§ प्राकृतिक संख्याओं का 1 भाग

इस पाठ में, आप लाभांश, भाजक, भागफल जैसी अवधारणाओं से परिचित होंगे, साथ ही विभाजन के कुछ गुणों पर विचार करेंगे और अज्ञात कारक, अज्ञात लाभांश और अज्ञात भाजक के साथ समीकरणों को हल करना सीखेंगे।

आइए समस्या का समाधान करें:

30 नोटबुक को समान रूप से 3 ढेर में विभाजित किया जाना चाहिए। प्रत्येक ढेर में कितनी नोटबुक होंगी?

मान लें कि प्रत्येक स्टैक में X नोटबुक हैं, फिर समस्या की स्थिति के अनुसार

यह अनुमान लगाना आसान है कि केवल एक संख्या, जब 3 से गुणा किया जाता है, तो 30 देता है। यह संख्या 10 है। उत्तर: प्रत्येक ढेर में 10 नोटबुक हैं। वे। हमें दिए गए गुणनफल 30 और गुणनखंड 3 में से एक अज्ञात गुणनखंड मिला है। यह 10 के बराबर है।

इस प्रकार, हमें परिभाषा मिलती है: वह क्रिया जिसके द्वारा उत्पाद और कारकों में से एक अन्य कारक ढूंढता है, विभाजन कहलाता है।

वे इस तरह लिखते हैं:

जिस संख्या को विभाजित किया जाता है उसे भाजक कहते हैं, जिस संख्या से इसे विभाजित किया जाता है उसे भाजक कहा जाता है, और विभाजन के परिणाम को भागफल कहा जाता है, वैसे, भागफल यह दर्शाता है कि भाजक भाजक से कितनी गुना अधिक है . हमारे मामले में, लाभांश 30 है, भाजक 3 है, और भागफल 10 है।

§ 2 प्राकृत संख्याओं के विभाजन के गुण

अब विभाजन के गुणों पर विचार करें:

क्या आपको लगता है कि कोई भी संख्या भाजक हो सकती है? नहीं! आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

क्या एक से विभाजित करना संभव है? हां। जब आप किसी संख्या को एक से विभाजित करते हैं, तो आपको वही संख्या प्राप्त होती है, उदाहरण के लिए, 18 को एक से विभाजित करने पर 18 के बराबर होती है।

क्या लाभांश शून्य हो सकता है? हां! शून्य को किसी प्राकृत संख्या से भाग देने पर शून्य प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, 0 को 4 से विभाजित करने पर 0 होता है।

चलो कुछ काम करते हैं।

पहला: समीकरण 4x \u003d 144 को हल करें। विभाजन के अर्थ के अनुसार, हमारे पास x \u003d 144: 4, यानी x \u003d 36 है। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक अज्ञात कारक खोजने के लिए, आपको विभाजित करने की आवश्यकता है एक ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद।

दूसरा कार्य: समीकरण x: 11 \u003d 22 को हल करें। विभाजन के अर्थ के अनुसार, x कारक 11 और 22 का गुणनफल है। तो x 11 गुणा 22 के बराबर है, अर्थात x \u003d 242।

इसलिए, अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

कार्य संख्या 3: समीकरण 108 को हल करें: x \u003d 6। विभाजन के अर्थ के अनुसार, संख्या 108 कारक 6 और x का गुणनफल है, अर्थात, 6x \u003d 108। अज्ञात कारक को खोजने के लिए नियम को लागू करते हुए, हम x \u003d 108: 6, यानी x \u003d अठारह है।

हमें एक और नियम मिलता है: एक अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, लाभांश को भागफल से विभाजित करना आवश्यक है।

इस प्रकार, इस पाठ में आप लाभांश, भाजक, भागफल जैसी अवधारणाओं से परिचित हुए, और विभाजन के कुछ गुणों पर भी विचार किया और अज्ञात कारक, अज्ञात लाभांश या अज्ञात भाजक के साथ समीकरणों को हल करने के नियम प्राप्त किए।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

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2. गणित ग्रेड 5 में उपदेशात्मक सामग्री। लेखक - पोपोव एम.ए. - 2013
3. हम त्रुटियों के बिना गणना करते हैं। गणित ग्रेड 5-6 में स्व-परीक्षा के साथ कार्य करें। लेखक - मिनेवा एस.एस. - 2014
4. गणित ग्रेड 5 में उपदेशात्मक सामग्री। लेखक: डोरोफीव जी.वी., कुजनेत्सोवा एल.वी. - 2010
5. गणित ग्रेड 5 में नियंत्रण और स्वतंत्र कार्य। लेखक - पोपोव एम.ए. - 2012
6. गणित। ग्रेड 5: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए। संस्थान / आई। आई। जुबारेवा, ए। जी। मोर्दकोविच। - 9वां संस्करण, सीनियर। - एम .: मेनेमोसिन, 2009।

स्तंभ विभाजन(आप नाम भी देख सकते हैं विभाजनकॉर्नर) में एक मानक प्रक्रिया हैअंकगणित, सरल या जटिल बहु-अंकीय संख्याओं को तोड़कर विभाजित करने के लिए डिज़ाइन किया गयाकई सरल चरणों में विभाजित करें। जैसा कि सभी विभाजन समस्याओं में होता है, एक एकल संख्या, जिसे कहा जाता हैभाज्य, दूसरे में विभाजित है, जिसे . कहा जाता हैविभक्त, एक परिणाम उत्पन्न करना जिसे . कहा जाता हैनिजी.

एक कॉलम का उपयोग दोनों प्राकृतिक संख्याओं को बिना शेष के विभाजित करने के लिए किया जा सकता है, और प्राकृतिक संख्याओं का विभाजनबिना आराम किए।

कॉलम द्वारा विभाजित करते समय रिकॉर्डिंग के नियम।

आइए लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणना और परिणाम लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरू करें जबएक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन। आइए तुरंत कहें कि एक कॉलम द्वारा विभाजन करने के लिए लिखित रूप मेंयह एक चेकर लाइन के साथ कागज पर सबसे सुविधाजनक है - इसलिए वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम है।

सबसे पहले, भाजक और भाजक को एक पंक्ति में बाएँ से दाएँ लिखा जाता है, उसके बाद लिखे के बीचसंख्याएँ प्रपत्र के प्रतीक का प्रतिनिधित्व करती हैं.

उदाहरण के लिए, यदि लाभांश संख्या 6105 है, और भाजक 55 है, तो विभाजित करते समय उनका सही संकेतनकॉलम इस तरह दिखेगा:

भाज्य, भाजक, भागफल लिखने के स्थानों को दर्शाने वाले निम्नलिखित आरेख को देखें।कॉलम द्वारा विभाजित करते समय शेष और मध्यवर्ती गणना:

उपरोक्त आरेख से यह देखा जा सकता है कि वांछित भागफल (या .) अधूरा भागफलशेष के साथ विभाजित करने पर) होगाक्षैतिज पट्टी के नीचे भाजक के नीचे लिखा जाता है। और मध्यवर्ती गणना नीचे की जाएगीविभाज्य, और आपको पहले से पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता का ध्यान रखना होगा। ऐसा करने में, किसी को निर्देशित किया जाना चाहिएनियम: लाभांश और भाजक के अभिलेखों में वर्णों की संख्या में जितना अधिक अंतर होगा, उतना ही अधिकस्थान की आवश्यकता होगी।

किसी प्राकृत संख्या के स्तंभ द्वारा एकल अंकों वाली प्राकृत संख्या से भाग देना, स्तंभ विभाजन एल्गोरिथ्म।

कैसे एक कॉलम में विभाजित करने के लिए एक उदाहरण के साथ सबसे अच्छा समझाया गया है।गणना:

512:8=?

सबसे पहले, लाभांश और भाजक को एक कॉलम में लिख लें। यह इस तरह दिखेगा:

उनका भागफल (परिणाम) भाजक के नीचे लिखा जाएगा। हमारी संख्या 8 है।

1. हम एक अपूर्ण भागफल को परिभाषित करते हैं। सबसे पहले, हम लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर से पहले अंक को देखते हैं।यदि इस आकृति द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें काम करना होगाइस नंबर के साथ। यदि यह संख्या भाजक से कम है, तो हमें निम्नलिखित पर विचार करने की आवश्यकता हैबाईं ओर, लाभांश के रिकॉर्ड में अंक, और दोनों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करेंसंख्याएं। सुविधा के लिए, हम अपने रिकॉर्ड में उस नंबर का चयन करते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

2. लीजिए 5. संख्या 5, 8 से कम है, इसलिए आपको लाभांश से एक और अंक लेने की जरूरत है। 51, 8 से बड़ा है। तो।यह एक अधूरा भागफल है। हम भागफल (विभक्त के कोने के नीचे) में एक बिंदु रखते हैं।

51 के बाद केवल एक संख्या 2 है। इसलिए हम परिणाम में एक और अंक जोड़ते हैं।

3. अब, याद रखनापहाड़ा 8 से, हम 51 → 6 x 8 = 48 . के निकटतम गुणनफल पाते हैं→ भागफल में संख्या 6 लिखिए:

हम 51 के नीचे 48 लिखते हैं (यदि हम भागफल से 6 को भाजक से 8 से गुणा करते हैं, तो हमें 48 मिलता है)।

ध्यान!अपूर्ण भागफल के नीचे लिखे जाने पर, अपूर्ण भागफल का सबसे दाहिना अंक ऊपर होना चाहिएसबसे दाहिना अंककाम करता है।

4. बाईं ओर 51 और 48 के बीच में "-" (माइनस) लगाएं।घटाव के नियमों के अनुसार घटाना कॉलम 48 में और लाइन के नीचेपरिणाम लिखो।

हालांकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे लिखने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि घटाव में न हो)यह पैराग्राफ अंतिम क्रिया नहीं है जो विभाजन प्रक्रिया को पूरी तरह से पूरा करती हैकॉलम)।

शेषफल 3 निकला। आइए शेष की तुलना भाजक से करें। 3 8 से कम है।

ध्यान!यदि शेष भाजक से बड़ा है, तो हमने गणना में गलती की और एक उत्पाद हैजो हमने लिया उससे ज्यादा करीब।

5. अब क्षैतिज रेखा के नीचे वहां स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हम नहीं हैंशून्य लिखना शुरू किया) हम लाभांश के रिकॉर्ड में उसी कॉलम में स्थित आंकड़ा लिखते हैं। मैं फ़िनइस कॉलम में कोई अंक नहीं हैं, तो एक कॉलम से विभाजन यहाँ समाप्त होता है।

संख्या 32 8 से बड़ी है। और फिर, 8 के लिए गुणन तालिका का उपयोग करके, हम निकटतम उत्पाद पाते हैं → 8 x 4 = 32:

शेष शून्य है। इसका मतलब है कि संख्याएं पूरी तरह से विभाजित हैं (शेष के बिना)। अगर आखिरी के बादशून्य घटाना, और कोई और अंक नहीं बचे हैं, तो यह शेष है। हम इसे निजी में जोड़ते हैंकोष्ठक (जैसे 64(2))।

बहुमान प्राकृत संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन।

एक प्राकृतिक बहु-अंकीय संख्या से भाग इसी तरह से किया जाता है। उसी समय, पहले"मध्यवर्ती" लाभांश में इतने उच्च-क्रम अंक शामिल होते हैं कि यह भाजक से अधिक हो जाता है।

उदाहरण के लिए, 1976 को 26 से विभाजित किया गया।

• सबसे महत्वपूर्ण अंक में नंबर 1 26 से कम है, इसलिए दो अंकों से बनी संख्या पर विचार करें वरिष्ठ रैंक - 19।
• संख्या 19 भी 26 से कम है, इसलिए तीन सबसे महत्वपूर्ण अंकों - 197 के अंकों से बनी संख्या पर विचार करें।
• 197 की संख्या 26 से बड़ी है, 197 दहाई को 26: 197: 26 = 7 (15 दहाई शेष) से ​​विभाजित करें।
• हम 15 दहाई को इकाइयों में अनुवाद करते हैं, इकाइयों की श्रेणी से 6 इकाइयों को जोड़ते हैं, हमें 156 मिलते हैं।
• 156 को 26 से भाग देकर 6 प्राप्त करें।

तो 1976: 26 = 76।

यदि किसी भाग चरण पर "मध्यवर्ती" लाभांश भाजक से कम निकला, तो भागफल में0 लिखा जाता है, और इस अंक से संख्या अगले, निचले अंक में स्थानांतरित हो जाती है।

भागफल में दशमलव भिन्न के साथ भाग।

दशमलव अंश ऑनलाइन। दशमलव को सामान्य भिन्न और सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलें।

यदि कोई प्राकृत संख्या एक अंक वाली प्राकृत संख्या से समान रूप से विभाज्य नहीं है, तो आप जारी रख सकते हैंबिटवाइज़ डिवीजन और एक भागफल दशमलव प्राप्त करें।

उदाहरण के लिए, 64 को 5 से विभाजित किया जाता है।

• 1 दहाई और 1 दहाई शेष प्राप्त करने के लिए 6 दहाई को 5 से भाग दें।
• हम शेष दस को इकाइयों में अनुवाद करते हैं, इकाइयों की श्रेणी से 4 जोड़ते हैं, हमें 14 मिलते हैं।
• 14 इकाइयों को 5 से विभाजित करने पर, हमें 2 इकाइयाँ और शेष 4 इकाइयाँ प्राप्त होती हैं।
• हम 4 इकाइयों को दसवें में अनुवाद करते हैं, हमें 40 दसवां हिस्सा मिलता है।
• 40 दहाई को 5 से विभाजित करके 8 दहाई प्राप्त करें।

तो 64:5 = 12.8

इस प्रकार, यदि किसी प्राकृत संख्या को प्राकृत एक-अंक या बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करते समयशेष प्राप्त होता है, तो आप एक निजी अल्पविराम में डाल सकते हैं, शेष को अगले की इकाइयों में परिवर्तित कर सकते हैं,छोटे अंक और विभाजित करना जारी रखें।

इस लेख में हम प्राकृत संख्याओं के विभाजन से जुड़े सामान्य निरूपणों का अध्ययन करेंगे। उन्हें विखंडन प्रक्रिया के गुण कहा जाता है। हम मुख्य का विश्लेषण करेंगे, उनके अर्थ की व्याख्या करेंगे और उदाहरणों के साथ हमारे तर्क का समर्थन करेंगे।

दो समान प्राकृत संख्याओं का विभाजन

यह समझने के लिए कि एक प्राकृतिक संख्या को दूसरे के बराबर कैसे विभाजित किया जाए, आपको विभाजन प्रक्रिया के अर्थ को समझने की आवश्यकता है। अंतिम परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि हम भाजक को क्या अर्थ देते हैं। आइए दो संभावित विकल्पों को देखें।

तो हमारे पास एक आइटम है (ए एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है)। आइए वस्तुओं को समूहों में समान रूप से वितरित करें, जबकि समूहों की संख्या बराबर होनी चाहिए। जाहिर है, इस मामले में प्रत्येक समूह में केवल एक ही विषय होगा।

आइए थोड़ा अलग तरीके से सुधार करें: किसी आइटम को प्रत्येक आइटम के समूहों में कैसे वितरित किया जाए? अंत में कितने समूह होंगे? बेशक, केवल एक।

आइए एक ही आकार की प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने की पहली संपत्ति को संक्षेप में प्रस्तुत करें और प्राप्त करें:

परिभाषा 1

एक प्राकृत संख्या को उसके बराबर से भाग देने पर एक परिणाम प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, a: a = 1 (a कोई भी प्राकृत संख्या है)।

आइए वर्णन करने के लिए दो उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

यदि 450 को 450 से विभाजित किया जाता है, तो यह 1 होगा। यदि 67 को 67 से विभाजित किया जाता है, तो आपको 1 प्राप्त होता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी विशिष्ट संख्याओं पर निर्भर नहीं करता है, परिणाम समान होगा, बशर्ते कि लाभांश और भाजक बराबर हों।

एक प्राकृतिक संख्या का एक से विभाजन

पिछले पैराग्राफ की तरह, आइए कार्यों से शुरू करें। मान लें कि हमारे पास a के बराबर राशि में कोई आइटम है। उन्हें कई भागों में विभाजित करना आवश्यक है, प्रत्येक एक विषय। यह स्पष्ट है कि हमारे पास एक भाग होगा।

और अगर हम पूछें: यदि कोई वस्तु इसमें रखी जाए तो समूह में कितनी वस्तुएं होंगी? उत्तर स्पष्ट है- अ.

इस प्रकार, हम प्राकृत संख्याओं को 1 से विभाजित करने के गुण के निरूपण की ओर रुख करते हैं:

परिभाषा 2

किसी प्राकृत संख्या को एक से भाग देने पर वही संख्या प्राप्त होती है, अर्थात् a: 1 = a.

आइए 2 उदाहरण देखें:

उदाहरण 2

यदि आप 25 को 1 से भाग देते हैं, तो आपको 25 प्राप्त होते हैं।

उदाहरण 3

यदि आप 11,345 को 1 से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 11,345 है।

प्राकृत संख्याओं के विभाजन के लिए क्रमविनिमेय गुण का अभाव

गुणा के मामले में, हम कारकों को स्वतंत्र रूप से स्वैप कर सकते हैं और समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यह नियम विभाजन पर लागू नहीं होता है। लाभांश और भाजक की अदला-बदली तभी संभव है जब वे समान प्राकृतिक संख्याएँ हों (हम पहले पैराग्राफ में इस संपत्ति पर विचार कर चुके हैं)। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि क्रमविनिमेय गुण केवल उस स्थिति पर लागू होता है जब समान प्राकृत संख्याएँ भाग में भाग लेती हैं।

अन्य मामलों में, भाजक के साथ लाभांश का आदान-प्रदान करना असंभव है, क्योंकि इससे परिणाम का विरूपण होगा। आइए अधिक विस्तार से बताते हैं कि क्यों।

हम हमेशा किसी भी प्राकृतिक संख्या को दूसरों में विभाजित नहीं कर सकते, वह भी मनमाने ढंग से लिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि लाभांश भाजक से कम है, तो हम ऐसे उदाहरण को हल नहीं कर सकते हैं (हम विश्लेषण करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं को एक अलग सामग्री में शेष के साथ कैसे विभाजित किया जाए)। दूसरे शब्दों में, यदि कोई प्राकृत संख्या a के बराबर है, तो क्या हम b से विभाजित कर सकते हैं? और उनके मान समान नहीं हैं, तो a वसीयत b से अधिक होगी, और प्रविष्टि b: a का कोई मतलब नहीं होगा। आइए नियम प्राप्त करें:

परिभाषा 3

2 प्राकृत संख्याओं के योग का एक अन्य प्राकृत संख्या से भाग

इस नियम को बेहतर ढंग से समझाने के लिए, आइए कुछ उदाहरणात्मक उदाहरण लेते हैं।

हमारे पास बच्चों का एक समूह है जिनके बीच हमें कीनू को समान रूप से विभाजित करने की आवश्यकता है। फलों को दो थैलियों में रखा जाता है। चलो शर्त लगाते हैं कि कीनू की संख्या ऐसी है कि आप उन्हें बिना किसी निशान के सभी बच्चों में विभाजित कर सकते हैं। आप कीनू को एक सामान्य पैकेज में डाल सकते हैं, और फिर विभाजित और वितरित कर सकते हैं। और आप पहले फल को एक पैकेज से विभाजित कर सकते हैं, और फिर दूसरे से। जाहिर है, दोनों ही मामलों में कोई भी नाराज नहीं होगा और सब कुछ समान रूप से विभाजित किया जाएगा। इसलिए, हम कह सकते हैं:

परिभाषा 4

2 प्राकृत संख्याओं के योग को किसी अन्य प्राकृत संख्या से भाग देने का परिणाम भागफल के प्रत्येक पद को उसी प्राकृत संख्या से भाग देने के परिणाम के बराबर होता है, अर्थात। (ए + बी): सी = ए: सी + बी: सी। इस स्थिति में, सभी चर के मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं, a के मान को c से विभाजित किया जा सकता है, और b को बिना शेष के c से भी विभाजित किया जा सकता है।

हमारे पास एक समानता है, जिसके दाईं ओर विभाजन पहले किया जाता है, और जोड़ दूसरा किया जाता है (याद रखें कि अंकगणितीय संक्रियाओं को क्रम में सही ढंग से कैसे करें)।

आइए हम एक उदाहरण के साथ परिणामी समानता की वैधता साबित करें।

उदाहरण 4

आइए इसके लिए उपयुक्त प्राकृत संख्याएँ लें: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6।

अब हम गणना करते हैं और पता लगाते हैं कि क्या यह सच है। आइए बाईं ओर के मान की गणना करें: 18 + 36 = 54, और (18 + 36): 6 = 54: 6।

हमें गुणन तालिका से परिणाम याद है (यदि आप भूल गए हैं, तो उसमें वांछित मान ज्ञात करें): 54: 6 = 9।

हमें याद है कि यह 18: 6 \u003d 3 और 36: 6 \u003d 6 कितना होगा। तो 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9।

यह सही समानता प्राप्त करता है: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6।

प्राकृतिक संख्याओं का योग, जो उदाहरण में लाभांश के रूप में है, न केवल 2 हो सकता है, बल्कि 3 या अधिक भी हो सकता है। यह गुण, प्राकृत संख्याओं को जोड़ने के साहचर्य गुण के साथ, हमारे लिए ऐसी गणना करना भी संभव बनाता है।

उदाहरण 5

तो, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 के बराबर होगा।

2 प्राकृत संख्याओं के अंतर को दूसरी प्राकृत संख्या से भाग करना

इसी तरह, हम प्राकृतिक संख्याओं के अंतर के लिए एक नियम प्राप्त कर सकते हैं, जिसे हम एक अन्य प्राकृतिक संख्या से विभाजित करेंगे:

परिभाषा 5

दो प्राकृत संख्याओं के अंतर को तीसरे से भाग देने पर प्राप्त होने वाला परिणाम मिन्यूएंड के भागफल और तीसरी संख्या को सबट्रेंड के भागफल और तीसरी संख्या से घटाने पर प्राप्त होता है।

वे। (ए - बी): सी = ए: सी - बी: सी। चर के मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जबकि a, b से बड़ा या उसके बराबर है, a और b को c से विभाजित किया जा सकता है।

हम इस नियम की वैधता को एक उदाहरण से सिद्ध करते हैं।

उदाहरण 6

समीकरण में उपयुक्त मान रखें और परिकलित करें: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5। 45 - 25 = 20 (हम पहले ही लिख चुके हैं कि प्राकृत संख्याओं के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें)। (45 - 25): 5 = 20: 5।

गुणन तालिका के अनुसार, हमें याद है कि परिणाम 4 के बराबर होगा।

हम दाहिने पक्ष पर विचार करते हैं: 45: 5 - 25: 5। 45: 5 = 9, और 25: 5 = 5, जिसके परिणामस्वरूप 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4 होता है। 4 \u003d 4, यह पता चला है कि (45 - 25): 5 \u003d 45: 5 - 25: 5 सही समानता है।

दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को दूसरी प्राकृत संख्या से भाग करना

आइए याद करें कि विभाजन और गुणा के बीच क्या संबंध है, फिर किसी एक गुणनफल के बराबर किसी उत्पाद को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का गुण हमारे लिए स्पष्ट होगा। आइए नियम प्राप्त करें:

परिभाषा 6

यदि हम दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को किसी एक गुणनखंड के बराबर एक तिहाई से विभाजित करते हैं, तो हम दूसरे गुणनखंड के बराबर संख्या प्राप्त करेंगे।

शाब्दिक रूप में, इसे (ए बी) के रूप में लिखा जा सकता है: ए = बी या (ए बी): बी = ए (मान ए और बी प्राकृतिक संख्याएं हैं)।

उदाहरण 7

तो, 2 और 8 के गुणनफल को 2 से विभाजित करने का परिणाम 8 के बराबर होगा, और (3 7) : 7 = 3।

लेकिन क्या होगा यदि भाजक लाभांश बनाने वाले कारकों में से किसी के बराबर नहीं है? फिर यहाँ एक और नियम लागू होता है:

परिभाषा 7

दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को तीसरी प्राकृत संख्या से भाग देने का परिणाम उस संख्या के बराबर होता है जब किसी एक गुणनखंड को इस संख्या से विभाजित किया जाता है और परिणाम को किसी अन्य कारक से गुणा किया जाता है।

हमें पहली नज़र में एक बहुत ही गैर-स्पष्ट विवरण प्राप्त हुआ है। हालांकि, अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं का गुणन, वास्तव में, मूल्य के बराबर शब्दों के योग से कम हो जाता है (प्राकृतिक संख्याओं के गुणन पर सामग्री देखें), तो यह संपत्ति दूसरे से प्राप्त की जा सकती है, जिसे हम थोड़ा ऊपर की बात की।

आइए इस नियम को शाब्दिक रूप में लिखें (सभी चरों के मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं)।

यदि हम a को c से विभाजित कर सकते हैं, तो यह सत्य होगा (a b): c = (a: c) b।

यदि b, c से विभाज्य है, तो (a b) सत्य है: c = a (b: c) ।

यदि a और b दोनों c से विभाज्य हैं, तो हम एक समानता को दूसरे से समान कर सकते हैं: (a b) : c = (a: c) b = a (b: c) ।

किसी उत्पाद को किसी अन्य प्राकृत संख्या से विभाजित करने के उपरोक्त गुण को ध्यान में रखते हुए, समानताएँ (8 6) : 2 = (8: 2) 6 और (8 6) : 2 = 8 (6: 2) सत्य होंगी।

हम उन्हें दोहरी समानता के रूप में लिख सकते हैं: (8 6): 2 = (8: 2) 6 = 8 (6: 2)।

2 अन्य प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल द्वारा एक प्राकृत संख्या का विभाजन

फिर से, हम एक उदाहरण के साथ शुरू करेंगे। हमारे पास कुछ पुरस्कार हैं, आइए इसे एक कहते हैं। उन्हें टीम के सदस्यों के बीच समान रूप से वितरित किया जाना चाहिए। आइए अक्षर c वाले प्रतिभागियों की संख्या और अक्षर b वाली टीमों की संख्या को निरूपित करें। इस मामले में, हम चर के ऐसे मान लेते हैं जिनके लिए विभाजन रिकॉर्ड समझ में आता है। समस्या को दो अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है। आइए दोनों पर विचार करें।

1. आप b को c से गुणा करके और फिर सभी पुरस्कारों को परिणामी संख्या से विभाजित करके प्रतिभागियों की कुल संख्या की गणना कर सकते हैं। शाब्दिक रूप में, इस समाधान को a: (b c) के रूप में लिखा जा सकता है।

2. आप पहले पुरस्कारों को टीमों की संख्या से विभाजित कर सकते हैं, और फिर उन्हें प्रत्येक टीम में वितरित कर सकते हैं। आइए इसे (a: b) : c के रूप में लिखें।

जाहिर है, दोनों विधियां हमें समान उत्तर देंगी। इसलिए, हम दोनों समानताओं को एक दूसरे से समान कर सकते हैं: a: (b c) = (a: b): c। यह उस विभाजन संपत्ति का शाब्दिक रिकॉर्ड होगा जिस पर हम इस पैराग्राफ में विचार कर रहे हैं। आइए नियम तैयार करें:

परिभाषा 8

एक गुणनफल द्वारा एक प्राकृत संख्या को विभाजित करने का परिणाम उस संख्या के बराबर होता है जो हमें इस संख्या को किसी एक गुणनखंड से भाग देने पर और परिणामी भागफल को किसी अन्य गुणनखंड से भाग देने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 8

आइए एक कार्य का उदाहरण दें। आइए हम सिद्ध करें कि समानता 18 सत्य है: (2 3) = (18: 2): 3।

आइए बाईं ओर की गणना करें: 2 3 = 6, और 18: (2 3) 18: 6 = 3 है।

हम दाएँ पक्ष पर विचार करते हैं: (18: 2): 3। 18: 2 = 9, और 9: 3 = 3, फिर (18: 2): 3 = 3।

हम 18: (2 3) = (18: 2): 3 के साथ समाप्त हुए। यह समानता हमें विभाजन की संपत्ति को दर्शाती है, जिसे हमने इस पैराग्राफ में दिया है।

एक प्राकृत संख्या से शून्य का विभाजन

शून्य क्या है? पहले हम मानते थे कि इसका मतलब किसी चीज का न होना है। शून्य कोई प्राकृत संख्या नहीं है। यह पता चला है कि यदि हम शून्य को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते हैं, तो यह शून्य को भागों में विभाजित करने के प्रयास के समान होगा। यह स्पष्ट है कि अंत में हमें अभी भी "कुछ नहीं" मिलेगा, चाहे हम इसे कितने भी भागों में विभाजित करें। हम यहां से नियम प्राप्त करते हैं:

परिभाषा 9

जब हम शून्य को किसी प्राकृत संख्या से भाग देते हैं, तो हमें शून्य प्राप्त होता है। शाब्दिक रूप में, इसे 0: a = 0 के रूप में लिखा जाता है, जबकि चर का मान कोई भी हो सकता है।

उदाहरण 9

तो, उदाहरण के लिए, 0:19 = 0 , और 0:46869 भी शून्य होगा।

एक प्राकृत संख्या का शून्य से विभाजन

यह क्रिया नहीं की जा सकती। आइए जानें आखिर ऐसा क्यों है।

एक मनमाना संख्या a लें और मान लें कि परिणाम के रूप में कुछ संख्या b प्राप्त करने के लिए इसे 0 से विभाजित किया जा सकता है। आइए इसे a: 0 = b के रूप में लिखें। अब आइए याद करें कि गुणा और भाग कैसे संबंधित हैं, और हम समानता b · 0 = a प्राप्त करते हैं, जो मान्य भी होनी चाहिए।

लेकिन पहले हम प्राकृत संख्याओं को शून्य से गुणा करने के गुण के बारे में पहले ही बता चुके हैं। उनके अनुसार b · 0 = 0। यदि हम परिणामी समानता की तुलना करते हैं, तो हम पाते हैं कि a \u003d 0, और यह मूल स्थिति का खंडन करता है (आखिरकार, शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है)। यह पता चला है कि हमारे पास एक विरोधाभास है, जो इस तरह की कार्रवाई की असंभवता को साबित करता है।

परिभाषा 10

आप किसी प्राकृत संख्या को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

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प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

ज्ञान और क्रिया के तरीकों के एकीकृत अनुप्रयोग में एक सबक

शिक्षण की प्रणाली-गतिविधि पद्धति के आधार पर

पाँचवी श्रेणी

पूरा नाम ज़ुकोवा नादेज़्दा निकोलायेवना

काम की जगह : MAOU माध्यमिक विद्यालय 6 पेस्टोवो

पद : गणित के शिक्षक

प्राकृतिक संख्याओं का विषय विभाजन

(ज्ञान और क्रिया के तरीकों के एकीकृत अनुप्रयोग के लिए प्रशिक्षण सत्र)

लक्ष्य: ज्ञान, कौशल में सुधार के लिए परिस्थितियाँ बनानाऔर बदली हुई परिस्थितियों में प्राकृतिक संख्याओं और क्रिया के तरीकों को विभाजित करने का कौशलऔर असामान्य स्थितियां

यूडीडी:

विषय

वे एक अंकगणितीय ऑपरेशन और उसकी प्रगति को दर्शाने वाली स्थिति का अनुकरण करते हैं, एक गैर-मानक समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म का चयन करते हैं, घटकों के बीच संबंधों और अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणाम के आधार पर समीकरणों को हल करते हैं।

मेटासब्जेक्ट

नियामक : शैक्षिक गतिविधि का लक्ष्य निर्धारित करें, इसे प्राप्त करने के साधनों को लागू करें।

संज्ञानात्मक : सामग्री को संपीड़ित या विस्तारित रूप में स्थानांतरित करें।

मिलनसार: वे जानते हैं कि अपनी बात को कैसे व्यक्त करना है, इसे साबित करने की कोशिश करना, तर्क देना।

निजी :

वे स्वयं को आत्म-विकास के अपने व्यक्तिगत तात्कालिक लक्ष्यों की व्याख्या करते हैं, शैक्षिक गतिविधि के परिणाम का सकारात्मक आत्म-मूल्यांकन करते हैं, शैक्षिक गतिविधि की सफलता के कारणों को समझते हैं, और विषय का अध्ययन करने में संज्ञानात्मक रुचि दिखाते हैं।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

श्रम में, हम जोड़ का उपयोग करते हैं,

सम्मान और सम्मान के अतिरिक्त!

आइए कौशल में धैर्य जोड़ें,

और राशि सफलता दिलाएगी।

घटाव मत भूलना।

ताकि दिन बर्बाद न हो,

प्रयासों और ज्ञान के योग से

हम आलस्य और आलस्य घटा देंगे!

गुणा से श्रम में मदद मिलेगी,

उपयोगी कार्य होने के लिए

आइए परिश्रम को सौ गुना बढ़ाएँ -

हमारे कर्म कई गुना बढ़ जाएंगे।

प्रभाग विलेख में कार्य करता है,

यह हमेशा हमारी मदद करेगा।

जो मुश्किलों को बराबर बांटता है

श्रम की सफलता साझा करें!

निम्नलिखित में से कोई भी मदद करेगा

वे हमारे लिए सौभाग्य लाते हैं।

और जीवन में, इसलिए, एक साथ

विज्ञान और श्रम मार्च।

द्वितीय. पाठ के विषय और उद्देश्यों का निरूपण

क्या आपको कविता पसंद आई? आपको इसके बारे में क्या पसंद आया?

(छात्र उत्तर)

आपने बहुत अच्छा कहा। पढ़ी गई पंक्तियाँ हमारे आज के पाठ के लिए बहुत उपयुक्त हैं। आपके द्वारा सुनी गई कविता को याद करें और पहचानने की कोशिश करेंपाठ विषय।

(प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन) (स्लाइड 1) . पाठ की तिथि और विषय को अपनी नोटबुक में लिखें।

आज "संख्याओं का विभाजन" विषय पर पहला पाठ है? आप अभी भी क्या अच्छे नहीं हैं और आप क्या सीखना चाहेंगे? (छात्र उत्तर)

इसलिए, आज हम विभाजन कौशल में सुधार करेंगे, हम अपने निर्णयों को सही ठहराना सीखेंगे, गलतियों को ढूंढेंगे और उन्हें सुधारेंगे, अपने काम और अपने सहपाठियों के काम का मूल्यांकन करेंगे।

III. सक्रिय शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि के लिए तैयारी

1. स्कूली बच्चों को पढ़ाने की प्रेरणा

मानव जाति सबसे लंबे समय से विभाजन सीख रही है। अब तक, इटली में, "कठिन चीज विभाजन है" कहावत को संरक्षित किया गया है। यह गणित की दृष्टि से तकनीकी और नैतिक दोनों दृष्टि से कठिन है। हर व्यक्ति को साझा करने और साझा करने की क्षमता नहीं दी जाती है।

मध्य युग में, विभाजन में महारत हासिल करने वाले व्यक्ति को "अबेकस डॉक्टर" की उपाधि मिली।

अबेकस एक अबेकस है।

पहले तो विभागीय कार्रवाई के लिए कोई संकेत नहीं था। यह क्रिया शब्दों में लिखी गई थी।

और भारत के गणितज्ञों ने क्रिया के नाम के पहले अक्षर से भाग लिख दिया।

विभाजन के लिए बृहदान्त्र चिह्न 1684 में जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ के लिए धन्यवाद के साथ प्रयोग में आया।

विभाजन को एक स्लैश या क्षैतिज रेखा द्वारा भी इंगित किया जाता है। इस चिन्ह का प्रयोग सर्वप्रथम इटली के वैज्ञानिक फिबोनाची ने किया था।

- हम बहु-अंकीय संख्याओं का विभाजन कैसे करते हैं? (कोना)

क्या आपको याद है कि विभाजित करते समय घटकों को क्या कहते हैं?(स्लाइड 2)

- क्या आप जानते हैं कि विभाजन के घटक: लाभांश, भाजक, भागफल सबसे पहले रूस में मैग्निट्स्की द्वारा पेश किए गए थे। यह कौन है और इस वैज्ञानिक का वास्तविक नाम क्या था? इन प्रश्नों के उत्तर अगले पाठ के लिए तैयार करें।

2) छात्रों के बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना

1. ग्राफिक श्रुतलेख

1. विभाजन एक क्रिया है जिसके द्वारा उत्पाद और कारकों में से एक, दूसरा कारक पाया जाता है।

2. डिवीजन के पास एक कम्यूटेटिव संपत्ति है।

3. लाभांश ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

4. आप किसी भी संख्या से विभाजित कर सकते हैं।

5. भाजक ज्ञात करने के लिए, आपको भागफल से लाभांश को विभाजित करना होगा।

6. जिस अक्षर का मान ज्ञात करना हो, उसके साथ समानता समीकरण कहलाती है

(नोटेशन: हाँ; - नहीं) (स्लाइड 3)

कुंजी: (स्लाइड 4)

बी) कार्ड पर छात्रों का व्यक्तिगत काम।

(एक साथ श्रुतलेख के साथ)

1. सिद्ध कीजिए कि संख्या 4 समीकरण 44: x + 9 = 20 का मूल है।
2. फेसला . अगर x=4.फिर 44:4+9=20

11+9=20

20=20 सही है।

2. गणना करें: ए) 16224: 52 = (312) डी) 13725:45 = (305)

बी) 4230:18 = (235) ई) 54756: 39 = (1404)

ग) 9800: 28= (350)

3. समीकरण हल करें: 124: (y - 5) = 31

उत्तर: y=9

4. दो छात्र कार्ड पर काम करते हैं: प्रत्येक 3 कार्यों को हल करें और एक दूसरे से सिद्धांत पर प्रश्न पूछें

ग) व्यक्तिगत कार्य का सामूहिक सत्यापन (स्लाइड 5)

(छात्र सिद्धांत के बारे में सवालों के जवाब पूछते हैं)

1. ज्ञान का अनुप्रयोग और क्रिया के तरीके

लेकिन) स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य(स्लाइड्स 6-7)

केवल उन्हीं उदाहरणों को चुनिए और हल कीजिए जिनमें भागफल में तीन अंक हों:

विकल्प 1 विकल्प 2

ए) 2888: 76 = (38) ए) 2491: 93 = (47)

बी) 6539: 13 = (503) बी) 5698: 14 = (407)

सी) 5712: 28 = (204) सी) 9792: 32 = (306)

बी) शारीरिक शिक्षा।

साथ में वे खड़े हुए और खिंचे चले गए।

बेल्ट पर हाथ, मुड़ गया।

दाएं, बाएं, एक, दो,

उन्होंने सिर घुमाया।

पैर की उंगलियों पर खड़े होना

उन्होंने पीठ को एक तार से पकड़ रखा था

अब चुपचाप बैठ जाओ

हमने अभी तक सब कुछ नहीं किया है।

सी) जोड़े में काम करें (स्लाइड 8)

(जोड़े में काम के दौरान, यदि आवश्यक हो, शिक्षक सलाह देता है)

नंबर 484 (पाठ्यपुस्तक, पृष्ठ 76)

एक्स सेमी अष्टभुज की एक भुजा की लंबाई है

4x+4 4 =24

4x+16=24

4x=24-16

4x=8

एक्स = 2

2 सेमी अष्टभुज की एक भुजा की लंबाई है

समीकरण हल करें:

ए) 96: एक्स = 8 बी) एक्स: 60 = 14 सी) 19 * एक्स = 76

डी) समूहों में काम करें

कृपया सत्रीय कार्य शुरू करने से पहले समूह कार्य के नियम पढ़ लें।

समूह I (1 पंक्ति)

समूह नियम

भूल सुधार:

ए) 9100:10=91; क) 9100:10 = 910

बी) 5427: 27=21; बी) 5427: 27 = 201

सी) 474747: 47=101; ग) 474 747: 47 = 10101

डी) 42 11 = 442। घ) 42 11 = 462

समूह II (दूसरी पंक्ति)

समूह नियम

• सहयोग में सक्रिय रूप से भाग लें।
• वार्ताकार की बात ध्यान से सुनें।
• अपने मित्र को तब तक बाधित न करें जब तक कि वह अपनी कहानी पूरी न कर ले।
• विनम्र रहते हुए इस मुद्दे पर अपनी बात व्यक्त करें।
• दूसरे लोगों की कमियों और गलतियों पर न हंसें, बल्कि उन्हें चतुराई से इंगित करें।

जांचें कि क्या कार्य सही ढंग से पूरा हुआ था। अपना समाधान सुझाएं

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए x:19 +95 यदि x =1995 है।

फेसला।

अगर x=1995 तो x:19 +95 = 1995:19 +95=15+95=110

(1995: 19 + 95 = 200)

समूह III (तीसरी पंक्ति)

समूह नियम

• सहयोग में सक्रिय रूप से भाग लें।
• वार्ताकार की बात ध्यान से सुनें।
• अपने मित्र को तब तक बाधित न करें जब तक कि वह अपनी कहानी पूरी न कर ले।
• विनम्र रहते हुए इस मुद्दे पर अपनी बात व्यक्त करें।
• दूसरे लोगों की कमियों और गलतियों पर न हंसें, बल्कि उन्हें चतुराई से इंगित करें।

सिद्ध कीजिए कि समीकरण को हल करने में त्रुटि हुई थी।

प्रश्न हल करें।

124: (y-5) =31

Y-5 \u003d 124 31 y - 5 \u003d 124: 31

Y-5 \u003d 3844 y - 5 \u003d 4

वाई \u003d 3844 + 5 वाई \u003d 4 + 5

वाई \u003d 3849 वाई \u003d 9

उत्तर: 3849 उत्तर: 9

डी) जोड़े में काम की पारस्परिक जांच

छात्र नोटबुक्स का आदान-प्रदान करते हैं और एक-दूसरे के काम की जांच करते हैं, एक साधारण पेंसिल से त्रुटियों को रेखांकित करते हैं और एक निशान लगाते हैं

ई) किए गए कार्यों पर समूहों की रिपोर्ट

(स्लाइड्स 5-7)

स्लाइड प्रत्येक समूह के लिए कार्य दिखाती है। समूह के नेता ने की गई गलती की व्याख्या की और बोर्ड पर समूह द्वारा प्रस्तावित समाधान को लिख दिया।

V. छात्रों के ज्ञान का नियंत्रण

व्यक्तिगत परीक्षण "सत्य का क्षण"

"डिवीजन" विषय पर टेस्ट

विकल्प 1

1. संख्या 2876 और 1 का भागफल ज्ञात कीजिए।

ए) 1; बी) 2876; ग) 2875; घ) आपका उत्तर _______________

2. समीकरण 96 का मूल ज्ञात कीजिए: x = 8

ए) 88; बी) 12; ग) 768; घ) आपका उत्तर _________

3 .3900 और 13 का भागफल ज्ञात कीजिए।

क) 300; बी) 3913; ग) 30; घ) आपका उत्तर _______________

4 .एक बॉक्स में 48 पेंसिलें हैं, और दूसरे में 4 गुना कम हैं। दो बक्सों में कितनी पेंसिलें हैं?

ए) 192; बी) 60; ग) 240; घ) आपका उत्तर _________

5. दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक दूसरी से तीन गुनी है और उनकी

इनका योग 32 है।

ए) 20 और 12; बी) 18 और 14; ग) 26 और 6; घ) आपका उत्तर _________

"डिवीजन" विषय पर टेस्ट

उपनाम नाम ___________________________________________

विकल्प 2

सही उत्तर को रेखांकित करें या अपना उत्तर लिखें

1 .2563 और 1 का भागफल ज्ञात कीजिए।

ए) 1; बी) 2563; ग) 2564; घ) आपका उत्तर _______________

2. समीकरण 105 का मूल ज्ञात कीजिए: x = 3

क) 104; बी) 35; ग) 315; घ) आपका उत्तर _________

3 7800 और 13 का भागफल ज्ञात कीजिए।

क) 600; बी) 7813; ग) 60; घ) आपका उत्तर _______________

4 . एक टब में मधुमक्खी पालक के पास 24 किलो था। शहद, और दूसरे में 2 गुना अधिक। मधुमक्खी पालक के पास दो टब में कितने किलोग्राम शहद था?

क) 12; बी) 72; ग) 48; घ) आपका उत्तर _______________

5. दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक दूसरे से 4 गुना कम है, और

उनका अंतर 27 . है

ए) 39 और 12; बी) 32 और 8; ग) 2 और 29; घ) आपका उत्तर _____________

परीक्षण सत्यापन कुंजी

विकल्प 1

VI. पाठ का सारांश। गृहकार्य।

घर। व्यायाम। पी.12, नंबर 520,523,528 (रचना)।

तो हमारा पाठ समाप्त हो गया है। मैं आपके काम के परिणामों के बारे में आपका साक्षात्कार करना चाहता हूं।

सुझाव जारी रखें:

मैं ... पाठ में अपने काम से संतुष्ट / असंतुष्ट हूँ

मैने इंतजाम किया …

वह मुश्किल था...

पाठ सामग्री थी ... मेरे लिए उपयोगी / बेकार

गणित क्या सिखाता है?

भाग गुणन का विलोम है इसकी सहायता से गुणनफल द्वारा दूसरा गुणनखंड और एक गुणनखंड का पता लगाया जाता है।

एक संख्या विभाजित करें एप्रति संख्या बी- इसका मतलब है कि एक संख्या का पता लगाना, जब किसी संख्या से गुणा किया जाता है बीनंबर देता है ए:

ए: बी = सी, अगर सी बी = ए.

संख्या एविभाज्य कहा जाता है बी- एक विभक्त साथ- निजी।

यदि ज्ञात और वांछित कारक प्राकृतिक एकल-अंकीय संख्याएँ हैं, तो अज्ञात कारक गुणन तालिका में पाया जाता है।

एक प्राकृतिक बहु-अंकीय संख्या को एक प्राकृतिक एकल-अंकीय संख्या से विभाजित करके, सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू करते हुए, थोड़ा-थोड़ा करके किया जाता है।

यदि लाभांश के उच्च क्रम में भाजक से कम संख्या होती है, तो उच्च क्रम की इकाइयाँ आसन्न निम्न क्रम की इकाइयों में परिवर्तित हो जाती हैं और विभाजन इस स्तर से शुरू होता है।

उदाहरण के लिए, 896 को 7 से विभाजित किया जाता है।

• प्राप्त करने के लिए 8 शतकों को 7 से भाग दें 1 सौऔर एक सौ रह गए।
• हम शेष सौ का दहाई में अनुवाद करते हैं, दहाई वर्ग से 9 दहाई जोड़ते हैं, हमें 19 दहाई मिलते हैं।
• 19 दहाई को 7 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है 2 दर्जन, 5 दहाई शेष हैं।
• हम शेष दहाई को इकाइयों में अनुवाद करते हैं, हमें 50 इकाइयाँ मिलती हैं, हम इकाइयों की श्रेणी से 6 इकाइयाँ जोड़ते हैं, हमें 56 इकाइयाँ मिलती हैं।
• 56 इकाइयों को 7 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है 8 इकाइयां.

माध्यम, 896: 7 = 128 .

आमतौर पर, विभाजन प्रक्रिया को "कॉलम" में दर्ज किया जाता है।

एक प्राकृतिक बहु-अंकीय संख्या से भाग इसी तरह से किया जाता है। साथ ही, पहले "मध्यवर्ती" लाभांश में इतने वरिष्ठ अंक शामिल किए जाते हैं कि यह एक भाजक से अधिक हो जाता है।

उदाहरण के लिए, 1976 को 26 से विभाजित किया जाता है।

• सबसे महत्वपूर्ण अंक में संख्या 1 26 से कम है, इसलिए दो सबसे महत्वपूर्ण अंकों - 19 के अंकों से बनी एक संख्या पर विचार करें।
• संख्या 19 भी 26 से कम है, इसलिए तीन सबसे महत्वपूर्ण अंकों - 197 के अंकों से बनी संख्या पर विचार करें।
• 197 की संख्या 26 से बड़ी है, 197 दहाई को 26: 197: 26 = 7 (15 दहाई शेष) से ​​विभाजित करें।
• हम 15 दहाई को इकाइयों में अनुवाद करते हैं, इकाइयों की श्रेणी से 6 इकाइयों को जोड़ते हैं, हमें 156 मिलते हैं।
• 156 को 26 से भाग देकर 6 प्राप्त करें।

यदि किसी विभाजन चरण में "मध्यवर्ती" लाभांश भाजक से कम निकला, तो भागफल में 0 लिखा जाता है, और इस अंक से संख्या को अगले, निचले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

प्राकृत संख्याओं का समान रूप से विभाजन (शेष के बिना) हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आप 45 को 8 से विभाजित नहीं कर सकते, क्योंकि ऐसी कोई प्राकृत संख्या नहीं है जिसे 8 से गुणा करने पर 45 प्राप्त हो।

ऐसे मामलों में, शेष के साथ विभाजन पर विचार किया जाता है।

शेष के साथ विभाजन

यदि प्राकृतिक संख्याओं को पूरी तरह से विभाजित करना असंभव है, तो शेष के साथ विभाजन किया जाता है। यह क्रिया खोजती है महानतम एक प्राकृत संख्या जिसे भाजक से गुणा करने पर भाजक से कम संख्या प्राप्त होती है।

ए: बी \u003d सी (बाकी। डी), कहाँ पे साथऔर डीऐसा है कि सी बी + डी = ए, डी।

बहुमान प्राकृत संख्याओं का विभाजन एक "स्तंभ" में किया जाता है, शेष भाग भागफल के बाद कोष्ठक में लिखा जाता है।

284: 15 = 18 (बाकी 14)।

भागफल में दशमलव भिन्न के साथ भाग

यदि कोई प्राकृत संख्या एकल-अंक वाली प्राकृत संख्या से पूर्णतः विभाज्य नहीं है, तो आप बिटवाइज़ विभाजन जारी रख सकते हैं और भागफल में दशमलव भिन्न प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, 64 को 5 से विभाजित किया जाता है।

• 1 दहाई और 1 दहाई शेष प्राप्त करने के लिए 6 दहाई को 5 से भाग दें।
• हम शेष दस को इकाइयों में अनुवाद करते हैं, इकाइयों की श्रेणी से 4 जोड़ते हैं, हमें 14 मिलते हैं।
• 14 इकाइयों को 5 से विभाजित करने पर, हमें 2 इकाइयाँ और शेष 4 इकाइयाँ प्राप्त होती हैं।
• हम 4 इकाइयों को दसवें में अनुवाद करते हैं, हमें 40 दसवां हिस्सा मिलता है।
• 40 दहाई को 5 से विभाजित करके 8 दहाई प्राप्त करें।

इस प्रकार, यदि किसी प्राकृत संख्या को प्राकृतिक एक-अंक या बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करने पर, एक शेष प्राप्त होता है, तो आप एक निजी संख्या में अल्पविराम लगा सकते हैं, शेष को अगले, छोटे अंक की इकाइयों में परिवर्तित कर सकते हैं, और जारी रख सकते हैं बंटवारा