मध्यवर्ती स्तर

चतुर्भुज असमानता. सर्वसमावेशक मार्गदर्शक (2019)

चतुर्भुज समीकरणे कशी सोडवायची हे शोधण्यासाठी, आपल्याला चतुर्भुज कार्य म्हणजे काय आणि त्याचे गुणधर्म काय आहेत हे समजून घेणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला कदाचित आश्चर्य वाटले असेल की चतुर्भुज फंक्शनची अजिबात गरज का आहे? त्याचा आलेख (पॅराबोला) कुठे लागू होतो? होय, तुम्हाला फक्त आजूबाजूला पहावे लागेल आणि तुम्हाला ते दररोज लक्षात येईल दैनंदिन जीवनतू तिला भेटशील. शारीरिक शिक्षणात फेकलेला चेंडू कसा उडतो हे तुमच्या लक्षात आले आहे का? "चाप बाजूने"? सर्वात योग्य उत्तर "पॅराबोला" असेल! आणि कारंजातील जेट कोणत्या मार्गक्रमणाचे अनुसरण करते? होय, पॅराबोलामध्ये देखील! बुलेट किंवा शेल कसे उडते? ते बरोबर आहे, पॅराबोलामध्ये देखील! अशा प्रकारे, चतुर्भुज कार्याचे गुणधर्म जाणून घेतल्यास, अनेक व्यावहारिक समस्या सोडवणे शक्य होईल. उदाहरणार्थ, सर्वात मोठे अंतर सुनिश्चित करण्यासाठी चेंडू कोणत्या कोनात टाकला पाहिजे? किंवा, एखाद्या विशिष्ट कोनात प्रक्षेपित केल्यास प्रक्षेपण कोठे संपेल? इ.

चतुर्भुज कार्य

तर, चला ते बाहेर काढूया.

उदाहरणार्थ, . येथे समानता काय आहेत आणि? बरं, नक्कीच!

काय तर, i.e. शून्यापेक्षा कमी? बरं, अर्थातच, आम्ही "दु:खी आहोत," याचा अर्थ शाखा खाली निर्देशित केल्या जातील! चला आलेख पाहू.

ही आकृती फंक्शनचा आलेख दाखवते. पासून, i.e. शून्यापेक्षा कमी, पॅराबोलाच्या फांद्या खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात. याव्यतिरिक्त, आपण कदाचित आधीच लक्षात घेतले आहे की या पॅराबोलाच्या शाखा अक्षांना छेदतात, याचा अर्थ असा की समीकरणाला 2 मुळे आहेत आणि फंक्शन सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही मूल्ये घेते!

अगदी सुरुवातीला, जेव्हा आपण चतुर्भुज फंक्शनची व्याख्या दिली होती, तेव्हा असे म्हटले होते की आणि काही संख्या आहेत. त्यांची बरोबरी शून्य असू शकते का? बरं, नक्कीच ते करू शकतात! मी ते पुन्हा उघडेन मोठे रहस्य(जे अजिबात गुपित नाही, परंतु ते नमूद करण्यासारखे आहे): या क्रमांकांवर (आणि) अजिबात कोणतेही निर्बंध घातलेले नाहीत!

बरं, जर आणि शून्य समान असतील तर आलेखांचे काय होते ते पाहू.

तुम्ही बघू शकता की, विचाराधीन फंक्शन्सचे आलेख (आणि) सरकले आहेत त्यामुळे त्यांचे शिरोबिंदू आता समन्वय बिंदूवर आहेत, म्हणजेच अक्षांच्या छेदनबिंदूवर आहेत आणि याचा शाखांच्या दिशेवर कोणताही परिणाम होत नाही. . अशा प्रकारे, आम्ही असा निष्कर्ष काढू शकतो की ते समन्वय प्रणालीसह पॅराबोला आलेखाच्या "हालचालीसाठी" जबाबदार आहेत.

फंक्शनचा आलेख एका बिंदूवर अक्षाला स्पर्श करतो. याचा अर्थ समीकरणाचे मूळ एक आहे. अशा प्रकारे, फंक्शन शून्यापेक्षा जास्त किंवा समान मूल्ये घेते.

आपण फंक्शनच्या आलेखासह समान तर्कशास्त्र फॉलो करतो. ते एका बिंदूवर x-अक्षाला स्पर्श करते. याचा अर्थ समीकरणाला एक मूळ आहे. अशा प्रकारे, फंक्शन शून्यापेक्षा कमी किंवा समान मूल्ये घेते, म्हणजे.

अशा प्रकारे, अभिव्यक्तीचे चिन्ह निश्चित करण्यासाठी, सर्वप्रथम समीकरणाची मुळे शोधणे आवश्यक आहे. हे आमच्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल.

चतुर्भुज असमानता

अशा असमानता सोडवताना, चतुर्भुज फंक्शन कोठे मोठे, कमी किंवा शून्याच्या बरोबरीचे आहे हे निर्धारित करण्याची क्षमता आपल्याला आवश्यक असेल. म्हणजे:

• जर आपल्याकडे फॉर्मची असमानता असेल, तर प्रत्यक्षात कार्य निश्चित करण्यावर येते संख्यात्मक अंतरालमूल्ये ज्यावर पॅराबोला अक्षाच्या वर स्थित आहे.
• जर आपल्याकडे फॉर्मची असमानता असेल, तर प्रत्यक्षात कार्य x व्हॅल्यूजचा संख्यात्मक अंतराल ठरवण्याचे आहे ज्यासाठी पॅराबोला अक्षाच्या खाली आहे.

जर असमानता कठोर नसतील, तर मुळे (अक्षासह पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूचे समन्वय) इच्छित संख्यात्मक अंतरालमध्ये समाविष्ट केले जातात, त्यांना वगळले जाते;

हे सर्व अगदी औपचारिक आहे, परंतु निराश होऊ नका किंवा घाबरू नका! आता उदाहरणे पाहू या, आणि सर्वकाही ठिकाणी पडेल.

चतुर्भुज असमानता सोडवताना, आम्ही दिलेल्या अल्गोरिदमचे पालन करू आणि अपरिहार्य यश आमची वाट पाहत आहे!

अल्गोरिदम	उदाहरण:
1) आपण संबंधित असमानता लिहू या चतुर्भुज समीकरण(फक्त असमानता चिन्ह समान चिन्हात बदला “=”).
२) या समीकरणाची मुळे शोधू.
3) अक्षावर मुळे चिन्हांकित करा आणि पॅराबोलाच्या फांद्या ("वर" किंवा "खाली") चे दिशानिर्देश योजनाबद्धपणे दर्शवा.
४) चतुर्भुज फंक्शनच्या चिन्हाशी संबंधित अक्षावर चिन्हे ठेवूया: जिथे पॅराबोला अक्षाच्या वर आहे तिथे आम्ही “” ठेवतो आणि कुठे खाली - ““.
5) असमानता चिन्हावर अवलंबून, “” किंवा “” शी संबंधित मध्यांतर लिहा. असमानता कठोर नसल्यास, मुळे मध्यांतरात समाविष्ट केली जातात, जर ती कठोर असेल तर ती नाहीत.

समजले? मग पुढे जा आणि पिन करा!

उदाहरण:

बरं, चाललं का? तुम्हाला काही अडचण असल्यास, उपाय शोधा.

उपाय:

असमानता चिन्ह " " असल्यामुळे " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. असमानता कठोर नाही, म्हणून मुळे मध्यांतरांमध्ये समाविष्ट आहेत:

चला संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू:

चला या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधूया:

प्राप्त मुळे अक्षावर योजनाबद्धपणे चिन्हांकित करू आणि चिन्हे व्यवस्थित करूया:

असमानता चिन्ह " " असल्यामुळे " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. असमानता कठोर आहे, म्हणून मुळे मध्यांतरांमध्ये समाविष्ट नाहीत:

चला संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू:

चला या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधूया:

या समीकरणाला एक मूळ आहे

प्राप्त मुळे अक्षावर योजनाबद्धपणे चिन्हांकित करू आणि चिन्हे व्यवस्थित करूया:

असमानता चिन्ह " " असल्याने " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. कोणत्याहीसाठी, फंक्शन गैर-नकारात्मक मूल्ये घेते. असमानता कठोर नसल्याने उत्तर मिळेल.

चला संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू:

चला या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधूया:

चला योजनाबद्धपणे पॅराबोलाचा आलेख काढू आणि चिन्हे व्यवस्थित करू:

असमानता चिन्ह " " असल्याने " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. कोणत्याहीसाठी, फंक्शन सकारात्मक मूल्ये घेते, म्हणून, असमानतेचे निराकरण मध्यांतर असेल:

स्क्वेअर असमानता. मध्यम पातळी

चतुर्भुज कार्य.

“चतुर्भुज असमानता” या विषयावर बोलण्याआधी आपण चतुर्भुज कार्य म्हणजे काय आणि त्याचा आलेख काय आहे हे लक्षात घेऊ या.

दुसऱ्या शब्दांत, हे दुसऱ्या पदवीचे बहुपद.

चतुर्भुज कार्याचा आलेख पॅराबोला आहे (लक्षात ठेवा ते काय आहे?). त्याच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात जर "a) फंक्शन सर्वांसाठी फक्त सकारात्मक मूल्ये घेते आणि दुसऱ्या () मध्ये - फक्त नकारात्मक:

जेव्हा समीकरण () मध्ये एक मूळ असते (उदाहरणार्थ, भेदभाव शून्य असल्यास), याचा अर्थ असा की आलेख अक्षाला स्पर्श करतो:

नंतर, मागील केस प्रमाणेच, " .

तर, चतुर्भुज फंक्शन कोठे शून्यापेक्षा मोठे आहे आणि कुठे कमी आहे हे कसे ठरवायचे ते आम्ही अलीकडेच शिकलो:

जर चतुर्भुज असमानता कठोर नसेल, तर मुळे संख्यात्मक अंतरालमध्ये समाविष्ट केली जातात, जर ती कठोर असेल तर ती नसतात;

जर एकच मूळ असेल तर ठीक आहे, समान चिन्ह सर्वत्र असेल. जर मुळे नसतील, तर सर्व काही केवळ गुणांकावर अवलंबून असते: जर "25((x)^(2))-30x+9

उत्तरे:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

कोणतीही मुळे नाहीत, म्हणून डाव्या बाजूला संपूर्ण अभिव्यक्ती गुणांकाचे चिन्ह आधी घेते:

• जर तुम्हाला एक संख्यात्मक अंतराल शोधायचा असेल ज्यावर चतुर्भुज त्रिपद शून्यापेक्षा जास्त असेल, तर हा अंकीय मध्यांतर आहे जेथे पॅराबोला अक्षाच्या वर स्थित आहे.
• जर तुम्हाला एक संख्यात्मक अंतराल शोधायचा असेल ज्यावर चतुर्भुज त्रिपद शून्यापेक्षा कमी असेल, तर हा अंकीय मध्यांतर आहे जेथे पॅराबोला अक्षाच्या खाली आहे.

