रेखाएँ ab और bc समानांतर प्रतिच्छेदी और क्रॉसिंग हैं। परिभाषा

प्रमेय। यदि एक रेखा किसी दिए गए तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को उस बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा से संबंधित नहीं है, तो ये दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेदी रेखाओं का चिह्न प्रमाण। मान लीजिए कि रेखा a एक समतल में स्थित है, और रेखा b समतल को एक ऐसे बिंदु B पर काटती है जो रेखा a से संबंधित नहीं है। यदि रेखाएँ a और b एक ही तल में स्थित हों, तो बिंदु B भी इसी तल में स्थित होगा। चूँकि रेखा से गुजरने वाला केवल एक तल है और इस रेखा के बाहर एक बिंदु है, यह तल एक तल होना चाहिए। लेकिन तब रेखा b एक समतल में स्थित होगी, जो स्थिति के विपरीत है। इसलिए, रेखाएँ a और b एक ही तल में स्थित नहीं हैं, अर्थात परस्पर प्रजनन।

तिरछी रेखाओं के कितने जोड़े हैं जिनमें एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के किनारे होते हैं? समाधान: प्रत्येक आधार किनारे के लिए, उसके साथ प्रतिच्छेद करने वाले तीन किनारे होते हैं। प्रत्येक पार्श्व किनारे के लिए, इसके साथ प्रतिच्छेद करने वाले दो किनारे होते हैं। इसलिए, तिरछी रेखाओं के जोड़े की वांछित संख्या व्यायाम 5 है

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के किनारों वाली तिरछी रेखाओं के कितने जोड़े हैं? हल: प्रत्येक आधार किनारा प्रतिच्छेदी रेखाओं के 8 युग्मों में भाग लेता है। प्रत्येक पार्श्व किनारा प्रतिच्छेदी रेखाओं के 8 युग्मों में भाग लेता है। इसलिए, तिरछी रेखाओं के जोड़े की वांछित संख्या व्यायाम 6 है

यदि अंतरिक्ष में दो रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। निम्नलिखित आकृति में, रेखाएँ a और b बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं। रेखाएँ a और c प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

किन्हीं भी दो रेखाओं में या तो केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, या उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

समानांतर रेखाएं

अंतरिक्ष में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में स्थित हों और प्रतिच्छेद न करें। समानांतर रेखाओं को निरूपित करने के लिए एक विशेष आइकन - || का उपयोग करें।

अंकन a||b का अर्थ है कि रेखा a रेखा b के समानांतर है। ऊपर की आकृति में, रेखाएँ a और c समानांतर हैं।

समानांतर रेखा प्रमेय

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा और इसके अलावा, केवल एक रेखा गुजरती है।

पार की गई रेखाएँ

एक ही तल में स्थित दो रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद कर सकती हैं या समानांतर हो सकती हैं। लेकिन अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाओं का एक ही तल से संबंधित होना आवश्यक नहीं है। वे दो अलग-अलग विमानों में स्थित हो सकते हैं।

जाहिर है, अलग-अलग विमानों में स्थित रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और समानांतर रेखाएँ नहीं हैं। दो रेखाएँ जो एक ही तल में नहीं होती हैं, कहलाती हैं पार लाइनों.

निम्न चित्र दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ a और b दिखाता है जो विभिन्न तलों में स्थित हैं।

साइन और तिरछी रेखा प्रमेय

यदि दो में से एक रेखा एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को पहली रेखा पर नहीं स्थित बिंदु पर काटती है, तो ये रेखाएँ तिरछी होती हैं।

क्रॉसिंग लाइन प्रमेय: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक के माध्यम से दूसरी रेखा के समानांतर एक विमान गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।

इस प्रकार, हमने अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था के सभी संभावित मामलों पर विचार किया है। उनमें से केवल तीन हैं।

1. रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। (अर्थात्, उनके पास केवल एक सामान्य बिंदु है।)

2. रेखाएँ समानांतर हैं। (अर्थात, उनके पास उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं और एक ही तल में स्थित हैं।)

3. सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। (अर्थात, वे विभिन्न विमानों में स्थित हैं।)

एक मिनट से भी कम समय में, मैंने एक नई Verdov फ़ाइल बनाई और इस तरह के रोमांचक विषय पर जारी रखा। आपको कामकाजी मूड के क्षणों को पकड़ने की जरूरत है, इसलिए कोई गेय परिचय नहीं होगा। नीरस पिटाई होगी =)

दो सीधे रिक्त स्थान कर सकते हैं:

1) इंटरब्रीड;

2) बिंदु पर प्रतिच्छेद करें;

3) समानांतर होना;

4) मैच।

केस नंबर 1 मूल रूप से अन्य मामलों से अलग है। दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि वे एक ही तल में नहीं होती हैं।. एक हाथ को ऊपर उठाएं और दूसरी भुजा को आगे की ओर तानें - यहाँ प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक उदाहरण है। अंक 2-4 में, रेखाएँ आवश्यक रूप से झूठ होती हैं एक विमान में.

अंतरिक्ष में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का पता कैसे लगाएं?

दो सीधी जगहों पर विचार करें:

एक बिंदु और एक निर्देशक वेक्टर द्वारा दी गई एक सीधी रेखा है;
एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा है।

बेहतर समझ के लिए, आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाते हैं:

आरेख एक उदाहरण के रूप में तिरछी रेखाएँ दिखाता है।

इन पंक्तियों से कैसे निपटें?

चूँकि बिंदु ज्ञात हैं, सदिश को खोजना आसान है।

अगर सीधा परिवारों के बीच का, फिर वैक्टर समतलीय नहीं(सबक देखें सदिशों की रेखीय (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार), जिसका अर्थ है कि उनके निर्देशांक से बना निर्धारक अशून्य है। या, जो वास्तव में वही है, शून्य से भिन्न होगा: .

संख्या 2-4 के मामले में, हमारा निर्माण एक विमान में "गिरता है", जबकि वैक्टर समतलीय, और रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर है: .

हम एल्गोरिथम का और विस्तार करते हैं। चलो बहाना करते हैं , इसलिए, रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद करती हैं, या समानांतर हैं, या संपाती हैं।

अगर दिशा वैक्टर समरेख, तब रेखाएँ या तो समानांतर होती हैं या संपाती होती हैं। एक अंतिम कील के रूप में, मैं निम्नलिखित तकनीक का प्रस्ताव करता हूं: हम एक सीधी रेखा के किसी भी बिंदु को लेते हैं और उसके निर्देशांक को दूसरी सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं; यदि निर्देशांक "निकट आए", तो रेखाएँ मेल खाती हैं, यदि वे "निकट नहीं आए", तो रेखाएँ समानांतर हैं।

एल्गोरिदम का कोर्स सरल है, लेकिन व्यावहारिक उदाहरण अभी भी हस्तक्षेप नहीं करते हैं:

उदाहरण 11

दो रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए

समाधान: जैसा कि ज्यामिति की कई समस्याओं में होता है, बिंदु दर बिंदु हल करना सुविधाजनक होता है:

1) हम समीकरणों से बिंदु और दिशा सदिश निकालते हैं:

2) वेक्टर खोजें:

इस प्रकार, सदिश समतलीय हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं और प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समांतर या संपाती हो सकती हैं।

4) संपार्श्विकता के लिए दिशा वैक्टर की जाँच करें।

आइए इन सदिशों के संबंधित निर्देशांकों से एक प्रणाली की रचना करें:

से सब लोगसमीकरण का तात्पर्य है कि , इसलिए, प्रणाली सुसंगत है, सदिशों के संगत निर्देशांक आनुपातिक हैं, और सदिश संरेख हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ समानांतर या संपाती हैं।

5) पता लगाएँ कि क्या रेखाओं में उभयनिष्ठ बिंदु हैं। आइए पहली सीधी रेखा से संबंधित एक बिंदु लें और उसके निर्देशांक को सीधी रेखा के समीकरणों में स्थानापन्न करें:

इस प्रकार, रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता है, और उनके लिए समानांतर होने के अलावा कुछ नहीं बचता है।

उत्तर:

अपने दम पर हल करने के लिए एक दिलचस्प उदाहरण:

उदाहरण 12

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए

यह स्वयं करने का उदाहरण है। ध्यान दें कि दूसरी पंक्ति में अक्षर एक पैरामीटर के रूप में है। तर्क में। सामान्य स्थिति में, ये दो अलग-अलग रेखाएँ हैं, इसलिए प्रत्येक पंक्ति का अपना पैरामीटर होता है।

और फिर से मैं आपसे उदाहरणों को न छोड़ने का आग्रह करता हूं, मैं उन कार्यों को स्मैक दूंगा जो मैं प्रस्तावित करता हूं जो यादृच्छिक से बहुत दूर हैं ;-)

अंतरिक्ष में सीधी रेखा की समस्या

पाठ के अंतिम भाग में, मैं स्थानिक रेखाओं के साथ विभिन्न समस्याओं की अधिकतम संख्या पर विचार करने का प्रयास करूँगा। इस मामले में, कहानी के आरंभिक क्रम का सम्मान किया जाएगा: पहले हम प्रतिच्छेदी रेखाओं के साथ समस्याओं पर विचार करेंगे, फिर प्रतिच्छेदी रेखाओं के साथ, और अंत में हम अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे। हालाँकि, मुझे कहना होगा कि इस पाठ के कुछ कार्यों को एक ही बार में सीधी रेखाओं के कई मामलों के लिए तैयार किया जा सकता है, और इस संबंध में, अनुभागों को पैराग्राफ में विभाजित करना कुछ हद तक मनमाना है। सरल उदाहरण हैं, अधिक जटिल उदाहरण हैं, और उम्मीद है कि सभी को वह मिल जाएगा जिसकी उन्हें आवश्यकता है।

पार की गई रेखाएँ

मैं आपको याद दिलाता हूं कि यदि कोई विमान नहीं है जिसमें वे दोनों झूठ बोलते हैं तो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। जब मैं अभ्यास के बारे में सोच रहा था, तो एक राक्षस कार्य दिमाग में आया, और अब मुझे आपके ध्यान में चार सिर वाले ड्रैगन को पेश करने में खुशी हो रही है:

उदाहरण 13

सीधी रेखाएँ दी गई हैं। आवश्यक:

a) साबित करें कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

बी) दी गई रेखाओं के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरणों को खोजें;

ग) एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करें जिसमें शामिल है सामान्य लंबवतअन्तर्विभाजक रेखाएँ;

d) लाइनों के बीच की दूरी का पता लगाएं।

समाधान: चलने वाले से मिलेगी राह में महारत:

क) आइए हम सिद्ध करें कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। आइए इन सीधी रेखाओं के बिंदु और दिशा सदिश खोजें:

आइए वेक्टर खोजें:

गणना करना वैक्टर का मिश्रित उत्पाद:

तो वैक्टर समतलीय नहीं, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे सिद्ध किया जाना था।

शायद, सभी ने लंबे समय से देखा है कि तिरछी रेखाओं के लिए, सत्यापन एल्गोरिथ्म सबसे छोटा निकला।

b) आइए उस रेखा के समीकरण ज्ञात करें जो बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं के लंबवत है। आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाते हैं:

विविधता के लिए, मैंने एक सीधा पोस्ट किया पीछेसीधी रेखाएँ, देखें कि क्रॉसिंग पॉइंट्स पर इसे कैसे थोड़ा मिटाया जाता है। संकर नस्लें? हाँ, सामान्य स्थिति में, रेखा "डी" मूल रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करेगी। हालाँकि हमें इस क्षण में कोई दिलचस्पी नहीं है, हमें बस एक लंब रेखा बनाने की आवश्यकता है और बस इतना ही।

प्रत्यक्ष "डी" के बारे में क्या ज्ञात है? इससे संबंधित बिंदु ज्ञात है। दिशा वेक्टर गायब है।

