Online-laskin.
Binomiaalin neliön valinta ja neliötrinomiaalin jako.

Nuo. ongelmat vähenevät numeroiden \\ (p, q \\) ja \\ (n, m \\) löytämiseen

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan myös näyttää ratkaisuprosessin.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukion vanhemmille opiskelijoille valmistautuessaan kokeisiin ja tentteihin, kun he tarkistavat tietoja ennen tenttiä, vanhempien hallita monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä on liian kallista opettajan palkkaaminen tai uusien oppikirjojen ostaminen? Vai haluatko vain suorittaa matematiikan tai algebran kotitehtävät mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavoin voit suorittaa oman opetuksesi ja / tai nuorempien veljiesi tai sisartesi opetuksen samalla, kun koulutustaso ratkaistavien ongelmien alalla nousee.

Jos et ole perehtynyt neliön muotoisen trinomiaalin syöttämistä koskeviin sääntöihin, suosittelemme, että tutustut niihin.

Neliön muotoisen polynomin syöttämistä koskevat säännöt

Mitä tahansa latinankielistä kirjainta voidaan käyttää muuttujana.
Esimerkiksi: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaisina tai murtoina.
Lisäksi murtoluvut voidaan syöttää paitsi desimaalin muodossa myös tavallisen murto-osan muodossa.

Desimaalimurtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaaliosissa murto-osa kokonaisuudesta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaaleja seuraavasti: 2,5x - 3,5x ^ 2

Säännöt tavallisten murtolukujen syöttämisestä.
Vain kokonaislukua voidaan käyttää osoittajana, nimittäjänä ja murto-osan kokonaisena osana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Numeromurtoa syötettäessä osoitin erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Koko osa erotetaan murto-osasta tähdellä: &
Tulo: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Tulos: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) x + \\ frac (1) (7) x ^ 2 \\)

Kun kirjoitat lauseketta kiinnikkeitä voidaan käyttää... Tässä tapauksessa ratkaistessa syötetty lauseke yksinkertaistetaan ensin.
Esimerkiksi: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Esimerkki yksityiskohtaisesta ratkaisusta

Binomiaalin neliön valinta. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ oikeanpuoleinen a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$ $$ 2x ^ 2 +2 \\ cdot 2 \\ cdot \\ left ( \\ frac (1) (2) \\ right) \\ cdot x + 2 \\ cdot \\ left (\\ frac (1) (2) \\ right) ^ 2- \\ frac (9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ vasen (x ^ 2 + 2 \\ cdot \\ left (\\ frac (1) (2) \\ oikea) \\ cdot x + \\ left (\\ frac (1) (2) \\ oikea) ^ 2 \\ oikea) - \\ frac ( 9) (2) \u003d $$ $$ 2 \\ vasen (x + \\ frac (1) (2) \\ oikea) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Vastaus: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ vasen (x + \\ frac (1) (2) \\ oikea) ^ 2- \\ frac (9) (2) $$ Factorization. $$ ax ^ 2 + bx + c \\ oikealle a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d $$
$$ 2 \\ vasen (x ^ 2 + x-2 \\ oikea) \u003d $$
$$ 2 \\ left (x ^ 2 + 2x-1x-1 \\ cdot 2 \\ right) \u003d $$ $$ 2 \\ left (x \\ left (x +2 \\ right) -1 \\ left (x +2 \\ right) ) \\ oikea) \u003d $$ $$ 2 \\ vasen (x -1 \\ oikea) \\ vasen (x +2 \\ oikea) $$ Vastaus: $$ 2x ^ 2 + 2x-4 \u003d 2 \\ vasen (x -1 \\ oikea) \\ vasen (x +2 \\ oikea) $$

Todettiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, ja ohjelma ei välttämättä toimi.
Ehkä sinulla on AdBlock käytössä.
Poista tällöin se käytöstä ja päivitä sivu.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu näkyy alla.
Odota, ole hyvä sek ...

Jos sinä huomasi virheen päätöksessä, sitten voit kirjoittaa tästä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoita mikä tehtävä sinä päätät ja mitä kirjoita kenttiin.

Pelimme, palapelit, emulaattorit:

Hieman teoriaa.

Neliömäisen binomin poimiminen neliönmuotoisesta kolmiosasta

Jos neliön muotoinen kolmiulotteinen akseli 2 + bx + c on esitetty muodossa a (x + p) 2 + q, missä p ja q ovat todellisia lukuja, niin neliön trinomi neliön binomi.

Valitse trinomiaalista 2x 2 + 12x + 14 binomiaalin neliö.

\\ (2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \\)

Tätä varten edustamme 6x: tä 2 * 3 * x: n tulona ja sitten lisätään ja vähennetään 3 2. Saamme:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) \u003d $$ $$ \u003d 2 ((x + 3) ^ 2-2) \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Niin me erotti neliön binomin neliön kolmiosastaja osoittavat, että:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 \u003d 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Neliömäisen kolmiomaisen laskeminen

Jos neliön muotoinen kolmiulotteinen akseli 2 + bx + c on esitetty muodossa (x + n) (x + m), jossa n ja m ovat reaalilukuja, operaation sanotaan suoritetun neliön kolmiulotteinen jako.

Näytetään esimerkillä, miten tämä muutos tapahtuu.

Kerro neliön muotoinen trinomi 2x 2 + 4x-6.

Otetaan kerroin a suluista, ts. 2:
\\ (2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x ^ 2 + 2x-3) \\)

Muunnamme sulkeissa olevan lausekkeen.
Tätä varten edustamme 2x erona 3x-1x ja -3 -1 * 3. Saamme:
$$ \u003d 2 (x ^ 2 + 3 \\ cdot x -1 \\ cdot x -1 \\ cdot 3) \u003d 2 (x (x + 3) -1 \\ cdot (x + 3)) \u003d $$
$$ \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Niin me kerroin neliön trinomija osoittavat, että:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 \u003d 2 (x-1) (x + 3) $$

Huomaa, että neliöllisen trinomiaalin factoring on mahdollista vain, jos tätä trinomiaalia vastaavalla asteen yhtälöllä on juuret.
Nuo. meidän tapauksessamme trinomiaalin 2x2 + 4x-6 kerroin on mahdollista, jos toisen asteen yhtälöllä 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 on juuret. Faktorointiprosessissa havaitsimme, että yhtälöllä 2x 2 + 4x-6 \u003d 0 on kaksi juurta 1 ja -3, koska Näille arvoille yhtälöstä 2 (x-1) (x + 3) \u003d 0 tulee todellinen tasa-arvo.

Mitä factoring? Tämä on tapa muuttaa hankala ja monimutkainen esimerkki yksinkertaiseksi ja söpöksi.) Erittäin tehokas temppu! Sitä esiintyy jokaisessa vaiheessa sekä perusmatematiikassa että ylemmässä matematiikassa.

Tällaisia \u200b\u200bmatemaattisen kielen muunnoksia kutsutaan identtisiksi lausekkeiden muunnoksiksi. Kuka ei ole aiheessa - kävele linkillä. On hyvin vähän, yksinkertaista ja hyödyllistä.) Kaikkien identtisten muunnosten tarkoitus on kirjoittaa lauseke toisessa muodossa säilyttäen sen olemuksen.

Tarkoitus tekijä erittäin yksinkertainen ja suoraviivainen. Suoraan nimestä itsestään. Voit unohtaa (tai et tiedä) mikä kerroin on, mutta pystytkö selvittämään, että tämä sana tulee sanasta "kerro"?) Factoring tarkoittaa: edustavat ilmaisua kertomalla jotain jollakin. Kyllä, anna anteeksi matematiikka ja venäjän kieli ...) Ja siinä kaikki.

Sinun on esimerkiksi laajennettava lukua 12. Voit kirjoittaa turvallisesti:

Joten esitimme luvun 12 kertomalla 3 luvulla 4. Huomaa, että oikealla olevat numerot (3 ja 4) ovat täysin erilaiset kuin vasemmalla (1 ja 2). Mutta me ymmärrämme täydellisesti, että 12 ja 3 4 sama. Luvun 12 ydin muuntamisesta ei ole muuttunut.

Onko mahdollista hajottaa 12 eri tavalla? Helposti!

12 \u003d 3 4 \u003d 2 6 \u003d 3 2 2 \u003d 0,5 24 \u003d ........

Hajoamisvaihtoehdot ovat rajattomat.

Lukujen laskeminen on hyödyllinen asia. Se auttaa paljon esimerkiksi juurien käsittelyssä. Mutta algebrallisten lausekkeiden huomioon ottaminen ei ole hyödyllistä, se on - välttämätöntä! Vain esimerkiksi:

Yksinkertaistaa:

Ne, jotka eivät osaa ilmaisua huomioida, ovat sivussa. Kuka tietää kuinka - yksinkertaistaa ja saa:

Vaikutus on hämmästyttävä, eikö?) Muuten, ratkaisu on melko yksinkertainen. Näet itse alla. Tai esimerkiksi tällainen tehtävä:

Ratkaise yhtälö:

x 5 - x 4 \u003d 0

Muuten se päätetään mielessä. Kertoimen käyttäminen. Alla ratkaistaan \u200b\u200btämä esimerkki. Vastaus: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.

Tai sama asia, mutta vanhemmille):

Ratkaise yhtälö:

Näiden esimerkkien avulla olen osoittanut päätarkoitus factoring: yksinkertaista murtolausekkeita ja ratkaise eräitä yhtälötyyppejä. Suosittelen muistaa nyrkkisääntö:

Jos kohtaamme kauhean murto-osion, voit yrittää laskea osoittajan ja nimittäjän tekijöiksi. Hyvin usein murto-osaa lyhennetään ja yksinkertaistetaan.

Jos edessämme on yhtälö, jossa oikealla on nolla, ja vasemmalla - en ymmärrä mitä, voit yrittää laskea vasemman puolen tekijöiksi. Joskus se auttaa).

Factoring-menetelmät.

Tässä on suosituimpia tapoja:

4. Neliön muotoisen trinomiaalin hajoaminen.

Nämä menetelmät on muistettava. Tässä järjestyksessä. Monimutkaiset esimerkit tarkistetaan kaikkiin mahdollisiin hajoamistapoihin. Ja on parempi tarkistaa järjestyksessä, jotta et sekaannu ... Aloitetaan siis järjestyksessä.)

1. Yhteisen tekijän poistaminen suluista.

Yksinkertainen ja luotettava tapa. Se ei koskaan satuta! Se tapahtuu joko hyvin tai ei.) Siksi hän on ensimmäinen. Ymmärtäminen.

Kaikki tietävät (uskon!)) Sääntö:

a (b + c) \u003d ab + ac

Tai yleisemmin:

a (b + c + d + .....) \u003d ab + ac + ad + ....

Kaikki tasa-arvot toimivat vasemmalta oikealle ja päinvastoin oikealta vasemmalle. Sinä voit kirjoittaa:

ab + ac \u003d a (b + c)

ab + ac + ad + .... = a (b + c + d + .....)

Se on koko asia ottaa yhteinen tekijä pois sulkeista.

Vasemmalla puolella ja - yhteinen tekijä kaikille ehdoille. Kerrotaan kaikella, mikä on). Oikealla on eniten ja on jo sulkujen ulkopuolella.

Harkitsemme esimerkin avulla menetelmän käytännön soveltamista. Aluksi vaihtoehto on yksinkertainen, jopa primitiivinen.) Mutta tässä vaihtoehdossa merkitsen (vihreällä) erittäin tärkeät kohdat kaikille tekijöille.

Factorize:

ah + 9x

Kumpi yleinen kerroin istuu molemmilla termeillä? X, tietysti! Otamme sen pois suluista. Me teemme tämän. Kirjoitamme X välittömästi suluiden ulkopuolelle:

kirves + 9x \u003d x (

Ja sulkeisiin kirjoitamme jaon tuloksen jokainen termi juuri tällä x: llä. Järjestyksessä:

Siinä kaikki. Tietenkään ei tarvitse kuvata niin yksityiskohtaisesti, tämä tehdään mielessä. Mutta ymmärtää mikä on, on toivottavaa. Korjaamme muistiin:

Kirjoitamme yhteisen tekijän sulkeiden ulkopuolelle. Suluihin kirjoitamme tulokset kaikkien termien jakamisesta tällä hyvin yleisellä tekijällä. Järjestyksessä.

Joten laajensimme ilmaisua ah + 9x tekijöittäin. Muutti sen kertomalla x luvulla (a + 9). Huomaa, että alkuperäinen lauseke sisälsi myös kertolaskun, jopa kaksi: a x ja 9 x. Mutta se ei ole otettu huomioon! Koska kertomisen lisäksi tämä lauseke sisälsi myös lisäyksen, "+" -merkin! Ja ilmaisussa x (a + 9) paitsi kertolasku ei ole mitään!

Kuinka niin !? - Kuulen ihmisten suuttuneen äänen - Ja suluissa!?)

Kyllä, sulkeissa on lisäyksiä. Mutta temppu on, että vaikka sulkeita ei paljasteta, pidämme niitä yhtenä kirjaimena. Ja teemme kaikki toimet suluilla, kuten yhdellä kirjeellä. Tässä mielessä ilmaisussa x (a + 9) paitsi kertolasku ei ole mitään. Tämä on koko tekijä.

Muuten, onko mahdollista jotenkin tarkistaa, teimmekö kaikki oikein? Helppo! Riittää, kun kerrot takaisin sen, mikä on otettu (x) suluilla, ja katsotaan, toimiiko se varhainen ilmaisu? Jos se toimii, kaikki on tip-top!)

x (a + 9) \u003d kirves + 9x

Tapahtui.)

Tässä primitiivisessä esimerkissä ei ole mitään ongelmaa. Mutta jos on olemassa useita lisäyksiä ja jopa erilaisilla merkeillä ... Lyhyesti sanottuna joka kolmas opiskelija sekaantuu). Siksi:

Tarvittaessa tarkista kerroin käänteiskertoimella.

Factorize:

3x + 9x

Etsimme yhteistä tekijää. No, kaikki on selvää X: n kanssa, voit kestää sen. Onko siellä enemmän yleinen tekijä? Joo! Tämä on kolme. Voit kirjoittaa lausekkeen näin:

3x + 3 3x

Täällä voit heti nähdä, että yhteinen tekijä tulee olemaan 3x... Tässä otamme sen pois:

3ax + 3 3x \u003d 3x (a + 3)

He asettivat sen.

Ja mitä tapahtuu, jos kestät vain x? Ei mitään erityistä:

3x + 9x \u003d x (3a + 9)

Tämä on myös tekijä. Mutta tässä kiehtovassa prosessissa on tapana sijoittaa kaikki, kunnes se pysähtyy, kunhan vain on mahdollisuus. Täällä suluissa on mahdollisuus ottaa kolmikko. Se osoittautuu:

3ax + 9x \u003d x (3a + 9) \u003d 3x (a + 3)

Sama asia, vain yhdellä ylimääräisellä toiminnolla.) Muista:

Kun otamme yhteisen tekijän suluista, yritämme poistaa maksimi yhteinen tekijä.

Jatkammeko hauskaa?)

Tekijän lauseke:

3ax + 9x-8a-24

Mitä me kestämme? Kolme, X? Ei ... Et voi. Muistutan, että voit vain kestää yleinen kerroin eli kaikkiaanilmaisun ehdot. Siksi hän yleinen. Täällä ei ole tällaista kerrointa ... Mitä, et voi laajentaa!? No, kyllä, olimme tietysti iloisia ... Tapaa:

2. Ryhmittely.

Itse asiassa ryhmittelyä tuskin voidaan kutsua itsenäiseksi keinoksi factoringiksi. Pikemminkin se on tapa päästä eroon monimutkaisesta esimerkistä.) Sinun on ryhmiteltävä termit niin, että kaikki toimii. Tämä voidaan näyttää vain esimerkillä. Joten, edessämme on ilmaus:

3ax + 9x-8a-24

Voidaan nähdä, että on olemassa joitain yleisiä kirjaimia ja numeroita. Mutta... Yleisestä ei ole mitään tekijää olla kaikissa termeissä. Emme menetä sydäntäsi ja hajota ilmaisu palasiksi. Ryhmätään. Joten jokaisessa kappaleessa oli yhteinen tekijä, oli jotain vietävää. Kuinka voimme rikkoa sen? Kyllä, laita vain suluet.

Haluan muistuttaa, että sulkeet voidaan sijoittaa mihin tahansa ja millä tahansa tavalla. Jos vain esimerkin ydin ei muuttunut. Voit esimerkiksi tehdä tämän:

3ax + 9x-8a-24=(3x + 9x) - (8a + 24)

Kiinnitä huomiota toisiin suluihin! Niiden edessä on miinusmerkki, ja 8a ja 24 tulla positiiviseksi! Jos tarkastuksia varten avaa kannattimet takaisin, merkit muuttuvat, ja saamme varhainen ilmaisu. Nuo. sulkeissa olevan lausekkeen ydin ei ole muuttunut.

Mutta jos juutut vain sulkeisiin ottamatta huomioon esimerkiksi merkin muutosta, näin:

3ax + 9x-8a-24=(3x + 9x) - (8a-24 )

se on virhe. Aivan - jo muut ilmaisu. Avaa kannattimet ja kaikki tulee näkyviin. Sinun ei tarvitse päättää enempää, kyllä \u200b\u200b...)

Mutta takaisin faktorointiin. Katsomme ensimmäisiä sulkeita (3x + 9x) ja ajattelemme, voimmeko kestää mitään? No, ratkaisimme tämän esimerkin yllä, voit ottaa pois 3x:

(3x + 9x) \u003d 3x (a + 3)

Tutkimme toisia hakasulkeita, joista voit poistaa kahdeksan:

(8a + 24) \u003d 8 (a + 3)

Koko ilmeemme osoittautuu:

(3x + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Factorized? Ei. Hajoamisen pitäisi johtaa vain kertolasku, ja miinusmerkkimme pilaa kaiken. Mutta ... Molemmilla termeillä on yhteinen tekijä! se (a + 3)... Ei turhaan sanoin, että koko suluissa on kuin yksi kirjain. Tämä tarkoittaa, että nämä suluet voidaan poistaa kannattimista. Kyllä, se kuulostaa tarkalleen.)

Teemme kuten edellä on kuvattu. Kirjoitamme yhteisen tekijän (a + 3), toiseen sulkeeseen kirjoitamme tulokset jakamalla termit (a + 3):

3x (a + 3) -8 (a + 3) \u003d (a + 3) (3x-8)

Kaikki! Oikealla ei ole muuta kuin kertolasku! Joten factoring on onnistunut!) Tässä se on:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Toistetaan lyhyesti ryhmittelyn ydin.

Jos lauseke ei sisällä yleinen kerroin kaikista termeillä, rikkomme lausekkeen sulkeilla siten, että suluissa on yhteinen tekijä oli. Otamme sen ulos ja katsotaan, mitä tapahtui. Jos olet onnekas ja suluissa on täsmälleen samat ilmaisut, siirrä nämä suluet sulkujen ulkopuolelle.

Lisään, että ryhmittely on luova prosessi). Se ei aina toimi ensimmäistä kertaa. Ei mitään väärin. Joskus sinun on vaihdettava termien paikkaa, harkittava erilaisia \u200b\u200bvaihtoehtoja ryhmittelyyn, kunnes löydät onnistuneen. Tärkeintä tässä on olla menettämättä sydäntä!)

Esimerkkejä.

Nyt, kun olet rikastunut tietoon, voit ratkaista hankalia esimerkkejä.) Oppitunnin alussa näitä oli kolme ...

Yksinkertaistaa:

Itse asiassa olemme jo ratkaisseet tämän esimerkin. En tiedä.) Haluan muistuttaa teitä: jos meille annetaan kauhea murto-osa, yritämme laskea osoitin ja nimittäjä. Muut yksinkertaistamisvaihtoehdot yksinkertaisesti ei.

No, nimittäjä tässä ei laajene, mutta osoittaja ... Olemme jo laajentaneet osoitinta oppitunnin aikana! Kuten tämä:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Laajennuksen tulos kirjoitetaan murto-osan osoittajaan:

Murtolukujen vähentämisen säännön (murtoluvun pääominaisuus) mukaan voimme jakaa (samanaikaisesti!) Osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla tai lausekkeella. Murtoluku tästä ei muutu. Joten jaamme osoittaja ja nimittäjä lausekkeella (3x-8)... Ja täällä ja siellä saamme sellaisia. Yksinkertaistamisen lopputulos on:

Haluan korostaa, että murto-osan pienentäminen on mahdollista lausekkeiden kertomisen lisäksi vain ja vain osoittajassa ja nimittäjässä. ei ole mitään. Siksi summan (eron) muuttuminen kertolasku niin tärkeä yksinkertaistamisen kannalta. Tietenkin, jos ilmaisut eri, silloin mitään ei vähennetä. Tietysti. Mutta factoring antaa mahdollisuuden. Tätä mahdollisuutta ilman rappeutumista ei yksinkertaisesti ole olemassa.

Esimerkki yhtälöstä:

Ratkaise yhtälö:

x 5 - x 4 \u003d 0

Otamme pois yhteisen tekijän x 4 sulkujen ulkopuolella. Saamme:

x 4 (x-1) \u003d 0

Katsomme, että tekijöiden tulo on nolla silloin ja vasta sitten, kun jokin niistä on nolla. Jos olet epävarma, etsi minulle muutama nollasta poikkeava luku, joka kerrottuna antaa nollan.) Joten kirjoitamme ensin ensimmäisen tekijän:

Tällä tasa-arvolla toinen tekijä ei häiritse meitä. Kuka tahansa voi olla, loppujen lopuksi se osoittautuu nollaksi. Ja mikä luku nollan neljännessä voimassa antaa? Vain nolla! Eikä mitään muuta ... Joten:

Olemme selvittäneet ensimmäisen tekijän, löytäneet yhden juuren. Käsittelemme toista tekijää. Nyt emme välitä ensimmäisestä tekijästä.):

Joten löysimme ratkaisun: x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1... Mikä tahansa näistä juurista sopii yhtälöömme.

Erittäin tärkeä huomautus. Huomaa, että ratkaisimme yhtälön pala palalta! Jokainen tekijä asetettiin nollaksi, muut tekijät huomiotta. Muuten, jos tällaisessa yhtälössä ei ole kahta tekijää, kuten meillä on, vaan kolme, viisi, niin monta kuin haluat, ratkaisemme samanlainen. Pala palalta. Esimerkiksi:

(x-1) (x + 5) (x-3) (x + 2) \u003d 0

Se, joka avaa sulkeet, kertoo kaiken, hän ripustuu ikuisesti tähän yhtälöön.) Oikea opiskelija näkee heti, että vasemmalla ei ole mitään muuta kuin kertolasku, oikealla - nolla. Ja se alkaa (mielessä!) Yhdistää kaikki sulut järjestyksessä nollaan. Ja hän saa (10 sekunnissa!) Oikean ratkaisun: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x 4 \u003d -2.

Hienoa, eikö olekin?) Tällainen tyylikäs ratkaisu on mahdollista, jos yhtälön vasen puoli tekijä. Onko vihje selkeä?)

Viimeinen esimerkki vanhemmille):

Ratkaise yhtälö:

Se on jotenkin samanlainen kuin edellinen, luuletko?) Tietenkin. On aika muistaa, että seitsemännen luokan algebrassa kirjaimet voivat piilottaa sinit, logaritmit ja mitä haluat! Factoring toimii kaikessa matematiikassa.

Otamme pois yhteisen tekijän lg 4 x sulkujen ulkopuolella. Saamme:

lg 4 x \u003d 0

Tämä on yksi juuri. Käsittelemme toista tekijää.

Tässä on viimeinen vastaus: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d 10.

Toivon, että olet ymmärtänyt factoringin voiman yksinkertaistamalla murto-osia ja ratkaisemalla yhtälöitä.)

Tässä oppitunnissa opimme yhteisestä factoringista ja ryhmittelystä. Vielä on selvitettävä kaavat lyhennetylle kertolaskulle ja neliönmuotoiselle trinomiaalille.

Jos pidät tästä sivustosta ...

Muuten, minulla on pari mielenkiintoisempaa sivustoa sinulle.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Välitön validointitestaus. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Algebran käsitteet "polynomi" ja "polynomin tekijöiksi jakaminen tekijöiksi" ovat hyvin yleisiä, koska sinun on tiedettävä ne, jotta voit helposti suorittaa laskutoimituksia suurilla moninumeroisilla numeroilla. Tässä artikkelissa kuvataan useita hajotustapoja. Ne kaikki ovat melko yksinkertaisia \u200b\u200bkäyttää, sinun tarvitsee vain valita oikea kussakin tapauksessa.

Polynomikonsepti

Polynomi on monomeelien summa, toisin sanoen lausekkeet, jotka sisältävät vain kertolaskuoperaation.

Esimerkiksi 2 * x * y on monomi, mutta 2 * x * y + 25 on polynomi, joka koostuu kahdesta monomaliasta: 2 * x * y ja 25. Tällaisia \u200b\u200bpolynomeja kutsutaan binomisiksi.

Joskus moniarvoisilla arvoilla olevien esimerkkien ratkaisemisen helpottamiseksi lauseke on muunnettava, esimerkiksi hajotettava useiksi tekijöiksi, toisin sanoen numeroiksi tai lausekkeiksi, joiden välillä kertotoiminto suoritetaan. Polynomin laskemisessa on useita tapoja. On syytä harkita niitä aloittamalla alkeellisimmalla, jota käytetään jopa peruskouluissa.

Ryhmittely (yleinen tallennus)

Kaava polynomin hajottamiseksi tekijöiksi ryhmittelemällä yleensä näyttää tältä:

ac + bd + bc + ad \u003d (ac + bc) + (ad + bd)

Monomiaalit on tarpeen ryhmitellä siten, että kussakin ryhmässä näkyy yhteinen tekijä. Ensimmäisessä sulussa se on kerroin c, ja toisessa se on d. Tämä on tehtävä, jotta se voidaan sijoittaa sulkeiden ulkopuolelle, mikä yksinkertaistaa laskelmia.

Hajoamisalgoritmi tietylle esimerkille

Yksinkertaisin esimerkki polynomin jakamisesta tekijöiksi ryhmittelemällä on esitetty alla:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Ensimmäisessä sulussa sinun on otettava ehdot tekijälle a, joka on yleinen, ja toisessa - tekijällä b. Huomaa + ja - merkit valmiissa lausekkeessa. Laitamme monomeen eteen merkin, joka oli alkuperäisessä lausekkeessa. Eli sinun ei tarvitse työskennellä lausekkeen 25a, vaan lausekkeen -25 kanssa. Miinusmerkki on kuin "kiinni" sen takana olevasta ilmaisusta ja ota se aina huomioon laskelmissa.

Seuraavassa vaiheessa sinun on poistettava yleinen tekijä sulkeiden ulkopuolella. Tätä varten ryhmittely on tarkoitettu. Suluista poistaminen tarkoittaa sitä, että kirjoitetaan sulkeiden eteen (kertolasku pois jättämällä) kaikki ne tekijät, jotka toistetaan tarkasti kaikilla suluissa olevilla termeillä. Jos sulkeissa ei ole 2, vaan 3 tai enemmän termejä, yhteisen tekijän on oltava jokaisessa niistä, muuten sitä ei voida poistaa suluista.

Meidän tapauksessamme - vain 2 termiä sulkeissa. Yhteinen tekijä on heti näkyvissä. Ensimmäinen sulku on a, toinen on b. Tässä sinun on kiinnitettävä huomiota digitaalisiin kertoimiin. Ensimmäisessä sulkussa molemmat kertoimet (10 ja 25) ovat kerrannaisia \u200b\u200b5. Tämä tarkoittaa, että paitsi a, myös 5a voidaan poistaa kannattimesta. Kirjoita 5a sulkujen eteen ja jaa sitten sulkeissa olevat termit pois otetulla yhteisellä tekijällä.Kirjoita myös suluissa oleva osamäärä unohtamatta merkkejä + ja - Tee sama toisen sulun kanssa, ota pois 7b sekä 14 ja 35 7: n kerrannaiset.

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Se osoittautui 2 termiksi: 5a (2c - 5) ja 7b (2c - 5). Jokainen niistä sisältää yhteisen tekijän (sulkeissa oleva lauseke on tässä sama, mikä tarkoittaa sitä, että se on yhteinen tekijä): 2c - 5. Se on myös poistettava suluista eli termeistä 5a ja 7b. jäävät toiseen sulkeeseen:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Joten täydellinen lauseke on:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Siten polynomi 10ac + 14bc - 25a - 35b hajotetaan kahteen tekijään: (2c - 5) ja (5a + 7b). Niiden välinen kertolasku voidaan jättää kirjoittamatta

Joskus on tämän tyyppisiä lausekkeita: 5a 2 + 50a 3, tässä voit laittaa kannattimesta paitsi a tai 5a, mutta jopa 5a 2. Sinun tulisi aina yrittää huomioida suurin mahdollinen yhteinen tekijä. Meidän tapauksessamme, jos jaamme jokaisen termin yhteisellä tekijällä, saamme:

5a 2 / 5a2 \u003d 1; 50a 3 / 5a 2 \u003d 10a (kun lasketaan usean asteen osamäärä yhtä suurilla perusteilla, perusta säilyy ja eksponentti vähennetään). Täten yksikkö pysyy sulkeissa (älä missään tapauksessa unohda kirjoittaa yksikköä, jos otat yhden sulkeissa olevista termeistä) ja jakauman osamäärän: 10а. Osoittautui, että:

5a 2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10a)

Neliön kaavat

Laskelmien helpottamiseksi on johdettu useita kaavoja. Niitä kutsutaan lyhennetyiksi kertolasuiksi ja niitä käytetään melko usein. Nämä kaavat auttavat ottamaan huomioon astetta sisältävät polynomit. Tämä on toinen tehokas jakotekniikka. Joten tässä he ovat:

• a 2 + 2ab + b 2 \u003d (a + b) 2 - kaava, jota kutsutaan "summan neliöksi", koska neliöksi laajentumisen seurauksena otetaan sulkeisiin suljettujen numeroiden summa, eli tämän summan arvo kerrotaan itselläsi 2 kertaa, mikä tarkoittaa se on kerroin.
• a 2 + 2ab - b 2 \u003d (a - b) 2 - eron neliön kaava on samanlainen kuin edellinen. Tuloksena on sulkeisiin suljettu ero neliötehossa.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b) - tämä on neliöiden eron kaava, koska aluksi polynomi koostuu kahdesta numeroiden tai lausekkeiden neliöstä, joiden välillä vähennys suoritetaan. Ehkä kolmesta nimetystä sitä käytetään useimmiten.

Esimerkkejä neliökaavojen laskemisesta

Laskelmat heille ovat melko yksinkertaisia. Esimerkiksi:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - käytämme kaavaa "summan neliö".
2. 25x 2 on 5x: n neliö. 20xy on 2x: n (5x * 2y) kaksinkertaistunut tuote ja 4y2 on 2y: n neliö.
3. Joten 25x 2 + 20xy + 4y2 \u003d (5x + 2y) 2 \u003d (5x + 2y) (5x + 2y). Tämä polynomi hajotetaan kahteen tekijään (tekijät ovat samat, joten se kirjoitetaan neliöasteisena lausekkeena).

Toimenpiteet erotuksen neliön kaavan mukaan suoritetaan samalla tavalla. Kaava pysyy neliöiden erona. Esimerkkejä tälle kaavalle on erittäin helppo tunnistaa ja löytää muiden lausekkeiden joukosta. Esimerkiksi:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Koska 25a 2 \u003d (5a) 2 ja 400 \u003d 20 2
• 36x 2-25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Koska 36x 2 \u003d (6x) 2 ja 25y2 \u003d (5y 2)
• c2 - 169b2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Koska 169b 2 \u003d (13b) 2

On tärkeää, että jokainen termi on jonkin lausekkeen neliö. Tällöin tämä polynomi aletaan faktorisoida neliöerojen kaavan avulla. Tätä varten ei ole välttämätöntä, että toisen asteen tulisi olla numeron yläpuolella. On polynomeja, jotka sisältävät suuria asteita, mutta sopivat silti näihin kaavoihin.

a 8 + 10a 4 +25 \u003d (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 \u003d (a 4 +5) 2

Tässä esimerkissä 8 voidaan esittää muodossa (a 4) 2, eli jonkin lausekkeen neliö. 25 on 5 2 ja 10a 4 - tämä on termien 2 * a 4 * 5 kaksinkertainen tulo. Toisin sanoen, tämä lauseke voidaan hajottaa kahdeksi tekijäksi huolimatta siitä, että niiden kanssa käytetään suuria eksponentteja.

Kuutiokaavat

Samat kaavat ovat olemassa kuutioita sisältävien polynomien faktorointiin. Ne ovat hieman monimutkaisempia kuin neliöt:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2) - tätä kaavaa kutsutaan kuutioiden summaksi, koska polynomi on alkuperäisessä muodossaan kuutioon suljettujen kahden lausekkeen tai luvun summa.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - edellisen kaavan mukainen kaava on merkitty kuutioiden erona.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d (a + b) 3 - summan kuutio laskelmien tuloksena saadaan numeroiden tai lausekkeiden summa, suljettu sulkeisiin ja kerrottuna itsellään 3 kertaa, eli sijoitettuna kuutioon
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 \u003d (a - b) 3 -kaavaa, joka on laadittu analogisesti edellisen kanssa ja jossa muutetaan vain joitain matemaattisten operaatioiden merkkejä (plus ja miinus), kutsutaan "erotuskuutioksi".

Kahta viimeistä kaavaa ei käytännössä käytetä polynomin jakamiseen tekijöiksi, koska ne ovat monimutkaisia, ja täysin tällaista rakennetta vastaavat polynomit ovat melko harvinaisia, joten ne voidaan hajottaa näiden kaavojen mukaisesti. Mutta sinun täytyy silti tuntea heidät, koska niitä tarvitaan, kun tehdään asioita vastakkaiseen suuntaan - sulkeita laajennettaessa.

Esimerkkejä kuutiokaavoista

Tarkastellaan esimerkkiä: 64a 3 - 8b 3 \u003d (4a) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) \u003d (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Tässä olemme ottaneet melko yksinkertaisia \u200b\u200blukuja, joten voit heti nähdä, että 64a 3 on (4a) 3 ja 8b 3 on (2b) 3. Siten tämä polynomi hajotetaan kuutioiden kaavaerolla 2 tekijällä. Kuutioiden summan kaavan mukaiset toimet suoritetaan analogisesti.

On tärkeää ymmärtää, että kaikkia polynomeja ei voida hajottaa ainakin yhdellä tavalla. Mutta on lausekkeita, jotka sisältävät enemmän voimia kuin neliö tai kuutio, mutta ne voidaan hajottaa myös lyhennetyiksi kertolaskuiksi. Esimerkiksi: x 12 + 125y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y) ) (x 8 - 5x 4 y + 25v2).

Tämä esimerkki sisältää peräti 12 astetta. Mutta jopa se voidaan jakaa kuutioiden summa-kaavalla. Tätä varten sinun on edustettava x 12 muodossa (x 4) 3, toisin sanoen jonkin lausekkeen kuutiona. Nyt sinun on korvattava a: n sijasta se kaavassa. No, ilmaisu 125y 3 on kuutio 5y. Seuraavaksi sinun tulisi laatia tuote kaavan mukaan ja tehdä laskelmat.

Aluksi tai epäilyttävissä tapauksissa voit tarkistaa aina takaisin kertomalla. Sinun tarvitsee vain laajentaa sulkeita tuloksena olevassa lausekkeessa ja suorittaa toimintoja sellaisilla termeillä. Tätä menetelmää sovelletaan kaikkiin edellä mainittuihin pelkistysmenetelmiin: sekä yhteisen tekijän ja ryhmittelyn että kuutioiden ja neliöasteiden kaavojen toimintaan.

Polynomi on lauseke, joka koostuu monomiaalien summasta. Jälkimmäiset ovat vakion (luvun) ja lausekkeen juuren (tai juurien) tulo k: n voimaksi. Tässä tapauksessa puhutaan k-asteen polynomista. Polynomin laajentamiseen liittyy lausekkeen muunnos, jossa termit korvataan tekijöillä. Tarkastellaan tärkeimpiä tapoja suorittaa tällainen muutos.

Polynomihajoamismenetelmä uuttamalla yhteinen tekijä

Tämä menetelmä perustuu jakelulakeihin. Joten mn + mk \u003d m * (n + k).

• Esimerkki:levitettynä 7 v 2 + 2 kk ja 2 m 3 - 12 m 2 + 4 lm.

7v 2 + 2uy \u003d y * (7v + 2u),

2 m 3 - 12 m 2 + 4 lm \u003d 2 m (m 2 - 6 m + 2 l).

Jokaisessa polynomissa välttämättä esiintyvää tekijää ei kuitenkaan aina löydy, joten tämä menetelmä ei ole universaali.

Lyhennettyihin kertolaskuihin perustuva polynomilaajennusmenetelmä

Lyhennetyt kertolasukaavat pätevät minkä tahansa asteen polynomille. Yleisesti ottaen tuloslauseke näyttää tältä:

uk - lk \u003d (u - l) (u k-1 + u k-2 * l + u k-3 * l 2 +… u * l k-2 + l k-1), jossa k edustaa luonnolliset luvut ...

Käytännössä yleisimmin käytetyt kaavat ovat toisen ja kolmannen asteen polynomeja:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 \u003d (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Esimerkki:levitä 25p 2 - 144b 2 ja 64m 3 - 8l 3.

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 \u003d (4m) 3 - (2l) 3 \u003d (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) \u003d (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Polynomihajotusmenetelmä - lausekkeen termien ryhmittely

Tällä menetelmällä on jollain tavalla jotain yhteistä yhteisen tekijän johtamisen tekniikan kanssa, mutta siinä on joitain eroja. Erityisesti ennen yhteisen tekijän valitsemista tulisi ryhmitellä monomiaalit. Ryhmittely perustuu yhdistämis- ja siirtolakeihin.

Kaikki lausekkeessa esitetyt monomiaalit on jaettu ryhmiin, joista kussakin kokonaisarvo otetaan siten, että toinen tekijä on sama kaikissa ryhmissä. Yleisesti ottaen tällainen hajoamismenetelmä voidaan esittää lausekkeena:

pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),

pl + ks + kl + ps \u003d (p + k) (l + s).

• Esimerkki:levitetty 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) \u003d (7m + 8l) (2n - 7).

Polynomihajoamismenetelmä - muodostaa koko neliön

Tämä menetelmä on yksi tehokkaimmista polynomin hajoamisen aikana. Alkuvaiheessa on tarpeen määritellä monomeerit, jotka voidaan "taittaa" eron tai summan neliöön. Tätä varten käytetään yhtä suhdeluvuista:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Esimerkki: laajenna lauseketta u 4 + 4u 2 - 1.

Erottakaamme sen monomeista joukosta termit, jotka muodostavat kokonaisen neliön: u 4 + 4u 2 - 1 \u003d u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Suorita muunnos käyttämällä lyhennettyjä kertolasääntöjä: (u 2 + 2) 2 - 5 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Niin u 4 + 4u 2 - 1 \u003d (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Polynomien kertolasku huomioon ottaen muistimme useita kaavoja, nimittäin: kaavat (a + b) ²: lle, ((a - b) ²: lle, kaavoille (a + b) (a - b), (a + b) ³: lle ja (a - b) 3: lle.

Jos annettu polynomi osoittautuu samaan aikaan jonkin näistä kaavoista, se voidaan jakaa tekijöiksi. Esimerkiksi tiedämme, että polynomi a² - 2ab + b² on yhtä suuri kuin (a - b) ² [tai (a - b) · (a - b), eli onnistuimme hajottamaan a² - 2ab + b² 2 tekijää]; myös

Katsotaanpa toista näistä esimerkeistä. Näemme, että tässä annettu polynomi sopii kaavaan, joka saadaan neliöimällä kahden luvun ero (ensimmäisen luvun neliö, josta vähennetään kahden tulo ensimmäisellä ja toisella luvulla, plus toisen luvun neliö): x 6 on ensimmäisen luvun neliö, ja siksi ensimmäinen luku itsessään on x 3, toisen luvun neliö on tämän polynomin viimeinen termi, toisin sanoen 1, toinen numero itsessään on siis myös 1; Kahden ja ensimmäisen luvun ja toisen tulo on termi –2x 3, koska 2x 3 \u003d 2 × x 3 · 1. Siksi polynomimme saatiin neliöimällä lukujen x 3 ja 1 välinen ero eli se on yhtä suuri kuin (x 3 - 12. Tarkastellaan vielä yhtä 4. esimerkkiä. Näemme, että tätä polynomia a 2 b 2 - 25 voidaan pitää kahden luvun neliöiden erona, nimittäin a 2 b 2 toimii ensimmäisen luvun neliönä, joten ensimmäinen numero itse on ab, neliö toinen luku on 25, miksi toinen luku itsessään on 5. Siksi polynomiamme voidaan pitää saatu kertomalla kahden luvun summa niiden erolla, ts.

(ab + 5) (ab - 5).

Joskus tapahtuu, että tietyssä polynomissa termit eivät ole esimerkiksi tottumassamme järjestyksessä.

9a 2 + b 2 + 6ab - henkisesti voimme järjestää toisen ja kolmannen termin uudelleen, ja sitten meille tulee selväksi, että trinomi \u003d \u003d 3a + b) 2.

… (Vaihdetaan henkisesti ensimmäinen ja toinen termi).

25a 6 + 1 - 10x 3 \u003d (5x 3 - 1) 2 jne.

Tarkastellaan myös polynomia

a 2 + 2ab + 4b 2.

Näemme, että sen ensimmäinen termi on luvun a neliö ja kolmas termi luvun 2b neliö, mutta toinen termi ei ole kahden numero ensimmäisen ja toisen tulo - tällainen tuote olisi yhtä suuri kuin 2 a 2b \u003d 4ab. Siksi kahden luvun summan neliön kaavaa ei voida soveltaa tähän polynomiin. Jos joku kirjoitti, että 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, niin se olisi väärin - sinun on harkittava huolellisesti kaikkia polynomin ehtoja, ennen kuin sovellat siihen jakoa kaavoilla.

40. Yhdistämällä molemmat tekniikat... Joskus laskettaessa polynomeja tekijöiksi, sinun on yhdistettävä sekä menetelmä yhteisen tekijän poistamiseksi sulkeista että menetelmä kaavojen soveltamiseksi. Tässä on joitain esimerkkejä:

1.2a 3 - 2ab 2. Ensinnäkin otamme yhteisen tekijän 2a sulkujen ulkopuolelta, - saamme 2a (a 2 - b 2). Kerroin a 2 - b 2 puolestaan \u200b\u200bhajotetaan kaavalla tekijöiksi (a + b) ja (a - b).

Joskus on välttämätöntä soveltaa kaavojen hajottamismenetelmää monta kertaa:

1.a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Näemme, että ensimmäinen tekijä a 2 + b 2 ei sovi mihinkään tuttuihin kaavoihin; lisäksi muistelemalla jaon erikoistapauksia (kohta 37) todetaan, että 2 + b 2 (kahden luvun neliöiden summa) ei voida lainkaan jakaa tekijöihin. Toinen saaduista tekijöistä a 2 - b 2 (kahden luvun neliön ero) hajotetaan tekijöiksi (a + b) ja (a - b). Niin,

41. Jakamisen erityistapausten soveltaminen... Lausekkeen 37 perusteella voimme heti kirjoittaa, että esimerkiksi