त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची. त्रिकोणमितीय समीकरणे

त्रिकोणमितीय समीकरणे हा सोपा विषय नाही. ते खूप वैविध्यपूर्ण आहेत.) उदाहरणार्थ, हे:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

आणि सारखे...

परंतु या (आणि इतर सर्व) त्रिकोणमितीय राक्षसांमध्ये दोन सामान्य आणि अनिवार्य वैशिष्ट्ये आहेत. प्रथम - तुमचा यावर विश्वास बसणार नाही - समीकरणांमध्ये त्रिकोणमितीय कार्ये आहेत.) दुसरे: x सह सर्व अभिव्यक्ती आढळतात या समान कार्यांमध्ये.आणि फक्त तिथेच! जर X कुठेतरी दिसतो बाहेर,उदाहरणार्थ, sin2x + 3x = 3,हे आधीच एक समीकरण असेल मिश्र प्रकार. अशा समीकरणांना वैयक्तिक दृष्टीकोन आवश्यक आहे. आम्ही त्यांचा येथे विचार करणार नाही.

आम्ही या धड्यात वाईट समीकरणे देखील सोडवणार नाही.) येथे आम्ही हाताळू सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे.का? होय कारण उपाय कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरणेदोन टप्प्यांचा समावेश आहे. पहिल्या टप्प्यावर, दुष्ट समीकरण विविध प्रकारच्या परिवर्तनांद्वारे कमी केले जाते. दुसऱ्यावर, हे सोपे समीकरण सोडवले जाते. अन्यथा, मार्ग नाही.

म्हणून, जर तुम्हाला दुसऱ्या टप्प्यावर समस्या येत असतील तर, पहिल्या टप्प्याला फारसा अर्थ नाही.)

प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी दिसतात?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

येथे ए कोणत्याही संख्येसाठी आहे. कोणतीही.

तसे, फंक्शनमध्ये शुद्ध X असू शकत नाही, परंतु काही प्रकारचे अभिव्यक्ती, जसे की:

cos(3x+π /3) = 1/2

आणि सारखे. हे जीवन गुंतागुंतीचे करते, परंतु त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्याच्या पद्धतीवर परिणाम करत नाही.

त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची?

त्रिकोणमितीय समीकरणे दोन प्रकारे सोडवता येतात. पहिला मार्ग: तर्कशास्त्र आणि त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरणे. हा मार्ग आपण येथे पाहू. दुसरा मार्ग - मेमरी आणि सूत्रे वापरून - पुढील धड्यात चर्चा केली जाईल.

पहिला मार्ग स्पष्ट, विश्वासार्ह आणि विसरणे कठीण आहे.) त्रिकोणमितीय समीकरणे, असमानता आणि सर्व प्रकारची अवघड नॉन-स्टँडर्ड उदाहरणे सोडवण्यासाठी तो चांगला आहे. तर्कशास्त्र स्मृती पेक्षा मजबूत आहे!)

त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून समीकरणे सोडवणे.

आम्ही प्राथमिक तर्कशास्त्र आणि त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरण्याची क्षमता समाविष्ट करतो. तुम्हाला कसे माहित नाही? तथापि... तुम्हाला त्रिकोणमितीमध्ये कठीण वेळ लागेल...) पण काही फरक पडत नाही. धड्यांवर एक नजर टाका "त्रिकोणमितीय वर्तुळ...... ते काय आहे?" आणि "त्रिकोणमितीय वर्तुळावरील कोन मोजणे." तेथे सर्व काही सोपे आहे. पाठ्यपुस्तकांच्या विपरीत...)

अरे, तुला माहित आहे!? आणि "त्रिकोणमितीय वर्तुळासह व्यावहारिक कार्य" मध्ये प्रभुत्व मिळवले!? अभिनंदन. हा विषय तुम्हाला जवळचा आणि समजण्यासारखा असेल.) विशेषत: आनंददायी गोष्ट म्हणजे त्रिकोणमितीय वर्तुळ तुम्ही कोणते समीकरण सोडवता याकडे लक्ष देत नाही. साइन, कोसाइन, स्पर्शिका, कोटँजेंट - त्याच्यासाठी सर्व काही समान आहे. समाधानाचे तत्व एकच आहे.

म्हणून आपण कोणतेही प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरण घेऊ. किमान हे:

cosx = 0.5

आम्हाला एक्स शोधण्याची गरज आहे. बोललो तर मानवी भाषा, आवश्यक आहे कोन (x) शोधा ज्याचा कोसाइन 0.5 आहे.

आम्ही पूर्वी वर्तुळ कसे वापरायचे? त्यावर आम्ही एक कोन काढला. अंश किंवा रेडियन मध्ये. आणि लगेच पाहिले या कोनाची त्रिकोणमितीय कार्ये. आता उलट करूया. वर्तुळावर ०.५ आणि लगेच कोसाइन काढू आम्ही पाहू कोपरा बाकी फक्त उत्तर लिहायचे आहे.) होय, होय!

एक वर्तुळ काढा आणि कोसाइन 0.5 च्या समान चिन्हांकित करा. कोसाइन अक्षावर, अर्थातच. याप्रमाणे:

आता हा कोसाइन आपल्याला देतो तो कोन काढू. तुमचा माउस चित्रावर फिरवा (किंवा तुमच्या टॅब्लेटवरील चित्राला स्पर्श करा), आणि तुम्ही पहालहाच कोपरा एक्स.

कोणत्या कोनाचा कोसाइन ०.५ आहे?

x = π /3

कारण ६०°= कारण( π /3) = 0,5

काही लोक संशयाने हसतील, होय... जसे की, सर्वकाही आधीच स्पष्ट असताना वर्तुळ बनवणे फायदेशीर होते का... तुम्ही अर्थातच हसू शकता...) पण वस्तुस्थिती अशी आहे की हे चुकीचे उत्तर आहे. किंवा त्याऐवजी, अपुरा. वर्तुळाचे पारखी समजतात की येथे इतर कोनांचा संपूर्ण समूह आहे जो 0.5 चा कोसाइन देखील देतो.

जर तुम्ही हलणारी बाजू OA वळवली पूर्ण वळण, बिंदू A त्याच्या मूळ स्थितीकडे परत येईल. 0.5 च्या समान कोसाइनसह. त्या. कोन बदलेल 360° किंवा 2π रेडियन, आणि कोसाइन - नाही.नवीन कोन 60° + 360° = 420° हे देखील आपल्या समीकरणाचे निराकरण होईल, कारण

अशा पूर्ण आवर्तनांची अनंत संख्या केली जाऊ शकते... आणि हे सर्व नवीन कोन आपल्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण करतील. आणि ते सर्व कसे तरी प्रतिसादात लिहिणे आवश्यक आहे. सर्व.अन्यथा, निर्णय मोजला जात नाही, होय...)

गणित हे सोप्या आणि सुरेखपणे करू शकते. एका छोट्या उत्तरात लिहा अनंत संचनिर्णय आमच्या समीकरणासाठी ते कसे दिसते ते येथे आहे:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

मी त्याचा उलगडा करेन. तरीही लिहा अर्थपूर्णमूर्खपणाने काही गूढ अक्षरे काढण्यापेक्षा हे अधिक आनंददायी आहे, बरोबर?)

π /3 - हा तोच कोपरा आहे जो आपण पाहिलेवर्तुळावर आणि निर्धारितकोसाइन सारणीनुसार.

2π रेडियनमधील एक संपूर्ण क्रांती आहे.

n - ही पूर्ण संख्या आहे, म्हणजे संपूर्णआरपीएम हे स्पष्ट आहे n 0, ±1, ±2, ±3.... आणि असेच असू शकते. लहान नोंदीद्वारे सूचित केल्याप्रमाणे:

n ∈ Z

n च्या मालकीचे ( ∈ ) पूर्णांकांचा संच ( झेड ). तसे, पत्राऐवजी n अक्षरे चांगली वापरली जाऊ शकतात k, m, t इ.

या नोटेशनचा अर्थ तुम्ही कोणताही पूर्णांक घेऊ शकता n . किमान -3, किमान 0, किमान +55. जे पाहिजे ते. तुम्ही उत्तरामध्ये या क्रमांकाची जागा घेतल्यास, तुम्हाला एक विशिष्ट कोन मिळेल, जो निश्चितपणे आमच्या कठोर समीकरणावर उपाय असेल.)

किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, x = π /3 अनंत संचाचे एकमेव मूळ आहे. इतर सर्व मुळे मिळविण्यासाठी, π /3 (मध्ये कितीही पूर्ण क्रांती जोडणे पुरेसे आहे) n ) रेडियन मध्ये. त्या. 2πn रेडियन

सर्व? नाही. मी मुद्दाम आनंद लांबवतो. अधिक चांगले लक्षात ठेवण्यासाठी.) आम्हाला आमच्या समीकरणाच्या उत्तरांचा फक्त एक भाग प्राप्त झाला. मी समाधानाचा हा पहिला भाग याप्रमाणे लिहीन:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x १ - फक्त एक मूळ नाही तर मुळांची संपूर्ण मालिका, लहान स्वरूपात लिहिली आहे.

परंतु असे कोन देखील आहेत जे 0.5 चा कोसाइन देखील देतात!

आपण आपल्या चित्राकडे परत जाऊया ज्यावरून आपण उत्तर लिहिले आहे. येथे आहे:

तुमचा माउस इमेजवर फिरवा आणि आम्ही पाहतोदुसरा कोन जो ०.५ ची कोसाइन देखील देते.तुम्हांला ते काय समान वाटते? त्रिकोण समान आहेत... होय! तो कोनाच्या समान एक्स , फक्त नकारात्मक दिशेने विलंब. हा कोपरा आहे -एक्स. पण आपण आधीच x ची गणना केली आहे. π /3 किंवा६०° म्हणून, आम्ही सुरक्षितपणे लिहू शकतो:

x 2 = - π /3

बरं, अर्थातच, आम्ही पूर्ण क्रांतीद्वारे प्राप्त होणारे सर्व कोन जोडतो:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

आता एवढेच आहे.) त्रिकोणमितीय वर्तुळावर आपण पाहिले(कोण समजते, अर्थातच)) सर्व०.५ कोसाइन देणारे कोन. आणि हे अँगल थोडक्यात लिहून काढले गणितीय फॉर्म. या उत्तराचा परिणाम मूळांच्या दोन अनंत मालिकांमध्ये झाला:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

हे योग्य उत्तर आहे.

