ഫാക്‌ടറിംഗ് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ എങ്ങനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാം: ഫോർമുല

ax^2 + bx + c എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദമാണ് സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളും a ≠ 0 ആണ്.

ഒരു ട്രൈനോമിയലിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നതിന്, ആ ത്രിപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. (5x^2 + 3x- 2 എന്ന ട്രൈനോമിയലിൽ ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി)

ശ്രദ്ധിക്കുക: ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ 5x^2 + 3x - 2 ൻ്റെ മൂല്യം x ൻ്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്: x = 0 ആണെങ്കിൽ, 5x^2 + 3x - 2 = -2

x = 2 ആണെങ്കിൽ, 5x^2 + 3x - 2 = 24

x = -1 ആണെങ്കിൽ, 5x^2 + 3x - 2 = 0

x = -1-ൽ, 5x^2 + 3x - 2 എന്ന സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ -1 എന്ന സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട്.

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എങ്ങനെ ലഭിക്കും

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എങ്ങനെ ലഭിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തവും ഫോർമുലയും നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി അറിയേണ്ടതുണ്ട്:

"x1, x2 എന്നിവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ax^2 + bx + c യുടെ വേരുകളാണെങ്കിൽ, ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഈ സൂത്രവാക്യം ഏറ്റവും പ്രാകൃതമായ ഫോർമുലയാണ്, ഇത് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഒരിക്കലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകില്ല.

പദപ്രയോഗം 5x^2 + 3x – 2 ആണ്.

1. പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങളെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (a എന്നത് X^2 ൻ്റെ ഗുണകമാണ്, b എന്നത് X ൻ്റെ ഗുണകമാണ്, അതായത് X ഇല്ലാത്ത ചിത്രം ):

സ്ക്വയർ റൂട്ടിന് മുന്നിൽ പ്ലസ് ചിഹ്നമുള്ള ആദ്യ റൂട്ട് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

വർഗ്ഗമൂലത്തിന് മുന്നിൽ മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട്:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി. അവ ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം: ആദ്യം ഞങ്ങൾ ആദ്യ റൂട്ട് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത്:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

എല്ലാ വേരുകളും മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, സമവാക്യം പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ശരിയായി പരിഹരിക്കപ്പെടും.

3. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), X1, X2 എന്നിവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെന്ന് ഓർക്കുക. അതിനാൽ: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. വിഘടനം ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഗുണിക്കാം:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x - 0.4) = 5x^2 + 3 - 2. ഇത് ശരിയാണെന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു തീരുമാനത്തിൻ്റെ.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ വിയറ്റിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിലേക്കുള്ള വിപരീത സിദ്ധാന്തമാണ്. ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഇവിടെ കണ്ടെത്തുന്നു: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. എന്നാൽ ഗുണകം a = 1, അതായത് x^2 = 1 ന് മുന്നിലുള്ള സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ എന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

ഉൽപ്പന്നത്തിലെ ഏത് നമ്പറുകളാണ് ഒന്ന് നൽകുന്നത് എന്ന് ഇപ്പോൾ ചിന്തിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്? സ്വാഭാവികമായും ഇത് 1 * 1 ഒപ്പം -1 * (-1) . ഈ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് x1 + x2 = 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് അനുയോജ്യമായവ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, തീർച്ചയായും - ഇത് 1 + 1 ആണ്. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി: x1 = 1, x2 = 1. ഇത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് x^2 പകരം വയ്ക്കുക - 2x + 1 = 0.

ഈ പാഠത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലുകളെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവും അതിൻ്റെ സംഭാഷണവും നാം ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ വൈദഗ്ദ്ധ്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലുകൾ രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വേഗത്തിലും സൗകര്യപ്രദമായും വികസിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കും, കൂടാതെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറവ് ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യും.

അതിനാൽ നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം, എവിടെ .

നമുക്ക് ഇടതുവശത്തുള്ളതിനെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്:ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ, ഐഡൻ്റിറ്റി നിലനിർത്തുന്നു

മുൻനിര ഗുണകം എവിടെയാണ്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ.

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട് - ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ, അവിടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ട്രൈനോമിയൽ രേഖീയ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം.

തെളിവ്:

തെളിവ് ഈ വസ്തുതഞങ്ങൾ മുൻ പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നമ്മോട് പറയുന്നത് ഓർക്കുക:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ ആണെങ്കിൽ, .

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന പിന്തുടരുന്നു:

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഈ മൂല്യങ്ങളെ മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.

ക്യു.ഇ.ഡി.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ, വികാസം സാധുവാണ് എന്ന സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചതായി ഓർക്കുക.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇപ്പോൾ ഓർക്കാം. ഈ വസ്തുതയിൽ നിന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തിന് നന്ദി, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഇപ്പോൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ഈ വസ്തുതയുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കാം:

നമ്മൾ കൃത്യമായി ഫാക്റ്റർ ചെയ്തതായി കാണുന്നു, ഏതെങ്കിലും ട്രൈനോമിയലിന് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് ഫോർമുല അനുസരിച്ച് രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം.

എന്നിരുന്നാലും, ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിന് അത്തരം ഘടകവൽക്കരണം സാധ്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം എടുക്കുക. ആദ്യം, നമുക്ക് വിവേചന ചിഹ്നം പരിശോധിക്കാം

ഞങ്ങൾ പഠിച്ച സിദ്ധാന്തം നിറവേറ്റുന്നതിന്, D 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, അതിനാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പഠിച്ച സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ അസാധ്യമാണ്.

അതിനാൽ, നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം പുതിയ സിദ്ധാന്തം: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിന് വേരുകളില്ലെങ്കിൽ, അതിനെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പരിശോധിച്ചു, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിനെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാനുള്ള സാധ്യത, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1

ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ പ്രശ്‌നം ഉന്നയിച്ചതിന് വിപരീതമായി പരിഹരിക്കും. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടായിരുന്നു, അതിനെ ഫാക്‌ടർ ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി. ഇവിടെ നമ്മൾ നേരെ വിപരീതമായി ചെയ്യും. നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം

വിപരീത പ്രശ്നം ഇതാണ്: അതിൻ്റെ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതുക.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ 2 വഴികളുണ്ട്.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ആയതിനാൽ വേരുകളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ് നൽകിയ നമ്പറുകൾ. ഇനി നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് പരിശോധിക്കാം:

ഏതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനും പരമാവധി രണ്ട് വേരുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, മറ്റ് വേരുകളൊന്നും ഇല്ലാത്ത, തന്നിരിക്കുന്ന വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച ആദ്യ മാർഗമാണിത്.

ഈ രീതിയിൽ വിപരീത വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉപയോഗം ഉൾപ്പെടുന്നു.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ആണെങ്കിൽ, അവ ഈ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ,, അതായത് ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒപ്പം.

അങ്ങനെ, തന്നിരിക്കുന്ന വേരുകളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഞങ്ങൾ സൃഷ്ടിച്ചു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2

അംശം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നമുക്ക് ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഒരു ട്രൈനോമിയലും ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ട്രൈനോമിയലും ഉണ്ട്, കൂടാതെ ത്രിപദങ്ങൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യപ്പെടുകയോ അല്ലാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഫാക്ടർ ചെയ്താൽ, അവയിൽ തുല്യ ഘടകങ്ങൾ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും.

ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്റർ ഫാക്ടർ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ആദ്യം, ഈ സമവാക്യം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്, നമുക്ക് വിവേചനം കണ്ടെത്താം. എന്നതിനാൽ, ചിഹ്നം ഉൽപ്പന്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (0-ൽ കുറവായിരിക്കണം), ഇൻ ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അതായത് തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്.

പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ വേരുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. എന്നാൽ ഗുണകങ്ങൾ സന്തുലിതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കുകയും ഈ മൂല്യത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം ലഭിക്കും: അതായത് 5-5=0. അങ്ങനെ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളിൽ ഒന്ന് ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നവ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ടിനായി നോക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, , അതായത്. .

അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി അതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ കഴിയും:

നമുക്ക് യഥാർത്ഥ പ്രശ്നം ഓർക്കാം, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പകരം വച്ചുകൊണ്ട് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ 0 ന് തുല്യമാകില്ലെന്ന് മറക്കരുത്, അതായത്, .

ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യ ഞങ്ങൾ ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം നമ്പർ 3 (ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉള്ള ടാസ്ക്)

പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങളിലാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, പിന്നെ , ചോദ്യം: എപ്പോൾ.

ഈ പാഠത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലുകളെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവും അതിൻ്റെ സംഭാഷണവും നാം ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ വൈദഗ്ദ്ധ്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലുകൾ രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വേഗത്തിലും സൗകര്യപ്രദമായും വികസിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കും, കൂടാതെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറവ് ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യും.

അതിനാൽ നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം, എവിടെ .

നമുക്ക് ഇടതുവശത്തുള്ളതിനെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്:ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ, ഐഡൻ്റിറ്റി നിലനിർത്തുന്നു

മുൻനിര ഗുണകം എവിടെയാണ്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ.

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട് - ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ, അവിടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ട്രൈനോമിയൽ രേഖീയ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം.

തെളിവ്:

മുൻ പാഠങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്ത വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ വസ്തുതയുടെ തെളിവ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നമ്മോട് പറയുന്നത് ഓർക്കുക:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ ആണെങ്കിൽ, .

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന പിന്തുടരുന്നു:

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഈ മൂല്യങ്ങളെ മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.

ക്യു.ഇ.ഡി.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ, വികാസം സാധുവാണ് എന്ന സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചതായി ഓർക്കുക.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇപ്പോൾ ഓർക്കാം. ഈ വസ്തുതയിൽ നിന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തിന് നന്ദി, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഇപ്പോൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ഈ വസ്തുതയുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കാം:

നമ്മൾ കൃത്യമായി ഫാക്റ്റർ ചെയ്തതായി കാണുന്നു, ഏതെങ്കിലും ട്രൈനോമിയലിന് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് ഫോർമുല അനുസരിച്ച് രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം.

എന്നിരുന്നാലും, ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിന് അത്തരം ഘടകവൽക്കരണം സാധ്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം എടുക്കുക. ആദ്യം, നമുക്ക് വിവേചന ചിഹ്നം പരിശോധിക്കാം

ഞങ്ങൾ പഠിച്ച സിദ്ധാന്തം നിറവേറ്റുന്നതിന്, D 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, അതിനാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പഠിച്ച സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ അസാധ്യമാണ്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു: ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന് വേരുകളില്ലെങ്കിൽ, അത് രേഖീയ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പരിശോധിച്ചു, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിനെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാനുള്ള സാധ്യത, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1

ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ പ്രശ്‌നം ഉന്നയിച്ചതിന് വിപരീതമായി പരിഹരിക്കും. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടായിരുന്നു, അതിനെ ഫാക്‌ടർ ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി. ഇവിടെ നമ്മൾ നേരെ വിപരീതമായി ചെയ്യും. നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം

വിപരീത പ്രശ്നം ഇതാണ്: അതിൻ്റെ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതുക.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ 2 വഴികളുണ്ട്.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ആയതിനാൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്, അതിൻ്റെ വേരുകൾക്ക് സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇനി നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് പരിശോധിക്കാം:

ഏതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനും പരമാവധി രണ്ട് വേരുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, മറ്റ് വേരുകളൊന്നും ഇല്ലാത്ത, തന്നിരിക്കുന്ന വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച ആദ്യ മാർഗമാണിത്.

ഈ രീതിയിൽ വിപരീത വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉപയോഗം ഉൾപ്പെടുന്നു.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ആണെങ്കിൽ, അവ ഈ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ,, അതായത് ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒപ്പം.

അങ്ങനെ, തന്നിരിക്കുന്ന വേരുകളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഞങ്ങൾ സൃഷ്ടിച്ചു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2

അംശം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നമുക്ക് ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഒരു ട്രൈനോമിയലും ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ട്രൈനോമിയലും ഉണ്ട്, കൂടാതെ ത്രിപദങ്ങൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യപ്പെടുകയോ അല്ലാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഫാക്ടർ ചെയ്താൽ, അവയിൽ തുല്യ ഘടകങ്ങൾ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും.

ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്റർ ഫാക്ടർ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ആദ്യം, ഈ സമവാക്യം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്, നമുക്ക് വിവേചനം കണ്ടെത്താം. , ചിഹ്നം ഉൽപ്പന്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (0-ൽ കുറവായിരിക്കണം), ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അതായത് നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്.

പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ വേരുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. എന്നാൽ ഗുണകങ്ങൾ സന്തുലിതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കുകയും ഈ മൂല്യത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം ലഭിക്കും: അതായത് 5-5=0. അങ്ങനെ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളിൽ ഒന്ന് ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നവ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ടിനായി നോക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, , അതായത്. .

അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി അതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ കഴിയും:

നമുക്ക് യഥാർത്ഥ പ്രശ്നം ഓർക്കാം, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പകരം വച്ചുകൊണ്ട് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ 0 ന് തുല്യമാകില്ലെന്ന് മറക്കരുത്, അതായത്, .

ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യ ഞങ്ങൾ ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം നമ്പർ 3 (ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉള്ള ടാസ്ക്)

പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങളിലാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, പിന്നെ , ചോദ്യം: എപ്പോൾ.

ഒരു ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കുന്നതിന് ബഹുപദങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതായി തോന്നാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഘട്ടം ഘട്ടമായി പ്രക്രിയ മനസ്സിലാക്കിയാൽ അത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിനെ എങ്ങനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാം എന്ന് ലേഖനം വിശദമായി വിവരിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ എങ്ങനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാമെന്നും എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നതെന്നും പലർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല. ആദ്യം അത് ഒരു വ്യർത്ഥമായ വ്യായാമമായി തോന്നിയേക്കാം. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒന്നിനും വേണ്ടി ഒന്നും ചെയ്യുന്നില്ല. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാനും കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കാനും പരിവർത്തനം ആവശ്യമാണ്.

ഫോമിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദം - ax²+bx+c, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു."എ" എന്ന പദം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം. പ്രായോഗികമായി, ഈ പദപ്രയോഗത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ചിലപ്പോൾ അവർ അത് വ്യത്യസ്തമായി പറയുന്നു: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ വികസിപ്പിക്കാം.

രസകരമായത്!ഒരു ബഹുപദത്തെ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ ഡിഗ്രിയായ ചതുരം ആയതിനാൽ ചതുരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ട്രൈനോമിയൽ - 3 ഘടകങ്ങൾ കാരണം.

മറ്റ് ചില തരം ബഹുപദങ്ങൾ:

• ലീനിയർ ബൈനോമിയൽ (6x+8);
• ക്യൂബിക് ക്വാഡ്രിനോമിയൽ (x³+4x²-2x+9).

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ്

ആദ്യം, പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് നിങ്ങൾ x1, x2 എന്നീ റൂട്ടുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. വേരുകൾ ഇല്ലായിരിക്കാം, ഒന്നോ രണ്ടോ വേരുകൾ ഉണ്ടാകാം. വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വിവേചനമാണ്. നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഫോർമുല ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്: D=b²-4ac.

ഫലം ഡി നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇല്ല. പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്. ഫലം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, റൂട്ട് ഒന്നാണ്. സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വേരുകളും കണക്കാക്കുന്നു.

വിവേചനം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഫലം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഏതെങ്കിലും ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം. പ്രായോഗികമായി, ഫോർമുല ലളിതമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു: -b / 2a.

ഫോർമുലകൾ വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങൾവിവേചനം വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഡി പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ:

D പൂജ്യമാണെങ്കിൽ:

ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ

ഇൻ്റർനെറ്റിൽ ഉണ്ട് ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ. ഫാക്ടറൈസേഷൻ നടത്താൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. ചില ഉറവിടങ്ങൾ പരിഹാരം ഘട്ടം ഘട്ടമായി കാണാനുള്ള അവസരം നൽകുന്നു. അത്തരം സേവനങ്ങൾ വിഷയം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങൾ അത് നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉപയോഗപ്രദമായ വീഡിയോ: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ്

ഉദാഹരണങ്ങൾ

കാണാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം 1

D പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ ഫലം രണ്ട് x ആണെന്ന് ഇത് വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു. അവ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വേരുകൾ നെഗറ്റീവ് ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഫോർമുലയിലെ ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്കറിയാം: a(x-x1)(x-x2). ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഇടുന്നു: (x+3)(x+2/3). ഒരു അധികാരത്തിൽ ഒരു ടേമിന് മുമ്പ് ഒരു സംഖ്യയും ഇല്ല. ഇതിനർത്ഥം അവിടെ ഒന്ന് ഉണ്ട്, അത് താഴേക്ക് പോകുന്നു എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു റൂട്ട് ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഈ ഉദാഹരണം വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 3

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: 5x²+3x+7

ആദ്യം, മുൻ കേസുകളിലെന്നപോലെ വിവേചനം കണക്കാക്കാം.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് വേരുകളില്ല.

ഫലം ലഭിച്ച ശേഷം, നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ഫലം പരിശോധിക്കണം. യഥാർത്ഥ ട്രൈനോമിയൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടണം.

ഇതര പരിഹാരം

ചിലർക്ക് ഒരിക്കലും വിവേചനക്കാരുമായി ചങ്ങാത്തം കൂടാൻ കഴിഞ്ഞില്ല. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട്. സൗകര്യാർത്ഥം, രീതി ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: x²+3x-10

ഞങ്ങൾക്ക് 2 ബ്രാക്കറ്റുകൾ ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം: (_)(_). എക്സ്പ്രഷൻ ഇതുപോലെ കാണുമ്പോൾ: x²+bx+c, ഓരോ ബ്രാക്കറ്റിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൽ നമ്മൾ x: (x_)(x_) ഇടുന്നു. ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകൾ "c" നൽകുന്ന ഉൽപ്പന്നമാണ്, അതായത് ഈ സാഹചര്യത്തിൽ -10. അവ ഏതൊക്കെ സംഖ്യകളാണെന്ന് കണ്ടെത്താനുള്ള ഒരേയൊരു മാർഗ്ഗം തിരഞ്ഞെടുക്കലാണ്. പകരമുള്ള സംഖ്യകൾ ശേഷിക്കുന്ന പദവുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചാൽ -10 ലഭിക്കും:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. ഇല്ല.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. ഇല്ല.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. ഇല്ല.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. യോജിക്കുന്നു.

x2+3x-10 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ പരിവർത്തനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം: (x-2)(x+5).

പ്രധാനം!അടയാളങ്ങൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാതിരിക്കാൻ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം.

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വികാസം

"a" ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ആരംഭിക്കുന്നു. എന്നാൽ എല്ലാം തോന്നുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം എന്തെങ്കിലും ഫാക്ടർ ഔട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നോക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു: 3x²+9x-30. ഇവിടെ നമ്പർ 3 ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് എടുത്തിരിക്കുന്നു:

3(x²+3x-10). ഫലം ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന ത്രിപദമാണ്. ഉത്തരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: 3(x-2)(x+5)

ചതുരത്തിലുള്ള പദം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ എങ്ങനെ വിഘടിപ്പിക്കാം? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ -1 ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്: -x²-10x-8. അപ്പോൾ എക്സ്പ്രഷൻ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

സ്കീം മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കുറച്ച് പുതിയ കാര്യങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. എക്സ്പ്രഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു: 2x²+7x+3. ഉത്തരം (_)(_) പൂരിപ്പിക്കേണ്ട 2 ബ്രാക്കറ്റുകളിലും എഴുതിയിരിക്കുന്നു. 2-ആം ബ്രാക്കറ്റിൽ x എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ആദ്യത്തേതിൽ എന്താണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: (2x_)(x_). അല്ലെങ്കിൽ, മുമ്പത്തെ സ്കീം ആവർത്തിക്കുന്നു.

നമ്പർ 3 അക്കങ്ങളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

ഈ സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. അവസാന ഓപ്ഷൻ അനുയോജ്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം 2x²+7x+3 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ പരിവർത്തനം ഇതുപോലെയാണ്: (2x+1)(x+3).

മറ്റ് കേസുകൾ

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എന്നാൽ നിബന്ധനകൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റാനുള്ള സാധ്യത വിവേചനക്കാരിലൂടെ മാത്രമേ പരിശോധിക്കൂ.

തീരുമാനിക്കാൻ പരിശീലിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾഅതിനാൽ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകില്ല.

ഉപയോഗപ്രദമായ വീഡിയോ: ഒരു ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ്

ഉപസംഹാരം

നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഏത് വിധത്തിലും ഉപയോഗിക്കാം. എന്നാൽ ഇവ രണ്ടും യാന്ത്രികമാകുന്നതുവരെ പരിശീലിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. കൂടാതെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും ഫാക്ടർ പോളിനോമിയലുകളും എങ്ങനെ നന്നായി പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കുന്നത് അവരുടെ ജീവിതത്തെ ഗണിതവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ പദ്ധതിയിടുന്നവർക്ക് ആവശ്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയങ്ങളും ഇതിൽ നിർമ്മിച്ചതാണ്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ്പ്രശ്നം C3-ൽ നിന്നുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ പാരാമീറ്റർ C5-ൻ്റെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാകും. കൂടാതെ, നിങ്ങൾക്ക് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അറിയാമെങ്കിൽ, നിരവധി B13 പദ പ്രശ്നങ്ങൾ വളരെ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

ഈ സിദ്ധാന്തം, തീർച്ചയായും, 8-ാം ക്ലാസ്സിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പരിഗണിക്കാം, അതിൽ ആദ്യമായി ഇത് പഠിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് നന്നായി തയ്യാറെടുക്കുകയും പരീക്ഷാ ജോലികൾ കഴിയുന്നത്ര കാര്യക്ഷമമായി പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല. അതിനാൽ, ഈ പാഠം സ്കൂളിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമീപനത്തെ പരിഗണിക്കുന്നു.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലപലർക്കും അറിയാം (അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത് കണ്ടിട്ടുണ്ട്):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ഇവിടെ `a, b`, `c` എന്നിവ `ax^2+bx+c` എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്.

സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ എളുപ്പത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് നമുക്ക് മനസിലാക്കാം (ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഓർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കും).

നമുക്ക് `ax^2+ bx+ c = 0` എന്ന സമവാക്യം ഉണ്ടാകട്ടെ. കൂടുതൽ സൗകര്യത്തിനായി, അതിനെ `a` കൊണ്ട് ഹരിച്ച് `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` നേടുക. അത്തരമൊരു സമവാക്യം ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രധാന പാഠ ആശയം: വേരുകളുള്ള ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലും പരാൻതീസിസുകളായി വികസിപ്പിക്കാം.നമ്മുടേത് `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, ഇവിടെ `k`, `` എന്നിങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്ന് കരുതുക. l` - ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

അങ്ങനെ, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

ഇത് ക്ലാസിക്കൽ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം- അതിൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി നോക്കുന്നു. നിബന്ധനകൾക്കായി നോക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു ബ്രാക്കറ്റ് വിഘടനം- ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾ ഫോർമുലയിൽ നിന്നുള്ള മൈനസിനെ കുറിച്ച് ഓർക്കേണ്ടതില്ല (അർത്ഥം `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). അത്തരം രണ്ട് സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ മതിയാകും, അതിൻ്റെ ആകെത്തുക ശരാശരി ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം വേണമെങ്കിൽ, അത് വ്യക്തമാണ്: `x=-k` അല്ലെങ്കിൽ `x=-l` വേരുകൾ (ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഒന്ന് പൂജ്യമായിരിക്കും, അതായത് മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും പൂജ്യമായിരിക്കും. ).

ഒരു ഉദാഹരണമായി ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് അൽഗോരിതം കാണിച്ചുതരാം: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലിനെ ബ്രാക്കറ്റുകളിലേക്ക് എങ്ങനെ വികസിപ്പിക്കാം.

ഉദാഹരണം ഒന്ന്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

നമുക്കുള്ള പാത ഒരു ക്വാഡ്രൻ്റ് ട്രൈനോമിയൽ `x^2+5x+4` ആണ്.

ഇത് കുറയുന്നു (`x^2` ൻ്റെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്). അവന് വേരുകളുണ്ട്. (ഉറപ്പാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കുകയും അത് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യാം.)

കൂടുതൽ ഘട്ടങ്ങൾ (എല്ലാ പരിശീലന ജോലികളും പൂർത്തിയാക്കി നിങ്ങൾ അവ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്):

1. ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി പൂർത്തിയാക്കുക: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ ഡോട്ടുകൾക്ക് പകരം ശൂന്യമായ ഇടം നൽകുക, ഞങ്ങൾ അവിടെ ചേർക്കും അനുയോജ്യമായ സംഖ്യകൾഅടയാളങ്ങളും.
2. എല്ലാം കാണുക സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ, നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെയാണ് `4` എന്ന സംഖ്യയെ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുക. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി നമുക്ക് ജോഡി "കാൻഡിഡേറ്റുകൾ" ലഭിക്കും: `2, 2`, `1, 4`.
3. ഏത് ജോഡിയിൽ നിന്നാണ് നിങ്ങൾക്ക് ശരാശരി ഗുണകം ലഭിക്കുകയെന്ന് കണ്ടെത്തുക. വ്യക്തമായും ഇത് `1, 4` ആണ്.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ എഴുതുക.
5. ചേർത്ത നമ്പറുകൾക്ക് മുന്നിൽ അടയാളങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം.

   ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ അക്കങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ എന്ത് അടയാളങ്ങൾ ദൃശ്യമാകണമെന്ന് എങ്ങനെ മനസിലാക്കാം, എന്നേക്കും ഓർമ്മിക്കുക? അവ തുറക്കാൻ ശ്രമിക്കുക (ബ്രാക്കറ്റുകൾ). ആദ്യ പവറിന് `x` ന് മുമ്പുള്ള ഗുണകം `(± 4 ± 1)` ആയിരിക്കും (ഞങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ അടയാളങ്ങൾ അറിയില്ല - ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്), അത് `5` ന് തുല്യമായിരിക്കണം. വ്യക്തമായും, രണ്ട് പ്ലസ് $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ ഉണ്ടായിരിക്കും.

   ഈ പ്രവർത്തനം നിരവധി തവണ നടത്തുക (ഹലോ, പരിശീലന ജോലികൾ!) കൂടാതെ കൂടുതൽ പ്രശ്നങ്ങൾഇത് ഒരിക്കലും സംഭവിക്കുകയില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് `x^2+5x+4` എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ, ഇപ്പോൾ അത് പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. അതിൻ്റെ വേരുകൾ `-4, -1` ആണ്.

ഉദാഹരണം രണ്ട്. വ്യത്യസ്ത ചിഹ്നങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ

നമുക്ക് `x^2-x-2=0` എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തെറ്റായി, വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്.

ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം പിന്തുടരുന്നു.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. പൂർണ്ണസംഖ്യ ഘടകങ്ങളായി രണ്ടിൻ്റെ ഒരു ഘടകം മാത്രമേയുള്ളൂ: `2 · 1`.
3. ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് ഒഴിവാക്കുന്നു - തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഒന്നുമില്ല.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. ഞങ്ങളുടെ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം നെഗറ്റീവ് ആണ് (`-2` എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദമാണ്), അതായത് അവയിലൊന്ന് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും, മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
   അവയുടെ ആകെത്തുക `-1` (`x` ൻ്റെ ഗുണകം) ന് തുല്യമായതിനാൽ, `2` നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും (അവബോധജന്യമായ വിശദീകരണം രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ വലുതാണ്, അത് കൂടുതൽ ശക്തമായി "വലിക്കും" നെഗറ്റീവ് വശം). നമുക്ക് $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ ലഭിക്കും

മൂന്നാമത്തെ ഉദാഹരണം. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗ്

സമവാക്യം `x^2+5x -84 = 0` ആണ്.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84-ൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കൽ: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം (അല്ലെങ്കിൽ തുക) 5 ആയിരിക്കേണ്ടതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ജോടി ചെയ്യും `7, 12`.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

പ്രതീക്ഷ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിനെ ബ്രാക്കറ്റുകളിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുന്നുഇത് വ്യക്തമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം വേണമെങ്കിൽ, ഇതാ: `12, -7`.

പരിശീലന ജോലികൾ

എളുപ്പമുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞാൻ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെടുത്തുന്നു വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു.(2002 ലെ മാത്തമാറ്റിക്സ് മാസികയിൽ നിന്ന് എടുത്ത ഉദാഹരണങ്ങൾ.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

ലേഖനം എഴുതി കുറച്ച് വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള 150 ടാസ്ക്കുകളുടെ ഒരു ശേഖരം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

ലൈക്ക് ചെയ്യുക, അഭിപ്രായങ്ങളിൽ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുക!