പ്രഭാഷണം: വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ; വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം; വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ

വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ

അതിനാൽ, നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വെക്റ്റർ എന്നത് അതിന്റേതായ തുടക്കവും അവസാനവുമുള്ള ഒരു ഡയറക്ട് സെഗ്‌മെന്റാണ്. തുടക്കവും അവസാനവും ചില പോയിന്റുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവയ്ക്ക് വിമാനത്തിലോ ബഹിരാകാശത്തിലോ അവരുടേതായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്.

ഓരോ പോയിന്റിനും അതിന്റേതായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് മുഴുവൻ വെക്റ്ററിന്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കും.

വെക്‌ടറിന്റെ തുടക്കത്തിലും അവസാനത്തിലും താഴെപ്പറയുന്ന പദവികളും കോർഡിനേറ്റുകളും ഉള്ള ചില വെക്‌ടറുകൾ നമുക്കുണ്ടെന്ന് കരുതുക: A(A x ; Ay), B(B x ; By)

ഈ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററിന്റെ അവസാനത്തെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ ആരംഭ കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

ബഹിരാകാശത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഒരു ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആശയം നിർവചിക്കാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്:

• ജ്യാമിതീയ വഴി. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഈ മൊഡ്യൂളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

• ബീജഗണിത അർത്ഥം. ബീജഗണിതത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം, അനുബന്ധ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യമാണ്.

വെക്റ്ററുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സമാനമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം:

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

• നിങ്ങൾ സമാനമായ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളെ സ്കെയിലറായി ഗുണിച്ചാൽ, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് അല്ല:

• സമാനമായ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു:

• ഒരു നിശ്ചിത വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിച്ചാൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അതിന്റെ മോഡുലസിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

• സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഒരു ആശയവിനിമയ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്, അതായത്, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിൽ നിന്ന് സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല:

• വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കെലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാകൂ:

• വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്, വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്നിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം സാധുവാണ്:

• ഒരു ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനത്തിന്റെ വിതരണ ഗുണവും ഉപയോഗിക്കാം:

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

നിർവ്വചനം 1

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡൈനുകളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

a →, b → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ നൊട്ടേഷനിൽ a →, b → എന്ന രൂപമുണ്ട്. നമുക്ക് ഫോർമുലയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ നീളം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, a → , b → ^ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കുറഞ്ഞത് ഒരു വെക്റ്റർ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്, അതിന് 0 മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഫലം പൂജ്യമായിരിക്കും, a → , b → = 0

ഒരു വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അതിന്റെ ഡൈനിന്റെ വർഗ്ഗം ലഭിക്കും:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ സ്കെയിലർ ഗുണനത്തെ സ്കെയിലർ സ്ക്വയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → എന്ന് എഴുതുന്നത്, npb → a → npb → a → npb → nu → ന് ഒരു നൂതന പ്രോജക്റ്റ് ആണെന്ന് കാണിക്കുന്നു → a → - b → യുടെ പ്രൊജക്ഷൻ യഥാക്രമം a →.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:

a → by b → എന്ന രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നത്തെ a → എന്ന ദിശയിലൂടെ b → ന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ a → ന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വഴി b → ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഗുണനഫലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. യഥാക്രമം.

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലോ ബഹിരാകാശത്തിലോ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്താം.

ഒരു തലത്തിലെ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് a →, b → .

കാർട്ടീഷ്യൻ സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തലത്തിൽ a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഉപയോഗിക്കുക:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്, പദപ്രയോഗം ബാധകമാണ്:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ നിർവചനമാണ്.

നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

തെളിവ് 1

അത് തെളിയിക്കാൻ, കാർട്ടീഷ്യനിൽ ഞങ്ങൾ a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by വെക്‌ടറുകൾക്കായി a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) ഉപയോഗിക്കുന്നു സിസ്റ്റം.

വെക്‌ടറുകൾ മാറ്റിവയ്ക്കണം

O A → = a → = a x, a y കൂടാതെ O B → = b → = b x, b y .

അപ്പോൾ A B → വെക്‌ടറിന്റെ നീളം A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) ന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഒരു ത്രികോണം O A B പരിഗണിക്കുക.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ശരിയാണ്.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , അതിനാൽ വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി എഴുതുന്നു.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

അപ്പോൾ ആദ്യ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , അതിനാൽ (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

വെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

നമുക്ക് തുല്യത തെളിയിക്കാം:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- യഥാക്രമം ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ വെക്റ്ററുകൾക്ക്.

കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം പറയുന്നത്, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ സ്കെലാർ സ്ക്വയർ യഥാക്രമം ബഹിരാകാശത്തും വിമാനത്തിലും ഉള്ള അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) കൂടാതെ (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും

a → , b → , c → എന്നിവയ്‌ക്ക് ബാധകമാകുന്ന ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

1. കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. വിതരണക്ഷമത (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , സി →);
3. അസോസിയേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ;
4. സ്കെയിലർ സ്ക്വയർ എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് (a → , a →) ≥ 0 , ഇവിടെ (a → , a →) = 0 → പൂജ്യമാകുമ്പോൾ.

പ്ലെയിനിലെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം വഴിയും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന്റെയും ഗുണങ്ങളാൽ ഗുണങ്ങളെ വിശദീകരിക്കുന്നു.

കമ്മ്യൂട്ടിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി തെളിയിക്കുക (a → , b →) = (b → , a →) . നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് (a → , b →) = a y b y + a y b y ഉം (b → , a →) = b x a x + b y a y ഉം ഉണ്ട്.

കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, a x · b x = b x · a x, a y · b y = b y · a y എന്നിവ ശരിയാണ്, അതിനാൽ a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

അത് പിന്തുടരുന്നു (a → , b →) = (b → , a →) . ക്യു.ഇ.ഡി.

ഏത് നമ്പറുകൾക്കും ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി സാധുവാണ്:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

കൂടാതെ (a → , b (1) → + b (2) → +. . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

അതിനാൽ നമുക്കുണ്ട്

(a (1) → + a (2) → + .. . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും ഉള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ സംബന്ധിച്ച ഗുണങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു പദ്ധതിയുടെ ഏത് പ്രശ്‌നവും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y അല്ലെങ്കിൽ (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

പരിഹാരങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

a → യുടെ നീളം 3 ആണ്, b → യുടെ നീളം 7 ആണ്. കോണിന് 60 ഡിഗ്രി ഉണ്ടെങ്കിൽ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

ഉത്തരം: (a → , b →) = 21 2 .

ഉദാഹരണം 3

നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . എന്താണ് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം.

പരിഹാരം

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം അവ പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

ഉത്തരം: (a → , b →) = - 9

ഉദാഹരണം 4

A B →, A C → എന്നിവയുടെ ആന്തരിക ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ A (1 , - 3), B (5 , 4), C (1 , 1) പോയിന്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നു, കാരണം പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യവസ്ഥയാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

ഉത്തരം: (എ ബി → , എ സി →) = 28 .

ഉദാഹരണം 5

വെക്‌ടറുകൾക്ക് a → = 7 m → + 3 n →, b → = 5 m → + 8 n → എന്നിവ നൽകിയാൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. m → 3 നും n → 2 യൂണിറ്റിനും തുല്യമാണ്, അവ ലംബമാണ്.

പരിഹാരം

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . വിതരണ സ്വത്ത് പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(7 മീ. (3 n → , 8 n →)

ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടയാളത്തിന് പുറത്തുള്ള ഗുണകം ഞങ്ങൾ എടുക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

(7 മീ → , 5 മീ →) + (7 മീ → , 8 n →) + (3 n → , 5 മീ →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n →)

ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ കോണിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

ഉത്തരം: (a → , b →) = 411

ഒരു സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം 6

a →, b → എന്നിവയുടെ ആന്തരിക ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. വെക്റ്റർ a → ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് a → = (9 , 3 , - 3) , പ്രൊജക്ഷൻ b → ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് (- 3 , - 1 , 1) .

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, വെക്റ്ററുകൾ a →, പ്രൊജക്ഷൻ b → എന്നിവ വിപരീത ദിശയിലാണ്, കാരണം a → = - 1 3 npa → b → → , അതിനാൽ പ്രൊജക്ഷൻ b → നീളം npa → b → → , ഒപ്പം “-” എന്നിവയുമായി യോജിക്കുന്നു. അടയാളം:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

ഫോർമുലയിലേക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

ഉത്തരം: (a → , b →) = - 33 .

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു അറിയപ്പെടുന്ന സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിലെ പ്രശ്‌നങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 7

തന്നിരിക്കുന്ന സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് λ എന്ത് മൂല്യം എടുക്കണം a → \u003d (1, 0, λ + 1), b → \u003d (λ, 1, λ) എന്നിവ -1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

പരിഹാരം

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ നമുക്ക് (a → , b →) = - 1 ഉണ്ട്.

λ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം കണക്കാക്കുന്നു:

λ 2 + 2 · λ = - 1, അതിനാൽ λ = - 1.

ഉത്തരം: λ = - 1 .

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പ്രയോഗത്തെ മെക്കാനിക്സ് പരിഗണിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ഥിരമായ ഫോഴ്‌സ് എഫ് → പോയിന്റ് M മുതൽ N വരെയുള്ള ചലിക്കുന്ന ബോഡി ഉപയോഗിച്ച് A പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, വെക്‌ടറുകൾ F →, MN → എന്നിവയുടെ നീളത്തിന്റെ ഉൽപ്പന്നം അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും, അതായത് ജോലി തുല്യമാണ്. ശക്തിയുടെയും സ്ഥാനചലന വെക്റ്ററുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക്:

A = (F → , M N →) .

ഉദാഹരണം 8

5 Nton ന് തുല്യമായ ഒരു ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനത്തിൽ ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിന്റെ സ്ഥാനചലനം 3 മീറ്റർ അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 45 ഡിഗ്രി കോണിൽ നയിക്കപ്പെടുന്നു. എ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ജോലി എന്നത് ഫോഴ്‌സ് വെക്‌ടറിന്റെയും ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെന്റിന്റെയും ഉൽപ്പന്നമായതിനാൽ, F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° എന്ന അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് A = (F → , S → ലഭിക്കും. ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

ഉത്തരം: എ = 15 2 2 .

ഉദാഹരണം 9

M (2, - 1, - 3) ൽ നിന്ന് N (5, 3 λ - 2, 4) ലേക്ക് F → = (3, 1, 2) എന്ന ശക്തിക്ക് കീഴിലുള്ള മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ് 13 J ന് തുല്യമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. കണക്കാക്കുക ചലനത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം.

പരിഹാരം

വെക്റ്റർ M N → നൽകിയിട്ടുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് നമുക്ക് M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

F → = (3 , 1 , 2), MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) വെക്‌ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ജോലി കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രകാരം നമുക്ക് A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3) ലഭിക്കും. λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, A \u003d 13 J, അതായത് 22 + 3 λ \u003d 13 എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇത് λ = - 3 സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

യാത്രാ ദൈർഘ്യം M N → കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുകയും മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

ഉത്തരം: 158.

വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനായി ടാസ്ക്കുകളും ഉണ്ടാകും, അതിനുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

പ്രശ്നത്തിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും "ഒരു വെള്ളി താലത്തിൽ" അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയും അതിന്റെ പരിഹാരവും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഉദാഹരണം 1വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

മറ്റൊരു നിർവചനവും സാധുവാണ്, ഇത് നിർവചനം 1 ന് പൂർണ്ണമായും തുല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം 2. വെക്‌ടറുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഈ വെക്‌റ്ററുകളിൽ ഒന്നിന്റെ നീളത്തിന്റെയും മറ്റൊരു വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെയും ആദ്യ വെക്‌റ്ററുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന അക്ഷത്തിൽ തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ് (സ്‌കെലാർ). നിർവചനം 2 അനുസരിച്ച് ഫോർമുല:

അടുത്ത പ്രധാന സൈദ്ധാന്തിക പോയിന്റിന് ശേഷം ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

ഗുണിച്ച വെക്‌ടറുകൾ അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയാൽ അതേ സംഖ്യ ലഭിക്കും.

നിർവ്വചനം 3.വെക്‌ടറുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്‌ട് അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ സംഖ്യയാണ്.

ഉപരിതലത്തിൽ

രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും പ്ലെയ്‌നിലും അവയുടെ രണ്ടെണ്ണം നിർവചിച്ചാൽ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകൾ

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

.

ഉദാഹരണം 2വെക്‌ടറിന് സമാന്തരമായ അക്ഷത്തിൽ വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്ത് ഞങ്ങൾ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെയും വെക്‌ടറിന് സമാന്തരമായ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് (ഫോർമുലയ്‌ക്ക് അനുസൃതമായി) തുല്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യം അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലമായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

.

ഒരു സമവാക്യം എഴുതി അത് പരിഹരിക്കുക:

ഉത്തരം. ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യാ മൂല്യം മൈനസ് 8 ആണ്.

ബഹിരാകാശത്ത്

രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ബഹിരാകാശത്തും അവയുടെ മൂന്ന് കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർവചിച്ചാൽ

,

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇതിനകം മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ:

.

കണക്കാക്കിയ രീതിയിൽ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ വിശകലനം ചെയ്തതിന് ശേഷമാണ്. കാരണം ടാസ്ക്കിൽ ഗുണിച്ച വെക്റ്ററുകൾ ഏത് കോണാണ് രൂപപ്പെടുന്നത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ബീജഗണിത ഗുണങ്ങൾ

1. (കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി: ഗുണിച്ച വെക്റ്ററുകളുടെ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിൽ നിന്ന് അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മൂല്യം മാറില്ല).

2. (ഒരു സംഖ്യാ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അനുബന്ധ സ്വത്ത്: ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നം ചില ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മറ്റൊരു വെക്‌ടർ ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ).

3. (വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുകയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണ സ്വത്ത്: മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സ്‌കെലാർ പ്രോഡക്‌ട് ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ തുകയ്‌ക്ക് തുല്യമാണ്.

4. (പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ വെക്‌ടറിന്റെ സ്കെലാർ സ്ക്വയർ) പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ, കൂടാതെ , പൂജ്യം വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ.

ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ

പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ഒരു കോണിന്റെ ആശയം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സ്പർശിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ ആശയം വ്യക്തമാക്കേണ്ട സമയമാണിത്.

മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ, രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ദൃശ്യമാണ്, അവ ഒരു പൊതു തുടക്കത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. നിങ്ങൾ ആദ്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം: ഈ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ രണ്ട് കോണുകൾ ഉണ്ട് - φ 1 ഒപ്പം φ 2 . വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനങ്ങളിലും ഗുണങ്ങളിലും ഈ കോണുകളിൽ ഏതാണ് ദൃശ്യമാകുന്നത്? പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 2 ആണ് π അതിനാൽ ഈ കോണുകളുടെ കോസൈനുകൾ തുല്യമാണ്. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ കോണിന്റെ കോസൈൻ മാത്രമേ ഉൾപ്പെടുന്നുള്ളൂ, അതിന്റെ പ്രകടനത്തിന്റെ മൂല്യമല്ല. എന്നാൽ വസ്തുവകകളിൽ ഒരു മൂലയെ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ. കവിയാത്ത രണ്ട് കോണുകളിൽ ഒന്നാണിത് π അതായത് 180 ഡിഗ്രി. ഈ ആംഗിൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു φ 1 .

1. രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ വിളിക്കുന്നു ഓർത്തോഗണൽ ഒപ്പം ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ ഒരു വലത് ആണ് (90 ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ π /2) എങ്കിൽ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ് :

.

വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി എന്നത് രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ലംബതയാണ്.

2. പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു മൂർച്ചയുള്ള മൂല (0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെ, അല്ലെങ്കിൽ, അതേത്, കുറവ് π ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണ് .

3. പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു മങ്ങിയ കോൺ (90 മുതൽ 180 ഡിഗ്രി വരെ, അല്ലെങ്കിൽ, അതേത് - കൂടുതൽ π /2 ) എങ്കിൽ മാത്രം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ് .

ഉദാഹരണം 3വെക്റ്ററുകൾ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ എല്ലാ ജോഡികളുടെയും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുക. ഈ ജോഡി വെക്‌ടറുകൾ ഏത് കോണിൽ (അക്യൂട്ട്, വലത്, മങ്ങിയ) രൂപം കൊള്ളുന്നു?

പരിഹാരം. അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്ത് ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടും.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്‌ടറുകൾ ഒരു മങ്ങിയ കോണായി മാറുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു വലത് കോണായി മാറുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനും .

ഉദാഹരണം 4രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ:

.

സംഖ്യയുടെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് വെക്റ്ററുകൾ എന്നും ഓർത്തോഗണൽ (ലംബമായി) എന്നും നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം. ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളെ ഗുണിക്കുന്നു:

ഇനി നമുക്ക് ഓരോ പദവും കണക്കാക്കാം:

.

നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം രചിക്കാം (ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തുല്യത പൂജ്യത്തിന്), സമാന നിബന്ധനകൾ നൽകി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ഉത്തരം: ഞങ്ങൾക്ക് മൂല്യം ലഭിച്ചു λ = 1.8, അതിൽ വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

ഉദാഹരണം 5വെക്റ്റർ ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ (ലംബമായി).

പരിഹാരം. ഓർത്തോഗണാലിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളും പോളിനോമിയലുകളും ആയി ഗുണിക്കുന്നു, അതിന് പകരം പ്രശ്നാവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യ പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ പദവും (ടേം) രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

.

തൽഫലമായി, നൽകേണ്ട അംശം കുറയുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം ലഭിക്കുന്നു:

ഉപസംഹാരം: ഗുണനത്തിന്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചു, അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി (ലംബത) തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം സ്വയം പരിഹരിക്കുക, തുടർന്ന് പരിഹാരം കാണുക

ഉദാഹരണം 6വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും, ഈ വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ π /4. ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് നിർണ്ണയിക്കുക μ വെക്‌ടറുകളും പരസ്പരം ലംബവുമാണ്.

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനും .

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും മാട്രിക്സ് പ്രാതിനിധ്യം

ചിലപ്പോൾ, വ്യക്തതയ്ക്കായി, മെട്രിക്സുകളുടെ രൂപത്തിൽ രണ്ട് ഗുണിച്ച വെക്റ്ററുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് പ്രയോജനകരമാണ്. അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ വെക്റ്റർ ഒരു വരി മാട്രിക്സ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - ഒരു കോളം മാട്രിക്സ് ആയി:

അപ്പോൾ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ആയിരിക്കും ഈ മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം :

ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ച രീതിയിലൂടെ ലഭിച്ച ഫലം തന്നെയാണ് ഫലം. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ ലഭിച്ചു, മാട്രിക്സ് നിരയുടെ മെട്രിക്സ് നിരയുടെ ഗുണനവും ഒരൊറ്റ സംഖ്യയാണ്.

മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ, അമൂർത്തമായ n-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അങ്ങനെ, രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു നിര മാട്രിക്സിന്റെ നാല് മൂലകങ്ങളുള്ള ഒരു വരി മാട്രിക്സിന്റെ ഗുണനമായിരിക്കും, കൂടാതെ നാല് മൂലകങ്ങളോടുകൂടിയതും, രണ്ട് പഞ്ചമാന വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം അഞ്ച് മൂലകങ്ങളുള്ള ഒരു വരി മാട്രിക്സിന്റെ ഉൽപ്പന്നമായിരിക്കും. അഞ്ച് ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു കോളം മാട്രിക്സ്, തുടങ്ങിയവ.

ഉദാഹരണം 7ജോടി വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

,

മാട്രിക്സ് പ്രാതിനിധ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ ആദ്യ ജോടി. ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിനെ ഒരു വരി മാട്രിക്‌സ് ആയും രണ്ടാമത്തേത് ഒരു കോളം മാട്രിക്‌സ് ആയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം നിര മാട്രിക്സ് വഴിയുള്ള വരി മാട്രിക്സിന്റെ ഉൽപ്പന്നമായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ജോഡിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഉദാഹരണം 2-ൽ നിന്നുള്ള അതേ ജോഡികളുടെ ഫലങ്ങൾ സമാനമാണ്.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം വളരെ മനോഹരവും സംക്ഷിപ്തവുമാണ്.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ

(1)

കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ, നമ്മൾ ആദ്യം orts ന്റെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നു. ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം നിർവചനം അനുസരിച്ച്:

മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നതിന്റെ അർത്ഥം: ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അതിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്. പൂജ്യത്തിന്റെ കോസൈൻ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഓരോ ഓർത്തിന്റെയും ചതുരം ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും:

വെക്റ്ററുകൾ മുതൽ

ജോടിയായി ലംബമാണ്, അപ്പോൾ orts ന്റെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണനം നടത്താം:

സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്ത്, orts-ന്റെ അനുബന്ധ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഉദാഹരണം 8മൂന്ന് പോയിന്റ് നൽകി എ(1;1;1), ബി(2;2;1), സി(2;1;2).

ഒരു ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

,

.

ഒരു കോണിന്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതിനാൽ, .

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനും .

ഉദാഹരണം 9രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നൽകി

തുക, വ്യത്യാസം, നീളം, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

2.വ്യത്യാസം

വെക്‌ടറും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു. $\overline(a)$, $\overline(b)$ എന്നീ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകട്ടെ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഓറിയന്റഡ് ആംഗിൾ $\varphi$ ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് $x = (\overline(a),\overline(b))$, $y = [\overline(a),\overline(b)]$ എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാം. അപ്പോൾ $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, ഇവിടെ $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, $\varphi$ എന്നിവ ആവശ്യമാണ്. ആംഗിൾ, അതായത്, പോയിന്റ് $(x, y)$ ന് $\varphi$ ന് തുല്യമായ ഒരു ധ്രുവകോണം ഉണ്ട്, അതിനാൽ $\varphi$ എന്നത് atan2(y, x) ആയി കണ്ടെത്താം.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ രണ്ട് വെക്റ്റർ ദൈർഘ്യവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, എബിസി ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കാം:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

ഒരു വരിയിൽ പെട്ട പോയിന്റ്

ഒരു പോയിന്റ് $P$, ഒരു വരി $AB$ (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ $A$, $B$ എന്നിവ നൽകിയത്) നൽകട്ടെ. ഒരു പോയിന്റ് $AB$ എന്ന വരിയിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$AP$, $AB$ എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത് $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $ ആണെങ്കിൽ മാത്രം $AB$ എന്ന വരിയിൽ ഒരു പോയിന്റ് ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഒരു ബിന്ദുവിന് ഒരു കിരണത്തിന്റേത്

ഒരു പോയിന്റ് $P$ ഉം $AB$ റേയും (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നൽകിയത് - $A$ കിരണത്തിന്റെ ആരംഭവും $B$ റേയിലെ ഒരു പോയിന്റും) നൽകട്ടെ. പോയിന്റ് $AB$ റേയുടേതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$P$ പോയിന്റ് $AB$ എന്ന വരിയിൽ പെടുന്നു എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ ഒരു അധിക നിബന്ധന ചേർക്കണം - $AP$, $AB$ വെക്‌ടറുകൾ കോഡയറക്ഷണൽ ആണ്, അതായത്, അവ കോളിനിയറും അവയുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതുമാണ്, അതായത്, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

ഒരു സെഗ്‌മെന്റിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പോയിന്റ്

ഒരു പോയിന്റ് $P$, ഒരു സെഗ്മെന്റ് $AB$ എന്നിവ നൽകട്ടെ. പോയിന്റ് $AB$ വിഭാഗത്തിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിന്റ് റേ $AB$, റേ $BA$ എന്നിവയിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കണം, അതിനാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

പോയിന്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിന്റ് $P$, ഒരു വരി $AB$ (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ $A$, $B$ എന്നിവ നൽകിയത്) നൽകട്ടെ. $AB$ എന്ന നേർരേഖയുടെ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണം ABP പരിഗണിക്കുക. ഒരു വശത്ത്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ ആണ്.

മറുവശത്ത്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ ആണ്, ഇവിടെ $h$ എന്നത് $P$-ൽ നിന്ന് ഉയരം, അതായത് $P$-ൽ നിന്ന് $AB വരെയുള്ള ദൂരം $. എവിടെ നിന്ന് $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

പോയിന്റിൽ നിന്ന് ബീമിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിന്റ് $P$ ഉം $AB$ റേയും (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നൽകിയത് - $A$ കിരണത്തിന്റെ ആരംഭവും $B$ റേയിലെ ഒരു പോയിന്റും) നൽകട്ടെ. പോയിന്റിൽ നിന്ന് കിരണത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, പോയിന്റ് $P$ മുതൽ കിരണത്തിന്റെ ഏത് ബിന്ദുവിലേക്കും ഏറ്റവും ചെറിയ സെഗ്മെന്റിന്റെ നീളം.

ഈ ദൂരം ഒന്നുകിൽ $AP$ ദൈർഘ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ $P$ എന്ന പോയിന്റിൽ നിന്ന് $AB$ വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്. ഏത് കേസാണ് നടക്കുന്നതെന്ന് ബീമിന്റെയും പോയിന്റിന്റെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനത്താൽ എളുപ്പത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ആംഗിൾ PAB നിശിതമാണെങ്കിൽ, അതായത് $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, അപ്പോൾ ഉത്തരം $P$ എന്ന പോയിന്റിൽ നിന്ന് $AB$ എന്ന വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം ഉത്തരം നീളമാണ്. വിഭാഗത്തിന്റെ $AB$.

പോയിന്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിന്റ് $P$, ഒരു സെഗ്മെന്റ് $AB$ എന്നിവ നൽകട്ടെ. $P$ മുതൽ $AB$ സെഗ്‌മെന്റ് വരെയുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

വ്യവസ്ഥകളാൽ പരിശോധിക്കാവുന്ന $AB$ എന്ന സെഗ്‌മെന്റിൽ $AB$ എന്ന വരിയിലേക്ക് $P$-ൽ നിന്ന് ലംബത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം വീണാൽ

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

അപ്പോൾ ഉത്തരം $P$ എന്ന പോയിന്റിൽ നിന്നും $AB$ എന്ന വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, ദൂരം $\min(AP, BP)$-ന് തുല്യമായിരിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുമായി ഇടപെടുന്നത് തുടരുന്നു. ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾവെക്റ്റർ എന്ന ആശയം, വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ, വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ, വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. നിങ്ങൾ ഒരു സെർച്ച് എഞ്ചിനിൽ നിന്നാണ് ആദ്യമായി ഈ പേജിലേക്ക് വന്നതെങ്കിൽ, മുകളിലെ ആമുഖ ലേഖനം വായിക്കാൻ ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, കാരണം മെറ്റീരിയൽ സ്വാംശീകരിക്കുന്നതിന്, ഞാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന പദങ്ങളിലും നൊട്ടേഷനിലും നിങ്ങളെ നയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, വെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് ഉണ്ടായിരിക്കണം. പ്രാഥമിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. ഈ പാഠം വിഷയത്തിന്റെ യുക്തിസഹമായ തുടർച്ചയാണ്, അതിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്ന സാധാരണ ജോലികൾ ഞാൻ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ജോലിയാണ്.. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാതിരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, അവയ്‌ക്കൊപ്പം ഉപയോഗപ്രദമായ ബോണസ് ഉണ്ട് - കവർ ചെയ്തിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കാനും വിശകലന ജ്യാമിതിയുടെ പൊതുവായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് "നിങ്ങളുടെ കൈ നേടാനും" പരിശീലനം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

വെക്‌ടറുകൾ ചേർക്കുന്നു, വെക്‌ടറിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.... ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മറ്റെന്തെങ്കിലും കൊണ്ടുവന്നിട്ടില്ലെന്ന് കരുതുന്നത് നിഷ്കളങ്കമായിരിക്കും. ഇതിനകം പരിഗണിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പുറമേ, വെക്റ്ററുകളുള്ള മറ്റ് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നംഒപ്പം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം. വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം സ്കൂളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പരിചിതമാണ്, മറ്റ് രണ്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പരമ്പരാഗതമായി ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വിഷയങ്ങൾ ലളിതമാണ്, നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ് ചെയ്തതും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണ്. ഒരേ ഒരു കാര്യം. മാന്യമായ അളവിലുള്ള വിവരങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ എല്ലാം ഒറ്റയടിക്ക് കൈകാര്യം ചെയ്യാനും പരിഹരിക്കാനും ശ്രമിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമല്ല. ഡമ്മികൾക്ക് ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും സത്യമാണ്, എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ചിക്കാറ്റിലോയെപ്പോലെ തോന്നാൻ രചയിതാവ് ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല. ശരി, ഗണിതത്തിൽ നിന്നല്ല, തീർച്ചയായും, ഒന്നുകിൽ =) കൂടുതൽ തയ്യാറായ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മെറ്റീരിയലുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഉപയോഗിക്കാം, ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ, കാണാതായ അറിവ് "സ്വീകരിക്കുക", നിങ്ങൾക്കായി ഞാൻ ഒരു നിരുപദ്രവകാരിയായ കൗണ്ട് ഡ്രാക്കുള ആയിരിക്കും =)

അവസാനമായി, നമുക്ക് വാതിൽ അൽപ്പം തുറന്ന് രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം കണ്ടുമുട്ടുമ്പോൾ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കാം.

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവ്വചനം.
സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ. സാധാരണ ജോലികൾ

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആശയം

ആദ്യം കുറിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ. വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ എന്താണെന്ന് എല്ലാവരും അവബോധപൂർവ്വം മനസ്സിലാക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, എന്നാൽ കുറച്ചുകൂടി. സൗജന്യ നോൺ സീറോ വെക്റ്ററുകളും പരിഗണിക്കുക. ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഈ വെക്റ്ററുകൾ മാറ്റിവയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, പലരും ഇതിനകം മാനസികമായി അവതരിപ്പിച്ച ഒരു ചിത്രം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഞാൻ ഏറ്റുപറയുന്നു, ഇവിടെ ഞാൻ സാഹചര്യം വിവരിച്ചിരിക്കുന്നത് ധാരണയുടെ തലത്തിൽ മാത്രമാണ്. വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ കർശനമായ നിർവചനം നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ദയവായി പാഠപുസ്തകം പരിശോധിക്കുക, എന്നാൽ പ്രായോഗിക ജോലികൾക്കായി, ഞങ്ങൾക്ക്, തത്വത്തിൽ, അത് ആവശ്യമില്ല. ഇവിടെയും തുടർന്നും, സീറോ വെക്റ്ററുകളുടെ കുറഞ്ഞ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യം കാരണം ഞാൻ ചിലപ്പോൾ അവയെ അവഗണിക്കും. സൈറ്റിലേക്കുള്ള വിപുലമായ സന്ദർശകർക്കായി ഞാൻ പ്രത്യേകമായി ഒരു റിസർവേഷൻ നടത്തി, ഇനിപ്പറയുന്ന ചില പ്രസ്താവനകളുടെ സൈദ്ധാന്തിക അപൂർണ്ണതയ്ക്ക് എന്നെ നിന്ദിക്കാൻ കഴിയും.

സാഹിത്യത്തിൽ, ആംഗിൾ ഐക്കൺ പലപ്പോഴും ഒഴിവാക്കുകയും ലളിതമായി എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

നിർവ്വചനം:രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളത്തിന്റെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു NUMBER ആണ്:

ഇപ്പോൾ അത് വളരെ കർശനമായ നിർവചനമാണ്.

ഞങ്ങൾ അവശ്യ വിവരങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു:

പദവി:സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലം ഒരു NUMBER ആണ്: ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് വെക്‌ടറിനെ വെക്‌ടർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. തീർച്ചയായും, വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, കോണിന്റെ കോസൈൻ ഒരു സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു സംഖ്യയും ആയിരിക്കും.

കുറച്ച് സന്നാഹ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം:

ഉദാഹരണം 1

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ഉത്തരം:

കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ ഇതിൽ കാണാം ത്രികോണമിതി പട്ടിക. ഇത് അച്ചടിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു - ടവറിന്റെ മിക്കവാറും എല്ലാ വിഭാഗങ്ങളിലും ഇത് ആവശ്യമായി വരും കൂടാതെ നിരവധി തവണ ആവശ്യമാണ്.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അളവില്ലാത്തതാണ്, അതായത്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഫലം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്, അത്രമാത്രം. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നിശ്ചിത ഭൗതിക അർത്ഥമുണ്ട്, അതായത്, ഫലത്തിന് ശേഷം, ഒന്നോ അതിലധികമോ ഫിസിക്കൽ യൂണിറ്റ് സൂചിപ്പിക്കണം. ഒരു ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള കാനോനിക്കൽ ഉദാഹരണം ഏത് പാഠപുസ്തകത്തിലും കാണാം (സൂത്രവാക്യം കൃത്യമായി ഒരു ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നമാണ്). ഒരു ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനം ജൂൾസിൽ അളക്കുന്നു, അതിനാൽ ഉത്തരം വളരെ വ്യക്തമായി എഴുതപ്പെടും, ഉദാഹരണത്തിന്.

ഉദാഹരണം 2

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക , വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ ആണ്.

ഇത് സ്വയം തീരുമാനത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, ഉത്തരം പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിലാണ്.

വെക്റ്ററുകളും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

ഉദാഹരണം 1-ൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയി മാറി, ഉദാഹരണം 2-ൽ അത് നെഗറ്റീവ് ആയി മാറി. സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടയാളം എന്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫോർമുല നോക്കാം: . നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർഘ്യം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്: , അതിനാൽ അടയാളം കോസൈന്റെ മൂല്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

കുറിപ്പ്: ചുവടെയുള്ള വിവരങ്ങൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന്, മാനുവലിൽ ഉള്ള കോസൈൻ ഗ്രാഫ് പഠിക്കുന്നത് നല്ലതാണ് ഗ്രാഫുകളും പ്രവർത്തന സവിശേഷതകളും. സെഗ്‌മെന്റിൽ കോസൈൻ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് കാണുക.

ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ ഉള്ളിൽ വ്യത്യാസപ്പെടാം , കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

1) എങ്കിൽ കുത്തിവയ്പ്പ്വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മസാലകൾ: (0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെ), പിന്നെ , ഒപ്പം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും സഹസംവിധാനം, അപ്പോൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. മുതൽ, ഫോർമുല ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു: .

2) എങ്കിൽ കുത്തിവയ്പ്പ്വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മൂർച്ചയുള്ള: (90 മുതൽ 180 ഡിഗ്രി വരെ), പിന്നെ , അതിനനുസരിച്ച്, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്: . പ്രത്യേക കേസ്: വെക്റ്ററുകൾ ആണെങ്കിൽ നേരെ വിപരീതമായി സംവിധാനം ചെയ്തു, പിന്നെ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു വിന്യസിക്കപ്പെട്ടു: (180 ഡിഗ്രി). സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും നെഗറ്റീവ് ആണ്, കാരണം

വിപരീത പ്രസ്താവനകളും ശരിയാണ്:

1) എങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിശിതമാണ്. പകരമായി, വെക്‌ടറുകൾ കോഡയറക്ഷണൽ ആണ്.

2) എങ്കിൽ, ഈ വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണ്. പകരമായി, വെക്‌ടറുകൾ വിപരീത ദിശയിലാണ് നയിക്കുന്നത്.

എന്നാൽ മൂന്നാമത്തെ കേസ് പ്രത്യേക താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്:

3) എങ്കിൽ കുത്തിവയ്പ്പ്വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ ഋജുവായത്: (90 ഡിഗ്രി) പിന്നെ ഒപ്പം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്: . വിപരീതവും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ , പിന്നെ . കോം‌പാക്റ്റ് സ്റ്റേറ്റ്‌മെന്റ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണെങ്കിൽ മാത്രം രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്.. ഹ്രസ്വ ഗണിത നൊട്ടേഷൻ:

! കുറിപ്പ് : ആവർത്തിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ: ഇരട്ട-വശങ്ങളുള്ള ലോജിക്കൽ അനന്തരഫലം ഐക്കൺ സാധാരണയായി വായിക്കുന്നത് "എങ്കിൽ പിന്നെ മാത്രം", "എങ്കിലും എങ്കിൽ മാത്രം". നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അമ്പടയാളങ്ങൾ രണ്ട് ദിശകളിലേക്കും നയിക്കപ്പെടുന്നു - "ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, തിരിച്ചും - ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു." വൺ-വേ ഫോളോ ഐക്കണിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? ഐക്കൺ അവകാശപ്പെടുന്നു അത് മാത്രം"ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു", വിപരീതം ശരിയാണെന്ന വസ്തുതയല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: , എന്നാൽ എല്ലാ മൃഗങ്ങളും ഒരു പാന്തർ അല്ല, അതിനാൽ ഈ കേസിൽ ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതേ സമയം, ഐക്കണിന് പകരം കഴിയുംഏകപക്ഷീയമായ ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്ററുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്തു: - അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് ശരിയായിരിക്കും, അതിലും കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ് .

മൂന്നാമത്തെ കേസ് വലിയ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുള്ളതാണ്., വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണോ അല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പാഠത്തിന്റെ രണ്ടാം വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉള്ള അവസ്ഥയിലേക്ക് മടങ്ങാം സഹസംവിധാനം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ പൂജ്യമാണ്, കൂടാതെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന ഫോർമുല ഫോം എടുക്കുന്നു: .

ഒരു വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? വെക്റ്റർ സ്വയം സംയോജിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ലളിതമാക്കിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നമ്പർ വിളിക്കുന്നു സ്കെയിലർ ചതുരംവെക്റ്റർ , എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഈ വഴിയിൽ, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ സ്കെയിലർ ചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ഇത് അവ്യക്തമാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും, പാഠത്തിന്റെ ചുമതലകൾ എല്ലാം അതിന്റെ സ്ഥാനത്ത് സ്ഥാപിക്കും. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ, നമുക്കും ആവശ്യമാണ് ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകൾക്കും ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ശരിയാണ്:

1) - സ്ഥാനഭ്രംശം അല്ലെങ്കിൽ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം.

2) - വിതരണം അല്ലെങ്കിൽ വിതരണക്കാരൻസ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പരാൻതീസിസ് തുറക്കാൻ കഴിയും.

3) - കോമ്പിനേഷൻ അല്ലെങ്കിൽ സഹകാരിസ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം. സ്ഥിരാങ്കം സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.

മിക്കപ്പോഴും, എല്ലാത്തരം സ്വത്തുക്കളും (അതും തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്!) വിദ്യാർത്ഥികൾ അനാവശ്യമായ ചവറ്റുകുട്ടകളായി കണക്കാക്കുന്നു, അത് പരീക്ഷയ്ക്ക് ശേഷം ഉടൻ തന്നെ ഓർമ്മിക്കുകയും സുരക്ഷിതമായി മറക്കുകയും വേണം. ഇവിടെ പ്രധാനപ്പെട്ടത് എന്താണെന്ന് തോന്നുന്നു, ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം മാറുന്നില്ലെന്ന് ഒന്നാം ഗ്രേഡ് മുതൽ എല്ലാവർക്കും ഇതിനകം അറിയാം:. ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകണം, അത്തരമൊരു സമീപനമുള്ള ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ കാര്യങ്ങൾ കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി സാധുതയുള്ളതല്ല ബീജഗണിത മാട്രിക്സ്. അത് സത്യമല്ല വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം. അതിനാൽ, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടുന്ന ഏതെങ്കിലും പ്രോപ്പർട്ടികൾ പരിശോധിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും, ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

ഉദാഹരണം 3

.

പരിഹാരം:ആദ്യം, നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സാഹചര്യം വ്യക്തമാക്കാം. അതെല്ലാം എന്തിനെക്കുറിച്ചാണ്? വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക, നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട വെക്‌ടറാണ്, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ലേഖനത്തിൽ കാണാം ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾ. വെക്റ്ററുള്ള അതേ ആരാണാവോ വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക.

അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സിദ്ധാന്തത്തിൽ, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് , പക്ഷേ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണും നമുക്ക് അറിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്‌നം. എന്നാൽ അവസ്ഥയിൽ, വെക്റ്ററുകൾക്ക് സമാനമായ പാരാമീറ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകും:

(1) വെക്റ്ററുകളുടെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

(2) ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു, ഒരു അശ്ലീല നാവ് ട്വിസ്റ്റർ ലേഖനത്തിൽ കാണാം സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾഅഥവാ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ സംയോജനം. ഞാൻ സ്വയം ആവർത്തിക്കില്ല =) വഴി, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിതരണ സ്വത്ത് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്.

(3) ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും നിബന്ധനകളിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ സ്ക്വയറുകളെ ഞങ്ങൾ ചുരുക്കി എഴുതുന്നു: . രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ, ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കമ്മ്യൂട്ടബിലിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു: .

(4) സമാനമായ നിബന്ധനകൾ ഇതാ: .

(5) ആദ്യ പദത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ സ്ക്വയർ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് വളരെക്കാലം മുമ്പ് സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. അവസാന ടേമിൽ, യഥാക്രമം, ഒരേ കാര്യം പ്രവർത്തിക്കുന്നു: . സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല അനുസരിച്ച് രണ്ടാമത്തെ പദം വിപുലീകരിക്കുന്നു .

(6) ഈ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് പകരം വയ്ക്കുക , അന്തിമ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നടപ്പിലാക്കുക.

ഉത്തരം:

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യം വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണെന്ന വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

ചുമതല സാധാരണമാണ്, ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 4

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക, അത് അറിയാമെങ്കിൽ .

പുതിയ വെക്റ്റർ നീളം ഫോർമുലയ്ക്ക് വേണ്ടിയുള്ള മറ്റൊരു പൊതു ജോലി. ഇവിടെയുള്ള പദവികൾ അൽപ്പം ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യും, അതിനാൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞാൻ അത് മറ്റൊരു അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിയെഴുതും:

ഉദാഹരണം 5

എങ്കിൽ വെക്‌ടറിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരംഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

(1) ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുന്നു.

(2) ഞങ്ങൾ നീളം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: , നമുക്ക് വെക്റ്റർ "ve" ആയി ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എക്സ്പ്രഷൻ ഉള്ളപ്പോൾ.

(3) തുകയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് ഞങ്ങൾ സ്കൂൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് ഇവിടെ എങ്ങനെ കൗതുകത്തോടെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക: - വാസ്തവത്തിൽ, ഇതാണ് വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരം, വാസ്തവത്തിൽ ഇത് അങ്ങനെയാണ്. താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്ക് വെക്റ്ററുകൾ സ്ഥലങ്ങളിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും: - നിബന്ധനകളുടെ പുനഃക്രമീകരണം വരെ ഇത് സമാനമാണ്.

(4) ഇനിപ്പറയുന്നത് മുമ്പത്തെ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് പരിചിതമാണ്.

ഉത്തരം:

നമ്മൾ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ, അളവ് സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത് - "യൂണിറ്റുകൾ".

ഉദാഹരണം 6

എങ്കിൽ വെക്‌ടറിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. മുഴുവൻ പരിഹാരവും പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ഉത്തരവും.

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ഉപയോഗപ്രദമായ കാര്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചൂഷണം ചെയ്യുന്നത് തുടരുന്നു. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫോർമുല ഒന്നുകൂടി നോക്കാം . ആനുപാതിക നിയമമനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം ഇടത് വശത്തെ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് പുനഃസജ്ജമാക്കുന്നു:

നമുക്ക് ഭാഗങ്ങൾ മാറ്റാം:

ഈ ഫോർമുലയുടെ അർത്ഥമെന്താണ്? രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും അറിയാമെങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കാം, തൽഫലമായി, ആംഗിൾ തന്നെ.

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഒരു സംഖ്യയാണോ? നമ്പർ. വെക്റ്റർ നീളം സംഖ്യകളാണോ? നമ്പറുകൾ. അതിനാൽ ഭിന്നസംഖ്യയും ഒരു സംഖ്യയാണ്. കോണിന്റെ കോസൈൻ അറിയാമെങ്കിൽ: , തുടർന്ന് വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്: .

ഉദാഹരണം 7

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക, അത് അറിയാമെങ്കിൽ.

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ഒരു സാങ്കേതികത ഉപയോഗിച്ചു - ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യം ഇല്ലാതാക്കുക. യുക്തിരാഹിത്യം ഇല്ലാതാക്കാൻ, ഞാൻ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

അങ്ങനെയാണെങ്കില് , പിന്നെ:

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും ത്രികോണമിതി പട്ടിക. ഇത് അപൂർവ്വമായി സംഭവിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ചില വിചിത്ര കരടികൾ പലപ്പോഴും പ്രത്യക്ഷപ്പെടാറുണ്ട്, കൂടാതെ കോണിന്റെ മൂല്യം ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. സത്യത്തിൽ ഈ ചിത്രം നമ്മൾ വീണ്ടും വീണ്ടും കാണും.

ഉത്തരം:

വീണ്ടും, അളവ് വ്യക്തമാക്കാൻ മറക്കരുത് - റേഡിയൻസും ഡിഗ്രികളും. വ്യക്തിപരമായി, മനഃപൂർവ്വം "എല്ലാ ചോദ്യങ്ങളും നീക്കം ചെയ്യുന്നതിനായി", രണ്ടും സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു (തീർച്ചയായും, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ഉത്തരം റേഡിയൻസിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രിയിൽ മാത്രം അവതരിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്).

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ജോലിയെ സ്വന്തമായി നേരിടാൻ കഴിയും:

ഉദാഹരണം 7*

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക , .

ടാസ്ക് മൾട്ടി-വേ പോലെ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല.
നമുക്ക് പരിഹാര അൽഗോരിതം വിശകലനം ചെയ്യാം:

1) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ നിങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് .

2) ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നു (ഉദാഹരണങ്ങൾ നമ്പർ 3, 4 കാണുക).

3) വെക്റ്ററിന്റെ നീളവും വെക്റ്ററിന്റെ നീളവും കണ്ടെത്തുക (ഉദാഹരണങ്ങൾ നമ്പർ 5, 6 കാണുക).

4) പരിഹാരത്തിന്റെ അവസാനം ഉദാഹരണം നമ്പർ 7 മായി യോജിക്കുന്നു - നമുക്ക് നമ്പർ അറിയാം , അതായത് ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ചെറിയ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

പാഠത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം ഒരേ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റുകൾ. ഇത് ആദ്യ ഭാഗത്തേക്കാൾ എളുപ്പമായിരിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം,
ഒരു ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു

ഉത്തരം:

കോർഡിനേറ്റുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ മനോഹരമാണെന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ.

ഉദാഹരണം 14

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക

ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ഉപയോഗിക്കാം, അതായത്, കണക്കാക്കരുത്, എന്നാൽ ഉടൻ തന്നെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ട്രിപ്പിൾ എടുത്ത് അവസാനമായി ഗുണിക്കുക. പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഖണ്ഡികയുടെ അവസാനം, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രകോപനപരമായ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 15

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക , എങ്കിൽ

പരിഹാരം:മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിന്റെ രീതി വീണ്ടും നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: പക്ഷേ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട്:

നമുക്ക് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം:

നിസ്സാര സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് അതിന്റെ നീളവും :

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഇവിടെ പ്രസക്തമല്ല!

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുമ്പോൾ അത് ബിസിനസ്സിന് പുറത്താണ്:
നിർത്തുക. ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ വ്യക്തമായ ദൈർഘ്യ ഗുണം എന്തുകൊണ്ട് പ്രയോജനപ്പെടുത്തിക്കൂടാ? ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ നീളത്തെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും? ഈ വെക്റ്റർ വെക്റ്ററിനേക്കാൾ 5 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്. ദിശ വിപരീതമാണ്, പക്ഷേ അത് പ്രശ്നമല്ല, കാരണം നമ്മൾ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്. വ്യക്തമായും, വെക്റ്ററിന്റെ നീളം ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് മൊഡ്യൂൾഓരോ വെക്റ്റർ ദൈർഘ്യത്തിനും സംഖ്യകൾ:
- മൊഡ്യൂളിന്റെ അടയാളം സംഖ്യയുടെ സാധ്യമായ മൈനസ് "തിന്നുന്നു".

ഈ വഴിയിൽ:

ഉത്തരം:

കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്ന വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുല

വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനായി മുമ്പ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായ വിവരങ്ങളുണ്ട്:

പ്ലെയിൻ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻകൂടാതെ, ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
.

ബഹിരാകാശ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ, ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 16

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് ലംബങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. കണ്ടെത്തുക (വെർട്ടെക്സ് ആംഗിൾ).

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ഡ്രോയിംഗ് ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും:

ആവശ്യമായ ആംഗിൾ ഒരു പച്ച ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. കോണിന്റെ സ്കൂൾ പദവി ഞങ്ങൾ ഉടനടി ഓർമ്മിക്കുന്നു: - പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ മധ്യഭാഗംഅക്ഷരം - ഇതാണ് നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ ശീർഷകം. സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, ഇത് ലളിതമായി എഴുതാം.

ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന്, ത്രികോണത്തിന്റെ കോൺ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്നും മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: .

മാനസികമായി നടത്തിയ വിശകലനം എങ്ങനെ നടത്തണമെന്ന് പഠിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്.

നമുക്ക് വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം:

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും:

ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ:

ചുമതലയുടെ ഈ ക്രമമാണ് ഞാൻ ഡമ്മികൾക്ക് ശുപാർശ ചെയ്യുന്നത്. കൂടുതൽ വിപുലമായ വായനക്കാർക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ "ഒരു വരിയിൽ" എഴുതാൻ കഴിയും:

"മോശം" കോസൈൻ മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം അന്തിമമല്ല, അതിനാൽ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യം ഒഴിവാക്കുന്നതിൽ കാര്യമില്ല.

നമുക്ക് ആംഗിൾ കണ്ടെത്താം:

നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം തികച്ചും വിശ്വസനീയമാണ്. ആംഗിൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന് ഒരു പ്രൊട്രാക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് അളക്കാനും കഴിയും. മോണിറ്റർ കോട്ടിംഗ് കേടുവരുത്തരുത് =)

ഉത്തരം:

ഉത്തരത്തിൽ, അത് മറക്കരുത് ത്രികോണത്തിന്റെ കോണിനെക്കുറിച്ച് ചോദിച്ചു(സദിശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിനെക്കുറിച്ചല്ല), കൃത്യമായ ഉത്തരം സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത്: കോണിന്റെ ഏകദേശ മൂല്യം: ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.

പ്രക്രിയ ആസ്വദിച്ചവർക്ക് കോണുകൾ കണക്കാക്കാനും കാനോനിക്കൽ തുല്യത ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാനും കഴിയും

ഉദാഹരണം 17

ഒരു ത്രികോണം ബഹിരാകാശത്ത് നൽകിയിരിക്കുന്നത് അതിന്റെ ലംബങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്. വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക

ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. മുഴുവൻ പരിഹാരവും പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ഉത്തരവും

ഒരു ചെറിയ അന്തിമ വിഭാഗം പ്രൊജക്ഷനുകൾക്കായി നീക്കിവയ്ക്കും, അതിൽ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും "ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു":

വെക്‌ടറിലേക്ക് വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ.
വെക്റ്റർ ദിശ കോസൈനുകൾ

വെക്റ്ററുകൾ പരിഗണിക്കുക കൂടാതെ:

വെക്‌ടറിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വെക്‌ടറിനെ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു, ഇതിനായി വെക്‌ടറിന്റെ തുടക്കത്തിലും അവസാനത്തിലും ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ലംബമായിഓരോ വെക്റ്ററിനും (പച്ച ഡോട്ടുള്ള വരകൾ). പ്രകാശകിരണങ്ങൾ വെക്‌ടറിൽ ലംബമായി പതിക്കുന്നതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. അപ്പോൾ സെഗ്മെന്റ് (റെഡ് ലൈൻ) വെക്റ്ററിന്റെ "നിഴൽ" ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വെക്‌ടറിലേക്കുള്ള ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളമാണ്. അതായത്, പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

ഈ NUMBER എന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: , "വലിയ വെക്റ്റർ" ഒരു വെക്റ്ററിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ഏത്പ്രോജക്റ്റ്, "സ്മോൾ സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് വെക്റ്റർ" വെക്റ്ററിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ന്പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.

എൻട്രി തന്നെ ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: "വെക്റ്റർ "എ" വെക്റ്ററിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ "ആയി".

വെക്റ്റർ "be" "വളരെ ചെറുതാണെങ്കിൽ" എന്ത് സംഭവിക്കും? വെക്റ്റർ "be" അടങ്ങുന്ന ഒരു നേർരേഖ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു. വെക്റ്റർ "a" ഇതിനകം പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടും വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയിലേക്ക് "be", ലളിതമായി - വെക്റ്റർ "be" അടങ്ങുന്ന ഒരു നേർരേഖയിൽ. മുപ്പതാം രാജ്യത്തിൽ വെക്റ്റർ "a" മാറ്റിവെച്ചാൽ ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കും - അത് വെക്റ്റർ "be" അടങ്ങുന്ന ലൈനിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടും.

കോണാണെങ്കിൽവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മസാലകൾ(ചിത്രത്തിലെന്നപോലെ), പിന്നെ

വെക്റ്ററുകൾ എങ്കിൽ ഓർത്തോഗണൽ, പിന്നെ (മാനങ്ങൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കുന്ന ഒരു പോയിന്റാണ് പ്രൊജക്ഷൻ).

കോണാണെങ്കിൽവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മൂർച്ചയുള്ള(ചിത്രത്തിൽ, വെക്റ്ററിന്റെ അമ്പടയാളം മാനസികമായി പുനഃക്രമീകരിക്കുക), തുടർന്ന് (അതേ നീളം, പക്ഷേ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത്).

ഈ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കുക:

വ്യക്തമായും, ഒരു വെക്റ്റർ നീക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ മാറില്ല