अंतराल की विधि द्वारा तर्कसंगत असमानताओं का समाधान।

रिक्ति विधि- यह स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में होने वाली लगभग सभी असमानताओं को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका है। यह कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

1. सतत फलन g(x) केवल उस बिंदु पर संकेत बदल सकता है जहां यह 0 के बराबर है। आलेखीय रूप से, इसका अर्थ है कि एक सतत फलन का ग्राफ एक अर्ध-तल से दूसरे में तभी जा सकता है जब वह x- को पार करता है। अक्ष (हमें याद है कि OX अक्ष (भुज अक्ष) पर स्थित किसी भी बिंदु की कोटि शून्य के बराबर है, अर्थात इस बिंदु पर फलन का मान 0 है):

हम देखते हैं कि ग्राफ पर दिखाया गया फलन y=g(x) OX अक्ष को x= -8, x=-2, x=4, x=8 बिंदुओं पर काटता है। इन बिन्दुओं को फलन का शून्यक कहते हैं। और उसी बिंदु पर फ़ंक्शन g(x) चिह्न बदलता है।

2. फ़ंक्शन हर के शून्य पर चिह्न को भी बदल सकता है - एक प्रसिद्ध फ़ंक्शन का सबसे सरल उदाहरण:

हम देखते हैं कि फलन हर के मूल में, बिंदु पर संकेत बदलता है, लेकिन किसी भी बिंदु पर गायब नहीं होता है। इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन में भिन्न है, तो यह हर के मूल में चिह्न को बदल सकता है।

2. हालांकि, फलन हमेशा अंश के मूल में या हर के मूल में चिह्न नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x 2 बिंदु x=0 पर चिह्न नहीं बदलता है:

इसलिये समीकरण x 2 \u003d 0 की दो समान जड़ें हैं x \u003d 0, बिंदु x \u003d 0 पर, फ़ंक्शन, जैसा कि यह था, दो बार 0 हो जाता है। इस तरह की जड़ को दूसरी बहुलता की जड़ कहा जाता है।

समारोह अंश के शून्य पर चिह्न बदलता है, लेकिन हर के शून्य पर चिह्न नहीं बदलता है: क्योंकि जड़ दूसरी बहुलता का मूल है, जो कि सम गुणन का भी है:

जरूरी! सम बहुलता के मूल में फलन चिन्ह नहीं बदलता है।

ध्यान दें! कोई भी गैर रेखीयबीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम की असमानता, एक नियम के रूप में, अंतराल की विधि का उपयोग करके हल की जाती है।

मैं आपको एक विस्तृत प्रस्ताव देता हूं, जिसके बाद आप गलतियों से बच सकते हैं जब गैर-रैखिक असमानताओं को हल करना.

1. सबसे पहले आपको असमानता को फॉर्म में लाना होगा

पी (एक्स) वी0,

जहाँ V असमानता का चिन्ह है:<,>,≤ या . इसके लिए आपको चाहिए:

a) सभी पदों को असमानता के बाईं ओर ले जाएँ,

बी) परिणामी अभिव्यक्ति की जड़ें पाएं,

ग) असमानता के बाईं ओर गुणनखंडित करें

d) समान कारकों को डिग्री के रूप में लिखें।

ध्यान!जड़ों की बहुलता के साथ गलती न करने के लिए अंतिम क्रिया की जानी चाहिए - यदि परिणाम एक समान डिग्री में गुणक है, तो संबंधित जड़ में एक समान गुणन होता है।

2. प्राप्त मूलों को संख्या रेखा पर रखें।

3. यदि असमानता सख्त है, तो संख्यात्मक अक्ष पर जड़ों को इंगित करने वाले मंडल "खाली" छोड़ दिए जाते हैं, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो मंडलों को चित्रित किया जाता है।

4. हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं - उनमें पी (एक्स)संकेत नहीं बदलता है।

5. चिन्ह ज्ञात कीजिए पी (एक्स)अंतर के दाईं ओर। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना मान x 0 लें, जो सबसे बड़े रूट से बड़ा है और in . में स्थानापन्न करें पी (एक्स).

यदि P(x 0)>0 (या 0), तो सबसे दाहिने अंतराल में हम "+" चिन्ह लगाते हैं।

अगर पी(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

सम गुणन के मूल को इंगित करने वाले बिंदु से गुजरते समय, चिह्न नहीं बदलता है।

7. एक बार फिर हम मूल असमानता के चिन्ह को देखते हैं, और उस चिन्ह के अंतराल का चयन करते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है।

8. ध्यान दें! यदि हमारी असमानता STRICT नहीं है, तो हम समानता की स्थिति को शून्य से अलग से जाँचते हैं।

9. उत्तर लिखिए।

अगर मूल असमानता में हर में एक अज्ञात होता है, फिर हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और असमानता के बाईं ओर को फॉर्म में कम करते हैं

(जहाँ V असमानता का चिन्ह है:< или >)

इस तरह की सख्त असमानता असमानता के बराबर है

सख्त नहींफॉर्म की असमानता

के समान है प्रणाली:

व्यवहार में, यदि फ़ंक्शन का रूप है, तो हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

1. अंश और हर के मूल ज्ञात कीजिए।
2. हम उन्हें धुरी पर रखते हैं। सभी मंडल खाली छोड़ दिए गए हैं। फिर, यदि असमानता सख्त नहीं है, तो हम अंश की जड़ों पर पेंट करते हैं, और हमेशा हर की जड़ों को खाली छोड़ देते हैं।
3. अगला, हम सामान्य एल्गोरिथ्म का पालन करते हैं:
4. हम सम गुणन के मूल का चयन करते हैं (यदि अंश और हर में समान जड़ें हों, तो हम गिनते हैं कि समान जड़ें कितनी बार आती हैं)। सम गुणन के मूल में चिन्ह में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
5. हम सबसे दाहिने अंतराल पर चिन्ह का पता लगाते हैं।
6. हम संकेत लगाते हैं।
7. गैर-सख्त असमानता के मामले में, समानता की स्थिति, शून्य से समानता की स्थिति की अलग से जाँच की जाती है।
8. हम आवश्यक अंतराल और अलग से खड़ी जड़ों का चयन करते हैं।
9. हम उत्तर लिखते हैं।

बेहतर समझने के लिए अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, वीडियो पाठ देखें जिसमें उदाहरण का विस्तार से विश्लेषण किया गया है अंतराल की विधि द्वारा असमानता का समाधान.

तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली

पाठ पाठ

• सार [बेज़्डेनज़नीख एल.वी.]

  बीजगणित, ग्रेड 9 UMK: ए.जी. मोर्दकोविच। बीजगणित। श्रेणी 9 दो बजे भाग 1. पाठ्यपुस्तक; भाग 2. कार्यपुस्तिका; मॉस्को: मेनेमोसिन, 2010 शिक्षा का स्तर: पाठ का मूल विषय: तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली। (विषय पर पहला पाठ, कुल मिलाकर, विषय का अध्ययन करने के लिए 3 घंटे आवंटित किए जाते हैं) एक नए विषय का अध्ययन करने के लिए पाठ। पाठ का उद्देश्य: रैखिक असमानताओं के समाधान को दोहराएं; असमानताओं की एक प्रणाली की अवधारणाओं का परिचय दें, रैखिक असमानताओं की सबसे सरल प्रणालियों के समाधान की व्याख्या करें; किसी भी जटिलता की रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को हल करने की क्षमता बनाने के लिए। उद्देश्य: शैक्षिक: मौजूदा ज्ञान के आधार पर विषय का अध्ययन, छात्रों के स्वतंत्र काम के परिणामस्वरूप रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को हल करने में व्यावहारिक कौशल और क्षमताओं को मजबूत करना और उनमें से सबसे अधिक तैयार व्याख्यान और सलाहकार गतिविधियां। विकासशील: संज्ञानात्मक रुचि का विकास, सोच की स्वतंत्रता, स्मृति, संचार-गतिविधि विधियों के उपयोग के माध्यम से छात्र की पहल और समस्या-आधारित शिक्षा के तत्व। शैक्षिक: संचार कौशल का गठन, संचार की संस्कृति, सहयोग। संचालन के तरीके: - बातचीत के तत्वों और समस्या आधारित सीखने के साथ व्याख्यान; - पाठ्यपुस्तक के अनुसार सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री वाले छात्रों का स्वतंत्र कार्य; रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के समाधान को औपचारिक रूप देने की संस्कृति का विकास। अपेक्षित परिणाम: छात्रों को याद होगा कि रैखिक असमानताओं को कैसे हल किया जाए, असमानताओं के समाधान के प्रतिच्छेदन को एक वास्तविक रेखा पर चिह्नित किया जाए, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को हल करना सीखें। पाठ उपकरण: ब्लैकबोर्ड, हैंडआउट्स (आवेदन), पाठ्यपुस्तकें, कार्यपुस्तिकाएँ। पाठ सामग्री: 1. संगठनात्मक क्षण। गृहकार्य की जाँच करना। 2. ज्ञान की प्राप्ति। छात्र शिक्षक के साथ बोर्ड पर तालिका भरते हैं: असमानता चित्र गैप नीचे तैयार तालिका है: असमानता चित्रा गैप 3. गणितीय श्रुतलेख। एक नए विषय की धारणा के लिए तैयारी। 1. तालिका के मॉडल के अनुसार असमानताओं को हल करें: विकल्प 1 विकल्प 2 विकल्प 3 विकल्प 4 2. असमानताओं को हल करें, एक ही धुरी पर दो आंकड़े बनाएं और जांचें कि क्या संख्या 5 दो असमानताओं का समाधान है: विकल्प 1 विकल्प 2 विकल्प 3 विकल्प 4 4. नई सामग्री की व्याख्या। नई सामग्री की व्याख्या (पीपी। 40-44): 1. असमानताओं की प्रणाली को परिभाषित करें (पृष्ठ 41)। परिभाषा: एक चर x के साथ कई असमानताएँ असमानताओं की एक प्रणाली बनाती हैं यदि कार्य चर के ऐसे सभी मूल्यों को खोजना है जिसके लिए चर के साथ दी गई प्रत्येक असमानता एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाती है। 2. असमानताओं की एक प्रणाली के एक विशेष और सामान्य समाधान की अवधारणा का परिचय दें। x का ऐसा कोई मान असमानताओं के निकाय का हल (या विशेष हल) कहलाता है। असमानताओं की प्रणाली के सभी विशेष समाधानों का समुच्चय असमानताओं की प्रणाली का सामान्य समाधान है। 3. पाठ्यपुस्तक में उदाहरण संख्या 3 (ए, बी, सी) के अनुसार असमानताओं की प्रणालियों के समाधान पर विचार करें। 4. प्रणाली को हल करके तर्क को सामान्य करें:। 5. नई सामग्री का समेकन। संख्या 4.20 (ए, बी), 4.21 (ए, बी) से कार्यों को हल करें। 6. सत्यापन कार्य विकल्पों के अनुसार कार्यों को हल करने में सक्रिय रूप से मदद करते हुए, नई सामग्री के आत्मसात की जाँच करें: विकल्प 1 ए, सी नंबर 4.6, 4.8 विकल्प 2 बी, डी नंबर 4.6, 4.8 7. संक्षेप। परावर्तन आज आपने कौन-सी नई अवधारणाएँ सीखीं? क्या आपने सीखा है कि रैखिक असमानताओं की प्रणाली का समाधान कैसे खोजा जाता है? आपने सबसे अधिक क्या हासिल किया, कौन से क्षण सबसे सफल रहे? 8. गृहकार्य: संख्या 4.5, 4.7।; पाठ्यपुस्तक में सिद्धांत पीपी। 40-44; बढ़ी हुई प्रेरणा वाले छात्रों के लिए संख्या 4.23 (सी, डी)। अनुबंध। विकल्प 1. असमानता चित्र अंतराल 2. असमानताओं को हल करें, एक ही अक्ष पर दो आंकड़े बनाएं और जांचें कि क्या संख्या 5 दो असमानताओं का समाधान है: असमानता चित्र प्रश्न का उत्तर दें। विकल्प 2. असमानता चित्र अंतराल 2. असमानताओं को हल करें, एक ही अक्ष पर दो आंकड़े बनाएं और जांचें कि क्या संख्या 5 दो असमानताओं का समाधान है: असमानता चित्र प्रश्न का उत्तर दें। विकल्प 3. असमानता चित्र अंतराल 2. असमानताओं को हल करें, एक ही अक्ष पर दो आंकड़े बनाएं और जांचें कि क्या संख्या 5 दो असमानताओं का समाधान है: असमानता चित्र प्रश्न का उत्तर दें। विकल्प 4. असमानता चित्र अंतराल 2. असमानताओं को हल करें, एक ही अक्ष पर दो आंकड़े बनाएं और जांचें कि क्या संख्या 5 दो असमानताओं का समाधान है: असमानता चित्र प्रश्न का उत्तर दें।

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• पाठों का सारांश 2-4 [ज़्वेरेवा एल.पी.]

