ಮಧ್ಯಂತರ ಮಟ್ಟ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (2019)

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಏಕೆ ಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ಬಹುಶಃ ಯೋಚಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ) ಎಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ? ಹೌದು, ನೀವು ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡಬೇಕು, ಮತ್ತು ನೀವು ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿದಿನ ಗಮನಿಸಬಹುದು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನನೀವು ಅವಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೀರಿ. ದೈಹಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ಚೆಂಡು ಹೇಗೆ ಹಾರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? "ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ"? ಅತ್ಯಂತ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ "ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ"! ಮತ್ತು ಕಾರಂಜಿಯಲ್ಲಿ ಜೆಟ್ ಯಾವ ಪಥದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ? ಹೌದು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ! ಬುಲೆಟ್ ಅಥವಾ ಶೆಲ್ ಹೇಗೆ ಹಾರುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ! ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ದೂರವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಚೆಂಡನ್ನು ಯಾವ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಬೇಕು? ಅಥವಾ, ನೀವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಉಡಾವಣೆ ಮಾಡಿದರೆ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವು ಎಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಇತ್ಯಾದಿ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಇಲ್ಲಿ ಸಮಾನರು ಯಾವುವು, ಮತ್ತು? ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ!

ಏನು ವೇಳೆ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ? ಒಳ್ಳೆಯದು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು "ದುಃಖ" ಆಗಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ! ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂದ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವು 2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ!

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಬಹುದೇ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ ಅವರು ಮಾಡಬಹುದು! ನಾನು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ತೆರೆಯುತ್ತೇನೆ ದೊಡ್ಡ ರಹಸ್ಯ(ಇದು ರಹಸ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ): ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (ಮತ್ತು) ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ!

ಸರಿ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಮತ್ತು) ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಬದಲಾಗಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಶೃಂಗಗಳು ಈಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಹಂತದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅಕ್ಷಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇದು ಶಾಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. . ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗ್ರಾಫ್ನ "ಚಲನೆ" ಗೆ ಅವರು ಜವಾಬ್ದಾರರು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದರಿಂದ ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆ

ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು, ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು:

• ನಾವು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು.
• ನಾವು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು x ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು (ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ;

ಇದೆಲ್ಲವೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹತಾಶೆ ಅಥವಾ ಭಯಪಡಬೇಡಿ! ಈಗ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಜಾರಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನಿವಾರ್ಯ ಯಶಸ್ಸು ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ!

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್	ಉದಾಹರಣೆ:
1) ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ(ಕೇವಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "=" ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ).
2) ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
3) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸಿ ("ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಅಥವಾ "ಕೆಳಗೆ")
4) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಇಡೋಣ: ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವಲ್ಲಿ, ನಾವು "" ಅನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ - "".
5) ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, "" ಅಥವಾ "" ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (ಗಳನ್ನು) ಬರೆಯಿರಿ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ನಂತರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಿನ್ ಮಾಡಿ!

ಉದಾಹರಣೆ:

ಸರಿ, ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆಯೇ? ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಾವು ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಗುರುತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ:

ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನಾವು ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಗುರುತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಕಾರ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದ ಕಾರಣ, ಉತ್ತರವು ಇರುತ್ತದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಕಾರ್ಯವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಮಧ್ಯಮ ಮಟ್ಟ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯ.

"ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವ ಮೊದಲು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಏನು ಎಂದು ನೆನಪಿಸೋಣ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (ಅದು ಏನೆಂದು ನೆನಪಿದೆಯೇ?). "ಎ) ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು () - ಕೇವಲ ಋಣಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳು:

ಸಮೀಕರಣವು () ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ), ಇದರರ್ಥ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ:

ನಂತರ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ, " .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೂಲವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸರಿ, ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಗುಣಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: "25((x)^(2))-30x+9

ಉತ್ತರಗಳು:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೊದಲು ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

• ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.
• ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:,

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವಿಧಗಳು:

ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ವಿಧಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್	ಉದಾಹರಣೆ:
1) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ (ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "" ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ).
2) ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
3) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸಿ ("ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಅಥವಾ "ಕೆಳಗೆ")
4) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಇಡೋಣ: ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವಲ್ಲಿ, ನಾವು "" ಅನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ - "".
5) ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ "" ಅಥವಾ "" ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಗಮನಿಸಿ 1

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡನೇ ಹಂತದ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಉದಾಹರಣೆ.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ - ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, $ax^2+bx+c > 0$ ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ ಯಾವುದೇ ಉಚಿತ ಪದವಿಲ್ಲ ($с$), ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ $11z^2+8 \le 0$ ಗುಣಾಂಕ $b$ ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸಹ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಇದರರ್ಥ $b$ ಅಥವಾ $c$ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಗ್ರಾಫಿಕ್;
• ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನ;
• ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನ

ಗಮನಿಸಿ 2

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ $ax^2+bx+c > 0$ (ಅಥವಾ $ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ

ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನ

ಗಮನಿಸಿ 3

$ax^2+bx+c > 0$ ರೂಪದ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನ (ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು $ ಆಗಿರಬಹುದು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳುಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ $""$ - ಧನಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, $"≤"$ ಮತ್ತು $"≥"$ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ - ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು (ಕ್ರಮವಾಗಿ), ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ನ ಸೊನ್ನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ.

ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು

ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ $(x-n)^2 > m$ (ಅಥವಾ $ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ) ರೂಪದ ಸಮಾನ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಗಮನಿಸಿ 4

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು $ax^2+bx+c > 0$ ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು $ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅದು ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 5

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸರಳವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು $7x > 6-3x^2$ ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವಾಗ, ನಾವು $3x^2+7x-6 > 0$ ರೂಪದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ ವೇರಿಯಬಲ್ ಡಿಗ್ರಿಯ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ $1.5y-2+5.3x^2 ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದರೆ $y$, ಇದು ರೂಪದ ಸಮಾನವಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ $5.3 x^2+1.5y-2 \ge 0$.

ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ ಅನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:

$7 \cdot (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ತೆರೆಯುವ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

$7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21.5x-19 > 0$.

ಉತ್ತರ: $x^2-21.5x-19 > 0$.

ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಈ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು, ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇದು ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನದ ಈ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸಬಾರದು.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಿಂದ a · x 2 + b · x + c ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ತ್ರಿಪದಿಯ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಾವು "ಖಾಲಿ" ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದ ಒಂದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೂ ನಾವು ತ್ರಿಪದಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು "+" ಅಥವಾ "-" ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂತರವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಛಾಯೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ > ಅಥವಾ ≥ ಮತ್ತು< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

ತ್ರಿಪದಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಛಾಯೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಂಪಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸೋಣ, ಇದು ಅಂತರದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೋಡೋಣ, ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರತೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ವೇಗವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ. ಈ ವಿಧಾನವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಪದಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ x 2 + 4 · x - 5 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಈ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ 1 ಮತ್ತು - 5 ರ ಬೇರುಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ (-∞, - 5), (- 5, 1) ಮತ್ತು (1, + ∞).

ಮಧ್ಯಂತರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ (1, + ∞). ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಾವು x = 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು 2 2 + 4 · 2 - 5 = 7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

7 ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದರರ್ಥ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (1, + ∞) ಈ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "+" ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

ಮಧ್ಯಂತರದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು (- 5, 1) ನಾವು x = 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು 0 2 + 4 · 0 - 5 = - 5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲೆ "-" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿ.

ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (-∞, - 5) ನಾವು x = - 6 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಾವು (- 6) 2 + 4 · (- 6) - 5 = 7 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು "+" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಧನಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚದರ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಈ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯದ ತತ್ವವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಒಂದಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳಿಗೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹಾಕಲು ಸಾಕು.

ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು. a > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು +, -, +, ಮತ್ತು a ವೇಳೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< 0 – то − , + , − .

ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳಿಗೆ, ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಾವು ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: a > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು +, + ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ವೇಳೆ< 0 , то − , − .

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ a ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದದ ಚಿಹ್ನೆ ಎರಡಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ - 4 x 2 - 7 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ (ಅದರ ತಾರತಮ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ). x 2 ರ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕ - 4, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಂಧ - 7 ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-∞, + ∞) ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 8 x 2 - 4 x - 1 ≥ 0.

ಪರಿಹಾರ

ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 8 x 2 - 4 x - 1 ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. x ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕವು ಸಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತಾರತಮ್ಯದ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗ: D " = (- 2) 2 - 8 · (- 1) = 12 .

ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ವರ್ಗ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ನ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 ಮತ್ತು x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದ ಕಾರಣ, ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಮೂರು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. x 2 ರ ಗುಣಾಂಕವು 8 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು +, -, + ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ≥ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೇಲೆ ನಾವು ಛಾಯೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರದಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು:

ಉತ್ತರ:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) ಅಥವಾ x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ "ಖಾಲಿ" ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 7 ರೊಂದಿಗೆ.

ಈಗ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ (-∞, 7) ಮತ್ತು (7, + ∞) ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊನಿಯಲ್‌ನ ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಇಡುತ್ತೇವೆ - , -:

ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಎರಡೂ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿವೆ (-∞ , 7) , (7 , + ∞) .

ಉತ್ತರ:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ x ≠ 7 .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆ x 2 + x + 7 ಆಗಿದೆಯೇ< 0 решения?

ಪರಿಹಾರ

ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: D = 1 2 - 4 1 7 = 1 - 28 = - 27 . ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರವು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸದೆ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ಡಿ ನಲ್ಲಿ< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು "-" ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಛಾಯೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅಂತರಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಸಂ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ: "ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗ್ರೇಡ್ 9 ಗಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಹಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು
7-9 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ "ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ರೇಖಾಗಣಿತ"
ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣ 1C: "ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಗ್ರೇಡ್ 9"

ಹುಡುಗರೇ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈಗ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯೋಣ.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಈ ರೀತಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

$ax^2+bx+c>0$.

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಗುಣಾಂಕಗಳು a, b, c ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು ($a≠0$).
ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಸಹ ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ!

ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:
ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ $ax^2+bx+c$ ಋಣಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೀವು x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ತ್ರಿಪದಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ a.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
1. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $x^2-2x-8
ಪರಿಹಾರ:
$x^2-2x-8=0$ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
$x_1=4$ ಮತ್ತು $x_2=-2$.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. x-ಅಕ್ಷವು 4 ಮತ್ತು -2 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.
ನಮ್ಮ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ x- ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $x^2-2x-8 ಉತ್ತರ: $-2

2. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $5x-6

ಪರಿಹಾರ:
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: $-x^2+5x-6 ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮೈನಸ್ ಒಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯಬಾರದು: $x^2-5x+6>0$.
ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: $x_1=2$ ಮತ್ತು $x_2=3$.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, x-ಅಕ್ಷವು 2 ಮತ್ತು 3 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.


ನಮ್ಮ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $5x-6 ಉತ್ತರ: $x 3$.

3. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $2^2+2x+1≥0$.

ಪರಿಹಾರ:
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮ್ಮ ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: $D=2^2-4*2=-4 ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಚೌಕದ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉತ್ತರ: ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ, ಅಸಮಾನತೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: $x^2+x-2
ಪರಿಹಾರ:
ತ್ರಿಪದಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರಿಸೋಣ: $x_1=-2$ ಮತ್ತು $x_2=1$.

$x>1$ ಮತ್ತು $x ಆಗಿದ್ದರೆ $x>-2$ ಮತ್ತು $x ಉತ್ತರ: $x>-2$ ಮತ್ತು $x

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಮಧ್ಯಂತರ ಮಟ್ಟ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ದಿ ಅಲ್ಟಿಮೇಟ್ ಗೈಡ್ (2019)

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಏಕೆ ಬೇಕು ಎಂದು ನೀವು ಬಹುಶಃ ಯೋಚಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ) ಎಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ? ಹೌದು, ನೀವು ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡಬೇಕು ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿದಿನ ನೋಡುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ದೈಹಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ಚೆಂಡು ಹೇಗೆ ಹಾರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? "ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ"? ಅತ್ಯಂತ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ "ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ"! ಮತ್ತು ಕಾರಂಜಿಯಲ್ಲಿನ ಜೆಟ್ ಯಾವ ಪಥವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ? ಹೌದು, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ! ಬುಲೆಟ್ ಅಥವಾ ಶೆಲ್ ಹೇಗೆ ಹಾರುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ! ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ದೂರವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಚೆಂಡನ್ನು ಯಾವ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯಬೇಕು? ಅಥವಾ, ನೀವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಉಡಾವಣೆ ಮಾಡಿದರೆ ಉತ್ಕ್ಷೇಪಕವು ಎಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಇತ್ಯಾದಿ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಇಲ್ಲಿ ಸಮಾನರು ಯಾವುವು, ಮತ್ತು? ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ!

ಏನು ವೇಳೆ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ? ಒಳ್ಳೆಯದು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು "ದುಃಖ" ಆಗಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ! ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂದ, ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣವು 2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ!

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಬಹುದೇ? ಸರಿ, ಖಂಡಿತ ಅವರು ಮಾಡಬಹುದು! ನಾನು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ (ಇದು ರಹಸ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ): ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (ಮತ್ತು) ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ!

ಸರಿ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಮತ್ತು) ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಬದಲಾಗಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಶೃಂಗಗಳು ಈಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಹಂತದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ, ಅಕ್ಷಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇದು ಶಾಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. . ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಗ್ರಾಫ್ನ "ಚಲನೆ" ಗೆ ಅವರು ಜವಾಬ್ದಾರರು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲನೆಯದು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದರಿಂದ ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆ

ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು, ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು:

• ನಾವು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ.
• ನಾವು ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು x ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳು (ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಛೇದನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು) ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ;

ಇದೆಲ್ಲವೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಹತಾಶೆ ಅಥವಾ ಭಯಪಡಬೇಡಿ! ಈಗ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಜಾರಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ.

ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನಿವಾರ್ಯ ಯಶಸ್ಸು ನಮಗೆ ಕಾಯುತ್ತಿದೆ!

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್	ಉದಾಹರಣೆ:
1) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ (ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "=" ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ).
2) ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
3) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸಿ ("ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಅಥವಾ "ಕೆಳಗೆ")
4) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಇಡೋಣ: ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವಲ್ಲಿ, ನಾವು "" ಅನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ - "".
5) ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, "" ಅಥವಾ "" ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (ಗಳನ್ನು) ಬರೆಯಿರಿ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ನಂತರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಿನ್ ಮಾಡಿ!

ಉದಾಹರಣೆ:

ಸರಿ, ಅದು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆಯೇ? ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಾವು ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಗುರುತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ:

ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನಾವು ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಗುರುತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಕಾರ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದ ಕಾರಣ, ಉತ್ತರವು ಇರುತ್ತದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸೋಣ:

ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು "" ಆಗಿರುವುದರಿಂದ "" ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಕಾರ್ಯವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಮಧ್ಯಮ ಮಟ್ಟ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯ.

"ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವ ಮೊದಲು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಏನು ಎಂದು ನೆನಪಿಸೋಣ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ (ಅದು ಏನೆಂದು ನೆನಪಿದೆಯೇ?). "ಎ) ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು () - ಕೇವಲ ಋಣಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳು:

ಸಮೀಕರಣವು () ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಾರತಮ್ಯ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ), ಇದರರ್ಥ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ:

ನಂತರ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ, " .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಒಂದೇ ಒಂದು ಮೂಲವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸರಿ, ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಗುಣಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: "25((x)^(2))-30x+9

ಉತ್ತರಗಳು:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೊದಲು ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

• ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.
• ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:,

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವಿಧಗಳು:

ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ವಿಧಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:

ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್	ಉದಾಹರಣೆ:
1) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ (ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "" ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ).
2) ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
3) ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ತೋರಿಸಿ ("ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಅಥವಾ "ಕೆಳಗೆ")
4) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಇಡೋಣ: ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವಲ್ಲಿ, ನಾವು "" ಅನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ - "".
5) ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ "" ಅಥವಾ "" ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;