क्षेत्र सूत्र आयताकृती आहे. क्षेत्राची गणना आणि नियुक्ती कशी करावी

इयत्ता 5 पासून, विद्यार्थी वेगवेगळ्या आकारांच्या क्षेत्रांच्या संकल्पनेशी परिचित होऊ लागतात. आयताच्या क्षेत्रास एक विशेष भूमिका दिली जाते, कारण ही आकृती अभ्यासासाठी सर्वात सोपी आहे.

क्षेत्र संकल्पना

कोणत्याही आकृतीचे स्वतःचे क्षेत्रफळ असते आणि क्षेत्रफळाची गणना एका युनिट स्क्वेअरमधून केली जाते, म्हणजेच 1 मिमी, किंवा 1 सेमी, 1 डीएम इत्यादी लांब बाजू असलेल्या चौरसातून. अशा आकृतीचे क्षेत्रफळ $ 1 * 1 = 1mm ^ 2 $, किंवा $ 1cm ^ 2 $ इ. क्षेत्रफळ सहसा S अक्षराने दर्शविले जाते.

हे क्षेत्र विमानाच्या भागाचा आकार दर्शविते जे रेषाखंडांनी रेखांकित केलेली आकृती व्यापते.

आयत हा एक चतुर्भुज आहे ज्यामध्ये सर्व कोन समान अंश मापाचे आहेत आणि 90 अंशांच्या समान आहेत आणि विरुद्ध बाजू समांतर आणि जोड्यांमध्ये समान आहेत.

लांबी आणि रुंदीच्या युनिट्सकडे विशेष लक्ष द्या. ते जुळले पाहिजेत. युनिट्स जुळत नसल्यास, ते भाषांतरित केले जातात. नियमानुसार, ते मोठ्या युनिटचे एका लहानमध्ये भाषांतर करतात, उदाहरणार्थ, जर लांबी dm मध्ये दिली असेल आणि रुंदी cm मध्ये असेल, तर dm cm मध्ये रूपांतरित होईल आणि परिणाम $ cm ^ 2 $ असेल.

आयताच्या क्षेत्रासाठी सूत्र

सूत्राशिवाय आयताचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला आकृती विभाजित केलेल्या युनिट वर्गांची संख्या मोजणे आवश्यक आहे.

तांदूळ. 1. एकक चौरसांमध्ये विभागलेला आयत

आयत 15 चौरसांमध्ये विभागलेला आहे, म्हणजेच त्याचे क्षेत्रफळ 15 सेमी 2 आहे. हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की आकृती रुंदीमध्ये 3 चौरस आणि 5 लांबी व्यापते, कारण युनिट चौरसांची संख्या मोजण्यासाठी, लांबी रुंदीने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. चौकोनाची लहान बाजू रुंदी, लांबी जास्त. अशा प्रकारे, आपण आयताच्या क्षेत्रासाठी सूत्र काढू शकतो:

S = a b, जेथे a, b ही आकृतीची रुंदी आणि लांबी आहेत.

उदाहरणार्थ, जर आयताची लांबी 5 सेमी आणि रुंदी 4 सेमी असेल तर क्षेत्रफळ 4 * 5 = 20 सेमी 2 असेल.

आयताच्या कर्णाचा वापर करून त्याचे क्षेत्रफळ मोजत आहे

कर्ण ओलांडून आयताचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, तुम्ही सूत्र लागू केले पाहिजे:

$$ S = (1 \ over (2)) ⋅ d ^ 2 ⋅ sin (α) $$

जर कार्य कर्णांमधील कोनाची मूल्ये, तसेच कर्णाचे स्वतःचे मूल्य देते, तर तुम्ही अनियंत्रित बहिर्वक्र चतुर्भुजांचे सामान्य सूत्र वापरून आयताचे क्षेत्रफळ काढू शकता.

कर्ण हा एक रेषाखंड आहे जो आकाराच्या विरुद्ध बिंदूंना जोडतो. आयताचे कर्ण समान आहेत, आणि छेदनबिंदू अर्धा आहे.

तांदूळ. 2. काढलेल्या कर्णांसह आयत

ची उदाहरणे

विषय एकत्रित करण्यासाठी, कार्यांची उदाहरणे विचारात घ्या:

# 1. बाग प्लॉटचे क्षेत्र शोधा, जसे की चित्रात.

तांदूळ. 3. कार्यासाठी रेखाचित्र

उपाय:

क्षेत्र वजा करण्यासाठी, तुम्हाला आकृती दोन आयतांमध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे. त्यापैकी एकाची परिमाणे 10 मीटर आणि 3 मीटर, इतर 5 मीटर आणि 7 मीटर असतील. स्वतंत्रपणे, आम्ही त्यांचे क्षेत्र शोधू:

$S_1 = 3 * 10 = 30 m ^ 2 $;

हे गार्डन प्लॉटचे क्षेत्रफळ $ S = 65 m^ 2 $ असेल.

#2. आयताचे क्षेत्रफळ वजा करा जर त्याचा कर्ण d = 6 सेमी आणि कर्णांमधील कोन α = 30 0 दिला.

उपाय:

मूल्य $sin 30 = (1 \ over (2)) $,

$S = (1 \ over (2)) ⋅ d ^ 2 ⋅ sinα $

$S = (1 \ over (2)) * 6 ^ 2 * (1 \ over (2)) = 9 सेमी ^ 2 $

तर $S = 9 सेमी ^ 2 $.

कर्ण आयताला 4 आकार - 4 त्रिकोणांमध्ये विभाजित करतात. या प्रकरणात, त्रिकोण जोड्यांमध्ये समान आहेत. जर तुम्ही आयतामध्ये कर्णरेषा काढली तर ती आकृतीला दोन समान काटकोन त्रिकोणांमध्ये विभागते.सरासरी रेटिंग: ४.४. एकूण मिळालेले रेटिंग: २१४.

पृथ्वीचे मोजमाप कसे करायचे याचे ज्ञान प्राचीन काळापासूनचे आहे आणि हळूहळू भूमितीच्या विज्ञानात विकसित झाले आहे. हा शब्द ग्रीक भाषेतून अनुवादित केला आहे - "सर्वेक्षण".

पृथ्वीच्या सपाट क्षेत्राच्या लांबी आणि रुंदीचे मोजमाप म्हणजे क्षेत्रफळ. गणितात, हे सहसा लॅटिन अक्षर S (इंग्रजी "स्क्वेअर" - "क्षेत्र", "चौरस" मधून) किंवा ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) द्वारे दर्शविले जाते. S हे विमानावरील आकृतीचे क्षेत्रफळ किंवा शरीराच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ दर्शवते आणि σ हे भौतिकशास्त्रातील वायरचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे. ही मुख्य चिन्हे आहेत, जरी इतर असू शकतात, उदाहरणार्थ, सामग्रीच्या सामर्थ्याच्या क्षेत्रात, A हे प्रोफाइलचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे.

गणना सूत्रे

साध्या आकारांची क्षेत्रे जाणून घेतल्यास, आपण अधिक जटिल पॅरामीटर्स शोधू शकता... प्राचीन गणितज्ञांनी सूत्रे विकसित केली ज्याद्वारे त्यांची सहज गणना केली जाऊ शकते. अशा आकृत्या म्हणजे त्रिकोण, चतुर्भुज, बहुभुज, वर्तुळ.

जटिल प्लॅनर आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, ते त्रिकोण, ट्रॅपेझॉइड किंवा आयत यांसारख्या अनेक साध्या आकृत्यांमध्ये विभागले गेले आहे. मग, गणितीय पद्धतींनी, या आकृतीच्या क्षेत्रफळासाठी एक सूत्र काढले जाते. अशीच पद्धत केवळ भूमितीमध्येच नाही तर वक्रांनी बांधलेल्या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी गणितीय विश्लेषणात देखील वापरली जाते.

त्रिकोण

चला सर्वात सोप्या आकाराने सुरुवात करूया - एक त्रिकोण. ते आयताकृती, समद्विभुज आणि समभुज आहेत. AB = a, BC = b आणि AC = c (∆ ABC) बाजू असलेला ABC कोणताही त्रिकोण घ्या. त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमातून ज्ञात सायन्स आणि कोसाइनची प्रमेये आठवूया. सर्व गणना सोडवून, आम्ही खालील सूत्रांवर येतो:

• S = √ हे सुप्रसिद्ध हेरॉन सूत्र आहे, जेथे p = (a + b + c) / 2 हा त्रिकोणाचा अर्धा परिमिती आहे;
• S = a h/2, जेथे h ही उंची a कडे कमी केली जाते;
• S = a b (sin γ) / 2, जेथे γ हा बाजू a आणि b मधील कोन आहे;
• S = a b / 2, जर ∆ ABC आयताकृती असेल (येथे a आणि b पाय आहेत);
• S = b² (sin (2 β)) / 2, जर ∆ ABC समद्विभुज असेल (येथे b हा “हिप्स” पैकी एक आहे, β हा त्रिकोणाच्या “हिप्स” मधील कोन आहे);
• S = a² √¾ जर ∆ ABC समभुज असेल (येथे a त्रिकोणाची बाजू आहे).

चतुर्भुज

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d असा चतुर्भुज ABCD असू द्या. अनियंत्रित 4-गोनचे क्षेत्र S शोधण्यासाठी, तुम्हाला ते कर्णरेषेने दोन त्रिकोणांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे, ज्याचे क्षेत्रफळ S1 आणि S2 सामान्यतः समान नसतात.

नंतर, सूत्रे वापरून, त्यांची गणना करा आणि त्यांना जोडा, म्हणजे, S = S1 + S2. तथापि, जर 4-गोन एका विशिष्ट वर्गाशी संबंधित असेल, तर त्याचे क्षेत्र पूर्वी ज्ञात सूत्रे वापरून शोधले जाऊ शकते:

• S = (a + c) h / 2 = eh, जर 4-gon समलंब चौकोन असेल (येथे a आणि c हे पाया आहेत, e ही समलंबाची मध्यरेषा आहे, h म्हणजे पायांपैकी एका पायापर्यंत कमी केलेली उंची आहे. ट्रॅपेझॉइड;
• S = a h = a b sin φ = d1 d2 (sin φ) / 2, जर ABCD समांतरभुज चौकोन असेल (येथे φ हा बाजू a आणि b मधील कोन आहे, h ही बाजू a कडे सोडलेली उंची आहे, d1 आणि d2 कर्ण आहेत);
• S = a b = d² / 2, जर ABCD एक आयत असेल (d एक कर्ण असेल);
• S = a² sin φ = P² (sin φ) / 16 = d1 d2 / 2, जर ABCD समभुज चौकोन असेल (a समभुज चौकोनाची बाजू आहे, φ त्याच्या कोपऱ्यांपैकी एक आहे, P परिमिती आहे);
• S = a² = P² / 16 = d² / 2 जर ABCD हा वर्ग असेल.

बहुभुज

एन-गॉनचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, गणितज्ञ त्याला सर्वात सोप्या समान आकृत्या-त्रिकोणांमध्ये विभाजित करतात, त्या प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ काढतात आणि नंतर त्यांना जोडतात. परंतु जर बहुभुज नियमित वर्गातील असेल तर सूत्र वापरा:

S = anh / 2 = a² n / = P² /, जेथे n ही बहुभुजाच्या शिरोबिंदूंची (किंवा बाजूंची) संख्या आहे, a ही n-gon ची बाजू आहे, P ही त्याची परिमिती आहे, h एक अपोथेम आहे, म्हणजे , 90° च्या कोनात बहुभुजाच्या मध्यभागी पासून त्याच्या एका बाजूस काढलेला खंड.

एक वर्तुळ

वर्तुळ हा एक परिपूर्ण बहुभुज आहे ज्याच्या असंख्य बाजू आहेत.... आपल्याला बहुभुजाच्या क्षेत्रफळासाठी सूत्रामध्ये उजवीकडील अभिव्यक्तीची मर्यादा मोजणे आवश्यक आहे ज्यात बाजूंची संख्या अनंताकडे आहे. या प्रकरणात, बहुभुजाची परिमिती त्रिज्या R च्या वर्तुळाच्या परिघामध्ये बदलेल, जी आपल्या वर्तुळाची सीमा असेल आणि P = 2 π R च्या बरोबरीची होईल. वरील सूत्रामध्ये ही अभिव्यक्ती बदला. आम्हाला मिळेल:

S = (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

या अभिव्यक्तीची मर्यादा n → ∞ म्हणून शोधू. हे करण्यासाठी, लिम (cos (180 ° / n)) हे n → ∞ cos 0 ° = 1 (लिम हे लिमिट चिन्ह आहे) आणि लिम = लिम n → ∞ 1 च्या बरोबरीचे आहे हे लक्षात घ्या. / π (आम्ही π rad = 180 ° गुणोत्तर वापरून पदवी मापाचे रेडियनमध्ये भाषांतर केले आणि पहिली उल्लेखनीय मर्यादा lim (sin x) / x = 1 x → ∞ म्हणून लागू केली. प्राप्त मूल्यांना S साठी शेवटच्या अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्ही सुप्रसिद्ध सूत्रावर पोहोचतो:

S = π² R² 1 (1 / π) = π R².

युनिट्स

सिस्टम आणि नॉन-सिस्टम युनिट्स वापरली जातात... सिस्टम युनिट्स SI (आंतरराष्ट्रीय प्रणाली) चा संदर्भ देतात. हे एक चौरस मीटर (चौरस मीटर, m²) आहे आणि त्यातून मिळालेली एकके: mm², cm², km².