  बीजगणित ग्रेड 9 यूएमके: बीजगणित-9 वर्ग, ए.जी. मोर्डकोविच.पी.वी. सेम्योनोव, 2014। स्तर - बुनियादी प्रशिक्षण पाठ का विषय: तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली विषय के अध्ययन के लिए आवंटित घंटों की कुल संख्या -4 घंटे विषय पाठ संख्या 2 पर पाठ की प्रणाली में पाठ का स्थान; संख्या 3; संख्या 4. पाठ का उद्देश्य: छात्रों को असमानताओं की प्रणालियों की रचना करना सिखाना, साथ ही उन्हें यह सिखाना कि पाठ्यपुस्तक के लेखक द्वारा प्रस्तावित तैयार प्रणालियों को कैसे हल किया जाए। पाठ उद्देश्य: कौशल बनाने के लिए: विश्लेषणात्मक रूप से असमानताओं की प्रणालियों को स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए, और उत्तर को सही ढंग से रिकॉर्ड करने के लिए समाधान को समन्वय रेखा में स्थानांतरित करने में सक्षम होने के लिए, दी गई सामग्री के साथ स्वतंत्र रूप से काम करें। .नियोजित परिणाम: छात्रों को तैयार किए गए सिस्टम को हल करने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही कार्यों की पाठ स्थिति के अनुसार असमानताओं की प्रणालियों की रचना करना और संकलित मॉडल को हल करना चाहिए। पाठ का तकनीकी समर्थन: UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. मोर्डकोविच.पी.वी. सेम्योनोव। वर्कबुक, मौखिक गणना के लिए प्रोजेक्टर, मजबूत छात्रों के लिए अतिरिक्त कार्यों के प्रिंटआउट। पाठ के लिए अतिरिक्त पद्धतिगत और उपदेशात्मक समर्थन (इंटरनेट संसाधनों के लिंक संभव हैं): 1. मैनुअल एन.एन. खलेवन्युक, एम.वी. इवानोवा, वी.जी. इवाशेंको, एन.एस. मेल्कोवा "गणित के पाठ में कम्प्यूटेशनल कौशल का गठन ग्रेड 5-9" 2. जीजी लेविटास "गणितीय श्रुतलेख" ग्रेड 7-11.3। टी.जी. गुलिना "गणितीय सिम्युलेटर" 5-11 (जटिलता के 4 स्तर) गणित शिक्षक: ज्वेरेवा एल.पी. पाठ संख्या 2 उद्देश्य: स्पष्टता के लिए ज्यामितीय व्याख्या को हल करने के परिणाम का उपयोग करके तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए कौशल का विकास। पाठ प्रगति 1. संगठनात्मक क्षण: कक्षा को काम पर रखना, पाठ के विषय और उद्देश्य की रिपोर्ट करना 11 गृहकार्य की जाँच करना 1. सैद्धांतिक भाग: * तर्कसंगत असमानता का विश्लेषणात्मक संकेतन क्या है * तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली का विश्लेषणात्मक संकेतन क्या है * असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का क्या मतलब है * तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का परिणाम क्या है। 2. व्यावहारिक भाग: * बोर्ड पर ऐसे कार्यों को हल करें जिससे छात्रों को कठिनाई हो। गृहकार्य करने के क्रम में II1 व्यायाम करना। 1. एक बहुपद के गुणनखंड की विधियों को दोहराइए। 2. असमानताओं को हल करते समय दोहराएँ कि अंतराल विधि क्या है। 3. सिस्टम को हल करें। शिक्षक के नियंत्रण में ब्लैकबोर्ड पर एक मजबूत छात्र द्वारा समाधान का नेतृत्व किया जाता है। 1) असमानता को हल करें 3x - 10 > 5x - 5; 3x - 5x> - 5 + 10; - 2x> 5; एक्स< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>असमानताओं की इस प्रणाली का समाधान x> उत्तर: x> 6. ब्लैकबोर्ड और नोटबुक में संख्या 4.10 (c) हल करें। आइए असमानता को हल करें 5x2 - 2x + 1 ≤ 0. 5x2 - 2x + 1 = 0; डी = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; डी = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >एक्स> - 2, फिर - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति। #2.33 हल करें। माना साइकिल चालक की प्रारंभिक गति x किमी/घंटा है, घटने के बाद यह (x – 3) किमी/घंटा हो गई है। 15x - 45 + 6x = 1.5x (x - 3); 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x; 1.5x2 - 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; तब x2 - 17x + 30 = 0; डी = 169; x1 = 15; x2 = 2 समस्या के अर्थ को संतुष्ट नहीं करता है। उत्तर: 15 किमी/घंटा; 12 किमी/घंटा। IV. पाठ निष्कर्ष: पाठ में, हमने एक जटिल प्रकार की असमानताओं की प्रणालियों को हल करना सीखा, विशेष रूप से एक मॉड्यूल के साथ, हमने स्वतंत्र कार्य में अपना हाथ आजमाया। निशान लगाना। गृहकार्य: होमवर्क टेस्ट नंबर 1 को नंबर 7 से नंबर 10 तक पेपर की अलग-अलग शीट पर पी पर करें। 32-33, संख्या 4.34 (ए; बी), संख्या 4.35 (ए; बी)। पाठ 4 परीक्षण की तैयारी के उद्देश्य: अध्ययन की गई सामग्री को सारांशित और व्यवस्थित करने के लिए, छात्रों को "तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली" विषय पर परीक्षण के लिए तैयार करना पाठ प्रगति 1. संगठनात्मक क्षण: कक्षा को काम पर सेट करना, विषय और उद्देश्य की रिपोर्ट करना सबक। 11. अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति। * असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का क्या मतलब है * तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का परिणाम क्या है 1. पूर्ण होमवर्क के साथ पत्रक एकत्र करें। 2. असमानताओं को हल करने के लिए किन नियमों का उपयोग किया जाता है? असमानताओं के समाधान की व्याख्या करें: क) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; बी) - 2x2 + एक्स - 5> 0; ग) 3x2 - x + 4 0. 4. दो चरों वाली असमानताओं की एक प्रणाली की परिभाषा तैयार करें। असमानताओं की प्रणाली को हल करने का क्या अर्थ है? 5. तर्कसंगत असमानताओं को हल करने में सक्रिय रूप से उपयोग किए जाने वाले अंतराल की विधि क्या है? असमानता को हल करने के उदाहरण के साथ इसे स्पष्ट करें: (2x - 4)(3 - x) 0; मैं11. प्रशिक्षण अभ्यास। 1. असमानता को हल करें: ए) 12(1 - एक्स) ≥ 5x - (8x + 2); बी) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. यह कार्य a) या कार्य b) के अनुरूप नहीं है। इसलिए, हम मान सकते हैं कि p 2, अर्थात् दी गई असमानता वर्गाकार है। a) ax2 + bx + c > 0 के रूप की द्विघात असमानता का कोई हल नहीं है यदि a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 को x के किसी भी मान के लिए निष्पादित किया जाता है, यदि a > 0 और D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>चतुर्थ। सबक परिणाम। घर पर सभी अध्ययन सामग्री की समीक्षा करना और परीक्षण की तैयारी करना आवश्यक है। होमवर्क: नंबर 1.21 (बी; डी), नंबर 2.15 (सी; डी); संख्या 4.14 (डी), संख्या 4.28 (डी); संख्या 4.19 (ए), संख्या 4.33 (डी)।

  
  

  हम "एक चर के साथ असमानताओं को हल करने" के विषय में तल्लीन करना जारी रखते हैं। हम पहले से ही रैखिक असमानताओं और द्विघात असमानताओं से परिचित हैं। वे विशेष मामले हैं। तर्कसंगत असमानताएंजिसका अब हम अध्ययन करेंगे। आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि किस प्रकार की असमानताओं को परिमेय कहा जाता है। इसके बाद, हम उनके उपविभाजन को पूर्णांक परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं में देखेंगे। और उसके बाद हम अध्ययन करेंगे कि एक चर के साथ तर्कसंगत असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है, संबंधित एल्गोरिदम लिखें और विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

  पृष्ठ नेविगेशन।

  तर्कसंगत असमानताएं क्या हैं?

  स्कूल में, बीजगणित के पाठों में, जैसे ही असमानताओं को हल करने के बारे में बातचीत होती है, तर्कसंगत असमानताओं के साथ बैठक तुरंत होती है। हालाँकि, पहले तो उन्हें उनके उचित नाम से नहीं पुकारा जाता है, क्योंकि इस स्तर पर असमानताओं के प्रकार कम रुचि रखते हैं, और मुख्य लक्ष्य असमानताओं के साथ काम करने में प्रारंभिक कौशल हासिल करना है। "तर्कसंगत असमानता" शब्द को बाद में 9वीं कक्षा में पेश किया गया, जब इस विशेष प्रकार की असमानताओं का विस्तृत अध्ययन शुरू होता है।

  आइए जानें कि तर्कसंगत असमानताएं क्या हैं। यहाँ परिभाषा है:

  आवाज की परिभाषा में, चर की संख्या के बारे में कुछ भी नहीं कहा गया है, जिसका अर्थ है कि उनमें से किसी भी संख्या की अनुमति है। इसके आधार पर, एक, दो, आदि के साथ तर्कसंगत असमानताओं को प्रतिष्ठित किया जाता है। चर। वैसे, पाठ्यपुस्तक एक समान परिभाषा देती है, लेकिन एक चर के साथ तर्कसंगत असमानताओं के लिए। यह समझ में आता है, क्योंकि स्कूल एक चर के साथ असमानताओं को हल करने पर ध्यान केंद्रित करता है (नीचे, हम केवल एक चर के साथ तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के बारे में भी बात करेंगे)। दो चर के साथ असमानताबहुत कम माना जाता है, और तीन या अधिक चर वाली असमानताओं पर व्यावहारिक रूप से बिल्कुल भी ध्यान नहीं दिया जाता है।

  इसलिए, एक तर्कसंगत असमानता को उसके अंकन द्वारा पहचाना जा सकता है, इसके लिए इसके बाईं और दाईं ओर के भावों को देखना और यह सुनिश्चित करना पर्याप्त है कि वे तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं। ये विचार हमें तर्कसंगत असमानताओं के उदाहरण देने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), तर्कसंगत असमानताएं हैं। और असमानता तर्कसंगत नहीं है, क्योंकि इसके बाईं ओर मूल के चिह्न के नीचे एक चर है, और इसलिए, यह एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति नहीं है। असमानता भी तर्कसंगत नहीं है, क्योंकि इसके दोनों हिस्से तर्कसंगत अभिव्यक्ति नहीं हैं।

  आगे के विवरण की सुविधा के लिए, हम तर्कसंगत असमानताओं के उपखंड को पूर्णांक और भिन्नात्मक में पेश करते हैं।

  परिभाषा।

  तर्कसंगत असमानता को कहा जाएगा पूरा का पूरा, यदि इसके दोनों भाग पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं।

  परिभाषा।

  आंशिक रूप से तर्कसंगत असमानताएक तर्कसंगत असमानता है, जिसका कम से कम एक हिस्सा भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है।

  अतः 0.5 x≤3 (2−5 y) , पूर्णांक असमानताएँ हैं, और 1:x+3>0 तथा - आंशिक रूप से तर्कसंगत।

  अब हमें इस बात की स्पष्ट समझ है कि तर्कसंगत असमानताएं क्या हैं, और हम एक चर के साथ पूर्णांक और भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के सिद्धांतों से सुरक्षित रूप से निपटना शुरू कर सकते हैं।

  पूर्णांक असमानताओं को हल करना

  आइए स्वयं को कार्य निर्धारित करें: आइए हमें r(x) रूप के एक चर x के साथ एक पूर्णांक तर्कसंगत असमानता को हल करने की आवश्यकता है , ), जहां r(x) और s(x) कुछ पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं। इसे हल करने के लिए, हम असमानता के समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करेंगे।

  हम व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं, जो हमें r(x) - s(x) के रूप की एक समान असमानता की ओर ले जाएगा।<0 (≤, >, ≥) दाईं ओर शून्य के साथ। जाहिर है, बाईं ओर बना व्यंजक r(x)−s(x) भी एक पूर्णांक है, और यह ज्ञात है कि कोई भी। व्यंजक r(x)−s(x) को समान रूप से समान बहुपद h(x) में बदलने के बाद (यहां हम ध्यान दें कि व्यंजकों r(x)−s(x) और h(x) का एक ही चर x है), हम समतुल्य असमानता h(x) को पास करते हैं<0 (≤, >, ≥).

  सरलतम मामलों में, किए गए परिवर्तन वांछित समाधान प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होंगे, क्योंकि वे हमें मूल पूर्णांक तर्कसंगत असमानता से एक ऐसी असमानता की ओर ले जाएंगे, जिसे हम हल कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक रैखिक या वर्ग एक तक। उदाहरणों पर विचार करें।

  उदाहरण।

  संपूर्ण तर्कसंगत असमानता का समाधान खोजें x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 ।

  समाधान।

  सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. बाईं ओर सब कुछ करने के बाद, हम रैखिक असमानता 3·x−2≤0 पर पहुंचते हैं, जो मूल पूर्णांक असमानता के बराबर है। उसका समाधान मुश्किल नहीं है:
  3 x≤2 ,
  x≤2/3 ।

  उत्तर:

  x≤2/3 ।

  उदाहरण।

  असमानता को हल करें (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 - x) (x 2 + x).

  समाधान।

  हम हमेशा की तरह अभिव्यक्ति को दाईं ओर से ले जाकर शुरू करते हैं, और फिर हम बाईं ओर का उपयोग करके परिवर्तन करते हैं:
  (x 2 +1) 2 −3 x 2 -(x 2 - x) (x 2 + x)>0,
  x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
  1>0 .

  इसलिए, समतुल्य परिवर्तन करते हुए, हम असमानता पर आए 1>0 , जो कि चर x के किसी भी मान के लिए सही है। और इसका मतलब है कि मूल पूर्णांक असमानता का हल कोई भी वास्तविक संख्या है।

  उत्तर:

  एक्स - कोई भी।

  उदाहरण।

  असमानता को हल करें x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

  समाधान।

  दाईं ओर शून्य है, इसलिए इससे कुछ भी हटाने की जरूरत नहीं है। आइए बाईं ओर के पूरे व्यंजक को एक बहुपद में बदलें:
  x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
  −2 x 2 +11 x+6>0 ।

  हमने एक द्विघात असमानता प्राप्त की है, जो मूल असमानता के बराबर है। हम इसे किसी भी ज्ञात विधि से हल करते हैं। हम द्विघात असमानता को आलेखीय रूप से हल करेंगे।

  वर्ग त्रिपद −2 x 2 +11 x+6 के मूल ज्ञात कीजिए:
  

  हम एक योजनाबद्ध चित्र बनाते हैं, जिस पर हम पाए गए शून्य को चिह्नित करते हैं, और इस बात को ध्यान में रखते हैं कि परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, क्योंकि प्रमुख गुणांक ऋणात्मक होता है:
  

  चूँकि हम असमानता को > चिह्न से हल कर रहे हैं, इसलिए हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जिन पर परवलय x-अक्ष के ऊपर स्थित है। यह अंतराल (−0.5, 6) पर होता है, और यह वांछित समाधान है।

  उत्तर:

  (−0,5, 6) .

  अधिक जटिल मामलों में, परिणामी असमानता के बाईं ओर h(x)<0 (≤, >, ) तीसरी या उच्चतर डिग्री का बहुपद होगा। ऐसी असमानताओं को हल करने के लिए, अंतराल विधि उपयुक्त है, जिसके पहले चरण में आपको बहुपद h (x) की सभी जड़ों को खोजने की आवश्यकता होगी, जिसे अक्सर किया जाता है।

  उदाहरण।

  संपूर्ण तर्कसंगत असमानता का समाधान खोजें (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .

  समाधान।

  आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, जिसके बाद वहां और:
  (x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0 ,
  x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
  x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

  प्रदर्शन किए गए जोड़तोड़ हमें एक असमानता की ओर ले जाते हैं जो मूल के बराबर है। इसके बाईं ओर एक तृतीय-डिग्री बहुपद है। इसे अंतराल विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, आपको बहुपद के मूल ज्ञात करने होंगे, जो x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 पर स्थित है। आइए पता करें कि क्या इसकी परिमेय जड़ें हैं, जो केवल मुक्त पद के विभाजकों में से हो सकती हैं, अर्थात संख्याओं के बीच ±1, ±2, ±3, ±6। इन संख्याओं को चर x के स्थान पर समीकरण x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 में बदलने पर, हम पाते हैं कि समीकरण के मूल संख्याएँ 1 , 2 और 3 हैं। यह हमें बहुपद x 3 +4 x 2 +11 x−6 को एक उत्पाद (x−1) (x−2) (x−3) और असमानता x 3 +4 x 2 +11 x− के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

  और फिर यह अंतराल विधि के मानक चरणों को करने के लिए बनी हुई है: निर्देशांक 1, 2 और 3 के साथ संख्या रेखा पर अंक चिह्नित करें, जो इस रेखा को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं, निर्धारित करते हैं और संकेत देते हैं, अंतराल पर एक ऋण चिह्न के साथ हैचिंग खींचते हैं (चूंकि हम एक असमानता को एक चिन्ह के साथ हल कर रहे हैं<) и записать ответ.
  

  जहां से हमारे पास (−∞, 1)∪(2, 3) है।

  उत्तर:

  (−∞, 1)∪(2, 3) .

  यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कभी-कभी यह असमानता r(x) - s(x) से अव्यावहारिक होता है<0 (≤, >, ≥) असमानता को पास करें h(x)<0 (≤, >, ), जहां h(x) दो से अधिक घात वाला बहुपद है। यह उन मामलों पर लागू होता है जहां बहुपद h(x) का गुणनखंडन करना r(x) - s(x) को रैखिक द्विपदों और वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में दर्शाने की तुलना में अधिक कठिन होता है, उदाहरण के लिए, उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में रखकर। आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं।

  उदाहरण।

  असमानता को हल करें (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)≥2 x (x 2 −2 x−1).

  समाधान।

  यह पूरी असमानता है। यदि हम व्यंजक को उसके दायीं ओर से बायीं ओर ले जाएँ, तो कोष्ठक खोलकर समान पद लाएँ, तो हमें असमानता प्राप्त होती है x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. इसे हल करना बहुत कठिन है, क्योंकि इसमें चौथाई डिग्री बहुपद के मूल ज्ञात करना शामिल है। यह जांचना आसान है कि इसकी तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं (वे संख्या 1, -1, 19 या -19 हो सकती हैं), और इसकी अन्य जड़ों की तलाश करना समस्याग्रस्त है। इसलिए, यह रास्ता एक मृत अंत है।

  आइए अन्य संभावित समाधानों की तलाश करें। यह देखना आसान है कि अभिव्यक्ति को मूल पूर्णांक असमानता के दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, हम सामान्य कारक x 2 −2 x −1 को कोष्ठक से निकाल सकते हैं:
  (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)−2 x (x 2 −2 x−1)≥0,
  (x 2 −2 x−1) (x 2 −2 x−19)≥0.

  किया गया परिवर्तन समतुल्य है, इसलिए परिणामी असमानता का समाधान मूल असमानता का समाधान होगा।

  और अब हम परिणामी असमानता के बाईं ओर स्थित व्यंजक के शून्य ज्ञात कर सकते हैं, इसके लिए हमें x 2 −2 x−1=0 और x 2 −2 x−19=0 की आवश्यकता है। उनकी जड़ें संख्याएं हैं . यह हमें एक समान असमानता को पारित करने की अनुमति देता है, और हम इसे अंतराल विधि द्वारा हल कर सकते हैं:
  

  ड्राइंग के अनुसार, हम उत्तर लिखते हैं।

  उत्तर:

  इस अनुच्छेद के अंत में, मैं केवल यह जोड़ना चाहूंगा कि बहुपद h (x) की सभी जड़ों को खोजना हमेशा संभव नहीं है और इसके परिणामस्वरूप, इसे रैखिक द्विपद और वर्ग त्रिपदों के उत्पाद में विस्तारित करें। इन मामलों में, असमानता को हल करने का कोई तरीका नहीं है h(x)<0 (≤, >, ), जिसका अर्थ है कि मूल संपूर्ण परिमेय समीकरण का हल खोजने का कोई तरीका नहीं है।

  भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं का समाधान

  आइए अब इस तरह की समस्या के समाधान के बारे में बात करें: मान लें कि r(x) के रूप के एक चर x के साथ भिन्नात्मक परिमेय असमानता को हल करना आवश्यक है। , ≥), जहां r(x) और s(x) कुछ परिमेय व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। आइए इसे हल करने के लिए तुरंत एक एल्गोरिथ्म दें, जिसके बाद हम आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे।

  भिन्नात्मक परिमेय असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिथमएक चर r(x) के साथ , ≥):

  • सबसे पहले, आपको मूल असमानता के लिए चर x के स्वीकार्य मूल्यों (ODV) की सीमा को खोजने की आवश्यकता है।
  • इसके बाद, आपको असमानता के दायीं ओर से अभिव्यक्ति को बाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, और वहां गठित अभिव्यक्ति r(x) - s(x) को भिन्न p(x)/q(x) के रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए। ) , जहां p(x) और q(x) पूर्णांक व्यंजक हैं जो रैखिक द्विपदों, अविघटनीय वर्ग त्रिपदों और एक प्राकृतिक घातांक के साथ उनकी घातों के गुणनफल हैं।
  • इसके बाद, आपको अंतराल की विधि द्वारा परिणामी असमानता को हल करने की आवश्यकता है।
  • अंत में, पिछले चरण में प्राप्त समाधान से, उन बिंदुओं को बाहर करना आवश्यक है जो पहले चरण में पाई गई मूल असमानता के लिए x चर के डीपीवी में शामिल नहीं हैं।

  इस प्रकार, भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता का वांछित समाधान प्राप्त किया जाएगा।

  एल्गोरिथ्म के दूसरे चरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। असमिका के दायीं ओर से व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करने पर असमानता r(x)−s(x) प्राप्त होती है<0 (≤, >, ), जो मूल के बराबर है। यहाँ सब कुछ स्पष्ट है। लेकिन इसके आगे p(x)/q(x) रूप में परिवर्तन द्वारा प्रश्न उठाए जाते हैं<0 (≤, >, ≥).

  पहला सवाल है: "क्या इसे हमेशा पूरा करना संभव है"? सैद्धांतिक रूप से, हाँ। हम जानते हैं कि कुछ भी संभव है। एक परिमेय भिन्न के अंश और हर बहुपद होते हैं। और बीजगणित के मूल प्रमेय और बेज़ाउट के प्रमेय से यह निम्नानुसार है कि एक चर के साथ डिग्री n के किसी भी बहुपद को रैखिक द्विपद के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह इस परिवर्तन को अंजाम देने की संभावना की व्याख्या करता है।

  व्यवहार में, बहुपदों का गुणन करना काफी कठिन होता है, और यदि उनकी डिग्री चौथे से अधिक है, तो यह हमेशा संभव नहीं होता है। यदि गुणनखंडन संभव नहीं है, तो मूल असमानता का समाधान खोजने का कोई तरीका नहीं होगा, लेकिन ऐसे मामले आमतौर पर स्कूल में नहीं होते हैं।

  दूसरा प्रश्न: "क्या असमानता p(x)/q(x) होगी<0 (≤, >, ≥) असमानता r(x)−s(x) के बराबर है<0 (≤, >, ), और इसलिए भी मूल"? यह या तो समकक्ष या असमान हो सकता है। यह तब समतुल्य होता है जब व्यंजक p(x)/q(x) के लिए ODZ व्यंजक r(x)−s(x) के लिए ODZ के समान होता है। इस मामले में, एल्गोरिथ्म का अंतिम चरण बेमानी होगा। लेकिन व्यंजक p(x)/q(x) के लिए DPV व्यंजक r(x)−s(x) के लिए DPV से अधिक चौड़ा हो सकता है। ओडीजेड का विस्तार तब हो सकता है जब अंश कम हो जाते हैं, उदाहरण के लिए, जब से आगे बढ़ते हैं प्रति । इसके अलावा, ओडीजेड के विस्तार को समान शर्तों की कमी से सुगम बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, से संक्रमण में प्रति । इस मामले के लिए, एल्गोरिथम का अंतिम चरण अभिप्रेत है, जो ओडीजेड के विस्तार से उत्पन्न होने वाले बाहरी समाधानों को समाप्त करता है। आइए इस पर नज़र रखें जब हम नीचे दिए गए उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करते हैं।

  गणितीय असमानता की अवधारणा प्राचीन काल में उत्पन्न हुई थी। यह तब हुआ जब एक आदिम व्यक्ति को विभिन्न वस्तुओं के साथ गिनती और क्रियाओं के दौरान उनकी संख्या और आकार की तुलना करने की आवश्यकता थी। प्राचीन काल से, आर्किमिडीज, यूक्लिड और अन्य प्रसिद्ध वैज्ञानिकों द्वारा उनके तर्क में असमानताओं का उपयोग किया गया है: गणितज्ञ, खगोलविद, डिजाइनर और दार्शनिक।

  लेकिन वे, एक नियम के रूप में, अपने कार्यों में मौखिक शब्दावली का इस्तेमाल करते थे। पहली बार, "अधिक" और "कम" की अवधारणाओं को निरूपित करने के लिए आधुनिक संकेतों का आविष्कार इस रूप में किया गया था कि आज हर स्कूली बच्चा जानता है और इंग्लैंड में व्यवहार में लाया गया था। गणितज्ञ थॉमस हैरियट ने वंशजों की ऐसी सेवा की। और यह लगभग चार शताब्दी पहले हुआ था।

  कई प्रकार की असमानताएँ हैं। उनमें से सरल हैं, जिनमें एक, दो या अधिक चर, वर्ग, भिन्नात्मक, जटिल अनुपात होते हैं, और यहां तक ​​कि अभिव्यक्ति की एक प्रणाली द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। और यह समझने के लिए कि असमानताओं को कैसे हल किया जाए, विभिन्न उदाहरणों का उपयोग करना सबसे अच्छा है।

  ट्रेन छूटे नहीं

  सबसे पहले, कल्पना कीजिए कि एक ग्रामीण क्षेत्र का निवासी रेलवे स्टेशन की जल्दी में है, जो उसके गाँव से 20 किमी की दूरी पर स्थित है। 11 बजे छूटने वाली ट्रेन छूटे नहीं इसके लिए उसे समय पर घर से निकलना होगा। यह किस समय किया जाना चाहिए यदि उसकी गति की गति 5 किमी/घंटा है? इस व्यावहारिक कार्य का समाधान अभिव्यक्ति की शर्तों को पूरा करने के लिए कम किया गया है: 5 (11 - एक्स) 20, जहां एक्स प्रस्थान का समय है।

  यह समझ में आता है, क्योंकि एक ग्रामीण को स्टेशन तक जितनी दूरी तय करने की आवश्यकता होती है, वह सड़क पर घंटों की संख्या से चलने वाली गति की गति के बराबर होती है। एक व्यक्ति पहले आ सकता है, लेकिन वह देर से नहीं आ सकता। असमानताओं को कैसे हल किया जाए, और अपने कौशल को व्यवहार में लागू करने के बारे में जानने के बाद, हमें अंततः X 7 मिलेगा, जिसका उत्तर है। इसका मतलब है कि ग्रामीण को सुबह सात बजे या कुछ देर पहले रेलवे स्टेशन जाना चाहिए।

  निर्देशांक रेखा पर संख्या अंतराल

  अब आइए जानें कि ऊपर प्राप्त असमानता पर वर्णित संबंधों को कैसे मैप किया जाए, यह सख्त नहीं है। इसका मतलब है कि चर 7 से कम मान ले सकता है और इस संख्या के बराबर हो सकता है। आइए अन्य उदाहरण दें। ऐसा करने के लिए, नीचे दिए गए चार आंकड़ों पर ध्यान से विचार करें।

  

  उनमें से पहले पर आप अंतराल का एक ग्राफिक प्रतिनिधित्व देख सकते हैं [-7; 7]। इसमें निर्देशांक रेखा पर स्थित संख्याओं का एक समूह होता है और सीमाओं सहित -7 और 7 के बीच स्थित होता है। इस मामले में, ग्राफ पर बिंदुओं को भरे हुए हलकों के रूप में दिखाया जाता है, और अंतराल का उपयोग करके दर्ज किया जाता है

  दूसरा आंकड़ा सख्त असमानता का चित्रमय प्रतिनिधित्व है। इस मामले में, छिद्रित (भरे नहीं) बिंदुओं द्वारा दिखाए गए सीमा संख्या -7 और 7, निर्दिष्ट सेट में शामिल नहीं हैं। और अंतराल स्वयं कोष्ठक में इस प्रकार दर्ज किया गया है: (-7; 7)।

  यही है, यह पता लगाने के बाद कि इस प्रकार की असमानताओं को कैसे हल किया जाए, और एक समान उत्तर प्राप्त करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इसमें -7 और 7 को छोड़कर, मानी गई सीमाओं के बीच की संख्याएँ शामिल हैं। अगले दो मामलों का मूल्यांकन किया जाना चाहिए। एक समान तरीके से। तीसरा आंकड़ा अंतराल की छवियों को दिखाता है (-∞; -7] यू

  अब आइए कार्य को थोड़ा जटिल करें और न केवल बहुपदों पर विचार करें, बल्कि रूप के तथाकथित परिमेय अंशों पर भी विचार करें:

  जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ फॉर्म के समान बहुपद हैं $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, या ऐसे बहुपदों का गुणनफल।

  यह एक तर्कसंगत असमानता होगी। मूलभूत बिंदु हर में चर $x$ की उपस्थिति है। उदाहरण के लिए, यहाँ तर्कसंगत असमानताएँ हैं:

  \[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ और \frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4)\ge 0; \\ और \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \दाएं))\ge 0. \\ \end(align)\]

  और यह एक तर्कसंगत नहीं है, बल्कि सबसे आम असमानता है, जिसे अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

  आगे देखते हुए, मैं तुरंत कहूंगा: तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के कम से कम दो तरीके हैं, लेकिन वे सभी एक तरह से या किसी अन्य को पहले से ज्ञात अंतराल की विधि में कम कर देते हैं। इसलिए इन विधियों का विश्लेषण करने से पहले पुराने तथ्यों को याद कर लें, नहीं तो नई सामग्री से कोई मतलब नहीं होगा।

  आपको पहले से क्या जानना चाहिए

  कई महत्वपूर्ण तथ्य नहीं हैं। हमें वास्तव में केवल चार की जरूरत है।

  संक्षिप्त गुणन सूत्र

  हाँ, हाँ: वे हमें पूरे स्कूली गणित पाठ्यक्रम में परेशान करेंगे। और विश्वविद्यालय में भी। इनमें से कुछ सूत्र हैं, लेकिन हमें केवल निम्नलिखित की आवश्यकता है:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\बाएं(a\pm b \right))^(2)); \\ और ((ए)^(2))-((बी)^(2))=\बाएं(ए-बी \दाएं)\बाएं(ए+बी \दाएं); \\ और ((ए)^(3))+((बी)^(3))=\बाएं(ए+बी \दाएं)\बाएं(((ए)^(2))-एबी+((बी) ^(2))\दाएं); \\ और ((ए)^(3))-((बी)^(3))=\बाएं(एबी \दाएं)\बाएं(((ए)^(2))+ab+((बी)^( 2))\दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  अंतिम दो सूत्रों पर ध्यान दें - यह घनों का योग और अंतर है (और योग या अंतर का घन नहीं!) उन्हें याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि पहले ब्रैकेट में चिन्ह मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के समान है, और दूसरे ब्रैकेट में यह मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के विपरीत है।

  रेखीय समीकरण

  ये $ax+b=0$ फॉर्म के सबसे सरल समीकरण हैं, जहां $a$ और $b$ साधारण संख्याएं हैं, और $a\ne 0$ हैं। इस समीकरण को हल करना आसान है:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और कुल्हाड़ी+बी=0; \\ और कुल्हाड़ी=-बी; \\ और x=-\frac(बी)(ए)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  मैं ध्यान देता हूं कि हमें गुणांक $a$ से विभाजित करने का अधिकार है, क्योंकि $a\ne 0$। यह आवश्यकता काफी तार्किक है, क्योंकि $a=0$ के साथ हमें यह मिलता है:

  सबसे पहले, इस समीकरण में कोई $x$ चर नहीं है। यह, आम तौर पर बोलते हुए, हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए (ऐसा होता है, कहते हैं, ज्यामिति में, और अक्सर), लेकिन फिर भी हम अब एक रैखिक समीकरण नहीं हैं।

  दूसरे, इस समीकरण का हल पूरी तरह से गुणांक $b$ पर निर्भर करता है। यदि $b$ भी शून्य है, तो हमारा समीकरण $0=0$ है। यह समानता हमेशा सत्य है; इसलिए $x$ कोई भी संख्या है (आमतौर पर \mathbb(R)$ में $x\ के रूप में लिखा जाता है)। यदि गुणांक $b$ शून्य के बराबर नहीं है, तो समानता $b=0$ कभी संतुष्ट नहीं होती है, अर्थात। कोई जवाब नहीं ($x\in \varnothing $ लिखा और "समाधान सेट खाली है" पढ़ें)।

  इन सभी जटिलताओं से बचने के लिए, हम केवल $a\ne 0$ मान लेते हैं, जो किसी भी तरह से हमें आगे के प्रतिबिंबों से प्रतिबंधित नहीं करता है।

  द्विघातीय समीकरण

  मैं आपको याद दिला दूं कि इसे द्विघात समीकरण कहा जाता है:

  यहां बाईं ओर दूसरी डिग्री का एक बहुपद है, और फिर से $a\ne 0$ (अन्यथा, द्विघात समीकरण के बजाय, हमें एक रैखिक मिलता है)। निम्नलिखित समीकरणों को विवेचक के माध्यम से हल किया जाता है:

  1. यदि $D \gt 0$, तो हमें दो भिन्न मूल प्राप्त होते हैं;
  2. यदि $D=0$, तो मूल एक होगा, लेकिन दूसरी बहुलता का (यह किस प्रकार की बहुलता है और इसे कैसे ध्यान में रखा जाए - उस पर और बाद में)। या हम कह सकते हैं कि समीकरण के दो समान मूल हैं;
  3. $D \lt 0$ के लिए कोई मूल नहीं हैं, और किसी भी $x$ के लिए बहुपद $a((x)^(2))+bx+c$ का चिह्न गुणांक $a के चिह्न के साथ मेल खाता है $. वैसे, यह एक बहुत ही उपयोगी तथ्य है, जिसे किसी कारण से बीजगणित की कक्षाओं में बताया जाना भूल जाता है।

  जड़ों की गणना स्वयं प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार की जाती है:

  \[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

  इसलिए, वैसे, भेदभाव करने वाले पर प्रतिबंध। आखिरकार, ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल मौजूद नहीं होता है। जड़ों के लिए, कई छात्रों के सिर में एक भयानक गड़बड़ी है, इसलिए मैंने विशेष रूप से एक पूरा पाठ रिकॉर्ड किया: बीजगणित में जड़ क्या है और इसकी गणना कैसे करें - मैं इसे पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। :)

  तर्कसंगत अंशों के साथ संचालन

  सब कुछ जो ऊपर लिखा गया था, आप पहले से ही जानते हैं कि क्या आपने अंतराल की विधि का अध्ययन किया है। लेकिन अब हम जो विश्लेषण करेंगे, उसका अतीत में कोई एनालॉग नहीं है - यह पूरी तरह से नया तथ्य है।

  परिभाषा। एक परिमेय भिन्न रूप का व्यंजक है

  \[\frac(पी\बाएं(एक्स \दाएं))(क्यू\बाएं(एक्स \दाएं))\]

  जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ बहुपद हैं।

  यह स्पष्ट है कि इस तरह के अंश से असमानता प्राप्त करना आसान है - यह केवल "अधिक से अधिक" या "से कम" चिह्न को दाईं ओर रखने के लिए पर्याप्त है। और थोड़ा आगे हम पाएंगे कि ऐसी समस्याओं को हल करना एक खुशी है, वहां सब कुछ बहुत आसान है।

  समस्याएँ तब शुरू होती हैं जब एक व्यंजक में ऐसे कई भिन्न होते हैं। उन्हें एक सामान्य भाजक के रूप में कम करना होगा - और यह इस समय है कि बड़ी संख्या में आपत्तिजनक गलतियाँ की जाती हैं।

  इसलिए, तर्कसंगत समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, दो कौशलों में दृढ़ता से महारत हासिल करना आवश्यक है:

  1. बहुपद $P\बाएं(x \दाएं)$ का गुणनखंडन;
  2. दरअसल, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना।

  बहुपद का गुणनखंड कैसे करें? बहुत आसान। मान लीजिए कि हमारे पास फॉर्म का बहुपद है

  आइए इसे शून्य के बराबर करें। हमें $n$-th डिग्री समीकरण मिलता है:

  \[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

  मान लें कि हमने इस समीकरण को हल कर लिया है और मूल प्राप्त कर लिया है $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (चिंता न करें: ज्यादातर मामलों में कोई नहीं होगा इनमें से दो से अधिक जड़ें)। इस मामले में, हमारे मूल बहुपद को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

  \[\शुरू (संरेखित) और पी\बाएं(एक्स \दाएं)=((ए)_(एन))((एक्स)^(एन))+((ए)_(एन-1))((एक्स) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( एन)) \दाएं) \अंत (संरेखित करें)\]

  बस इतना ही! कृपया ध्यान दें: अग्रणी गुणांक $((a)_(n))$ कहीं भी गायब नहीं हुआ है - यह कोष्ठक के सामने एक अलग कारक होगा, और यदि आवश्यक हो, तो इसे इनमें से किसी भी कोष्ठक में डाला जा सकता है (अभ्यास शो कि $((a)_ (n))\ne \pm 1$ के साथ जड़ों के बीच लगभग हमेशा भिन्न होते हैं)।

  एक कार्य। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

  \[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ फ़्रैक(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

  समाधान। सबसे पहले, आइए हर को देखें: वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और यहां गुणनखंड करने के लिए कुछ भी नहीं है। तो आइए अंशों का गुणनखंड करें:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+x-20=\बाएं(x+5 \दाएं)\बाएं(x-4 \दाएं); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\दाएं)\बाएं(x-1\दाएं); \\ और 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \दाएं)\बाएं(2-5x \दाएं)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

  कृपया ध्यान दें: दूसरे बहुपद में, वरिष्ठ गुणांक "2", हमारी योजना के अनुसार पूर्ण रूप से, पहले ब्रैकेट के सामने दिखाई दिया, और फिर पहले ब्रैकेट में शामिल किया गया, क्योंकि एक अंश वहां से निकला था।

  तीसरे बहुपद में भी यही हुआ, केवल वहाँ पदों का क्रम भी भ्रमित है। हालांकि, गुणांक "−5" को दूसरे ब्रैकेट में शामिल किया गया (याद रखें: आप एक और केवल एक ब्रैकेट में एक कारक दर्ज कर सकते हैं!), जिसने हमें भिन्नात्मक जड़ों से जुड़ी असुविधा से बचाया।

  पहले बहुपद के लिए, वहाँ सब कुछ सरल है: इसकी जड़ों को या तो मानक तरीके से विवेचक के माध्यम से खोजा जाता है, या विएटा प्रमेय का उपयोग करके।

  आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस जाएं और इसे कारकों में विघटित अंशों के साथ फिर से लिखें:

  \[\begin(मैट्रिक्स) \frac(\बाएं(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \दाएं)-\बाएं(x-1 \दाएं)-\बाएं(2-5x \दाएं)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

  उत्तर: $5x+4$।

  जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। थोड़ा सा 7वीं-8वीं कक्षा का गणित और बस। सभी परिवर्तनों का उद्देश्य एक जटिल और डरावनी अभिव्यक्ति को कुछ सरल और आसान काम में बदलना है।

  हालांकि, ऐसा हमेशा नहीं होगा। तो अब हम एक और गंभीर समस्या पर विचार करेंगे।

  लेकिन पहले, आइए जानें कि दो भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे लाया जाए। एल्गोरिथ्म बेहद सरल है:

  1. दोनों हरों को गुणनखंडित करें;
  2. पहले हर पर विचार करें और इसमें दूसरे हर में मौजूद कारकों को जोड़ें, लेकिन पहले में नहीं। परिणामी उत्पाद सामान्य हर होगा;
  3. पता लगाएँ कि प्रत्येक मूल भिन्न में किन कारकों का अभाव है ताकि हर आम के बराबर हो जाए।

  शायद यह एल्गोरिथ्म आपको सिर्फ एक पाठ की तरह लगेगा जिसमें "बहुत सारे अक्षर" हैं। तो आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें।

  एक कार्य। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

  \[\बाएं(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

  समाधान। इस तरह के स्वैच्छिक कार्यों को भागों में सबसे अच्छा हल किया जाता है। आइए लिखें कि पहले ब्रैकेट में क्या है:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

  पिछली समस्या के विपरीत, यहाँ भाजक इतने सरल नहीं हैं। आइए उनमें से प्रत्येक का गुणनखंड करें।

  वर्ग त्रिपद $((x)^(2))+2x+4$ का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि समीकरण $((x)^(2))+2x+4=0$ का कोई मूल नहीं है (विभेदक ऋणात्मक है) . हम इसे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

  दूसरा हर, घन बहुपद $((x)^(3))-8$, करीब से जांच करने पर घनों का अंतर है और संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके आसानी से विघटित किया जा सकता है:

  \[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \दाएं)\]

  और कुछ भी फैक्टर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पहले ब्रैकेट में एक रैखिक द्विपद होता है, और दूसरा एक निर्माण होता है जो पहले से ही हमारे लिए परिचित होता है, जिसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं।

  अंत में, तीसरा हर एक रैखिक द्विपद है जिसे विघटित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, हमारा समीकरण रूप लेगा:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

  यह बिल्कुल स्पष्ट है कि $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ सामान्य हर होगा, और सभी भिन्नों को कम करने के लिए, आप पहले अंश को $\left(x-2 \right)$ से गुणा करना होगा, और अंतिम अंश को $\बाएं (((x)^(2))+2x+4 \right)$ से गुणा करना होगा। तब यह केवल निम्नलिखित लाने के लिए रहता है:

  \[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ दाएं))+\frac(((x)^(2))+8)(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ लेफ्ट (((x)^(2))+2x+4 \right))। \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

  दूसरी पंक्ति पर ध्यान दें: जब हर पहले से ही सामान्य है, अर्थात। तीन अलग-अलग अंशों के बजाय, हमने एक बड़ा लिखा, आपको तुरंत कोष्ठक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। एक अतिरिक्त पंक्ति लिखना बेहतर है और ध्यान दें कि, कहते हैं, तीसरे अंश से पहले एक ऋण था - और यह कहीं नहीं जाएगा, लेकिन ब्रैकेट के सामने अंश में "लटका" जाएगा। यह आपको बहुत सारी गलतियों से बचाएगा।

  खैर, अंतिम पंक्ति में अंश का गुणनखंड करना उपयोगी है। इसके अलावा, यह एक सटीक वर्ग है, और संक्षिप्त गुणन सूत्र फिर से हमारी सहायता के लिए आते हैं। हमारे पास है:

  \[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \ frac (((\ बाएँ (x-2 \ दाएँ)) ^ (2))) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ दाएँ) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

  अब इसी तरह से दूसरे ब्रैकेट के साथ डील करते हैं। यहाँ मैं केवल समानता की एक श्रृंखला लिखूंगा:

  \[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((((()) x)^(2)))(\बाएं(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\बाएं(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2))) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ)) + \ frac (2 \ cdot \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ)) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ) \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

  हम मूल समस्या पर लौटते हैं और उत्पाद को देखते हैं:

  \[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं))=\frac(1)(x+2)\]

  उत्तर: \[\frac(1)(x+2)\].

  इस समस्या का अर्थ पिछले एक जैसा ही है: यह दिखाने के लिए कि यदि आप उनके परिवर्तन को बुद्धिमानी से करते हैं तो तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को कितना सरल बनाया जा सकता है।

  और अब, जब आप यह सब जानते हैं, तो चलिए आज के पाठ के मुख्य विषय पर चलते हैं - भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताओं को हल करना। इसके अलावा, इस तरह की तैयारी के बाद, असमानताएं स्वयं पागल की तरह क्लिक करेंगी। :)

  तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका

  तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए कम से कम दो दृष्टिकोण हैं। अब हम उनमें से एक पर विचार करेंगे - वह जिसे आमतौर पर स्कूल गणित पाठ्यक्रम में स्वीकार किया जाता है।

  लेकिन पहले, आइए एक महत्वपूर्ण विवरण पर ध्यान दें। सभी असमानताओं को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है:

  1. सख्त: $f\बाएं(x \दाएं) \gt 0$ या $f\बाएं(x \दाएं) \lt 0$;
  2. नॉनस्ट्रिक्ट: $f\left(x \right)\ge 0$ या $f\left(x \right)\le 0$।

  दूसरे प्रकार की असमानताओं को आसानी से पहले और साथ ही समीकरण तक कम कर दिया जाता है:

  यह छोटा "जोड़" $f\left(x \right)=0$ भरे हुए बिंदुओं के रूप में ऐसी अप्रिय चीज की ओर जाता है - हम उन्हें अंतराल विधि में वापस मिले। अन्यथा, सख्त और गैर-सख्त असमानताओं के बीच कोई अंतर नहीं है, तो आइए सार्वभौमिक एल्गोरिदम का विश्लेषण करें:

  1. असमानता चिह्न के एक तरफ सभी गैर-शून्य तत्वों को इकट्ठा करें। उदाहरण के लिए, बाईं ओर;
  2. सभी भिन्नों को एक समान हर में लाएँ (यदि ऐसी कई भिन्न हैं), तो समान अंश लाएँ। फिर, यदि संभव हो, अंश और हर में गुणनखंड करें। एक तरह से या किसी अन्य, हमें फॉर्म की असमानता मिलती है $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, जहां टिक असमानता का संकेत है।
  3. अंश को शून्य के बराबर करें: $P\left(x \right)=0$। हम इस समीकरण को हल करते हैं और मूल प्राप्त करते हैं $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... कि हर शून्य के बराबर नहीं था: $Q\left(x \right)\ne 0$। बेशक, संक्षेप में, हमें समीकरण $Q\left(x \right)=0$ को हल करना होगा, और हमें जड़ें $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) मिलती हैं $, $x_(3 )^(*)$, ... (वास्तविक समस्याओं में शायद ही ऐसी तीन से अधिक जड़ें होंगी)।
  4. हम इन सभी जड़ों (तारांकन के साथ और बिना दोनों) को एक ही संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और तारों के बिना जड़ों को चित्रित किया जाता है, और तारों वाले लोगों को छिद्रित किया जाता है।
  5. हम प्लस और माइनस चिह्न लगाते हैं, उन अंतरालों का चयन करें जिनकी हमें आवश्यकता है। यदि असमानता का रूप $f\left(x \right) \gt 0$ है, तो उत्तर "प्लस" के साथ चिह्नित अंतराल होगा। अगर $f\left(x \right) \lt 0$, तो हम "minuses" के साथ अंतराल को देखते हैं।

  अभ्यास से पता चलता है कि अंक 2 और 4 सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं - सक्षम परिवर्तन और आरोही क्रम में संख्याओं की सही व्यवस्था। खैर, अंतिम चरण में, अत्यंत सावधान रहें: हम हमेशा संकेतों के आधार पर संकेत देते हैं समीकरणों पर आगे बढ़ने से पहले लिखी गई अंतिम असमानता. यह अंतराल विधि से विरासत में मिला एक सार्वभौमिक नियम है।

  तो, एक योजना है। का अभ्यास करते हैं।

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

  समाधान। हमारे पास $f\left(x \right) \lt 0$ फॉर्म की सख्त असमानता है। जाहिर है, हमारी योजना के अंक 1 और 2 पहले ही पूरे हो चुके हैं: असमानता के सभी तत्वों को बाईं ओर एकत्र किया जाता है, एक सामान्य भाजक के लिए कुछ भी कम करने की आवश्यकता नहीं है। तो चलिए तीसरे बिंदु पर चलते हैं।

  अंश को शून्य पर सेट करें:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और x-3=0; \\ &x=3. \end(संरेखित)\]

  और भाजक:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और x+7=0; \\ और ((x)^(*))=-7. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  इस जगह पर, बहुत से लोग फंस जाते हैं, क्योंकि सैद्धांतिक रूप से आपको $x+7\ne 0$ लिखने की आवश्यकता होती है, जैसा कि ODZ द्वारा आवश्यक है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, बस इतना ही)। लेकिन आखिरकार, भविष्य में हम हर से आने वाले बिंदुओं को बाहर निकालेंगे, इसलिए आपको अपनी गणना को एक बार फिर से जटिल नहीं करना चाहिए - हर जगह एक समान चिन्ह लिखें और चिंता न करें। इसके लिए कोई अंक नहीं काटेगा। :)

  चौथा बिंदु। हम प्राप्त जड़ों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

  सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है

  ध्यान दें: सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त है. और यहाँ अब कोई फर्क नहीं पड़ता: ये अंक अंश से या हर से आए हैं।

  खैर, संकेतों को देखें। कोई भी संख्या $((x)_(0)) \gt 3$ लें। उदाहरण के लिए, $((x)_(0))=100$ (लेकिन आप $((x)_(0))=3.1$ या $((x)_(0)) = 1\000\000$)। हमें मिला:

  तो, सभी जड़ों के दाईं ओर हमारे पास एक सकारात्मक क्षेत्र है। और जब प्रत्येक जड़ से गुजरते हैं, तो संकेत बदल जाता है (यह हमेशा ऐसा नहीं होगा, लेकिन बाद में उस पर और अधिक)। इसलिए, हम पांचवें बिंदु पर आगे बढ़ते हैं: हम संकेत देते हैं और सही चुनते हैं:

  

  हम अंतिम असमानता पर लौटते हैं, जो समीकरणों को हल करने से पहले थी। दरअसल, यह मूल के साथ मेल खाता है, क्योंकि हमने इस कार्य में कोई परिवर्तन नहीं किया है।

  चूंकि $f\left(x \right) \lt 0$ फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है, इसलिए मैंने अंतराल $x\in \ left(-7;3 \right)$ को छायांकित किया - यह केवल एक ही है एक ऋण चिह्न के साथ चिह्नित। यही उत्तर है।

  उत्तर: $x\में \बाएं(-7;3 \दाएं)$

  बस इतना ही! क्या यह मुश्किल है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है। वाकई, यह एक आसान काम था। आइए अब मिशन को थोड़ा जटिल करें और अधिक "फैंसी" असमानता पर विचार करें। इसे हल करते समय, मैं अब ऐसी विस्तृत गणना नहीं दूंगा - मैं केवल मुख्य बिंदुओं की रूपरेखा तैयार करूंगा। सामान्य तौर पर, हम इसे वैसे ही व्यवस्थित करेंगे जैसे हमने इसे एक स्वतंत्र कार्य या परीक्षा में किया होगा। :)

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4)\ge 0\]

  समाधान। यह $f\left(x \right)\ge 0$ फॉर्म की एक गैर-सख्त असमानता है। सभी गैर-शून्य तत्व बाईं ओर एकत्र किए जाते हैं, कोई भिन्न हर नहीं होते हैं। आइए समीकरणों पर चलते हैं।

  अंश:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं)=0 \\ और 7x+1=0\दायां तीर ((x)_(1))=-\ फ़्रेक(1)(7); \\ और 11x+2=0\दायां तीर ((x)_(2))=-\frac(2)(11)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  हर:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और 13x-4 = 0; \\ और 13x=4; \\ और ((x)^(*))=\frac(4)(13)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  मुझे नहीं पता कि किस तरह के विकृतियों ने यह समस्या पैदा की, लेकिन जड़ें बहुत अच्छी तरह से नहीं निकलीं: उन्हें एक संख्या रेखा पर व्यवस्थित करना मुश्किल होगा। और अगर रूट $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ के साथ सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है (यह एकमात्र सकारात्मक संख्या है - यह दाईं ओर होगी), फिर $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ और $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ को आगे के अध्ययन की आवश्यकता है: कौन सा बड़ा है?

  आप इसका पता लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए:

  \[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

  मुझे आशा है कि यह समझाने की कोई आवश्यकता नहीं है कि संख्यात्मक अंश $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? यदि आवश्यक हो, तो मैं यह याद रखने की सलाह देता हूं कि भिन्नों के साथ क्रियाएं कैसे करें।

  और हम तीनों जड़ों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

  अंश से अंक छायांकित होते हैं, हर से उन्हें काट दिया जाता है

  हम संकेत लगाते हैं। उदाहरण के लिए, आप $((x)_(0))=1$ ले सकते हैं और इस बिंदु पर चिन्ह का पता लगा सकते हैं:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं(x \दाएं)=\frac(\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं))(13x-4); \\ और f\बाएं(1 \दाएं)=\frac(\बाएं(7\cdot 1+1 \दाएं)\बाएं(11\cdot 1+2 \दाएं))(13\cdot 1-4)=\ फ़्रैक(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

  समीकरणों से पहले अंतिम असमानता $f\left(x \right)\ge 0$ थी, इसलिए हम धन चिह्न में रुचि रखते हैं।

  

  हमें दो समुच्चय प्राप्त हुए: एक साधारण खंड है, और दूसरा संख्या रेखा पर एक खुली किरण है।

  उत्तर: $x\in \left[-\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right) )$

  संख्याओं के बारे में एक महत्वपूर्ण नोट जिसे हम सबसे दाहिने अंतराल पर चिह्न का पता लगाने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं। किसी संख्या को सबसे दाहिने मूल के निकट स्थानापन्न करना आवश्यक नहीं है। आप अरबों या "प्लस-इनफिनिटी" भी ले सकते हैं - इस मामले में, ब्रैकेट, अंश या हर में बहुपद का चिन्ह केवल प्रमुख गुणांक के संकेत से निर्धारित होता है।

  आइए पिछली असमानता से $f\left(x \right)$ फ़ंक्शन पर एक और नज़र डालें:

  इसमें तीन बहुपद शामिल हैं:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और ((पी)_(1))\बाएं(x \दाएं)=7x+1; \\ और ((पी)_(2))\बाएं(x \दाएं)=11x+2; \\ और क्यू\बाएं(x\दाएं)=13x-4. \end(संरेखित)\]

  वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और उन सभी में धनात्मक गुणांक (संख्या 7, 11 और 13) हैं। इसलिए, बहुत बड़ी संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, बहुपद स्वयं भी धनात्मक होंगे। :)

  यह नियम अत्यधिक जटिल लग सकता है, लेकिन पहली बार में, जब हम बहुत आसान समस्याओं का विश्लेषण करते हैं। गंभीर असमानताओं में, "प्लस-इनफिनिटी" प्रतिस्थापन हमें मानक $((x)_(0))=100$ की तुलना में बहुत तेजी से संकेतों का पता लगाने की अनुमति देगा।

  हम जल्द ही ऐसी चुनौतियों का सामना करेंगे। लेकिन पहले, आइए भिन्नात्मक परिमेय असमानताओं को हल करने के वैकल्पिक तरीके को देखें।

  वैकल्पिक तरीका

  यह तकनीक मुझे मेरे एक छात्र ने सुझाई थी। मैंने स्वयं कभी इसका उपयोग नहीं किया है, लेकिन अभ्यास से पता चला है कि कई छात्रों के लिए इस तरह से असमानताओं को हल करना वास्तव में अधिक सुविधाजनक है।

  तो, मूल डेटा वही है। हमें एक भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता को हल करने की आवश्यकता है:

  \[\frac(पी\बाएं(एक्स \दाएं))(क्यू\बाएं(एक्स \दाएं)) \gt 0\]

  आइए सोचें: बहुपद $Q\left(x \right)$ बहुपद $P\left(x \right)$ से "बदतर" क्यों है? हमें जड़ों के अलग-अलग समूहों (तारांकन के साथ और बिना) पर विचार करने की आवश्यकता क्यों है, छिद्रित बिंदुओं आदि के बारे में सोचें? यह सरल है: भिन्न की परिभाषा का एक क्षेत्र होता है, जिसके अनुसार भिन्न का अर्थ तभी होता है जब उसका हर शून्य से भिन्न हो।

  अन्यथा, अंश और हर के बीच कोई अंतर नहीं है: हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, जड़ों की तलाश करते हैं, फिर उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं। तो क्यों न भिन्नात्मक बार (वास्तव में, विभाजन चिह्न) को सामान्य गुणन से बदलें, और डीएचएस की सभी आवश्यकताओं को एक अलग असमानता के रूप में लिखें? उदाहरण के लिए, इस तरह:

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \ left\( \ start(align) & P\left(x \right)\cdot Q \बाएं(x \दाएं) \gt 0, \\ और Q\बाएं(x \दाएं)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  कृपया ध्यान दें: यह दृष्टिकोण समस्या को अंतराल की विधि तक कम कर देगा, लेकिन यह समाधान को बिल्कुल भी जटिल नहीं करेगा। आखिरकार, वैसे भी, हम बहुपद $Q\left(x \right)$ को शून्य के बराबर करेंगे।

  आइए देखें कि यह वास्तविक कार्यों पर कैसे काम करता है।

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

  समाधान। तो, चलिए अंतराल विधि पर चलते हैं:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ और x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  पहली असमानता को प्राथमिक रूप से हल किया जाता है। बस प्रत्येक कोष्ठक को शून्य पर सेट करें:

  \[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ और x-11=0\दायां तीर ((x)_(2))=11. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  दूसरी असमानता के साथ, सब कुछ सरल भी है:

  हम वास्तविक रेखा पर $((x)_(1))$ और $((x)_(2))$ अंक अंकित करते हैं। वे सभी पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है:

  सही बिंदु दो बार पंचर निकला। यह ठीक है।

  बिंदु $x=11$ पर ध्यान दें। यह पता चला है कि यह "दो बार पंचर" है: एक तरफ, हम इसे असमानता की गंभीरता के कारण पंचर करते हैं, दूसरी ओर, ओडीजेड की अतिरिक्त आवश्यकता के कारण।

  किसी भी मामले में, यह सिर्फ एक पंचर बिंदु होगा। इसलिए, हम असमानता के लिए चिह्न लगाते हैं $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - समीकरणों को हल करने से पहले हमने जो आखिरी देखा था:

  

  हम सकारात्मक क्षेत्रों में रुचि रखते हैं, क्योंकि हम $f\left(x \right) \gt 0$ फॉर्म की असमानता को हल कर रहे हैं, और हम उन्हें रंग देंगे। यह केवल उत्तर लिखने के लिए रह गया है।

  उत्तर। $x\में \बाएं(-\infty;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

  एक उदाहरण के रूप में इस समाधान का उपयोग करते हुए, मैं आपको नौसिखिए छात्रों के बीच एक सामान्य गलती के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। अर्थात्: असमानताओं में कभी भी कोष्ठक न खोलें! इसके विपरीत, सब कुछ कारक करने का प्रयास करें - यह समाधान को सरल करेगा और आपको बहुत सारी समस्याओं से बचाएगा।

  आइए अब कुछ और कठिन प्रयास करें।

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(\बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं))(15x+33)\le 0\]

  समाधान। यह $f\left(x \right)\le 0$ फॉर्म की एक गैर-सख्त असमानता है, इसलिए यहां आपको भरे हुए बिंदुओं की सावधानीपूर्वक निगरानी करने की आवश्यकता है।

  आइए अंतराल विधि पर चलते हैं:

  \[\बाएं\(\शुरू(संरेखित) और \बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)\le 0, \\ और 15x+33\ ने 0. \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

  आइए समीकरण पर चलते हैं:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)=0 \\ और 2x-13=0\दायां तीर ((x )_(1))=6.5; \\ और 12x-9=0\दायां तीर ((x)_(2))=0.75; \\ और 15x+33=0\दायां तीर ((x)_(3))=-2,2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  हम अतिरिक्त आवश्यकता को ध्यान में रखते हैं:

  हम सभी प्राप्त जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

  यदि एक बिंदु को एक ही समय में मुक्का मारा और भरा जाता है, तो इसे पंच आउट माना जाता है।

  फिर से, दो बिंदु एक दूसरे को "ओवरलैप" करते हैं - यह सामान्य है, यह हमेशा ऐसा ही रहेगा। केवल यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक बिंदु जिसे पंच आउट और भरा हुआ दोनों के रूप में चिह्नित किया गया है, वास्तव में एक पंच आउट बिंदु है। वे। "गौगिंग" "पेंटिंग ओवर" की तुलना में एक मजबूत क्रिया है।

  यह बिल्कुल तार्किक है, क्योंकि पंचर करके हम उन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं जो फ़ंक्शन के संकेत को प्रभावित करते हैं, लेकिन स्वयं उत्तर में भाग नहीं लेते हैं। और अगर किसी बिंदु पर संख्या हमें सूट नहीं करती है (उदाहरण के लिए, यह ओडीजेड में नहीं आती है), तो हम इसे कार्य के अंत तक विचार से हटा देते हैं।

  सामान्य तौर पर, दार्शनिकता बंद करो। हम संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और उन अंतरालों पर पेंट करते हैं जो ऋण चिह्न से चिह्नित होते हैं:

  

  उत्तर। $x\में \बाएं(-\infty;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

  और फिर से मैं आपका ध्यान इस समीकरण की ओर आकर्षित करना चाहता हूं:

  \[\बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)=0\]

  एक बार फिर: ऐसे समीकरणों में कभी भी कोष्ठक न खोलें! आप इसे केवल अपने लिए कठिन बना रहे हैं। याद रखें: उत्पाद शून्य होता है जब कम से कम एक कारक शून्य होता है। नतीजतन, यह समीकरण बस कई छोटे लोगों में "अलग हो जाता है", जिसे हमने पिछली समस्या में हल किया था।

  जड़ों की बहुलता को ध्यान में रखते हुए

  पिछली समस्याओं से, यह देखना आसान है कि यह गैर-सख्त असमानताएं हैं जो सबसे कठिन हैं, क्योंकि उनमें आपको भरे हुए बिंदुओं का ट्रैक रखना है।

  लेकिन दुनिया में इससे भी बड़ी बुराई है - ये असमानताओं में कई जड़ें हैं। यहां पहले से ही कुछ भरे हुए बिंदुओं का पालन करना आवश्यक है - यहां इन समान बिंदुओं से गुजरते समय असमानता का संकेत अचानक नहीं बदल सकता है।

  हमने इस पाठ में अभी तक ऐसा कुछ नहीं माना है (हालाँकि अंतराल विधि में अक्सर इसी तरह की समस्या का सामना करना पड़ता था)। तो चलिए एक नई परिभाषा पेश करते हैं:

  परिभाषा। समीकरण की जड़ $((\left(x-a \right))^(n))=0$ $x=a$ के बराबर है और इसे $n$th बहुलता का मूल कहा जाता है।

  दरअसल, हम बहुलता के सटीक मूल्य में विशेष रुचि नहीं रखते हैं। केवल महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या यह संख्या $n$ सम है या विषम। इसलिये:

  1. यदि $x=a$ सम बहुलता का मूल है, तो इससे गुजरते समय फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है;
  2. और इसके विपरीत, यदि $x=a$ विषम बहुलता का मूल है, तो फलन का चिह्न बदल जाएगा।

  विषम बहुलता के मूल का एक विशेष मामला इस पाठ में पिछली सभी समस्याओं पर विचार किया गया है: वहाँ बहुलता हर जगह एक के बराबर है।

  और आगे। इससे पहले कि हम समस्याओं को हल करना शुरू करें, मैं आपका ध्यान एक ऐसी सूक्ष्मता की ओर आकर्षित करना चाहूंगा जो एक अनुभवी छात्र को स्पष्ट लगती है, लेकिन कई शुरुआती लोगों को स्तब्ध कर देती है। अर्थात्:

  बहुलता मूल $n$ तभी उत्पन्न होता है जब संपूर्ण व्यंजक इस घात तक बढ़ा दिया जाता है: $((\बाएं(xa \right))^(n))$, और $\बाएं नहीं (((x)^( n) )-ए\दाएं)$.

  एक बार फिर: ब्रैकेट $((\left(xa \right))^(n))$ हमें रूट $x=a$ की बहुलता $n$ देता है, लेकिन ब्रैकेट $\left(((x)^( n)) -a \right)$ या, जैसा कि अक्सर होता है, $(a-((x)^(n)))$ हमें पहली बहुलता का एक मूल (या दो मूल, यदि $n$ सम है) देता है , कोई फर्क नहीं पड़ता कि $n$ के बराबर क्या है।

  तुलना करना:

  \[((\बाएं(x-3 \दाएं))^(5))=0\दायां x=3\बाएं(5k \दाएं)\]

  यहां सब कुछ स्पष्ट है: पूरे ब्रैकेट को पांचवीं शक्ति तक उठाया गया था, इसलिए आउटपुट पर हमें पांचवीं डिग्री की जड़ मिली। और अब:

  \[\बाएं(((x)^(2))-4 \right)=0\दायां तीर ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

  हमें दो जड़ें मिलीं, लेकिन दोनों में पहली बहुलता है। या यहाँ एक और है:

  \[\बाएं(((x)^(10))-1024 \दाएं)=0\दायां तीर ((x)^(10))=1024\दायां x=\pm 2\]

  और दसवीं डिग्री से भ्रमित न हों। मुख्य बात यह है कि 10 एक सम संख्या है, इसलिए हमारे पास आउटपुट पर दो जड़ें हैं, और दोनों में फिर से पहली बहुलता है।

  सामान्य तौर पर, सावधान रहें: बहुलता तभी होती है जब डिग्री पूरे ब्रैकेट पर लागू होती है, न कि केवल चर पर.

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\बाएं(x+7) \दाएं))^(5)))\ge 0\]

  समाधान। आइए इसे वैकल्पिक तरीके से हल करने का प्रयास करें - विशेष से उत्पाद में संक्रमण के माध्यम से:

  \[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((x)^(2))((\बाएं(6-x \दाएं))^(3))\बाएं(x+4 \दाएं)\cdot ( (\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ge 0, \\ और ((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ne 0. \\ \end(संरेखित करें )\सही।\]

  हम अंतराल विधि का उपयोग करके पहली असमानता से निपटते हैं:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\बाएं) x+7 \right))^(5))=0; \\ और ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\बाएं(2k \दाएं); \\ और ((\ बाएँ (6-x \ दाएँ)) ^ (3)) = 0 \ दायाँ x = 6 \ बाएँ (3k \ दाएँ); \\ & x+4=0\दायां तीर x=-4; \\ और ((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))=0\दायां x=-7\बाएं(5k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  इसके अतिरिक्त, हम दूसरी असमानता को हल करते हैं। वास्तव में, हमने इसे पहले ही हल कर लिया है, लेकिन समीक्षकों को समाधान में दोष न मिले, इसलिए इसे फिर से हल करना बेहतर है:

  \[((\बाएं(x+7 \दाएं))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

  ध्यान दें कि अंतिम असमानता में कोई बहुलता नहीं है। वास्तव में: संख्या रेखा पर बिंदु $x=-7$ को कितनी बार पार करने से क्या फर्क पड़ता है? कम से कम एक बार, कम से कम पांच बार - परिणाम समान होगा: एक पंचर बिंदु।

  संख्या रेखा पर हमें जो कुछ प्राप्त होता है, उस पर ध्यान दें:

  

  जैसा कि मैंने कहा, $x=-7$ बिंदु को अंततः समाप्त कर दिया जाएगा। अंतराल विधि द्वारा असमानता के समाधान के आधार पर गुणाओं को व्यवस्थित किया जाता है।

  यह संकेत रखना बाकी है:

  

  चूँकि बिंदु $x=0$ सम बहुलता का मूल है, इससे गुजरने पर चिह्न नहीं बदलता है। शेष बिंदुओं में एक विषम बहुलता है, और उनके साथ सब कुछ सरल है।

  उत्तर। $x\में \बाएं(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

  फिर से $x=0$ पर ध्यान दें। सम बहुलता के कारण, एक दिलचस्प प्रभाव उत्पन्न होता है: इसके बाईं ओर सब कुछ चित्रित किया जाता है, दाईं ओर भी, और बिंदु स्वयं पूरी तरह से चित्रित होता है।

  परिणामस्वरूप, प्रतिक्रिया रिकॉर्ड करते समय इसे अलग-थलग करने की आवश्यकता नहीं है। वे। आपको $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ कुछ लिखने की जरूरत नहीं है (हालांकि औपचारिक रूप से ऐसा उत्तर भी सही होगा)। इसके बजाय, हम तुरंत $x\in \left[ -4;6 \right]$ लिखते हैं।

  इस तरह के प्रभाव केवल सम बहुलता की जड़ों के लिए ही संभव हैं। और अगले कार्य में, हम इस प्रभाव के विपरीत "अभिव्यक्ति" का सामना करेंगे। तैयार?

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(((\बाएं(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\बाएं(x-1 \right))^(2)) \बाएं(7x-10-((x)^(2)) \दाएं))\ge 0\]

  समाधान। इस बार हम मानक योजना का पालन करेंगे। अंश को शून्य पर सेट करें:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और ((\ बाएँ (x-3 \ दाएँ)) ^ (4)) \ बाएँ (x-4 \ दाएँ) = 0; \\ और ((\बाएं(x-3 \दाएं))^(4))=0\दायां तीर ((x)_(1))=3\बाएं(4k \दाएं); \\ और x-4=0\दायां तीर ((x)_(2))=4. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  और भाजक:

  \[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ और ((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2))=0\दायां x_(1)^(*)=1\बाएं(2k \दाएं); \\ और 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  चूंकि हम $f\left(x \right)\ge 0$ फॉर्म की एक गैर-सख्त असमानता को हल कर रहे हैं, इसलिए हर (जिसमें तारक हैं) से जड़ों को काट दिया जाएगा, और अंश से उन पर पेंट किया जाएगा। .

  

  हम संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और "प्लस" के साथ चिह्नित क्षेत्रों को स्ट्रोक करते हैं:

  बिंदु $x=3$ पृथक है। यह उत्तर का हिस्सा है

  अंतिम उत्तर लिखने से पहले, चित्र पर एक नज़र डालें:

  1. बिंदु $x=1$ में एक समान बहुलता है, लेकिन यह स्वयं पंचर है। इसलिए, इसे उत्तर में अलग करना होगा: आपको $x\in \left(-\infty;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ लिखना होगा, न कि $x\in \बाएं(-\ infty;2\right)$.
  2. बिंदु $x=3$ में भी एक बहुलता है और छायांकित है। संकेतों की व्यवस्था इंगित करती है कि बिंदु स्वयं हमें सूट करता है, लेकिन बाएं और दाएं एक कदम - और हम खुद को ऐसे क्षेत्र में पाते हैं जो निश्चित रूप से हमारे अनुरूप नहीं है। ऐसे बिंदुओं को पृथक कहा जाता है और $x\in \left\( 3 \right\)$ के रूप में लिखा जाता है।

  हम सभी प्राप्त टुकड़ों को एक सामान्य सेट में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

  उत्तर: $x\in \बाएं(-\infty;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\(3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

  परिभाषा। असमानता को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों का सेट खोजें, या साबित करें कि यह सेट खाली है।

  ऐसा प्रतीत होगा: यहाँ क्या समझ से बाहर हो सकता है? हां, तथ्य यह है कि सेट को अलग-अलग तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। आइए अंतिम समस्या का उत्तर फिर से लिखें:

  जो लिखा है उसे हम अक्षरशः पढ़ते हैं। चर "x" एक निश्चित सेट से संबंधित है, जो चार अलग-अलग सेटों के संघ (प्रतीक "यू") द्वारा प्राप्त किया जाता है:

  • अंतराल $\बाएं(-\infty ;1 \right)$, जिसका शाब्दिक अर्थ है "सभी संख्याएं एक से कम, लेकिन स्वयं एक नहीं";
  • अंतराल $\बाएं(1;2 \दाएं)$ है, अर्थात। "1 और 2 के बीच की सभी संख्याएँ, लेकिन संख्याएँ 1 और 2 स्वयं नहीं";
  • सेट $\बाएं\( 3 \दाएं\)$, एक संख्या से मिलकर - तीन;
  • अंतराल $\बाएं[ 4;5 \दाएं)$ जिसमें 4 और 5 के बीच की सभी संख्याएं शामिल हैं, साथ ही 4 स्वयं, लेकिन 5 नहीं।

  तीसरा बिंदु यहां रुचि का है। अंतराल के विपरीत, जो संख्याओं के अनंत सेट को परिभाषित करता है और केवल इन सेटों की सीमाओं को दर्शाता है, सेट $\left\( 3 \right\)$ गणना द्वारा ठीक एक संख्या को परिभाषित करता है।

  यह समझने के लिए कि हम सेट में शामिल विशिष्ट संख्याओं को सूचीबद्ध कर रहे हैं (और सीमाएं या कुछ भी निर्धारित नहीं कर रहे हैं), घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संकेतन $\left\( 1;2 \right\)$ का अर्थ बिल्कुल "दो संख्याओं वाला एक सेट: 1 और 2" है, लेकिन 1 से 2 तक का खंड नहीं है। किसी भी स्थिति में इन अवधारणाओं को भ्रमित न करें। .

  गुणन योग नियम

  खैर, आज के पाठ के अंत में, पावेल बर्डोव का एक छोटा सा टिन। :)

  चौकस छात्रों ने शायद पहले से ही खुद से सवाल पूछा है: क्या होगा यदि अंश और हर में समान जड़ें पाई जाती हैं? तो निम्नलिखित नियम काम करता है:

  समान जड़ों के गुणन जोड़े जाते हैं। हमेशा से रहा है। भले ही यह जड़ अंश और हर दोनों में हो।

  कभी-कभी बात करने से फैसला करना बेहतर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करते हैं:

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \दाएं))\ge 0\]

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  अब तक, कुछ खास नहीं। हर को शून्य पर सेट करें:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(((x)^(2))-16 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  दो समान मूल पाए जाते हैं: $((x)_(1))=-2$ और $x_(4)^(*)=-2$। दोनों की पहली बहुलता है। इसलिए, हम उन्हें एक मूल $x_(4)^(*)=-2$ से प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन 1+1=2 की बहुलता के साथ।

  इसके अलावा, समान जड़ें भी हैं: $((x)_(2))=-4$ और $x_(2)^(*)=-4$। वे भी पहली बहुलता के हैं, इसलिए केवल $x_(2)^(*)=-4$ बहुलता 1+1=2 शेष है।

  कृपया ध्यान दें: दोनों ही मामलों में, हमने बिल्कुल "कट आउट" रूट को छोड़ दिया, और "पेंटेड ओवर" को विचार से बाहर कर दिया। क्योंकि पाठ की शुरुआत में भी, हम सहमत थे: यदि एक बिंदु को एक ही समय में मुक्का मारा और चित्रित किया जाता है, तो भी हम इसे पंच आउट मानते हैं।

  नतीजतन, हमारे पास चार जड़ें हैं, और सभी बाहर निकल गए हैं:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और x_(1)^(*)=4; \\ और x_(2)^(*)=-4\बाएं(2k \दाएं); \\ और x_(3)^(*)=-7; \\ और x_(4)^(*)=-2\बाएं(2k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  बहुलता को ध्यान में रखते हुए हम उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

  

  हम अपनी रुचि के क्षेत्रों पर संकेत और पेंट लगाते हैं:

  

  हर चीज़। कोई पृथक बिंदु और अन्य विकृतियां नहीं। आप उत्तर लिख सकते हैं।

  उत्तर। $x\in \बाएं(-\infty;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$।

  गुणन नियम

  कभी-कभी इससे भी अधिक अप्रिय स्थिति उत्पन्न होती है: एक समीकरण जिसमें कई जड़ें होती हैं, स्वयं एक निश्चित शक्ति तक बढ़ जाती है। यह सभी मूल जड़ों की बहुलता को बदल देता है।

  यह दुर्लभ है, इसलिए अधिकांश छात्रों के पास ऐसी समस्याओं को हल करने का अनुभव नहीं है। और यहाँ नियम है:

  जब एक समीकरण को घात $n$ तक बढ़ा दिया जाता है, तो इसके सभी मूलों की बहुलता भी $n$ के कारक से बढ़ जाती है।

  दूसरे शब्दों में, किसी शक्ति को बढ़ाने से गुणन को उसी शक्ति से गुणा किया जाता है। आइए इस नियम को एक उदाहरण के रूप में लें:

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\बाएं(2-x \दाएं))^(3))((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2)))\le 0\]

  समाधान। अंश को शून्य पर सेट करें:

  उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। पहले गुणक के साथ सब कुछ स्पष्ट है: $x=0$। और यहीं से समस्याएं शुरू होती हैं:

  \[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ और ((x)^(2))-6x+9=0\बाएं(2k \दाएं); \\ और डी=((6)^(3)) -4\cdot 9=0 \\ और ((x)_(2))=3\बाएं(2k \दाएं)\बाएं(2k \दाएं) \ \ & ((x)_(2))=3\बाएं(4k \दाएं) \\ \end(align)\]

  जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण $((x)^(2))-6x+9=0$ में दूसरी बहुलता की एक अनूठी जड़ है: $x=3$। फिर पूरे समीकरण को चुकता कर दिया जाता है। इसलिए, जड़ की बहुलता $2\cdot 2=4$ होगी, जिसे हमने अंत में लिख लिया।

  \[((\बाएं(x-4 \दाएं))^(5))=0\दायां x=4\बाएं(5k \दाएं)\]

  भाजक के साथ भी कोई समस्या नहीं:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं(2-x \दाएं))^(3))((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2))=0; \\ और ((\बाएं(2-x \दाएं))^(3))=0\दायां तीर x_(1)^(*)=2\बाएं(3k \दाएं); \\ और ((\बाएं(x-1 \दाएं))^(2))=0\दायां तीर x_(2)^(*)=1\बाएं(2k \दाएं)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  कुल मिलाकर, हमें पाँच अंक मिले: दो पंच आउट हुए और तीन भरे गए। अंश और हर में कोई मेल खाने वाली जड़ें नहीं होती हैं, इसलिए हम उन्हें केवल संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

  

  हम बहुलताओं को ध्यान में रखते हुए संकेतों की व्यवस्था करते हैं और हमारे लिए ब्याज के अंतराल पर पेंट करते हैं:

  फिर से एक पृथक बिंदु और एक पंचर हो गया

  सम बहुलता की जड़ों के कारण, हमें फिर से कुछ "गैर-मानक" तत्व प्राप्त हुए। यह $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ है, न कि $x\in \ left[ 0;2 \right)$, और एक पृथक बिंदु $ भी x\में \बाएं\( 3 \दाएं\)$.

  उत्तर। $x\में \बाएं[ 0;1 \दाएं)\बिगकप \बाएं(1;2

  जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ इतना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात सावधानी है। इस पाठ का अंतिम खंड परिवर्तनों के लिए समर्पित है - वही जिनकी हमने शुरुआत में चर्चा की थी।

  पूर्वरूपांतरण

  इस भाग में हम जिन असमानताओं की चर्चा करेंगे, वे जटिल नहीं हैं। हालांकि, पिछले कार्यों के विपरीत, यहां आपको तर्कसंगत अंशों के सिद्धांत से कौशल को लागू करना होगा - एक सामान्य भाजक के लिए गुणन और कमी।

  हमने आज के पाठ की शुरुआत में ही इस मुद्दे पर विस्तार से चर्चा की। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि आप समझते हैं कि यह किस बारे में है, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप वापस जाएं और दोहराएं। क्योंकि यदि आप भिन्नों के रूपांतरण में "तैरते" हैं तो असमानताओं को हल करने के तरीकों को समेटने का कोई मतलब नहीं है।

  वैसे होमवर्क में भी इसी तरह के कई काम होंगे। उन्हें एक अलग उपखंड में रखा गया है। और वहां आपको बहुत ही गैर-तुच्छ उदाहरण मिलेंगे। लेकिन यह होमवर्क में होगा, लेकिन अब आइए कुछ ऐसी असमानताओं का विश्लेषण करें।

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

  समाधान। सब कुछ बाईं ओर ले जाना:

  \[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

  हम एक सामान्य भाजक को कम करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं, अंश में समान पद देते हैं:

  \[\प्रारंभ (संरेखण) और \frac(x\cdot x)(\बाएं(x-1 \दाएं)\cdot x)-\frac(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(x-1 \ दाएं))(x\cdot \बाएं(x-1 \right))\le 0; \\ और \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ और \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ और \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

  अब हमारे पास एक शास्त्रीय भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता है, जिसका समाधान अब कठिन नहीं है। मैं इसे एक वैकल्पिक विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव करता हूं - अंतराल की विधि के माध्यम से:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(3x-2 \दाएं)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  हर से आने वाली बाधा को न भूलें:

  हम संख्या रेखा पर सभी संख्याओं और प्रतिबंधों को चिह्नित करते हैं:

  सभी जड़ों में पहली बहुलता होती है। कोई दिक्कत नहीं है। हम केवल उन क्षेत्रों पर संकेत और पेंट लगाते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है:

  

  बस इतना ही। आप उत्तर लिख सकते हैं।

  उत्तर। $x\in \बाएं(-\infty;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$।

  बेशक, यह एक बहुत ही सरल उदाहरण था। तो चलिए अब समस्या पर करीब से नज़र डालते हैं। और वैसे, इस कार्य का स्तर 8 वीं कक्षा में इस विषय पर स्वतंत्र और नियंत्रण कार्य के साथ काफी सुसंगत है।

  एक कार्य। असमानता को हल करें:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

  समाधान। सब कुछ बाईं ओर ले जाना:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

  दोनों भिन्नों को एक समान हर में लाने से पहले, हम इन हरों को गुणनखंडों में विघटित करते हैं। अचानक वही ब्रैकेट निकल आएंगे? पहले हर के साथ यह आसान है:

  \[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

  दूसरा थोड़ा और कठिन है। उस ब्रैकेट में एक निरंतर गुणक जोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करें जहां अंश पाया गया था। याद रखें: मूल बहुपद में पूर्णांक गुणांक थे, इसलिए यह अत्यधिक संभावना है कि गुणन में पूर्णांक गुणांक भी होंगे (वास्तव में, यह हमेशा होगा, सिवाय जब विवेचक अपरिमेय है)।

  \[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ और =\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं) \अंत (संरेखण)\]

  जैसा कि आप देख सकते हैं, एक सामान्य ब्रैकेट है: $\left(x-1 \right)$। हम असमानता पर लौटते हैं और दोनों भिन्नों को एक समान भाजक में लाते हैं:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और \frac(1)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं))-\frac(1)(\बाएं(x-1 \दाएं)\ बायां(3x-2\दाएं))\ge 0; \\ और \ frac (1 \ cdot \ बाएँ (3x-2 \ दाएँ) -1 \ cdot \ बाएँ (x + 9 \ दाएँ)) (\ बाएँ (x-1 \ दाएँ) \ बाएँ (x + 9 \ दाएँ) )\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ और \frac(3x-2-x-9)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ और \frac(2x-11)(\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं))\ge 0; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

  हर को शून्य पर सेट करें:

  \[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(x+9 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( संरेखित करें)\]

  कोई बहुलता नहीं और कोई मेल खाने वाली जड़ें नहीं। हम चार संख्याओं को एक सीधी रेखा पर अंकित करते हैं:

  हम संकेत डालते हैं:

  

  हम उत्तर लिखते हैं।

  उत्तर: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ दाएं) $।