Հարաբերական չափման սխալի հաշվարկ: Չափման սխալների հաշվարկ

1. Ներածություն

Քիմիկոսների, ֆիզիկոսների և բնական գիտությունների այլ մասնագիտությունների ներկայացուցիչների աշխատանքը հաճախ ներառում է տարբեր քանակությունների քանակական չափումներ: Այս դեպքում հարց է ծագում ստացված արժեքների հուսալիությունը վերլուծելու, ուղղակի չափումների արդյունքների մշակման և ուղղակիորեն չափվող բնութագրերի արժեքները օգտագործող հաշվարկների սխալների գնահատման մասին (վերջին գործընթացը կոչվում է նաև արդյունքների մշակում. անուղղակիչափումներ): Մի շարք օբյեկտիվ պատճառներով Մոսկվայի պետական ​​համալսարանի քիմիայի ֆակուլտետի շրջանավարտների գիտելիքները սխալների հաշվարկման վերաբերյալ միշտ չէ, որ բավարար են ստացված տվյալների ճիշտ մշակման համար: Այդ պատճառներից մեկը ֆակուլտետի ուսումնական ծրագրում չափումների արդյունքների վիճակագրական մշակման դասընթացի բացակայությունն է:

Այս պահին սխալների հաշվարկման հարցը, իհարկե, մանրակրկիտ ուսումնասիրվել է։ Կան մեծ թվով մեթոդական մշակումներ, դասագրքեր և այլն, որոնցում կարող եք գտնել տեղեկություններ հաշվարկման սխալների մասին։ Ցավոք, այդ աշխատանքների մեծ մասը ծանրաբեռնված է լրացուցիչ և ոչ միշտ անհրաժեշտ տեղեկություններով։ Մասնավորապես, ուսանողական սեմինարների աշխատանքի մեծ մասը չի պահանջում այնպիսի գործողություններ, ինչպիսիք են նմուշների համեմատությունը, կոնվերգենցիան գնահատելը և այլն: Հետևաբար, տեղին է թվում ստեղծել համառոտ մշակում, որը նախանշում է առավել հաճախ օգտագործվող հաշվարկների ալգորիթմները, ինչն էլ այս զարգացումն է: նվիրված է.

2. Այս աշխատության մեջ ընդունված նշում

Չափված արժեքը, - չափված արժեքի միջին արժեքը, - չափված արժեքի միջին արժեքի բացարձակ սխալը, - չափված արժեքի միջին արժեքի հարաբերական սխալը:

3. Ուղղակի չափումների սխալների հաշվարկ

Այսպիսով, ենթադրենք, որ դրանք իրականացվել են n նույն քանակի չափումներ նույն պայմաններում: Այս դեպքում դուք կարող եք հաշվարկել այս արժեքի միջին արժեքը կատարված չափումներում.

(1)

Ինչպե՞ս հաշվարկել սխալը: Հետևյալ բանաձևի համաձայն.

(2)

Այս բանաձևը օգտագործում է Student գործակիցը: Դրա արժեքները տարբեր վստահության հավանականություններով և արժեքներով տրված են:

3.1. Ուղղակի չափումների սխալների հաշվարկման օրինակ.

Առաջադրանք.

Չափվել է մետաղյա ձողի երկարությունը։ Կատարվել է 10 չափում և ստացվել են հետևյալ արժեքները՝ 10 մմ, 11 մմ, 12 մմ, 13 մմ, 10 մմ, 10 մմ, 11 մմ, 10 մմ, 10 մմ, 11 մմ: Պահանջվում է գտնել չափված մեծության միջին արժեքը (ձողի երկարությունը) և դրա սխալը:

Լուծում.

Օգտագործելով բանաձևը (1) մենք գտնում ենք.

մմ

Այժմ, օգտագործելով բանաձևը (2), մենք գտնում ենք միջին արժեքի բացարձակ սխալը վստահության հավանականությամբ և ազատության աստիճանների քանակով (օգտագործում ենք արժեքը = 2.262, վերցված).

Արդյունքը գրենք.

10,8±0,7 0,95 մմ

4. Անուղղակի չափումների սխալների հաշվարկ

Ենթադրենք, որ փորձի ժամանակ չափվում են մեծությունները , եւ հետոգ Օգտագործելով ստացված արժեքները, արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով . Այս դեպքում ուղղակիորեն չափվող մեծությունների սխալները հաշվարկվում են, ինչպես նկարագրված է 3-րդ պարբերությունում:

Քանակի միջին արժեքի հաշվարկն իրականացվում է ըստ կախվածության՝ օգտագործելով փաստարկների միջին արժեքները:

Սխալի արժեքը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

,(3)

որտեղ է արգումենտների թիվը, արգումենտների նկատմամբ ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալն է, փաստարկի միջին արժեքի բացարձակ սխալն է:

Բացարձակ սխալը, ինչպես ուղղակի չափումների դեպքում, հաշվարկվում է բանաձևով.

4.1. Ուղղակի չափումների սխալների հաշվարկման օրինակ.

Առաջադրանք.

Մեծությունների 5 ուղղակի չափումներ և իրականացվել են. Արժեքի համար ստացվել են հետևյալ արժեքները՝ 50, 51, 52, 50, 47; քանակի համար ստացվել են հետևյալ արժեքները՝ 500, 510, 476, 354, 520։ Պահանջվում է հաշվարկել բանաձևով որոշված ​​քանակի արժեքը և գտնել ստացված արժեքի սխալը։

Ֆիզիկան փորձարարական գիտություն է, ինչը նշանակում է, որ ֆիզիկական օրենքները հաստատվում և հաստատվում են փորձարարական տվյալների կուտակման և համեմատման միջոցով։ Ֆիզիկայի սեմինարի նպատակն է, որպեսզի ուսանողները փորձի միջոցով ուսումնասիրեն հիմնական ֆիզիկական երևույթները, սովորեն ճիշտ չափել ֆիզիկական մեծությունների թվային արժեքները և համեմատել դրանք տեսական բանաձևերի հետ:

Բոլոր չափումները կարելի է բաժանել երկու տեսակի. ուղիղԵվ անուղղակի.

ժամը ուղիղՉափումների ժամանակ ցանկալի քանակի արժեքը ուղղակիորեն ստացվում է չափիչ սարքի ընթերցումներից: Այսպիսով, օրինակ, երկարությունը չափվում է քանոնով, ժամանակը` ժամացույցով և այլն:

Եթե ​​ցանկալի ֆիզիկական մեծությունը չի կարող ուղղակիորեն չափվել սարքի միջոցով, այլ արտահայտվում է չափված մեծությունների միջոցով՝ օգտագործելով բանաձևը, ապա այդպիսի չափումները կոչվում են. անուղղակի.

Որևէ մեծություն չափելը բացարձակապես ճշգրիտ արժեք չի տալիս այդ մեծությանը։ Յուրաքանչյուր չափում միշտ պարունակում է որոշակի սխալ (սխալ): Սխալը չափված և իրական արժեքի տարբերությունն է:

Սխալները սովորաբար բաժանվում են համակարգվածԵվ պատահական.

Համակարգայինկոչվում է սխալ, որը մնում է անփոփոխ ամբողջ չափումների ամբողջ շարքում: Նման սխալները առաջանում են չափիչ գործիքի անկատարությունից (օրինակ՝ սարքի զրոյական շեղումը) կամ չափման մեթոդը և, սկզբունքորեն, կարելի է բացառել վերջնական արդյունքից՝ համապատասխան ուղղում մտցնելով:

Համակարգային սխալները ներառում են նաև չափիչ գործիքների սխալը: Ցանկացած սարքի ճշգրտությունը սահմանափակ է և բնութագրվում է իր ճշգրտության դասով, որը սովորաբար նշվում է չափման սանդղակի վրա:

Պատահականկոչվում է սխալ, որը տարբերվում է տարբեր փորձերի ժամանակ և կարող է լինել և՛ դրական, և՛ բացասական: Պատահական սխալներն առաջանում են պատճառներով, որոնք կախված են ինչպես չափիչ սարքից (շփում, բացեր և այլն), այնպես էլ արտաքին պայմաններից (թրթռում, ցանցում լարման տատանումներ և այլն):

Պատահական սխալները չի կարելի էմպիրիկորեն բացառել, սակայն դրանց ազդեցությունը արդյունքի վրա կարող է կրճատվել կրկնվող չափումների միջոցով:

Ուղղակի չափումների սխալի հաշվարկ - միջին արժեք և միջին բացարձակ սխալ:

Ենթադրենք, որ մենք իրականացնում ենք X արժեքի մի շարք չափումներ: Պատահական սխալների առկայության պատճառով մենք ստանում ենք. nտարբեր իմաստներ:

X 1, X 2, X 3… X n

Միջին արժեքը սովորաբար ընդունվում է որպես չափման արդյունք

Տարբերությունը միջինի և արդյունքի միջև ես –այս չափման համար մենք կանվանենք այս չափման բացարձակ սխալ

Որպես միջին արժեքի սխալի չափ, մենք կարող ենք վերցնել առանձին չափման բացարձակ սխալի միջին արժեքը.

(2)

Մեծություն
կոչվում է թվաբանական միջին (կամ միջին բացարձակ) սխալ։

Այնուհետև չափման արդյունքը պետք է գրվի ձևով

(3)

Չափումների ճշգրտությունը բնութագրելու համար օգտագործվում է հարաբերական սխալը, որը սովորաբար արտահայտվում է որպես տոկոս

(4)

Թող չափումների համակարգված սխալները չնչին լինեն: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ չափումը կատարվում է շատ անգամ (n→∞):

Ինչպես ցույց է տալիս փորձը, չափումների արդյունքների շեղումը դրանց միջին արժեքից վեր կամ վար նույնն է: Չափման արդյունքները միջին արժեքից փոքր շեղումներով նկատվում են շատ ավելի հաճախ, քան մեծ շեղումներով:

Եկեք դասավորենք չափման արդյունքների բոլոր թվային արժեքները հաջորդականությամբ աճման կարգով և այս շարքը բաժանենք հավասար ընդմիջումներով
. Թող - չափումների քանակը, որոնց արդյունքները գտնվում են միջակայքում [
]. Մեծություն
կա հավանականություն ΔP i (x) արդյունք ստանալու [ինտերվալի արժեքով]
].

Ներկայացնենք գրաֆիկորեն
, որը համապատասխանում է յուրաքանչյուր միջակայքին [
] (նկ. 1): Նկար 1-ում ցուցադրված աստիճանավոր կորը կոչվում է հիստոգրամ: Ենթադրենք, որ չափիչ սարքն ունի չափազանց բարձր զգայունություն։ Այնուհետև միջակայքի լայնությունը կարելի է դարձնել անսահման փոքր dx: Աստիճանային կորն այս դեպքում փոխարինվում է φ(x) ֆունկցիայով ներկայացված կորով (նկ. 2): Φ(x) ֆունկցիան սովորաբար կոչվում է բաշխման խտության ֆունկցիա։ Դրա իմաստն այն է, որ φ(x)dx արտադրյալը x-ից մինչև x+dx միջակայքում արժեք ունեցող արդյունքներ ստանալու dP(x) հավանականությունն է: Գրաֆիկորեն, հավանականության արժեքը ներկայացված է որպես ստվերավորված ուղղանկյունի տարածք: Վերլուծականորեն բաշխման խտության ֆունկցիան գրված է հետևյալ կերպ.

. (5)

(5) ձևով ներկայացված φ(x) ֆունկցիան կոչվում է Գաուսի ֆունկցիա, իսկ չափումների արդյունքների համապատասխան բաշխումը գաուսական է կամ նորմալ։

Ընտրանքներ
իսկ σ-ն ունեն հետևյալ նշանակությունը (նկ. 2).

- չափումների արդյունքների միջին արժեքը. ժամը
=
Գաուսի ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույն արժեքին: Եթե ​​չափերի թիվը անսահման մեծ է, ապա
հավասար է չափված մեծության իրական արժեքին:

σ – բնութագրում է չափման արդյունքների ցրվածության աստիճանը դրանց միջին արժեքից: σ պարամետրը հաշվարկվում է բանաձևով.

. (6)

Այս պարամետրը ներկայացնում է արմատի միջին քառակուսի սխալը: σ 2 մեծությունը հավանականությունների տեսության մեջ կոչվում է φ(x) ֆունկցիայի դիսպերսիա։

Որքան մեծ է չափման ճշգրտությունը, այնքան չափման արդյունքները մոտ են չափված մեծության իրական արժեքին, և, հետևաբար, այնքան փոքր է σ:

φ(x) ֆունկցիայի ձևն ակնհայտորեն կախված չէ չափումների քանակից։

Հավանականությունների տեսությունը ցույց է տալիս, որ բոլոր չափումների 68%-ը կտա արդյունք, որը գտնվում է միջակայքում, 95%-ը՝ միջակայքում և 99,7%-ը՝ միջակայքում:

Այսպիսով, 68% հավանականության (հուսալիության) դեպքում չափման արդյունքի շեղումը միջին արժեքից գտնվում է միջակայքում:
], 95% հավանականությամբ (հուսալիություն) – միջակայքում [
] և 99,7% հավանականությամբ (հուսալիություն) – միջակայքում [
].

Միջին արժեքից շեղման որոշակի հավանականությանը համապատասխանող միջակայքը կոչվում է վստահություն:

Իրական փորձերի ժամանակ չափումների թիվն ակնհայտորեն չի կարող անսահման մեծ լինել, ուստի դա քիչ հավանական է
համընկավ չափված արժեքի իրական արժեքի հետ
. Այս առումով կարևոր է հավանականությունների տեսության հիման վրա գնահատել հնարավոր շեղման մեծությունը.
-ից
.

Հաշվարկները ցույց են տալիս, որ երբ չափումների թիվը 20-ից ավելի է, 68% հավանականությամբ.
ընկնում է վստահության միջակայքում [
], 95% հավանականությամբ – միջակայքում [
], 99,7% հավանականությամբ – միջակայքում [
].

Մեծություն , որը սահմանում է վստահության միջակայքի սահմանները, կոչվում է ստանդարտ շեղում կամ պարզապես ստանդարտ։

Ստանդարտ հաշվարկվում է բանաձևով.

. (7)

Հաշվի առնելով (6) բանաձևը՝ (7) արտահայտությունը ստանում է հետևյալ ձևը.

. (8)

Որքան մեծ է n չափսերի թիվը, այնքան X-ին մոտ է
. Եթե ​​չափումների թիվը մեծ չէ, 15-ից պակաս, ապա Գաուսի բաշխման փոխարեն օգտագործվում է Student բաշխումը, ինչը հանգեցնում է X-ի հնարավոր շեղման վստահության միջակայքի լայնության մեծացմանը:
int n, p անգամ:

t n, p գործակիցը կոչվում է Student գործակից: P և n ինդեքսները ցույց են տալիս, թե ինչ հուսալիությամբ և ինչ քանակի չափումների է համապատասխանում Student գործակիցը: Ուսանողի գործակիցի արժեքը տվյալ քանակի չափումների և տվյալ հուսալիության համար որոշվում է ըստ Աղյուսակ 1-ի:

Աղյուսակ 1

Ուսանողի գործակիցը.

Օրինակ, 95% տրված հուսալիությամբ և չափումների քանակով n = 20, Ուսանողի գործակիցը t 20,95 = 2,1 (վստահության միջակայք
) չափումների քանակովn=4, t 4,95 =3,2 (վստահության միջակայք
). Այսինքն՝ չափումների քանակի 4-ից 20-ի ավելացմամբ՝ հնարավոր շեղում
fromX-ը նվազում է 1,524 անգամ։

Ստորև բերված է բացարձակ պատահական սխալի հաշվարկման օրինակ

Օգտագործելով բանաձևը (2) մենք գտնում ենք չափված արժեքի միջին արժեքը
(առանց ֆիզիկական մեծության չափը նշելու)

.

Օգտագործելով բանաձևը (8) մենք հաշվարկում ենք ստանդարտ շեղումը

.

Ուսանողի գործակիցը որոշվել է n=6, և P=95%, t 6.95 =2.6 վերջնական արդյունք.

X=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (P=95%-ով):

Մենք հաշվարկում ենք հարաբերական սխալը.

.

Չափման վերջնական արդյունքը գրանցելիս պետք է նկատի ունենալ, որ սխալը պետք է պարունակի միայն մեկ նշանակալի ցուցանիշ (բացի զրոյից): Սխալում երկու նշանակալի թվեր գրանցվում են միայն այն դեպքում, եթե նախավերջին թիվը 1 է: Ավելի մեծ թվով նշանակալի թվեր գրանցելն անիմաստ է, քանի որ դրանք վստահելի չեն լինի: Չափված արժեքի միջին արժեքի գրանցման ժամանակ վերջին նիշը պետք է պատկանի սխալի գրանցման վերջին թվանշանին:

X=(243±5)·10 2;

X=232.567±0.003.

Մի քանի չափումներ կատարելը կարող է նույն արդյունքը տալ: Դա հնարավոր է, եթե չափիչ սարքի զգայունությունը ցածր է: Երբ չափումը կատարվում է ցածր զգայունությամբ սարքով, մեկ չափումը բավարար է: Անիմաստ է, օրինակ, բազմիցս չափել սեղանի երկարությունը սանտիմետրային բաժանումներով ժապավենով: Չափման արդյունքը այս դեպքում կլինի նույնը: Մեկ չափման ժամանակ սխալը որոշվում է սարքի ամենափոքր բաժանման արժեքով: Այն կոչվում է գործիքի սխալ: Դրա իմաստը
հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

, (10)

որտեղ γ-ը սարքի բաժանման գինն է.

t ∞, p – Ուսանողական գործակից, որը համապատասխանում է անսահման մեծ թվով չափումների:

Հաշվի առնելով գործիքի սխալը, տվյալ հուսալիությամբ բացարձակ սխալը որոշվում է բանաձևով.

, (11)

Որտեղ
.

Հաշվի առնելով (8) և (10) բանաձևերը, (11) գրվում է հետևյալ կերպ.

. (12)

Գրականության մեջ, ռեկորդը կրճատելու համար, սխալի մեծությունը երբեմն չի նշվում: Ենթադրվում է, որ սխալի մեծությունը վերջին նշանակալի թվանշանի կեսն է: Օրինակ, Երկրի շառավիղը գրված է ձևով
m Սա նշանակում է, որ սխալը պետք է ընդունվի որպես ± արժեք
մ.