ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭದ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ಅವು ತುಂಬಾ ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿವೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇವು:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ಮತ್ತು ಹಾಗೆ...

ಆದರೆ ಈ (ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ) ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರಾಕ್ಷಸರು ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕಡ್ಡಾಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಮೊದಲನೆಯದು - ನೀವು ಅದನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ - ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.) ಎರಡನೆಯದು: x ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಇದೇ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಳಗೆ.ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ! X ಎಲ್ಲೋ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಹೊರಗೆ,ಉದಾಹರಣೆಗೆ, sin2x + 3x = 3,ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮಿಶ್ರ ಪ್ರಕಾರ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ದುಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.ಏಕೆ? ಹೌದು ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ದುಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಈ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಹಂತವು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.)

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

ಇಲ್ಲಿ ಎ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ.

ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಳಗೆ ಶುದ್ಧ X ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಹಾಗೆ:

cos(3x+π /3) = 1/2

ಮತ್ತು ಹಾಗೆ. ಇದು ಜೀವನವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗ: ತರ್ಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ನಾವು ಈ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗ - ಮೆಮೊರಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು - ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮರೆಯಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ.) ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಟ್ರಿಕಿ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಳ್ಳೆಯದು. ತರ್ಕವು ಸ್ಮರಣೆಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ!)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ? ಆದಾಗ್ಯೂ... ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ...) ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಠಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತ...... ಅದು ಏನು?" ಮತ್ತು "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು." ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ...)

ಓಹ್, ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಾ!? ಮತ್ತು "ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸ" ಸಹ ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್!? ಅಭಿನಂದನೆಗಳು. ಈ ವಿಷಯವು ನಿಮಗೆ ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ.) ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂತೋಷಕರವಾದದ್ದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವು ನೀವು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ - ಎಲ್ಲವೂ ಅವನಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ತತ್ವವಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಇದು:

cosx = 0.5

ನಾವು X ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಾವು ಮಾತನಾಡಿದರೆ ಮಾನವ ಭಾಷೆ, ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಕೋಸೈನ್ 0.5 ಆಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು (x) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಾವು ಹಿಂದೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಕಂಡಿತು ಈ ಕೋನದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈಗ ನಾವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ. 0.5 ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಸಮಾನವಾದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.) ಹೌದು, ಹೌದು!

ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ. ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಸಹಜವಾಗಿ. ಈ ರೀತಿ:

ಈಗ ಈ ಕೊಸೈನ್ ನಮಗೆ ನೀಡುವ ಕೋನವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿಮ್ಮ ಮೌಸ್ ಅನ್ನು ಸುಳಿದಾಡಿ (ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ), ಮತ್ತು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿಈ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ X.

ಯಾವ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ 0.5 ಆಗಿದೆ?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

ಕೆಲವರು ಸಂದೇಹದಿಂದ ನಕ್ಕರು, ಹೌದು ... ಹಾಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಾಗ ವೃತ್ತವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ ... ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಕ್ಕಬಹುದು ...) ಆದರೆ ಇದು ತಪ್ಪಾದ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಸಾಕಷ್ಟಿಲ್ಲ. 0.5 ರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಇತರ ಕೋನಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪೇ ಇಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವೃತ್ತದ ಅಭಿಜ್ಞರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ನೀವು ಚಲಿಸುವ ಬದಿಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ OA ಪೂರ್ಣ ತಿರುವು, ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಕೊಸೈನ್ 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ. ಕೋನವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ 360° ಅಥವಾ 2π ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಿಂದ, ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ - ಇಲ್ಲ.ಹೊಸ ಕೋನ 60° + 360° = 420° ಕೂಡ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ

ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ... ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಹೊಸ ಕೋನಗಳು ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಅವರೆಲ್ಲರೂ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಹೇಗಾದರೂ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ.ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಧಾರವು ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಹೌದು...)

ಗಣಿತವು ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೊಗಸಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಅನಂತ ಸೆಟ್ನಿರ್ಧಾರಗಳು. ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ನಾನು ಅದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ಇನ್ನೂ ಬರೆಯಿರಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿಕೆಲವು ನಿಗೂಢ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮೂರ್ಖತನದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸರಿ?)

π /3 - ಇದು ನಾವು ಅದೇ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿದೆ ಕಂಡಿತುವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆಕೊಸೈನ್ ಟೇಬಲ್ ಪ್ರಕಾರ.

2π ರೇಡಿಯನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಯಾಗಿದೆ.

ಎನ್ - ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ rpm ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎನ್ 0, ± 1, ± 2, ± 3 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.... ಹೀಗೆ. ಕಿರು ನಮೂದು ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ:

n ∈ Z

ಎನ್ ಸೇರಿದೆ ( ∈ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ( Z ) ಮೂಲಕ, ಅಕ್ಷರದ ಬದಲಿಗೆ ಎನ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು ಕೆ, ಎಂ, ಟಿ ಇತ್ಯಾದಿ

ಈ ಸಂಕೇತವು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದರ್ಥ ಎನ್ . ಕನಿಷ್ಠ -3, ಕನಿಷ್ಠ 0, ಕನಿಷ್ಠ +55. ನೀವು ಏನು ಬೇಕಾದರೂ. ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಮ್ಮ ಕಠಿಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.)

ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, x = π /3 ಅನಂತ ಗುಂಪಿನ ಏಕೈಕ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, π /3 ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಕು ( ಎನ್ ) ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ. ಆ. 2πn ರೇಡಿಯನ್.

ಎಲ್ಲಾ? ಸಂ. ನಾನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಸಂತೋಷವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇನೆ. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು.) ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಗಳ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾನು ಈ ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ 0.5 ರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಕೋನಗಳೂ ಇವೆ!

ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆದ ನಮ್ಮ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಇದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿಮ್ಮ ಮೌಸ್ ಅನ್ನು ಸುಳಿದಾಡಿ ಮತ್ತು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆಇನ್ನೊಂದು ಕೋನ 0.5 ರ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ.ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ? ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ... ಹೌದು! ಅವನು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X , ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿಳಂಬವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮೂಲೆ -ಎಕ್ಸ್. ಆದರೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ x ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ. π /3 ಅಥವಾ 60°. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 2 = - π /3

ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ಈಗ ಅಷ್ಟೆ.) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡಿತು(ಯಾರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ)) ಎಲ್ಲಾಕೋಸೈನ್ 0.5 ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಕೋನಗಳು. ಮತ್ತು ಈ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಗಣಿತದ ರೂಪ. ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ.

ಭರವಸೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕೊಸೈನ್ (ಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್) ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವ ಮೂಲೆಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಕಂಡಿತುವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅದು ಅಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಇಲ್ಲಿ ತರ್ಕ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಿದೆ.)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ನೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ 0.5 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ!) ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗಿಂತ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಲು ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಗುರುತು (ಸೈನ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ, ಸಹಜವಾಗಿ!) 0.5. ಈ ಸೈನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲು ಕೋನವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸೋಣ X ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ. ನಾವು ಸೈನ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸರಳ ವಿಷಯ:

x = π /6

ನಾವು ಪೂರ್ಣ ತಿರುವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಆತ್ಮಸಾಕ್ಷಿಯೊಂದಿಗೆ, ಉತ್ತರಗಳ ಮೊದಲ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

ಅರ್ಧ ಕೆಲಸ ಮುಗಿದಿದೆ. ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎರಡನೇ ಮೂಲೆ...ಇದು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮೋಸದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಹೌದು... ಆದರೆ ತರ್ಕವು ನಮ್ಮನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ! ಎರಡನೇ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು x ಮೂಲಕ? ಇದು ಸುಲಭ! ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಂಪು ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವೆ X ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X . ಋಣಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ π ಕೋನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅದು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿದೆ.) ಮತ್ತು ಉತ್ತರಕ್ಕಾಗಿ ನಮಗೆ ಕೋನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಸರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ OX ನಿಂದ, ಅಂದರೆ. 0 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಿಂದ.

ನಾವು ಕರ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಸುಳಿದಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸದಂತೆ ನಾನು ಮೊದಲ ಮೂಲೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದೆ. ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನವು (ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

π - x

X ಇದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ π /6 . ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಕೋನವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

π - π /6 = 5π /6

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳ ಎರಡನೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ಅಷ್ಟೇ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಉತ್ತರವು ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಹಜವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೆಳೆಯುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇನೆ: 0.5. ಆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಬಾಧ್ಯತೆ.ಈಗ ನಮ್ಮ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು.ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿ!)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಇಂತಹ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಕೋಷ್ಟಕಗಳುಸಂ. ಈ ಭಯಾನಕ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಾವು ತಣ್ಣಗೆ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಕೊಸೈನ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ 2/3 ಅನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ನೋಡೋಣ. x ಎಂದರೆ ಏನು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ! ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ... ಸೋಲು!? ಶಾಂತ! ಗಣಿತವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಜನರನ್ನು ತೊಂದರೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಡುವುದಿಲ್ಲ! ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅವಳು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದಳು. ಗೊತ್ತಿಲ್ಲವೇ? ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನೀವು ಯೋಚಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಈ ಲಿಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ "ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ" ಬಗ್ಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಟ್ರಿಕಿ ಕಾಗುಣಿತವಿಲ್ಲ... ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಅತಿರೇಕವಾಗಿದೆ.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದಾದರೆ, ನಿಮಗೆ ನೀವೇ ಹೇಳಿ: "X ಎಂಬುದು ಕೋಸೈನ್ 2/3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ." ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊದಲ ಸರಣಿಯನ್ನು ಶಾಂತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 1 = ಆರ್ಕೋಸ್ 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ಎರಡನೇ ಕೋನದ ಬೇರುಗಳ ಎರಡನೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ಎಕ್ಸ್ (ಆರ್ಕೋಸ್ 2/3) ಮಾತ್ರ ಮೈನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ:

x 2 = - ಆರ್ಕೋಸ್ 2/3 + 2π n, n ∈ Z

ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲಿದೆ! ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ. ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಸುಲಭ. ಯಾವುದನ್ನೂ ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.) ಮೂಲಕ, ಈ ಚಿತ್ರವು ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಹರಿಸುವವರು ಗಮನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, cosx = 0.5 ಸಮೀಕರಣದ ಚಿತ್ರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದು ಸರಿ! ಸಾಮಾನ್ಯ ತತ್ವಅದಕ್ಕೇ ಇದು ಕಾಮನ್! ನಾನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದೆ. ವೃತ್ತವು ನಮಗೆ ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ X ಅದರ ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ. ಇದು ಟ್ಯಾಬ್ಯುಲರ್ ಕೊಸೈನ್ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಕೋನ, π /3, ಅಥವಾ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್ ಯಾವುದು - ಅದು ನಮಗೆ ಬಿಟ್ಟದ್ದು.

ಸೈನ್ ಜೊತೆ ಅದೇ ಹಾಡು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಮತ್ತೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಸೈನ್ ಅನ್ನು 1/3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ, ಕೋನಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಚಿತ್ರ ಇದು:

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಚಿತ್ರವು ಸಮೀಕರಣದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ sinx = 0.5.ಮತ್ತೆ ನಾವು ಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಸೈನ್ 1/3 ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ X ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಪ್ರಶ್ನೆಯೇ ಇಲ್ಲ!

ಈಗ ಬೇರುಗಳ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾಕ್ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ:

x 1 = ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ಎರಡನೇ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ. 0.5 ರ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

π - x

ಇಲ್ಲಿಯೂ ಅದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ! x ಮಾತ್ರ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆರ್ಕ್‌ಸಿನ್ 1/3. ಹಾಗಾದರೆ ಏನು!? ನೀವು ಎರಡನೇ ಪ್ಯಾಕ್ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x 2 = π - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ 1/3 + 2π n, n ∈ Z

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.)

ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾರ್ಗವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಸುವವನು ಅವನು - ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವಾಗಲೂ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ.

ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸೋಣವೇ?)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಈ ಪಾಠದಿಂದ ಮೊದಲ, ಸರಳ, ನೇರವಾಗಿ.

ಈಗ ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ.

ಸುಳಿವು: ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವಲಯದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬೇಕು. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ.)

ಮತ್ತು ಈಗ ಅವರು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸರಳರಾಗಿದ್ದಾರೆ ... ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಸಿಂಕ್ಸ್ = 0

ಸಿಂಕ್ಸ್ = 1

cosx = 0

cosx = -1

ಸುಳಿವು: ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಣಿ ಉತ್ತರಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ... ಮತ್ತು ಎರಡು ಸರಣಿಯ ಉತ್ತರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು. ಹೌದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಮೂಲವು ಕಳೆದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ!)

ಸರಿ, ತುಂಬಾ ಸರಳ):

ಸಿಂಕ್ಸ್ = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ಸುಳಿವು: ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಏನೆಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕು? ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದರೇನು? ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಆದರೆ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಟೇಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ!)

ಉತ್ತರಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ:

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - ಆರ್ಕ್ಸಿನ್0.3 + 2

ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಠವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಓದಿ. ಮಾತ್ರ ಚಿಂತನಶೀಲವಾಗಿ(ಅದು ಇದೆ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಪದ...) ಮತ್ತು ಲಿಂಕ್‌ಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ. ಮುಖ್ಯ ಲಿಂಕ್‌ಗಳು ವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ. ಇಲ್ಲದೇ ಹೋದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಬಟ್ಟೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಂಡು ರಸ್ತೆ ದಾಟಿದಂತೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ.)

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪಾಪ x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳುನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅವರ ಪರಿಹಾರವು ನಿಯಮದಂತೆ, ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪಾಪ 2 X= cos Xಪಾಪ 2 x.

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪಾಪ 2 X(1 - ಕಾಸ್ X) = 0.

ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯ, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಪಾಪ 2 X = 0 , ನಂತರ 2 X= ಎನ್ π ; X = π / 2 ಎನ್.

ಒಂದು ವೇಳೆ 1 - ಕಾಸ್ X = 0 , ನಂತರ cos X = 1; X = 2 ಕೆπ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: X = π / 2 ಎನ್; X = 2 ಕೆπ . ಎರಡನೆಯ ಗುಂಪಿನ ಬೇರುಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ n = 4k ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ X = π / 2 ಎನ್ಗೆ ಮನವಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ
X = 2 ಕೆπ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಒಂದು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: X = π / 2 ಎನ್, ಎಲ್ಲಿ ಎನ್- ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

ಪಾಪ 2 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ x. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಡಿತದ ನಂತರ ನಾವು 1 - cos x = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X= 2 ಕೆ π . ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕೆಲವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ π / 2 , π , 3π / 2 .

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಒಂದು ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅದಕ್ಕೇ ಪಾಪ 2 X = 0 , ಎಲ್ಲಿಂದ 2 X= ಎನ್ π ; X = π / 2 ಎನ್.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ X ನೀವು ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಹೊರಹಾಕಬೇಕು ಪಾಪX ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ: ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗುಣಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ π . ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ
X = π / 2 ಎನ್ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ

X = π / 2 (2k + 1),

ಇಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

2 ಪಾಪ 2 X+ 7ಕೋಸ್ x - 5 = 0.

ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ಪಾಪ 2 X ಮೂಲಕ cosx : ಪಾಪ 2 X = 1 - ಕಾಸ್ 2x . ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು

2 (1 - ಕಾಸ್ 2 x) + 7ಕೋಸ್ x - 5 = 0 , ಅಥವಾ

2ಕೋಸ್ 2 x- 7 ಕಾಸ್ x + 3 = 0.

ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವುದು cosx ಮೂಲಕ ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ಇದರ ಮೂಲಗಳು 1/2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರರ್ಥ cos x= 1/2, ಅಥವಾ cos X= 3. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೆಯದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅದನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಳಿದಿದೆ cos x = 1 / 2 , ಎಲ್ಲಿ

x = ± 60° + 360° n.

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

2 ಪಾಪ X+ 3 ಕಾಸ್ x = 6.

ಪಾಪದಿಂದ xಮತ್ತು cos xಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಮೀರಬಾರದು, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ
2 ಪಾಪ X+ 3 ಕಾಸ್ x ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ 5 . ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪಾಪ X+cos x = 1

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪಾಪ 2 X+ 2 ಪಾಪ x cos x+ ಕಾಸ್ 2 x = 1,

ಆದರೆ ಪಾಪ 2 X + ಕಾಸ್ 2 x = 1 . ಅದಕ್ಕೇ 2 ಪಾಪ x cos x = 0 . ಒಂದು ವೇಳೆ ಪಾಪ x = 0 , ಅದು X = ಎನ್π ; ಒಂದು ವೇಳೆ
cos x , ಅದು X = π / 2 + ಕೆπ . ಈ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

X = π / 2 ಎನ್

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ನಾವು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಬೇರುಗಳಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಚೆಕ್ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಥಗಳು

X = π / 2 ಎನ್ 4 ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು

	1) X = 2ಕೆπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2ಕೆπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2ಕೆπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2ಕೆπ .	(n = 4k + 3)

ನಲ್ಲಿ X = 2kπಪಾಪ x+cos x= 0 + 1 = 1. ಆದ್ದರಿಂದ, X = 2kπಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ.

ನಲ್ಲಿ X = π / 2 + 2kπ. ಪಾಪ x+cos x= 1 + 0 = 1 ಆದ್ದರಿಂದ X = π / 2 + 2kπ- ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಸಹ.

ನಲ್ಲಿ X = π + 2kπಪಾಪ x+cos x= 0 - 1 = - 1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯಗಳು X = π + 2kπಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ X = 3π / 2 + 2kπ. ಬೇರುಗಳಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: X = 2kπಮತ್ತು X = π / 2 + 2mπ., ಎಲ್ಲಿ ಕೆಮತ್ತು ಮೀ- ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

ಅನೇಕವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗ್ರೇಡ್ 10 ಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲು ಸಂಭವಿಸುವ, ಗುರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್‌ಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ನೀವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುವ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸರಿಯಾಗಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಇದರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.ಸಮೀಕರಣವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ.

ಮೂಲಕ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಸಮೀಕರಣ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ತಿಳಿಯದೆ, ಹಲವಾರು ಡಜನ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸರಿಯಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು:

1. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು "ಅದೇ ಕೋನಗಳಿಗೆ" ತರಲು;
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು "ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ" ತರಲು;
3. ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದ ಅಂಶ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳು.

I. ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಡಿತ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ಎಕ್ಸ್ಪ್ರೆಸ್ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯತಿಳಿದಿರುವ ಘಟಕಗಳ ಮೂಲಕ.

ಹಂತ 2.ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

cos x = a; x = ± ಆರ್ಕೋಸ್ a + 2πn, n ЄZ.

ಪಾಪ x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

ತನ್ x = a; x = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

ಹಂತ 3.ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

ಪರಿಹಾರ.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ಉತ್ತರ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ.

ಹಂತ 2.ವೇರಿಯೇಬಲ್ t ನಿಂದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, t ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ).

ಹಂತ 3.ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಹಂತ 4.ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಿ ಮಾಡಿ.

ಹಂತ 5.ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

ಪರಿಹಾರ.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) ಪಾಪ (x/2) = t, ಎಲ್ಲಿ |t| ≤ 1.

3) 2ಟಿ 2 + 5ಟಿ + 3 = 0;

t = 1 ಅಥವಾ e = -3/2, ಷರತ್ತು |t| ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ ≤ 1.

4) ಪಾಪ(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

ಉತ್ತರ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. ಸಮೀಕರಣ ಆದೇಶ ಕಡಿತ ವಿಧಾನ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ಪದವಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ:

ಪಾಪ 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

ಹಂತ 2. I ಮತ್ತು II ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

ಪರಿಹಾರ.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 ಕಾಸ್ 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

ಉತ್ತರ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ

a) a sin x + b cos x = 0 (ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ)

ಅಥವಾ ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ಎರಡನೆಯ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ).

ಹಂತ 2.ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ

a) cos x ≠ 0;

ಬಿ) ಕಾಸ್ 2 x ≠ 0;

ಮತ್ತು tan x ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x + c = 0.

ಹಂತ 3.ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

ಪರಿಹಾರ.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t ಆಗಿರಲಿ

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ಅಥವಾ t = -4, ಅಂದರೆ

tg x = 1 ಅಥವಾ tg x = -4.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x = π/4 + πn, n Є Z; ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

ಉತ್ತರ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವಿಧಾನ

ಪರಿಹಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರ

ಹಂತ 1.ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು I, II, III, IV ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ.

ಹಂತ 2.ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಪಾಪ x + ಪಾಪ 2x + ಪಾಪ 3x = 0.

ಪರಿಹಾರ.

1) (ಸಿನ್ x + ಪಾಪ 3x) + ಪಾಪ 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) ಪಾಪ 2x (2cos x + 1) = 0;

ಪಾಪ 2x = 0 ಅಥವಾ 2cos x + 1 = 0;

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ 2x = π/2 + πn, n Є Z; ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ cos x = -1/2.

ನಮ್ಮಲ್ಲಿ x = π/4 + πn/2, n Є Z; ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ಉತ್ತರ: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಅವರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಕಡೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರ ಕಡೆಯಿಂದ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಯತ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕಲಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು, ನೋಂದಾಯಿಸಿ.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ - ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳು. ಅವರನ್ನು ಮರೆತಿರುವ ಅಥವಾ ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದವರಿಗೆ, "" ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸಮಯ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದುನಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನ- ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತೇಜಕ ಚಟುವಟಿಕೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೂಬಿಕ್ಸ್ ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಹೆಸರಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ಸರಳವಾದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಅವರು ಹೇಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ: sinx = a, cos x = a, tan x = a. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

sinx = a

cos x = a

ತನ್ x = a

cot x = a

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ 7 ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ.

1. ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ

2cos 2 (x + /6) – 3sin (/3 – x) +1 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲು cos(x + /6) ಅನ್ನು y ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ:

2y 2 – 3y + 1 + 0

ಇದರ ಬೇರುಗಳು y 1 = 1, y 2 = 1/2

ಈಗ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೋಗೋಣ

ನಾವು y ಯ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಉತ್ತರ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2. ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

sin x + cos x = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ 0 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ:

sin x + cos x – 1 = 0

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಪಾಪ x - 2 ಪಾಪ 2 (x/2) = 0

ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸೋಣ:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

3. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿತ

ಸಮೀಕರಣವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಒಂದೇ ಕೋನದ ಅದೇ ಶಕ್ತಿಯ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ:

ಎ) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ;

ಬಿ) ಆವರಣದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ;

ಸಿ) ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು 0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ;

d) ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ;

ಇ) tg ಗಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

sin 2 x + cos 2 x = 1 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ತೆರೆದ ಎರಡನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ಅನ್ನು y ಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:

y 2 + 4y +3 = 0, ಇದರ ಬೇರುಗಳು y 1 =1, y 2 = 3

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

x 2 = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ 3 + ಕೆ

4. ಅರ್ಧ ಕೋನಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

3sin x – 5cos x = 7 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ನಾವು x/2 ಗೆ ಹೋಗೋಣ:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos (x/2) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. ಸಹಾಯಕ ಕೋನದ ಪರಿಚಯ

ಪರಿಗಣನೆಗೆ, ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: a sin x + b cos x = c,

ಇಲ್ಲಿ a, b, c ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು x ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ:



ಈಗ ಪ್ರಕಾರ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳುಸಿನ್ ಮತ್ತು ಕಾಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ = 1. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಾಸ್ ಮತ್ತು ಸಿನ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ - ಇದು ಸಹಾಯಕ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

cos * sin x + sin * cos x = C

ಅಥವಾ sin(x + ) = C

ಈ ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ

x = (-1) k * arcsin C - + k, ಅಲ್ಲಿ



ಕಾಸ್ ಮತ್ತು ಪಾಪದ ಸಂಕೇತಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

sin 3x – cos 3x = 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು:

a = , b = -1, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು = 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿಳಾಸ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಇಮೇಲ್ಇತ್ಯಾದಿ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಮ್ಮಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಮಗೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಆಡಿಟ್‌ಗಳು, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ಕಾನೂನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಸರ್ಕಾರಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ವಿನಂತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.