एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र। क्षेत्र की गणना और लेबल कैसे करें

कक्षा 5 से शुरू होकर, छात्र विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा से परिचित होने लगते हैं। आयत के क्षेत्र को एक विशेष भूमिका दी जाती है, क्योंकि यह आंकड़ा सीखने में सबसे आसान में से एक है।

क्षेत्र अवधारणा

किसी भी आकृति का अपना क्षेत्र होता है, और क्षेत्र की गणना एक इकाई वर्ग पर आधारित होती है, यानी एक वर्ग से जिसकी लंबाई 1 मिमी, या 1 सेमी, 1 डीएम, और इसी तरह होती है। ऐसी आकृति का क्षेत्रफल $1*1 = 1mm^2$, या $1cm^2$, आदि के बराबर है। क्षेत्र, एक नियम के रूप में, अक्षर - S द्वारा निरूपित किया जाता है।

क्षेत्र खंडों द्वारा उल्लिखित आकृति के कब्जे वाले विमान के हिस्से के आकार को दर्शाता है।

आयत एक चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण समान डिग्री माप के होते हैं और 90 डिग्री के बराबर होते हैं, और विपरीत पक्ष जोड़े में समानांतर और बराबर होते हैं।

लंबाई और चौड़ाई की इकाइयों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। उन्हें मेल खाना चाहिए। यदि इकाइयाँ मेल नहीं खाती हैं, तो वे परिवर्तित हो जाती हैं। एक नियम के रूप में, एक बड़ी इकाई को एक छोटी इकाई में बदल दिया जाता है, उदाहरण के लिए, यदि लंबाई dm में दी गई है, और चौड़ाई cm में है, तो dm को cm में बदल दिया जाता है, और परिणाम $cm^2$ होगा।

आयत क्षेत्र सूत्र

एक सूत्र के बिना एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उन इकाई वर्गों की संख्या गिनने की आवश्यकता है जिनमें आकृति विभाजित है।

चावल। 1. इकाई वर्गों में विभाजित आयत

आयत को 15 वर्गों में बांटा गया है, यानी इसका क्षेत्रफल 15 सेमी2 है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह आंकड़ा 3 वर्ग चौड़ा और 5 वर्ग लंबा है, इसलिए इकाई वर्गों की संख्या की गणना करने के लिए, आपको लंबाई को चौड़ाई से गुणा करना होगा। चतुर्भुज की छोटी भुजा जितनी चौड़ी होती है, उतनी ही लंबी होती है। इस प्रकार, हम आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

एस = ए बी, जहां ए, बी आकृति की चौड़ाई और लंबाई है।

उदाहरण के लिए, यदि आयत की लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी है, तो क्षेत्रफल 4 * 5 = 20 सेमी 2 होगा।

इसके विकर्ण का उपयोग करके आयत के क्षेत्रफल की गणना करना

विकर्ण के माध्यम से एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको सूत्र लागू करना होगा:

$$S = (1\over(2)) d^2 ⋅ sin(α)$$

यदि कार्य विकर्णों के बीच के कोण का मान देता है, साथ ही स्वयं विकर्ण का मान भी देता है, तो आप मनमाने उत्तल चतुर्भुज के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके आयत के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

एक विकर्ण एक रेखा खंड है जो एक आकृति के विपरीत बिंदुओं को जोड़ता है। आयत के विकर्ण बराबर होते हैं, और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होता है।

चावल। 2. खींचे गए विकर्णों वाला आयत

उदाहरण

विषय को समेकित करने के लिए, कार्यों के उदाहरणों पर विचार करें:

नंबर 1। बगीचे के भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जैसा कि आकृति में है।

चावल। 3. समस्या के लिए आरेखण

फेसला:

क्षेत्रफल घटाने के लिए, आकृति को दो आयतों में विभाजित करना आवश्यक है। उनमें से एक के आयाम 10 मीटर और 3 मीटर, अन्य 5 मीटर और 7 मीटर होंगे। अलग-अलग, हम उनके क्षेत्र पाते हैं:

$S_1 =3*10=30 मीटर^2$;

यह बगीचे के भूखंड का क्षेत्रफल $S = 65 m^2$ होगा।

नंबर 2. इसके विकर्ण d=6 सेमी और विकर्णों के बीच के कोण α=30 0 दिए गए आयत के क्षेत्रफल को घटाएं।

फेसला:

$sin 30 का मूल्य =(1\over(2)) $,

$ S =(1\over(2))⋅ d^2 sinα$

$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 cm^2$

इस प्रकार, $S=9 cm^2$।

विकर्ण आयत को 4 आकृतियों - 4 त्रिभुजों में विभाजित करता है। इस मामले में, त्रिभुज जोड़ीदार बराबर हैं। यदि आप एक आयत में एक विकर्ण खींचते हैं, तो यह आकृति को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।औसत रेटिंग: 4.4. प्राप्त कुल रेटिंग: 214।

पृथ्वी को मापने का ज्ञान पुरातनता में दिखाई दिया और धीरे-धीरे ज्यामिति के विज्ञान में आकार ले लिया। ग्रीक भाषा से, इस शब्द का अनुवाद "भूमि सर्वेक्षण" के रूप में किया गया है।

पृथ्वी के समतल क्षेत्र की लम्बाई और चौड़ाई का माप क्षेत्रफल है। गणित में, इसे आमतौर पर लैटिन अक्षर S (अंग्रेजी "वर्ग" से - "क्षेत्र", "वर्ग") या ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) द्वारा दर्शाया जाता है। एस एक विमान या शरीर के सतह क्षेत्र पर एक आकृति के क्षेत्र को दर्शाता है, और σ भौतिकी में एक तार का पार-अनुभागीय क्षेत्र है। ये मुख्य प्रतीक हैं, हालांकि अन्य भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, सामग्री की ताकत के क्षेत्र में, ए प्रोफ़ाइल का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है।

गणना सूत्र

सरल आकृतियों के क्षेत्रफलों को जानने के बाद, आप अधिक जटिल आकृतियों के प्राचल ज्ञात कर सकते हैं।. प्राचीन गणितज्ञों ने ऐसे सूत्र विकसित किए जिनके द्वारा उनकी गणना आसानी से की जा सकती है। ऐसी आकृतियाँ एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, एक बहुभुज, एक वृत्त हैं।

एक जटिल सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इसे कई सरल आकृतियों जैसे त्रिभुज, समलम्बाकार, या आयतों में विभाजित किया जाता है। फिर गणितीय विधियाँ इस आकृति के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र प्राप्त करती हैं। इसी तरह की विधि का उपयोग न केवल ज्यामिति में किया जाता है, बल्कि गणितीय विश्लेषण में वक्रों से घिरे आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

त्रिकोण

आइए सबसे सरल आकार से शुरू करें - एक त्रिकोण। वे आयताकार, समद्विबाहु और समबाहु हैं। AB=a, BC=b और AC=c (∆ ABC) भुजाओं वाला कोई भी त्रिभुज ABC लीजिए। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आइए स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से ज्ञात ज्या और कोज्या के प्रमेयों को याद करें। सभी गणनाओं को छोड़ कर, हम निम्नलिखित सूत्रों पर पहुँचते हैं:

• S=√ - बगुला का सूत्र सभी को ज्ञात है, जहाँ p=(a+b+c)/2 - त्रिभुज का आधा परिमाप;
• एस=ए एच/2, जहां एच ऊंचाई को एक तरफ कम किया जाता है;
• S=a b (sin γ)/2, जहां भुजाओं a और b के बीच का कोण है;
• S=a b/2 यदि ABC आयताकार है (यहाँ a और b टाँगें हैं);
• S=b² (sin (2 β))/2 यदि ABC समद्विबाहु है (यहाँ b "कूल्हों" में से एक है, β त्रिभुज के "कूल्हों" के बीच का कोण है);
• S=a² यदि ∆ ABC समबाहु है (यहाँ a त्रिभुज की भुजा है)।

चतुष्कोष

मान लीजिए कि AB=a, BC=b, CD=c, AD=d के साथ एक चतुर्भुज ABCD है। एक मनमाना 4-गॉन का क्षेत्रफल S ज्ञात करने के लिए, इसे एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित करना आवश्यक है, जिनका क्षेत्रफल S1 और S2 आम तौर पर समान नहीं होते हैं।

फिर, सूत्रों का उपयोग करके, उनकी गणना करें और उन्हें जोड़ दें, अर्थात S=S1+S2। हालाँकि, यदि क्वाड एक निश्चित वर्ग से संबंधित है, तो इसका क्षेत्रफल पहले से ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

