3 ಕೋನಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬಹುದೇ? ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, "ಕೋನ", "ಲಂಬ ಕೋನಗಳು", "ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು?

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು - ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

"ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು" ಎಂಬ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಿರಣದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎರಡು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕಿರಣಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಬರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಎರಡೂ ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು - ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅಂತಹ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಅದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯು 180 ° ಆಗಿದೆ:

• μ ಮತ್ತು η ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, μ + η = 180°.
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, μ), ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ η = 180 ° - μ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡನೇ ಕೋನದ (η) ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.

2. ಕೋನಗಳ ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನ ಲಂಬ ಕೋನ, ನೇರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು(sin, cos, tg, ctg), ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ μ ಮತ್ತು η ಗಾಗಿ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

• sinη = ಪಾಪ(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು - ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

M, P, Q - ΔMPQ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM ಕೋನಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

• ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ.
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕೋನದವರೆಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಇದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠QMP ∠LMP,

ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠MPQ ∠SPQ,

ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠PQM ∠HQP ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಒಂದು ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವು 35 ° ಆಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ ಏನು?

• ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು 180 ° ವರೆಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ.
• ∠μ = 35° ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ∠η = 180° – 35° = 145°.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯು ಇತರ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

• ನಾವು ಒಂದು (ಸಣ್ಣ) ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ – ∠μ = λ.
• ನಂತರ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡನೇ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವು ∠η = 3λ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, μ + η = 180 ° ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

ಇದರರ್ಥ ಮೊದಲ ಕೋನ ∠μ = λ = 45°, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕೋನ ∠η = 3λ = 135°.

ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಞಾನವು ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ಬದಿಯನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗದ ಆಚೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 72): ∠ABC ಮತ್ತು ∠CBD, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ BC ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು, AB ಮತ್ತು BD, ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೆರಡು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಹ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: ನಾವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣವನ್ನು ಎಳೆದರೆ (ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿಲ್ಲ), ನಾವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ∠ADF ಮತ್ತು ∠FDB ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 73).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 74).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಕೋನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 54° ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯ ಕೋನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

180° - 54° = l26°.

2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು ಮೀರಿ ಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 75 ರಲ್ಲಿ, EOF ಮತ್ತು AOC ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ; AOE ಮತ್ತು COF ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(ಚಿತ್ರ 76) ಎಂದು ಬಿಡಿ. ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, ಅಂದರೆ 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ∠3 ಮತ್ತು ∠4 ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (ಚಿತ್ರ 77).

ನಾವು ∠1 = ∠3 ಮತ್ತು ∠2 = ∠4 ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದು.

ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 78):

∠a +∠ಸಿ= 180 °;

∠b+∠ಸಿ= 180 °;

(ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ).

∠a +∠ಸಿ = ∠b+∠ಸಿ

(ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಲಭಾಗವು 180 ° ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದೇ ಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಜೊತೆಗೆ.

ನಾವು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ∠ಎ = ∠ಬಿ, ಅಂದರೆ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಚಿತ್ರ 79 ರಲ್ಲಿ, ∠1, ∠2, ∠3 ಮತ್ತು ∠4 ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

ಚಿತ್ರ 80 ರಲ್ಲಿ, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ಮತ್ತು ∠5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಕೋನಗಳು ಪೂರ್ಣ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

ಅಧ್ಯಾಯ I.

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

§ಹನ್ನೊಂದು. ಪಕ್ಕದ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ಮೂಲೆಗಳು.

1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ಬದಿಯನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗದ ಆಚೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 72): / ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯ ಮತ್ತು / SVD, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಡೆ BC ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡು A ಮತ್ತು BD ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೆರಡು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಹ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: ನಾವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣವನ್ನು ಎಳೆದರೆ (ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿಲ್ಲ), ನಾವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, / ADF ಮತ್ತು / FDВ - ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು (ಚಿತ್ರ 73).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 74).

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಉಮ್ಮಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 2ಡಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಕೋನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 3/5 ಆಗಿದ್ದರೆ ಡಿ, ನಂತರ ಎರಡನೇ ಕೋನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

2ಡಿ- 3 / 5 ಡಿ= ಎಲ್ 2/5 ಡಿ.

2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು.

ನಾವು ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು ಮೀರಿ ಕೋನದ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರ 75 ರಲ್ಲಿ, EOF ಮತ್ತು AOC ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ; AOE ಮತ್ತು COF ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ / 1 = 7 / 8 ಡಿ(ಚಿತ್ರ 76). ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ / 2 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಡಿ- 7 / 8 ಡಿ, ಅಂದರೆ 1 1/8 ಡಿ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು / 3 ಮತ್ತು / 4.
/ 3 = 2ಡಿ - 1 1 / 8 ಡಿ = 7 / 8 ಡಿ; / 4 = 2ಡಿ - 7 / 8 ಡಿ = 1 1 / 8 ಡಿ(ರೇಖಾಚಿತ್ರ 77).

ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ / 1 = / 3 ಮತ್ತು / 2 = / 4.

ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ನೀವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ: ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದು.

ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ, ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 78):

/ a +/ ಸಿ = 2ಡಿ;
/ b+/ ಸಿ = 2ಡಿ;

(ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಡಿ).

/ a +/ ಸಿ = / b+/ ಸಿ

(ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವು ಸಹ 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಡಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಬಲಭಾಗವು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಡಿ).

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದೇ ಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಜೊತೆಗೆ.

ನಾವು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: / ಎ = / ಬಿ, ಅಂದರೆ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ವಿವರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಲಂಬ ಕೋನಗಳು.

ನಂತರ ನಾವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಪು (ಹೇಳಿಕೆ) ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ಈ ತೀರ್ಪಿನ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ತೀರ್ಪುಗಳು, ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 79 ರಂದು / 1, / 2, / 3 ಮತ್ತು / 4 ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೋನಗಳು ನೇರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ಡಿ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 80 ರಂದು / 1, / 2, / 3, / 4 ಮತ್ತು / 5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಈ ಕೋನಗಳು ಪೂರ್ಣ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ಡಿ.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು.

1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 0.72 ಆಗಿದೆ ಡಿ.ಈ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

2. ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

3. ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

4. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ 81 ರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಜೋಡಿ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಿವೆ?

5. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಯು ಎರಡು ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದೇ? ಎರಡು ಮೊನಚಾದ ಕೋನಗಳಿಂದ? ಬಲ ಮತ್ತು ಚೂಪಾದ ಕೋನಗಳಿಂದ? ನೇರದಿಂದ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಕೋನ?

6. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನದ ಗಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

7. ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಗಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕೋನಗಳ ಇತರ ಬದಿಗಳು ಪೂರಕ ಕಿರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಚಿತ್ರ 20 ರಲ್ಲಿ, AOB ಮತ್ತು BOC ಕೋನಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಬೀಮ್ OB (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ) ತೆರೆದ ಕೋನದ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಒಂದು ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಬದಿಗಳ ಪೂರಕ ಕಿರಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳು AOB ಮತ್ತು COD, BOD ಮತ್ತು AOC, ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. AOB ಮತ್ತು COD ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ). BOD ಕೋನವು AOB ಮತ್ತು COD ಕೋನಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

ಇದರಿಂದ ನಾವು ∠ AOB = ∠ COD ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಎಸಿ ಮತ್ತು ಬಿಡಿ (ಚಿತ್ರ 3) ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅವು ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಕೋನ 1), ನಂತರ ಉಳಿದ ಕೋನಗಳು ಸಹ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 2, 1 ಮತ್ತು 4 ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಕೋನಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿ (ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. AC ಮತ್ತು BD ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: AC ⊥ BD.

ಒಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಎಎನ್ - ಒಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ

ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 4). ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ H ಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ. AN ಮತ್ತು a ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ a ಗೆರೆಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ AN ವಿಭಾಗವನ್ನು ಲಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ H ಅನ್ನು ಲಂಬವಾದ ಆಧಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಚೌಕ

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿಲ್ಲ, ಈ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಲು, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ (ಚಿತ್ರ 5).

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಭಾಗವು ಏನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ತೀರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ತೀರ್ಮಾನ - ಈ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯು "ಇಫ್" ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ತೀರ್ಮಾನವು "ನಂತರ" ಪದದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮೇಯ 2 ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು: "ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ."

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 44° ಆಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮ?

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ.
44° + x = 180°.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು x = 136 ° ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇತರ ಕೋನವು 136 ° ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಚಿತ್ರ 21 ರಲ್ಲಿ COD ಕೋನವು 45 ° ಆಗಿರಲಿ. AOB ಮತ್ತು AOC ಕೋನಗಳು ಯಾವುವು?

ಪರಿಹಾರ. ಕೋನಗಳು COD ಮತ್ತು AOB ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 1.2 ರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ∠ AOB = 45 °. ಕೋನ AOC ಕೋನ COD ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ 3 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಚಿಕ್ಕ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆ 3x ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° (ಪ್ರಮೇಯ 1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ x + 3x = 180 °, ಅಲ್ಲಿಂದ x = 45 °.
ಇದರರ್ಥ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು 45 ° ಮತ್ತು 135 °.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 100 ° ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಚಿತ್ರ 2 ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿ COD ನಿಂದ AOB ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 2), ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ 100°). ಕೋನ BOD (ಕೋನ AOC) ಕೋನ COD ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ನಿಖರವಾದ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಶಾಲೆಗಳು, ಕಾಲೇಜುಗಳು, ಸಂಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಇಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಮಗುವಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪೋಷಕರು ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಗಣಿತದಿಂದ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮರೆತಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪಕ್ಕದ ಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಮಸ್ಯೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಅಜ್ಞಾನದಿಂದಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಡೇಟಾದಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳು "ಪ್ಲೇನ್ ಕೋನ" ಎಂಬ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಹಂತವನ್ನು ಕೋನದ ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಿರಣಗಳು ಅದರ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ. ನೀವು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಮೀರಿ ಕಿರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತೊಂದು ಕೋನವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನವು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪಕ್ಕದ ಕೋನವಿರುತ್ತದೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೇರಿವೆ

• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ;
• ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಡೆಸಿದರೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ Pi ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಸೈನ್‌ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

• ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ;
• ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ;
• ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಲಂಬ ಕೋನ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಪಕ್ಕದ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ನೀವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ - ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪೂರ್ಣ ಬಿಚ್ಚಿದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವು ಅನುಪಾತದ ಸಮೀಕರಣದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

1. ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ "Y" ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
2. ಪಕ್ಕದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಭಾಗವನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ "X" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
3. ಪ್ರತಿ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "a" ನಿಂದ.
4. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ - a*X+a*Y=180 ಅಥವಾ a*(X+Y)=180.
5. a=180/(X+Y) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "a" ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
6. ನಂತರ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದ "a" ನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಕೋನದ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೋನವನ್ನು ಪೈ ಮೂಲಕ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಲಂಬ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಲಂಬ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಪಕ್ಕದ ಕೋನವನ್ನು ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಂಬ ಕೋನವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹುಟ್ಟುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಕನ್ನಡಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ. ಇದರರ್ಥ ಲಂಬ ಕೋನವು ಮುಖ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಲಂಬ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ಕೋನವು ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಂದ ಲಂಬ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಲಂಬ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪೂರ್ಣ ಬಿಚ್ಚಿದ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವು ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮ ಉಪಯುಕ್ತ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಸಹ ಓದಬಹುದು ಮತ್ತು.