चौरस मिलिमीटर (mm²) मध्ये, उदाहरणार्थ, ते इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकीमध्ये तारांचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र मोजतात, चौरस सेंटीमीटर (cm²) मध्ये - स्ट्रक्चरल मेकॅनिक्समध्ये बीमचे क्रॉस-सेक्शन, स्क्वेअर मीटर (m²) मध्ये - अपार्टमेंट किंवा घरे, चौरस किलोमीटर (किमी²) मध्ये - भूगोलातील प्रदेश ...

तथापि, कधीकधी मोजमापाची नॉन-सिस्टमिक युनिट्स देखील वापरली जातात, जसे की: विणकाम, एआर (अ), हेक्टर (हे) आणि एकर (एसी). येथे खालील संबंध आहेत:

• 1 सौ चौरस मीटर = 1 a = 100 m² = 0.01 हेक्टर;
• 1 हेक्टर = 100 a = 100 ares = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 ac;
• 1 ac = 4046.856 m2 = 40.47 a = 40.47 ares = 0.405 हेक्टर.

भौमितिक आकृतीचे क्षेत्रफळ- या आकृतीचा आकार दर्शविणाऱ्या भौमितिक आकृतीचे संख्यात्मक वैशिष्ट्य (या आकृतीच्या बंद समोच्चाने बांधलेला पृष्ठभागाचा भाग). क्षेत्रफळाचा आकार त्यात असलेल्या चौरस एककांच्या संख्येने व्यक्त केला जातो.

त्रिकोणासाठी क्षेत्रफळाची सूत्रे

1. त्रिकोणाच्या बाजूने आणि उंचीच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   त्रिकोणाचे क्षेत्रफळया बाजूने काढलेल्या उंचीच्या लांबीने त्रिकोणाच्या बाजूच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे
   
2. त्रिकोणाचे तीन बाजूंचे क्षेत्रफळ आणि परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे सूत्र
   
3. तीन बाजूंच्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे सूत्र
   त्रिकोणाचे क्षेत्रफळत्रिकोणाच्या अर्ध्या परिमितीच्या गुणाकार आणि अंकित वर्तुळाच्या त्रिज्याइतका आहे.
   
जेथे S हे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे,
- त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी,
- त्रिकोणाची उंची,
- बाजूंमधील कोन आणि,
- कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या,
R ही परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे,

चौरस सूत्रांचे क्षेत्रफळ

1. एका बाजूच्या लांबीने चौरसाच्या क्षेत्रफळासाठी सूत्र
   चौरस क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाइतकी आहे.
2. कर्णाच्या लांबीने चौरसाच्या क्षेत्रफळासाठी सूत्र
   चौरस क्षेत्रत्याच्या कर्णाच्या लांबीच्या अर्ध्या चौरसाइतके आहे.
   

   एस =	1	2
   	2

जेथे S हे चौरसाचे क्षेत्रफळ आहे,
- चौरसाच्या बाजूची लांबी,
- चौरसाच्या कर्णाची लांबी.

आयताच्या क्षेत्रासाठी सूत्र

आयत क्षेत्रत्याच्या दोन लगतच्या बाजूंच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या समान

जेथे S हे आयताचे क्षेत्रफळ आहे,
- आयताच्या बाजूंची लांबी.

समांतरभुज चौकोन क्षेत्र सूत्रे

1. बाजूच्या लांबी आणि उंचीच्या दृष्टीने समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   समांतरभुज चौकोन क्षेत्र
2. दोन बाजूंच्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आणि त्यांच्यामधील कोनाचे सूत्र
   समांतरभुज चौकोन क्षेत्रत्‍याच्‍या बाजूच्‍या लांबीच्‍या गुणाकाराला त्‍यांच्‍यामध्‍ये असलेल्या कोनाच्‍या साइनने गुणाकार केला जातो.
   

   a b पाप α

जेथे S हे समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
- समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंची लांबी,
- समांतरभुज चौकोन उंचीची लांबी,
- समांतरभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन.

समभुज चौकोन क्षेत्र सूत्रे

1. बाजूच्या लांबी आणि उंचीनुसार समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   समभुज चौकोन क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या आणि या बाजूला कमी केलेल्या उंचीच्या लांबीच्या समान आहे.
2. बाजूच्या लांबी आणि कोनाद्वारे समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र
   समभुज चौकोन क्षेत्रत्याच्या बाजूच्या लांबीच्या चौरसाच्या गुणाकार आणि समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोनाच्या साइनच्या गुणाप्रमाणे आहे.
3. समभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळासाठी त्याच्या कर्णांच्या लांबीनुसार सूत्र
   समभुज चौकोन क्षेत्रत्याच्या कर्णांच्या लांबीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे आहे.
जेथे S हे समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या उंचीची लांबी,
- समभुज चौकोनाच्या बाजूंमधील कोन,
1, 2 - कर्णांची लांबी.

ट्रॅपेझॉइडसाठी क्षेत्र सूत्र

1. ट्रॅपेझॉइडसाठी हेरॉनचे सूत्र

   जेथे S हे ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ आहे,
   - ट्रॅपेझॉइडच्या पायाची लांबी,
   - ट्रॅपेझॉइडच्या बाजूकडील बाजूंची लांबी,
   

क्षेत्रफळ म्हणजे काय आणि आयत म्हणजे काय

क्षेत्रफळ हे एक भौमितिक परिमाण आहे ज्याचा उपयोग भौमितिक आकृतीच्या कोणत्याही पृष्ठभागाचा आकार निर्धारित करण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

अनेक शतके, असे घडले की क्षेत्राच्या मोजणीला चतुर्भुज असे म्हणतात. म्हणजेच, साध्या भौमितिक आकारांचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, पारंपारिकपणे आकृत्यांसह संरक्षित केलेल्या युनिट स्क्वेअरची संख्या मोजणे पुरेसे होते. आणि क्षेत्रफळ असलेल्या आकृतीला वर्ग म्हणतात.

म्हणून, आम्ही सारांश देऊ शकतो की क्षेत्र हे असे मूल्य आहे जे आम्हाला खंडांद्वारे जोडलेल्या विमानाच्या भागाचा आकार दर्शविते.

आयत म्हणजे त्याचे सर्व कोपरे उजवे असलेला आयत. म्हणजेच चार काटकोन असलेल्या आणि त्याच्या विरुद्ध बाजू समान असलेल्या चार बाजूंच्या आकाराला आयत म्हणतात.

आयताचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे

आयताचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे पारदर्शक कागद घेणे, उदाहरणार्थ ट्रेसिंग पेपर किंवा ऑइलक्लोथ आणि ते समान 1 सेमी चौरसांमध्ये काढणे आणि नंतर प्रतिमेला आयत जोडणे. भरलेल्या चौरसांची संख्या चौरस सेंटीमीटरमधील क्षेत्रफळ असेल. उदाहरणार्थ, आकृतीमध्ये आपण पाहू शकता की आयत 12 चौरसांमध्ये येतो, याचा अर्थ त्याचे क्षेत्रफळ - 12 चौरस मीटर आहे. सेमी.

परंतु मोठ्या वस्तूंचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, उदाहरणार्थ अपार्टमेंट, अधिक सार्वत्रिक पद्धत आवश्यक आहे, म्हणून सूत्र सिद्ध झाले आहे; आयताचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, त्याची लांबी रुंदीने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

आता सूत्राच्या स्वरूपात आयताचे क्षेत्रफळ शोधण्याचा नियम लिहिण्याचा प्रयत्न करूया. S अक्षराने आपल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ दर्शवू, अक्षर a - त्याची लांबी दर्शवेल आणि अक्षर b - तिची रुंदी दर्शवेल.

परिणामी, आम्हाला खालील सूत्र मिळते:

S = a * b.

जर तुम्ही हे सूत्र वरील आयताकृती रेखाचित्रावर लावले तर आम्हाला तेच 12 चौ.से.मी. a = 4 सेमी, b = 3 सेमी, आणि S = 4 * 3 = 12 चौ. सेमी.

जर तुम्ही दोन एकसारख्या आकृत्या घेतल्या आणि त्या एकाच्या वरच्या बाजूला लावल्या तर त्या एकरूप होतील आणि त्यांना समान म्हटले जाईल. अशा समान आकृत्यांमध्ये समान क्षेत्रे आणि परिमिती देखील असतील.

का क्षेत्र शोधण्यात सक्षम व्हा

प्रथम, जर तुम्हाला एखाद्या आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे हे माहित असेल, तर त्याचे सूत्र वापरून तुम्ही भूमिती आणि त्रिकोणमितीमधील कोणत्याही समस्या सहजपणे सोडवू शकता.
दुसरे म्हणजे, आयताचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे हे शिकल्यानंतर, आपण प्रथम साध्या समस्या सोडविण्यास सक्षम असाल आणि कालांतराने आपण अधिक जटिल समस्या सोडविण्यास पुढे जाल आणि कोरलेल्या आकृत्यांचे क्षेत्र कसे शोधायचे ते शिकाल. आयतामध्ये किंवा जवळ.
तिसरे म्हणजे, S = a * b सारखे साधे सूत्र जाणून घेतल्यास, तुम्हाला कोणतीही साधी दैनंदिन कामे सहजपणे सोडवण्याची संधी मिळेल (उदाहरणार्थ, S अपार्टमेंट किंवा घरे शोधा), आणि कालांतराने तुम्ही जटिल वास्तुशास्त्र सोडवण्यासाठी ते लागू करू शकाल. प्रकल्प

म्हणजेच, जर आपण क्षेत्र शोधण्याचे सूत्र पूर्णपणे सोपे केले तर ते असे दिसेल:

P = L x W,

P म्हणजे आवश्यक क्षेत्रफळ, D त्याची लांबी, W त्याची रुंदी आणि x हे गुणाकाराचे चिन्ह आहे.

तुम्हाला माहित आहे का की कोणत्याही बहुभुजाचे क्षेत्रफळ या बहुभुजाच्या आत असलेल्या विशिष्ट संख्येच्या चौरस ब्लॉकमध्ये सशर्तपणे विभागले जाऊ शकते? क्षेत्रफळ आणि परिमितीत काय फरक आहे

उदाहरण वापरून परिमिती आणि क्षेत्रफळ यातील फरक समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया. उदाहरणार्थ, आमची शाळा कुंपणाने बांधलेल्या क्षेत्रावर स्थित आहे - या कुंपणाची एकूण लांबी परिमिती असेल आणि कुंपणाच्या आत असलेली जागा ही क्षेत्रफळ असेल.

क्षेत्र युनिट्स

जर एक-आयामी परिमिती रेखीय एककांमध्ये मोजली जाते, जे इंच, फूट आणि मीटर आहेत, तर S द्विमितीय गणनांना संदर्भित करते आणि त्याची स्वतःची लांबी आणि रुंदी असते.

आणि S हे चौरस एककांमध्ये मोजले जाते, जसे की:

एक चौरस मिलिमीटर, जेथे चौरसाच्या S ची बाजू एक मिलिमीटर इतकी असते;
एका चौरस सेंटीमीटरमध्ये अशा चौरसाचा एस असतो ज्याची बाजू एक सेंटीमीटर इतकी असते;
एक चौरस डेसिमीटर एक डेसिमीटरची बाजू असलेल्या या चौरसाच्या S बरोबर आहे;
चौरस मीटरमध्ये एस स्क्वेअर आहे, ज्याची बाजू एक मीटर आहे;
शेवटी, एका चौरस किलोमीटरमध्ये एक किलोमीटरच्या बरोबरीची बाजू असलेला S वर्ग असतो.

पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील मोठ्या क्षेत्राचे क्षेत्र मोजण्यासाठी, एकके जसे की:

एक एआर किंवा विणकाम - जर स्क्वेअरच्या S ची बाजू दहा मीटर असेल;
एक हेक्टर हे चौरसाच्या S च्या बरोबरीचे आहे, ज्याची बाजू शंभर मीटर आहे.

कार्ये आणि व्यायाम

आता काही उदाहरणे पाहू.

आकृती 62 एक आकृती दर्शवते ज्यामध्ये आठ चौरस आहेत आणि या चौरसांची प्रत्येक बाजू एक सेंटीमीटर इतकी आहे. म्हणून, अशा चौरसाचा S हा चौरस सेंटीमीटर असेल.

तुम्ही ते लिहून ठेवल्यास, ते असे दिसेल:

1 सेमी2. आणि या आकृतीतील सर्व S, ज्यामध्ये आठ चौरस आहेत, 8 चौरस सेमी इतके असतील.

जर तुम्ही कोणतीही आकृती घेतली आणि ती एका सेंटीमीटरच्या बाजूने "p" चौरसांमध्ये विभागली, तर त्याचे क्षेत्रफळ समान असेल:

P cm2.

आकृती 63 मधील आयता, प्रतिमा विचारात घेऊ या. या आयतामध्ये तीन पट्टे आहेत आणि अशा प्रत्येक पट्टीला 1 सेमी बाजू असलेल्या पाच समान चौरसांमध्ये विभागलेले आहे.

चला त्याचे क्षेत्र शोधण्याचा प्रयत्न करूया. आणि म्हणून आपण पाच चौरस घेतो, आणि तीन पट्ट्यांनी गुणाकार करतो आणि आपल्याला 15 चौरस सेमी क्षेत्रफळ मिळते:

खालील उदाहरणाचा विचार करा. आकृती 64 एक आयत ABCD दाखवते, जी तुटलेली रेषा KLMN ने दोन भागात विभागली आहे. त्याचा पहिला भाग 12 सेमी 2 च्या क्षेत्रफळाइतका आहे आणि दुसरा भाग 9 सेमी 2 आहे. आता संपूर्ण आयताचे क्षेत्रफळ शोधूया:

तर, आपण तीन घेतो आणि सात ने गुणाकार करतो आणि 21 सेमी 2 मिळवतो:

3 7 = 21 चौ. सेमी. या प्रकरणात, 21 = 12 + 9.

आणि आपण या निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो की आपल्या संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ त्याच्या वैयक्तिक भागांच्या क्षेत्राच्या बेरजेइतके आहे.

आणखी एक उदाहरण घेऊ. आणि म्हणून आकृती 65 मध्ये, एक आयत दर्शविला आहे, जो AC विभागाचा वापर करून, ABC आणि ADC या दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभागलेला आहे.

आणि आपल्याला आधीच माहित आहे की एक चौरस समान आयत आहे, फक्त समान बाजू आहेत, तर प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ संपूर्ण आयताच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके असेल.

कल्पना करा की स्क्वेअरची बाजू a च्या बरोबरीची आहे, तर:

S = a a = a2.

आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की चौरसाच्या क्षेत्राचे सूत्र असे दिसेल:

आणि नोटेशन a2 ला संख्या a चा वर्ग म्हणतात.

आणि म्हणून, जर आपल्या चौरसाची बाजू चार सेंटीमीटर असेल, तर त्याचे क्षेत्रफळ असेल:

4 4, म्हणजे 4 * 2 = 16 चौ. से.मी.

प्रश्न आणि कार्ये

एका सेंटीमीटरच्या बरोबरीची बाजू असलेल्या सोळा चौरसांमध्ये विभागलेल्या आकाराचे क्षेत्रफळ शोधा.
आयत सूत्र लक्षात ठेवा आणि ते लिहा.
आयताचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी तुम्हाला कोणती मापे घ्यावी लागतील?
समान आकार परिभाषित करा.
वेगवेगळ्या भागात समान आकार असू शकतात? परिमितींचे काय?
जर तुम्हाला एखाद्या आकृतीच्या वैयक्तिक भागांचे क्षेत्र माहित असेल, तर तुम्हाला त्याचे एकूण क्षेत्रफळ कसे कळेल?
चौकोनाचे क्षेत्रफळ किती आहे ते तयार करा आणि लिहा.

इतिहास संदर्भ

तुम्हाला माहीत आहे का की बॅबिलोनमधील प्राचीन लोकांना आयताचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे हे माहित होते? प्राचीन इजिप्शियन लोकांनी देखील विविध आकृत्यांची गणना केली, परंतु त्यांना अचूक सूत्रे माहित नसल्यामुळे गणनांमध्ये लहान त्रुटी होत्या.

प्रसिद्ध प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ युक्लिड यांनी आपल्या "बिगिनिंग्ज" या पुस्तकात वेगवेगळ्या भूमितीय आकारांच्या क्षेत्रांची गणना करण्याच्या विविध पद्धतींचे वर्णन केले आहे.

व्याख्या.

लांब बाजू आणि लहान बाजूच्या गुणोत्तरामध्ये आयत एकमेकांपासून भिन्न असतात, परंतु सर्व चार कोपरे सरळ असतात, म्हणजेच 90 अंश.

आयताच्या लांब बाजूस म्हणतात आयताची लांबी, आणि लहान - आयताची रुंदी.

आयताच्या बाजू देखील त्याची उंची आहेत.

आयताचे मूलभूत गुणधर्म

आयत समांतरभुज चौकोन, चौरस किंवा समभुज चौकोन असू शकतो.

1. आयताच्या विरुद्ध बाजूंची लांबी समान असते, म्हणजेच ती समान असतात:

AB = CD, BC = AD

2. आयताच्या विरुद्ध बाजू समांतर आहेत:

3. आयताच्या लगतच्या बाजू नेहमी लंब असतात:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. आयताचे चारही कोपरे सरळ आहेत:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °

5. आयताच्या कोनांची बेरीज 360 अंश आहे:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °

6. आयताचे कर्ण समान लांबीचे आहेत:

7. आयताच्या कर्णाच्या चौरसांची बेरीज बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी आहे:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. आयताचा प्रत्येक कर्ण आयताला दोन समान आकारांमध्ये विभागतो, म्हणजे, काटकोन त्रिकोण.

9. आयताचे कर्ण छेदतात आणि छेदनबिंदूवर अर्धे केले जातात:

10. कर्णांच्या छेदनबिंदूला आयताचे केंद्र म्हणतात आणि परिमित वर्तुळाचे केंद्र देखील आहे

11. आयताचा कर्ण हा परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचा व्यास असतो

12. एका आयताभोवती, तुम्ही नेहमी वर्तुळाचे वर्णन करू शकता, कारण विरुद्ध कोनांची बेरीज 180 अंश आहे:

∠ABC = ∠CDA = 180 ° ∠BCD = ∠DAB = 180 °

13. वर्तुळ एका आयतामध्ये कोरले जाऊ शकत नाही ज्याची लांबी त्याच्या रुंदीच्या बरोबरीची नाही, कारण विरुद्ध बाजूंची बेरीज एकमेकांशी समान नसतात (वर्तुळ केवळ आयताच्या विशिष्ट प्रकरणात कोरले जाऊ शकते - एक चौरस).

आयताच्या बाजू

व्याख्या.

आयताच्या बाजूंच्या लांबी निर्धारित करण्यासाठी सूत्रे

1. आयताच्या बाजूचे सूत्र (आयताची लांबी आणि रुंदी) कर्ण आणि दुसरी बाजू:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. आयताच्या बाजूचे सूत्र (आयताची लांबी आणि रुंदी) क्षेत्रफळ आणि दुसरी बाजू:

आयताचा कर्ण

व्याख्या.

आयताच्या कर्णाची लांबी निर्धारित करण्यासाठी सूत्रे

1. आयताच्या दोन बाजूंमधून आयताच्या कर्णाचे सूत्र (पायथागोरियन प्रमेयाद्वारे):

d = √ a 2 + b 2

2. क्षेत्रफळ आणि कोणत्याही बाजूच्या दृष्टीने आयताच्या कर्णाचे सूत्र:

4. परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्येच्या दृष्टीने आयताच्या कर्णाचे सूत्र:

d = 2R

5. घेरलेल्या वर्तुळाच्या व्यासातून आयताच्या कर्णाचे सूत्र:

d = D बद्दल

6. कर्णकोनाला लागून असलेल्या कोनाच्या साइनच्या संदर्भात आयताच्या कर्णाचे सूत्र आणि या कोनाच्या विरुद्ध बाजूची लांबी:

8. कर्ण आणि आयताचे क्षेत्रफळ यांच्यातील तीव्र कोनाच्या साइनच्या दृष्टीने आयताच्या कर्णाचे सूत्र

d = √2S: पाप β

आयताची परिमिती

व्याख्या.

आयताच्या परिमितीची लांबी निर्धारित करण्यासाठी सूत्रे

1. आयताच्या दोन बाजूंनी आयताच्या परिमितीसाठी सूत्र:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. क्षेत्रफळ आणि कोणत्याही बाजूच्या दृष्टीने आयताच्या परिमितीसाठी सूत्र:

3. कर्ण आणि कोणत्याही बाजूने आयताच्या परिमितीसाठी सूत्र:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. परिमित वर्तुळाच्या त्रिज्या आणि कोणत्याही बाजूच्या दृष्टीने आयताच्या परिमितीसाठी सूत्र:

P = 2 (a + √4R 2 - a 2) = 2 (b + √4R 2 - b 2)

5. परिमित वर्तुळाच्या व्यासाच्या आणि कोणत्याही बाजूच्या संदर्भात आयताच्या परिमितीसाठी सूत्र:

P = 2 (a + √D o 2 - a 2) = 2 (b + √D o 2 - b 2)

आयत क्षेत्र

व्याख्या.

आयताचे क्षेत्रफळ निश्चित करण्यासाठी सूत्रे

1. दोन बाजूंमधील आयताच्या क्षेत्रासाठी सूत्र:

S = a b

2. परिमिती आणि कोणत्याही बाजूच्या दृष्टीने आयताच्या क्षेत्रासाठी सूत्र:

5. परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्या आणि कोणत्याही बाजूच्या दृष्टीने आयताच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या व्यासाच्या आणि कोणत्याही बाजूच्या संदर्भात आयताच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

एका आयताभोवती परिक्रमा केलेले वर्तुळ

व्याख्या.

आयताभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या निश्चित करण्यासाठी सूत्रे

1. एका आयताभोवती दोन बाजूंनी परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे सूत्र: