सापेक्ष माप त्रुटि की गणना. माप त्रुटियों की गणना

1 परिचय

रसायनज्ञों, भौतिकविदों और अन्य प्राकृतिक विज्ञान व्यवसायों के प्रतिनिधियों के काम में अक्सर विभिन्न मात्राओं का मात्रात्मक माप करना शामिल होता है। इस मामले में, प्राप्त मूल्यों की विश्वसनीयता का विश्लेषण करने, प्रत्यक्ष माप के परिणामों को संसाधित करने और गणना की त्रुटियों का आकलन करने का सवाल उठता है जो सीधे मापा विशेषताओं के मूल्यों का उपयोग करते हैं (बाद की प्रक्रिया को परिणामों का प्रसंस्करण भी कहा जाता है) अप्रत्यक्षमाप)। कई वस्तुनिष्ठ कारणों से, त्रुटियों की गणना के बारे में मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के रसायन विज्ञान संकाय के स्नातकों का ज्ञान प्राप्त डेटा के सही प्रसंस्करण के लिए हमेशा पर्याप्त नहीं होता है। इनमें से एक कारण संकाय पाठ्यक्रम में माप परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण पर एक पाठ्यक्रम की अनुपस्थिति है।

इस बिंदु पर, त्रुटियों की गणना के मुद्दे का, निश्चित रूप से, गहन अध्ययन किया गया है। बड़ी संख्या में पद्धतिगत विकास, पाठ्यपुस्तकें आदि हैं, जिनमें आप त्रुटियों की गणना के बारे में जानकारी पा सकते हैं। दुर्भाग्य से, इनमें से अधिकांश कार्य अतिरिक्त और हमेशा आवश्यक जानकारी से भरे हुए हैं। विशेष रूप से, छात्र कार्यशालाओं के अधिकांश कार्यों में नमूनों की तुलना करना, अभिसरण का आकलन करना आदि जैसे कार्यों की आवश्यकता नहीं होती है। इसलिए, एक संक्षिप्त विकास बनाना उचित लगता है जो सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गणनाओं के लिए एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करता है, जो कि यह विकास है को समर्पित है।

2. इस कार्य में अपनाया गया संकेतन

मापा मूल्य, - मापा मूल्य का औसत मूल्य, - मापा मूल्य के औसत मूल्य की पूर्ण त्रुटि, - मापा मूल्य के औसत मूल्य की सापेक्ष त्रुटि।

3. प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

तो, चलिए मान लेते हैं कि उन्हें अंजाम दिया गयाएन समान परिस्थितियों में समान मात्रा का माप। इस मामले में, आप लिए गए मापों में इस मान के औसत मूल्य की गणना कर सकते हैं:

(1)

त्रुटि की गणना कैसे करें? निम्नलिखित सूत्र के अनुसार:

(2)

यह सूत्र छात्र गुणांक का उपयोग करता है। अलग-अलग आत्मविश्वास संभावनाओं और मूल्यों पर इसके मूल्य दिए गए हैं।

3.1. प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना का एक उदाहरण:

काम।

धातु की छड़ की लंबाई मापी गई। 10 माप किए गए और निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 10 मिमी, 11 मिमी, 12 मिमी, 13 मिमी, 10 मिमी, 10 मिमी, 11 मिमी, 10 मिमी, 10 मिमी, 11 मिमी। मापी गई मात्रा (बार की लंबाई) का औसत मान और उसकी त्रुटि ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान।

सूत्र (1) का उपयोग करके हम पाते हैं:

मिमी

अब, सूत्र (2) का उपयोग करके, हम आत्मविश्वास की संभावना और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के साथ औसत मूल्य की पूर्ण त्रुटि पाते हैं (हम मान = 2.262 का उपयोग करते हैं, से लिया गया है):

आइए परिणाम लिखें:

10.8±0.7 0.95 मिमी

4. अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

आइए मान लें कि प्रयोग के दौरान मात्राएँ मापी जाती हैं , और तबसी प्राप्त मूल्यों का उपयोग करके, सूत्र का उपयोग करके मूल्य की गणना की जाती है . इस मामले में, सीधे मापी गई मात्राओं की त्रुटियों की गणना पैराग्राफ 3 में वर्णित अनुसार की जाती है।

किसी मात्रा के औसत मूल्य की गणना तर्कों के औसत मूल्यों का उपयोग करके निर्भरता के अनुसार की जाती है।

त्रुटि मान की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

,(3)

तर्कों की संख्या कहां है, तर्कों के संबंध में फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न है, तर्क के औसत मूल्य की पूर्ण त्रुटि है।

प्रत्यक्ष माप के मामले में, पूर्ण त्रुटि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

4.1. प्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना का एक उदाहरण:

काम।

के 5 प्रत्यक्ष माप किए गए। मान के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त किए गए: 50, 51, 52, 50, 47; मात्रा के लिए निम्नलिखित मान प्राप्त हुए: 500, 510, 476, 354, 520। सूत्र द्वारा निर्धारित मात्रा के मूल्य की गणना करना और प्राप्त मूल्य की त्रुटि का पता लगाना आवश्यक है।

भौतिकी एक प्रायोगिक विज्ञान है, जिसका अर्थ है कि प्रायोगिक डेटा को एकत्रित और तुलना करके भौतिक नियमों को स्थापित और सत्यापित किया जाता है। भौतिकी कार्यशाला का उद्देश्य छात्रों को अनुभव के माध्यम से बुनियादी भौतिक घटनाओं का अध्ययन करना, भौतिक मात्राओं के संख्यात्मक मूल्यों को सही ढंग से मापना सीखना और सैद्धांतिक सूत्रों के साथ उनकी तुलना करना है।

सभी मापों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है - सीधाऔर अप्रत्यक्ष.

पर प्रत्यक्षमाप में, वांछित मात्रा का मूल्य सीधे मापने वाले उपकरण की रीडिंग से प्राप्त किया जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, लंबाई को रूलर से मापा जाता है, समय को घड़ी से मापा जाता है, आदि।

यदि वांछित भौतिक मात्रा को सीधे उपकरण द्वारा नहीं मापा जा सकता है, लेकिन एक सूत्र का उपयोग करके मापी गई मात्राओं के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, तो ऐसे माप कहलाते हैं अप्रत्यक्ष.

किसी भी मात्रा को मापने से उस मात्रा का बिल्कुल सटीक मान नहीं मिलता है। प्रत्येक माप में हमेशा कुछ त्रुटि (त्रुटि) होती है। त्रुटि मापे गए और वास्तविक मान के बीच का अंतर है।

त्रुटियों को आमतौर पर विभाजित किया जाता है व्यवस्थितऔर यादृच्छिक.

व्यवस्थितइसे एक ऐसी त्रुटि कहा जाता है जो माप की पूरी श्रृंखला के दौरान स्थिर रहती है। ऐसी त्रुटियाँ माप उपकरण की अपूर्णता (उदाहरण के लिए, उपकरण का शून्य ऑफसेट) या माप विधि के कारण होती हैं और, सिद्धांत रूप में, उचित सुधार शुरू करके अंतिम परिणाम से बाहर रखा जा सकता है।

व्यवस्थित त्रुटियों में माप उपकरणों की त्रुटि भी शामिल है। किसी भी उपकरण की सटीकता सीमित होती है और इसकी सटीकता वर्ग द्वारा विशेषता होती है, जिसे आमतौर पर मापने के पैमाने पर दर्शाया जाता है।

यादृच्छिकऐसी त्रुटि कहलाती है जो विभिन्न प्रयोगों में भिन्न-भिन्न होती है और सकारात्मक तथा नकारात्मक दोनों हो सकती है। यादृच्छिक त्रुटियाँ उन कारणों से होती हैं जो मापने वाले उपकरण (घर्षण, अंतराल, आदि) और बाहरी स्थितियों (कंपन, नेटवर्क में वोल्टेज में उतार-चढ़ाव, आदि) दोनों पर निर्भर करती हैं।

यादृच्छिक त्रुटियों को अनुभवजन्य रूप से बाहर नहीं किया जा सकता है, लेकिन बार-बार माप से परिणाम पर उनके प्रभाव को कम किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष माप में त्रुटि की गणना - औसत मूल्य और औसत निरपेक्ष त्रुटि।

आइए मान लें कि हम मान X के मापों की एक श्रृंखला को अंजाम देते हैं। यादृच्छिक त्रुटियों की उपस्थिति के कारण, हम प्राप्त करते हैं एनविभिन्न अर्थ:

एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3… एक्स एन

औसत मान को आमतौर पर माप परिणाम के रूप में लिया जाता है

औसत और परिणाम के बीच अंतर मैं -वें माप को हम इस माप की पूर्ण त्रुटि कहेंगे

औसत मान की त्रुटि के माप के रूप में, हम किसी व्यक्तिगत माप की पूर्ण त्रुटि का औसत मान ले सकते हैं

(2)

परिमाण
अंकगणितीय माध्य (या माध्य निरपेक्ष) त्रुटि कहा जाता है।

फिर माप परिणाम को फॉर्म में लिखा जाना चाहिए

(3)

माप की सटीकता को चिह्नित करने के लिए, सापेक्ष त्रुटि का उपयोग किया जाता है, जिसे आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है

(4)

मान लें कि माप में व्यवस्थित त्रुटियाँ नगण्य हैं। आइए उस मामले पर विचार करें जब माप बड़ी संख्या में (n→∞) किया जाता है।

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, माप परिणामों का विचलन उनके औसत मूल्य से ऊपर या नीचे समान होता है। औसत मूल्य से छोटे विचलन वाले माप परिणाम बड़े विचलन की तुलना में अधिक बार देखे जाते हैं।

आइए हम माप परिणामों के सभी संख्यात्मक मानों को आरोही क्रम में एक श्रृंखला में व्यवस्थित करें और इस श्रृंखला को समान अंतरालों में विभाजित करें
. होने देना - अंतराल के भीतर आने वाले परिणामों के साथ माप की संख्या [
]. परिमाण
अंतराल में एक मान के साथ परिणाम प्राप्त करने की संभावना ΔP i (x) है [
].

आइए इसे ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करें
, प्रत्येक अंतराल के अनुरूप [
] (चित्र .1)। चित्र 1 में दिखाए गए चरणबद्ध वक्र को हिस्टोग्राम कहा जाता है। आइए मान लें कि मापने वाले उपकरण में अत्यधिक संवेदनशीलता है। तब अंतराल की चौड़ाई को अनंतिम dx बनाया जा सकता है। इस मामले में चरणबद्ध वक्र को फ़ंक्शन φ(x) द्वारा दर्शाए गए वक्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (चित्र 2)। फ़ंक्शन φ(x) को आमतौर पर वितरण घनत्व फ़ंक्शन कहा जाता है। इसका अर्थ यह है कि उत्पाद φ(x)dx, x से x+dx की सीमा में मान के साथ परिणाम प्राप्त करने की संभावना dP(x) है। ग्राफ़िक रूप से, संभाव्यता मान को एक छायांकित आयत के क्षेत्र के रूप में दर्शाया जाता है। विश्लेषणात्मक रूप से, वितरण घनत्व फ़ंक्शन इस प्रकार लिखा गया है:

. (5)

फॉर्म (5) में प्रस्तुत फ़ंक्शन φ(x) को गॉसियन फ़ंक्शन कहा जाता है, और माप परिणामों का संबंधित वितरण गॉसियन या सामान्य है।

विकल्प
और σ के निम्नलिखित अर्थ हैं (चित्र 2)।

- माप परिणामों का औसत मूल्य। पर
=
गाऊसी फ़ंक्शन अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है। यदि आयामों की संख्या असीम रूप से बड़ी है, तो
मापी गई मात्रा के वास्तविक मान के बराबर।

σ - उनके औसत मूल्य से माप परिणामों के बिखराव की डिग्री को दर्शाता है। पैरामीटर σ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

. (6)

यह पैरामीटर मूल माध्य वर्ग त्रुटि का प्रतिनिधित्व करता है। संभाव्यता सिद्धांत में मात्रा σ 2 को फलन φ(x) का विचरण कहा जाता है।

माप सटीकता जितनी अधिक होगी, माप परिणाम मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य के उतने ही करीब होंगे, और इसलिए, छोटा σ होगा।

फ़ंक्शन φ(x) का रूप स्पष्ट रूप से आयामों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है।

संभाव्यता सिद्धांत से पता चलता है कि सभी मापों में से 68% परिणाम अंतराल में, 95% अंतराल में और 99.7% अंतराल में देंगे।

इस प्रकार, 68% की संभावना (विश्वसनीयता) के साथ, औसत मूल्य से माप परिणाम का विचलन अंतराल में होता है [
], 95% की संभावना (विश्वसनीयता) के साथ - अंतराल में [
] और 99.7% की संभावना (विश्वसनीयता) के साथ - अंतराल में [
].

औसत मान से विचलन की एक विशेष संभावना के अनुरूप अंतराल को आत्मविश्वास कहा जाता है।

वास्तविक प्रयोगों में, आयामों की संख्या स्पष्ट रूप से असीम रूप से बड़ी नहीं हो सकती है, इसलिए इसकी संभावना नहीं है
मापे गए मूल्य के वास्तविक मूल्य से मेल खाता है
. इस संबंध में, संभाव्यता सिद्धांत के आधार पर, संभावित विचलन की भयावहता का अनुमान लगाना महत्वपूर्ण है
से
.

गणना से पता चलता है कि जब माप की संख्या 20 से अधिक है, तो 68% की संभावना के साथ
विश्वास अंतराल के अंतर्गत आता है [
], 95% की संभावना के साथ - अंतराल में[
], 99.7% की संभावना के साथ - अंतराल में [
].

परिमाण , जो विश्वास अंतराल की सीमाओं को परिभाषित करता है, मानक विचलन या बस मानक कहा जाता है।

मानक सूत्र द्वारा गणना:

. (7)

सूत्र (6) को ध्यान में रखते हुए, अभिव्यक्ति (7) निम्नलिखित रूप लेती है:

. (8)

आयाम n की संख्या जितनी अधिक होगी, X उतना ही करीब होगा
. यदि माप की संख्या बड़ी नहीं है, 15 से कम है, तो गाऊसी वितरण के बजाय, छात्र वितरण का उपयोग किया जाता है, जिससे एक्स के संभावित विचलन के विश्वास अंतराल की चौड़ाई में वृद्धि होती है
int n, p बार।

कारक t n, p को छात्र गुणांक कहा जाता है। सूचकांक पी और एन इंगित करते हैं कि छात्र गुणांक किस विश्वसनीयता और किस संख्या में माप से मेल खाता है। माप की दी गई संख्या और दी गई विश्वसनीयता के लिए छात्र गुणांक का मान तालिका 1 के अनुसार निर्धारित किया जाता है।

तालिका नंबर एक

विद्यार्थी का गुणांक.

उदाहरण के लिए, 95% की दी गई विश्वसनीयता और माप की संख्या n = 20 के साथ, छात्र का गुणांक t 20.95 = 2.1 (आत्मविश्वास अंतराल)
) माप की संख्या के साथn=4, t 4.95 =3.2 (विश्वास अंतराल
). अर्थात्, माप की संख्या 4 से 20 तक बढ़ने पर, एक संभावित विचलन
fromX 1.524 गुना कम हो जाता है।

पूर्ण यादृच्छिक त्रुटि की गणना का एक उदाहरण नीचे दिया गया है

सूत्र (2) का उपयोग करके हम मापे गए मान का औसत मान ज्ञात करते हैं
(भौतिक मात्रा के आयाम को बताए बिना)

.

सूत्र (8) का उपयोग करके हम मानक विचलन की गणना करते हैं

.

छात्र का गुणांक n=6, और P=95%, t 6.95 =2.6 के लिए निर्धारित अंतिम परिणाम:

X=20.1±2.6·0.121=20.1±0.315 (P=95% के साथ)।

हम सापेक्ष त्रुटि की गणना करते हैं:

.

अंतिम माप परिणाम रिकॉर्ड करते समय, यह ध्यान में रखना चाहिए कि त्रुटि में केवल एक महत्वपूर्ण अंक (शून्य के अलावा) होना चाहिए। त्रुटि में दो महत्वपूर्ण अंक केवल तभी दर्ज किए जाते हैं जब अंतिम अंक 1 हो। बड़ी संख्या में महत्वपूर्ण आंकड़े दर्ज करना बेकार है, क्योंकि वे विश्वसनीय नहीं होंगे। मापे गए मान के औसत मूल्य की रिकॉर्डिंग में, अंतिम अंक त्रुटि की रिकॉर्डिंग में अंतिम अंक के समान होना चाहिए।

एक्स=(243±5)·10 2;

एक्स=232.567±0.003।

कई माप लेने से एक ही परिणाम मिल सकता है। यह तभी संभव है जब मापने वाले उपकरण की संवेदनशीलता कम हो। जब माप कम संवेदनशीलता वाले उपकरण से किया जाता है, तो एक ही माप पर्याप्त होता है। उदाहरण के लिए, सेंटीमीटर डिवीजनों वाले टेप माप से बार-बार टेबल की लंबाई मापने का कोई मतलब नहीं है। इस मामले में माप परिणाम समान होगा। एकल माप के दौरान त्रुटि डिवाइस के सबसे छोटे विभाजन के मूल्य से निर्धारित होती है। इसे उपकरण त्रुटि कहा जाता है. इसका अर्थ
निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:

, (10)

जहां γ डिवाइस का विभाजन मूल्य है;

टी ∞, पी - माप की एक असीम रूप से बड़ी संख्या के अनुरूप छात्र गुणांक।

उपकरण त्रुटि को ध्यान में रखते हुए, दी गई विश्वसनीयता के साथ पूर्ण त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

, (11)

कहाँ
.

सूत्र (8) और (10) को ध्यान में रखते हुए, (11) इस प्रकार लिखा गया है:

. (12)

साहित्य में, रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, त्रुटि की भयावहता को कभी-कभी इंगित नहीं किया जाता है। त्रुटि का परिमाण अंतिम महत्वपूर्ण अंक का आधा माना गया है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की त्रिज्या को इस रूप में लिखा गया है
मी। इसका मतलब है कि त्रुटि को ± के बराबर मान के रूप में लिया जाना चाहिए
एम।