स्क्वेअर असमानता. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

चतुर्भुज कार्यफॉर्मचे कार्य आहे: ,

चतुर्भुज कार्याचा आलेख पॅराबोला आहे. त्याच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात जर, आणि खालच्या दिशेने जर:

चतुर्भुज असमानतेचे प्रकार:

सर्व चतुर्भुज असमानता खालील चार प्रकारांमध्ये कमी केल्या आहेत:

उपाय अल्गोरिदम:

अल्गोरिदम	उदाहरण:
1) चला असमानतेशी संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू (फक्त असमानतेचे चिन्ह "" समान चिन्हावर बदलू).
२) या समीकरणाची मुळे शोधू.
3) अक्षावर मुळे चिन्हांकित करा आणि पॅराबोलाच्या शाखांचे ("वर" किंवा "खाली") अभिमुखता योजनाबद्धपणे दर्शवा.
४) चतुर्भुज फंक्शनच्या चिन्हाशी संबंधित अक्षावर चिन्हे ठेवूया: जिथे पॅराबोला अक्षाच्या वर आहे तिथे आम्ही “” ठेवतो आणि कुठे खाली - ““.
५) असमानतेच्या चिन्हावर अवलंबून “” किंवा “” शी संबंधित मध्यांतर लिहा. असमानता कठोर नसल्यास, मुळे मध्यांतरात समाविष्ट केली जातात, जर ती कठोर असेल तर ती नाहीत.

चतुर्भुज असमानतेची व्याख्या

टीप १

असमानतेला चतुर्भुज म्हणतात कारण व्हेरिएबल स्क्वेअर आहे. चतुर्भुज असमानता देखील म्हणतात द्वितीय श्रेणीची असमानता.

उदाहरण १

उदाहरण.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – चतुर्भुज असमानता.

उदाहरणावरून पाहिले जाऊ शकते, $ax^2+bx+c > 0$ या स्वरूपातील असमानतेचे सर्व घटक उपस्थित नाहीत.

उदाहरणार्थ, असमानता $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ मध्ये कोणतेही मुक्त पद नाही ($с$) आणि असमानतेमध्ये $11z^2+8 \le 0$ गुणांक $b$ सह कोणतेही पद नाही. अशा असमानता देखील चतुर्भुज आहेत, परंतु त्यांना देखील म्हणतात अपूर्ण चतुर्भुज असमानता. याचा अर्थ असा आहे की $b$ किंवा $c$ गुणांक शून्याच्या समान आहेत.

चतुर्भुज असमानता सोडवण्याच्या पद्धती

चतुर्भुज असमानता सोडवताना, खालील मूलभूत पद्धती वापरल्या जातात:

• ग्राफिक
• मध्यांतर पद्धत;
• द्विपदाचा वर्ग वेगळे करणे.

ग्राफिक पद्धत

टीप 2

चतुर्भुज असमानता सोडवण्यासाठी ग्राफिकल पद्धत $ax^2+bx+c > 0$ (किंवा $ चिन्हासह

हे अंतराल आहेत चतुर्भुज असमानता सोडवणे.

मध्यांतर पद्धत

टीप 3

$ax^2+bx+c > 0$ (असमानता चिन्ह $ देखील असू शकते

चतुर्भुज असमानतेचे उपाय$""$ - सकारात्मक अंतराल, $"≤"$ आणि $"≥"$ या चिन्हांसह - नकारात्मक आणि सकारात्मक अंतराल (अनुक्रमे), त्रिपदाच्या शून्याशी संबंधित असलेल्या बिंदूंसह.

द्विपदाचा वर्ग अलग करणे

द्विपदी वर्ग वेगळे करून द्विपदी असमानता सोडवण्याची पद्धत म्हणजे $(x-n)^2 > m$ (किंवा $ या चिन्हासह) फॉर्मच्या समतुल्य असमानतेकडे जाणे.

असमानता ज्या चतुर्भुज असमानता कमी करतात

टीप 4

बऱ्याचदा, असमानता सोडवताना, त्यांना $ax^2+bx+c > 0$ या स्वरूपातील चतुर्भुज असमानता कमी करणे आवश्यक आहे (असमानतेचे चिन्ह $ असमानता देखील असू शकते जे चतुर्भुज असमानता कमी करते.

टीप 5

चतुर्भुज असमानता कमी करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे मूळ असमानतेतील अटींची पुनर्रचना करणे किंवा त्यांचे हस्तांतरण करणे, उदाहरणार्थ, उजवीकडून डावीकडे.

उदाहरणार्थ, असमानतेच्या सर्व अटी $7x > 6-3x^2$ उजवीकडून डावीकडे हस्तांतरित करताना, आम्हाला $3x^2+7x-6 > 0$ फॉर्मची द्विघाती असमानता मिळते.

जर आपण $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ असमानतेच्या डाव्या बाजूला $y$ च्या अंशाच्या उतरत्या क्रमाने अटींची पुनर्रचना केली, तर यामुळे $5.3 ची समतुल्य चतुर्भुज असमानता येईल. x^2+1.5y-2 \ge 0$.

तर्कसंगत असमानता सोडवताना, ते बहुधा चतुर्भुज असमानतेपर्यंत कमी केले जातात. या प्रकरणात, सर्व संज्ञा डाव्या बाजूला हस्तांतरित करणे आवश्यक आहे आणि परिणामी अभिव्यक्ती चतुर्भुज त्रिपदाच्या रूपात बदलणे आवश्यक आहे.

उदाहरण २

उदाहरण.

असमानता $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ कमी करा.

उपाय.

चला सर्व अटी असमानतेच्या डाव्या बाजूला हलवू:

$7 \cdot (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे आणि उघडणारे कंस वापरून, आम्ही असमानतेच्या डाव्या बाजूला अभिव्यक्ती सुलभ करतो:

$7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21.5x-19 > 0$.

उत्तर द्या: $x^2-21.5x-19 > 0$.

मध्यांतरांची पद्धत ही असमानता सोडवण्यासाठी एक सार्वत्रिक पद्धत मानली जाते. एका चलमध्ये चतुर्भुज असमानता सोडवण्यासाठी वापरणे सर्वात सोपा आहे. या सामग्रीमध्ये आपण चतुर्भुज असमानता सोडवण्यासाठी मध्यांतर पद्धती वापरण्याच्या सर्व पैलूंचा विचार करू. सामग्रीचे एकत्रीकरण सुलभ करण्यासाठी, आम्ही विविध प्रकारच्या जटिलतेच्या मोठ्या संख्येने उदाहरणांचा विचार करू.

Yandex.RTB R-A-339285-1

मध्यांतर पद्धत लागू करण्यासाठी अल्गोरिदम

रुपांतरित आवृत्तीमध्ये मध्यांतर पद्धत वापरण्यासाठी अल्गोरिदमचा विचार करूया, जी चतुर्भुज असमानता सोडवण्यासाठी योग्य आहे. मध्यांतर पद्धतीची ही आवृत्ती आहे ज्याची विद्यार्थ्यांना बीजगणिताच्या धड्यांमध्ये ओळख करून दिली जाते. चला कार्य देखील गुंतागुंत करू नका.

चला अल्गोरिदमकडेच जाऊया.

आपल्याकडे द्विघाती त्रिपदी a · x 2 + b · x + c आहे. आपल्याला या त्रिपदाची शून्ये सापडतात.

समन्वय प्रणालीमध्ये आम्ही एक समन्वय रेखा चित्रित करतो. आम्ही त्यावर मुळे चिन्हांकित करतो. सोयीसाठी, आम्ही कठोर आणि गैर-कठोर असमानतेसाठी पॉइंट नोटिंग करण्याचे वेगवेगळे मार्ग सादर करू शकतो. चला मान्य करूया की कठोर असमानता सोडवताना आम्ही निर्देशांक चिन्हांकित करण्यासाठी "रिक्त" बिंदू वापरू आणि कठोर नसलेल्यांना चिन्हांकित करण्यासाठी सामान्य बिंदू वापरू. बिंदू चिन्हांकित करून, आपल्याला समन्वय अक्षावर अनेक अंतराल मिळतात.

जर पहिल्या टप्प्यावर आम्हाला शून्य आढळले, तर आम्ही प्रत्येक परिणामी मध्यांतरासाठी त्रिपदाच्या मूल्यांची चिन्हे निर्धारित करतो. जर आम्हाला शून्य मिळाले नाही, तर आम्ही संपूर्ण संख्या रेषेसाठी ही क्रिया करतो. आम्ही "+" किंवा "-" चिन्हांसह अंतर चिन्हांकित करतो.

याव्यतिरिक्त, आम्ही चिन्हे > किंवा ≥ आणि सह असमानता सोडवतो अशा प्रकरणांमध्ये आम्ही छायांकन सादर करू< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

त्रिपदाच्या मूल्यांची चिन्हे लक्षात घेऊन आणि खंडांवर छायांकन लागू करून, आम्हाला विशिष्ट संख्यात्मक संचाची भौमितिक प्रतिमा मिळते, जी प्रत्यक्षात असमानतेवर उपाय आहे. आपल्याला फक्त उत्तर लिहायचे आहे.

आपण अल्गोरिदमच्या तिसऱ्या टप्प्यावर अधिक तपशीलवार राहू या, ज्यामध्ये अंतराचे चिन्ह निश्चित करणे समाविष्ट आहे. चिन्हे निश्चित करण्यासाठी अनेक पद्धती आहेत. सर्वात वेगवान नसले तरी सर्वात अचूक सह प्रारंभ करून क्रमाने पाहूया. या पद्धतीमध्ये परिणामी मध्यांतरांच्या अनेक बिंदूंवर त्रिपदाच्या मूल्यांची गणना करणे समाविष्ट आहे.

उदाहरण १

उदाहरणार्थ, त्रिपदी x 2 + 4 · x − 5 घेऊ.

या त्रिपदी 1 आणि - 5 ची मुळे समन्वय अक्षाचे तीन अंतराल (− ∞, − 5), (− 5, 1) आणि (1, + ∞) मध्ये विभाजित करतात.

चला मध्यांतराने सुरुवात करूया (1, + ∞). आपले कार्य सोपे करण्यासाठी, x = 2 घेऊ. आपल्याला 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7 मिळेल.

7 ही सकारात्मक संख्या आहे. याचा अर्थ असा की मध्यांतर (1, + ∞) वरील या चतुर्भुज त्रिपदाची मूल्ये सकारात्मक आहेत आणि "+" चिन्हाने दर्शविली जाऊ शकतात.

मध्यांतराचे चिन्ह निश्चित करण्यासाठी (− 5, 1) आपण x = 0 घेतो. आमच्याकडे 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 आहे. मध्यांतराच्या वर "-" चिन्ह ठेवा.

मध्यांतरासाठी (− ∞, − 5) आपण x = −6 घेतो, आपल्याला (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 मिळेल. आम्ही हे अंतराल “+” चिन्हाने चिन्हांकित करतो.

खालील तथ्ये लक्षात घेऊन तुम्ही चिन्हे अधिक जलद ओळखू शकता.

सकारात्मक भेदभावासह, दोन मुळे असलेला चौरस त्रिपदी त्याच्या मूल्यांच्या चिन्हांचे आवर्तन देते ज्यामध्ये या त्रिपदाच्या मुळांद्वारे संख्यारेषा विभागली जाते. याचा अर्थ असा आहे की प्रत्येक मध्यांतरासाठी आपल्याला चिन्हे परिभाषित करण्याची आवश्यकता नाही. एकासाठी गणना करणे आणि उर्वरितसाठी चिन्हे ठेवणे पुरेसे आहे, प्रत्यावर्तनाचे तत्त्व लक्षात घेऊन.

तुमची इच्छा असल्यास, अग्रगण्य गुणांकाच्या मूल्यावर आधारित चिन्हांबद्दल निष्कर्ष काढून तुम्ही संपूर्णपणे गणना न करता करू शकता. जर a > 0 असेल, तर आपल्याला +, −, +, आणि जर a चा क्रम मिळेल< 0 – то − , + , − .

एका मुळासह चतुर्भुज त्रिपदासाठी, जेव्हा भेदक शून्य असतो, तेव्हा आपल्याला समान चिन्हांसह समन्वय अक्षावर दोन अंतराल मिळतात. याचा अर्थ असा की आम्ही एका मध्यांतरासाठी चिन्ह निश्चित करतो आणि दुसऱ्यासाठी समान सेट करतो.

येथे आम्ही गुणांक a च्या मूल्यावर आधारित चिन्ह निश्चित करण्याची पद्धत देखील लागू करतो: जर a > 0 असेल तर ते +, + आणि जर a असेल.< 0 , то − , − .

जर चतुर्भुज त्रिपदीला मुळे नसतील, तर संपूर्ण समन्वय रेषेसाठी त्याच्या मूल्यांची चिन्हे अग्रगण्य गुणांक a आणि मुक्त संज्ञा c चे चिन्ह या दोन्हीशी एकरूप होतात.

उदाहरणार्थ, जर आपण द्विघात त्रिपदी − 4 x 2 − 7 घेतले तर त्याला मुळ नाही (त्याचा भेदभाव ऋणात्मक आहे). x 2 चा गुणांक ऋण − 4 आहे आणि इंटरसेप्ट − 7 देखील ऋण आहे. याचा अर्थ मध्यांतरावर (− ∞, + ∞) त्याची मूल्ये ऋण आहेत.

वर चर्चा केलेल्या अल्गोरिदमचा वापर करून चतुर्भुज असमानता सोडवण्याची उदाहरणे पाहू.

उदाहरण २

8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0 असमानता सोडवा.

उपाय

असमानता सोडवण्यासाठी आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरतो. हे करण्यासाठी, 8 x 2 − 4 x − 1 या चौरस त्रिपदाची मुळे शोधू या. x चा गुणांक सम आहे या वस्तुस्थितीमुळे, आपल्यासाठी भेदभावाची गणना करणे अधिक सोयीचे होईल, परंतु भेदभावाचा चौथा भाग: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

भेदभाव शून्यापेक्षा मोठा आहे. हे आपल्याला चौरस त्रिपदाची दोन मुळे शोधू देते: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 आणि x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . संख्या रेषेवर ही मूल्ये चिन्हांकित करू. समीकरण कठोर नसल्यामुळे, आम्ही आलेखावर सामान्य बिंदू वापरतो.

आता, मध्यांतर पद्धत वापरून, आम्ही तीन परिणामी मध्यांतरांची चिन्हे निर्धारित करतो. x 2 चा गुणांक 8 च्या बरोबरीचा आहे, म्हणजे, सकारात्मक, म्हणून, चिन्हांचा क्रम +, −, + असेल.

आम्ही ≥ चिन्हासह असमानता सोडवत असल्याने, आम्ही मध्यांतरांवर अधिक चिन्हांसह छायांकन काढतो:

परिणामी ग्राफिक प्रतिमेवरून विश्लेषणात्मकपणे संख्यात्मक संच लिहू. आम्ही हे दोन प्रकारे करू शकतो:

उत्तर:(- ∞; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) किंवा x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

उदाहरण ३

चतुर्भुज असमानता सोडवा - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

उपाय

प्रथम, विषमतेच्या डाव्या बाजूपासून द्विघात त्रिपदाची मुळे शोधूया:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

ही एक कठोर असमानता आहे, म्हणून आम्ही आलेखावर "रिक्त" बिंदू वापरतो. समन्वय 7 सह.

आता आपल्याला परिणामी अंतराल (− ∞, 7) आणि (7, + ∞) वर चिन्हे निश्चित करायची आहेत. चतुर्भुज त्रिपदाचा भेदभाव शून्य असल्याने आणि अग्रगण्य गुणांक ऋण असल्याने, आम्ही चिन्हे खाली ठेवतो − , − :

आम्ही चिन्हासह असमानता सोडवत आहोत< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

या प्रकरणात, उपाय दोन्ही अंतराल आहेत (− ∞ , 7), (7 , + ∞) .

उत्तर:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) किंवा दुसऱ्या अंकात x ≠ 7 .

उदाहरण ४

द्विघात असमानता x 2 + x + 7 आहे का< 0 решения?

उपाय

विषमतेच्या डाव्या बाजूने चतुर्भुज त्रिपदाची मुळे शोधू. हे करण्यासाठी, आम्हाला भेदभाव सापडतो: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . भेदभाव शून्यापेक्षा कमी आहे, याचा अर्थ वास्तविक मुळे नाहीत.

ग्राफिक प्रतिमा त्यावर चिन्हांकित न करता अंकरेषेसारखी दिसेल.

चतुर्भुज त्रिपदाच्या मूल्यांचे चिन्ह निश्चित करू. येथे डी< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

या प्रकरणात, आम्ही "-" चिन्हासह रिक्त स्थानांवर शेडिंग लागू करू शकतो. पण आमच्यात असे अंतर नाही. म्हणून, रेखाचित्र असे दिसते:

गणनेच्या परिणामी, आम्हाला एक रिक्त संच प्राप्त झाला. याचा अर्थ या चतुर्भुज असमानतेला कोणतेही उपाय नाहीत.

उत्तर:नाही.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

विषयावरील धडा आणि सादरीकरण: "चतुर्भुज असमानता, उपायांची उदाहरणे"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, पुनरावलोकने, शुभेच्छा देण्यास विसरू नका! सर्व साहित्य अँटी-व्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासले गेले आहे.

ग्रेड 9 साठी इंटिग्रल ऑनलाइन स्टोअरमध्ये शैक्षणिक मदत आणि सिम्युलेटर
इयत्ता 7-9 साठी इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक "समजण्यायोग्य भूमिती".
शैक्षणिक संकुल 1C: "भूमिती, ग्रेड 9"

मित्रांनो, आपल्याला चतुर्भुज समीकरणे कशी सोडवायची हे आधीच माहित आहे. आता चतुर्भुज असमानता कशी सोडवायची ते शिकू.
चतुर्भुज असमानताया प्रकारच्या असमानतेला म्हणतात:

$ax^2+bx+c>0$.

असमानता चिन्ह कोणतेही असू शकते, गुणांक a, b, c कोणतीही संख्या असू शकते ($a≠0$).
रेखीय असमानतेसाठी आम्ही परिभाषित केलेले सर्व नियम येथे देखील कार्य करतात. या नियमांची पुनरावृत्ती करा!

चला आणखी एक महत्त्वाचा नियम सादर करूया:
जर त्रिपदी $ax^2+bx+c$ मध्ये नकारात्मक भेदभाव असेल, तर तुम्ही x चे कोणतेही मूल्य बदलल्यास, त्रिपदाचे चिन्ह गुणांक a च्या चिन्हासारखेच असेल.

चतुर्भुज असमानता सोडवण्याची उदाहरणे

उदाहरणे.
1. असमानता सोडवा: $x^2-2x-8
उपाय:
चला $x^2-2x-8=0$ या समीकरणाची मुळे शोधू.
$x_1=4$ आणि $x_2=-2$.

चतुर्भुज समीकरणाचा आलेख काढू. x-अक्ष बिंदू 4 आणि -2 वर छेदतो.
आमचे चतुर्भुज त्रिपद शून्यापेक्षा कमी मूल्ये घेते जेथे फंक्शनचा आलेख x-अक्षाच्या खाली स्थित असतो.
फंक्शनचा आलेख पाहता, आपल्याला उत्तर मिळते: $x^2-2x-8 उत्तर: $-2

2. असमानता सोडवा: $5x-6

उपाय:
चला असमानतेचे रूपांतर करू: $-x^2+5x-6 असमानतेला वजा एक ने विभाजित करा. चला चिन्ह बदलण्यास विसरू नका: $x^2-5x+6>0$.
चला त्रिपदाची मुळे शोधू: $x_1=2$ आणि $x_2=3$.

चला द्विघात समीकरणाचा आलेख बनवू, x-अक्ष बिंदू 2 आणि 3 ला छेदतो.


आमचे चतुर्भुज त्रिपद शून्यापेक्षा जास्त मूल्ये घेते जेथे फंक्शनचा आलेख x-अक्षाच्या वर स्थित असतो. फंक्शनचा आलेख पाहता, आम्हाला उत्तर मिळेल: $5x-6 उत्तर: $x 3$.

3. असमानता सोडवा: $2^2+2x+1≥0$.

उपाय:
हे करण्यासाठी, आपण भेदभावाची मुळे शोधू या: $D=2^2-4*2=-4 भेदभाव शून्यापेक्षा कमी आहे. आपण सुरुवातीला सादर केलेला नियम वापरू. असमानतेचे चिन्ह चौरसाच्या गुणांकाच्या चिन्हासारखेच असेल. आमच्या बाबतीत, गुणांक सकारात्मक आहे, याचा अर्थ x च्या कोणत्याही मूल्यासाठी आमचे समीकरण सकारात्मक असेल.
उत्तर: सर्व x साठी, विषमता शून्यापेक्षा मोठी आहे.

4. असमानता सोडवा: $x^2+x-2
उपाय:
चला त्रिपदाची मुळे शोधू आणि त्यांना समन्वय रेषेवर ठेवू: $x_1=-2$ आणि $x_2=1$.

जर $x>1$ आणि $x तर $x>-2$ आणि $x उत्तर: $x>-2$ आणि $x

चतुर्भुज असमानता सोडवण्यासाठी समस्या

मध्यवर्ती स्तर

चतुर्भुज असमानता. द अल्टीमेट गाइड (२०१९)

चतुर्भुज समीकरणे कशी सोडवायची हे शोधण्यासाठी, आपल्याला चतुर्भुज कार्य म्हणजे काय आणि त्याचे गुणधर्म काय आहेत हे समजून घेणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला कदाचित आश्चर्य वाटले असेल की चतुर्भुज फंक्शनची अजिबात गरज का आहे? त्याचा आलेख (पॅराबोला) कुठे लागू होतो? होय, तुम्हाला फक्त आजूबाजूला पहावे लागेल, आणि तुमच्या लक्षात येईल की रोजच्या जीवनात तुम्ही ते दररोज भेटता. शारीरिक शिक्षणात फेकलेला चेंडू कसा उडतो हे तुमच्या लक्षात आले आहे का? "चाप बाजूने"? सर्वात योग्य उत्तर "पॅराबोला" असेल! आणि कारंजातील जेट कोणत्या मार्गक्रमणाचे अनुसरण करते? होय, पॅराबोलामध्ये देखील! बुलेट किंवा शेल कसे उडते? हे बरोबर आहे, पॅराबोलामध्ये देखील! अशा प्रकारे, चतुर्भुज कार्याचे गुणधर्म जाणून घेतल्यास, अनेक व्यावहारिक समस्या सोडवणे शक्य होईल. उदाहरणार्थ, सर्वात मोठे अंतर सुनिश्चित करण्यासाठी चेंडू कोणत्या कोनात टाकला पाहिजे? किंवा, एखाद्या विशिष्ट कोनात प्रक्षेपित केल्यास प्रक्षेपण कोठे संपेल? इ.

चतुर्भुज कार्य

तर, चला ते बाहेर काढूया.

उदाहरणार्थ, . येथे समानता काय आहेत आणि? बरं, नक्कीच!

काय तर, i.e. शून्यापेक्षा कमी? बरं, अर्थातच, आम्ही "दु:खी आहोत," याचा अर्थ शाखा खाली निर्देशित केल्या जातील! चला आलेख पाहू.

ही आकृती फंक्शनचा आलेख दाखवते. पासून, i.e. शून्यापेक्षा कमी, पॅराबोलाच्या फांद्या खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात. याव्यतिरिक्त, आपण कदाचित आधीच लक्षात घेतले आहे की या पॅराबोलाच्या शाखा अक्षांना छेदतात, याचा अर्थ असा की समीकरणाला 2 मुळे आहेत आणि फंक्शन सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही मूल्ये घेते!

अगदी सुरुवातीला, जेव्हा आपण चतुर्भुज फंक्शनची व्याख्या दिली होती, तेव्हा असे म्हटले होते की आणि काही संख्या आहेत. त्यांची बरोबरी शून्य असू शकते का? बरं, नक्कीच ते करू शकतात! मी आणखी एक मोठे रहस्य देखील उघड करेन (जे अजिबात रहस्य नाही, परंतु ते नमूद करण्यासारखे आहे): या संख्येवर (आणि) अजिबात कोणतेही निर्बंध लादलेले नाहीत!

बरं, जर आणि शून्य समान असतील तर आलेखांचे काय होते ते पाहू.

तुम्ही बघू शकता की, विचाराधीन फंक्शन्सचे आलेख (आणि) सरकले आहेत त्यामुळे त्यांचे शिरोबिंदू आता समन्वय बिंदूवर आहेत, म्हणजेच अक्षांच्या छेदनबिंदूवर आहेत आणि याचा शाखांच्या दिशेवर कोणताही परिणाम होत नाही. . अशा प्रकारे, आम्ही असा निष्कर्ष काढू शकतो की ते समन्वय प्रणालीसह पॅराबोला आलेखाच्या "हालचालीसाठी" जबाबदार आहेत.

फंक्शनचा आलेख एका बिंदूवर अक्षाला स्पर्श करतो. याचा अर्थ समीकरणाचे मूळ एक आहे. अशा प्रकारे, फंक्शन शून्यापेक्षा जास्त किंवा समान मूल्ये घेते.

आपण फंक्शनच्या आलेखासह समान तर्कशास्त्र फॉलो करतो. ते एका बिंदूवर x-अक्षाला स्पर्श करते. याचा अर्थ समीकरणाला एक मूळ आहे. अशा प्रकारे, फंक्शन शून्यापेक्षा कमी किंवा समान मूल्ये घेते, म्हणजे.

अशा प्रकारे, अभिव्यक्तीचे चिन्ह निश्चित करण्यासाठी, सर्वप्रथम समीकरणाची मुळे शोधणे आवश्यक आहे. हे आमच्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल.

चतुर्भुज असमानता

अशा असमानता सोडवताना, चतुर्भुज फंक्शन कोठे मोठे, कमी किंवा शून्याच्या बरोबरीचे आहे हे निर्धारित करण्याची क्षमता आपल्याला आवश्यक असेल. म्हणजे:

• जर आपल्याकडे फॉर्मची असमानता असेल, तर प्रत्यक्षात कार्य मूल्यांच्या संख्यात्मक अंतराल निर्धारित करण्यासाठी खाली येते ज्यासाठी पॅराबोला अक्षाच्या वर आहे.
• जर आपल्याकडे फॉर्मची असमानता असेल, तर प्रत्यक्षात कार्य x व्हॅल्यूजचा संख्यात्मक अंतराल ठरवण्याचे आहे ज्यासाठी पॅराबोला अक्षाच्या खाली आहे.

जर असमानता कठोर नसतील, तर मुळे (अक्षासह पॅराबोलाच्या छेदनबिंदूचे समन्वय) इच्छित संख्यात्मक अंतरालमध्ये समाविष्ट केले जातात, त्यांना वगळले जाते;

हे सर्व अगदी औपचारिक आहे, परंतु निराश होऊ नका किंवा घाबरू नका! आता उदाहरणे पाहू या, आणि सर्वकाही ठिकाणी पडेल.

चतुर्भुज असमानता सोडवताना, आम्ही दिलेल्या अल्गोरिदमचे पालन करू आणि अपरिहार्य यश आमची वाट पाहत आहे!

अल्गोरिदम	उदाहरण:
1) चला असमानतेशी संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू (फक्त असमानतेचे चिन्ह "=" समान चिन्हावर बदलू).
२) या समीकरणाची मुळे शोधू.
3) अक्षावर मुळे चिन्हांकित करा आणि पॅराबोलाच्या फांद्या ("वर" किंवा "खाली") चे दिशानिर्देश योजनाबद्धपणे दर्शवा.
४) चतुर्भुज फंक्शनच्या चिन्हाशी संबंधित अक्षावर चिन्हे ठेवूया: जिथे पॅराबोला अक्षाच्या वर आहे तिथे आम्ही “” ठेवतो आणि कुठे खाली - ““.
5) असमानता चिन्हावर अवलंबून, “” किंवा “” शी संबंधित मध्यांतर लिहा. असमानता कठोर नसल्यास, मुळे मध्यांतरात समाविष्ट केली जातात, जर ती कठोर असेल तर ती नाहीत.

