Տարրական ֆունկցիաների տեսություն. Հիմնական տարրական գործառույթներ

Գիտելիք հիմնական տարրական գործառույթները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկներըոչ պակաս կարևոր, քան բազմապատկման աղյուսակների իմացությունը: Նրանք նման են հիմքի, ամեն ինչ հիմնված է նրանց վրա, ամեն ինչ կառուցված է նրանցից և ամեն ինչ իջնում ​​է նրանց վրա։

Այս հոդվածում մենք կթվարկենք բոլոր հիմնական տարրական գործառույթները, կտրամադրենք դրանց գրաֆիկները և կտանք առանց եզրակացության կամ ապացույցի Հիմնական տարրական գործառույթների հատկություններըըստ սխեմայի.

• ֆունկցիայի վարքագիծը սահմանման տիրույթի սահմաններում, ուղղահայաց ասիմպտոտներ (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս ֆունկցիայի անջատման կետերի հոդվածի դասակարգումը);
• զույգ և կենտ;
• ուռուցիկության (ուռուցիկություն դեպի վեր) և գոգավորության (ուռուցիկություն դեպի ներքև), թեքության կետերը (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս ֆունկցիայի ուռուցիկությունը, ուռուցիկության ուղղությունը, թեքության կետերը, ուռուցիկության և թեքության պայմանները);
• թեք և հորիզոնական ասիմպտոտներ;
• ֆունկցիաների եզակի կետեր;
• որոշ ֆունկցիաների հատուկ հատկություններ (օրինակ՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ամենափոքր դրական շրջանը)։

Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք կամ, ապա կարող եք գնալ տեսության այս բաժիններին:

Հիմնական տարրական գործառույթներեն՝ հաստատուն ֆունկցիա (հաստատուն), n-րդ արմատ, հզորության ֆունկցիա, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական ֆունկցիա, եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Էջի նավարկություն.

Մշտական ​​գործառույթ:

Բոլոր իրական թվերի բազմության վրա հաստատուն ֆունկցիա է սահմանվում բանաձևով, որտեղ C-ն իրական թիվ է: Կայուն ֆունկցիան կապում է x անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր իրական արժեքը y կախված փոփոխականի նույն արժեքի հետ՝ C արժեքին: Հաստատուն ֆունկցիան կոչվում է նաև հաստատուն:

Հաստատուն ֆունկցիայի գրաֆիկը x-առանցքին զուգահեռ և (0,C) կոորդինատներով կետով անցնող ուղիղ գիծ է։ Որպես օրինակ՝ ցույց կտանք y=5, y=-2 և հաստատուն ֆունկցիաների գրաֆիկները, որոնք ստորև բերված նկարում համապատասխանում են համապատասխանաբար սև, կարմիր և կապույտ գծերին։

Մշտական ​​ֆունկցիայի հատկությունները.

• Դոմեն՝ իրական թվերի ամբողջությունը:
• Մշտական ​​ֆունկցիան հավասար է:
• Արժեքների միջակայք՝ C եզակի թվից բաղկացած բազմություն:
• Անընդհատ ֆունկցիան աճող և չնվազող է (այդ պատճառով էլ հաստատուն է):
• Անիմաստ է խոսել հաստատունի ուռուցիկության և գոգավորության մասին։
• Ասիմպտոտներ չկան։
• Ֆունկցիան անցնում է կոորդինատային հարթության (0,C) կետով։

n-րդ աստիճանի արմատ.

Դիտարկենք հիմնական տարրական ֆունկցիան, որը տրված է բանաձևով, որտեղ n-ը մեկից մեծ բնական թիվ է։

n-րդ աստիճանի արմատ, n-ը զույգ թիվ է:

Սկսենք n-րդ արմատային ֆունկցիայից n արմատային ցուցիչի զույգ արժեքների համար:

Որպես օրինակ՝ այստեղ պատկերված է ֆունկցիայի գրաֆիկների պատկերներով և , դրանք համապատասխանում են սև, կարմիր և կապույտ գծերին։

Զույգ աստիճանի արմատային ֆունկցիաների գծապատկերները նման տեսք ունեն ցուցիչի այլ արժեքների համար:

n-րդ արմատի ֆունկցիան նույնիսկ n-ի համար:

n-րդ արմատը, n-ը կենտ թիվ է:

Իրական թվերի ամբողջ բազմության վրա սահմանվում է n-րդ արմատային ֆունկցիան կենտ n արմատային ցուցիչով։ Օրինակ, ահա ֆունկցիայի գրաֆիկները և , դրանք համապատասխանում են սև, կարմիր և կապույտ կորերին։

Արմատային ցուցիչի այլ կենտ արժեքների դեպքում ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան:

n-րդ արմատի ֆունկցիայի հատկությունները կենտ n-ի համար:

Հզորության գործառույթ:

Հզորության ֆունկցիան տրվում է ձևի բանաձևով.

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիայի գրաֆիկների ձևը և ուժային ֆունկցիայի հատկությունները՝ կախված ցուցիչի արժեքից։

Սկսենք a ամբողջ թվային ցուցիչով հզորության ֆունկցիայից: Այս դեպքում ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների տեսքը և ֆունկցիաների հատկությունները կախված են ցուցիչի հավասարությունից կամ տարօրինակությունից, ինչպես նաև նրա նշանից։ Հետևաբար, մենք նախ կդիտարկենք հզորության ֆունկցիաները a աստիճանի կենտ դրական արժեքների համար, այնուհետև զույգ դրական ցուցանիշների համար, ապա կենտ բացասական ցուցիչների համար և վերջապես, զույգ բացասական a-ի համար:

Կոտորակի և իռացիոնալ ցուցիչներով հզորության ֆունկցիաների հատկությունները (ինչպես նաև նման հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկների տեսակը) կախված են a ցուցիչի արժեքից։ Մենք դրանք կդիտարկենք նախ՝ a-ի համար զրոյից մինչև մեկ, երկրորդ՝ մեկից մեծի համար, երրորդը, a-ի համար՝ մինուս մեկից մինչև զրոյի, չորրորդ՝ մինուս մեկից փոքրի համար:

Այս բաժնի վերջում, ամբողջականության համար, մենք կնկարագրենք զրոյական ցուցիչով հզորության ֆունկցիա:

Հզորության ֆունկցիա կենտ դրական ցուցիչով:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա կենտ դրական ցուցիչով, այսինքն՝ a = 1,3,5,....

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, ​​– կապույտ գիծ, ​​– կարմիր գիծ, ​​– կանաչ գիծ: a=1-ի համար ունենք գծային ֆունկցիա y=x.

Կենտ դրական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա նույնիսկ դրական ցուցիչով:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա զույգ դրական ցուցիչով, այսինքն՝ a = 2,4,6,....

Որպես օրինակ՝ մենք տալիս ենք ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, ​​- կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ: a=2-ի համար ունենք քառակուսի ֆունկցիա, որի գրաֆիկն է քառակուսային պարաբոլա.

Զույգ դրական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա կենտ բացասական ցուցիչով:

Դիտեք հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկները ցուցիչի կենտ բացասական արժեքների համար, այսինքն՝ a = -1, -3, -5,...

Նկարում ներկայացված են ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները որպես օրինակ՝ սև գիծ, ​​- կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ, ​​- կանաչ գիծ: a=-1-ի համար ունենք հակադարձ համեմատականություն, որի գրաֆիկն է հիպերբոլա.

Կենտ բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա նույնիսկ բացասական ցուցիչով:

Անցնենք հզորության ֆունկցիային a=-2,-4,-6,…:

Նկարում ներկայացված են հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, ​​- կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ:

Զույգ բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով հզորության ֆունկցիա, որի արժեքը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր:

Նշում!Եթե ​​a-ն կենտ հայտարարով դրական կոտորակ է, ապա որոշ հեղինակներ ուժային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը համարում են միջակայքը։ Սահմանված է, որ a չափանիշը անկրճատելի կոտորակ է։ Այժմ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ շատ դասագրքերի հեղինակներ ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները ցուցիչով կոտորակի տեսքով, որը կենտ հայտարարով փաստարկի բացասական արժեքների համար: Մենք հավատարիմ կմնանք հենց այս տեսակետին, այսինքն՝ բազմությունը կհամարենք կոտորակային դրական ցուցիչներով ուժային ֆունկցիաների սահմանման տիրույթներ։ Մենք խորհուրդ ենք տալիս ուսանողներին պարզել ձեր ուսուցչի կարծիքը այս նուրբ կետի վերաբերյալ, որպեսզի խուսափեն տարաձայնություններից:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա a ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով և .

Ներկայացնենք հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները a=11/12 (սև գիծ), a=5/7 (կարմիր գիծ), (կապույտ գիծ), a=2/5 (կանաչ գիծ):

Հզորության ֆունկցիա մեկից մեծ ոչ ամբողջ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա ոչ ամբողջ թվով ռացիոնալ կամ իռացիոնալ a ցուցիչով և .

Ներկայացնենք բանաձևերով տրված հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները (համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ գծեր):

A ցուցիչի այլ արժեքների համար ֆունկցիայի գրաֆիկները կունենան նմանատիպ տեսք:

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները ժամը .

Հզորության ֆունկցիա իրական ցուցիչով, որը մեծ է մինուս մեկից և փոքր է զրոյից:

Նշում!Եթե ​​a-ն կենտ հայտարարով բացասական կոտորակ է, ապա որոշ հեղինակներ համարում են, որ ուժային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը միջակայքն է. . Սահմանված է, որ a չափանիշը անկրճատելի կոտորակ է։ Այժմ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ շատ դասագրքերի հեղինակները ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները ցուցիչով կոտորակի տեսքով, որի կենտ հայտարարը փաստարկի բացասական արժեքների համար: Մենք հավատարիմ կմնանք հենց այս տեսակետին, այսինքն՝ կոտորակային բացասական ցուցիչներով ուժային ֆունկցիաների սահմանման տիրույթները համապատասխանաբար կհամարենք բազմություն։ Մենք խորհուրդ ենք տալիս ուսանողներին պարզել ձեր ուսուցչի կարծիքը այս նուրբ կետի վերաբերյալ, որպեսզի խուսափեն տարաձայնություններից:

Անցնենք ուժային ֆունկցիային՝ կգոդ։

Որպեսզի լավ պատկերացնենք ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների ձևը, մենք տալիս ենք ֆունկցիաների գրաֆիկների օրինակներ. (համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ կորեր):

a, ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները.

Հզորության ֆունկցիա ոչ ամբողջ թվով իրական ցուցիչով, որը փոքր է մինուս մեկից:

Բերենք ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների օրինակներ , դրանք պատկերված են համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ գծերով։

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները մինուս մեկից փոքր ոչ ամբողջ բացասական ցուցիչով:

Երբ a = 0, մենք ունենք ֆունկցիա՝ սա ուղիղ գիծ է, որից բացառվում է (0;1) կետը (պայմանավորվածություն է ձեռք բերվել ոչ մի նշանակություն չտալ 0 0 արտահայտությանը):

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

Հիմնական տարրական ֆունկցիաներից մեկը էքսպոնենցիալ ֆունկցիան է։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ և ընդունում է տարբեր ձևեր՝ կախված a հիմքի արժեքից։ Եկեք պարզենք սա:

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը զրոյից մինչև մեկ արժեք է վերցնում, այսինքն՝ .

Որպես օրինակ՝ ներկայացնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները a = 1/2 – կապույտ գծի, a = 5/6 – կարմիր գծի համար: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք ունեն բազայի այլ արժեքների համար ընդմիջումից:

Մեկից փոքր հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Անցնենք այն դեպքին, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է, այսինքն՝ .

Որպես օրինակ՝ ներկայացնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ կապույտ և կարմիր գիծ: Մեկից ավելի բազայի այլ արժեքների դեպքում էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները կունենան նմանատիպ տեսք:

Մեկից մեծ հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Լոգարիթմական ֆունկցիա.

Հաջորդ հիմնական տարրական ֆունկցիան լոգարիթմական ֆունկցիան է, որտեղ, . Լոգարիթմական ֆունկցիան սահմանվում է միայն փաստարկի դրական արժեքների համար, այսինքն՝ .

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը տարբեր ձևեր է ստանում՝ կախված a հիմքի արժեքից։

Հիմնական տարրական գործառույթների ամբողջական ցանկը

Հիմնական տարրական գործառույթների դասը ներառում է հետևյալը.

1. Constant ֆունկցիա $y=C$, որտեղ $C$-ը հաստատուն է: Նման ֆունկցիան ընդունում է նույն արժեքը $C$ ցանկացած $x$-ի համար:
2. Հզորության ֆունկցիա $y=x^(a) $, որտեղ $a$ ցուցիչը իրական թիվ է։
3. Էքսպոնենցիալ $y=a^(x) $ ֆունկցիա, որտեղ հիմքը $a>0$ աստիճան է, $a\ne 1$:
4. Լոգարիթմական ֆունկցիա $y=\log _(a) x$, որտեղ լոգարիթմի հիմքը $a>0$ է, $a\ne 1$։
5. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ վրկ\, x$.
6. Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Հզորության գործառույթներ

Մենք կդիտարկենք $y=x^(a) $ հզորության ֆունկցիայի վարքագիծը այն ամենապարզ դեպքերի համար, երբ դրա ցուցիչը որոշում է ամբողջ թվերի հզորացումը և արմատի հանումը։

Դեպք 1

$y=x^(a) $ ֆունկցիայի ցուցիչը բնական թիվ է, այսինքն՝ $y=x^(n) $, $n\ N$-ում։

Եթե ​​$n=2\cdot k$-ը զույգ թիվ է, ապա $y=x^(2\cdot k) $ ֆունկցիան զույգ է և անորոշ ժամանակով աճում է, կարծես $\left(x\to +\infty \ right) արգումենտը: )$, և իր անսահմանափակ նվազումով $\left(x\to -\infty \right)$։ Ֆունկցիայի այս պահվածքը կարելի է նկարագրել $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) x^(2\cdot k) =+\infty $ և $\mathop(\lim)\ արտահայտություններով: limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան երկու դեպքում էլ մեծանում է առանց սահմանի ($\lim $-ը սահմանն է)։ Օրինակ՝ $y=x^(2) $ ֆունկցիայի գրաֆիկ։

Եթե ​​$n=2\cdot k-1$-ը կենտ թիվ է, ապա $y=x^(2\cdot k-1) $ ֆունկցիան կենտ է, աճում է անորոշ ժամանակով, քանի որ արգումենտն անորոշ մեծանում է, և անորոշ ժամանակով նվազում է որպես արգումենտ: նվազում է անորոշ ժամանակով. Ֆունկցիայի այս պահվածքը կարելի է նկարագրել $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ և $\mathop(\lim) արտահայտություններով։ )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Օրինակ՝ $y=x^(3) $ ֆունկցիայի գրաֆիկ։

Դեպք 2

$y=x^(a) $ ֆունկցիայի ցուցիչը բացասական ամբողջ թիվ է, այսինքն՝ $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\ N$-ում։

Եթե ​​$n=2\cdot k$-ը զույգ թիվ է, ապա $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ ֆունկցիան զույգ է և ասիմպտոտիկ (աստիճանաբար) մոտենում է զրոյին, ինչպես անսահմանափակ աճի փաստարկով: , և իր անսահմանափակ նվազումով։ Ֆունկցիայի այս պահվածքը կարելի է նկարագրել $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(1)(x^(2\cdot k)) =0$ արտահայտությամբ, ինչը նշանակում է, որ բացարձակ արժեքով արգումենտի անսահմանափակ աճով ֆունկցիայի սահմանը զրո է: Բացի այդ, քանի որ արգումենտը ձգտում է զրոյի ինչպես ձախ $\left(x\to 0-0\right)$, այնպես էլ աջ $\left(x\to 0+0\right)$, ֆունկցիան մեծանում է առանց սահման. Հետևաբար, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k)) =+\infty $ և $\mathop(\lim)\ արտահայտությունները: limits_ վավեր են (x\մինչև 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, ինչը նշանակում է, որ $y=\frac(1)(x^(2) ֆունկցիան \cdot k ) ) $ երկու դեպքում էլ ունի անսահման սահման, որը հավասար է $+\infty $-ին։ Օրինակ$y=\frac(1)(x^(2) ) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Եթե ​​$n=2\cdot k-1$-ը կենտ թիվ է, ապա $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ ֆունկցիան կենտ է և ասիմպտոտիկորեն մոտենում է զրոյին, ասես երկուսն էլ. փաստարկը մեծանում է, իսկ երբ նվազում է անսահմանափակ: Ֆունկցիայի այս վարքագիծը կարելի է նկարագրել $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$ արտահայտությամբ։ Բացի այդ, քանի որ ձախ կողմում արգումենտը մոտենում է զրոյին, ֆունկցիան նվազում է առանց սահմանի, իսկ երբ արգումենտը մոտենում է զրոյին աջ կողմում, ֆունկցիան մեծանում է առանց սահմանի, այսինքն՝ $\mathop(\lim )\limits_(x\to): 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ և $\mathop(\lim)\limits_(x\մինչև 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Օրինակ$y=\frac(1)(x) $ ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Դեպք 3

$y=x^(a) $ ֆունկցիայի ցուցիչը բնական թվի հակադարձն է, այսինքն՝ $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\ N$-ում։

Եթե ​​$n=2\cdot k$-ը զույգ թիվ է, ապա $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ ֆունկցիան երկարժեք է և սահմանվում է միայն $x\ge 0-ի համար։ $. Փաստարկի անսահմանափակ աճի դեպքում $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ ֆունկցիայի արժեքը անսահմանափակորեն մեծանում է, իսկ $y=-\sqrt[(2\) ֆունկցիայի արժեքը։ cdot k)](x) $-ը նվազում է անսահմանափակ, այսինքն $\mathop(\lim)\limits_(x\to +\infty) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ և $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $: Օրինակ՝ $y=\pm \sqrt(x) $ ֆունկցիայի գրաֆիկ։

Եթե ​​$n=2\cdot k-1$-ը կենտ թիվ է, ապա $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ ֆունկցիան կենտ է, անսահմանափակ մեծանում է արգումենտի անսահմանափակ աճով։ և անսահմանափակ, երբ անսահմանափակ է, նվազում է, այսինքն՝ $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ և $\mathop(\ lim)\limits_(x\to -\infty) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $: Օրինակ՝ $y=\sqrt[(3)](x) $ ֆունկցիայի գրաֆիկ։

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաներ

Էքսպոնենցիալ $y=a^(x) $ և լոգարիթմական $y=\log _(a) x$ ֆունկցիաները փոխադարձաբար հակադարձ են: Նրանց գրաֆիկները սիմետրիկ են առաջին և երրորդ կոորդինատային անկյունների ընդհանուր կիսորդի նկատմամբ։

Երբ $\left(x\to +\infty \right)$ արգումենտը անորոշ ժամանակով մեծանում է, էքսպոնենցիալ ֆունկցիան կամ $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $-ն անորոշ ժամանակով ավելանում է, եթե $a>1$, կամ ասիմպտոտիկորեն մոտենում է զրոյին $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, եթե $a1$, կամ $\mathop ավելանում է առանց սահմանի (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, եթե $a

$y=a^(x) $ ֆունկցիայի բնորոշ արժեքը $x=0$ արժեքն է: Այս դեպքում բոլոր էքսպոնենցիալ ֆունկցիաները, անկախ $a$-ից, անպայմանորեն հատում են $Oy$ առանցքը $y=1$-ով։ Օրինակներ. $y=2^(x) $ և $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $ ֆունկցիաների գրաֆիկները:

$y=\log _(a) x$ լոգարիթմական ֆունկցիան սահմանվում է միայն $x > 0$-ի համար:

Քանի որ $\left(x\to +\infty \right)$ արգումենտն անորոշ ժամանակով մեծանում է, լոգարիթմական ֆունկցիան կամ $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ ավելանում է անորոշ ժամանակով infty $, եթե $a>1$, կամ նվազում է առանց սահմանի $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, եթե $a1 $, կամ առանց սահմանի $\mathop(\lim )\limits_(x\մինչև 0+0) \log _(a) x=+\infty $-ն ավելանում է, եթե $a

$y=\log _(a) x$ ֆունկցիայի բնորոշ արժեքը $y=0$ արժեքն է: Այս դեպքում բոլոր լոգարիթմական ֆունկցիաները, անկախ $a$-ից, պարտադիր հատում են $Ox$ առանցքը $x=1$-ով։ Օրինակներ՝ $y=\log _(2) x$ և $y=\log _(1/2) x$ ֆունկցիաների գրաֆիկները:

Որոշ լոգարիթմական ֆունկցիաներ ունեն հատուկ նշում: Մասնավորապես, եթե լոգարիթմի հիմքը $a=10$ է, ապա այդպիսի լոգարիթմը կոչվում է տասնորդական, իսկ համապատասխան ֆունկցիան գրվում է $y=\lg x$: Իսկ եթե որպես լոգարիթմի հիմք ընտրված է $e=2.7182818\ldots $ իռացիոնալ թիվը, ապա այդպիսի լոգարիթմը կոչվում է բնական, իսկ համապատասխան ֆունկցիան գրվում է $y=\ln x$։ Դրա հակադարձը $y=e^(x) $ ֆունկցիան է, որը կոչվում է ցուցիչ։

Բաժինը պարունակում է տեղեկատու նյութ հիմնական տարրական գործառույթների և դրանց հատկությունների վերաբերյալ: Տրված է տարրական ֆունկցիաների դասակարգում։ Ստորև բերված են ենթաբաժինների հղումներ, որոնք քննարկում են հատուկ գործառույթների հատկությունները` գրաֆիկներ, բանաձևեր, ածանցյալներ, հակաածանցյալներ (ինտեգրալներ), շարքերի ընդլայնումներ, արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով:

Հիմնական գործառույթների համար հղումային էջեր

Տարրական գործառույթների դասակարգում

Հանրահաշվական ֆունկցիաֆունկցիա է, որը բավարարում է հավասարումը.
,
որտեղ կա բազմանդամ y կախված փոփոխականում և անկախ x փոփոխականում: Այն կարելի է գրել այսպես.
,
որտեղ են բազմանդամները.

Հանրահաշվական ֆունկցիաները բաժանվում են բազմանդամների (ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիաների), ռացիոնալ ֆունկցիաների և իռացիոնալ ֆունկցիաների։

Ամբողջ ռացիոնալ գործառույթը, որը նաև կոչվում է բազմանդամկամ բազմանդամ, ստացվում է x փոփոխականից և վերջավոր թվով թվերից՝ օգտագործելով գումարման (հանման) և բազմապատկման թվաբանական գործողությունները։ Փակագծերը բացելուց հետո բազմանդամը վերածվում է կանոնական ձևի.
.

Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիա, կամ պարզապես ռացիոնալ գործառույթ, ստացվում է x փոփոխականից և վերջավոր թվով թվեր՝ օգտագործելով գումարման (հանման), բազմապատկման և բաժանման թվաբանական գործողությունները։ Ռացիոնալ ֆունկցիան կարող է կրճատվել ձևի
,
որտեղ և են բազմանդամներ:

Իռացիոնալ ֆունկցիահանրահաշվական ֆունկցիա է, որը ռացիոնալ չէ: Որպես կանոն, իռացիոնալ ֆունկցիա հասկացվում է որպես արմատներ և դրանց բաղադրություններ ռացիոնալ ֆունկցիաներով։ n աստիճանի արմատը սահմանվում է որպես հավասարման լուծում
.
Այն նշանակված է հետևյալ կերպ.
.

Տրանսցենդենտալ գործառույթներկոչվում են ոչ հանրահաշվական ֆունկցիաներ։ Սրանք են էքսպոնենցիալ, եռանկյունաչափական, հիպերբոլիկ և դրանց հակադարձ ֆունկցիաները։

Հիմնական տարրական գործառույթների ակնարկ

Բոլոր տարրական գործառույթները կարող են ներկայացվել որպես վերջավոր թվով գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողություններ, որոնք կատարվում են ձևի արտահայտության վրա.
զ տ .
Հակադարձ ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել նաև լոգարիթմներով։ Հիմնական տարրական գործառույթները թվարկված են ստորև:

Հզորության գործառույթ.
y(x) = x p,
որտեղ p ցուցիչն է: Դա կախված է x աստիճանի հիմքից։
Հզորության ֆունկցիայի հակադարձը նաև ուժային ֆունկցիան է.
.
p ցուցանիշի ամբողջ թվի ոչ բացասական արժեքի համար այն բազմանդամ է: Ամբողջական արժեքի համար p - ռացիոնալ ֆունկցիա: Ռացիոնալ իմաստով - իռացիոնալ գործառույթ:

Տրանսցենդենտալ գործառույթներ

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.
y(x) = a x,
որտեղ a-ն աստիճանի հիմքն է: Դա կախված է x ցուցիչից:
Հակադարձ ֆունկցիան լոգարիթմ է, որը հիմնում է a.
x = log a y.

Ցուցանիշ, e x հզորության նկատմամբ.
y(x) = e x,
Սա էքսպոնենցիալ ֆունկցիա է, որի ածանցյալը հավասար է բուն ֆունկցիային.
.
Ցուցանիշի հիմքը e թիվն է.
≈ 2,718281828459045... .
Հակադարձ ֆունկցիան բնական լոգարիթմն է՝ e թվի հիմքի լոգարիթմը.
x = ln y ≡ log e y.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.
Սինուս:
Կոսինուս;
Շոշափող՝ ;
Կոտանգենս՝ ;
Այստեղ i-ն երևակայական միավորն է, i 2 = -1:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.
Arcsine: x = arcsin y, ;
Աղեղի կոսինուս՝ x = arccos y, ;
Arctangent: x = արկտան յ, ;
Աղեղային շոշափող՝ x = arcctg y, .

Հիմնական տարրական գործառույթներեն՝ հաստատուն ֆունկցիա (հաստատուն), արմատ n-րդ աստիճան, ուժային ֆունկցիա, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական ֆունկցիա, եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Մշտական ​​գործառույթ:

Բոլոր իրական թվերի բազմության վրա հաստատուն ֆունկցիա է տրվում բանաձևով, որտեղ Գ- որոշ իրական թիվ: Կայուն ֆունկցիան վերագրում է անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր փաստացի արժեք xկախված փոփոխականի նույն արժեքը y- իմաստը ՀԵՏ. Հաստատուն ֆունկցիան կոչվում է նաև հաստատուն:

Հաստատուն ֆունկցիայի գրաֆիկը x-առանցքին զուգահեռ և կոորդինատներով կետով անցնող ուղիղ գիծ է. (0,C). Օրինակ՝ ցույց տանք հաստատուն ֆունկցիաների գրաֆիկները y=5,y=-2և , որոնք ստորև բերված նկարում համապատասխանում են համապատասխանաբար սև, կարմիր և կապույտ գծերին:

Մշտական ​​ֆունկցիայի հատկությունները.

Դոմեն՝ իրական թվերի ամբողջությունը:

Մշտական ​​ֆունկցիան հավասար է:

Արժեքների միջակայք՝ եզակի թվից բաղկացած բազմություն ՀԵՏ.

Անընդհատ ֆունկցիան չի աճում և չի նվազում (այդ իսկ պատճառով այն հաստատուն է):

Անիմաստ է խոսել հաստատունի ուռուցիկության և գոգավորության մասին։

Ասիմպտոտներ չկան։

Ֆունկցիան անցնում է կետով (0,C)կոորդինատային հարթություն.

n-րդ աստիճանի արմատ.

Դիտարկենք հիմնական տարրական ֆունկցիան, որը տրված է բանաձևով, որտեղ n- մեկից մեծ բնական թիվ.

N-րդ արմատը, n-ը զույգ թիվ է:

Սկսենք արմատային ֆունկցիայից n-րդ հզորությունը արմատային ցուցիչի զույգ արժեքների համար n.

Որպես օրինակ՝ այստեղ պատկերված է ֆունկցիայի գրաֆիկների պատկերներով և , դրանք համապատասխանում են սև, կարմիր և կապույտ գծերին։

Զույգ աստիճանի արմատային ֆունկցիաների գծապատկերները նման տեսք ունեն ցուցիչի այլ արժեքների համար:

Արմատի ֆունկցիայի հատկություններըn -րդ իշխանությունը նույնիսկn .

n-րդ արմատը, n-ը կենտ թիվ է:

Արմատային գործառույթ n-րդ հզորությունը կենտ արմատի ցուցիչով nսահմանվում է իրական թվերի ամբողջ բազմության վրա: Օրինակ, ահա ֆունկցիայի գրաֆիկները և , դրանք համապատասխանում են սև, կարմիր և կապույտ կորերին։