Kaava ympyrän leikkausalueelle. Ympyrän alue: kaava

Ohjeet

Etsi Pi: llä säde ympyrän tunnetun alueen perusteella. Tämä vakio asettaa ympyrän halkaisijan ja sen reunan (ympyrän) pituuden välisen suhteen. Ympyrän pituus on sen tason peitettävän tason suurin pinta-ala ja halkaisija on yhtä suuri kuin kaksi sädettä, joten myös säteen alue korreloi toistensa kanssa osuudella, joka voidaan ilmaista numero Pi. Tämä vakio (π) määritellään ympyrän alueeksi (S) ja neliösädeksi (r). Tästä seuraa, että säde voidaan ilmaista neliöjuurena jakamalla pinta-ala luvulla Pi: r \u003d √ (S / π).

Pitkästä aikaa Erastophenes johti Aleksandrian kirjastoa, antiikin maailman tunnetuinta kirjastoa. Planeettamme koon laskemisen lisäksi hän teki useita tärkeitä keksintöjä ja löytöjä. Hän keksi yksinkertaisen menetelmän alkulukujen määrittämiseksi, jota nyt kutsutaan "Erastofenin seulaksi".

Hän piirsi "maailmankartan", jossa hän näytti kaikki tuolloin tunnetut maailmanosat muinaisille kreikkalaisille. Karttaa pidettiin aikansa parhaimpana. Kehitti pituus- ja leveysjärjestelmän sekä karkausvuodet sisältävän kalenterin. Keksi haarniskan, mekaanisen laitteen, jota varhaiset tähtitieteilijät käyttivät osoittamaan ja ennustamaan tähtien ilmeistä liikettä taivaalla. Hän laati myös tähtikatalogin, joka sisälsi 675 tähteä.

Lähteet:

• Kyreniläinen kreikkalainen tiedemies Eratosthenes laski Maan säteen ensimmäistä kertaa maailmassa
• Eratosthenes "Maan laskeminen"
• Eratosthenes

Onko litteä luku, joka on joukko pisteitä yhtä kaukana keskustasta. Ne ovat kaikki samalla etäisyydellä ja muodostavat ympyrän.

Segmentti, joka yhdistää ympyrän keskipisteen ympyrän pisteisiin, kutsutaan säde... Jokaisessa ympyrässä kaikki säteet ovat yhtä suuret keskenään. Suoraa viivaa, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä ja kulkee keskuksen läpi, kutsutaan halkaisija... Ympyrän pinta-alan kaava lasketaan käyttämällä matemaattista vakiota - lukua π ..

Se on kiinnostavaa : Luku π. on ympyrän kehän suhde sen halkaisijan pituuteen ja on vakio. Arvoa π \u003d 3,1415926 sovellettiin L. Eulerin töiden jälkeen vuonna 1737.

Ympyrän pinta-ala voidaan laskea vakion π avulla. ja ympyrän säde. Säteen läpi kulkevan ympyrän pinta-alan kaava näyttää tältä:

Tarkastellaan esimerkkiä ympyrän alueen laskemisesta säteen läpi. Anna ympyrä, jonka säde on R \u003d 4 cm, ja etsi kuvan alue.

Meidän ympärysmitta on 50,24 neliömetriä. cm.

On kaava ympyrän pinta-ala halkaisijan kautta... Sitä käytetään myös laajalti tarvittavien parametrien laskemiseen. Näiden kaavojen avulla voidaan löytää.

Tarkastellaan esimerkkiä ympyrän pinta-alan laskemisesta halkaisijan läpi tietäen sen säde. Olkoon annettu ympyrä, jonka säde on R \u003d 4 cm. Aluksi löydämme halkaisijan, joka, kuten tiedätte, on kaksinkertainen säde.


Nyt käytämme tietoja esimerkkinä ympyrän pinta-alan laskemisesta yllä olevan kaavan avulla:

Kuten näette, tulos on sama vastaus kuin ensimmäisissä laskelmissa.

Ympyrän pinta-alan laskemiseen tarkoitettujen vakiokaavojen tuntemus auttaa tulevaisuudessa helposti määrittämään sektorialalla ja puuttuvien määrien löytäminen on helppoa.

Tiedämme jo, että ympyrän pinta-alan kaava lasketaan vakion π tulon avulla ympyrän säteen neliöllä. Säde voidaan ilmaista ympärysmitalla ja korvata kaavan lauseke ympyrän pinta-alalle kehän suhteen:
Korvataan tämä tasa-arvo ympyrän pinta-alan laskentakaavassa ja saadaan kaava ympyrän pinta-alan löytämiseksi kehän läpi

Tarkastellaan esimerkkiä ympyrän pinta-alan laskemisesta kehän mukaan. Annetaan ympyrä, jonka pituus on l \u003d 8 cm, korvataan johdetun kaavan arvo:

Ympyrän kokonaispinta-ala on 5 neliömetriä. cm.

Neliön ympärille määritetyn ympyrän alue

Neliön ympärillä olevan ympyrän alueen löytäminen on erittäin helppoa.

Tämä vaatii vain neliön sivun ja yksinkertaisten kaavojen tuntemuksen. Neliön lävistäjä on yhtä suuri kuin ympyrän lävistäjä. Kun tiedetään puoli a, se löytyy Pythagoraan lauseesta: täältä.
Diagonaalin löytämisen jälkeen voimme laskea säteen :.
Ja sitten korvataan kaikki neliön ympärillä kuvatun ympyrän pinta-alan kaavalla:

Ympyrä on näkyvä kokoelma monista pisteistä, jotka ovat samalla etäisyydellä keskustasta. Pinta-alan löytämiseksi sinun on tiedettävä, mikä on säde, halkaisija, luku π ja ympärysmitta.

Piirin pinta-alan laskemiseen käytetyt määrät

Ympyrän keskipisteen ja minkä tahansa ympyrän pisteen rajoittamaa etäisyyttä kutsutaan tämän geometrisen kuvan säteeksi. Yhden ympyrän kaikkien säteiden pituudet ovat samat. Keskipisteen läpi kulkevan ympyrän minkä tahansa kahden pisteen välistä osaa kutsutaan halkaisijaksi. Halkaisijan pituus on yhtä suuri kuin säteen pituus kertaa kertaa 2.

Laske ympyrän pinta-ala käyttämällä π-arvoa. Tämä arvo on yhtä suuri kuin kehän suhde ympyrän halkaisijan pituuteen ja sillä on vakioarvo. Π \u003d 3,1415926. Ympärysmitta lasketaan kaavalla L \u003d 2πR.

Etsi ympyrän alue säteen läpi

Siksi ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin luvun π tulo ympyrän säteellä, nostettuna 2 tehoon. Otetaan esimerkiksi ympyrän säteen pituus, joka on 5 cm, jolloin ympyrän S pinta-ala on 3,14 * 5 ^ 2 \u003d 78,5 neliömetriä. cm.

Halkaisijan läpi olevan ympyrän pinta-ala

Ympyrän pinta-ala voidaan laskea myös tietämällä ympyrän halkaisijan koko. Tässä tapauksessa S \u003d (π / 4) * d ^ 2, missä d on ympyrän halkaisija. Otetaan sama esimerkki, jossa säde on 5 cm. Sitten sen halkaisija on 5 * 2 \u003d 10 cm. Ympyrän pinta-ala S \u003d 3,14 / 4 * 10 ^ 2 \u003d 78,5 neliömetriä. Ensimmäisen esimerkin laskelmien kokonaismäärää vastaava tulos vahvistaa laskelmien oikeellisuuden molemmissa tapauksissa.

Ympyrän alue kehän läpi

Jos ympyrän säde on esitetty ympärysmitalla, kaava näyttää tältä: R \u003d (L / 2) π. Korvataan tämä lauseke ympyrän alueen kaavassa ja tuloksena saadaan S \u003d (L ^ 2) / 4π. Tarkastellaan esimerkkiä, jossa ympärysmitta on 10 cm. Sitten ympyrän pinta-ala on S \u003d (10 ^ 2) / 4 * 3,14 \u003d 7,96 neliömetriä. cm.

Ympyrän pinta merkityn neliön sivun pituudelta

Jos ympyrään on merkitty neliö, ympyrän halkaisijan pituus on yhtä suuri kuin neliön lävistäjän pituus. Kun tiedät neliön sivun koon, voit helposti selvittää ympyrän halkaisijan kaavalla: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Toisin sanoen, 2 tehon halkaisija on yhtä suuri kuin neliön 2 tehopuoli 2 kertaa.

Kun olet laskenut ympyrän halkaisijan pituuden, voit selvittää sen säteen ja käyttää sitten yhtä kaavoista ympyrän pinta-alan määrittämiseksi.

Piirin sektorialue

Sektori on osa ympyrää, jota rajoittaa 2 sädettä ja niiden välinen kaari. Sen alueen selvittämiseksi sinun on mitattava sektorin kulma. Sen jälkeen sinun on tehtävä murto, jonka osoittimessa on sektorin kulman arvo, ja nimittäjässä - 360. Sektorin pinta-alan laskemiseksi tuloksena saatu arvo murtoluvun jakamisen osuus on kerrottava ympyrän pinta-alalla, joka on laskettu käyttäen yhtä yllä olevista kaavoista.

Piirit vaativat huolellisempaa lähestymistapaa ja ovat paljon harvinaisempia B5-kohteissa. Samanaikaisesti yleinen ratkaisumalli on vielä yksinkertaisempi kuin monikulmioiden tapauksessa (katso oppitunti "Monikulmioiden alueet koordinaattiruudukossa").

Tällaisissa tehtävissä tarvitaan vain ympyrän R säteen löytäminen. Sitten voit laskea ympyrän pinta-alan kaavalla S \u003d πR 2. Tästä kaavasta seuraa myös, että ratkaisuun riittää löytää R2.

Osoitettujen arvojen löytämiseksi riittää, että osoitat ympyrälle pisteen, joka sijaitsee ruudukkoviivojen leikkauspisteessä. Ja sitten käytä Pythagoraan lause. Tarkastellaan tarkkoja esimerkkejä säteen laskemisesta:

Tehtävä. Etsi kuvassa näkyvien kolmen ympyrän säteet:

Suoritetaan lisärakenteet jokaisessa ympyrässä:

Kummassakin tapauksessa piste B valitaan ympyrästä siten, että se on ristikkorivien leikkauspisteessä. Piste C ympyröissä 1 ja 3 muodostaa muodon suorakulmaiseksi kolmiosta. Säteet on vielä löydettävä:

Tarkastellaan kolmion ABC ensimmäisessä ympyrässä. Pythagoraan lauseen mukaan: R2 \u003d AB2 \u003d AC2 + BC2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Toisella ympyrällä kaikki on ilmeistä: R \u003d AB \u003d 2.

Kolmas tapaus on samanlainen kuin ensimmäinen. Kolmiosta ABC Pythagoraan lauseen mukaan: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Nyt tiedämme kuinka löytää ympyrän säde (tai ainakin sen neliö). Siksi voimme löytää alueen. On tehtäviä, joissa sinun on löydettävä sektorin alue eikä koko ympyrä. Tällaisissa tapauksissa on helppo selvittää, mikä osa ympyrää tämä sektori on, ja siten löytää alue.

Tehtävä. Etsi täytetyn sektorin alue S. Ilmoita vastauksessasi S / π.

Ilmeisesti sektori on neljännes ympyrästä. Siksi S \u003d 0,25 · S ympyrä.

Jää jäljelle löytää ympyrän S - ympyrän pinta-ala. Tätä varten teemme lisärakenteen:

Kolmio ABC on suorakulmainen. Pythagoraan lauseen mukaan meillä on: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Nyt löydämme ympyrän ja sektorin alueet: S ympyrä \u003d πR 2 \u003d 8π; S \u003d 0,25 S ympyrä \u003d 2π.

Lopuksi haettu arvo on S / π \u003d 2.

Alan alue tuntemattomalla säteellä

Tämä on täysin uudenlainen tehtävä, vuosina 2010--2011 ei ollut mitään vastaavaa. Ehdon mukaan meille annetaan tietyn alueen ympyrä (nimittäin alue, ei säde!). Tämän ympyrän sisälle valitaan sektori, jonka alue löytyy.

Hyvä uutinen on, että tällaiset ongelmat ovat helpoin kaikista kentän ongelmista, jotka ovat matematiikan tentissä. Lisäksi ympyrä ja sektori sijoitetaan aina ruudukkoon. Siksi oppiaksesi ratkaisemaan tällaiset ongelmat katsokaa kuvaa:

Anna alkuperäisen ympyrän alueen S olla ympyrä \u003d 80. Sitten se voidaan jakaa kahteen sektoriin, joiden pinta-ala on S \u003d 40 (ks. Vaihe 2). Vastaavasti jokainen näistä "puolikkaista" sektoreista voidaan jälleen jakaa kahtia - saamme neljä sektoria, joiden pinta-ala on S \u003d 20 (katso vaihe 3). Lopuksi voimme jakaa kukin näistä sektoreista vielä kahteen - saamme 8 “romua” sektoria. Näiden "romujen" pinta-ala on S \u003d 10.

Huomaa: missään USE-matematiikan ongelmassa ei ole tarkempaa jakoa! Siten algoritmi tehtävän B-3 ratkaisemiseksi on seuraava:

1. Leikkaa alkuperäinen ympyrä kahdeksaksi "leikkeen" sektoriksi. Niiden pinta-ala on tarkalleen 1/8 koko ympyrän pinta-alasta. Esimerkiksi, jos ympyrän ehdon mukaan ympyrän pinta-ala on S \u003d 240, niin "palojen" pinta-ala on S \u003d 240: 8 \u003d 30;
2. Selvitä, kuinka monta "leikettä" on sijoitettu alkuperäiselle sektorille, jonka alueen haluat löytää. Esimerkiksi, jos sektorissamme on 3 "kappaletta", joiden pinta-ala on 30, halutun sektorin alue on S \u003d 3 · 30 \u003d 90. Tämä on vastaus.

Siinä kaikki! Ongelma ratkaistaan \u200b\u200bkäytännössä suullisesti. Jos et vieläkään ymmärrä jotain, osta pizza ja leikkaa se 8 osaan. Jokainen tällainen pala on sama "romu" -sektori, joka voidaan yhdistää suuremmiksi paloiksi.

Katsotaan nyt esimerkkejä kokeilukokeesta:

Tehtävä. Ruudulliselle paperille piirretään ympyrä, jonka pinta-ala on 40. Etsi varjostetun kuvan alue.

Joten ympyrän pinta-ala on 40. Jaetaan se 8 sektoriin - kullakin pinta-ala S \u003d 40: 5 \u003d 8. Saamme:

On selvää, että täytetty sektori koostuu tarkalleen kahdesta "romu" -sektorista. Siksi sen pinta-ala on 2 · 5 \u003d 10. Se on koko ratkaisu!

Tehtävä. Ruudulliselle paperille piirretään ympyrä, jonka pinta-ala on 64. Etsi varjostetun kuvan alue.

Jaa koko ympyrä uudelleen 8 yhtä suureen osaan. Ilmeisesti yhden heistä alue on juuri se, mitä sinun on löydettävä. Siksi sen pinta-ala on S \u003d 64: 8 \u003d 8.

Tehtävä. Ruudulliselle paperille piirretään ympyrä, jonka pinta-ala on 48. Etsi varjostetun kuvan alue.

Jaa ympyrä uudelleen 8 yhtä suureen osaan. Niiden pinta-ala on yhtä suuri kuin S \u003d 48: 8 \u003d 6. Haettuun sektoriin sijoitetaan tarkalleen kolme sektoria - "pala" (katso kuva). Siksi halutun sektorin pinta-ala on 3 6 \u003d 18.