समजले? मग पुढे जा आणि पिन करा!

उदाहरण:

बरं, चाललं का? तुम्हाला काही अडचण असल्यास, उपाय शोधा.

उपाय:

असमानता चिन्ह " " असल्यामुळे " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. असमानता कठोर नाही, म्हणून मुळे मध्यांतरांमध्ये समाविष्ट आहेत:

चला संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू:

चला या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधूया:

प्राप्त मुळे अक्षावर योजनाबद्धपणे चिन्हांकित करू आणि चिन्हे व्यवस्थित करूया:

असमानता चिन्ह " " असल्यामुळे " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. असमानता कठोर आहे, म्हणून मुळे मध्यांतरांमध्ये समाविष्ट नाहीत:

चला संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू:

चला या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधूया:

या समीकरणाला एक मूळ आहे

प्राप्त मुळे अक्षावर योजनाबद्धपणे चिन्हांकित करू आणि चिन्हे व्यवस्थित करूया:

असमानता चिन्ह " " असल्याने " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. कोणत्याहीसाठी, फंक्शन गैर-नकारात्मक मूल्ये घेते. असमानता कठोर नसल्याने उत्तर मिळेल.

चला संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू:

चला या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधूया:

चला योजनाबद्धपणे पॅराबोलाचा आलेख काढू आणि चिन्हे व्यवस्थित करू:

असमानता चिन्ह " " असल्याने " " चिन्हाशी संबंधित अंतराल लिहू. कोणत्याहीसाठी, फंक्शन सकारात्मक मूल्ये घेते, म्हणून, असमानतेचे निराकरण मध्यांतर असेल:

स्क्वेअर असमानता. मध्यम पातळी

चतुर्भुज कार्य.

“चतुर्भुज असमानता” या विषयावर बोलण्याआधी आपण चतुर्भुज कार्य म्हणजे काय आणि त्याचा आलेख काय आहे हे लक्षात घेऊ या.

दुसऱ्या शब्दांत, हे दुसऱ्या पदवीचे बहुपद.

चतुर्भुज कार्याचा आलेख पॅराबोला आहे (लक्षात ठेवा ते काय आहे?). त्याच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात जर "a) फंक्शन सर्वांसाठी फक्त सकारात्मक मूल्ये घेते आणि दुसऱ्या () मध्ये - फक्त नकारात्मक:

जेव्हा समीकरण () मध्ये एक मूळ असते (उदाहरणार्थ, भेदभाव शून्य असल्यास), याचा अर्थ असा की आलेख अक्षाला स्पर्श करतो:

नंतर, मागील केस प्रमाणेच, " .

तर, चतुर्भुज फंक्शन कोठे शून्यापेक्षा मोठे आहे आणि कुठे कमी आहे हे कसे ठरवायचे ते आम्ही अलीकडेच शिकलो:

जर चतुर्भुज असमानता कठोर नसेल, तर मुळे संख्यात्मक अंतरालमध्ये समाविष्ट केली जातात, जर ती कठोर असेल तर ती नसतात;

जर एकच मूळ असेल तर ठीक आहे, समान चिन्ह सर्वत्र असेल. जर मुळे नसतील, तर सर्व काही केवळ गुणांकावर अवलंबून असते: जर "25((x)^(2))-30x+9

उत्तरे:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

कोणतीही मुळे नाहीत, म्हणून डाव्या बाजूला संपूर्ण अभिव्यक्ती गुणांकाचे चिन्ह आधी घेते:

• जर तुम्हाला एक संख्यात्मक अंतराल शोधायचा असेल ज्यावर चतुर्भुज त्रिपद शून्यापेक्षा जास्त असेल, तर हा अंकीय मध्यांतर आहे जेथे पॅराबोला अक्षाच्या वर स्थित आहे.
• जर तुम्हाला एक संख्यात्मक अंतराल शोधायचा असेल ज्यावर चतुर्भुज त्रिपद शून्यापेक्षा कमी असेल, तर हा अंकीय मध्यांतर आहे जेथे पॅराबोला अक्षाच्या खाली आहे.

स्क्वेअर असमानता. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

चतुर्भुज कार्यफॉर्मचे कार्य आहे: ,

चतुर्भुज कार्याचा आलेख पॅराबोला आहे. त्याच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात जर, आणि खालच्या दिशेने जर:

चतुर्भुज असमानतेचे प्रकार:

सर्व चतुर्भुज असमानता खालील चार प्रकारांमध्ये कमी केल्या आहेत:

उपाय अल्गोरिदम:

अल्गोरिदम	उदाहरण:
1) चला असमानतेशी संबंधित चतुर्भुज समीकरण लिहू (फक्त असमानतेचे चिन्ह "" समान चिन्हावर बदलू).
२) या समीकरणाची मुळे शोधू.
3) अक्षावर मुळे चिन्हांकित करा आणि पॅराबोलाच्या शाखांचे ("वर" किंवा "खाली") अभिमुखता योजनाबद्धपणे दर्शवा.
४) चतुर्भुज फंक्शनच्या चिन्हाशी संबंधित अक्षावर चिन्हे ठेवूया: जिथे पॅराबोला अक्षाच्या वर आहे तिथे आम्ही “” ठेवतो आणि कुठे खाली - ““.
५) असमानतेच्या चिन्हावर अवलंबून “” किंवा “” शी संबंधित मध्यांतर लिहा. असमानता कठोर नसल्यास, मुळे मध्यांतरात समाविष्ट केली जातात, जर ती कठोर असेल तर ती नाहीत.