Menetelmät trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi käyttämällä erityisiä esimerkkejä. Perusmenetelmät trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Voit tilata yksityiskohtaisen ratkaisun ongelmaan !!!

Tasa-arvoa, joka sisältää tuntemattoman trigonometrisen funktion (`sin x, cos x, tan x` tai` ctg x`) merkin alla, kutsutaan trigonometriseksi yhtälöksi, ja tarkastelemme niiden kaavoja edelleen.

Yksinkertaisimpia yhtälöitä kutsutaan "sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a", missä "x" on löydettävä kulma, "a" on mikä tahansa luku. Kirjoita muistiin jokaisen juurikaava.

1. Yhtälö `sin x \u003d a`.

Sillä `| a |\u003e 1` ei ole ratkaisuja.

Sillä "| a | \\ leq 1`: lla on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ Z: ssä

2. Yhtälö `cos x \u003d a`

Luvulle `| a |\u003e 1` - kuten sinin tapauksessa, sillä ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa.

Sillä "| a | \\ leq 1`: lla on ääretön määrä ratkaisuja.

Juurikaava: "x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ Z: ssä"

Erikoistapauksia sini- ja kosinikaavioissa.

3. Yhtälö `tg x \u003d a`

On ääretön määrä ratkaisuja mihin tahansa a-arvoihin.

Juurikaava: "x \u003d arctan a + \\ pi n, n \\ Z: ssä"

4. Yhtälö "ctg x \u003d a"

Tarjolla on myös ääretön määrä ratkaisuja mihin tahansa a-arvoihin.

Juurikaava: "x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ Z: ssä"

Kaavat trigonometristen yhtälöiden juurille taulukossa

Sinusta varten:
Kosinille:
Tangentti ja kotangentti:
Kaavat käänteisiä trigonometrisiä funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseksi:

Menetelmät trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Ratkaisu mille tahansa trigonometriselle yhtälölle koostuu kahdesta vaiheesta:

• muuntamalla se yksinkertaisimmaksi;
• ratkaise saatu yksinkertaisin yhtälö käyttämällä yllä olevia kirjoitettuja juurikaavoja ja taulukoita.

Katsotaanpa esimerkkejä tärkeimmistä ratkaisumenetelmistä.

Algebrallinen menetelmä.

Tässä menetelmässä tehdään vaihteleva korvaaminen ja korvaaminen tasa-arvona.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0"

"2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0",

teemme muutoksen: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, sitten` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

löydämme juuret: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1 / 2`, josta seuraa kaksi tapausta:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Vastaus: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Factorization.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `sin x + cos x \u003d 1`.

Päätös. Siirrä kaikki yhtälön ehdot vasemmalle: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Vasemman puolen käyttö, muunnos ja tekijä:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0 ',

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0",

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0",

1. `sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctan 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Vastaus: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Ensin sinun on tuotava tämä trigonometrinen yhtälö kahteen tyyppiin:

`a sin x + b cos x \u003d 0` (ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö) tai` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (toisen asteen homogeeninen yhtälö).

Jaa sitten molemmat osat luvulla `cos x \\ ne 0` - ensimmäisessä tapauksessa ja` cos ^ 2 x \\ ne 0` - toisessa. Saamme yhtälöt `tg x`:` a tg x + b \u003d 0` ja `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, jotka on ratkaistava tunnetuilla menetelmillä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: `` 2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Päätös. Kirjoita oikea puoli uudestaan \u200b\u200bseuraavasti: 1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`` 2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d `` sin ^ 2 x + cos ^ 2 x '',

`` 2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x - `` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0 ''

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0 '.

Tämä on toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö, jaamme sen vasen ja oikea puoli `cos ^ 2 x \\ ne 0`, saamme:

`\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0 '

`tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Esitämme korvaavan `tg x \u003d t`, tuloksena` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Tämän yhtälön juuret ovat `t_1 \u003d -2` ja` t_2 \u003d 1`. Sitten:

1. `tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ Z: ssä '
2. `tg x \u003d 1`,` x \u003d arctan 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ Z: ssä '.

Vastaus. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ Z: ssä, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ Z: ssä '

Mene puoleen kulmaan

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: "11 sin x - 2 cos x \u003d 10".

Päätös. Käytä kaksinkertaisen kulman kaavoja tuloksena: `` 22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `` 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 '

`` 4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0 ''

Soveltamalla yllä olevaa algebrallista menetelmää saamme:

1. `tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ Z: ssä ',
2. `tg x / 2 \u003d 3 / 4`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ Z: ssä.

Vastaus. `x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Lisäkulman esittely

Trigonometrisessä yhtälössä "sin x + b cos x \u003d c", jossa a, b, c ovat kertoimia ja x on muuttuja, jaamme molemmat puolet `sqrt (a ^ 2 + b ^ 2):

`\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d '' \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) ".

Vasemman puolen kertoimilla on sinin ja kosinin ominaisuudet, nimittäin niiden neliöiden summa on yhtä suuri kuin 1 ja absoluuttiset arvot eivät ole suurempia kuin 1. Merkitsemme ne seuraavasti: `\\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi`, `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C ', sitten:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Katsotaanpa tarkemmin seuraavaa esimerkkiä:

Esimerkki. Ratkaise yhtälö: '3 sin x + 4 cos x \u003d 2'.

Päätös. Jaa tasa-arvon molemmat puolet luvulla `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) ', saamme:

`\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d '' \\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) "

`` 3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5 ''.

Merkitään "3/5 \u003d cos \\ varphi", "4/5 \u003d sin \\ varphi". Koska `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, otamme apukulmaksi `\\ varphi \u003d arcsin 4 / 5`. Sitten kirjoitamme tasa-arvon muodossa:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5 '

Soveltamalla kaavaa sinin kulmien summalle kirjoitamme tasa-arvon seuraavassa muodossa:

`sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5 ',

`x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ Z: ssä,

`x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 -` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ Z: ssä.

Vastaus. `x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 -` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ Z: ssä.

Murto-rationaaliset trigonometriset yhtälöt

Nämä ovat yhtälöitä murtolukujen kanssa, joilla on trigonometriset funktiot osoittimissa ja nimittäjissä.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. `\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x '.

Päätös. Kerro ja jaa yhtälön oikea puoli luvulla `(1 + cos x) '. Tämän seurauksena saamme:

\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d `` \\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) '

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) '

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) '

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0 '

`\\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0 '

Ottaen huomioon, että nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin nolla, saamme "1 + cos x \\ ne 0", "cos x \\ ne -1", "x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ Z".

Tasaa murto-osan osoitin nollaan: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Sitten `sin x \u003d 0` tai` 1-sin x \u003d 0`.

1. `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ Z: ssä
2. "1-sin x \u003d 0", "sin x \u003d -1", "x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ Z: ssä".

Ottaen huomioon, että `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ Z: ssä ', ratkaisut ovat` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ Z' ja `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ Z: ssä.

Vastaus. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ Z: ssä ', `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ Z: ssä'.

Trigonometriaa ja erityisesti trigonometrisiä yhtälöitä käytetään melkein kaikilla geometrian, fysiikan, tekniikan aloilla. Opiskelu alkaa luokassa 10, tentille on ehdottomasti tehtäviä, joten yritä muistaa kaikki trigonometristen yhtälöiden kaavat - ne ovat ehdottomasti hyödyllisiä!

Sinun ei kuitenkaan tarvitse edes muistaa niitä, tärkeintä on ymmärtää ydin ja pystyä päättelemään. Se ei ole niin vaikeaa kuin miltä se kuulostaa. Katso itse katsomalla video.

Edellyttää tietoa trigonometrian peruskaavoista - sinin ja kosinin neliöiden summasta, tangentin ilmaisemisesta sinin ja kosinin kautta ja muista. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Joten tiedämme trigonometriset peruskaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen oikealla lähestymistavalla se on varsin jännittävä toiminta, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On niin kutsuttuja yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä. Näin he näyttävät: sinx \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a. Harkitse kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, selvyyden vuoksi käytämme jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx \u003d a

cos x \u003d a

tg x \u003d a

pinnasänky x \u003d a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan \u200b\u200bkahdessa vaiheessa: saatamme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoon ja sitten ratkaisemme sen yksinkertaisimpana trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

1. Vaihteleva korvaaminen ja korvaamismenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

Pelkistyskaavoja käyttämällä saadaan:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Korvaa cos (x + / 6) y: llä yksinkertaisuuden vuoksi ja saat tavallisen asteen yhtälön:

2v 2-3v + 1 + 0

Kenen juuret y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Mennään nyt päinvastaisessa järjestyksessä

Korvataan löydetyt y-arvot ja saamme kaksi vastausta:

2. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöillä

Kuinka ratkaista yhtälö sin x + cos x \u003d 1?

Siirrä kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x - 1 \u003d 0

Käytämme yllä olevia identiteettejä yksinkertaistamaan yhtälöä:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

Teemme factoring:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Saamme kaksi yhtälöä

3. Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen termit sinin ja kosinin suhteen ovat saman kulman sama voima. Ratkaise homogeeninen yhtälö seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenet vasemmalle puolelle;

b) poistaa sulkeista kaikki yleiset tekijät;

c) yhtälö kaikki tekijät ja suluet arvoon 0;

d) sulkeissa saadaan pienemmän asteen homogeeninen yhtälö, joka puolestaan \u200b\u200bjaetaan korkeimmalla tasolla siniksi tai kosiniksi;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg: lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 ja päästään eroon oikealla olevista avoimista kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

Jaa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 \u003d 0

Korvaa tg x y: llä ja saat neliöllisen yhtälön:

y 2 + 4y +3 \u003d 0, jonka juuret y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

Täältä löydät kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 \u003d arctan 3 + k

4. Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymällä puolikulmaan

Ratkaise yhtälö 3sin x - 5cos x \u003d 7

Siirtyminen kohtaan x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Siirrä kaikki vasemmalle:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Jaa cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 \u003d 0

5. Lisäkulman esittely

Harkittavaksi otamme muodon yhtälön: sin x + b cos x \u003d c,

missä a, b, c ovat joitain mielivaltaisia \u200b\u200bkertoimia, ja x: tä ei tunneta.

Jaa yhtälön molemmat puolet:



Nyt yhtälön kertoimilla trigonometristen kaavojen mukaan on sinin ja cos: n ominaisuudet, nimittäin: niiden moduuli on enintään 1 ja neliöiden summa \u003d 1. Merkitään ne vastaavasti cos: ksi ja siniksi, missä on niin kutsuttu apukulma. Sitten yhtälö on muotoa:

cos * sin x + sin * cos x \u003d С

tai sin (x +) \u003d C

Ratkaisu tähän yksinkertaisimpaan trigonometriseen yhtälöön on

x \u003d (-1) k * arcsin С - + k, missä



Huomaa, että cos ja sin käytetään keskenään.

Ratkaise yhtälö sin 3x - cos 3x \u003d 1

Tässä yhtälössä kertoimet ovat:

a \u003d, b \u003d -1, joten jaamme molemmat puolet \u003d 2: lla

Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen.

Minkä tahansa monimutkaisuustason trigonometristen yhtälöiden ratkaisu tulee lopulta yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Ja tässä trigonometrinen ympyrä osoittautuu jälleen parhaaksi auttajaksi.

Muistakaamme kosinin ja sinin määritelmät.

Kulman kosini on yksikköympyrän pisteen abscissa (ts. Koordinaatti akselin suuntaisesti), joka vastaa tietyn kulman kiertymistä.

Kulman sini on yksikköympyrän pisteen ordinaatti (ts. Koordinaatti pitkin akselia), joka vastaa tietyn kulman kiertymistä.

Trigonometrisen ympyrän positiivinen liikesuunta on vastapäivään. Kierto 0 astetta (tai 0 radiaania) vastaa pistettä koordinaateilla (1; 0)

Käytämme näitä määritelmiä yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1. Ratkaistaan \u200b\u200byhtälö

Tämä yhtälö täyttyy kaikilla sellaisilla kiertokulman arvoilla, jotka vastaavat ympyrän pisteitä, joiden ordinaatti on sama.

Merkitään ordinaatin akselille piste ordinaatilla:

Piirretään vaakasuora viiva, joka on yhdensuuntainen abscissa-akselin kanssa, kunnes se leikkaa ympyrän kanssa. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on ordinaatti. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia radiaaneilla:

Jos jätämme radiaanien kiertokulmaa vastaavan pisteen kiertämällä koko ympyrän, niin tulemme pisteeseen, joka vastaa radiaanien kiertokulmaa ja jolla on sama ordinaatti. Eli tämä kiertokulma tyydyttää myös yhtälömme. Voimme tehdä niin monta "tyhjäkäyntiä" kuin haluamme, palaten samaan pisteeseen, ja kaikki nämä kulmien arvot tyydyttävät yhtälömme. "Tyhjäkäynnin" kierrosten määrä merkitään kirjaimella (tai). Koska voimme tehdä nämä kierrokset sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan, (tai) voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun.

Toisin sanoen ensimmäisen sarjan ratkaisuja alkuperäiselle yhtälölle on muoto:

,, on kokonaislukujoukko (1)

Samoin toinen ratkaisusarja on:

, missä,. (2)

Kuten olet ehkä arvannut, tämä ratkaisusarja perustuu ympyrän pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa.

Nämä kaksi ratkaisusarjaa voidaan yhdistää yhdeksi merkinnäksi:

Jos otamme tämän tietueen (eli tasaisen), saamme ensimmäisen sarjan ratkaisuja.

Jos otamme tämän tietueen (toisin sanoen pariton), niin saamme toisen sarjan ratkaisuja.

2. Ratkaistaan \u200b\u200bnyt yhtälö

Koska yksikköympyrän pisteen abscissa saadaan kiertämällä kulmalla, merkitse piste absissilla akselille:

Piirrä pystysuora viiva akselin suuntaisesti, kunnes se leikkaa ympyrän kanssa. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on absessi. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia radiaaneilla. Muistakaa, että myötäpäivään liikkuessamme saat negatiivisen kiertokulman:

Kirjoitetaan kaksi ratkaisusarjaa:

,

,

(Saavumme haluttuun pisteeseen, kulkemalla pääympyrästä eli.

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi merkinnäksi:

3. Ratkaise yhtälö

Tangenttiviiva kulkee pisteen läpi OY-akselin suuntaisen yksikköympyrän koordinaateilla (1,0)

Merkitään siihen piste ordinaatilla, joka on yhtä suuri (etsimme tangenttia, jonka kulmat ovat 1):

Yhdistetään tämä piste suoralla viivalla olevien koordinaattien alkupisteeseen ja merkitään suoran ja ympyrän leikkauspisteet. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet vastaavat kiertokulmia ja:

Koska yhtälömme tyydyttävät kiertokulmia vastaavat pisteet sijaitsevat radiaanien etäisyydellä toisistaan, voimme kirjoittaa ratkaisun tällä tavalla:

4. Ratkaise yhtälö

Kotangenttien viiva kulkee pisteen läpi siten, että yksikköympyrän koordinaatit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa.

Merkitään kotangenttien riville piste, jolla on abscissa -1:

Yhdistetään tämä piste suoran koordinaattien alkupisteeseen ja jatketaan sitä ympyrän leikkauspisteeseen. Tämä viiva leikkaa ympyrän pisteissä, jotka vastaavat kiertokulmia radiaaneina:

Koska nämä pisteet ovat etäisyydellä toisistaan, voimme kirjoittaa tämän yhtälön yleisen ratkaisun seuraavasti:

Annetuissa esimerkeissä, jotka kuvaavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, käytettiin trigonometristen funktioiden taulukon arvoja.

Jos yhtälön oikealla puolella ei kuitenkaan ole taulukkoarvoa, korvataan arvo yhtälön yleisessä ratkaisussa:

ERITYISET RATKAISUT:

Huomaa ympyrään pisteet, joiden ordinaatti on yhtä suuri kuin 0:

Merkitään ympyrään yksi piste, jonka ordinaatti on yhtä suuri kuin 1:

Merkitään ympyrään yksi piste, jonka ordinaatti on -1:

Koska on tapana ilmoittaa arvot, jotka ovat lähinnä nollaa, kirjoitamme ratkaisun seuraavasti:

Huomaa ympyrälle pisteet, joiden absissi on yhtä suuri kuin 0:

5.
Merkitään ympyrään ainoa piste, jonka absissi on yhtä suuri kuin 1:

Merkitään ympyrään ainoa piste, jonka absissi on -1:

Ja hieman monimutkaisempia esimerkkejä:

1.

Sinus on yksi, jos argumentti on

Sinusi argumentti on yhtä suuri, joten saamme:

Jaa tasa-arvon molemmat puolet 3: lla:

Vastaus:

2.

Kosini on nolla, jos kosinin argumentti on

Kosinin argumentti on sama, joten saamme:

Ilmaiskaamme, tätä varten siirrymme ensin oikealle päinvastaisella merkillä:

Yksinkertaistetaan oikea puoli:

Jaa molemmat osat -2: llä:

Huomaa, että merkki ei muutu termin edessä, koska k voi ottaa minkä tahansa kokonaisluvun.

Vastaus:

Ja lopuksi, katso video-opetusohjelma "Juurien valitseminen trigonometrisessä yhtälössä trigonometrisen ympyrän avulla"

Tämä päättää keskustelun yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta. Seuraavan kerran puhumme miten ratkaista.

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisun käsite.

• Ratkaise trigonometrinen yhtälö muuntamalla se yhdeksi tai useammaksi trigonometriseksi perusyhtälöksi. Trigonometrisen yhtälön ratkaiseminen tulee lopulta neljän trigonometrisen perusyhtälön ratkaisemiseen.