शर्त के अनुसार, रेखा रेखाओं के लंबवत होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसकी दिशा सदिश दिशा सदिशों के लिए ओर्थोगोनल होगी। उदाहरण संख्या 9 से पहले से ही परिचित मूल भाव, आइए वेक्टर उत्पाद खोजें:

आइए बिंदु और निर्देशन वेक्टर द्वारा सीधी रेखा "डी" के समीकरणों की रचना करें:

तैयार। सिद्धांत रूप में, कोई हर में संकेतों को बदल सकता है और उत्तर को फॉर्म में लिख सकता है लेकिन इसकी कोई जरूरत नहीं है।

जाँच करने के लिए, बिंदु के निर्देशांक को सीधी रेखा के प्राप्त समीकरणों में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, फिर उपयोग करना वैक्टर का डॉट उत्पादसुनिश्चित करें कि वेक्टर वास्तव में दिशा वैक्टर "पे वन" और "पे टू" के लिए ऑर्थोगोनल है।

एक सामान्य लंब वाली रेखा के समीकरण कैसे ज्ञात करें?

ग) यह समस्या अधिक कठिन है। मेरा सुझाव है कि डमी इस पैराग्राफ को छोड़ दें, मैं विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए आपकी ईमानदार सहानुभूति को ठंडा नहीं करना चाहता =) वैसे, अधिक तैयार पाठकों के लिए भी प्रतीक्षा करना बेहतर हो सकता है, तथ्य यह है कि जटिलता के संदर्भ में उदाहरण होना चाहिए लेख में अंतिम स्थान पर रखा जाना चाहिए, लेकिन प्रस्तुति के तर्क के अनुसार इसे यहाँ स्थित होना चाहिए।

इसलिए, सीधी रेखा के समीकरणों को खोजना आवश्यक है, जिसमें तिरछी रेखाओं का उभयनिष्ठ लम्ब होता है।

एक रेखा खंड है जो दी गई रेखाओं को जोड़ता है और दी गई रेखाओं के लंबवत है:

यहाँ हमारा सुंदर आदमी है: - अन्तर्विभाजक रेखाओं का सामान्य लंब। वह अकेला है। इसके समान कोई दूसरा नहीं है। हमें एक सीधी रेखा के समीकरण बनाने की भी आवश्यकता है जिसमें एक दिया गया खंड शामिल है।

प्रत्यक्ष "उह" के बारे में क्या ज्ञात है? इसकी दिशा वेक्टर ज्ञात है, जो पिछले पैराग्राफ में पाई गई थी। लेकिन, दुर्भाग्य से, हम सीधी रेखा "एम" से संबंधित एक भी बिंदु नहीं जानते हैं, हम लंब - बिंदुओं के सिरों को नहीं जानते हैं। यह लंब रेखा दो मूल रेखाओं को कहाँ काटती है? अफ्रीका, अंटार्कटिका? स्थिति की प्रारंभिक समीक्षा और विश्लेषण से, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि समस्या को कैसे हल किया जाए .... लेकिन सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों के उपयोग से जुड़ी एक पेचीदा चाल है।

आइए बिंदुवार निर्णय लें:

1) पैरामीट्रिक रूप में पहली सीधी रेखा के समीकरणों को फिर से लिखें:

आइए एक बिंदु पर विचार करें। हम निर्देशांक नहीं जानते हैं। लेकिन. यदि एक बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक इसके अनुरूप हैं, इसे द्वारा निरूपित करें। तब बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार लिखे जाएंगे:

जीवन बेहतर हो रहा है, एक अज्ञात-आखिरकार, तीन अज्ञात नहीं।

2) दूसरे बिंदु पर भी वही आक्रोश किया जाना चाहिए। आइए पैरामीट्रिक रूप में दूसरी सीधी रेखा के समीकरणों को फिर से लिखें:

यदि कोई बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो एक बहुत ही विशिष्ट अर्थ के साथइसके निर्देशांकों को पैरामीट्रिक समीकरणों को पूरा करना चाहिए:

या:

3) वेक्टर, पहले पाए गए वेक्टर की तरह, लाइन का निर्देशन वेक्टर होगा। पाठ में अति प्राचीन काल में दो बिंदुओं से एक वेक्टर की रचना कैसे की जाती थी डमी के लिए वैक्टर. अब अंतर यह है कि सदिशों के निर्देशांक अज्ञात प्राचल मानों के साथ लिखे जाते हैं। तो क्या हुआ? वेक्टर के अंत के निर्देशांक से वेक्टर की शुरुआत के संबंधित निर्देशांक को घटाकर कोई भी मना नहीं करता है।

दो बिंदु हैं: .

एक वेक्टर ढूँढना:

4) चूँकि दिशा सदिश समरेख हैं, तो एक सदिश दूसरे के माध्यम से कुछ आनुपातिकता गुणांक "लैम्ब्डा" के साथ रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है:

या समन्वय के अनुसार:

यह सबसे साधारण निकला रैखिक समीकरणों की प्रणालीतीन अज्ञात के साथ, जो मानक हल करने योग्य है, उदाहरण के लिए, क्रैमर की विधि. लेकिन यहां थोड़ा खून से निकलने का मौका है, तीसरे समीकरण से हम "लैम्ब्डा" व्यक्त करेंगे और इसे पहले और दूसरे समीकरणों में बदल देंगे:

इस प्रकार: , और "लैम्ब्डा" की हमें आवश्यकता नहीं है। तथ्य यह है कि मापदंडों के मान समान निकले, यह शुद्ध मौका है।

5) आकाश पूरी तरह से साफ हो जाता है, पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करें हमारे स्थानों के लिए:

दिशा वेक्टर की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसका समकक्ष पहले ही मिल चुका है।

लंबी यात्रा के बाद चेक करना हमेशा दिलचस्प होता है।

:

सही समानता प्राप्त होती है।

बिंदु के निर्देशांक को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें :

सही समानता प्राप्त होती है।

6) अंतिम राग: हम एक बिंदु (आप ले सकते हैं) और एक निर्देशन वेक्टर के लिए एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करेंगे:

सिद्धांत रूप में, आप पूर्णांक निर्देशांक के साथ एक "अच्छा" बिंदु चुन सकते हैं, लेकिन यह दिखावटी है।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

घ) हमने अजगर का चौथा सिर काट दिया।

विधि एक. एक रास्ता भी नहीं, बल्कि एक छोटा सा विशेष मामला। प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी उनके सामान्य लंब की लंबाई के बराबर होती है: .

सामान्य लंब के चरम बिंदु पिछले पैराग्राफ में पाया गया, और कार्य प्राथमिक है:

विधि दो. व्यवहार में, अक्सर आम लंब के अंत अज्ञात होते हैं, इसलिए एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है। दो अन्तर्विभाजक रेखाओं के माध्यम से समानांतर विमानों को खींचना संभव है, और दिए गए विमानों के बीच की दूरी दी गई रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है। विशेष रूप से, इन विमानों के बीच एक सामान्य लंबवत चिपक जाता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के क्रम में, उपरोक्त विचारों से, तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए एक सूत्र निकाला गया:
(हमारे बिंदुओं के बजाय "उन्हें एक, दो" हम सीधी रेखाओं के मनमाने बिंदु ले सकते हैं)।

वैक्टर का मिश्रित उत्पादपहले से ही पैरा "ए" में पाया गया: .

वैक्टर का क्रॉस उत्पादपैराग्राफ "बी" में पाया गया: , इसकी लंबाई की गणना करें:

इस प्रकार:

गर्व से एक पंक्ति में ट्राफियां बिछाएं:

उत्तर:
ए) , इसलिए, रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था;
बी) ;
वी) ;
जी)

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बारे में और क्या कहा जा सकता है? उनके बीच एक कोण परिभाषित किया गया है। लेकिन अगले पैराग्राफ में सार्वभौमिक कोण सूत्र पर विचार करें:

अन्तर्विभाजक सीधी रेखाएँ आवश्यक रूप से एक ही तल में होती हैं:

पहला विचार अपनी पूरी ताकत से चौराहे के बिंदु पर झुकना है। और तुरंत मैंने सोचा, अपने आप को सही इच्छाओं से क्यों नकारें?! आइए अभी इस पर कूदें!

स्थानिक रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं?

उदाहरण 14

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

समाधान: आइए पैरामीट्रिक रूप में रेखाओं के समीकरणों को फिर से लिखें:

इस पाठ के उदाहरण संख्या 7 में इस कार्य पर विस्तार से विचार किया गया था (देखें। अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण). और सीधी रेखाएँ, वैसे, मैंने उदाहरण संख्या 12 से ली हैं। मैं झूठ नहीं बोलूंगा, मैं नए आविष्कार करने के लिए बहुत आलसी हूं।

समाधान मानक है और पहले ही सामना किया जा चुका है जब हमने तिरछी रेखाओं के सामान्य लंब के समीकरणों पर काम किया।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु रेखा से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, और वे इसके अनुरूप हैं एक बहुत विशिष्ट पैरामीटर मान:

लेकिन वही बिंदु दूसरी पंक्ति का है, इसलिए:

हम संबंधित समीकरणों की बराबरी करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

दो अज्ञात के साथ तीन रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है। यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (जैसा कि उदाहरण 12 में सिद्ध किया गया है), तो सिस्टम आवश्यक रूप से सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है। इसे सुलझाया जा सकता है गॉस विधि, लेकिन हम इस तरह के बालवाड़ी बुतवाद के साथ पाप नहीं करेंगे, आइए इसे आसान करें: पहले समीकरण से हम "ते शून्य" व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे और तीसरे समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:

पिछले दो समीकरण अनिवार्य रूप से समान निकले, और यह उनसे इस प्रकार है। तब:

पैरामीटर के पाए गए मान को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:

उत्तर:

जांचने के लिए, हम पैरामीटर के पाए गए मान को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
जाँच के लिए आवश्यक समान निर्देशांक प्राप्त किए गए थे। सूक्ष्म पाठक रेखाओं के मूल विहित समीकरणों में बिंदु के निर्देशांकों को स्थानापन्न कर सकते हैं।

वैसे, इसके विपरीत करना संभव था: "एस शून्य" के माध्यम से बिंदु खोजें, और इसे "ते शून्य" के माध्यम से जांचें।

एक प्रसिद्ध गणितीय संकेत कहता है: जहां सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर चर्चा की जाती है, वहां हमेशा लंबों की गंध होती है।

किसी दिए गए स्थान के लंबवत स्थान की रेखा का निर्माण कैसे करें?

(रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं)

उदाहरण 15

a) रेखा के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरणों की रचना करें (रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं)।

बी) बिंदु से रेखा तक की दूरी का पता लगाएं।

टिप्पणी : उपवाक्य "रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं" - महत्वपूर्ण. डॉट के माध्यम से
अनंत संख्या में लंबवत रेखाएँ खींचना संभव है जो "एल" रेखा के साथ प्रतिच्छेद करेगी। एकमात्र समाधान तब होता है जब किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से लंबवत रेखा खींची जाती है दोदी गई सीधी रेखाएँ (उदाहरण संख्या 13, पैराग्राफ "बी" देखें)।

ए) समाधान: अज्ञात रेखा को से निरूपित करें। आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाते हैं:

रेखा के बारे में क्या ज्ञात है? शर्त के अनुसार, एक बिंदु दिया जाता है। सीधी रेखा के समीकरणों को बनाने के लिए, दिशा वेक्टर को खोजना आवश्यक है। ऐसे वेक्टर के रूप में, वेक्टर काफी उपयुक्त है, और हम इससे निपटेंगे। अधिक सटीक रूप से, चलो वेक्टर के अज्ञात छोर को स्क्रूफ़ द्वारा लेते हैं।

1) हम इसके निर्देशन वेक्टर को सीधी रेखा "एल" के समीकरणों से निकालेंगे, और हम स्वयं समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में फिर से लिखेंगे:

कई लोगों ने अनुमान लगाया कि अब पाठ में तीसरी बार जादूगर अपनी टोपी से एक सफेद हंस निकालेगा। अज्ञात निर्देशांक वाले बिंदु पर विचार करें। बिंदु के बाद से, इसके निर्देशांक सीधी रेखा "एल" के पैरामीट्रिक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और वे एक विशिष्ट पैरामीटर मान के अनुरूप होते हैं:

या एक पंक्ति में:

2) शर्त के अनुसार, रेखाएँ लंबवत होनी चाहिए, इसलिए, उनके दिशा सदिश ऑर्थोगोनल हैं। और अगर वैक्टर ओर्थोगोनल हैं, तो उनके अदिश उत्पादशून्य के बराबर:

क्या हुआ? एक अज्ञात के साथ सरलतम रेखीय समीकरण:

3) पैरामीटर का मान ज्ञात है, आइए बिंदु खोजें:

और दिशा वेक्टर:
.

4) हम बिंदु और दिशा सदिश द्वारा सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करेंगे:

अनुपात के भाजक भिन्नात्मक निकले, और ठीक यही स्थिति है जब भिन्नों से छुटकारा पाना उचित है। मैं उन्हें -2 से गुणा करूँगा:

उत्तर:

टिप्पणी : समाधान का एक अधिक कठोर अंत निम्नानुसार तैयार किया गया है: हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करते हैं। वास्तव में, यदि कोई सदिश एक सीधी रेखा का एक निर्देशक सदिश है, तो सदिश उसके समानांतर स्वाभाविक रूप से इस सीधी रेखा का एक दिष्टकारी सदिश भी होगा।

सत्यापन में दो चरण होते हैं:

1) लम्बवतता के लिए रेखाओं के दिशा सदिशों की जाँच करें;

2) हम बिंदु के निर्देशांक को प्रत्येक सीधी रेखा के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, उन्हें यहाँ और वहाँ दोनों में "फिट" होना चाहिए।

आम कार्रवाइयों के बारे में बहुत सारी बातें हुई थीं, इसलिए मैंने एक ड्राफ़्ट की जांच की।

वैसे, मैं एक और सनक भूल गया - सीधी रेखा "एल" के संबंध में बिंदु "एन" के सममित बिंदु "मुकदमा" बनाने के लिए। हालाँकि, एक अच्छा "सपाट एनालॉग" है, जो लेख में पाया जा सकता है एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ. यहाँ, सभी अंतर अतिरिक्त "Z" निर्देशांक में होंगे।

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा की दूरी कैसे ज्ञात करें?

बी) समाधान: एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए।

विधि एक. यह दूरी लंब की लंबाई के बिल्कुल बराबर है: . समाधान स्पष्ट है: यदि अंक ज्ञात हैं , वह:

विधि दो. व्यावहारिक समस्याओं में, लंब का आधार अक्सर एक रहस्य होता है, इसलिए तैयार सूत्र का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत होता है।

एक बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:
, सीधी रेखा "एल" की दिशा वेक्टर कहां है, और - मनमानादी गई रेखा पर एक बिंदु।

1) सीधी रेखा के समीकरणों से हम दिशा वेक्टर और सबसे सुलभ बिंदु प्राप्त करते हैं।

2) बिंदु स्थिति से जाना जाता है, वेक्टर को तेज करें:

3) आइए खोजें वेक्टर उत्पादऔर इसकी लंबाई की गणना करें:

4) दिशा सदिश की लंबाई की गणना करें:

5) इस प्रकार, एक बिंदु से एक रेखा की दूरी:

रेखाएँ l1 और l2 प्रतिच्छेदी कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में स्थित नहीं हैं। मान लीजिए a और b इन रेखाओं के दिशा सदिश हैं, और बिंदु M1 और M2 क्रमशः रेखाओं और l1 और l2 से संबंधित हैं

फिर सदिश a, b, M1M2> समतलीय नहीं हैं, और इसलिए उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर नहीं है, यानी (a, b, M1M2>) =/= 0. इसका विलोम भी सत्य है: यदि (a, b, M1M2> ) =/= 0, तो सदिश a, b, M1M2> समतलीय नहीं हैं, और, फलस्वरूप, रेखाएँ l1 और l2 एक ही तल में स्थित नहीं हैं, अर्थात, वे प्रतिच्छेद करती हैं। इस प्रकार, दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल अगर स्थिति (ए, बी, एम 1 एम 2>) =/= 0, जहां ए और बी लाइनों के दिशा वैक्टर हैं, और एम 1 और एम 2 क्रमशः दी गई रेखाओं से संबंधित बिंदु हैं। स्थिति (a, b, M1M2>) = 0 एक ही तल में रेखाओं के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। यदि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं

तब a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) और शर्त (2) को इस प्रकार लिखा जाता है:

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी

यह तिरछी रेखाओं में से एक और दूसरी रेखा से होकर गुजरने वाले उसके समानांतर समतल के बीच की दूरी है। पहली पंक्ति।

26. दीर्घवृत्त की परिभाषा, विहित समीकरण। विहित समीकरण की व्युत्पत्ति। गुण।

एक दीर्घवृत्त एक समतल में बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए इस तल के दो केंद्रित बिंदुओं F1 और F2 की दूरियों का योग, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर है। यह दीर्घवृत्त के foci के संयोग को बाहर नहीं करता है। यदि foci संयोग करता है, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है। समन्वय प्रणाली ऐसी है कि दीर्घवृत्त को समीकरण (दीर्घवृत्त के विहित समीकरण) द्वारा वर्णित किया जाएगा:

यह मूल बिंदु पर केन्द्रित एक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है, जिसकी कुल्हाड़ियाँ समन्वय अक्षों के साथ मेल खाती हैं।

यदि दाईं ओर ऋण चिह्न वाली एक इकाई है, तो परिणामी समीकरण:

एक काल्पनिक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है। वास्तविक तल में इस तरह के दीर्घवृत्त को खींचना असंभव है। आइए foci को F1 और F2 के रूप में निरूपित करें, और उनके बीच की दूरी 2c के रूप में, और दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु से foci तक की दूरी का योग 2a

दीर्घवृत्त समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम समन्वय प्रणाली ऑक्सी का चयन करते हैं ताकि foci F1 और F2 ऑक्स अक्ष पर स्थित हों, और निर्देशांक की उत्पत्ति खंड F1F2 के मध्य के साथ मेल खाती है। तब नाभियों के निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: u मान लीजिए कि M(x; y) दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु है। फिर, दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, अर्थात

वास्तव में, यह दीर्घवृत्त का समीकरण है।

27. अतिपरवलय की परिभाषा, विहित समीकरण। विहित समीकरण की व्युत्पत्ति। गुण

एक हाइपरबोला एक विमान में बिंदुओं का एक स्थान है, जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं F1 और F2 के बीच की दूरी के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिरांक है। M(x;y) को एक मनमाना बिंदु होने दें हाइपरबोला का। तब अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार |MF 1 – MF 2 |=2a या MF 1 – MF 2 =±2a,

28. परवलय की परिभाषा, विहित समीकरण। विहित समीकरण की व्युत्पत्ति। गुण. एक पैराबोला एक विमान का एक GMT है जिसके लिए इस विमान के कुछ निश्चित बिंदु F की दूरी कुछ निश्चित सीधी रेखा की दूरी के बराबर होती है, जो कि विचाराधीन विमान में भी स्थित है। एफ पैराबोला का फोकस है; स्थिर सीधी रेखा परवलय की नियता है। आर = डी,

आर =; डी=एक्स+पी/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp + p 2/4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2/4; वाई 2 =2पीएक्स;

गुण: 1. परवलय में सममिति का एक अक्ष (परवलय का अक्ष) होता है; 2. सभी

पैराबोला ऑक्सी विमान के दाहिने आधे विमान में पी> 0 पर और बाईं ओर स्थित है

अगर पी<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.