- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक काटे गए पिरामिड एक कटे हुए शीर्ष के साथ एक पिरामिड है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व पसलियाँ समान लंबाई की होती हैं और एक ही कोण पर आधार की ओर झुकी होती हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में, चेहरे समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर होता है। वे एक कोण पर आधार की ओर झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र इसके पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूंकि काटे गए पिरामिड के किनारे समलम्बाकार हैं, इसलिए आपको मापदंडों की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना होगा समलम्बाकार क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, क्षेत्र की गणना के लिए एक और सूत्र लागू किया जा सकता है। चूंकि आधार पर इसकी सभी भुजाएं, फलक और कोण समान हैं, इसलिए आधार और एपोथेम के परिमापों को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र भी व्युत्पन्न किया जा सकता है।

यदि, एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में शर्तों के अनुसार, एपोथेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी जाती है, तो क्षेत्र की गणना परिधि के योग के आधे उत्पाद के माध्यम से की जा सकती है आधार और एपोथेम:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण को देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है। एपोथेम मैं\u003d 5 सेमी, बड़े आधार में चेहरे की लंबाई है ए\u003d 6 सेमी, और चेहरा छोटे आधार पर है बी\u003d 4 सेमी। काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना करें।

पहले, आइए आधारों के परिमाप ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचभुज हैं। इसका मतलब है कि आधार पांच समान पक्षों वाली एक आकृति है। बड़े आधार का परिमाप ज्ञात कीजिए:

इसी प्रकार, हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, हमने परिधि और एपोथेम के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोनों के माध्यम से और इन बहुत ही ठिकानों के क्षेत्र.

आइए एक उदाहरण गणना देखें। याद रखें कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से काटे गए पिरामिड पर लागू होता है।

मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है। निचले आधार का फलक a = 6 सेमी, और ऊपरी b = 4 सेमी का फलक है। आधार पर विकर्ण कोण β = 60° है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए आधारों के क्षेत्र की गणना करें। चूंकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी फलक एक दूसरे के बराबर हैं। यह देखते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि गणना करना आवश्यक होगा वर्ग क्षेत्र. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन चुकता, ये मान समान हैं। बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानकर, हमने आसानी से विभिन्न मूल्यों के माध्यम से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व समलम्बाकार क्षेत्र की गणना की।

पिरामिड। छोटा पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को पार्श्व फलक का वह भाग कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड के सभी किनारे आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ पे वी- मात्रा;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- ऊंचाई;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड के हिस्से को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। ऊंचाई काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे पर नहीं होता है। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ पे एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले ठिकानों के क्षेत्र;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- ऊंचाई;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पे पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

एच ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार एक समबाहु त्रिभुज है और सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण होगा एदो लंबवत के बीच: यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचालित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा को खोजने के लिए आपको पैरों को जानना होगा इसलिएऔर ओबी. माना खंड की लंबाई बीडी 3 . है ए. दूरसंचार विभाग हेरेखा खंड बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

जवाब:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

फेसला।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों के क्षेत्र और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

जवाब: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधारों और ऊंचाई को जानना होगा। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। इसे कहां से खोजें लेकिन 1 इएक बिंदु से लंबवत लेकिन 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत लेकिन 1 पर एसी. लेकिन 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को चित्रित करेंगे। दूरसंचार विभाग हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

जवाब:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एऔर बी (ए> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर है ऐ बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। दूरसंचार विभाग हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन को। एक सपाट आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में समस्या कम हो गई ऐ बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ऐ बी सी डीअलग से (चित्र 22)। दूरसंचार विभाग हेएक समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है

इस पाठ में, हम एक काटे गए पिरामिड पर विचार करेंगे, सही काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे और उनके गुणों का अध्ययन करेंगे।

आइए त्रिकोणीय पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके एक n-गोनल पिरामिड की अवधारणा को याद करें। त्रिभुज ABC दिया गया है। त्रिभुज के तल के बाहर, एक बिंदु P लिया जाता है, जो त्रिभुज के शीर्षों से जुड़ा होता है। परिणामी बहुफलकीय सतह को पिरामिड कहा जाता है (चित्र 1)।

चावल। 1. त्रिकोणीय पिरामिड

आइए हम पिरामिड को पिरामिड के आधार के तल के समानांतर एक समतल से काटते हैं। इन तलों के बीच प्राप्त आकृति को काटे गए पिरामिड (चित्र 2) कहा जाता है।

चावल। 2. काटे गए पिरामिड

मुख्य तत्व:

शीर्ष आधार;

निचला आधार एबीसी;

बगल का चहेरा ;

यदि PH मूल पिरामिड की ऊँचाई है, तो काटे गए पिरामिड की ऊँचाई है।

एक काटे गए पिरामिड के गुण इसके निर्माण की विधि से अनुसरण करते हैं, अर्थात् आधारों के विमानों की समानता से:

काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चेहरे पर विचार करें। इसमें समानांतर विमानों की संपत्ति है (चूंकि विमान समानांतर हैं, वे समानांतर रेखाओं के साथ मूल एबीपी पिरामिड के पार्श्व चेहरे को काटते हैं), साथ ही वे समानांतर नहीं होते हैं। जाहिर है, चतुर्भुज एक समलम्बाकार है, जैसे एक काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक।

सभी ट्रेपेज़ॉइड के लिए आधारों का अनुपात समान है:

हमारे पास समान समरूपता गुणांक वाले समरूप त्रिभुजों के कई युग्म हैं। उदाहरण के लिए, त्रिभुज और आरएबी विमानों की समानता और समानता गुणांक के कारण समान हैं:

इसी समय, समरूपता गुणांक के साथ त्रिभुज और RCS समान हैं:

जाहिर है, समरूप त्रिभुजों के सभी तीन युग्मों के लिए समानता गुणांक समान हैं, इसलिए सभी समलंबों के लिए आधारों का अनुपात समान है।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड एक छोटा पिरामिड है जिसे आधार के समानांतर एक समतल के साथ एक नियमित पिरामिड को काटकर प्राप्त किया जाता है (चित्र 3)।

चावल। 3. सही काटे गए पिरामिड

परिभाषा।

एक नियमित पिरामिड को एक पिरामिड कहा जाता है, जिसके आधार पर एक नियमित एन-गॉन होता है, और शीर्ष को इस एन-गॉन (अंकित और परिबद्ध सर्कल का केंद्र) के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

इस मामले में, पिरामिड के आधार पर एक वर्ग होता है, और शीर्ष को इसके विकर्णों के चौराहे के बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है। परिणामी नियमित चतुर्भुज काटे गए पिरामिड में ABCD है - निचला आधार, - ऊपरी आधार। मूल पिरामिड की ऊंचाई - आरओ, छोटा पिरामिड - (चित्र 4)।

चावल। 4. नियमित चतुर्भुज काटे गए पिरामिड

परिभाषा।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल तक खींचा गया लंबवत है।

मूल पिरामिड का एपोथेम आरएम है (एम एबी का मध्य है), काटे गए पिरामिड का एपोथेम है (चित्र 4)।

परिभाषा।

एक काटे गए पिरामिड का एपोथेम किसी भी पक्ष के चेहरे की ऊंचाई है।

यह स्पष्ट है कि काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, अर्थात पार्श्व फलक समान समद्विबाहु समलम्बाकार हैं।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधारों और एपोथेम की परिधि के आधे योग के उत्पाद के बराबर होता है।

प्रमाण (एक नियमित चतुष्कोणीय काटे गए पिरामिड के लिए - चित्र 4):

तो, हमें साबित करने की जरूरत है:

यहां पार्श्व सतह क्षेत्र में पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग होगा - ट्रेपेज़ॉइड। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज समान हैं, हमारे पास है:

एक समद्विबाहु समलम्बाकार का क्षेत्रफल आधारों और ऊँचाई के आधे योग का गुणनफल होता है, एपोथेम समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है। हमारे पास है:

क्यू.ई.डी.

एन-गोनल पिरामिड के लिए:

जहाँ n पिरामिड के पार्श्व फलकों की संख्या है, a और b समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं, एपोथेम है।

एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड के आधार के किनारे 3 सेमी और 9 सेमी, ऊंचाई - 4 सेमी के बराबर हैं। पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चावल। 5. समस्या के लिए चित्रण 1

फेसला। आइए स्थिति का वर्णन करें:

दिया गया: , ,

निचले आधार की दोनों भुजाओं के समांतर बिंदु O से होकर एक सीधी रेखा MN खींचिए, इसी प्रकार बिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा खींचिए (चित्र 6)। चूंकि वर्ग और निर्माण काटे गए पिरामिड के आधारों पर समानांतर हैं, इसलिए हमें पार्श्व फलकों के बराबर एक समलम्ब प्राप्त होता है। इसके अलावा, इसका पार्श्व पक्ष पार्श्व चेहरों के ऊपरी और निचले किनारों के बीच से होकर गुजरेगा और एक काटे गए पिरामिड का प्रतीक होगा।

चावल। 6. अतिरिक्त निर्माण

परिणामी समलम्बाकार पर विचार करें (चित्र 6)। इस समलम्ब चतुर्भुज में ऊपरी आधार, निचला आधार और ऊँचाई ज्ञात होती है। पार्श्व पक्ष को खोजना आवश्यक है, जो दिए गए काटे गए पिरामिड का एपोटेम है। MN पर लंबवत् खींचिए। आइए हम बिंदु से लंबवत NQ को छोड़ते हैं। हम पाते हैं कि बड़ा आधार तीन सेंटीमीटर () के खंडों में विभाजित है। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, इसमें पैर ज्ञात हैं, यह एक मिस्र का त्रिभुज है, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हम कर्ण की लंबाई निर्धारित करते हैं: 5 सेमी।

अब पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए सभी तत्व हैं:

पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पार किया जाता है। एक त्रिभुजाकार पिरामिड के उदाहरण का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि इस तल द्वारा भुजाओं के किनारों और पिरामिड की ऊँचाई को समानुपाती भागों में विभाजित किया गया है।

प्रमाण। आइए बताते हैं:

चावल। 7. समस्या के लिए चित्रण 2

पिरामिड आरएबीसी दिया गया है। आरओ पिरामिड की ऊंचाई है। पिरामिड को एक विमान द्वारा विच्छेदित किया जाता है, इसके अलावा एक छोटा पिरामिड प्राप्त होता है। बिंदु - काटे गए पिरामिड के आधार के विमान के साथ आरओ की ऊंचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु। यह साबित करना आवश्यक है:

समाधान की कुंजी समानांतर विमानों की संपत्ति है। दो समानांतर तल किसी तीसरे तल से इस प्रकार काटते हैं कि प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर हों। यहां से: । संगत रेखाओं की समांतरता का तात्पर्य समरूप त्रिभुजों के चार युग्मों की उपस्थिति से है:

त्रिभुजों की समरूपता से संगत भुजाओं की समानुपाती होती है। एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इन त्रिभुजों के लिए समानता गुणांक समान हैं:

क्यू.ई.डी.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड RABC जिसकी ऊँचाई और आधार की भुजा होती है, को आधार ABC के समानांतर PH के मध्य बिंदु से गुजरने वाले समतल द्वारा विच्छेदित किया जाता है। परिणामी काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला। आइए बताते हैं:

चावल। 8. समस्या के लिए चित्रण 3

DIA एक नियमित त्रिभुज है, H इस त्रिभुज का केंद्र है (खुदरा और परिबद्ध वृत्तों का केंद्र)। RM दिए गए पिरामिड का एपोथेम है। - काटे गए पिरामिड का एपोथेम। समानांतर विमानों की संपत्ति के अनुसार (दो समानांतर विमान किसी तीसरे विमान को काटते हैं ताकि चौराहे की रेखाएं समानांतर हों), हमारे पास समान समानता गुणांक वाले समान त्रिभुजों के कई जोड़े हैं। विशेष रूप से, हम संबंध में रुचि रखते हैं:

आइए एनएम खोजें। यह आधार में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या है, हम संबंधित सूत्र को जानते हैं:

अब, समकोण त्रिभुज से, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हम РМ पाते हैं - मूल पिरामिड का एपोथेम:

प्रारंभिक अनुपात से:

अब हम एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए सभी तत्वों को जानते हैं:

इसलिए, हम एक काटे गए पिरामिड और एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की अवधारणाओं से परिचित हुए, बुनियादी परिभाषाएँ दीं, गुणों पर विचार किया, और पार्श्व सतह क्षेत्र पर प्रमेय को सिद्ध किया। अगला पाठ समस्या समाधान पर केंद्रित होगा।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य