

Vektorien vektoritulo koordinaateissa:

Oikealla oleva lauseke on toisen asteen determinantti:

Toisin kuin analyyttisessä geometriassa annettu määritelmä, se on skalaari.

Ristituotemerkki määrittää vektorien sijainnin toisiinsa nähden:

a ja b positiivisesti suuntautunut.

Jos arvo, niin vektoripari a ja b negatiivisesti suuntautunut.

Ei-nollavektorien vektoritulo on nolla vain ja vain, jos ne ovat kolineaarisia ( ). Tämä tarkoittaa, että ne ovat yhdellä suoralla tai yhdensuuntaisella viivalla.

Tarkastellaan muutamia yksinkertaisia \u200b\u200btehtäviä, joita tarvitaan monimutkaisempien tehtävien ratkaisemiseksi.

Määritetään suoran yhtälö kahden pisteen koordinaateilla.

Kahden eri pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö niiden koordinaattien avulla.

Annetaan kaksi suoraa viivaa, jotka eivät ole yhteneviä: koordinaateilla (x1; y1) ja koordinaateilla (x2; y2). Vastaavasti vektorilla, jonka alku on piste ja loppu pisteessä, on koordinaatit (x2-x1, y2-y1). Jos P (x, y) on mielivaltainen piste suorallamme, niin vektorikoordinaatit ovat (x-x1, y - y1).

Vektorituotetta käyttämällä vektorien kollineaarisuusehto voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Nuo. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

Viimeinen yhtälö kirjoitetaan uudestaan \u200b\u200bseuraavasti:

ax + by + c \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Joten suora viiva voidaan asettaa muodon (1) yhtälöllä.

Tehtävä 1. Annetaan kahden pisteen koordinaatit. Löydä sen esitys muodossa ax + arvolla + c \u003d 0.

Tässä oppitunnissa opimme joitain laskennallisia geometrisia tietoja. Ratkaisimme ongelman löytää yhtälön yhtälö kahden pisteen koordinaateilla.

Seuraavassa oppitunnissa muodostamme ohjelman löytääksemme yhtälömme kahden rivin leikkauspisteen.

Annetaan kaksi pistettä M(X1 ,Omistaa1) ja N(X2, y2). Löydetään näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö.

Koska tämä viiva kulkee pisteen läpi M, sitten kaavan (1.13) mukaan sen yhtälöllä on muoto

Omistaa – Y1 = K(X - x1),

Missä K - tuntematon kaltevuus.

Tämän kertoimen arvo määritetään ehdosta, että haluttu suora kulkee pisteen läpi Nja siten sen koordinaatit täyttävät yhtälön (1.13)

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Täältä löydät tämän suoran kaltevuuden:

,

Tai muuntamisen jälkeen

(1.14)

Kaava (1.14) määrittää Kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö M(X1, Y1) ja N(X2, Y2).

Erityistapauksessa, kun pisteet M(A, 0), N(0, B), JA ¹ 0, B ¹ 0, makaa koordinaattiakseleilla, yhtälö (1.14) on yksinkertaisempi

Yhtälö (1.15) nimeltään Suoran yhtälön avulla segmenteissä, täällä JA ja B merkitään akseleilla suoralla viivalla katkaistut segmentit (kuva 1.6).

Kuva 1.6

Esimerkki 1.10. Tasaa suora viiva pisteiden läpi M(1, 2) ja B(3, –1).

. Kohdan (1.14) mukaan haetun linjan yhtälöllä on muoto

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Siirtämällä kaikki termit vasemmalle puolelle saadaan lopulta haluttu yhtälö

3X + 2Y – 7 = 0.

Esimerkki 1.11. Tasaa suora viiva pisteen läpi M(2, 1) ja viivojen leikkauspiste X+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Löydämme suorien leikkauspisteen koordinaatit ratkaisemalla annetut yhtälöt yhdessä

Jos lisätään nämä yhtälöt termeittäin, saadaan 2 X + 1 \u003d 0, mistä. Korvaamalla löydetty arvo mihin tahansa yhtälöön löydämme ordinaatin arvon Omistaa:

Nyt kirjoitetaan pisteiden (2, 1) läpi kulkevan suoran yhtälö ja:

tai.

Siksi tai –5 ( Y – 1) = X – 2.

Lopuksi saadaan halutun suoran yhtälö muodossa X + 5Y – 7 = 0.

Esimerkki 1.12. Etsi pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö M(2,1) ja N(2,3).

Kaavan (1.14) avulla saadaan yhtälö

Sillä ei ole järkeä, koska toinen nimittäjä on nolla. Ongelma-lauseesta voidaan nähdä, että molempien pisteiden paiseilla on sama arvo. Siksi haettu viiva on yhdensuuntainen akselin kanssa OY ja sen yhtälö on: x = 2.

Kommentti . Jos kirjoitettaessa kaavan (1.14) mukaisen suoran yhtälöä yhtälö nimittäjistä osoittautuu nollaksi, niin haluttu yhtälö voidaan saada tasaamalla vastaava osoitin nollaan.

Harkitse muita tapoja määritellä suora viiva tasossa.

1. Olkoon ei-nolla vektori kohtisuorassa annettuun viivaan nähden Lja kohta M0(X0, Y0) sijaitsee tällä suoralla (kuva 1.7).

Kuva 1.7

Me merkitsemme M(X, Y) mielivaltainen piste viivalla L... Vektorit ja Ortogonaalinen. Käyttämällä näiden vektorien ortogonaalisuusolosuhteita saadaan joko JA(X – X0) + B(Y – Y0) = 0.

Saimme pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön M0 kohtisuorassa vektoriin nähden. Tätä vektoria kutsutaan Normaali vektori suoraan L... Tuloksena oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen

vai niin + Woo + Alkaen \u003d 0, missä Alkaen = –(JAX0 + Tekijä0), (1.16),

Missä JA ja SISÄÄN- normaalivektorin koordinaatit.

Saamme suoran suoran yleisen yhtälön parametrisessa muodossa.

2. Suora viiva tasossa voidaan määrittää seuraavasti: Olkoon nollavektori vektori yhdensuuntainen annetun suoran kanssa L ja kohta M0(X0, Y0) sijaitsee tällä suoralla. Otetaan taas mielivaltainen kohta M(X, y) suoralla viivalla (kuva 1.8).

Kuva 1.8

Vektorit ja kolineaarinen.

Kirjoita muistiin näiden vektorien kollineaarisuusehto :, missä T - mielivaltainen numero, jota kutsutaan parametriksi. Kirjoitetaan tämä tasa-arvo koordinaateissa:

Näitä yhtälöitä kutsutaan Parametriset yhtälöt Suoraan... Poistamme näistä yhtälöistä parametrin T:

Nämä yhtälöt voidaan muuten kirjoittaa muodossa

. (1.18)

Tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan Suoran kanoninen yhtälö... Vektoria kutsutaan Suoran suuntavektori .

Kommentti . On helppo nähdä, onko jos linjan normaali vektori L, niin sen suuntavektori voi olla vektori, koska, so.

Esimerkki 1.13. Kirjoita pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö M0 (1, 1) yhdensuuntainen suoran 3 kanssa X + 2Omistaa– 8 = 0.

Päätös . Vektori on normaali vektori annettuihin ja haluttuihin suoriin viivoihin. Käytämme pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöä M0 annetulla normaalivektorilla 3 ( X –1) + 2(Omistaa - 1) \u003d 0 tai 3 X + 2v - 5 \u003d 0. Vastaanotettiin halutun suoran yhtälö.

Tietyn pisteen tietyssä suunnassa kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö. Kahden suoran välinen kulma. Kahden suoran rinnakkaisuuden ja kohtisuoruuden ehto. Kahden linjan leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn kaltevuuden määräämään suuntaan k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee nipun suoria viivoja, jotka kulkevat pisteen läpi A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskikohdaksi.

2. Kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) kirjoitetaan seuraavasti:

Kahden annetun pisteen läpi kulkevan suoran kaltevuus määritetään kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A ja B kutsutaan kulmaksi, johon sinun on käännettävä ensimmäinen suora A näiden viivojen leikkauspisteen ympäri vastapäivään, kunnes se osuu toisen linjan kanssa B... Jos kaksi suoraa annetaan yhtälöillä, joilla on kaltevuus

y = k 1 x + B 1 ,