आशा, त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी सामान्य तत्त्ववर्तुळ वापरणे स्पष्ट आहे. आपण वर्तुळावर दिलेल्या समीकरणातून कोसाइन (साइन, स्पर्शिका, कोटॅन्जेंट) चिन्हांकित करतो, त्यास अनुरूप कोन काढतो आणि उत्तर लिहून काढतो.अर्थात, आपण कोणते कोपरे आहोत हे शोधून काढले पाहिजे पाहिलेवर्तुळावर. कधीकधी ते इतके स्पष्ट नसते. बरं, मी म्हटलं की इथे तर्कशास्त्र आवश्यक आहे.)

उदाहरणार्थ, दुसरे त्रिकोणमितीय समीकरण पाहू:

कृपया लक्षात घ्या की ०.५ ही संख्या समीकरणांमध्ये एकमेव संभाव्य संख्या नाही!) मुळ आणि अपूर्णांकांपेक्षा ते लिहिणे माझ्यासाठी अधिक सोयीचे आहे.

आम्ही सामान्य तत्त्वानुसार कार्य करतो. आम्ही वर्तुळ काढतो, चिन्हांकित करतो (साइन अक्षावर, अर्थातच!) 0.5. आपण या साइनशी संबंधित सर्व कोन एकाच वेळी काढतो. आम्हाला हे चित्र मिळाले:

चला प्रथम कोन हाताळूया एक्स पहिल्या तिमाहीत. आम्ही साइन्सचे टेबल आठवतो आणि या कोनाचे मूल्य निर्धारित करतो. ही एक साधी बाब आहे:

x = π /6

आम्हाला पूर्ण वळणे आठवतात आणि स्पष्ट विवेकाने, उत्तरांची पहिली मालिका लिहा:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

अर्धे काम झाले आहे. पण आता ठरवायला हवं दुसरा कोपरा...कोसाइन वापरण्यापेक्षा हे अवघड आहे, होय... पण तर्क आपल्याला वाचवेल! दुसरा कोन कसा ठरवायचा x द्वारे? हे सोपे आहे! चित्रातील त्रिकोण समान आहेत, आणि लाल कोपरा एक्स कोनाच्या समान एक्स . फक्त ते नकारात्मक दिशेने π कोनातून मोजले जाते. म्हणूनच ते लाल आहे.) आणि उत्तरासाठी आपल्याला सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX वरून अचूक गणना केलेला कोन आवश्यक आहे, म्हणजे. 0 डिग्रीच्या कोनातून.

आम्ही रेखांकनावर कर्सर फिरवतो आणि सर्वकाही पाहतो. चित्र गुंतागुंतीचे होऊ नये म्हणून मी पहिला कोपरा काढला. आम्हाला स्वारस्य असलेला कोन (हिरव्या रंगात काढलेला) समान असेल:

π - x

X आम्हाला हे माहित आहे π /6 . म्हणून, दुसरा कोन असेल:

π - π /6 = 5π /6

पुन्हा आम्ही पूर्ण क्रांती जोडण्याबद्दल लक्षात ठेवतो आणि उत्तरांची दुसरी मालिका लिहा:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

बस्स. संपूर्ण उत्तरामध्ये मुळांच्या दोन मालिका असतात:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी समान सामान्य तत्त्व वापरून स्पर्शिका आणि कोटँजेंट समीकरणे सहजपणे सोडवता येतात. जर, अर्थातच, त्रिकोणमितीय वर्तुळावर स्पर्शिका आणि कोटँजेंट कसे काढायचे हे तुम्हाला माहित असेल.

वरील उदाहरणांमध्ये, मी साइन आणि कोसाइनचे टेबल मूल्य वापरले: 0.5. त्या. विद्यार्थ्याला माहित असलेला एक अर्थ उपकृतआता आपल्या क्षमतांचा विस्तार करूया इतर सर्व मूल्ये.ठरवा, म्हणून ठरवा!)

तर, समजा आपल्याला हे त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवायचे आहे:

मध्ये असे कोसाइन मूल्य संक्षिप्त सारण्यानाही. या भयंकर वस्तुस्थितीकडे आपण थंडपणे दुर्लक्ष करतो. एक वर्तुळ काढा, कोसाइन अक्षावर 2/3 चिन्हांकित करा आणि संबंधित कोन काढा. आम्हाला हे चित्र मिळते.

चला, प्रथम, पहिल्या तिमाहीतील कोनात पाहू. x बरोबर काय आहे हे आम्हाला कळले असते तर आम्ही लगेच उत्तर लिहून ठेवू! आम्हाला माहित नाही... अयशस्वी!? शांत! गणित आपल्याच माणसांना अडचणीत सोडत नाही! तिने या केससाठी आर्क कोसाइन आणले. माहित नाही? व्यर्थ. शोधा, हे तुम्हाला वाटते त्यापेक्षा खूप सोपे आहे. या लिंकवर "विलोम त्रिकोणमितीय कार्ये" बद्दल एकही अवघड शब्दलेखन नाही... हे या विषयात अनावश्यक आहे.

तुम्हाला माहिती असल्यास, फक्त स्वतःला सांगा: "X हा एक कोन आहे ज्याचा कोसाइन 2/3 च्या बरोबरीचा आहे." आणि ताबडतोब, पूर्णपणे आर्क कोसाइनच्या व्याख्येनुसार, आम्ही लिहू शकतो:

आम्हाला अतिरिक्त क्रांत्या आठवतात आणि आमच्या त्रिकोणमितीय समीकरणाच्या मुळांची पहिली मालिका शांतपणे लिहा:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

दुसऱ्या कोनासाठी मुळांची दुसरी मालिका जवळजवळ आपोआप लिहिली जाते. सर्व काही समान आहे, फक्त X (arccos 2/3) वजा सह असेल:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

आणि तेच! हे योग्य उत्तर आहे. टेबल मूल्यांपेक्षा अगदी सोपे. काहीही लक्षात ठेवण्याची गरज नाही.) तसे, सर्वात लक्षवेधी लक्षात येईल की हे चित्र कंस कोसाइनद्वारे समाधान दर्शवते. थोडक्यात, cosx = 0.5 या समीकरणासाठी चित्रापेक्षा वेगळे नाही.

बरोबर आहे! सामान्य तत्त्वम्हणूनच हे सामान्य आहे! मी मुद्दाम दोन जवळजवळ सारखीच चित्रे काढली. वर्तुळ आपल्याला कोन दाखवते एक्स त्याच्या कोसाइन द्वारे. हे सारणी कोसाइन आहे की नाही हे प्रत्येकासाठी अज्ञात आहे. हा कोणता कोन आहे, π /3, किंवा चाप कोसाइन कोणता आहे - हे आपल्यावर अवलंबून आहे.

साईन बरोबर तेच गाणे. उदाहरणार्थ:

पुन्हा वर्तुळ काढा, साइन 1/3 च्या समान चिन्हांकित करा, कोन काढा. आम्हाला मिळालेले हे चित्र आहे:

आणि पुन्हा चित्र जवळजवळ समीकरणासारखेच आहे sinx = 0.5.पुन्हा आम्ही पहिल्या तिमाहीत कोपऱ्यापासून सुरुवात करतो. जर त्याची साइन 1/3 असेल तर X बरोबर किती आहे? प्रश्नच नाही!

आता मुळांचा पहिला पॅक तयार आहे:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

चला दुसरा कोन हाताळूया. 0.5 च्या सारणी मूल्यासह उदाहरणामध्ये, ते समान होते:

π - x

इथेही अगदी तसंच असेल! फक्त x वेगळे आहे, arcsin 1/3. मग काय!? आपण मुळांचा दुसरा पॅक सुरक्षितपणे लिहू शकता:

x 2 = π - आर्कसिन 1/3 + 2π n, n ∈ Z

हे पूर्णपणे योग्य उत्तर आहे. जरी ते फारसे परिचित दिसत नाही. पण हे स्पष्ट आहे, मला आशा आहे.)

अशा प्रकारे वर्तुळ वापरून त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवली जातात. हा मार्ग स्पष्ट आणि समजण्यासारखा आहे. तोच त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये दिलेल्या मध्यांतरावर मुळांच्या निवडीसह, त्रिकोणमितीय असमानतेमध्ये बचत करतो - ते साधारणपणे नेहमी वर्तुळात सोडवले जातात. थोडक्यात, कोणत्याही कामात जे मानक कामांपेक्षा थोडे अधिक कठीण असतात.

चला ज्ञान व्यवहारात लागू करूया?)

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा:

प्रथम, सोपे, सरळ या धड्यातून.

आता ते अधिक क्लिष्ट आहे.

इशारा: येथे तुम्हाला वर्तुळाचा विचार करावा लागेल. वैयक्तिकरित्या.)

आणि आता ते बाह्यतः साधे आहेत... त्यांना विशेष केस देखील म्हणतात.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

इशारा: येथे तुम्हाला वर्तुळात दोन उत्तरांच्या मालिका आहेत आणि कुठे एक आहे हे शोधून काढणे आवश्यक आहे... आणि दोन उत्तरांच्या मालिकेऐवजी एक कसे लिहायचे. होय, म्हणजे अनंत संख्येतील एकही मूळ नष्ट होणार नाही!)

बरं, अगदी सोपं):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

इशारा: येथे तुम्हाला आर्क्साइन आणि आर्कोसिन म्हणजे काय हे माहित असणे आवश्यक आहे? आर्कटँजेंट, आर्कोटँजेंट म्हणजे काय? सर्वात जास्त साध्या व्याख्या. परंतु तुम्हाला कोणतेही टेबल मूल्य लक्षात ठेवण्याची गरज नाही!)

उत्तरे अर्थातच गोंधळाची आहेत):

x १= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

सर्वकाही कार्य करत नाही? घडते. धडा पुन्हा वाचा. फक्त विचारपूर्वक(असे आहे अप्रचलित शब्द...) आणि लिंक्स फॉलो करा. मुख्य दुवे वर्तुळाबद्दल आहेत. त्याशिवाय त्रिकोणमिती म्हणजे डोळ्यावर पट्टी बांधून रस्ता ओलांडण्यासारखे आहे. कधीकधी ते कार्य करते.)

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणे

समीकरणे

पाप x = a,
कारण x = a,
tg x = a,
ctg x = a

सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत. वर या परिच्छेदात विशिष्ट उदाहरणेआपण अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणे पाहू. त्यांचे समाधान, एक नियम म्हणून, सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी खाली येते.

उदाहरण 1 . समीकरण सोडवा

पाप 2 एक्स=cos एक्सपाप 2 x.

या समीकरणाच्या सर्व अटी डावीकडे हस्तांतरित केल्याने आणि परिणामी अभिव्यक्तीचे गुणांकन केल्याने आम्हाला मिळते:

पाप 2 एक्स(1 - cos एक्स) = 0.

दोन अभिव्यक्तींचे गुणाकार शून्याच्या बरोबरीचे असते जर आणि फक्त जर घटकांपैकी किमान एक शून्य समान असेल आणि दुसरा कोणताही घेतो. अंकीय मूल्य, जोपर्यंत ते परिभाषित केले आहे.

जर पाप 2 एक्स = 0 , नंतर 2 एक्स= n π ; एक्स = π / 2n.

जर 1 - cos एक्स = 0 , नंतर cos एक्स = 1; एक्स = 2kπ .

तर, आम्हाला मुळांचे दोन गट मिळाले: एक्स = π / 2n; एक्स = 2kπ . मुळांचा दुसरा गट स्पष्टपणे पहिल्यामध्ये समाविष्ट आहे, कारण n = 4k साठी अभिव्यक्ती एक्स = π / 2nला आवाहन करते
एक्स = 2kπ .

म्हणून, उत्तर एका सूत्रात लिहिले जाऊ शकते: एक्स = π / 2n, कुठे n- कोणताही पूर्णांक.

लक्षात घ्या की हे समीकरण पाप 2 ने कमी करून सोडवले जाऊ शकत नाही x. खरंच, घट केल्यानंतर आपल्याला 1 - cos x = 0 मिळेल एक्स= 2k π . त्यामुळे आपण काही मुळे गमावू, उदाहरणार्थ π / 2 , π , 3π / 2 .

उदाहरण २.समीकरण सोडवा

अपूर्णांक शून्य असेल तरच त्याचा अंश शून्य असेल.
त्यामुळेच पाप 2 एक्स = 0 , जिथून २ एक्स= n π ; एक्स = π / 2n.

या मूल्यांमधून एक्स आपल्याला ती मूल्ये बाहेर टाकण्याची आवश्यकता आहे ज्यावर पापएक्स शून्यावर जातो (शून्य भाजक असलेल्या अपूर्णांकांना काही अर्थ नाही: शून्याने भागाकार अपरिभाषित आहे). ही मूल्ये संख्या आहेत ज्यांचे गुणाकार आहेत π . सूत्रात
एक्स = π / 2nते सम साठी प्राप्त केले जातात n. म्हणून, या समीकरणाची मुळे संख्या असतील

एक्स = π / 2 (2k + 1),

जेथे k कोणताही पूर्णांक आहे.

उदाहरण 3 . समीकरण सोडवा

2 पाप 2 एक्स+ 7cos x - 5 = 0.

व्यक्त करूया पाप 2 एक्स माध्यमातून कारणx : पाप 2 एक्स = १ - कारण २x . मग हे समीकरण असे पुन्हा लिहिले जाऊ शकते

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , किंवा

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

नियुक्त करणे कारणx माध्यमातून येथे, आपण चतुर्भुज समीकरणावर पोहोचतो

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ज्याची मुळे 1/2 आणि 3 संख्या आहेत. याचा अर्थ असा की cos x= 1/2, किंवा cos एक्स= 3. तथापि, नंतरचे अशक्य आहे, कारण कोणत्याही कोनाचा कोसाइन निरपेक्ष मूल्यामध्ये 1 पेक्षा जास्त नाही.

हे मान्य करणे बाकी आहे कारण x = 1 / 2 , कुठे

x = ± 60° + 360° n.

उदाहरण 4 . समीकरण सोडवा

2 पाप एक्स+ 3cos x = 6.

पापापासून xआणि कारण xपरिपूर्ण मूल्यामध्ये 1 पेक्षा जास्त नाही, नंतर अभिव्यक्ती
2 पाप एक्स+ 3cos x पेक्षा जास्त मूल्ये घेऊ शकत नाही 5 . त्यामुळे या समीकरणाला मूळ नाही.

उदाहरण 5 . समीकरण सोडवा

पाप एक्स+cos x = 1

या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना वर्ग करून, आम्हाला मिळते:

पाप 2 एक्स+ 2 पाप xकारण x+ कारण २ x = 1,

पण पाप 2 एक्स + cos 2 x = 1 . त्यामुळेच 2 पाप xकारण x = 0 . जर पाप x = 0 , ते एक्स = nπ ; जर
कारण x , ते एक्स = π / 2 + kπ . सोल्यूशन्सचे हे दोन गट एका सूत्रात लिहिले जाऊ शकतात:

एक्स = π / 2n

आम्ही या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्गीकरण केल्यामुळे, आम्हाला मिळालेल्या मुळांमध्ये बाह्य मुळे असण्याची शक्यता आहे. म्हणूनच या उदाहरणात, मागील सर्व उदाहरणांपेक्षा वेगळे, तपासणी करणे आवश्यक आहे. सर्व अर्थ

एक्स = π / 2n 4 गटांमध्ये विभागले जाऊ शकते

	1) एक्स = 2क्π .	(n = 4k)
	2) एक्स = π / 2 + 2क्π .	(n = 4k + 1)
	3) एक्स = π + 2क्π .	(n = 4k + 2)
	4) एक्स = 3π / 2 + 2क्π .	(n = 4k + 3)

येथे एक्स = 2kπपाप x+cos x= 0 + 1 = 1. म्हणून, एक्स = 2kπया समीकरणाची मुळे आहेत.

येथे एक्स = π / 2 + 2kπ. पाप x+cos x= 1 + 0 = 1 तर एक्स = π / 2 + 2kπ- या समीकरणाची मुळे देखील.

येथे एक्स = π + 2kπपाप x+cos x= 0 - 1 = - 1. म्हणून, मूल्ये एक्स = π + 2kπया समीकरणाची मुळे नाहीत. तसेच असे दाखवले आहे एक्स = 3π / 2 + 2kπ. मुळे नाहीत.

अशा प्रकारे, या समीकरणाची खालील मुळे आहेत: एक्स = 2kπआणि एक्स = π / 2 + 2mπ., कुठे kआणि मी- कोणतेही पूर्णांक.

अनेक सोडवताना गणितीय समस्या, विशेषत: इयत्ता 10 च्या आधी घडणाऱ्या, ध्येयाकडे नेणाऱ्या क्रियांचा क्रम स्पष्टपणे परिभाषित केला आहे. अशा समस्यांचा समावेश आहे, उदाहरणार्थ, रेखीय आणि चतुर्भुज समीकरणे, रेखीय आणि चतुर्भुज असमानता, अपूर्णांक समीकरणे आणि समीकरणे जी चतुर्भुज पर्यंत कमी करतात. नमूद केलेल्या प्रत्येक समस्येचे यशस्वीरित्या निराकरण करण्याचे तत्व खालीलप्रमाणे आहे: आपण कोणत्या प्रकारची समस्या सोडवत आहात हे स्थापित करणे आवश्यक आहे, आवश्यक क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवा ज्यामुळे इच्छित परिणाम मिळेल, उदा. उत्तर द्या आणि या चरणांचे अनुसरण करा.

हे स्पष्ट आहे की एखाद्या विशिष्ट समस्येचे निराकरण करण्यात यश किंवा अपयश हे मुख्यत्वे समीकरणाचा प्रकार किती योग्यरित्या निर्धारित केला जातो, त्याच्या निराकरणाच्या सर्व टप्प्यांचा क्रम किती योग्यरित्या पुनरुत्पादित केला जातो यावर अवलंबून असते. अर्थात, या प्रकरणात समान परिवर्तने आणि गणना करण्यासाठी कौशल्य असणे आवश्यक आहे.

सह परिस्थिती वेगळी आहे त्रिकोणमितीय समीकरणे.हे समीकरण त्रिकोणमितीय आहे हे सत्य स्थापित करणे अजिबात अवघड नाही. कृतींचा क्रम ठरवताना अडचणी येतात ज्यामुळे योग्य उत्तर मिळेल.

द्वारे देखावासमीकरण, त्याचा प्रकार निश्चित करणे कधीकधी कठीण असते. आणि समीकरणाचा प्रकार जाणून घेतल्याशिवाय, अनेक डझन त्रिकोणमितीय सूत्रांमधून योग्य एक निवडणे जवळजवळ अशक्य आहे.

त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला प्रयत्न करणे आवश्यक आहे:

1. समीकरणामध्ये समाविष्ट असलेली सर्व कार्ये "समान कोनांवर" आणा;
2. समीकरण "समान कार्ये" वर आणा;
3. समीकरणाची डावी बाजू, इ.

चला विचार करूया त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी मूलभूत पद्धती.

I. सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये घट

समाधान आकृती

पायरी 1.एक्सप्रेस त्रिकोणमितीय कार्यज्ञात घटकांद्वारे.

पायरी 2.सूत्रे वापरून फंक्शन वितर्क शोधा:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

पायरी 3.अज्ञात चल शोधा.

उदाहरण.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

उपाय.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. व्हेरिएबल रिप्लेसमेंट

समाधान आकृती

पायरी 1.त्रिकोणमितीय कार्यांपैकी एकाच्या संदर्भात समीकरण बीजगणितीय स्वरूपापर्यंत कमी करा.

पायरी 2.व्हेरिएबल t द्वारे परिणामी कार्य दर्शवा (आवश्यक असल्यास, t वर प्रतिबंध लागू करा).

पायरी 3.परिणामी बीजगणितीय समीकरण लिहा आणि सोडवा.

पायरी 4.उलट बदल करा.

पायरी 5.सर्वात सोपे त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

उपाय.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t, कुठे |t| करू द्या ≤ १.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 किंवा e = -3/2, अट पूर्ण करत नाही |t| ≤ १.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z.

III. समीकरण क्रम कमी करण्याची पद्धत

समाधान आकृती

पायरी 1.पदवी कमी करण्यासाठी सूत्र वापरून हे समीकरण रेखीय समीकरणाने बदला:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

पायरी 2. I आणि II पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

उपाय.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. एकसंध समीकरणे

समाधान आकृती

पायरी 1.हे समीकरण फॉर्ममध्ये कमी करा

a) a sin x + b cos x = 0 (प्रथम अंशाचे एकसंध समीकरण)

किंवा दृश्यासाठी

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (दुसऱ्या अंशाचे एकसंध समीकरण).

पायरी 2.समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंनी भागा

अ) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

आणि tan x साठी समीकरण मिळवा:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

पायरी 3.ज्ञात पद्धती वापरून समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

उपाय.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) चला tg x = t, नंतर

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 किंवा t = -4, म्हणजे

tg x = 1 किंवा tg x = -4.

पहिल्या समीकरणातून x = π/4 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रांचा वापर करून समीकरण बदलण्याची पद्धत

समाधान आकृती

पायरी 1.सर्व संभाव्य त्रिकोणमितीय सूत्रे वापरून, हे समीकरण I, II, III, IV या पद्धतींनी सोडवलेल्या समीकरणापर्यंत कमी करा.

पायरी 2.ज्ञात पद्धती वापरून परिणामी समीकरण सोडवा.

उदाहरण.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

उपाय.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 किंवा 2cos x + 1 = 0;

पहिल्या समीकरणातून 2x = π/2 + πn, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून cos x = -1/2.

आमच्याकडे x = π/4 + πn/2, n Є Z; दुसऱ्या समीकरणातून x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

परिणामी, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याची क्षमता आणि कौशल्य खूप आहे महत्वाचे, त्यांच्या विकासासाठी विद्यार्थ्याकडून आणि शिक्षकाच्या दोन्ही बाजूंनी महत्त्वपूर्ण प्रयत्न करणे आवश्यक आहे.

स्टिरीओमेट्री, भौतिकशास्त्र इत्यादींच्या अनेक समस्या त्रिकोणमितीय समीकरणांच्या निराकरणाशी संबंधित आहेत.

गणित शिकण्याच्या प्रक्रियेत आणि सर्वसाधारणपणे वैयक्तिक विकासामध्ये त्रिकोणमितीय समीकरणे महत्त्वपूर्ण स्थान व्यापतात.

अद्याप प्रश्न आहेत? त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची हे माहित नाही?
शिक्षकाकडून मदत मिळवण्यासाठी, नोंदणी करा.
पहिला धडा विनामूल्य आहे!

वेबसाइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा अंशतः कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

त्रिकोणमितीच्या मूलभूत सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे - साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज, साइन आणि कोसाइनद्वारे स्पर्शिकेची अभिव्यक्ती आणि इतर. जे त्यांना विसरले आहेत किंवा त्यांना ओळखत नाहीत त्यांच्यासाठी आम्ही "" लेख वाचण्याची शिफारस करतो.
म्हणून, आम्हाला मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रे माहित आहेत, ती सराव मध्ये वापरण्याची वेळ आली आहे. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणेयेथे योग्य दृष्टीकोन- पुरेसे रोमांचक क्रियाकलाप, उदाहरणार्थ, रुबिक्स क्यूब सोडवणे.

नावावरच आधारित, हे स्पष्ट आहे की त्रिकोणमितीय समीकरण हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखाली आहे.
तथाकथित सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत. ते कसे दिसतात ते येथे आहे: sinx = a, cos x = a, tan x = a. चला विचार करूया अशी त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची, स्पष्टतेसाठी आपण आधीच परिचित त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरू.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण दोन टप्प्यात सोडवले जाते: आम्ही समीकरण त्याच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी करतो आणि नंतर ते एक साधे त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून सोडवतो.
7 मुख्य पद्धती आहेत ज्याद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवली जातात.

1. व्हेरिएबल प्रतिस्थापन आणि प्रतिस्थापन पद्धत

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 हे समीकरण सोडवा

कपात सूत्रे वापरून आम्हाला मिळते:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

सामान्य चतुर्भुज समीकरण सोपे करण्यासाठी cos(x + /6) ला y ने बदला:

2y 2 – 3y + 1 + 0

ज्याची मुळे y 1 = 1, y 2 = 1/2 आहेत

आता उलट क्रमाने जाऊया

आम्ही y ची सापडलेली मूल्ये बदलतो आणि दोन उत्तर पर्याय मिळवतो:

2. गुणांकनाद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे

sin x + cos x = 1 हे समीकरण कसे सोडवायचे?

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू जेणेकरून 0 उजवीकडे राहील:

sin x + cos x – 1 = 0

समीकरण सोपे करण्यासाठी वर चर्चा केलेल्या ओळखीचा वापर करूया:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

चला फॅक्टराइज करूया:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

आपल्याला दोन समीकरणे मिळतात

3. एकसंध समीकरणात घट

साइन आणि कोसाइनच्या संदर्भात समीकरण एकसंध असते जर त्याच्या सर्व संज्ञा समान कोनाच्या समान डिग्रीच्या साइन आणि कोसाइनशी संबंधित असतील. एकसंध समीकरण सोडवण्यासाठी खालीलप्रमाणे पुढे जा:

अ) त्याचे सर्व सदस्य डाव्या बाजूला हस्तांतरित करा;

b) सर्व सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढा;

c) सर्व घटक आणि कंस 0 च्या समान करा;

d) कंसात कमी पदवीचे एकसंध समीकरण प्राप्त होते, जे उच्च पदवीच्या साइन किंवा कोसाइनमध्ये विभागले जाते;

e) tg चे परिणामी समीकरण सोडवा.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 हे समीकरण सोडवा

चला sin 2 x + cos 2 x = 1 हे सूत्र वापरू आणि उजवीकडील उघडलेल्या दोनपासून मुक्त होऊ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ने भागा:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ला y ने बदला आणि चतुर्भुज समीकरण मिळवा:

y 2 + 4y +3 = 0, ज्याची मुळे y 1 =1, y 2 = 3 आहेत

येथून आपल्याला मूळ समीकरणाचे दोन उपाय सापडतात:

x 2 = आर्कटान 3 + k

4. अर्ध्या कोनात संक्रमणाद्वारे समीकरणे सोडवणे

3sin x – 5cos x = 7 हे समीकरण सोडवा

चला x/2 वर जाऊ:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ने भागा:

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. सहायक कोन परिचय

विचारासाठी, फॉर्मचे एक समीकरण घेऊ: a sin x + b cos x = c,

जेथे a, b, c काही अनियंत्रित गुणांक आहेत आणि x हे अज्ञात आहे.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना खालीलप्रमाणे विभागू.



आता त्यानुसार समीकरणाचे गुणांक त्रिकोणमितीय सूत्रे sin आणि cos गुणधर्म आहेत, म्हणजे: त्यांचे मापांक 1 पेक्षा जास्त नाही आणि वर्गांची बेरीज = 1. आपण त्यांना अनुक्रमे cos आणि sin म्हणून दर्शवू, जेथे - हा तथाकथित सहायक कोन आहे. मग समीकरण फॉर्म घेईल:

cos * sin x + sin * cos x = C

किंवा sin(x + ) = C

या सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचा उपाय आहे

x = (-1) k * arcsin C - + k, कुठे



हे लक्षात घ्यावे की नोटेशन cos आणि sin परस्पर बदलण्यायोग्य आहेत.

sin 3x – cos 3x = 1 हे समीकरण सोडवा

या समीकरणातील गुणांक आहेत:

a = , b = -1, म्हणून दोन्ही बाजूंना = 2 ने विभाजित करा

तुमची गोपनीयता राखणे आमच्यासाठी महत्त्वाचे आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमच्या गोपनीयता पद्धतींचे पुनरावलोकन करा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही एकत्रित केलेल्या वैयक्तिक माहितीच्या प्रकारांची आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

• तुम्ही साइटवर विनंती सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, दूरध्वनी क्रमांक, पत्ता यासह विविध माहिती गोळा करू शकतो ईमेलइ.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

• आमच्याद्वारे गोळा केले वैयक्तिक माहितीआम्हाला तुमच्याशी संपर्क साधण्याची आणि तुम्हाला माहिती देण्याची परवानगी देते अद्वितीय ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रम.
• वेळोवेळी, आम्ही महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
• आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
• तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

• आवश्यक असल्यास, कायद्यानुसार, न्यायिक प्रक्रिया, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि/किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनमधील सरकारी एजन्सीच्या विनंत्यांच्या आधारावर - तुमची वैयक्तिक माहिती उघड करण्यासाठी. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या उद्देशांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
• पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित असल्याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा मानके संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.