• S=(a+c) h/2=e h, यदि क्वाड एक समलम्बाकार है (यहाँ a और c आधार हैं, e समलम्बाकार की मध्य रेखा है, h समलम्बाकार के आधारों में से एक की ऊँचाई है ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, यदि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है (यहाँ φ भुजाओं a और b के बीच का कोण है, h भुजा a, d1 और d2 विकर्ण हैं);
• S=a b=d²/2 यदि ABCD एक आयत है (d एक विकर्ण है);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 यदि ABCD एक समचतुर्भुज है (a समचतुर्भुज की भुजा है, इसके कोनों में से एक है, P परिधि है);
• S=a²=P²/16=d²/2 यदि ABCD एक वर्ग है।

बहुभुज

एक n-gon का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, गणितज्ञ इसे सरलतम समान त्रिभुजों में तोड़ते हैं, उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ देते हैं। लेकिन अगर बहुभुज नियमित वर्ग के अंतर्गत आता है, तो सूत्र का उपयोग किया जाता है:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, जहाँ n बहुभुज के कोने (या भुजाओं) की संख्या है, a n-gon का पक्ष है, P इसकी परिधि है, h एपोथेम है , यानी बहुभुज के केंद्र से 90° के कोण पर इसकी एक भुजा तक खींचा गया खंड।

एक क्षेत्र में

एक वृत्त अनंत संख्या में भुजाओं वाला एक पूर्ण बहुभुज है।. हमें बहुभुज क्षेत्र सूत्र में दाईं ओर अभिव्यक्ति की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, जिसमें पक्षों की संख्या n अनंत की ओर है। इस स्थिति में, बहुभुज की परिधि त्रिज्या R के एक वृत्त की लंबाई में बदल जाएगी, जो हमारे वृत्त की सीमा होगी, और P=2 R के बराबर हो जाएगी। इस व्यंजक को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करें। हम प्राप्त कर लेंगे:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n))।

आइए इस व्यंजक की सीमा n→∞ के रूप में ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि n→∞ के लिए lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 के बराबर है (lim सीमा का संकेत है), और n→∞ के लिए lim = lim है 1/π के बराबर (हमने rad=180° के अनुपात का उपयोग करते हुए डिग्री माप का रेडियन में अनुवाद किया है, और पहली उल्लेखनीय सीमा lim (sin x)/x=1 को x→∞ पर लागू किया है)। प्राप्त मूल्यों को एस के लिए अंतिम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्रसिद्ध सूत्र पर पहुंचते हैं:

एस=π² आर² 1 (1/π)=π आर²।

इकाइयों

माप की प्रणाली और गैर-प्रणाली इकाइयों को लागू किया जाता है. सिस्टम इकाइयों को SI (सिस्टम इंटरनेशनल) के रूप में जाना जाता है। यह एक वर्ग मीटर (वर्ग मीटर, वर्ग मीटर) और इससे प्राप्त इकाइयाँ हैं: mm², cm², km²।

वर्ग मिलीमीटर (मिमी²) में, उदाहरण के लिए, वे इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में तारों के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र को वर्ग सेंटीमीटर (सेमी²) में मापते हैं - संरचनात्मक यांत्रिकी में बीम का क्रॉस सेक्शन, वर्ग मीटर (एम²) में ) - एक अपार्टमेंट या घर, वर्ग किलोमीटर (किमी²) में - भूगोल में एक क्षेत्र।

हालांकि, कभी-कभी माप की गैर-प्रणालीगत इकाइयों का उपयोग किया जाता है, जैसे: बुनाई, एआर (ए), हेक्टेयर (हे) और एकड़ (एसी)। हम निम्नलिखित अनुपात देते हैं:

• 1 बुनाई \u003d 1 ए \u003d 100 वर्ग मीटर \u003d 0.01 हेक्टेयर;
• 1 हेक्टेयर = 100 ए = 100 एकड़ = 10000 वर्ग मीटर = 0.01 किमी² = 2.471 के रूप में;
• 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 एकड़ = 0.405 हेक्टेयर।

ज्यामितीय क्षेत्र- इस आकृति के आकार को दर्शाने वाली ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता (इस आकृति के एक बंद समोच्च से घिरा सतह का हिस्सा)। क्षेत्रफल का आकार इसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा और ऊँचाई के लिए त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र
   त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर और इस भुजा पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई
   
2. त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है
   
3. त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या दी गई है
   त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज के अर्ध-परिधि और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है।
   
जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
- त्रिभुज की ऊँचाई,
- पक्षों के बीच का कोण और,
- खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या,
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,

वर्ग क्षेत्र सूत्र

1. एक भुजा की लंबाई दिए गए वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   वर्ग क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर है।
2. एक वर्ग के क्षेत्रफल के लिए सूत्र जिसे विकर्ण की लंबाई दी गई है
   वर्ग क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर।
   

   एस =	1	2
   	2

जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
वर्ग की भुजा की लंबाई है,
वर्ग के विकर्ण की लंबाई है।

आयत क्षेत्र सूत्र

आयत क्षेत्रइसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर है

जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
आयत की भुजाओं की लंबाई हैं।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

1. पार्श्व लंबाई और ऊंचाई के लिए समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र
   समांतर चतुर्भुज क्षेत्र
2. एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया हो
   समांतर चतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजाओं की लंबाई को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करने पर गुणनफल के बराबर होता है।
   

   ए बी पाप

जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण है।

समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र

1. समचतुर्भुज क्षेत्र सूत्र दिया गया भुजा की लंबाई और ऊंचाई
   समचतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई और इस तरफ की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर है।
2. समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र, भुजा और कोण की लंबाई दिया गया है
   समचतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।
3. एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र उसके विकर्णों की लंबाई से
   समचतुर्भुज क्षेत्रइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर है।
जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई,
- समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।

समलंब क्षेत्र सूत्र

1. समलम्ब चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र

   जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
   - समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई,
   - समलम्ब चतुर्भुज के किनारों की लंबाई,
   

क्षेत्रफल क्या है और आयत क्या है

क्षेत्रफल एक ऐसी ज्यामितीय मात्रा है जिससे आप किसी ज्यामितीय आकृति की किसी भी सतह का आकार निर्धारित कर सकते हैं।

कई शताब्दियों तक ऐसा होता रहा कि क्षेत्रफल की गणना को चतुर्भुज कहा जाता था। यही है, सरल ज्यामितीय आंकड़ों के क्षेत्र का पता लगाने के लिए, यह उन इकाई वर्गों की संख्या की गणना करने के लिए पर्याप्त था जिनके साथ आंकड़े सशर्त रूप से कवर किए गए थे। और जिस आकृति का क्षेत्रफल होता था उसे वर्ग कहते थे।

इसलिए, हम संक्षेप में कह सकते हैं कि क्षेत्र एक ऐसा मान है जो हमें खंडों से जुड़े विमान के हिस्से का आकार दिखाता है।

एक आयत एक चतुर्भुज है जिसमें सभी समकोण होते हैं। अर्थात् एक चार भुजा वाली आकृति जिसमें चार समकोण हों और उसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हों, आयत कहलाती है।

आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका है कि आप पारदर्शी कागज लें, जैसे ट्रेसिंग पेपर या ऑइलक्लोथ, और इसे बराबर 1 सेमी वर्गों में खीचें, और फिर इसे आयत की छवि से जोड़ दें। भरे हुए वर्गों की संख्या वर्ग सेंटीमीटर में क्षेत्रफल होगा। उदाहरण के लिए, चित्र से पता चलता है कि आयत 12 वर्गों में आता है, जिसका अर्थ है कि इसका क्षेत्रफल 12 वर्ग मीटर है। से। मी।

लेकिन बड़ी वस्तुओं के क्षेत्र को खोजने के लिए, जैसे कि एक अपार्टमेंट, एक अधिक सार्वभौमिक विधि की आवश्यकता होती है, इसलिए सूत्र की लंबाई को इसकी चौड़ाई से गुणा करके एक आयत के क्षेत्र को खोजने के लिए सिद्ध किया गया था।

और अब आइए एक सूत्र के रूप में आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के नियम को लिखने का प्रयास करें। आइए अपनी आकृति के क्षेत्र को S अक्षर से निरूपित करें, अक्षर a इसकी लंबाई को निरूपित करेगा, और अक्षर b इसकी चौड़ाई को निरूपित करेगा।

परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

एस = ए * बी।

यदि हम इस सूत्र को ऊपर के आयत आरेखण पर लगाते हैं, तो हमें वही 12 वर्ग सेमी प्राप्त होगा, क्योंकि ए \u003d 4 सेमी, बी \u003d 3 सेमी, और एस \u003d 4 * 3 \u003d 12 वर्ग सेमी।

यदि आप दो समान आंकड़े लेते हैं और उन्हें एक के ऊपर एक रख देते हैं, तो वे मेल खाएंगे, और बराबर कहलाएंगे। ऐसी समान आकृतियों के क्षेत्रफल और परिमाप भी समान होंगे।

क्षेत्र को खोजने में सक्षम क्यों हो

सबसे पहले, यदि आप किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना जानते हैं, तो उसके सूत्र की सहायता से आप ज्यामिति और त्रिकोणमिति में किसी भी समस्या को आसानी से हल कर सकते हैं।
दूसरे, एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करना सीख लेने के बाद, आप पहली बार में सरल समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे, और समय के साथ आप और अधिक जटिल समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे, और सीखेंगे कि खुदी हुई आकृतियों के क्षेत्रों को कैसे खोजना है एक आयत में या उसके पास।
तीसरा, एस \u003d ए * बी के रूप में इस तरह के एक सरल सूत्र को जानने से, आपको बिना किसी समस्या के किसी भी साधारण रोजमर्रा के कार्यों को हल करने का अवसर मिलता है (उदाहरण के लिए, एस अपार्टमेंट या घर खोजें), और समय के साथ आप उन्हें हल करने में सक्षम होंगे। जटिल स्थापत्य परियोजनाओं।

अर्थात्, यदि हम क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र को पूरी तरह से सरल कर दें, तो यह इस प्रकार दिखाई देगा:

पी \u003d एल एक्स डब्ल्यू,

P का मतलब वांछित क्षेत्र है, D इसकी लंबाई है, W इसकी चौड़ाई को दर्शाता है, और x गुणन चिह्न है।

क्या आप जानते हैं कि किसी भी बहुभुज के क्षेत्रफल को सशर्त रूप से एक निश्चित संख्या में वर्गाकार ब्लॉकों में विभाजित किया जा सकता है जो इस बहुभुज के अंदर होते हैं? क्षेत्रफल और परिमाप में क्या अंतर है

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके परिधि और क्षेत्रफल के बीच के अंतर को समझने की कोशिश करें। उदाहरण के लिए, हमारा स्कूल एक ऐसी जगह पर स्थित है, जिस पर बाड़ लगाई गई है - इस बाड़ की कुल लंबाई परिधि होगी, और बाड़ के अंदर की जगह क्षेत्र है।

क्षेत्र इकाइयाँ

यदि एक-आयामी परिधि को रैखिक इकाइयों में मापा जाता है, जो इंच, पैर और मीटर हैं, तो एस दो-आयामी गणनाओं को संदर्भित करता है और इसकी अपनी लंबाई और चौड़ाई होती है।

और S को वर्ग इकाइयों में मापा जाता है, जैसे:

एक वर्ग मिलीमीटर, जहाँ एक वर्ग के S की एक भुजा एक मिलीमीटर के बराबर होती है;
एक वर्ग सेंटीमीटर में S ऐसा वर्ग है जिसकी भुजा एक सेंटीमीटर है;
एक वर्ग डेसीमीटर इस वर्ग के S के बराबर होता है जिसकी एक भुजा एक डेसीमीटर होती है;
एक वर्ग मीटर में एक वर्ग का S है जिसकी भुजा एक मीटर है;
अंत में, एक वर्ग किलोमीटर में एक S वर्ग होता है जिसकी भुजा एक किलोमीटर होती है।

पृथ्वी की सतह पर बड़े क्षेत्रों के क्षेत्रों को मापने के लिए, इकाइयाँ जैसे:

एक आर या बुनाई - यदि वर्ग के एस की भुजा दस मीटर है;
एक हेक्टेयर एक वर्ग के S के बराबर है जिसकी भुजा एक सौ मीटर है।

कार्य और अभ्यास

अब आइए कुछ उदाहरण देखें।

आकृति 62 में एक आकृति खींची गई है जिसमें आठ वर्ग हैं और इन वर्गों की प्रत्येक भुजा एक सेंटीमीटर के बराबर है। अतः ऐसे वर्ग का S एक वर्ग सेंटीमीटर होगा।

अगर लिखा है, तो यह इस तरह दिखेगा:

1 सेमी2. और आठ वर्गों से मिलकर बनी इस सभी आकृति का S, 8 वर्ग सेमी के बराबर होगा।

यदि हम कोई आकृति लेते हैं और उसे एक सेंटीमीटर के बराबर भुजा वाले "p" वर्गों में विभाजित करते हैं, तो इसका क्षेत्रफल बराबर होगा:

आर सेमी2.

आइए चित्र 63 में आयत, छवियों को देखें। इस आयत में तीन धारियाँ होती हैं, और ऐसी प्रत्येक पट्टी को 1 सेमी की भुजा के साथ पाँच बराबर वर्गों में विभाजित किया जाता है।

आइए इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। और इसलिए हम पांच वर्ग लेते हैं, और तीन स्ट्रिप्स से गुणा करते हैं और 15 वर्ग सेमी के बराबर क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं:

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। आयत ABCD को चित्र 64 में दिखाया गया है, इसे खंडित रेखा KLMN द्वारा दो भागों में विभाजित किया गया है। इसका पहला भाग 12 सेमी2 के क्षेत्रफल के बराबर है और दूसरे भाग का क्षेत्रफल 9 सेमी2 है। आइए अब संपूर्ण आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

तो, हम तीन लेते हैं और सात से गुणा करते हैं और 21 वर्ग सेमी प्राप्त करते हैं:

3 7 \u003d 21 वर्ग सेमी। इस मामले में, 21 \u003d 12 + 9।

और हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि हमारी संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल उसके अलग-अलग हिस्सों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। और इसलिए आकृति 65 में एक आयत दिखाया गया है, जो खंड AC का उपयोग करके, दो समान त्रिभुजों ABC और ADC में विभाजित है।

और चूंकि हम पहले से ही जानते हैं कि एक वर्ग एक ही आयत है, जिसकी केवल बराबर भुजाएँ हैं, तो प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल पूरे आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होगा।

कल्पना कीजिए कि वर्ग की भुजा a है, तो:

एस = ए ए = ए 2।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र इस तरह दिखेगा:

और रिकॉर्ड a2 को संख्या a का वर्ग कहा जाता है।

और इसलिए, यदि हमारे वर्ग की भुजा चार सेंटीमीटर है, तो इसका क्षेत्रफल होगा:

4 4, यानी 4 * 2 = 16 वर्ग सेमी।

प्रश्न और कार्य

एक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो सोलह वर्गों में विभाजित है, जिसकी भुजाएँ एक सेंटीमीटर के बराबर हैं।
आयत का सूत्र याद रखें और उसे लिख लें।
एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको क्या माप करने होंगे?
समान अंकों को परिभाषित कीजिए।
क्या विभिन्न क्षेत्रों में समान आंकड़े हो सकते हैं? परिधि के बारे में क्या?
यदि आप किसी आकृति के अलग-अलग हिस्सों का क्षेत्रफल जानते हैं, तो आप उसका कुल क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं?
एक वर्ग का क्षेत्रफल बनाइए और लिखिए।

इतिहास संदर्भ

क्या आप जानते हैं कि बाबुल में प्राचीन लोग एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने में सक्षम थे। इसके अलावा, प्राचीन मिस्रवासियों ने विभिन्न आंकड़ों की गणना की, लेकिन चूंकि वे सटीक सूत्रों को नहीं जानते थे, इसलिए गणना में छोटी त्रुटियां थीं।

अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, प्रसिद्ध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड, विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की गणना करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन करते हैं।

परिभाषा।

आयतें एक दूसरे से केवल लंबी भुजा के छोटी भुजा के अनुपात में भिन्न होती हैं, लेकिन ये चारों सही हैं, यानी प्रत्येक 90 डिग्री।

आयत की लंबी भुजा कहलाती है आयताकार लंबाई, और लघु आयताकार चौड़ाई.

एक आयत की भुजाएँ उसकी ऊँचाई भी होती हैं।

एक आयत के मूल गुण

एक आयत एक समांतर चतुर्भुज, एक वर्ग या एक समचतुर्भुज हो सकता है।

1. एक आयत की सम्मुख भुजाओं की लंबाई समान होती है, अर्थात् वे बराबर होती हैं:

एबी = सीडी, बीसी = एडी

2. आयत की सम्मुख भुजाएँ समानांतर हैं:

3. एक आयत की आसन्न भुजाएँ हमेशा लंबवत होती हैं:

AB BC, BC CD, CD AD, AD AB

4. आयत के चारों कोने सीधे हैं:

ABC = BCD = ∠CDA = DAB = 90°

5. एक आयत के कोणों का योग 360 डिग्री होता है:

ABC + BCD + ∠CDA + DAB = 360°

6. एक आयत के विकर्णों की लंबाई समान होती है:

7. एक आयत के विकर्ण के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. एक आयत का प्रत्येक विकर्ण आयत को दो समान आकृतियों, अर्थात् समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।

9. आयत के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होते हैं:

10. विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को आयत का केंद्र कहा जाता है और यह परिबद्ध वृत्त का केंद्र भी होता है

11. एक आयत का विकर्ण परिबद्ध वृत्त का व्यास है

12. एक आयत के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन हमेशा किया जा सकता है, क्योंकि सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री होता है:

ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = DAB = 180°

13. एक आयत में एक वृत्त अंकित नहीं किया जा सकता है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई के बराबर नहीं है, क्योंकि विपरीत पक्षों के योग एक दूसरे के बराबर नहीं हैं (एक वृत्त केवल एक आयत के विशेष मामले में ही अंकित किया जा सकता है - एक वर्ग)।

एक आयत की भुजा

परिभाषा।

आयत की भुजाओं की लंबाई निर्धारित करने के सूत्र

1. एक आयत की भुजा का सूत्र (आयत की लंबाई और चौड़ाई) विकर्ण और दूसरी भुजा के पदों में:

ए = डी 2 - बी 2

बी = डी 2 - ए 2

2. एक आयत की भुजा (आयत की लंबाई और चौड़ाई) के क्षेत्रफल और दूसरी भुजा के संदर्भ में सूत्र:

आयत विकर्ण

परिभाषा।

आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के सूत्र

1. आयत की दो भुजाओं के संदर्भ में एक आयत के विकर्ण का सूत्र (पायथागॉरियन प्रमेय के माध्यम से):

डी = ए 2 + बी 2

2. क्षेत्रफल और किसी भी भुजा के संदर्भ में आयत के विकर्ण का सूत्र:

4. एक आयत के विकर्ण का सूत्र परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के पदों में:

डी = 2 आर

5. एक आयत के विकर्ण का सूत्र परिबद्ध वृत्त के व्यास के पदों में:

डी = डी ओ

6. एक आयत के विकर्ण का सूत्र, विकर्ण से लगे कोण की ज्या और इस कोण के सम्मुख भुजा की लंबाई के पदों में:

8. आयत के विकर्णों और आयत के क्षेत्रफल के बीच न्यून कोण की ज्या के पदों में एक आयत के विकर्ण का सूत्र

डी = √2S: sinβ

एक आयत का परिमाप

परिभाषा।

आयत की परिधि की लंबाई निर्धारित करने के सूत्र

1. आयत की दो भुजाओं के पदों में आयत के परिमाप का सूत्र:

पी = 2ए + 2बी

पी = 2 (ए + बी)

2. क्षेत्रफल और किसी भी भुजा के संदर्भ में आयत के परिमाप का सूत्र:

3. एक आयत के परिमाप का विकर्ण और किसी भी भुजा के पदों में सूत्र:

पी = 2 (ए + डी 2 - ए 2) = 2 (बी + डी 2 - बी 2)

4. एक आयत के परिमाप का सूत्र परिबद्ध वृत्त और किसी भी भुजा की त्रिज्या के पदों में होता है:

पी = 2 (ए + √4R 2 - एक 2) = 2 (बी + √4R 2 - बी 2)

5. एक आयत के परिमाप का सूत्र परिबद्ध वृत्त और किसी भी भुजा के व्यास के पदों में:

पी = 2 (ए + √डी ओ 2 - एक 2) = 2 (बी + डी ओ 2 - बी 2)

आयत क्षेत्र

परिभाषा।

आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र

1. दो भुजाओं के संदर्भ में एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस = एक बी

2. परिधि और किसी भी भुजा के माध्यम से एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र:

5. एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र परिबद्ध वृत्त और किसी भी भुजा की त्रिज्या के पदों में:

एस = एक √4R 2 - एक 2= बी √4R 2 - बी 2

6. एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र परिबद्ध वृत्त और किसी भी भुजा के व्यास के पदों में:

एस \u003d ए डी ओ 2 - एक 2= बी डी ओ 2 - बी 2

एक आयत के चारों ओर परिचालित वृत्त

परिभाषा।

एक आयत के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के सूत्र

1. एक आयत के चारों ओर दो भुजाओं से परिचालित वृत्त की त्रिज्या का सूत्र: