गणितीय अभिव्यक्तींमधील क्रियांचा क्रम. गणितातील शैक्षणिक-पद्धतीय साहित्य (ग्रेड 3) विषयावरील: क्रियांच्या क्रमावरील उदाहरणे

समजा अकिलीस कासवापेक्षा दहापट वेगाने धावतो आणि त्याच्या मागे एक हजार पावले आहे. हे अंतर धावण्यासाठी अकिलीसला लागणाऱ्या वेळेत कासव त्याच दिशेने शंभर पावले रेंगाळते. जेव्हा अकिलीस शंभर पावले चालतो, तेव्हा कासव आणखी दहा पावले रेंगाळते आणि असेच. प्रक्रिया अनिश्चित काळासाठी सुरू राहील, अकिलीस कधीही कासवाला पकडणार नाही.

हा तर्क पुढच्या सर्व पिढ्यांसाठी तार्किक धक्का म्हणून आला. अ‍ॅरिस्टॉटल, डायोजेन्स, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... या सर्वांनी एक ना एक प्रकारे झेनोचे अपोरियास मानले. धडक इतकी जोरदार होती की " ... सध्या चर्चा चालू आहे, वैज्ञानिक समुदाय अद्याप विरोधाभासांच्या साराबद्दल एक सामान्य मत बनू शकला नाही ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नवीन भौतिक आणि तात्विक दृष्टिकोन या समस्येच्या अभ्यासात गुंतले होते. ; त्यापैकी कोणतेही प्रश्नाचे सामान्यतः स्वीकारलेले समाधान झाले नाही ..."[विकिपीडिया," Zeno's Aporias"]. प्रत्येकाला समजते की त्यांना फसवले जात आहे, परंतु फसवणूक काय आहे हे कोणालाही समजत नाही.

गणिताच्या दृष्टिकोनातून, झेनोने त्याच्या अपोरियामध्ये परिमाण ते संक्रमण स्पष्टपणे दाखवले. हे संक्रमण स्थिरांकांऐवजी अनुप्रयोग सूचित करते. माझ्या समजल्याप्रमाणे, मोजमापाची परिवर्तनीय एकके वापरण्यासाठीचे गणितीय उपकरण एकतर अद्याप विकसित झालेले नाही किंवा ते झेनोच्या अपोरियावर लागू झालेले नाही. आपले नेहमीचे तर्क लागू केल्याने आपण एका जाळ्यात अडकतो. आम्ही, विचारांच्या जडत्वाने, परस्परांना वेळेच्या मापनाची स्थिर एकके लागू करतो. भौतिक दृष्टीकोनातून, अकिलीस कासवाच्या बरोबरीच्या क्षणी पूर्णपणे थांबेपर्यंत ते वेळेच्या विस्तारासारखे दिसते. वेळ थांबल्यास, अकिलीस यापुढे कासवाला मागे टाकू शकत नाही.

ज्या तर्काची आपल्याला सवय आहे ती जर आपण उलथून टाकली तर सर्व काही आपल्या ठिकाणी पडते. अकिलीस सतत वेगाने धावतो. त्याच्या मार्गाचा प्रत्येक पुढील विभाग मागीलपेक्षा दहापट लहान आहे. त्यानुसार, त्यावर मात करण्यासाठी लागणारा वेळ आधीच्या तुलनेत दहापट कमी आहे. जर आपण या परिस्थितीत "अनंत" ही संकल्पना लागू केली, तर "अकिलीस कासवाला पटकन पकडेल" असे म्हणणे योग्य ठरेल.

तुम्ही हा तार्किक सापळा कसा टाळू शकता? सतत वेळेच्या युनिटमध्ये रहा आणि मागे जाऊ नका. झेनोच्या भाषेत, हे असे दिसते:

ज्या काळात अकिलीस हजार पावले धावेल, त्याच दिशेने कासव शंभर पावले रेंगाळतील. पुढील कालांतराने, पहिल्या प्रमाणेच, अकिलीस आणखी हजार पावले धावेल आणि कासव शंभर पावले रेंगाळेल. आता अकिलीस कासवाच्या आठशे पावले पुढे आहे.

हा दृष्टिकोन कोणत्याही तार्किक विरोधाभासांशिवाय वास्तवाचे पुरेसे वर्णन करतो. परंतु हे समस्येचे पूर्ण समाधान नाही. प्रकाशाच्या वेगाच्या असुरक्षिततेबद्दल आइनस्टाइनचे विधान झेनो अपोरिया "अकिलीस आणि कासव" सारखे आहे. या समस्येचा आपल्याला अजून अभ्यास, पुनर्विचार आणि सोडवायचा आहे. आणि उपाय अमर्यादपणे मोठ्या संख्येने नाही तर मोजमापाच्या युनिट्समध्ये शोधले पाहिजे.

आणखी एक मनोरंजक एपोरिया झेनो उडत्या बाणाबद्दल सांगते:

उडणारा बाण गतिहीन असतो, कारण प्रत्येक क्षणी तो विसाव्यात असतो आणि प्रत्येक क्षणी तो विसावा घेत असल्याने तो नेहमी विश्रांती घेत असतो.

या एपोरियामध्ये, तार्किक विरोधाभास अगदी सोप्या पद्धतीने दूर केला जातो - हे स्पष्ट करणे पुरेसे आहे की प्रत्येक क्षणी एक उडणारा बाण अंतराळातील वेगवेगळ्या बिंदूंवर असतो, जो खरं तर गती आहे. आणखी एक मुद्दा इथे लक्षात घ्यायला हवा. रस्त्यावरील कारच्या एका छायाचित्रावरून, त्याच्या हालचालीची वस्तुस्थिती किंवा त्यापासूनचे अंतर निश्चित करणे अशक्य आहे. कारच्या हालचालीची वस्तुस्थिती निश्चित करण्यासाठी, दोन छायाचित्रे आवश्यक आहेत, एकाच बिंदूवरून वेगवेगळ्या वेळी घेतलेली आहेत, परंतु त्यांच्यापासून अंतर निश्चित करणे अशक्य आहे. कारचे अंतर निर्धारित करण्यासाठी, आपल्याला एकाच वेळी अंतराळातील वेगवेगळ्या बिंदूंमधून घेतलेली दोन छायाचित्रे आवश्यक आहेत, परंतु ते हालचालीची वस्तुस्थिती निर्धारित करू शकत नाहीत (अर्थात, गणनासाठी अतिरिक्त डेटा अद्याप आवश्यक आहे, त्रिकोणमिती आपल्याला मदत करेल). मला ज्या गोष्टीकडे विशेष लक्ष वेधायचे आहे ते म्हणजे वेळेतील दोन बिंदू आणि अंतराळातील दोन बिंदू या भिन्न गोष्टी आहेत ज्यांचा गोंधळ होऊ नये, कारण ते संशोधनासाठी वेगवेगळ्या संधी प्रदान करतात.

बुधवार, 4 जुलै 2018

सेट आणि मल्टीसेटमधील फरक विकिपीडियामध्ये अतिशय चांगल्या प्रकारे दस्तऐवजीकरण केलेला आहे. आम्ही पाहू.

तुम्ही बघू शकता, "संचामध्ये दोन एकसारखे घटक असू शकत नाहीत", परंतु जर संचामध्ये एकसारखे घटक असतील तर अशा संचाला "मल्टीसेट" म्हणतात. असा मूर्खपणाचा तर्क तर्कसंगत प्राण्यांना कधीच समजणार नाही. हे बोलणारे पोपट आणि प्रशिक्षित माकडांची पातळी आहे, ज्यांना "पूर्णपणे" शब्दापासून बुद्धिमत्ता नाही. गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षक म्हणून काम करतात, त्यांच्या मूर्ख कल्पना आम्हाला सांगतात.

एकदा पूल बांधणारे अभियंते पुलाच्या चाचण्यांच्या वेळी पुलाखाली बोटीत होते. पूल कोसळला, तर अकार्यक्षम अभियंता त्याच्या निर्मितीच्या ढिगाऱ्याखाली दबून मेला. हा पूल भार सहन करू शकला, तर कुशल अभियंता इतर पूल बांधतील.

"चूर, मी घरात आहे" या वाक्यामागे गणितज्ञ कितीही दडलेले असले, किंवा "गणित अमूर्त संकल्पनांचा अभ्यास करत असले तरी" एक नाळ आहे जी त्यांना वास्तवाशी जोडते. ही नाळ म्हणजे पैसा. चला गणितीय सेट सिद्धांत स्वतः गणितज्ञांना लागू करूया.

आम्ही गणिताचा चांगला अभ्यास केला आणि आता आम्ही पगार देऊन चेकआउटवर बसलो आहोत. इथे एक गणितज्ञ त्याच्या पैशासाठी आमच्याकडे येतो. आम्ही त्याच्यासाठी संपूर्ण रक्कम मोजतो आणि आमच्या टेबलवर वेगवेगळ्या ढिगाऱ्यांमध्ये ठेवतो, ज्यामध्ये आम्ही समान मूल्याची बिले ठेवतो. मग आम्ही प्रत्येक ढीगातून एक बिल घेतो आणि गणितज्ञांना त्याच्या "पगाराचा गणिती संच" देतो. एकसारखे घटक नसलेला संच समान घटक असलेल्या संचाच्या बरोबरीचा नाही हे सिद्ध केल्यावरच त्याला उर्वरित बिले मिळतील हे गणित समजावून घेऊ. इथेच मजा सुरू होते.

सर्व प्रथम, डेप्युटीजचे तर्क कार्य करेल: "तुम्ही ते इतरांना लागू करू शकता, तुम्ही ते माझ्यावर लागू करू शकत नाही!" पुढे, आम्ही आम्हांला खात्री देण्यास सुरुवात करू की एकाच मूल्याच्या बिलांवर वेगवेगळ्या बँक नोटांची संख्या आहे, याचा अर्थ ते समान घटक मानले जाऊ शकत नाहीत. ठीक आहे, चला नाण्यांमध्ये पगार मोजूया - नाण्यांवर कोणतीही संख्या नाहीत. येथे गणितज्ञ भौतिकशास्त्राची उग्रपणे आठवण ठेवण्यास सुरवात करेल: वेगवेगळ्या नाण्यांमध्ये वेगवेगळ्या प्रमाणात घाण असते, प्रत्येक नाण्यातील क्रिस्टल रचना आणि अणूंची व्यवस्था अद्वितीय आहे ...

आणि आता माझ्याकडे सर्वात मनोरंजक प्रश्न आहे: मल्टीसेटचे घटक सेटच्या घटकांमध्ये बदलतात आणि त्याउलट रेषा कोठे आहे? अशी ओळ अस्तित्त्वात नाही - सर्व काही शमनांनी ठरवले आहे, विज्ञान येथे कुठेही पडले नाही.

इकडे पहा. आम्ही समान खेळपट्टी असलेले फुटबॉल स्टेडियम निवडतो. फील्डचे क्षेत्रफळ समान आहे, याचा अर्थ आम्हाला मल्टीसेट मिळाला आहे. पण त्याच स्टेडियम्सच्या नावांचा विचार केला तर आपल्याला बरेच काही मिळते, कारण नावे वेगळी आहेत. जसे आपण पाहू शकता, घटकांचा समान संच एकाच वेळी एक संच आणि एक मल्टीसेट दोन्ही आहे. ते कसे योग्य आहे? आणि इथे गणितज्ञ-शमन-शुलर त्याच्या आस्तीनातून ट्रम्प एक्का काढतो आणि सेटबद्दल किंवा मल्टीसेटबद्दल सांगू लागतो. कोणत्याही परिस्थितीत, तो आपल्याला पटवून देईल की तो बरोबर आहे.

आधुनिक शमन सेट सिद्धांतासह कसे कार्य करतात हे समजून घेण्यासाठी, त्यास वास्तविकतेशी बांधून, एका प्रश्नाचे उत्तर देणे पुरेसे आहे: एका संचाचे घटक दुसर्‍या संचाच्या घटकांपेक्षा कसे वेगळे आहेत? मी तुम्हाला "एकदम विचार करण्यायोग्य नाही" किंवा "संपूर्ण विचार करण्यायोग्य नाही" शिवाय दाखवीन.

रविवार, 18 मार्च 2018

संख्येच्या अंकांची बेरीज म्हणजे डफसह शमनचे नृत्य, ज्याचा गणिताशी काहीही संबंध नाही. होय, गणिताच्या धड्यांमध्ये आपल्याला संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी आणि त्याचा वापर करण्यास शिकवले जाते, परंतु म्हणूनच ते त्यांच्या वंशजांना त्यांचे कौशल्य आणि शहाणपण शिकवण्यासाठी शमन आहेत, अन्यथा शमन फक्त मरतील.

पुरावा हवा आहे? विकिपीडिया उघडा आणि संख्या पृष्ठाच्या अंकांची बेरीज शोधण्याचा प्रयत्न करा. ते अस्तित्वात नाही. गणितात असे कोणतेही सूत्र नाही ज्याद्वारे तुम्ही कोणत्याही संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधू शकता. शेवटी, संख्या ही ग्राफिक चिन्हे आहेत ज्याद्वारे आपण संख्या लिहितो आणि गणिताच्या भाषेत कार्य असे दिसते: "कोणत्याही संख्येचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या ग्राफिक चिन्हांची बेरीज शोधा." गणितज्ञ ही समस्या सोडवू शकत नाहीत, परंतु शमन - हे प्राथमिक आहे.

दिलेल्या संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी आपण काय आणि कसे करतो ते पाहू. आणि म्हणून, 12345 हा क्रमांक घेऊ या. या संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी काय केले पाहिजे? चला क्रमाने सर्व पायऱ्या पार करूया.

1. आम्ही कागदाच्या तुकड्यावर संख्या लिहून ठेवतो. आम्ही काय केले आहे? आम्ही क्रमांकाचे ग्राफिक चिन्हात रूपांतर केले आहे. हे गणितीय ऑपरेशन नाही.

2. आम्ही एक परिणामी चित्र वेगळे संख्या असलेल्या अनेक चित्रांमध्ये कापतो. चित्र कापणे ही गणिती क्रिया नाही.

3. वैयक्तिक ग्राफिक चिन्हे संख्यांमध्ये रूपांतरित करा. हे गणितीय ऑपरेशन नाही.

4. परिणामी संख्या जोडा. आता ते गणित आहे.

12345 च्या अंकांची बेरीज 15 आहे. हे गणितज्ञांनी वापरलेले "कटिंग आणि शिवणकाम" अभ्यासक्रम आहेत. पण एवढेच नाही.

गणिताच्या दृष्टीकोनातून, आपण कोणत्या संख्या प्रणालीमध्ये संख्या लिहितो हे महत्त्वाचे नाही. तर, भिन्न संख्या प्रणालींमध्ये, एकाच संख्येच्या अंकांची बेरीज भिन्न असेल. गणितामध्ये, संख्या प्रणाली क्रमांकाच्या उजवीकडे सबस्क्रिप्ट म्हणून दर्शविली जाते. मोठ्या संख्येने 12345, मी माझ्या डोक्याला मूर्ख बनवू इच्छित नाही, बद्दलच्या लेखातील 26 क्रमांकाचा विचार करा. ही संख्या बायनरी, ऑक्टल, डेसिमल आणि हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टममध्ये लिहू. आम्ही प्रत्येक पाऊल सूक्ष्मदर्शकाखाली पाहणार नाही, आम्ही ते आधीच केले आहे. चला निकाल पाहूया.

तुम्ही बघू शकता की, वेगवेगळ्या संख्या प्रणालींमध्ये, एकाच संख्येच्या अंकांची बेरीज वेगळी असते. या निकालाचा गणिताशी काहीही संबंध नाही. मीटर आणि सेंटीमीटरमध्ये आयताचे क्षेत्रफळ ठरवताना तुम्हाला पूर्णपणे भिन्न परिणाम मिळतील असेच आहे.

सर्व संख्या प्रणालींमध्ये शून्य एकसारखे दिसते आणि त्यात अंकांची बेरीज नसते. या वस्तुस्थितीसाठी हा आणखी एक युक्तिवाद आहे. गणितज्ञांसाठी एक प्रश्न: गणितात संख्या नसलेली गोष्ट कशी आहे? काय, गणितज्ञांसाठी, संख्यांशिवाय काहीही अस्तित्वात नाही? शमनसाठी, मी याची परवानगी देऊ शकतो, परंतु शास्त्रज्ञांसाठी - नाही. वास्तविकता ही संख्यांबद्दल नसते.

मिळालेला निकाल हा पुरावा मानला पाहिजे की संख्या प्रणाली संख्यांच्या मोजमापाची एकके आहेत. शेवटी, आम्ही मोजमापाच्या वेगवेगळ्या युनिट्ससह संख्यांची तुलना करू शकत नाही. जर एकाच प्रमाणाच्या मापनाच्या भिन्न युनिट्ससह समान क्रियांची तुलना केल्यानंतर भिन्न परिणाम मिळतात, तर याचा गणिताशी काहीही संबंध नाही.

खरे गणित म्हणजे काय? हे असे होते जेव्हा गणितीय क्रियेचा परिणाम संख्येच्या विशालतेवर, वापरलेल्या मोजमापाचे एकक आणि ही क्रिया कोण करते यावर अवलंबून नसते.

आहा! हे महिलांचे स्वच्छतागृह नाही का?
- तरूणी! स्वर्गारोहणाच्या वेळी आत्म्यांच्या अविवेकी पवित्रतेच्या अभ्यासासाठी ही प्रयोगशाळा आहे! हॅलो वर आणि बाण वर दिशेला. दुसरे कोणते शौचालय?

स्त्री... वरील निंबस आणि खालचा बाण नर आहे.

दिवसातून अनेकवेळा तुमच्या डोळ्यांसमोर यासारख्या डिझाईन कलेचा तुकडा चमकत असल्यास,

मग तुम्हाला तुमच्या कारमध्ये अचानक एक विचित्र चिन्ह दिसणे हे आश्चर्यकारक नाही:

व्यक्तिशः, मी स्वत: वर प्रयत्न करतो जेणेकरुन एका व्यक्तीमध्ये (एक चित्र) मला उणे चार अंश दिसू शकेल (अनेक चित्रांची रचना: वजा चिन्ह, क्रमांक चार, अंश पदनाम). आणि मला वाटत नाही की ही मुलगी मूर्ख आहे जिला भौतिकशास्त्र माहित नाही. तिच्याकडे फक्त ग्राफिक प्रतिमांच्या आकलनाचा एक स्टिरियोटाइप आहे. आणि गणितज्ञ आपल्याला हे सतत शिकवतात. येथे एक उदाहरण आहे.

1A "वजा चार अंश" किंवा "एक अ" नाही. हे "पोपिंग मॅन" किंवा हेक्साडेसिमल नोटेशनमधील "छवीस" संख्या आहे. जे लोक या नंबर सिस्टममध्ये सतत काम करतात त्यांना आपोआप संख्या आणि अक्षर एक ग्राफिक चिन्ह म्हणून समजतात.

हा धडा कंस शिवाय आणि त्याशिवाय अभिव्यक्तींमध्ये अंकगणित क्रिया करण्याच्या क्रमाचे तपशीलवार वर्णन करतो. अभिव्यक्तींचे मूल्य अंकगणितीय ऑपरेशन्स करण्याच्या क्रमावर अवलंबून आहे की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी, कंस नसलेल्या आणि कंसासह अभिव्यक्तींमधील अंकगणित क्रियांचा क्रम भिन्न आहे की नाही हे शोधण्यासाठी, असाइनमेंट पूर्ण करताना विद्यार्थ्यांना संधी दिली जाते. शिकलेला नियम लागू करण्याचा सराव करा, कृतींचा क्रम ठरवताना झालेल्या चुका शोधून त्या दुरुस्त करा.

जीवनात, आपण सतत कोणतीही क्रिया करतो: आपण चालतो, अभ्यास करतो, वाचतो, लिहितो, मोजतो, हसतो, भांडतो आणि शांतता करतो. आम्ही या क्रिया वेगळ्या क्रमाने करतो. कधीकधी ते बदलले जाऊ शकतात आणि काहीवेळा नाही. उदाहरणार्थ, सकाळी शाळेसाठी तयार होणे, आपण प्रथम व्यायाम करू शकता, नंतर पलंग बनवू शकता किंवा उलट. पण तुम्ही आधी शाळेत जाऊन कपडे घालू शकत नाही.

आणि गणितात, अंकगणित क्रिया एका विशिष्ट क्रमाने करणे आवश्यक आहे का?

चला तपासूया

चला अभिव्यक्तींची तुलना करूया:
8-3 + 4 आणि 8-3 + 4

आपण पाहतो की दोन्ही अभिव्यक्ती अगदी समान आहेत.

चला एका अभिव्यक्तीमध्ये डावीकडून उजवीकडे आणि दुसऱ्यामध्ये उजवीकडून डावीकडे क्रिया करू. क्रियेचा क्रम दर्शविण्यासाठी संख्यांचा वापर केला जाऊ शकतो (चित्र 1).

तांदूळ. 1. प्रक्रिया

पहिल्या अभिव्यक्तीमध्ये, आपण प्रथम वजा करू आणि नंतर निकालात 4 जोडू.

दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये, आपण प्रथम बेरीजचे मूल्य शोधतो आणि नंतर परिणामी परिणाम 7 मधून 8 वजा करतो.

आपण पाहतो की अभिव्यक्तीची मूल्ये भिन्न आहेत.

चला निष्कर्ष काढूया: अंकगणितीय क्रियांचा क्रम बदलता येत नाही.

अंकगणितीय क्रिया कंसात न ठेवता अभिव्यक्तीमध्ये करण्याचा नियम जाणून घेऊ.

जर कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये फक्त बेरीज आणि वजाबाकी किंवा फक्त गुणाकार आणि भागाकार समाविष्ट असेल, तर क्रिया ज्या क्रमाने लिहिल्या जातात त्या क्रमाने केल्या जातात.

चला सराव करू.

अभिव्यक्तीचा विचार करा

या अभिव्यक्तीमध्ये, फक्त बेरीज आणि वजाबाकी क्रिया आहेत. या क्रिया म्हणतात प्रथम चरण क्रिया.

आम्ही डावीकडून उजवीकडे क्रमाने क्रिया करतो (चित्र 2).

तांदूळ. 2. प्रक्रिया

दुसरी अभिव्यक्ती विचारात घ्या

या अभिव्यक्तीमध्ये, फक्त गुणाकार आणि भागाकार क्रिया आहेत - या दुसऱ्या टप्प्यातील क्रिया आहेत.

आम्ही डावीकडून उजवीकडे क्रमाने क्रिया करतो (चित्र 3).

तांदूळ. 3. प्रक्रिया

जर अभिव्यक्तीमध्ये केवळ बेरीज आणि वजाबाकीच नाही तर गुणाकार आणि भागाकार देखील असतील तर अंकगणित क्रिया कोणत्या क्रमाने केल्या जातात?

जर कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये केवळ बेरीज आणि वजाबाकीच नाही तर गुणाकार आणि भागाकार किंवा या दोन्ही क्रियांचा समावेश असेल, तर प्रथम गुणाकार आणि भागाकार क्रमाने (डावीकडून उजवीकडे) करा आणि नंतर बेरीज आणि वजाबाकी करा.

अभिव्यक्तीचा विचार करा.

आम्ही असे तर्क करतो. या अभिव्यक्तीमध्ये बेरीज आणि वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार या क्रिया असतात. आम्ही नियमानुसार वागतो. प्रथम, आम्ही क्रमाने (डावीकडून उजवीकडे) गुणाकार आणि भागाकार करतो आणि नंतर बेरीज आणि वजाबाकी करतो. चला क्रियांचा क्रम लावू.

चला अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजू.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

अभिव्यक्तीमध्ये कंस असल्यास अंकगणित क्रिया कोणत्या क्रमाने केल्या जातात?

जर अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतील, तर कंसातील अभिव्यक्तींचे मूल्य प्रथम मोजले जाते.

अभिव्यक्तीचा विचार करा.

30 + 6 * (13 - 9)

आपण पाहतो की या अभिव्यक्तीमध्ये कंसात एक क्रिया आहे, याचा अर्थ आपण ही क्रिया प्रथम, नंतर, क्रमाने, गुणाकार आणि बेरीज करू. चला क्रियांचा क्रम लावूया.

30 + 6 * (13 - 9)

चला अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजू.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

अंकगणित क्रियांचा क्रम अंकीय अभिव्यक्तीमध्ये योग्यरित्या स्थापित करण्यासाठी एक कारण कसे असावे?

गणनेसह पुढे जाण्यापूर्वी, तुम्हाला अभिव्यक्तीचा विचार करणे आवश्यक आहे (त्यात कंस आहेत की नाही, त्यात कोणत्या क्रिया आहेत ते शोधा) आणि त्यानंतरच पुढील क्रमाने क्रिया करा:

1. कंसात लिहिलेल्या क्रिया;

2. गुणाकार आणि भागाकार;

3. बेरीज आणि वजाबाकी.

आकृती आपल्याला हा साधा नियम लक्षात ठेवण्यास मदत करेल (चित्र 4).

तांदूळ. 4. प्रक्रिया

चला सराव करू.

चला अभिव्यक्ती पाहू, क्रियांचा क्रम सेट करू आणि गणना करू.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

आम्ही नियमानुसार काम करू. अभिव्यक्ती 43 - (20 - 7) +15 मध्ये कंसातील ऑपरेशन्स, तसेच बेरीज आणि वजाबाकी ऑपरेशन्स असतात. चला क्रियांचा क्रम स्थापित करूया. पहिली क्रिया म्हणजे कंसात क्रिया करणे आणि नंतर डावीकडून उजवीकडे, वजाबाकी आणि बेरीज करणे.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

32 + 9 * (19 - 16) या अभिव्यक्तीमध्ये कंसातील क्रिया, तसेच गुणाकार आणि बेरीज क्रिया आहेत. नियमानुसार, आम्ही प्रथम कंसात क्रिया करतो, नंतर गुणाकार करतो (वजाबाकीद्वारे मिळालेल्या निकालाने 9 गुणाकार केला जातो) आणि बेरीज.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

अभिव्यक्ती 2 * 9-18: 3 मध्ये कोणतेही कंस नाहीत, परंतु गुणाकार, भागाकार आणि वजाबाकीची क्रिया आहेत. आम्ही नियमानुसार वागतो. प्रथम, डावीकडून उजवीकडे गुणाकार आणि भागाकार करू या आणि नंतर गुणाकार करून मिळालेल्या निकालातून भागाकारातून मिळालेला परिणाम वजा करू. म्हणजेच पहिली क्रिया गुणाकार, दुसरी भागाकार आणि तिसरी वजाबाकी.

2*9-18:3=18-6=12

खालील अभिव्यक्तींमध्ये क्रियांचा क्रम योग्यरित्या परिभाषित केला आहे का ते शोधूया.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

आम्ही असे तर्क करतो.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

या अभिव्यक्तीमध्ये कोणतेही कंस नाहीत, म्हणजे आपण प्रथम डावीकडून उजवीकडे गुणाकार किंवा भागाकार करतो, नंतर बेरीज किंवा वजाबाकी करतो. या अभिव्यक्तीमध्ये, पहिली क्रिया भागाकार आहे, दुसरी गुणाकार आहे. तिसरी क्रिया बेरीज असणे आवश्यक आहे, चौथी वजाबाकी. निष्कर्ष: क्रियांचा क्रम योग्यरित्या परिभाषित केला आहे.

चला या अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

आम्ही तर्क चालू ठेवतो.

दुस-या अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतात, याचा अर्थ आपण प्रथम कंसात क्रिया करतो, नंतर डावीकडून उजवीकडे, गुणाकार किंवा भागाकार, बेरीज किंवा वजाबाकी. तपासा: पहिली क्रिया कंसात आहे, दुसरी विभागणी आहे आणि तिसरी जोड आहे. निष्कर्ष: कृतींचा क्रम चुकीच्या पद्धतीने परिभाषित केला आहे. चला चुका दुरुस्त करू, अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

या अभिव्यक्तीमध्ये कंस देखील असतात, याचा अर्थ आपण प्रथम कंसात क्रिया करतो, नंतर डावीकडून उजवीकडे, गुणाकार किंवा भागाकार, बेरीज किंवा वजाबाकी. तपासा: पहिली क्रिया कंसात आहे, दुसरी गुणाकार आहे आणि तिसरी वजाबाकी आहे. निष्कर्ष: कृतींचा क्रम चुकीच्या पद्धतीने परिभाषित केला आहे. चला चुका दुरुस्त करू, अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

चला कार्य पूर्ण करूया.

शिकलेला नियम (चित्र 5) वापरून अभिव्यक्तीमधील क्रियांचा क्रम लावू.

तांदूळ. 5. प्रक्रिया

आम्हाला संख्यात्मक मूल्ये दिसत नाहीत, म्हणून आम्ही अभिव्यक्तींचा अर्थ शोधू शकत नाही, परंतु आम्ही शिकलेला नियम लागू करण्याचा सराव करू.

आम्ही अल्गोरिदमनुसार कार्य करतो.

पहिल्या अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतात, त्यामुळे पहिली क्रिया कंसात असते. नंतर डावीकडून उजवीकडे गुणाकार आणि भागाकार, नंतर डावीकडून उजवीकडे वजाबाकी आणि बेरीज.

दुसर्‍या अभिव्यक्तीमध्ये कंस देखील असतात, याचा अर्थ पहिली क्रिया कंसात केली जाते. त्यानंतर, डावीकडून उजवीकडे, गुणाकार आणि भागाकार, त्यानंतर - वजाबाकी.

चला स्वतःला तपासूया (अंजीर 6).

तांदूळ. 6. प्रक्रिया

आज धड्यात आपण कंस न करता आणि कंसासह अभिव्यक्तींमधील क्रियांच्या क्रमाच्या नियमाशी परिचित झालो आहोत.

संदर्भग्रंथ

1. एम.आय. मोरे, एम.ए. बंटोवा आणि इतर. गणित: पाठ्यपुस्तक. ग्रेड 3: 2 भागांमध्ये, भाग 1. - एम.: "शिक्षण", 2012.
2. एम.आय. मोरे, एम.ए. बंटोवा आणि इतर. गणित: पाठ्यपुस्तक. ग्रेड 3: 2 भागांमध्ये, भाग 2. - एम.: "शिक्षण", 2012.
3. एम.आय. मोरेउ. गणिताचे धडे: शिक्षकांसाठी मार्गदर्शक तत्त्वे. ग्रेड 3. - एम.: शिक्षण, 2012.
4. मानक कायदेशीर दस्तऐवज. शिकण्याच्या परिणामांचे निरीक्षण आणि मूल्यमापन. - एम.: "शिक्षण", 2011.
5. "रशियाची शाळा": प्राथमिक शाळेसाठी कार्यक्रम. - एम.: "शिक्षण", 2011.
6. S.I. वोल्कोवा. गणित: पडताळणी कार्य. ग्रेड 3. - एम.: शिक्षण, 2012.
7. व्ही.एन. रुदनितस्काया. चाचण्या. - एम.: "परीक्षा", 2012.

1. उत्सव.1 september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

गृहपाठ

1. या अभिव्यक्तींमधील क्रियांचा क्रम निश्चित करा. अभिव्यक्तींचा अर्थ शोधा.

2. क्रिया करण्याच्या हा क्रम कोणत्या अभिव्यक्तीमध्ये आहे ते ठरवा:

1. गुणाकार; २.विभागणी; 3. बेरीज; 4. वजाबाकी; 5.अ‍ॅडिशन. या अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा.

3. तीन अभिव्यक्ती बनवा ज्यामध्ये क्रियांचा खालील क्रम केला जातो:

1. गुणाकार; 2. बेरीज; 3. वजाबाकी

1.अ‍ॅडिशन; 2. वजाबाकी; 3.अ‍ॅडिशन

1. गुणाकार; 2. विभागणी; 3.अ‍ॅडिशन

या अभिव्यक्तींचा अर्थ शोधा.

क्रियांचा क्रम - गणित ग्रेड 3 (Moreau)

संक्षिप्त वर्णन:

समजा अकिलीस कासवापेक्षा दहापट वेगाने धावतो आणि त्याच्या मागे एक हजार पावले आहे. हे अंतर धावण्यासाठी अकिलीसला लागणाऱ्या वेळेत कासव त्याच दिशेने शंभर पावले रेंगाळते. जेव्हा अकिलीस शंभर पावले चालतो, तेव्हा कासव आणखी दहा पावले रेंगाळते आणि असेच. प्रक्रिया अनिश्चित काळासाठी सुरू राहील, अकिलीस कधीही कासवाला पकडणार नाही.

हा तर्क पुढच्या सर्व पिढ्यांसाठी तार्किक धक्का म्हणून आला. अ‍ॅरिस्टॉटल, डायोजेन्स, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... या सर्वांनी एक ना एक प्रकारे झेनोचे अपोरियास मानले. धडक इतकी जोरदार होती की " ... सध्या चर्चा चालू आहे, वैज्ञानिक समुदाय अद्याप विरोधाभासांच्या साराबद्दल एक सामान्य मत बनू शकला नाही ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नवीन भौतिक आणि तात्विक दृष्टिकोन या समस्येच्या अभ्यासात गुंतले होते. ; त्यापैकी कोणतेही प्रश्नाचे सामान्यतः स्वीकारलेले समाधान झाले नाही ..."[विकिपीडिया," Zeno's Aporias"]. प्रत्येकाला समजते की त्यांना फसवले जात आहे, परंतु फसवणूक काय आहे हे कोणालाही समजत नाही.

गणिताच्या दृष्टिकोनातून, झेनोने त्याच्या अपोरियामध्ये परिमाण ते संक्रमण स्पष्टपणे दाखवले. हे संक्रमण स्थिरांकांऐवजी अनुप्रयोग सूचित करते. माझ्या समजल्याप्रमाणे, मोजमापाची परिवर्तनीय एकके वापरण्यासाठीचे गणितीय उपकरण एकतर अद्याप विकसित झालेले नाही किंवा ते झेनोच्या अपोरियावर लागू झालेले नाही. आपले नेहमीचे तर्क लागू केल्याने आपण एका जाळ्यात अडकतो. आम्ही, विचारांच्या जडत्वाने, परस्परांना वेळेच्या मापनाची स्थिर एकके लागू करतो. भौतिक दृष्टीकोनातून, अकिलीस कासवाच्या बरोबरीच्या क्षणी पूर्णपणे थांबेपर्यंत ते वेळेच्या विस्तारासारखे दिसते. वेळ थांबल्यास, अकिलीस यापुढे कासवाला मागे टाकू शकत नाही.

ज्या तर्काची आपल्याला सवय आहे ती जर आपण उलथून टाकली तर सर्व काही आपल्या ठिकाणी पडते. अकिलीस सतत वेगाने धावतो. त्याच्या मार्गाचा प्रत्येक पुढील विभाग मागीलपेक्षा दहापट लहान आहे. त्यानुसार, त्यावर मात करण्यासाठी लागणारा वेळ आधीच्या तुलनेत दहापट कमी आहे. जर आपण या परिस्थितीत "अनंत" ही संकल्पना लागू केली, तर "अकिलीस कासवाला पटकन पकडेल" असे म्हणणे योग्य ठरेल.

तुम्ही हा तार्किक सापळा कसा टाळू शकता? सतत वेळेच्या युनिटमध्ये रहा आणि मागे जाऊ नका. झेनोच्या भाषेत, हे असे दिसते:

ज्या काळात अकिलीस हजार पावले धावेल, त्याच दिशेने कासव शंभर पावले रेंगाळतील. पुढील कालांतराने, पहिल्या प्रमाणेच, अकिलीस आणखी हजार पावले धावेल आणि कासव शंभर पावले रेंगाळेल. आता अकिलीस कासवाच्या आठशे पावले पुढे आहे.

हा दृष्टिकोन कोणत्याही तार्किक विरोधाभासांशिवाय वास्तवाचे पुरेसे वर्णन करतो. परंतु हे समस्येचे पूर्ण समाधान नाही. प्रकाशाच्या वेगाच्या असुरक्षिततेबद्दल आइनस्टाइनचे विधान झेनो अपोरिया "अकिलीस आणि कासव" सारखे आहे. या समस्येचा आपल्याला अजून अभ्यास, पुनर्विचार आणि सोडवायचा आहे. आणि उपाय अमर्यादपणे मोठ्या संख्येने नाही तर मोजमापाच्या युनिट्समध्ये शोधले पाहिजे.

आणखी एक मनोरंजक एपोरिया झेनो उडत्या बाणाबद्दल सांगते:

उडणारा बाण गतिहीन असतो, कारण प्रत्येक क्षणी तो विसाव्यात असतो आणि प्रत्येक क्षणी तो विसावा घेत असल्याने तो नेहमी विश्रांती घेत असतो.

या एपोरियामध्ये, तार्किक विरोधाभास अगदी सोप्या पद्धतीने दूर केला जातो - हे स्पष्ट करणे पुरेसे आहे की प्रत्येक क्षणी एक उडणारा बाण अंतराळातील वेगवेगळ्या बिंदूंवर असतो, जो खरं तर गती आहे. आणखी एक मुद्दा इथे लक्षात घ्यायला हवा. रस्त्यावरील कारच्या एका छायाचित्रावरून, त्याच्या हालचालीची वस्तुस्थिती किंवा त्यापासूनचे अंतर निश्चित करणे अशक्य आहे. कारच्या हालचालीची वस्तुस्थिती निश्चित करण्यासाठी, दोन छायाचित्रे आवश्यक आहेत, एकाच बिंदूवरून वेगवेगळ्या वेळी घेतलेली आहेत, परंतु त्यांच्यापासून अंतर निश्चित करणे अशक्य आहे. कारचे अंतर निर्धारित करण्यासाठी, आपल्याला एकाच वेळी अंतराळातील वेगवेगळ्या बिंदूंमधून घेतलेली दोन छायाचित्रे आवश्यक आहेत, परंतु ते हालचालीची वस्तुस्थिती निर्धारित करू शकत नाहीत (अर्थात, गणनासाठी अतिरिक्त डेटा अद्याप आवश्यक आहे, त्रिकोणमिती आपल्याला मदत करेल). मला ज्या गोष्टीकडे विशेष लक्ष वेधायचे आहे ते म्हणजे वेळेतील दोन बिंदू आणि अंतराळातील दोन बिंदू या भिन्न गोष्टी आहेत ज्यांचा गोंधळ होऊ नये, कारण ते संशोधनासाठी वेगवेगळ्या संधी प्रदान करतात.

बुधवार, 4 जुलै 2018

सेट आणि मल्टीसेटमधील फरक विकिपीडियामध्ये अतिशय चांगल्या प्रकारे दस्तऐवजीकरण केलेला आहे. आम्ही पाहू.

तुम्ही बघू शकता, "संचामध्ये दोन एकसारखे घटक असू शकत नाहीत", परंतु जर संचामध्ये एकसारखे घटक असतील तर अशा संचाला "मल्टीसेट" म्हणतात. असा मूर्खपणाचा तर्क तर्कसंगत प्राण्यांना कधीच समजणार नाही. हे बोलणारे पोपट आणि प्रशिक्षित माकडांची पातळी आहे, ज्यांना "पूर्णपणे" शब्दापासून बुद्धिमत्ता नाही. गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षक म्हणून काम करतात, त्यांच्या मूर्ख कल्पना आम्हाला सांगतात.

एकदा पूल बांधणारे अभियंते पुलाच्या चाचण्यांच्या वेळी पुलाखाली बोटीत होते. पूल कोसळला, तर अकार्यक्षम अभियंता त्याच्या निर्मितीच्या ढिगाऱ्याखाली दबून मेला. हा पूल भार सहन करू शकला, तर कुशल अभियंता इतर पूल बांधतील.

"चूर, मी घरात आहे" या वाक्यामागे गणितज्ञ कितीही दडलेले असले, किंवा "गणित अमूर्त संकल्पनांचा अभ्यास करत असले तरी" एक नाळ आहे जी त्यांना वास्तवाशी जोडते. ही नाळ म्हणजे पैसा. चला गणितीय सेट सिद्धांत स्वतः गणितज्ञांना लागू करूया.

आम्ही गणिताचा चांगला अभ्यास केला आणि आता आम्ही पगार देऊन चेकआउटवर बसलो आहोत. इथे एक गणितज्ञ त्याच्या पैशासाठी आमच्याकडे येतो. आम्ही त्याच्यासाठी संपूर्ण रक्कम मोजतो आणि आमच्या टेबलवर वेगवेगळ्या ढिगाऱ्यांमध्ये ठेवतो, ज्यामध्ये आम्ही समान मूल्याची बिले ठेवतो. मग आम्ही प्रत्येक ढीगातून एक बिल घेतो आणि गणितज्ञांना त्याच्या "पगाराचा गणिती संच" देतो. एकसारखे घटक नसलेला संच समान घटक असलेल्या संचाच्या बरोबरीचा नाही हे सिद्ध केल्यावरच त्याला उर्वरित बिले मिळतील हे गणित समजावून घेऊ. इथेच मजा सुरू होते.

सर्व प्रथम, डेप्युटीजचे तर्क कार्य करेल: "तुम्ही ते इतरांना लागू करू शकता, तुम्ही ते माझ्यावर लागू करू शकत नाही!" पुढे, आम्ही आम्हांला खात्री देण्यास सुरुवात करू की एकाच मूल्याच्या बिलांवर वेगवेगळ्या बँक नोटांची संख्या आहे, याचा अर्थ ते समान घटक मानले जाऊ शकत नाहीत. ठीक आहे, चला नाण्यांमध्ये पगार मोजूया - नाण्यांवर कोणतीही संख्या नाहीत. येथे गणितज्ञ भौतिकशास्त्राची उग्रपणे आठवण ठेवण्यास सुरवात करेल: वेगवेगळ्या नाण्यांमध्ये वेगवेगळ्या प्रमाणात घाण असते, प्रत्येक नाण्यातील क्रिस्टल रचना आणि अणूंची व्यवस्था अद्वितीय आहे ...

आणि आता माझ्याकडे सर्वात मनोरंजक प्रश्न आहे: मल्टीसेटचे घटक सेटच्या घटकांमध्ये बदलतात आणि त्याउलट रेषा कोठे आहे? अशी ओळ अस्तित्त्वात नाही - सर्व काही शमनांनी ठरवले आहे, विज्ञान येथे कुठेही पडले नाही.

इकडे पहा. आम्ही समान खेळपट्टी असलेले फुटबॉल स्टेडियम निवडतो. फील्डचे क्षेत्रफळ समान आहे, याचा अर्थ आम्हाला मल्टीसेट मिळाला आहे. पण त्याच स्टेडियम्सच्या नावांचा विचार केला तर आपल्याला बरेच काही मिळते, कारण नावे वेगळी आहेत. जसे आपण पाहू शकता, घटकांचा समान संच एकाच वेळी एक संच आणि एक मल्टीसेट दोन्ही आहे. ते कसे योग्य आहे? आणि इथे गणितज्ञ-शमन-शुलर त्याच्या आस्तीनातून ट्रम्प एक्का काढतो आणि सेटबद्दल किंवा मल्टीसेटबद्दल सांगू लागतो. कोणत्याही परिस्थितीत, तो आपल्याला पटवून देईल की तो बरोबर आहे.

आधुनिक शमन सेट सिद्धांतासह कसे कार्य करतात हे समजून घेण्यासाठी, त्यास वास्तविकतेशी बांधून, एका प्रश्नाचे उत्तर देणे पुरेसे आहे: एका संचाचे घटक दुसर्‍या संचाच्या घटकांपेक्षा कसे वेगळे आहेत? मी तुम्हाला "एकदम विचार करण्यायोग्य नाही" किंवा "संपूर्ण विचार करण्यायोग्य नाही" शिवाय दाखवीन.

रविवार, 18 मार्च 2018

संख्येच्या अंकांची बेरीज म्हणजे डफसह शमनचे नृत्य, ज्याचा गणिताशी काहीही संबंध नाही. होय, गणिताच्या धड्यांमध्ये आपल्याला संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी आणि त्याचा वापर करण्यास शिकवले जाते, परंतु म्हणूनच ते त्यांच्या वंशजांना त्यांचे कौशल्य आणि शहाणपण शिकवण्यासाठी शमन आहेत, अन्यथा शमन फक्त मरतील.

पुरावा हवा आहे? विकिपीडिया उघडा आणि संख्या पृष्ठाच्या अंकांची बेरीज शोधण्याचा प्रयत्न करा. ते अस्तित्वात नाही. गणितात असे कोणतेही सूत्र नाही ज्याद्वारे तुम्ही कोणत्याही संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधू शकता. शेवटी, संख्या ही ग्राफिक चिन्हे आहेत ज्याद्वारे आपण संख्या लिहितो आणि गणिताच्या भाषेत कार्य असे दिसते: "कोणत्याही संख्येचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या ग्राफिक चिन्हांची बेरीज शोधा." गणितज्ञ ही समस्या सोडवू शकत नाहीत, परंतु शमन - हे प्राथमिक आहे.

दिलेल्या संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी आपण काय आणि कसे करतो ते पाहू. आणि म्हणून, 12345 हा क्रमांक घेऊ या. या संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी काय केले पाहिजे? चला क्रमाने सर्व पायऱ्या पार करूया.

1. आम्ही कागदाच्या तुकड्यावर संख्या लिहून ठेवतो. आम्ही काय केले आहे? आम्ही क्रमांकाचे ग्राफिक चिन्हात रूपांतर केले आहे. हे गणितीय ऑपरेशन नाही.

2. आम्ही एक परिणामी चित्र वेगळे संख्या असलेल्या अनेक चित्रांमध्ये कापतो. चित्र कापणे ही गणिती क्रिया नाही.

3. वैयक्तिक ग्राफिक चिन्हे संख्यांमध्ये रूपांतरित करा. हे गणितीय ऑपरेशन नाही.

4. परिणामी संख्या जोडा. आता ते गणित आहे.

12345 च्या अंकांची बेरीज 15 आहे. हे गणितज्ञांनी वापरलेले "कटिंग आणि शिवणकाम" अभ्यासक्रम आहेत. पण एवढेच नाही.

गणिताच्या दृष्टीकोनातून, आपण कोणत्या संख्या प्रणालीमध्ये संख्या लिहितो हे महत्त्वाचे नाही. तर, भिन्न संख्या प्रणालींमध्ये, एकाच संख्येच्या अंकांची बेरीज भिन्न असेल. गणितामध्ये, संख्या प्रणाली क्रमांकाच्या उजवीकडे सबस्क्रिप्ट म्हणून दर्शविली जाते. मोठ्या संख्येने 12345, मी माझ्या डोक्याला मूर्ख बनवू इच्छित नाही, बद्दलच्या लेखातील 26 क्रमांकाचा विचार करा. ही संख्या बायनरी, ऑक्टल, डेसिमल आणि हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टममध्ये लिहू. आम्ही प्रत्येक पाऊल सूक्ष्मदर्शकाखाली पाहणार नाही, आम्ही ते आधीच केले आहे. चला निकाल पाहूया.

तुम्ही बघू शकता की, वेगवेगळ्या संख्या प्रणालींमध्ये, एकाच संख्येच्या अंकांची बेरीज वेगळी असते. या निकालाचा गणिताशी काहीही संबंध नाही. मीटर आणि सेंटीमीटरमध्ये आयताचे क्षेत्रफळ ठरवताना तुम्हाला पूर्णपणे भिन्न परिणाम मिळतील असेच आहे.

सर्व संख्या प्रणालींमध्ये शून्य एकसारखे दिसते आणि त्यात अंकांची बेरीज नसते. या वस्तुस्थितीसाठी हा आणखी एक युक्तिवाद आहे. गणितज्ञांसाठी एक प्रश्न: गणितात संख्या नसलेली गोष्ट कशी आहे? काय, गणितज्ञांसाठी, संख्यांशिवाय काहीही अस्तित्वात नाही? शमनसाठी, मी याची परवानगी देऊ शकतो, परंतु शास्त्रज्ञांसाठी - नाही. वास्तविकता ही संख्यांबद्दल नसते.

मिळालेला निकाल हा पुरावा मानला पाहिजे की संख्या प्रणाली संख्यांच्या मोजमापाची एकके आहेत. शेवटी, आम्ही मोजमापाच्या वेगवेगळ्या युनिट्ससह संख्यांची तुलना करू शकत नाही. जर एकाच प्रमाणाच्या मापनाच्या भिन्न युनिट्ससह समान क्रियांची तुलना केल्यानंतर भिन्न परिणाम मिळतात, तर याचा गणिताशी काहीही संबंध नाही.

खरे गणित म्हणजे काय? हे असे होते जेव्हा गणितीय क्रियेचा परिणाम संख्येच्या विशालतेवर, वापरलेल्या मोजमापाचे एकक आणि ही क्रिया कोण करते यावर अवलंबून नसते.

आहा! हे महिलांचे स्वच्छतागृह नाही का?
- तरूणी! स्वर्गारोहणाच्या वेळी आत्म्यांच्या अविवेकी पवित्रतेच्या अभ्यासासाठी ही प्रयोगशाळा आहे! हॅलो वर आणि बाण वर दिशेला. दुसरे कोणते शौचालय?

स्त्री... वरील निंबस आणि खालचा बाण नर आहे.

दिवसातून अनेकवेळा तुमच्या डोळ्यांसमोर यासारख्या डिझाईन कलेचा तुकडा चमकत असल्यास,

मग तुम्हाला तुमच्या कारमध्ये अचानक एक विचित्र चिन्ह दिसणे हे आश्चर्यकारक नाही:

व्यक्तिशः, मी स्वत: वर प्रयत्न करतो जेणेकरुन एका व्यक्तीमध्ये (एक चित्र) मला उणे चार अंश दिसू शकेल (अनेक चित्रांची रचना: वजा चिन्ह, क्रमांक चार, अंश पदनाम). आणि मला वाटत नाही की ही मुलगी मूर्ख आहे जिला भौतिकशास्त्र माहित नाही. तिच्याकडे फक्त ग्राफिक प्रतिमांच्या आकलनाचा एक स्टिरियोटाइप आहे. आणि गणितज्ञ आपल्याला हे सतत शिकवतात. येथे एक उदाहरण आहे.

1A "वजा चार अंश" किंवा "एक अ" नाही. हे "पोपिंग मॅन" किंवा हेक्साडेसिमल नोटेशनमधील "छवीस" संख्या आहे. जे लोक या नंबर सिस्टममध्ये सतत काम करतात त्यांना आपोआप संख्या आणि अक्षर एक ग्राफिक चिन्ह म्हणून समजतात.

जेव्हा आपण संख्या, अक्षरे आणि व्हेरिएबल्ससह विविध अभिव्यक्तीसह कार्य करतो तेव्हा आपल्याला अनेक अंकगणित ऑपरेशन्स करावे लागतात. जेव्हा आपण परिवर्तन करतो किंवा मूल्याची गणना करतो तेव्हा या क्रियांच्या योग्य क्रमाचे पालन करणे खूप महत्वाचे आहे. दुसऱ्या शब्दांत, अंकगणित ऑपरेशन्सचा स्वतःचा विशेष क्रम असतो.

Yandex.RTB R-A-339285-1

या लेखात आम्ही तुम्हाला सांगू की कोणती क्रिया प्रथम करावी आणि कोणती नंतर. सुरुवातीला, चला काही सोप्या अभिव्यक्ती पाहू ज्यात फक्त चल किंवा संख्यात्मक मूल्ये आहेत, तसेच भागाकार, गुणाकार, वजाबाकी आणि बेरीजची चिन्हे आहेत. मग आपण पॅरेंथेटिकल उदाहरणे घेऊ आणि त्यांचे मूल्यांकन कोणत्या क्रमाने करायचे ते पाहू. तिसर्‍या भागात, आम्ही मुळे, शक्ती आणि इतर कार्यांची चिन्हे समाविष्ट असलेल्या उदाहरणांमध्ये परिवर्तन आणि गणनांचा आवश्यक क्रम देऊ.

कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीच्या बाबतीत, क्रियांचा क्रम निःसंदिग्धपणे निर्धारित केला जातो:

1. सर्व क्रिया डावीकडून उजवीकडे केल्या जातात.
2. सर्व प्रथम, आपण भागाकार आणि गुणाकार करतो आणि दुसरे म्हणजे, आपण वजाबाकी आणि बेरीज करतो.

या नियमांचा अर्थ समजून घेणे सोपे आहे. डावीकडून उजवीकडे नोटेशनचा पारंपारिक क्रम गणनेचा मूलभूत क्रम निर्धारित करतो आणि प्रथम गुणाकार किंवा भागाकार करण्याची आवश्यकता या ऑपरेशन्सच्या साराद्वारे स्पष्ट केली जाते.

स्पष्टतेसाठी काही कार्ये घेऊ. आम्ही फक्त सर्वात सोपी संख्यात्मक अभिव्यक्ती वापरली जेणेकरून सर्व गणना आमच्या डोक्यात करता येईल. अशा प्रकारे तुम्ही तुम्हाला हवी असलेली ऑर्डर पटकन लक्षात ठेवू शकता आणि परिणाम पटकन तपासू शकता.

उदाहरण १

परिस्थिती:किती असेल याची गणना करा 7 − 3 + 6 .

उपाय

आपल्या अभिव्यक्तीमध्ये कोणतेही कंस नाहीत, गुणाकार आणि भागाकार देखील अनुपस्थित आहेत, म्हणून आम्ही सर्व क्रिया निर्दिष्ट क्रमाने करतो. प्रथम, सात मधून तीन वजा करा, नंतर उर्वरित सहा जोडा आणि शेवटी दहा करा. येथे संपूर्ण समाधानाची नोंद आहे:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

उत्तर: 7 − 3 + 6 = 10 .

उदाहरण २

परिस्थिती:अभिव्यक्तीमध्ये गणना कोणत्या क्रमाने करायची ६:२८:३?

उपाय

या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, आपण आधी तयार केलेला कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीसाठी नियम पुन्हा वाचू या. आमच्याकडे येथे फक्त गुणाकार आणि भागाकार आहेत, याचा अर्थ आम्ही गणनेचा लेखी क्रम ठेवतो आणि डावीकडून उजवीकडे अनुक्रमे मोजतो.

उत्तर:प्रथम आपण सहाला दोन ने भागतो, निकालाला आठ ने गुणतो आणि परिणामी संख्येला तीन ने भागतो.

उदाहरण ३

परिस्थिती: 17 - 5 6:3 - 2 + 4:2 किती असेल याची गणना करा.

उपाय

प्रथम, क्रियांचा योग्य क्रम ठरवू या, कारण आपल्याकडे अंकगणितीय क्रियांचे सर्व मूलभूत प्रकार आहेत - बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार. पहिली गोष्ट म्हणजे भागाकार आणि गुणाकार. या क्रियांना एकमेकांपेक्षा प्राधान्य नाही, म्हणून आम्ही त्या उजवीकडून डावीकडे लेखी क्रमाने करतो. म्हणजेच, 5 ला 6 ने गुणले पाहिजे आणि 30 मिळवा, नंतर 30 ला 3 ने भागले आणि 10 मिळवा. त्यानंतर आपण 4 ला 2 ने भागतो, ते 2 आहे. मूळ अभिव्यक्तीमध्ये सापडलेल्या मूल्यांची जागा घेऊ:

१७ - ५ ६:३ - २ + ४: २ = १७ - १० - २ + २

यापुढे कोणतेही भागाकार किंवा गुणाकार नाहीत, म्हणून आम्ही उर्वरित गणना क्रमाने करतो आणि उत्तर मिळवतो:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

उत्तर:१७ - ५ ६:३ - २ + ४:२ = ७.

जोपर्यंत क्रियांचा क्रम घट्टपणे लक्षात ठेवला जात नाही तोपर्यंत, तुम्ही अंकगणितीय क्रियांच्या चिन्हांच्या वर संख्या ठेवू शकता, म्हणजे गणनाचा क्रम. उदाहरणार्थ, वरील समस्येसाठी, आम्ही ते असे लिहू शकतो:

जर आपल्याकडे शाब्दिक अभिव्यक्ती असतील, तर आपण त्यांच्यासह तेच करतो: प्रथम आपण गुणाकार आणि भागाकार करतो, नंतर बेरीज आणि वजाबाकी करतो.

पहिल्या आणि दुसऱ्या टप्प्यातील क्रिया काय आहेत

काहीवेळा संदर्भ पुस्तकांमध्ये सर्व अंकगणित ऑपरेशन्स पहिल्या आणि दुसऱ्या टप्प्यातील ऑपरेशन्समध्ये विभागल्या जातात. चला आवश्यक व्याख्या तयार करूया.

पहिल्या टप्प्यातील क्रियांमध्ये वजाबाकी आणि बेरीज समाविष्ट आहे, दुसरा - गुणाकार आणि भागाकार.

ही नावे जाणून घेतल्यास, आपण कृतींच्या क्रमाबाबत पूर्वी दिलेला नियम खालीलप्रमाणे लिहू शकतो.

व्याख्या २

कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये, तुम्ही प्रथम दुसऱ्या टप्प्याच्या क्रिया डावीकडून उजवीकडे, नंतर पहिल्या टप्प्याच्या क्रिया (त्याच दिशेने) केल्या पाहिजेत.

कंसातील अभिव्यक्तींमध्ये मूल्यमापन क्रम

कंस हे स्वतःच एक चिन्ह आहे जे आपल्याला कोणत्या क्रमाने पुढे जायचे आहे हे सांगते. या प्रकरणात, आवश्यक नियम खालीलप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:

व्याख्या ३

जर अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतील, तर पहिली गोष्ट म्हणजे त्यामध्ये कृती करणे, त्यानंतर आपण गुणाकार आणि भागाकार करतो आणि नंतर डावीकडून उजवीकडे बेरीज आणि वजाबाकी करतो.

कंसातील अभिव्यक्तीसाठी, ते मुख्य अभिव्यक्तीचा भाग म्हणून पाहिले जाऊ शकते. कंसातील अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजताना, आम्ही आम्हाला ज्ञात असलेल्या क्रियांचा समान क्रम ठेवतो. आपला विचार एका उदाहरणाने स्पष्ट करूया.

उदाहरण ४

परिस्थिती:किती असेल याची गणना करा 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.

उपाय

या अभिव्यक्तीमध्ये कंस आहेत, चला त्यांच्यापासून सुरुवात करूया. पहिली पायरी म्हणजे 7 - 2 · 3 किती असेल याची गणना करणे. येथे आपल्याला 2 ने 3 ने गुणाकार करणे आणि 7 मधून निकाल वजा करणे आवश्यक आहे:

७ - २ ३ = ७ - ६ = १

आम्ही दुसऱ्या कंसात निकाल मोजतो. आमच्याकडे फक्त एकच क्रिया आहे: 6 − 4 = 2 .

आता आपल्याला परिणामी मूल्ये मूळ अभिव्यक्तीमध्ये बदलण्याची आवश्यकता आहे:

५ + (७ - २ ३) (६ - ४): २ = ५ + १ २:२

चला गुणाकार आणि भागाकाराने सुरुवात करू या, नंतर वजाबाकी आणि मिळवा:

५ + १ २ : २ = ५ + २ : २ = ५ + १ = ६

या टप्प्यावर, गणना पूर्ण केली जाऊ शकते.

उत्तर: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.

जर आपल्या स्थितीमध्ये काही कंस इतरांना जोडलेले असतील तर त्यामध्ये एक अभिव्यक्ती असल्यास घाबरू नका. आपल्याला फक्त कंसातील सर्व अभिव्यक्तींवर अनुक्रमे वरील नियम लागू करणे आवश्यक आहे. चला हे कार्य घेऊ.

उदाहरण ५

परिस्थिती:किती असेल याची गणना करा ४ + (३ + १ + ४ (२ + ३)).

उपाय

आमच्याकडे कंसात कंस आहेत. आम्ही 3 + 1 + 4 (2 + 3) सह प्रारंभ करतो, म्हणजे 2 + 3. हे 5 असेल. मूल्य अभिव्यक्तीमध्ये बदलणे आवश्यक आहे आणि 3 + 1 + 4 · 5 ची गणना करणे आवश्यक आहे. आम्हाला लक्षात आहे की प्रथम आपल्याला गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि नंतर जोडणे आवश्यक आहे: ३ + १ + ४ ५ = ३ + १ + २० = २४... सापडलेल्या मूल्यांना मूळ अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्ही उत्तराची गणना करतो: 4 + 24 = 28 .

उत्तर: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

दुसऱ्या शब्दांत, कंसात कंस समाविष्ट असलेल्या अभिव्यक्तीच्या मूल्याचे मूल्यमापन करताना, आम्ही आतील कंसापासून सुरुवात करतो आणि बाहेरील कंसांपर्यंत काम करतो.

समजा आपल्याला किती (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1 शोधण्याची आवश्यकता आहे. आम्ही आतील कंसातील अभिव्यक्तीसह प्रारंभ करतो. 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1 असल्याने, मूळ अभिव्यक्ती (4 + (4 + 1) - 1) - 1 असे लिहिता येते. आतील कंसांचा पुन्हा संदर्भ देत आहे: 4 + 1 = 5. आम्ही अभिव्यक्तीकडे आलो (4 + 5 − 1) − 1 ... आम्ही मोजतो 4 + 5 − 1 = 8 आणि परिणामी आम्हाला 8 - 1 चा फरक मिळेल, ज्याचा परिणाम 7 असेल.

पॉवर, रूट्स, लॉगरिदम आणि इतर फंक्शन्ससह एक्सप्रेशनमधील गणना क्रम

जर आपल्या स्थितीमध्ये पदवी, मूळ, लॉगरिदम किंवा त्रिकोणमितीय फंक्शन (साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट) किंवा इतर फंक्शन्स असलेली अभिव्यक्ती असेल, तर सर्वप्रथम आपण फंक्शनचे मूल्य मोजतो. त्यानंतर, आम्ही मागील परिच्छेदांमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या नियमांनुसार कार्य करतो. दुस-या शब्दात, फंक्शन्स कंसात बंद केलेल्या अभिव्यक्तीला समान महत्त्व देतात.

चला अशा गणनेचे उदाहरण पाहू.

उदाहरण 6

परिस्थिती:किती आहे ते शोधा (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7.

उपाय

आपल्याकडे पदवीसह एक अभिव्यक्ती आहे, ज्याचे मूल्य प्रथम शोधले पाहिजे. आम्ही विचार करतो: 6 2 = 36. आता आपण परिणामाला अभिव्यक्तीमध्ये बदलतो, त्यानंतर तो फॉर्म (3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 घेईल.

(३ + १) २ + ३६: ३ - ७ = ४ २ + ३६: ३ - ७ = ८ + १२ - ७ = १३

उत्तर: (३ + १) २ + ६ २:३ - ७ = १३.

अभिव्यक्तींच्या मूल्यांच्या गणनेसाठी समर्पित एका स्वतंत्र लेखात, आम्ही मुळे, अंश इत्यादीसह अभिव्यक्तींच्या बाबतीत गणनाची इतर, अधिक जटिल उदाहरणे देतो. आम्ही शिफारस करतो की आपण त्यास स्वतःला परिचित करा.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ती निवडा आणि Ctrl + Enter दाबा