विशिष्ट उदाहरणों पर त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की मूल विधियाँ

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एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tg x` या `ctg x`) के चिह्न के तहत अज्ञात वाली समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और हम उनके सूत्रों पर आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई भी संख्या है। आइए उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`।

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि ज्या के मामले में होता है, वास्तविक संख्याओं के बीच कोई हल नहीं होता है।

`|ए| . के साथ \leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

रेखांकन में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`ए` के किसी भी मान के लिए अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसमें `ए` के किसी भी मूल्य के लिए अनंत समाधान भी हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइनस के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण के हल में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने के लिए उपयोग करना;
• ऊपर लिखे मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके परिणामी सरलतम समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके समाधान के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

बीजगणितीय विधि।

इस पद्धति में, एक चर का प्रतिस्थापन और समानता में उसका प्रतिस्थापन किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

एक प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हमें जड़ें मिलती हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिसमें से दो मामले सामने आते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`।

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडन।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `sin x+cos x=1`।

फेसला। समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में लाना होगा:

`a sin x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर पहले मामले के लिए दोनों भागों को `cos x \ne 0` और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x`: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0` के समीकरण मिलते हैं, जिन्हें ज्ञात विधियों का उपयोग करके हल किया जाना चाहिए।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`।

फेसला। आइए दाईं ओर को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`।

यह दूसरी डिग्री का एक समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण है, इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`टीजी^2 एक्स+टीजी एक्स - 2=0`। आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें `tg x=t`, परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0`। इस समीकरण की जड़ें हैं `t_1=-2` तथा `t_2=1`। फिर:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

जवाब। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`।

हाफ कॉर्नर पर जाएं

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

फेसला। द्विकोण सूत्रों को लागू करने पर परिणाम होता है: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 टीजी^2 एक्स/2 - 11 टीजी एक्स/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

जवाब। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

एक सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण में `a sin x + b cos x =c`, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, हम दोनों भागों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करते हैं:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x + `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x = `\frac c(sqrt (a^2) +बी^2))`।

बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण होते हैं, अर्थात्, उनके वर्गों का योग 1 होता है और उनका मापांक अधिकतम 1 होता है। आइए उन्हें निम्नानुसार निरूपित करें: \frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , तब:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `3 sin x+4 cos x=2`।

फेसला। समीकरण के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+`\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))= `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 क्योंकि x=2/5`।

निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`। चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, हम सहायक कोण के रूप में `\varphi=arcsin 4/5` लेते हैं। तब हम अपनी समानता को रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्न रूप में लिखते हैं:

`पाप(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

जवाब। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये अंशों और हरों में भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनमें त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`।

फेसला। समीकरण के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` \frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह देखते हुए कि हर शून्य नहीं हो सकता, हमें मिलता है `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`।

भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`। फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`।

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` तथा `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`।

जवाब। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। अध्ययन 10 वीं कक्षा में शुरू होता है, परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद रखने की कोशिश करें - वे निश्चित रूप से आपके काम आएंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद करने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात यह है कि सार को समझना, और निकालने में सक्षम होना। यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए।

त्रिकोणमिति के बुनियादी सूत्रों के ज्ञान की आवश्यकता है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। जो लोग भूल गए हैं या उन्हें नहीं जानते हैं, उनके लिए हम "" लेख पढ़ने की सलाह देते हैं।
इसलिए, हम मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब उन्हें व्यवहार में लाने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनासही दृष्टिकोण के साथ, यह काफी रोमांचक गतिविधि है, उदाहरण के लिए, रूबिक क्यूब को हल करना।

नाम के आधार पर ही यह स्पष्ट होता है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें अज्ञात एक त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के नीचे होता है।
तथाकथित सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। यहाँ वे इस तरह दिखते हैं: sinх = a, cos x = a, tg x = a। विचार करना, ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करेंस्पष्टता के लिए, हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।

sinx = a

कॉस एक्स = ए

तन एक्स = ए

खाट x = a

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को सबसे सरल रूप में लाते हैं और फिर इसे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की 7 मुख्य विधियाँ हैं।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि

समीकरण को हल करें 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

कमी सूत्रों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

आइए सरलता के लिए cos(x + /6) को y से बदलें और सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

2y 2 - 3y + 1 + 0

जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2

अब पीछे चलते हैं

हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर प्राप्त करते हैं:

2. गुणनखंडन द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

पाप x + cos x = 1 समीकरण को कैसे हल करें?

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं ताकि 0 दाईं ओर बना रहे:

पाप x + cos x - 1 = 0

हम समीकरण को सरल बनाने के लिए उपरोक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:

पाप x - 2 पाप 2 (x/2) = 0

आइए गुणनखंड करें:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

3. एक सजातीय समीकरण में कमी

एक समीकरण ज्या और कोज्या के सन्दर्भ में सजातीय होता है यदि ज्या और कोज्या के संबंध में इसके सभी पद समान कोण के समान अंश के हों। एक समांगी समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें;

ग) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 के बराबर करें;

डी) कोष्ठक में, कम डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में, एक साइन या कोसाइन द्वारा उच्च डिग्री में विभाजित होता है;

ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण को हल करें 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

आइए सूत्र sin 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर खुले दो से छुटकारा पाएं:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

पाप 2 x + 4 पाप x cos x + 3 cos 2 x = 0

कॉक्स द्वारा विभाजित करें:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0

हम tg x को y से बदलते हैं और द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं:

y 2 + 4y +3 = 0 जिसका मूल y 1 = 1, y 2 = 3 . है

यहाँ से हमें मूल समीकरण के दो हल मिलते हैं:

x 2 \u003d आर्कटिक 3 + k

4. आधा कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण को हल करें 3sin x - 5cos x = 7

आइए x/2 पर चलते हैं:

6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

सब कुछ बाईं ओर स्थानांतरित करना:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) से भाग दें:

टीजी 2 (एक्स/2) - 3 टीजी (एक्स/2) + 6 = 0

5. एक सहायक कोण का परिचय

विचार के लिए, आइए फॉर्म का एक समीकरण लें: a sin x + b cos x \u003d c,

जहाँ a, b, c कुछ स्वेच्छ गुणांक हैं और x अज्ञात है।

समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:



अब त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार समीकरण के गुणांकों में sin और cos के गुण होते हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं होता है और वर्गों का योग = 1 होता है। आइए हम उन्हें क्रमशः cos और sin के रूप में निरूपित करें, जहाँ है तथाकथित सहायक कोण। तब समीकरण रूप लेगा:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

या पाप (एक्स +) = सी

इस सरल त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है

एक्स \u003d (-1) के * आर्कसिन सी - + के, जहां



यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पदनाम cos और sin विनिमेय हैं।

समीकरण को हल कीजिये sin 3x - cos 3x = 1

इस समीकरण में, गुणांक हैं:

a \u003d, b \u003d -1, इसलिए हम दोनों भागों को \u003d 2 . से विभाजित करते हैं

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल।

किसी भी स्तर की जटिलता के त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान अंततः सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आता है। और इसमें त्रिकोणमितीय वृत्त फिर से सबसे अच्छा सहायक साबित होता है।

कोसाइन और साइन की परिभाषाओं को याद करें।

किसी कोण की कोज्या किसी दिए गए कोण द्वारा घूर्णन के संगत इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज (अर्थात अक्ष के अनुदिश निर्देशांक) है।

किसी कोण की ज्या किसी दिए गए कोण से घूर्णन के संगत इकाई वृत्त पर किसी बिंदु की कोटि (अर्थात अक्ष के अनुदिश निर्देशांक) होती है।

त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ गति की सकारात्मक दिशा को वामावर्त गति माना जाता है। 0 डिग्री (या 0 रेडियन) का घूर्णन निर्देशांक (1; 0) वाले बिंदु से मेल खाता है

हम इन परिभाषाओं का उपयोग सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए करते हैं।

1. समीकरण हल करें

यह समीकरण रोटेशन के कोण के ऐसे सभी मूल्यों से संतुष्ट होता है, जो सर्कल के बिंदुओं के अनुरूप होते हैं, जिनकी कोटि बराबर होती है।

आइए y-अक्ष पर कोटि के साथ एक बिंदु चिह्नित करें:

x-अक्ष के समांतर एक क्षैतिज रेखा खींचिए जब तक कि वह वृत्त से प्रतिच्छेद न कर ले। हमें एक वृत्त पर स्थित और एक कोटि वाले दो बिंदु प्राप्त होंगे। ये बिंदु रेडियन के घूर्णन कोणों के अनुरूप हैं:

यदि हम, प्रति रेडियन घूर्णन कोण के संगत बिंदु को छोड़ कर, एक पूर्ण वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, तो हम प्रति रेडियन के घूर्णन कोण के संगत और समान कोटि वाले बिंदु पर पहुंचेंगे। अर्थात् यह घूर्णन कोण हमारे समीकरण को भी संतुष्ट करता है। हम जितने चाहें उतने "निष्क्रिय" मोड़ बना सकते हैं, उसी बिंदु पर लौट सकते हैं, और ये सभी कोण मान हमारे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। "निष्क्रिय" क्रांतियों की संख्या को अक्षर (या) द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि हम इन क्रांतियों को सकारात्मक और नकारात्मक दोनों दिशाओं में कर सकते हैं, (या) कोई भी पूर्णांक मान ले सकते हैं।

यही है, मूल समीकरण के समाधान की पहली श्रृंखला का रूप है:

, , - पूर्णांकों का समुच्चय (1)

इसी तरह, समाधान की दूसरी श्रृंखला का रूप है:

, कहाँ पे , । (2)

जैसा कि आपने अनुमान लगाया था, समाधानों की यह श्रृंखला वृत्त के उस बिंदु पर आधारित है जो घूर्णन कोण के अनुरूप है।

समाधानों की इन दो श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में जोड़ा जा सकता है:

यदि हम इस प्रविष्टि (अर्थात सम) को लेते हैं, तो हमें समाधानों की पहली श्रृंखला प्राप्त होगी।

यदि हम इस प्रविष्टि (अर्थात विषम) को लेते हैं, तो हमें हलों की दूसरी श्रृंखला प्राप्त होगी।

2. अब समीकरण हल करते हैं

चूंकि कोण के माध्यम से मोड़ने से प्राप्त इकाई सर्कल के बिंदु का भुज है, हम अक्ष पर एक बिंदु को भुज के साथ चिह्नित करते हैं:

अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा तब तक खींचे जब तक कि वह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर ले। हमें दो बिंदु मिलेंगे जो एक वृत्त पर पड़े हैं और एक भुज है। ये बिंदु रेडियन के घूर्णन कोणों के अनुरूप हैं। याद रखें कि दक्षिणावर्त घूमने पर, हमें घूर्णन का ऋणात्मक कोण प्राप्त होता है:

हम समाधानों की दो श्रृंखलाएँ लिखते हैं:

,

,

(हम मुख्य पूर्ण वृत्त से गुजरते हुए सही बिंदु पर पहुँचते हैं, अर्थात।

आइए इन दो श्रृंखलाओं को एक पोस्ट में संयोजित करें:

3. समीकरण हल करें

स्पर्शरेखा की रेखा ओए अक्ष के समानांतर इकाई सर्कल के निर्देशांक (1,0) के साथ बिंदु से गुजरती है

उस पर 1 के बराबर कोटि के साथ एक बिंदु चिह्नित करें (हम उस स्पर्शरेखा की तलाश कर रहे हैं जिसका कोण 1 है):

इस बिंदु को मूल बिंदु से एक सीधी रेखा से जोड़ें और इकाई वृत्त के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु और पर घूर्णन कोणों के संगत होते हैं:

चूँकि हमारे समीकरण को संतुष्ट करने वाले घूर्णन कोणों के संगत बिंदु रेडियन अलग-अलग होते हैं, इसलिए हम हल इस प्रकार लिख सकते हैं:

4. समीकरण हल करें

अक्ष के समांतर इकाई वृत्त के निर्देशांकों के साथ स्पर्शरेखा रेखा बिंदु से होकर गुजरती है।

हम कोटंगेंट की रेखा पर भुज -1 के साथ एक बिंदु को चिह्नित करते हैं:

इस बिंदु को सीधी रेखा के मूल से कनेक्ट करें और इसे तब तक जारी रखें जब तक कि यह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। यह रेखा वृत्त को रेडियन के घूर्णन कोणों के संगत बिंदुओं पर काटेगी:

चूँकि ये बिंदु एक दूसरे से के बराबर दूरी से अलग होते हैं, इसलिए हम इस समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिख सकते हैं:

दिए गए उदाहरणों में, सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को दर्शाते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मानों का उपयोग किया गया था।

हालाँकि, यदि समीकरण के दाईं ओर एक गैर-तालिका मान है, तो हम समीकरण के सामान्य समाधान में मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

विशेष समाधान:

उस वृत्त पर अंक अंकित करें जिसका कोटि 0 है:

वृत्त पर एक बिंदु अंकित करें, जिसकी कोटि 1 के बराबर है:

वृत्त पर एक बिंदु अंकित करें, जिसकी कोटि -1 के बराबर है:

चूंकि यह शून्य के निकटतम मानों को इंगित करने के लिए प्रथागत है, इसलिए हम समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

वृत्त पर उन बिन्दुओं को चिन्हित करें जिनका भुज 0 है:

5.
आइए सर्कल पर एक बिंदु को चिह्नित करें, जिसका भुज 1 के बराबर है:

सर्कल पर एक बिंदु को चिह्नित करें, जिसका भुज -1 के बराबर है:

और कुछ और जटिल उदाहरण:

1.

ज्या एक है यदि तर्क है

हमारे साइन का तर्क है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:

समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:

जवाब:

2.

कोज्या शून्य है यदि कोज्या तर्क है

हमारे कोसाइन का तर्क है, इसलिए हमें मिलता है:

हम व्यक्त करते हैं, इसके लिए हम पहले विपरीत चिन्ह के साथ दाईं ओर चलते हैं:

दाईं ओर को सरल बनाएं:

दोनों भागों को -2 से विभाजित करें:

ध्यान दें कि पद से पहले का चिन्ह नहीं बदलता है, क्योंकि k कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है।

जवाब:

और अंत में, वीडियो ट्यूटोरियल देखें "एक त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके एक त्रिकोणमितीय समीकरण में जड़ों का चयन"

यह सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में बातचीत का समापन करता है। अगली बार हम बात करेंगे कि कैसे हल किया जाए।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की अवधारणा।

• त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक या अधिक मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों में परिवर्तित करें। त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करना अंततः चार मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आता है।