एक बहुपद का गुणनखंडन करना। भाग 1

गुणनएक सार्वभौमिक तकनीक है जो जटिल समीकरणों और असमानताओं को हल करने में मदद करती है। समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय जो पहला विचार दिमाग में आना चाहिए, जिसमें शून्य दाईं ओर है, बाईं ओर का गुणनखंड करने का प्रयास करना है।

हम मुख्य सूचीबद्ध करते हैं बहुपद को गुणनखंड करने के तरीके:

• उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना
• संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग
• एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड के सूत्र द्वारा
• समूहन विधि
• एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करना
• अनिश्चित गुणांक की विधि

इस लेख में हम पहले तीन तरीकों पर विस्तार से ध्यान देंगे, बाकी की चर्चा निम्नलिखित लेखों में की जाएगी।

1. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए, आपको पहले इसे खोजना होगा। सामान्य गुणक गुणांकसभी गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर है।

पत्र भागउभयनिष्ठ गुणनखंड उन व्यंजकों के गुणनफल के बराबर होता है जो प्रत्येक पद को सबसे छोटे घातांक के साथ बनाते हैं।

एक सामान्य कारक निकालने की योजना इस तरह दिखती है:

ध्यान!
कोष्ठक में पदों की संख्या मूल व्यंजक में पदों की संख्या के बराबर है। यदि कोई एक पद सार्व गुणनखंड से मेल खाता है, तो जब उसे उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित किया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उदाहरण 1

बहुपद का गुणनखंड करें:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें। ऐसा करने के लिए, हम पहले इसे ढूंढते हैं।

1. बहुपद के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए, अर्थात्। संख्या 20, 35 और 15. यह 5 के बराबर है।

2. हम स्थापित करते हैं कि चर सभी पदों में समाहित है, और इसका सबसे छोटा घातांक 2 है। चर सभी पदों में समाहित है, और इसका सबसे छोटा घातांक 3 है।

चर केवल दूसरे पद में समाहित है, इसलिए यह सामान्य कारक का हिस्सा नहीं है।

तो सामान्य कारक है

3. हम उपरोक्त योजना का उपयोग करके कारक निकालते हैं:

उदाहरण 2प्रश्न हल करें:

फेसला। आइए समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें। आइए कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

तो हमें समीकरण मिल गया

प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर सेट करें:

हमें मिलता है - पहले समीकरण की जड़।

जड़ें:

उत्तर: -1, 2, 4

2. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंडन।

यदि बहुपद में पदों की संख्या जिसे हम गुणनखंडित करने जा रहे हैं, तीन से कम या उसके बराबर है, तो हम संक्षिप्त गुणन सूत्रों को लागू करने का प्रयास करते हैं।

1. यदि बहुपद हैदो शब्दों का अंतर, फिर हम आवेदन करने का प्रयास करते हैं वर्ग सूत्र का अंतर:

या घन अंतर सूत्र:

यहाँ पत्र हैं और किसी संख्या या बीजीय व्यंजक को निरूपित करते हैं।

2. यदि बहुपद दो पदों का योग है, तो शायद इसका उपयोग करके गुणनखंड किया जा सकता है घनों के योग के लिए सूत्र:

3. यदि बहुपद में तीन पद हैं, तो हम लागू करने का प्रयास करते हैं योग वर्ग सूत्र:

या अंतर वर्ग सूत्र:

या हम इसके द्वारा गुणनखंड करने का प्रयास करते हैं एक वर्ग ट्रिनोमियल फैक्टरिंग के लिए सूत्र:

यहाँ और द्विघात समीकरण की जड़ें हैं

उदाहरण 3अभिव्यक्ति को फैक्टरिंग:

फेसला। हमारे पास दो पदों का योग है। आइए घनों के योग के सूत्र को लागू करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक पद को किसी व्यंजक के घन के रूप में निरूपित करना होगा, और फिर घनों के योग के लिए सूत्र लागू करना होगा:

उदाहरण 4अभिव्यक्ति को फैक्टरिंग:

समाधान। हमारे सामने दो भावों के वर्गों का अंतर है। पहली अभिव्यक्ति: , दूसरी अभिव्यक्ति:

आइए वर्गों के अंतर के लिए सूत्र लागू करें:

आइए कोष्ठकों को खोलें और समान पद दें, हमें प्राप्त होता है:

ऑनलाइन कैलकुलेटर।
द्विपद के वर्ग का चयन और वर्ग त्रिपद का गुणनखंड।

वे। संख्याओं \(p, q \) और \(n, m \) को खोजने में समस्याएं कम हो जाती हैं

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को भी प्रदर्शित करता है।

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यदि आप वर्ग त्रिपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे स्वयं को परिचित कर लें।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्णांक से भिन्नात्मक भाग को बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप इस तरह दशमलव दर्ज कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x^2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

विस्तृत समाधान उदाहरण

द्विपद के वर्ग का चयन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\बाएं(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ जवाब:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ गुणनखंडन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\बाएं(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \बाएं(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \ दाएँ) = $$ $$ 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$ जवाब:$$2x^2+2x-4 = 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

क्योंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

एक वर्ग त्रिपद से एक वर्ग द्विपद का निष्कर्षण

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 + bx + c को a (x + p) 2 + q के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, तो वे कहते हैं कि वर्ग ट्रिनोमियल, द्विपद का वर्ग हाइलाइट किया गया है.

आइए त्रिपद 2x 2 +12x+14 से द्विपद का वर्ग निकालें।

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ऐसा करने के लिए, हम 2 * 3 * x के गुणनफल के रूप में 6x का प्रतिनिधित्व करते हैं, और फिर 3 2 जोड़ते और घटाते हैं। हम पाते हैं:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

उस। हम वर्ग त्रिपद से द्विपद का वर्ग चुना गया, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को a(x+n)(x+m) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n और m वास्तविक संख्याएं हैं, तो संक्रिया को निष्पादित कहा जाता है एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड.

आइए एक उदाहरण का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि यह परिवर्तन कैसे किया जाता है।

आइए वर्ग त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करें।

आइए हम गुणांक को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं, अर्थात। 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

आइए व्यंजक को कोष्ठकों में रूपांतरित करें।
ऐसा करने के लिए, हम 2x को 3x-1x के अंतर के रूप में और -3 को -1*3 के रूप में दर्शाते हैं। हम पाते हैं:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

उस। हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करें, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ध्यान दें कि एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन तभी संभव है जब इस त्रिपद के संगत द्विघात समीकरण के मूल हों।
वे। हमारे मामले में, त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करना संभव है यदि द्विघात समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के मूल हैं। फैक्टरिंग की प्रक्रिया में, हमने पाया कि समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के दो मूल 1 और -3 हैं, क्योंकि इन मानों के साथ, समीकरण 2(x-1)(x+3)=0 एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

बहुपदों का गुणन एक समान परिवर्तन है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुपद कई कारकों के उत्पाद में बदल जाता है - बहुपद या एकपदी।

बहुपदों को गुणनखंड करने के कई तरीके हैं।

विधि 1. सामान्य कारक को ब्रैकेट करना।

यह परिवर्तन गुणन के वितरण नियम पर आधारित है: ac + bc = c(a + b)। परिवर्तन का सार विचाराधीन दो घटकों में सामान्य कारक को अलग करना और कोष्ठक के "इसे बाहर रखना" है।

आइए हम बहुपद 28x 3 - 35x 4 का गुणनखंड करें।

फेसला।

1. हम 28x3 और 35x4 तत्वों के लिए एक सामान्य भाजक पाते हैं। 28 और 35 के लिए यह 7 होगा; x 3 और x 4 - x 3 के लिए दूसरे शब्दों में, हमारा उभयनिष्ठ गुणनखंड 7x3 है।

2. हम प्रत्येक तत्व को कारकों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं, जिनमें से एक
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x।

3. सामान्य कारक को ब्रैकेट करना
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 4 - 7x 3 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x)।

विधि 2. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना। इस पद्धति में महारत हासिल करने की "महारत" अभिव्यक्ति में संक्षिप्त गुणन के सूत्रों में से एक को नोटिस करना है।

आइए हम बहुपद x 6 - 1 का गुणनखंड करें।

फेसला।

1. हम इस व्यंजक पर वर्ग अंतर के सूत्र को लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम x 6 को (x 3) 2 के रूप में, और 1 को 1 2 के रूप में निरूपित करते हैं, अर्थात। 1. व्यंजक रूप लेगा:
(एक्स 3) 2 - 1 \u003d (एक्स 3 + 1) (एक्स 3 - 1)।

2. परिणामी व्यंजक के लिए, हम घनों के योग और अंतर के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं:
(एक्स 3 + 1) (एक्स 3 - 1) \u003d (एक्स + 1) (एक्स 2 - एक्स + 1) (एक्स - 1) (एक्स 2 + एक्स + 1)।

इसलिए,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + एक्स + 1)।

विधि 3. समूहन। समूहीकरण विधि में एक बहुपद के घटकों को इस तरह से संयोजित करना शामिल है कि उन पर संचालन करना आसान हो (जोड़, घटाव, एक सामान्य कारक निकालना)।

हम बहुपद x 3 - 3x 2 + 5x - 15 का गुणनखंड करते हैं।

फेसला।

1. घटकों को इस तरह से समूहित करें: पहले को दूसरे के साथ, और तीसरे को चौथे के साथ समूहित करें
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15)।

2. परिणामी व्यंजक में, हम कोष्ठकों से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं: पहले मामले में x 2 और दूसरे में 5।
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3)।

3. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड x - 3 निकालते हैं और प्राप्त करते हैं:
एक्स 2 (एक्स - 3) + 5 (एक्स - 3) \u003d (एक्स - 3) (एक्स 2 + 5)।

इसलिए,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x) 2 + 5)।

आइए सामग्री को ठीक करें।

बहुपद a 2 - 7ab + 12b 2 का गुणनखंड करें।

फेसला।

1. हम एकपदी 7ab को योग 3ab + 4ab के रूप में निरूपित करते हैं। अभिव्यक्ति रूप लेगी:
ए 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2।

आइए कोष्ठक खोलें और प्राप्त करें:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. बहुपद के घटकों को इस प्रकार समूहित करें: पहला दूसरे के साथ और तीसरा चौथा के साथ। हम पाते हैं:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2)।

3. आइए सामान्य कारकों को निकालें:
(ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2) \u003d ए (ए - 3बी) - 4बी (ए - 3बी)।

4. आइए उभयनिष्ठ गुणनखंड (a - 3b) को निकालें:
ए (ए - 3 बी) - 4 बी (ए - 3 बी) = (ए - 3 बी) ∙ (ए - 4 बी)।

इसलिए,
ए 2 - 7ab + 12b 2 =
= ए 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= ए 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= ए (ए - 3 बी) - 4 बी (ए - 3 बी) =
= (ए - 3 बी) (ए - 4 बी)।

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बीजगणित में "बहुपद" और "बहुपद के गुणनखंड" की अवधारणाएं बहुत आम हैं, क्योंकि बड़ी बहु-मूल्यवान संख्याओं के साथ आसानी से गणना करने के लिए आपको उन्हें जानने की आवश्यकता होती है। यह लेख कई अपघटन विधियों का वर्णन करेगा। वे सभी उपयोग करने के लिए काफी सरल हैं, आपको बस प्रत्येक मामले में सही चुनने की आवश्यकता है।

एक बहुपद की अवधारणा

एक बहुपद एकपदी का योग है, अर्थात्, केवल गुणन संक्रिया वाले व्यंजक।

उदाहरण के लिए, 2 * x * y एक एकपदी है, लेकिन 2 * x * y + 25 एक बहुपद है, जिसमें 2 एकपदी होते हैं: 2 * x * y और 25. ऐसे बहुपदों को द्विपद कहा जाता है।

कभी-कभी, बहु-मूल्यवान मूल्यों के साथ उदाहरणों को हल करने की सुविधा के लिए, अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संख्या में कारकों में विघटित होना, यानी संख्या या अभिव्यक्ति जिसके बीच गुणन ऑपरेशन किया जाता है। बहुपद को गुणनखंड करने के कई तरीके हैं। उन्हें सबसे आदिम से शुरू करने पर विचार करना उचित है, जिसका उपयोग प्राथमिक कक्षाओं में भी किया जाता है।

ग्रुपिंग (सामान्य प्रविष्टि)

सामान्य रूप से समूहीकरण विधि द्वारा बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करने का सूत्र इस प्रकार है:

एसी + बीडी + बीसी + विज्ञापन = (एसी + बीसी) + (विज्ञापन + बीडी)

एकपदी का समूह बनाना आवश्यक है ताकि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड प्रकट हो। पहले कोष्ठक में, यह कारक c है, और दूसरे में - d। यह तब किया जाना चाहिए ताकि इसे ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सके, जिससे गणनाओं को सरल बनाया जा सके।

एक विशिष्ट उदाहरण पर अपघटन एल्गोरिथ्म

समूहीकरण विधि का उपयोग करके बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करने का सबसे सरल उदाहरण नीचे दिया गया है:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

पहले ब्रैकेट में, आपको कारक ए के साथ शर्तों को लेना होगा, जो सामान्य होगा, और दूसरे में - कारक बी के साथ। समाप्त अभिव्यक्ति में + और - चिह्नों पर ध्यान दें। हमने एकपदी के सामने वह चिन्ह रखा जो प्रारंभिक व्यंजक में था। यही है, आपको अभिव्यक्ति 25a के साथ नहीं, बल्कि अभिव्यक्ति -25 के साथ काम करने की आवश्यकता है। माइनस साइन, जैसा कि यह था, इसके पीछे की अभिव्यक्ति के लिए "चिपका हुआ" है और इसे गणना में हमेशा ध्यान में रखा जाता है।

अगले चरण में, आपको उस गुणनखंड को, जो सामान्य है, कोष्ठक से बाहर निकालना होगा। यही समूहीकरण के लिए है। इसे कोष्ठक से बाहर निकालने का अर्थ है कोष्ठक से पहले (गुणा चिह्न को छोड़कर) उन सभी कारकों को लिखना जो कोष्ठक में सभी शब्दों में बिल्कुल दोहराए गए हैं। यदि कोष्ठक में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक पद हैं, तो उनमें से प्रत्येक में उभयनिष्ठ गुणनखंड अवश्य होना चाहिए, अन्यथा इसे कोष्ठक से बाहर नहीं किया जा सकता है।

हमारे मामले में, कोष्ठक में केवल 2 पद हैं। समग्र गुणक तुरंत दिखाई देता है। पहला कोष्ठक a है, दूसरा b है। यहां आपको डिजिटल गुणांक पर ध्यान देने की आवश्यकता है। पहले कोष्ठक में, दोनों गुणांक (10 और 25) 5 के गुणज हैं। इसका अर्थ यह है कि न केवल a, बल्कि 5a को भी कोष्ठक में रखा जा सकता है। ब्रैकेट से पहले, 5a लिखें, और फिर निकाले गए सामान्य कारक द्वारा कोष्ठक में प्रत्येक शब्द को विभाजित करें, और भागफल को कोष्ठक में भी लिखें, + और - चिह्नों को न भूलें। दूसरे ब्रैकेट के साथ भी ऐसा ही करें। , 7b निकालें, क्योंकि 14 और 35 7 के गुणज हैं।

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5)।

यह 2 पद निकला: 5a (2c - 5) और 7b (2c - 5)। उनमें से प्रत्येक में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है (यहां कोष्ठकों में संपूर्ण व्यंजक समान है, जिसका अर्थ है कि यह एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है): 2c - 5. इसे भी कोष्ठक से निकालने की आवश्यकता है, अर्थात पद 5a और 7b दूसरे ब्रैकेट में रहें:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)।

तो पूर्ण अभिव्यक्ति है:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b)।

इस प्रकार, बहुपद 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 कारकों में विघटित हो जाता है: (2c - 5) और (5a + 7b)। लिखते समय उनके बीच गुणन चिह्न छोड़ा जा सकता है

कभी-कभी इस प्रकार के भाव होते हैं: 5a 2 + 50a 3, यहां आप न केवल a या 5a, बल्कि 5a 2 को भी ब्रैकेट कर सकते हैं। आपको हमेशा सबसे बड़े संभव सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने का प्रयास करना चाहिए। हमारे मामले में, यदि हम प्रत्येक पद को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

5ए 2/5ए 2 = 1; 50ए 3 / 5ए 2 = 10ए(समान आधारों के साथ कई घातों के भागफल की गणना करते समय, आधार संरक्षित होता है, और घातांक घटाया जाता है)। इस प्रकार, एक ब्रैकेट में रहता है (किसी भी स्थिति में यदि आप किसी एक शब्द को पूरी तरह से ब्रैकेट से निकालते हैं तो उसे लिखना न भूलें) और भागफल: 10a। परिणाम यह निकला:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

वर्ग सूत्र

गणना की सुविधा के लिए, कई सूत्र निकाले गए हैं। उन्हें कम गुणन सूत्र कहा जाता है और अक्सर उपयोग किया जाता है। ये सूत्र घातों वाले बहुपदों को गुणनखंड बनाने में मदद करते हैं। यह कारक बनाने का एक और शक्तिशाली तरीका है। तो यहाँ वे हैं:

• ए 2 + 2एबी + बी 2 = (ए + बी) 2 -सूत्र, जिसे "योग का वर्ग" कहा जाता है, क्योंकि एक वर्ग में विस्तार के परिणामस्वरूप, कोष्ठक में संलग्न संख्याओं का योग लिया जाता है, अर्थात इस योग का मान स्वयं 2 गुना से गुणा किया जाता है, जो यानी यह एक गुणक है।
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - अंतर के वर्ग का सूत्र, यह पिछले वाले के समान है। परिणाम एक वर्ग शक्ति में निहित कोष्ठक में संलग्न अंतर है।
• ए 2 - बी 2 \u003d (ए + बी) (ए - बी)- यह वर्गों के अंतर का सूत्र है, क्योंकि शुरू में बहुपद में 2 वर्ग संख्याएँ या व्यंजक होते हैं जिनके बीच घटाव किया जाता है। यह शायद तीनों में से सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है।

वर्गों के सूत्रों द्वारा गणना के उदाहरण

उन पर गणना काफी सरलता से की जाती है। उदाहरण के लिए:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - सूत्र "योग का वर्ग" का प्रयोग करें।
2. 25x 2 5x का वर्ग है। 20xy 2*(5x*2y) के गुणनफल का दोगुना है, और 4y 2 2y का वर्ग है।
3. तो 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)।यह बहुपद 2 कारकों में विघटित होता है (कारक समान हैं, इसलिए इसे एक वर्ग शक्ति के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है)।

अंतर के वर्ग के सूत्र के अनुसार संचालन इसी तरह किया जाता है। जो बचा है वह वर्ग सूत्र का अंतर है। इस सूत्र के उदाहरण अन्य अभिव्यक्तियों के बीच पहचानना और खोजना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20)। 25a 2 \u003d (5a) 2, और 400 \u003d 20 2 . के बाद से
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y)। 36x 2 \u003d (6x) 2, और 25y 2 \u003d (5y 2) के बाद से
• सी 2 - 169 बी 2 \u003d (सी - 13 बी) (सी + 13 बी)। चूँकि 169b 2 = (13b) 2

यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक पद किसी न किसी व्यंजक का वर्ग हो। तब इस बहुपद को वर्ग सूत्र के अंतर से गुणनखंड करना होता है। इसके लिए यह आवश्यक नहीं है कि संख्या से ऊपर दूसरी शक्ति हो। बड़ी घात वाले बहुपद हैं, लेकिन फिर भी इन सूत्रों के लिए उपयुक्त हैं।

ए 8 +10ए 4 +25 = (ए 4) 2 + 2*ए 4 *5 + 5 2 = (ए 4 +5) 2

इस उदाहरण में, 8 को (a 4) 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात एक निश्चित व्यंजक का वर्ग। 25 5 2 है और 10a 4 . है - यह 2*a 4 *5 पदों का दोहरा उत्पाद है। यही है, यह अभिव्यक्ति, बड़े घातांक के साथ डिग्री की उपस्थिति के बावजूद, बाद में उनके साथ काम करने के लिए 2 कारकों में विघटित हो सकती है।

घन सूत्र

घनों वाले बहुपदों के गुणनखंड के लिए समान सूत्र मौजूद हैं। वे वर्गों वाले लोगों की तुलना में थोड़े अधिक जटिल हैं:

• ए 3 + बी 3 \u003d (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)- इस सूत्र को घनों का योग कहते हैं, क्योंकि इसके प्रारंभिक रूप में बहुपद एक घन में संलग्न दो व्यंजकों या संख्याओं का योग होता है।
• ए 3 - बी 3 \u003d (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2) -पिछले एक के समान एक सूत्र को घनों के अंतर के रूप में दर्शाया जाता है।
• ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3 = (ए + बी) 3 - योग घन, गणनाओं के परिणामस्वरूप, संख्याओं या भावों का योग प्राप्त होता है, कोष्ठक में संलग्न होता है और स्वयं को 3 बार गुणा किया जाता है, अर्थात घन में स्थित होता है
• ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3 = (ए - बी) 3 -गणितीय संक्रियाओं (प्लस और माइनस) के केवल कुछ संकेतों में परिवर्तन के साथ पिछले एक के साथ सादृश्य द्वारा संकलित सूत्र को "डिफरेंस क्यूब" कहा जाता है।

अंतिम दो सूत्र व्यावहारिक रूप से बहुपद के गुणन के उद्देश्य से उपयोग नहीं किए जाते हैं, क्योंकि वे जटिल हैं, और बहुपदों को ढूंढना काफी दुर्लभ है जो पूरी तरह से ऐसी संरचना से मेल खाते हैं ताकि उन्हें इन सूत्रों के अनुसार विघटित किया जा सके। लेकिन आपको अभी भी उन्हें जानने की जरूरत है, क्योंकि उन्हें विपरीत दिशा में कार्यों के लिए आवश्यक होगा - कोष्ठक खोलते समय।

घन सूत्रों के उदाहरण

एक उदाहरण पर विचार करें: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 )

हमने यहां काफी अभाज्य संख्याएं ली हैं, इसलिए आप तुरंत देख सकते हैं कि 64a 3, (4a) 3 है और 8b 3 (2b) 3 है। इस प्रकार, इस बहुपद को घनों के सूत्र अंतर द्वारा 2 गुणनखंडों में विस्तारित किया जाता है। घनों के योग के सूत्र पर क्रिया सादृश्य द्वारा की जाती है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि सभी बहुपदों को कम से कम एक तरीके से विघटित नहीं किया जा सकता है। लेकिन ऐसे व्यंजक हैं जिनमें वर्ग या घन से बड़ी घातें होती हैं, लेकिन उन्हें संक्षिप्त गुणन रूपों में भी विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 - x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2)।

इस उदाहरण में 12 डिग्री तक हैं। लेकिन यहां तक ​​कि घनों के योग के सूत्र का उपयोग करके भी इसका गुणनखंड किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको x 12 को (x 4) 3 के रूप में प्रस्तुत करना होगा, अर्थात किसी व्यंजक के घन के रूप में। अब, a के बजाय, आपको इसे सूत्र में स्थानापन्न करने की आवश्यकता है। खैर, व्यंजक 125y 3 5y का घन है। अगला कदम फॉर्मूला लिखना और गणना करना है।

सबसे पहले, या जब संदेह हो, तो आप हमेशा व्युत्क्रम गुणन द्वारा जांच कर सकते हैं। आपको परिणामी व्यंजक में केवल कोष्ठक खोलने और समान शब्दों के साथ कार्य करने की आवश्यकता है। यह विधि कटौती के सभी सूचीबद्ध तरीकों पर लागू होती है: दोनों एक सामान्य कारक और समूह के साथ काम करने के लिए, और क्यूब्स और वर्ग शक्तियों के सूत्रों पर संचालन के लिए।

इस पाठ में, हम एक बहुपद के गुणनखंडन के पहले अध्ययन किए गए सभी तरीकों को याद करेंगे और उनके आवेदन के उदाहरणों पर विचार करेंगे, इसके अलावा, हम एक नई विधि - पूर्ण वर्ग विधि का अध्ययन करेंगे और सीखेंगे कि विभिन्न समस्याओं को हल करने में इसे कैसे लागू किया जाए।

विषय:फैक्टरिंग बहुपद

पाठ:बहुपदों का गुणनखंडन। पूर्ण वर्ग चयन विधि। विधियों का संयोजन

पहले अध्ययन किए गए बहुपद के गुणनखंडन की मुख्य विधियों को याद कीजिए:

कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने की विधि, अर्थात् बहुपद के सभी सदस्यों में मौजूद गुणनखंड। एक उदाहरण पर विचार करें:

याद रखें कि एकपदी घातों और संख्याओं का गुणनफल होता है। हमारे उदाहरण में, दोनों सदस्यों में कुछ समान, समान तत्व हैं।

तो, आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

;

याद रखें कि रेंडर किए गए गुणक को ब्रैकेट से गुणा करके, आप रेंडरिंग की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।

समूहन विधि। बहुपद में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको इसके सदस्यों को समूहों में इस तरह से विभाजित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक समूह में आप एक सामान्य कारक निकाल सकते हैं और इसे तोड़ने का प्रयास कर सकते हैं ताकि समूहों में कारकों को निकालने के बाद, एक सामान्य कारक दिखाई दे संपूर्ण अभिव्यक्ति, और विस्तार जारी रखा जा सकता है। एक उदाहरण पर विचार करें:

पहले पद को चौथे के साथ, दूसरे को पांचवें के साथ, और तीसरे को क्रमशः छठे के साथ समूहित करें:

आइए समूहों में सामान्य कारकों को निकालें:

अभिव्यक्ति में एक सामान्य कारक है। आइए इसे बाहर निकालें:

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग। एक उदाहरण पर विचार करें:

;

आइए अभिव्यक्ति को विस्तार से लिखें:

जाहिर है, हमारे सामने अंतर के वर्ग का सूत्र है, क्योंकि दो भावों के वर्गों का योग होता है और उनके दोहरे गुणन को उसमें से घटा दिया जाता है। आइए सूत्र द्वारा रोल करें:

आज हम एक और तरीका सीखेंगे - पूर्ण वर्ग चयन विधि। यह योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्रों पर आधारित है। उन्हें याद करें:

योग के वर्ग के लिए सूत्र (अंतर);

इन सूत्रों की ख़ासियत यह है कि इनमें दो भावों के वर्ग और उनके दोहरे गुणनफल होते हैं। एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए अभिव्यक्ति लिखें:

तो पहली अभिव्यक्ति है , और दूसरी ।

योग या अंतर के वर्ग का सूत्र बनाने के लिए, व्यंजकों का दोहरा गुणनफल पर्याप्त नहीं है। इसे जोड़ने और घटाने की जरूरत है:

आइए योग के पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम वर्ग सूत्र के अंतर को लागू करते हैं, याद रखें कि दो भावों के वर्गों का अंतर उनके अंतर से गुणनफल और योग है:

तो, इस पद्धति में, सबसे पहले, इस तथ्य में शामिल है कि अभिव्यक्ति ए और बी की पहचान करना आवश्यक है जो कि चुकता है, अर्थात यह निर्धारित करने के लिए कि इस उदाहरण में कौन से भाव चुकता हैं। उसके बाद, आपको एक दोहरे उत्पाद की उपस्थिति की जांच करने की आवश्यकता है, और यदि यह नहीं है, तो इसे जोड़ें और घटाएं, इससे उदाहरण का अर्थ नहीं बदलेगा, लेकिन वर्ग के लिए सूत्रों का उपयोग करके बहुपद को फैक्टर किया जा सकता है योग या अंतर और वर्गों का अंतर, यदि संभव हो तो।

आइए उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

उदाहरण 1 - गुणनखंडन करें:

ऐसे व्यंजक खोजें जो चुकता हों:

आइए नीचे लिखें कि उनका दोहरा उत्पाद क्या होना चाहिए:

आइए दोहरा उत्पाद जोड़ें और घटाएं:

आइए योग के पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें और समान अंक दें:

हम वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार लिखेंगे:

उदाहरण 2 - समीकरण को हल करें:

;

समीकरण के बाईं ओर एक त्रिपद है। आपको इसे कारक बनाने की जरूरत है। हम अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास पहली अभिव्यक्ति का वर्ग और दोहरा उत्पाद है, दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग गायब है, आइए इसे जोड़ें और घटाएं:

आइए हम पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें और समान पद दें:

आइए वर्गों का अंतर सूत्र लागू करें:

तो हमारे पास समीकरण है

हम जानते हैं कि गुणनफल शून्य के बराबर होता है, यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो। इसके आधार पर, हम समीकरण लिखेंगे:

आइए पहले समीकरण को हल करें:

आइए दूसरे समीकरण को हल करें:

उत्तर: या

;

हम पिछले उदाहरण के समान कार्य करते हैं - अंतर के वर्ग का चयन करें।