अपूर्णांक अभिव्यक्तीचे लॉगरिदम. नैसर्गिक लघुगणक, ln x फंक्शन

आम्ही लॉगरिदमचा अभ्यास सुरू ठेवतो. या लेखात आपण याबद्दल बोलू लॉगरिदमची गणना, या प्रक्रियेला म्हणतात लॉगरिदम घेऊन... प्रथम, आम्ही व्याख्येनुसार लॉगरिदमची गणना करू. पुढे, लॉगरिदमची मूल्ये त्यांच्या गुणधर्मांचा वापर करून कशी सापडतात याचा आम्ही विचार करू. त्यानंतर, आपण इतर लॉगरिदमच्या सुरुवातीला निर्दिष्ट केलेल्या मूल्यांच्या दृष्टीने लॉगरिदमच्या गणनेवर लक्ष केंद्रित करूया. शेवटी, लॉगरिदमच्या सारण्या कशा वापरायच्या ते जाणून घेऊया. संपूर्ण सिद्धांत तपशीलवार समाधानासह उदाहरणे प्रदान केला आहे.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

व्याख्येनुसार लॉगरिदम मोजणे

सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये, जलद आणि सहजपणे सादर करणे शक्य आहे व्याख्येनुसार लॉगरिदम शोधणे... ही प्रक्रिया कशी घडते यावर बारकाईने नजर टाकूया.

त्याचे सार हे आहे की संख्या b ला c, रूपात, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार, संख्या c हे लॉगरिदमचे मूल्य आहे. म्हणजेच, व्याख्येनुसार लॉगरिदम शोधणे खालील समानतेच्या साखळीशी संबंधित आहे: लॉग ए बी = लॉग ए सी = सी.

तर, व्याख्येनुसार, लॉगरिदमची गणना करणे, अशी संख्या c शोधण्यासाठी कमी केली जाते की c = b आणि संख्या c स्वतःच लॉगरिदमचे इच्छित मूल्य आहे.

मागील परिच्छेदांची माहिती विचारात घेऊन, जेव्हा लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील संख्या काही प्रमाणात लॉगरिदमच्या बेसच्या आधारावर दिली जाते, तेव्हा आपण लगेचच दर्शवू शकता की लघुगणक काय आहे - ते घातांकाच्या बरोबरीचे आहे. उदाहरणे उपाय दाखवू.

उदाहरण.

लॉग 2 2 −3 शोधा आणि ई 5.3 चे नैसर्गिक लघुगणक देखील काढा.

उपाय.

लॉगरिदमची व्याख्या आपल्याला लगेच सांगू देते की लॉग 2 2 −3 = −3. खरंच, लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील संख्या बेस 2 च्या −3 पॉवरच्या बरोबरीची आहे.

त्याचप्रमाणे, आपल्याला दुसरा लॉगरिदम सापडतो: lne 5.3 = 5.3.

उत्तर:

लॉग 2 2 −3 = −3 आणि lne 5.3 = 5.3.

जर लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील संख्या लॉगरिदमच्या पायाची पदवी म्हणून निर्दिष्ट केलेली नसेल, तर आपण काळजीपूर्वक पाहणे आवश्यक आहे की आपण सी स्वरूपात फॉर्म बी मध्ये प्रतिनिधित्व करू शकता का. सहसा असे प्रतिनिधित्व अगदी स्पष्ट असते, विशेषत: जेव्हा लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील संख्या 1, किंवा 2, किंवा 3 च्या शक्तीच्या पायाच्या बरोबरीची असते ...

उदाहरण.

लॉग 5 25 च्या लॉगरिदमची गणना करा, आणि.

उपाय.

हे पाहणे सोपे आहे की 25 = 5 2, हे आपल्याला पहिल्या लॉगरिदमची गणना करण्यास अनुमती देते: लॉग 5 25 = लॉग 5 5 2 = 2.

चला दुसऱ्या लॉगरिदमची गणना करू. संख्या 7 ची शक्ती म्हणून दर्शविली जाऊ शकते: (आवश्यक असल्यास पहा). म्हणून, .

खालीलप्रमाणे तिसरा लॉगरिदम पुन्हा लिहू. तुम्ही आता ते पाहू शकता , जिथून आपण हा निष्कर्ष काढतो ... म्हणून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार .

थोडक्यात, समाधान खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:.

उत्तर:

लॉग 5 25 = 2, आणि .

जेव्हा लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली पुरेशी मोठी नैसर्गिक संख्या असते, तेव्हा ती मुख्य घटकांमध्ये विघटित होण्यास त्रास होत नाही. हे सहसा अशा संख्येला लॉगरिदमच्या काही अंशाच्या स्वरूपात प्रतिनिधित्व करण्यास मदत करते आणि म्हणून, या लॉगरिदमची व्याख्या करून गणना करणे.

उदाहरण.

लॉगरिदमचे मूल्य शोधा.

उपाय.

लॉगरिदमचे काही गुणधर्म आपल्याला लॉगरिदमचे मूल्य त्वरित निर्दिष्ट करण्याची परवानगी देतात. या गुणधर्मांमध्ये एकाच्या लॉगरिदमची मालमत्ता आणि बेसच्या समान संख्येच्या लॉगरिदमची मालमत्ता समाविष्ट आहे: लॉग 1 1 = लॉग ए 0 = 0 आणि लॉग ए = लॉग ए 1 = 1. म्हणजेच, जेव्हा लघुगणकाच्या चिन्हाखाली एक संख्या 1 किंवा संख्या लघुगणकाच्या पायाच्या बरोबरीची असते, तेव्हा या प्रकरणांमध्ये लघुगणक अनुक्रमे 0 आणि 1 च्या बरोबरीचे असतात.

उदाहरण.

लॉगरिदम आणि lg10 समान काय आहेत?

उपाय.

तेव्हापासून, मग लॉगरिदमच्या व्याख्येपासून ते खालीलप्रमाणे आहे .

दुसऱ्या उदाहरणामध्ये, लॉगरिदमच्या चिन्हाखाली 10 ही संख्या त्याच्या पायाशी जुळते, म्हणून दहाचा दशांश लघुगणक एकाच्या बरोबरीचा आहे, म्हणजेच lg10 = lg10 1 = 1.

उत्तर:

आणि lg10 = 1.

लक्षात घ्या की व्याख्येनुसार लॉगरिदमची गणना (ज्याची आम्ही मागील परिच्छेदात चर्चा केली) समानता लॉग a p = p चा वापर सूचित करते, जो लॉगरिदमच्या गुणधर्मांपैकी एक आहे.

सराव मध्ये, जेव्हा लॉगरिदमच्या चिन्हाखालील संख्या आणि लॉगरिदमचा आधार सहजपणे काही संख्येची शक्ती म्हणून दर्शविला जातो, तेव्हा सूत्र वापरणे खूप सोयीचे असते , जे लॉगरिदमच्या एका गुणधर्माशी संबंधित आहे. या सूत्राचा वापर स्पष्ट करण्यासाठी लॉगरिदम शोधण्याचे उदाहरण पाहू.

उदाहरण.

लॉगरिदमची गणना करा.

उपाय.

उत्तर:

.

वर नमूद न केलेल्या लॉगरिदमचे गुणधर्म देखील गणनामध्ये वापरले जातात, परंतु आम्ही पुढील परिच्छेदांमध्ये याबद्दल बोलू.

इतर ज्ञात लॉगरिदमच्या दृष्टीने लॉगरिदम शोधणे

या विभागातील माहिती लॉगरिदमची गणना करताना त्यांचे गुणधर्म वापरण्याचा विषय चालू ठेवते. परंतु येथे मुख्य फरक असा आहे की लॉगरिदमचे गुणधर्म मूळ लॉगरिदम दुसऱ्या लॉगरिदमच्या दृष्टीने व्यक्त करण्यासाठी वापरले जातात, ज्याचे मूल्य ज्ञात आहे. स्पष्टीकरणासाठी एक उदाहरण देऊ. समजा की आम्हाला माहित आहे की लॉग 2 3≈1.584963, मग लॉगरिदमचे गुणधर्म वापरून एक लहान परिवर्तन करून आपण लॉग 2 6 शोधू शकतो: लॉग 2 6 = लॉग 2 (2 3) = लॉग 2 2 + लॉग 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

दिलेल्या उदाहरणामध्ये, उत्पादनाच्या लॉगरिदमची मालमत्ता वापरणे आमच्यासाठी पुरेसे होते. तथापि, बर्‍याचदा दिलेल्या लॉगरिदमची गणना करण्यासाठी लॉगरिदम गुणधर्मांचे विस्तृत शस्त्रागार वापरणे आवश्यक असते.

उदाहरण.

लॉग 60 2 = a आणि लॉग 60 5 = b माहीत असल्यास लॉग बेस 60 ची 27 गणना करा.

उपाय.

तर, आपल्याला लॉग 60 27 शोधणे आवश्यक आहे. हे पाहणे सोपे आहे की 27 = 3 3, आणि मूळ लॉगरिदम, शक्तीच्या लॉगरिदमच्या मालमत्तेमुळे, 3 · लॉग 60 3 म्हणून पुन्हा लिहीले जाऊ शकते.

आता ज्ञात लॉगरिदमच्या दृष्टीने लॉग 60 3 कसे व्यक्त करावे ते पाहू. बेसच्या समान संख्येच्या लॉगरिदमची मालमत्ता आम्हाला समानता लॉग 60 60 = 1 लिहू देते. दुसरीकडे लॉग 60 60 = लॉग 60 (2 2 3 5) = लॉग 60 2 2 + लॉग 60 3 + लॉग 60 5 = 2 लॉग 60 2 + लॉग 60 3 + लॉग 60 5. अशा प्रकारे, 2 लॉग 60 2 + लॉग 60 3 + लॉग 60 5 = 1... म्हणून, लॉग 60 3 = 1−2 लॉग 60 2 - लॉग 60 5 = 1−2 ए - बी.

शेवटी, मूळ लॉगरिदमची गणना करा: लॉग 60 27 = 3 लॉग 60 3 = 3 (1−2 a - b) = 3−6 a - 3 b.

उत्तर:

log 60 27 = 3 (1−2 a - b) = 3−6 a - 3 b.

स्वतंत्रपणे, फॉर्मच्या लॉगरिदमच्या नवीन बेसमध्ये संक्रमण करण्याच्या सूत्राच्या अर्थाबद्दल असे म्हटले पाहिजे ... हे आपल्याला कोणत्याही बेससह लॉगरिदम वरून विशिष्ट बेससह लॉगरिदम पर्यंत जाण्याची परवानगी देते, ज्याची मूल्ये ज्ञात आहेत किंवा ती शोधणे शक्य आहे. सहसा, सुरुवातीच्या लॉगरिदममधून, संक्रमण सूत्रानुसार, ते 2, e किंवा 10 बेसपैकी एकामध्ये लॉगरिदमवर जातात, कारण या बेससाठी लॉगरिदमच्या सारण्या असतात ज्या आपल्याला त्यांची मूल्ये विशिष्ट प्रमाणात मोजण्याची परवानगी देतात अचूकतेचे. पुढील भागात, हे कसे केले जाते ते आम्ही दर्शवू.

लॉगरिदमच्या सारण्या, त्यांचा वापर

लॉगरिदमच्या मूल्यांच्या अंदाजे गणनासाठी, कोणीही वापरू शकतो लॉगरिदम सारण्या... सर्वात जास्त वापरले जाणारे बेस 2 लॉगरिदम टेबल, नैसर्गिक लॉगरिदम टेबल आणि दशांश लॉगरिदम टेबल. दशांश पद्धतीमध्ये काम करताना, लघुगणक सारणीचा आधार दहा पर्यंत वापर करणे सोयीचे आहे. त्याच्या मदतीने, आम्ही लॉगरिदमची मूल्ये शोधायला शिकू.

प्रस्तुत सारणी, दहा-हजारव्या अचूकतेसह, 1,000 ते 9.999 (तीन दशांश स्थानांसह) च्या संख्यांच्या दशांश लॉगरिदमची मूल्ये शोधण्याची परवानगी देते. आम्ही विशिष्ट उदाहरणाचा वापर करून दशांश लॉगरिदम सारणी वापरून लॉगरिदमचे मूल्य शोधण्याच्या तत्त्वाचे विश्लेषण करू - हे अधिक स्पष्ट आहे. Lg1,256 शोधूया.

दशांश लॉगरिदमच्या सारणीच्या डाव्या स्तंभात, आम्हाला 1.256 क्रमांकाचे पहिले दोन अंक सापडले आहेत, म्हणजे आम्हाला 1.2 सापडले (ही संख्या स्पष्टतेसाठी निळ्या रंगात वर्तुळाकार आहे). आम्हाला दुहेरी ओळीच्या डावीकडे पहिल्या किंवा शेवटच्या ओळीत 1.256 (अंक 5) क्रमांकाचा तिसरा अंक सापडतो (ही संख्या लाल रंगात वर्तुळाकार आहे). मूळ क्रमांकाचा चौथा अंक 1.256 (अंक 6) दुहेरी ओळीच्या उजवीकडे पहिल्या किंवा शेवटच्या ओळीत आढळतो (ही संख्या हिरव्या रंगात वर्तुळाकार आहे). आता आम्हाला चिन्हांकित पंक्ती आणि चिन्हांकित स्तंभांच्या छेदनबिंदूवर लॉगरिदम सारणीच्या पेशींमध्ये संख्या सापडतात (हे संत्रे नारिंगीमध्ये ठळक केले आहेत). चिन्हांकित संख्यांची बेरीज चौथ्या दशांश स्थानावर अचूकतेसह दशांश लॉगरिदमचे इच्छित मूल्य देते, म्हणजे, lg1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

दशांश बिंदू नंतर तीन पेक्षा जास्त अंक असलेल्या संख्यांच्या दशांश लॉगरिदमची मूल्ये शोधणे आणि 1 ते 9.999 च्या श्रेणीच्या पलीकडे जाणे शक्य आहे का? होय आपण हे करू शकता. हे एका उदाहरणाद्वारे कसे केले जाते ते दाखवूया.

चला lg102.76332 ची गणना करूया. प्रथम आपल्याला लिहावे लागेल मानक संख्या: 102.76332 = 1.0276332 10 2. त्यानंतर, मंटिसा तिसऱ्या दशांश स्थानावर गोल केला पाहिजे, आपल्याकडे आहे 1.0276332 10 2 ≈ 1.028 10 2, तर मूळ दशांश लघुगणक परिणामी संख्येच्या लॉगरिदमच्या अंदाजे समान आहे, म्हणजेच, आम्ही lg102.76332≈lg1.028 · 10 2 घेतो. आता आम्ही लॉगरिदमचे गुणधर्म लागू करतो: lg1,02810 2 = lg1,028 + lg10 2 = lg1,028 + 2... शेवटी, आम्हाला दशांश लॉगरिदम lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012 च्या सारणीनुसार लॉगरिदम lg1.028 चे मूल्य सापडते. परिणामी, लॉगरिदमची गणना करण्याची संपूर्ण प्रक्रिया यासारखी दिसते: log102.76332 = log1.027633210 2 ≈ log1.02810 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

शेवटी, हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की दशांश लॉगरिदम सारणीचा वापर करून, आपण कोणत्याही लॉगरिदमचे अंदाजे मूल्य मोजू शकता. हे करण्यासाठी, दशांश लघुगणकांवर जाण्यासाठी, त्यांच्या मूल्ये सारणीनुसार शोधण्यासाठी आणि उर्वरित गणना करण्यासाठी संक्रमण सूत्र वापरणे पुरेसे आहे.

उदाहरणार्थ, लॉग 2 3 ची गणना करूया. लॉगरिदमच्या नवीन बेसमध्ये संक्रमणाच्या सूत्रानुसार, आपल्याकडे आहे. दशांश लॉगरिदमच्या सारणीवरून, आम्हाला lg3≈0.4771 आणि lg2≈0.3010 सापडतात. अशा प्रकारे, .

ग्रंथसूची.

• कोल्मोगोरोव्ह ए. एन., अब्रामोव ए. आणि इतर. बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात: शैक्षणिक संस्थांच्या 10 - 11 ग्रेडसाठी पाठ्यपुस्तक.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. गणित (तांत्रिक शाळांमध्ये अर्जदारांसाठी मार्गदर्शक).

लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती, उदाहरणांचे निराकरण. या लेखात आम्ही लॉगरिदम सोडवण्याशी संबंधित समस्या पाहू. कार्यांमध्ये, अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधण्याबद्दल प्रश्न उपस्थित केला जातो. हे लक्षात घेतले पाहिजे की लॉगरिदमची संकल्पना अनेक कार्यांमध्ये वापरली जाते आणि त्याचा अर्थ समजून घेणे अत्यंत महत्वाचे आहे. परीक्षेसाठी, समीकरण सोडवताना, लागू केलेल्या समस्यांमध्ये तसेच फंक्शन्सच्या अभ्यासाशी संबंधित कार्यांमध्ये लॉगरिदम वापरला जातो.

लॉगरिदमचा अर्थ समजून घेण्यासाठी येथे काही उदाहरणे आहेत:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख:

लॉगरिदमचे गुणधर्म जे नेहमी लक्षात ठेवले पाहिजेत:

* उत्पादनाचे लॉगरिदम हे घटकांच्या लॉगरिदमची बेरीज आहे.

* * *

* भागांश (अपूर्णांक) चे लघुगणक हे घटकांच्या लॉगरिदममधील फरकाच्या बरोबरीचे आहे.

* * *

* शक्तीचे लॉगरिदम त्याच्या बेसच्या लॉगरिदमने घातांच्या उत्पादनाच्या बरोबरीचे असते.

* * *

* नवीन बेसमध्ये संक्रमण

* * *

अधिक गुणधर्म:

* * *

लॉगरिदमची गणना घातांकांच्या गुणधर्मांच्या वापराशी जवळून संबंधित आहे.

चला त्यापैकी काही यादी करूया:

या गुणधर्माचे सार असे आहे की जेव्हा अंश हा भागाकडे हस्तांतरित केला जातो आणि त्याउलट, घाताचे चिन्ह उलट बदलते. उदाहरणार्थ:

या मालमत्तेचा परिणाम:

* * *

शक्तीला शक्ती वाढवताना, आधार समान राहतो आणि निर्देशक गुणाकार केले जातात.

* * *

तुम्ही पाहिल्याप्रमाणे, लॉगरिदमची संकल्पना अगदी सोपी आहे. मुख्य गोष्ट अशी आहे की चांगल्या सरावाची आवश्यकता आहे, जे एक विशिष्ट कौशल्य देते. अर्थात, सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे. जर प्राथमिक लॉगरिदम बदलण्याचे कौशल्य तयार झाले नाही, तर सोपी कार्ये सोडवताना आपण सहजपणे चूक करू शकता.

सराव करा, प्रथम गणिताच्या अभ्यासक्रमातील सर्वात सोपी उदाहरणे सोडवा, नंतर अधिक कठीण उदाहरणांकडे जा. भविष्यात, मी तुम्हाला "कुरुप" लॉगरिदम कसे सोडवले हे नक्कीच दाखवेन, परीक्षेत असे कोणतेही लॉगरिदम नसतील, परंतु ते स्वारस्यपूर्ण आहेत, ते चुकवू नका!

एवढेच! तुम्हाला यश!

विनम्र, अलेक्झांडर Krutitskikh

P.S: जर तुम्ही आम्हाला सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल सांगू शकाल तर मी आभारी आहे.

तुमची गोपनीयता आमच्यासाठी महत्त्वाची आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही आपली माहिती कशी वापरतो आणि संग्रहित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमचे गोपनीयता धोरण वाचा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचा संग्रह आणि वापर

वैयक्तिक माहिती म्हणजे विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या डेटाचा संदर्भ आहे.

जेव्हा आपण आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा आपल्याला कधीही आपली वैयक्तिक माहिती प्रदान करण्यास सांगितले जाऊ शकते.

आम्ही गोळा करू शकणाऱ्या वैयक्तिक माहितीचे प्रकार आणि आम्ही अशा माहितीचा वापर कसा करू शकतो याची काही उदाहरणे खाली दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• जेव्हा तुम्ही साइटवर विनंती करता, तेव्हा आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादींसह विविध माहिती गोळा करू शकतो.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला तुमच्याशी संपर्क साधण्याची आणि अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांची तक्रार करण्याची परवानगी देते.
• वेळोवेळी, आम्ही महत्त्वाच्या सूचना आणि संदेश पाठवण्यासाठी तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्ही प्रदान केलेल्या सेवांमध्ये सुधारणा करण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांबाबत शिफारशी प्रदान करण्यासाठी आम्ही ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन यासारख्या अंतर्गत हेतूंसाठी वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आपण बक्षीस ड्रॉ, स्पर्धा किंवा तत्सम प्रचारात्मक कार्यक्रमात भाग घेतल्यास, आपण प्रदान केलेल्या माहितीचा वापर अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी करू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहिती उघड करणे

आम्ही तुमच्याकडून मिळालेली माहिती तृतीय पक्षांना जाहीर करत नाही.

अपवाद:

• जर ते आवश्यक असेल तर - कायद्यानुसार, न्यायालयीन आदेशानुसार, न्यायालयीन कार्यवाहीमध्ये, आणि / किंवा रशियन फेडरेशनच्या प्रदेशावरील सरकारी अधिकाऱ्यांच्या सार्वजनिक चौकशी किंवा विनंत्यांच्या आधारावर - आपली वैयक्तिक माहिती उघड करण्यासाठी. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सामाजिकदृष्ट्या महत्त्वाच्या कारणांसाठी असा खुलासा आवश्यक किंवा योग्य आहे असे आम्ही ठरवल्यास आम्ही तुमच्याबद्दल माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही गोळा केलेली वैयक्तिक माहिती योग्य तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो - कायदेशीर उत्तराधिकारी.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

आम्ही आपली वैयक्तिक माहिती नुकसान, चोरी आणि गैरवर्तन, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षित करण्यासाठी प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिकसह सावधगिरी बाळगतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करा

आपली वैयक्तिक माहिती सुरक्षित आहे याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांसाठी गोपनीयता आणि सुरक्षिततेचे नियम आणतो आणि गोपनीयतेच्या उपायांच्या अंमलबजावणीवर काटेकोरपणे नजर ठेवतो.

तर, आपल्यासमोर दोन शक्ती आहेत. जर तुम्ही तळाच्या ओळीतून नंबर घेतलात, तर तुम्हाला ही पदवी सहज मिळू शकते ज्यामध्ये तुम्हाला हा क्रमांक मिळवण्यासाठी दोन वाढवाव्या लागतील. उदाहरणार्थ, 16 मिळविण्यासाठी, आपल्याला चौथ्या शक्तीमध्ये दोन वाढवणे आवश्यक आहे. आणि 64 मिळविण्यासाठी, आपल्याला सहाव्या शक्तीमध्ये दोन वाढवणे आवश्यक आहे. हे टेबलवरून पाहिले जाऊ शकते.

आणि आता - प्रत्यक्षात, लॉगरिदमची व्याख्या:

युक्तिवादाचा लघुगणक आधार x ही संख्या आहे जी संख्या मिळवण्यासाठी x संख्या वाढवणे आवश्यक आहे.

नोटेशन: लॉग a x = b, जेथे a हा आधार आहे, x हा युक्तिवाद आहे, b हा लघुगणक काय आहे.

उदाहरणार्थ, 2 3 = 8 ⇒ लॉग 2 8 = 3 (8 चा लॉग बेस 2 तीन आहे, कारण 2 3 = 8). त्याच यशाने लॉग 2 64 = 6, 2 6 = 64 पासून.

दिलेल्या बेसमध्ये संख्येचे लॉगरिदम शोधण्याच्या क्रियेला लॉगरिदम म्हणतात. तर, आमच्या टेबलमध्ये एक नवीन ओळ जोडूया:

दुर्दैवाने, सर्व लॉगरिदम इतक्या सहजपणे मोजले जात नाहीत. उदाहरणार्थ, लॉग 2 5 शोधण्याचा प्रयत्न करा. क्रमांक 5 सारणीमध्ये नाही, परंतु तर्कशास्त्र सांगते की लॉगरिदम खंडात कुठेतरी असेल. कारण 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

अशा संख्यांना तर्कहीन म्हणतात: दशांश बिंदू नंतरची संख्या अनिश्चित काळासाठी लिहिली जाऊ शकते आणि ती कधीही पुनरावृत्ती होत नाही. जर लघुगणक तर्कहीन ठरले, तर ते तसे सोडणे चांगले: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100.

हे समजणे महत्वाचे आहे की लॉगरिदम ही दोन व्हेरिएबल्स (बेस आणि आर्ग्युमेंट) असलेली अभिव्यक्ती आहे. सुरुवातीला, अनेकांना आधार कुठे आहे आणि वाद कुठे आहे याबद्दल गोंधळलेले आहेत. त्रासदायक गैरसमज टाळण्यासाठी, फक्त चित्रावर एक नजर टाका:

आमच्यापुढे लॉगरिदमच्या व्याख्येपेक्षा अधिक काही नाही. लक्षात ठेवा: लॉगरिदम ही पदवी आहेज्यासाठी युक्तिवाद मिळवण्यासाठी आधार उंचावणे आवश्यक आहे. हा आधार आहे जो शक्तीला उंचावला जातो - चित्रात ते लाल रंगात हायलाइट केले आहे. हे दिसून आले की आधार नेहमी तळाशी असतो! मी हा अद्भुत नियम माझ्या विद्यार्थ्यांना पहिल्याच धड्यावर सांगतो - आणि कोणताही गोंधळ निर्माण होत नाही.

आम्ही व्याख्या शोधली - लॉगरिदम कसे मोजायचे ते शिकणे बाकी आहे, म्हणजे. लॉग चिन्हापासून मुक्त व्हा. सुरुवातीला, आम्ही लक्षात घेतो की दोन महत्त्वाच्या तथ्ये व्याख्येतून पुढे येतात:

1. वितर्क आणि मुळा नेहमी शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे. हे तर्कशुद्ध सूचकांद्वारे पदवीच्या व्याख्येचे अनुसरण करते, ज्यामध्ये लॉगरिदमची व्याख्या कमी केली जाते.
2. आधार एकापेक्षा वेगळा असणे आवश्यक आहे, कारण एक अद्याप कोणत्याही प्रमाणात आहे. यामुळे, "दोन मिळवण्यासाठी एखाद्याने कोणत्या प्रमाणात वाढवावे" हा प्रश्न निरर्थक आहे. अशी कोणतीही पदवी नाही!

अशा निर्बंधांना म्हणतात वैध मूल्यांची श्रेणी(ओडीझेड). हे निष्पन्न झाले की लॉगरिदमचे ODZ असे दिसते: लॉग a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1.

लक्षात घ्या की संख्या बी (लॉगरिदमचे मूल्य) वर कोणतेही बंधन नाही. उदाहरणार्थ, लघुगणक negativeणात्मक असू शकते: लॉग 2 0.5 = -1, कारण 0.5 = 2 -1.

तथापि, आता आम्ही केवळ संख्यात्मक अभिव्यक्तींचा विचार करीत आहोत, जेथे लॉगरिदमचे ODV जाणून घेणे आवश्यक नाही. टास्क कंपाईलर्सद्वारे सर्व प्रतिबंध आधीच विचारात घेतले गेले आहेत. परंतु जेव्हा लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता येतात तेव्हा डीएचएस आवश्यकता अनिवार्य होतील. खरंच, तळाशी आणि युक्तिवादात खूप मजबूत बांधकामे असू शकतात जी अपरिहार्यपणे वरील निर्बंधांशी संबंधित नाहीत.

आता लॉगरिदम मोजण्यासाठी सामान्य योजना पाहू. यात तीन पायऱ्या असतात:

1. एकापेक्षा मोठ्या संभाव्य रेडिक्ससह एक शक्ती म्हणून रेडिक्स a आणि वितर्क x सादर करा. वाटेत, दशांश अपूर्णांकांपासून मुक्त होणे चांगले आहे;
2. व्हेरिएबल b साठी समीकरण सोडवा: x = a b;
3. परिणामी संख्या बी उत्तर असेल.

एवढेच! जर लघुगणक तर्कहीन ठरले, तर हे पहिल्या पायरीवर आधीच पाहिले जाईल. बेस एकापेक्षा जास्त असण्याची आवश्यकता खूप संबंधित आहे: यामुळे त्रुटीची शक्यता कमी होते आणि गणना मोठ्या प्रमाणात सुलभ होते. हे दशांश अपूर्णांकांप्रमाणेच आहे: जर आपण त्यांना त्वरित सामान्यमध्ये रूपांतरित केले तर अनेक वेळा कमी त्रुटी असतील.

विशिष्ट उदाहरणांसह ही योजना कशी कार्य करते ते पाहूया:

कार्य. लॉगरिदमची गणना करा: लॉग 5 25

1. चला आधार आणि युक्तिवादाला पाच शक्ती म्हणून प्रतिनिधित्व करूया: 5 = 5 1; 25 = 5 2;

चला समीकरण तयार करू आणि सोडवू:
लॉग 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. उत्तर मिळाले: 2.

कार्य. लॉगरिदमची गणना करा:

कार्य. लॉगची गणना करा: लॉग 4 64

1. चला आधार आणि युक्तिवादाचे दोन शक्ती म्हणून प्रतिनिधित्व करू: 4 = 2 2; 64 = 2 6;
2. चला समीकरण तयार करू आणि सोडवू:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. उत्तर मिळाले: 3.

कार्य. लॉगरिदमची गणना करा: लॉग 16 1

1. चला आधार आणि युक्तिवादाचे दोन शक्ती म्हणून प्रतिनिधित्व करूया: 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. चला समीकरण तयार करू आणि सोडवू:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. उत्तर मिळाले: 0.

कार्य. लॉगची गणना करा: लॉग 7 14

1. चला सातची शक्ती म्हणून आधार आणि युक्तिवादाचे प्रतिनिधित्व करूया: 7 = 7 1; 14 हे 7 ची शक्ती म्हणून दर्शविले जात नाही, 7 1 पासून< 14 < 7 2 ;
2. मागील मुद्द्यावरून असे दिसते की लॉगरिदम मोजले जात नाही;
3. उत्तर नाही बदल आहे: लॉग 7 14.

शेवटच्या उदाहरणावर एक छोटी टीप. एखादी संख्या दुसऱ्या क्रमांकाची अचूक शक्ती नाही हे आपण कसे सुनिश्चित करता? हे अगदी सोपे आहे - फक्त मुख्य घटकांमध्ये त्याचा समावेश करा. जर फॅक्टरायझेशनमध्ये कमीतकमी दोन भिन्न घटक असतील, तर संख्या अचूक शक्ती नाही.

कार्य. संख्येच्या अचूक शक्ती आहेत का ते शोधा: 8; 48; 81; 35; चौदा .

8 = 2 2 2 = 2 3 - अचूक पदवी, कारण फक्त एकच घटक आहे;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - अचूक पदवी नाही, कारण दोन घटक आहेत: 3 आणि 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - अचूक पदवी;
35 = 7 · 5 - पुन्हा अचूक पदवी नाही;
14 = 7 2 - पुन्हा अचूक पदवी नाही;

हे देखील लक्षात घ्या की प्राइम्स स्वतः नेहमीच त्यांच्या स्वतःच्या अचूक शक्ती असतात.

दशांश लघुगणक

काही लॉगरिदम इतके सामान्य आहेत की त्यांना एक विशेष नाव आणि पदनाम आहे.

X चा दशांश लघुगणक आधार 10 लघुगणक आहे, म्हणजे. संख्या x मिळवण्यासाठी ज्या शक्तीला 10 ची संख्या वाढवणे आवश्यक आहे. पद: lg x.

उदाहरणार्थ, lg 10 = 1; एलजी 100 = 2; lg 1000 = 3 - इ.

आतापासून, जेव्हा पाठ्यपुस्तकात "Find lg 0.01" सारखे वाक्यांश दिसून येते, तेव्हा तुम्हाला माहित असले पाहिजे: हा टायपो नाही. हे दशांश लॉगरिदम आहे. तथापि, जर तुम्हाला अशा पदनाची सवय नसेल, तर तुम्ही ते नेहमी पुन्हा लिहू शकता:
log x = log 10 x

सामान्य लॉगरिदमसाठी सत्य असलेली प्रत्येक गोष्ट दशांशसाठी देखील खरी आहे.

नैसर्गिक लघुगणक

आणखी एक लॉगरिदम आहे ज्याची स्वतःची नोटेशन आहे. एक प्रकारे, ते दशांश पेक्षाही अधिक महत्वाचे आहे. हे नैसर्गिक लॉगरिदम आहे.

X चे नैसर्गिक लॉगरिदम हे लॉगरिदम बेस e आहे, म्हणजे. संख्या x मिळवण्यासाठी ज्या शक्तीला ई संख्या वाढवणे आवश्यक आहे. पद: ln x.

बरेचजण विचारतील: ई नंबर आणखी काय आहे? ही एक अपरिमेय संख्या आहे, त्याचा अचूक अर्थ शोधला जाऊ शकत नाही आणि लिहीला जाऊ शकत नाही. मी फक्त पहिले आकडे देईन:
ई = 2.718281828459 ...

ही संख्या काय आहे आणि ती का आवश्यक आहे याचा आम्ही विचार करणार नाही. फक्त लक्षात ठेवा की ई हा नैसर्गिक लॉगरिदमचा आधार आहे:
ln x = log e x

अशा प्रकारे, ln e = 1; ln ई 2 = 2; ln e 16 = 16 - इ. दुसरीकडे, ln 2 एक अपरिमेय संख्या आहे. सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही तर्कसंगत संख्येचे नैसर्गिक लॉगरिदम अतार्किक आहे. अर्थात, युनिट्स वगळता: ln 1 = 0.

नैसर्गिक लॉगरिदमसाठी, सर्व नियम खरे आहेत जे सामान्य लॉगरिदमसाठी खरे आहेत.

मूलभूत गुणधर्म.

1. logax + logay = loga (x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

एकसारखे आधार

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

आता कार्य थोडे गुंतागुंतीचे करूया.

लॉगरिदम सोडवण्याची उदाहरणे

जर लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद पदवीवर आधारित असेल तर? मग या पदवीचा घातांक खालील नियमांनुसार लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

अर्थात, या सर्व नियमांना अर्थ आहे जर लॉगरिदमचे ODL पाळले गेले: a> 0, a ≠ 1, x>

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

नवीन पायाकडे वाटचाल

लॉगरिदम दिले जाऊ द्या. नंतर, c> 0 आणि c -1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, खालील समानता आहे:

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

हे देखील पहा:

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, आपण नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 आहे आणि लिओ निकोलायविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षातून दोनदा.

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही माहित असतील.

लॉगरिदमसाठी उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण 1.
अ). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

गुणधर्मांनुसार 3.5 आम्ही गणना करतो

2.

3.

4. कुठे .

उदाहरण 2. जर x शोधा

उदाहरण 3. लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

लॉग (x) चे मूल्यांकन करा

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्यांप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्याला म्हणतात मूलभूत गुणधर्म.

हे नियम जाणून घेणे अत्यावश्यक आहे - कोणतीही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या त्यांच्याशिवाय सोडवता येत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - सर्व काही एका दिवसात शिकले जाऊ शकते. तर चला सुरुवात करूया.

लॉगरिदमची बेरीज आणि वजाबाकी

समान आधारांसह दोन लॉगरिदमचा विचार करा: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga (x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

तर, लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीची आहे आणि फरक भागफलकाचा लॉगरिदम आहे. कृपया लक्षात घ्या, येथे मुख्य मुद्दा आहे - एकसारखे आधार... कारणे वेगळी असल्यास, हे नियम कार्य करत नाहीत!

हे सूत्र आपल्याला लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यास मदत करेल जरी त्याचे वैयक्तिक भाग मोजले जात नसले तरीही ("लघुगणक काय आहे" धडा पहा). उदाहरणे पहा - आणि पहा:

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 - log2 3.

आधार समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 - log3 5.

पुन्हा आधार समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहेत:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

जसे आपण पाहू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "वाईट" लॉगरिदमने बनलेली आहेत, जी स्वतंत्रपणे मोजली जात नाहीत. परंतु परिवर्तनानंतर, अगदी सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. परंतु कोणते नियंत्रण - सर्व गंभीरतेमध्ये अशा अभिव्यक्ती (कधीकधी - व्यावहारिकरित्या अपरिवर्तित) परीक्षेवर दिल्या जातात.

लॉगरिदममधून घातांक काढणे

शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो हे पाहणे सोपे आहे. परंतु हे सर्व समान लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, या सर्व नियमांना अर्थ आहे जर लॉगरिदमचे ODL पाळले गेले असेल: a> 0, a ≠ 1, x> 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे फक्त डावीकडून उजवीकडे लागू करायला शिका, पण उलट , म्हणजे आपण लॉगरिदमच्या चिन्हासमोर संख्या लॉगरिदममध्येच प्रविष्ट करू शकता. हेच बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

चला प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊया:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लघुगणक आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे:

मला वाटते की शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गायब झाले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत, आम्ही फक्त भाज्यासह कार्य करतो.

लॉगरिदमसाठी सूत्रे. लॉगरिदम हे उपायांचे उदाहरण आहेत.

आम्ही अंशांच्या रूपात तेथे उभ्या असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद सादर केला आणि निर्देशक बाहेर आणले - आम्हाला "तीन -मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मूलभूत अंश पाहू. अंश आणि भागामध्ये समान संख्या असते: log2 7. log2 7 ≠ 0 असल्याने, आम्ही अपूर्णांक रद्द करू शकतो - भाजक 2/4 राहतो. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चौघांना अंकामध्ये हस्तांतरित केले जाऊ शकते, जे केले गेले. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायाकडे वाटचाल

लॉगरिदमच्या बेरीज आणि वजाबाकीच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः यावर जोर दिला की ते फक्त त्याच आधारांसाठी काम करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येचे अचूक अधिकार नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणासाठी सूत्रे बचावासाठी येतात. आपण त्यांना प्रमेय स्वरूपात तयार करूया:

लॉगरिदम दिले जाऊ द्या. नंतर, c> 0 आणि c -1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, खालील समानता आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x लावले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसते की बेस आणि लॉगरिदमचा युक्तिवाद स्वॅप करणे शक्य आहे, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलट" आहे, म्हणजे. लघुगणक हर्यात दिसते.

पारंपारिक संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये ही सूत्रे क्वचितच आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचा अंदाज लावता येतो.

तथापि, अशी काही कार्ये आहेत जी सामान्यतः नवीन पायावर संक्रमण केल्याशिवाय सोडवली जात नाहीत. यापैकी दोन गोष्टींचा विचार करा:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक अंश असतात. चला निर्देशक काढू: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लघुगणक "फ्लिप" करू:

घटकांच्या क्रमपरिवर्तनाने उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदमसह व्यवहार केला.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 · lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक अंश आहेत. चला हे लिहू आणि मेट्रिक्सपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिदमपासून मुक्त होऊया:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

बर्‍याचदा सोडवण्याच्या प्रक्रियेत दिलेल्या संख्येला लघुगणक म्हणून प्रतिनिधित्व करणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, सूत्र आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, संख्या n युक्तिवादात घातांक बनते. संख्या n पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिदमचे मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात व्याख्यात्मक व्याख्या आहे. त्याला असे म्हणतात:.

खरंच, जर संख्या b इतक्या शक्तीपर्यंत वाढवली गेली की या शक्तीला संख्या b ही संख्या a देते? हे बरोबर आहे: तुम्हाला हा नंबर अ. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर "हँग" करतात.

नवीन बेसमध्ये संक्रमण करण्याच्या सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख कधीकधी एकमेव संभाव्य उपाय असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - फक्त बेस आणि लॉगरिदम युक्तिवादातून चौरस हलवला. समान बेससह अंश गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहिती नसेल, तर ती परीक्षेची खरी समस्या होती

लॉगरिदमिक युनिट आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकते - त्याऐवजी, ते लॉगरिदमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. त्यांना सतत समस्यांमध्ये सामोरे जावे लागते आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठीही समस्या निर्माण होतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: या बेसमधून कोणत्याही बेस a चा लॉगरिदम एकच्या समान आहे.
2. लोगो 1 = 0 आहे. आधार a काहीही असू शकतो, परंतु जर तर्क एक असेल तर लॉगरिदम शून्य आहे! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

ते सर्व गुणधर्म आहेत. त्यांना प्रत्यक्षात आणण्याचा सराव करा! धड्याच्या सुरुवातीला चीट शीट डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

हे देखील पहा:

B ते a a चा लघुगणक अभिव्यक्ती दर्शवते. लॉगरिदमची गणना करणे म्हणजे x () ची अशी शक्ती शोधणे ज्यावर समानता आहे

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

दिलेल्या गुणधर्मांची माहिती असणे आवश्यक आहे, कारण त्यांच्या आधारावर, जवळजवळ सर्व समस्या आणि उदाहरणे लॉगरिदमशी संबंधित आहेत. उर्वरित विदेशी गुणधर्म या सूत्रांसह गणिती हाताळणीद्वारे काढले जाऊ शकतात

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

लॉगरिदम (3.4) च्या बेरीज आणि फरकाची सूत्रे मोजताना बऱ्याचदा समोर येतात. उर्वरित काहीसे जटिल आहेत, परंतु बर्‍याच कार्यांमध्ये ते जटिल अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी आणि त्यांची मूल्ये मोजण्यासाठी अपरिहार्य आहेत.

लॉगरिदमची सामान्य प्रकरणे

काही सामान्य लॉगरिदम असे आहेत ज्यात आधार अगदी दहा, घातांक किंवा दोन आहे.
बेस टेन लॉगरिदमला सहसा दशांश लॉगरिदम म्हणतात आणि फक्त lg (x) असे दर्शविले जाते.

रेकॉर्डिंगवरून हे स्पष्ट होते की रेकॉर्डिंगमध्ये मूलभूत गोष्टी लिहिलेल्या नाहीत. उदाहरणार्थ

नैसर्गिक लॉगरिदम हे घातांवर आधारित लॉगरिदम आहे (ln (x) द्वारे दर्शविले जाते).

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, आपण नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 आहे आणि लिओ निकोलायविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षातून दोनदा. हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही माहित असतील.

आणि दुसरा महत्त्वाचा आधार दोन लॉगरिदम आहे

फंक्शनच्या लॉगरिदमचे व्युत्पन्न व्हेरिएबलने विभाजित केलेल्या समान आहे

लॉगरिदमचा अविभाज्य किंवा अँटीडायरिव्हेटिव्ह अवलंबनाद्वारे निर्धारित केला जातो

दिलेली सामग्री तुमच्यासाठी लॉगरिदम आणि लॉगरिदमशी संबंधित समस्यांच्या विस्तृत वर्गाचे निराकरण करण्यासाठी पुरेसे आहे. साहित्य आत्मसात करण्यासाठी, मी शालेय अभ्यासक्रम आणि विद्यापीठांमधून फक्त काही सामान्य उदाहरणे देईन.

लॉगरिदमसाठी उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण 1.
अ). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

गुणधर्मांनुसार 3.5 आम्ही गणना करतो

2.
लॉगरिदमच्या फरकाच्या गुणधर्माद्वारे, आपल्याकडे आहे

3.
3,5 गुणधर्म वापरणे आम्हाला सापडते

4. कुठे .

असंख्य नियम वापरून एक उशिर जटिल अभिव्यक्ती फॉर्ममध्ये सरलीकृत केली जाते

लॉगरिदमची मूल्ये शोधणे

उदाहरण 2. जर x शोधा

उपाय. गणना करण्यासाठी, आम्ही शेवटच्या टर्म 5 आणि 13 गुणधर्मांना लागू करतो

पर्याय आणि दु: ख

आधार समान असल्याने, आम्ही अभिव्यक्तींना समान करतो

लॉगरिदम. पहिला स्तर.

लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

लॉग (x) चे मूल्यांकन करा

उपाय: अटींच्या बेरीजद्वारे लॉगरिदम लिहिण्यासाठी चल लाॅगरिदम करू

येथूनच लॉगरिदम आणि त्यांच्या गुणधर्मांशी परिचित होणे सुरू होते. गणनेचा सराव करा, आपली व्यावहारिक कौशल्ये समृद्ध करा - लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी आपल्याला लवकरच या ज्ञानाची आवश्यकता असेल. अशा समीकरणांचे निराकरण करण्यासाठी मूलभूत पद्धतींचा अभ्यास केल्यावर, आम्ही तुमचे ज्ञान दुसर्‍या तितक्याच महत्त्वाच्या विषयासाठी विस्तारित करू - लॉगरिदमिक असमानता ...

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्यांप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्याला म्हणतात मूलभूत गुणधर्म.

हे नियम जाणून घेणे अत्यावश्यक आहे - कोणतीही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या त्यांच्याशिवाय सोडवता येत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - सर्व काही एका दिवसात शिकले जाऊ शकते. तर चला सुरुवात करूया.

लॉगरिदमची बेरीज आणि वजाबाकी

समान आधारांसह दोन लॉगरिदमचा विचार करा: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga (x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

तर, लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीची आहे आणि फरक भागफलकाचा लॉगरिदम आहे. कृपया लक्षात घ्या, येथे मुख्य मुद्दा आहे - एकसारखे आधार... कारणे वेगळी असल्यास, हे नियम कार्य करत नाहीत!

हे सूत्र आपल्याला लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यास मदत करेल जरी त्याचे वैयक्तिक भाग मोजले जात नसले तरीही ("लघुगणक काय आहे" धडा पहा). उदाहरणे पहा - आणि पहा:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log6 4 + log6 9.

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 - log2 3.

आधार समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 - log3 5.

पुन्हा आधार समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहेत:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

जसे आपण पाहू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "वाईट" लॉगरिदमने बनलेली आहेत, जी स्वतंत्रपणे मोजली जात नाहीत. परंतु परिवर्तनानंतर, अगदी सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. परंतु कोणते नियंत्रण - सर्व गंभीरतेमध्ये अशा अभिव्यक्ती (कधीकधी - व्यावहारिकरित्या अपरिवर्तित) परीक्षेवर दिल्या जातात.

लॉगरिदममधून घातांक काढणे

आता कार्य थोडे गुंतागुंतीचे करूया. जर लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद पदवीवर आधारित असेल तर? मग या पदवीचा घातांक खालील नियमांनुसार लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो हे पाहणे सोपे आहे. परंतु हे सर्व समान लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, हे सर्व नियम अर्थपूर्ण आहेत जर लॉगरिदमचे ODL पाळले गेले: a> 0, a ≠ 1, x> 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे फक्त डावीकडून उजवीकडे लागू करायला शिका, पण उलट , म्हणजे आपण लॉगरिदमच्या चिन्हासमोर संख्या लॉगरिदममध्येच प्रविष्ट करू शकता.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे

हेच बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

चला प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊया:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लघुगणक आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे:

मला वाटते की शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गायब झाले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत, आम्ही फक्त भाज्यासह कार्य करतो. आम्ही अंशांच्या रूपात तेथे उभ्या असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद सादर केला आणि निर्देशक बाहेर आणले - आम्हाला "तीन -मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मूलभूत अंश पाहू. अंश आणि भागामध्ये समान संख्या असते: log2 7. log2 7 ≠ 0 असल्याने, आम्ही अपूर्णांक रद्द करू शकतो - भाजक 2/4 राहतो. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चौघांना अंकामध्ये हस्तांतरित केले जाऊ शकते, जे केले गेले. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायाकडे वाटचाल

लॉगरिदमच्या बेरीज आणि वजाबाकीच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः यावर जोर दिला की ते फक्त त्याच आधारांसाठी काम करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येचे अचूक अधिकार नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणासाठी सूत्रे बचावासाठी येतात. आपण त्यांना प्रमेय स्वरूपात तयार करूया:

लॉगरिदम दिले जाऊ द्या. नंतर, c> 0 आणि c -1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, खालील समानता आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x लावले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसते की बेस आणि लॉगरिदमचा युक्तिवाद स्वॅप करणे शक्य आहे, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलट" आहे, म्हणजे. लघुगणक हर्यात दिसते.

पारंपारिक संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये ही सूत्रे क्वचितच आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचा अंदाज लावता येतो.

तथापि, अशी काही कार्ये आहेत जी सामान्यतः नवीन पायावर संक्रमण केल्याशिवाय सोडवली जात नाहीत. यापैकी दोन गोष्टींचा विचार करा:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक अंश असतात. चला निर्देशक काढू: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लघुगणक "फ्लिप" करू:

घटकांच्या क्रमपरिवर्तनाने उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदमसह व्यवहार केला.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 · lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक अंश आहेत. चला हे लिहू आणि मेट्रिक्सपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिदमपासून मुक्त होऊया:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

बर्‍याचदा सोडवण्याच्या प्रक्रियेत दिलेल्या संख्येला लघुगणक म्हणून प्रतिनिधित्व करणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, सूत्र आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, संख्या n युक्तिवादात घातांक बनते. संख्या n पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिदमचे मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात व्याख्यात्मक व्याख्या आहे. त्याला असे म्हणतात:.

खरंच, जर संख्या b इतक्या शक्तीपर्यंत वाढवली गेली की या शक्तीला संख्या b ही संख्या a देते? हे बरोबर आहे: तुम्हाला हा नंबर अ. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर "हँग" करतात.

नवीन बेसमध्ये संक्रमण करण्याच्या सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख कधीकधी एकमेव संभाव्य उपाय असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - फक्त बेस आणि लॉगरिदम युक्तिवादातून चौरस हलवला. समान बेससह अंश गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहिती नसेल, तर ती परीक्षेची खरी समस्या होती

लॉगरिदमिक युनिट आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकते - त्याऐवजी, ते लॉगरिदमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. त्यांना सतत समस्यांमध्ये सामोरे जावे लागते आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठीही समस्या निर्माण होतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: या बेसमधून कोणत्याही बेस a चा लॉगरिदम एकच्या समान आहे.
2. लोगो 1 = 0 आहे. आधार a काहीही असू शकतो, परंतु जर तर्क एक असेल तर लॉगरिदम शून्य आहे! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

ते सर्व गुणधर्म आहेत. त्यांना प्रत्यक्षात आणण्याचा सराव करा! धड्याच्या सुरुवातीला चीट शीट डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.