कोपयेव्स्काया ग्रामीण माध्यमिक शाळा

चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याचे 10 मार्ग

प्रमुख: पत्रिकेवा गॅलिना अनातोल्येव्हना,

गणिताचे शिक्षक

s. कोप्येवो, 2007

1. चतुर्भुज समीकरणांच्या विकासाचा इतिहास

1.1 प्राचीन बॅबिलोनमधील चतुर्भुज समीकरणे

1.2 डायओफँटसने चतुर्भुज समीकरणे कशी संकलित केली आणि सोडवली

1.3 भारतातील चतुर्भुज समीकरणे

1.4 अल-ख्वारिझ्मी मधील चतुर्भुज समीकरणे

1.5 युरोप XIII - XVII शतके मध्ये द्विघात समीकरणे

1.6 व्हिएटाच्या प्रमेयाबद्दल

2. द्विघात समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

निष्कर्ष

साहित्य

1. चतुर्भुज समीकरणांच्या विकासाचा इतिहास

1.1 प्राचीन बॅबिलोनमधील चतुर्भुज समीकरणे

प्राचीन काळी केवळ पहिल्याच नव्हे तर द्वितीय श्रेणीची समीकरणे सोडविण्याची गरज लष्करी स्वरूपाची जमीन आणि भूखंड शोधण्याशी संबंधित समस्या सोडवण्याच्या गरजेमुळे तसेच खगोलशास्त्राचा विकास आणि स्वतः गणित. सुमारे 2000 BC मध्ये चतुर्भुज समीकरणे सोडवता आली. ई बॅबिलोनियन.

आधुनिक बीजगणितीय संकेतांचा वापर करून, आपण असे म्हणू शकतो की त्यांच्या क्यूनिफॉर्म ग्रंथांमध्ये, अपूर्ण व्यतिरिक्त, अशी आहेत, उदाहरणार्थ, संपूर्ण द्विघात समीकरणे:

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

हे समीकरण सोडवण्याचा नियम, बॅबिलोनियन ग्रंथांमध्ये सांगितलेला आहे, मूलत: आधुनिक समीकरणाशी जुळतो, परंतु बॅबिलोनी लोक या नियमात कसे आले हे माहित नाही. आतापर्यंत सापडलेले जवळजवळ सर्व क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवळ रेसिपीच्या स्वरूपात सांगितलेल्या उपायांसह समस्या देतात, ते कसे सापडले याचे कोणतेही संकेत दिलेले नाहीत.

बॅबिलोनमध्ये बीजगणिताचा उच्च पातळीचा विकास असूनही, क्यूनिफॉर्म ग्रंथांमध्ये ऋण संख्या आणि चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याच्या सामान्य पद्धतींचा अभाव आहे.

1.2 डायओफँटसने चतुर्भुज समीकरणे कशी संकलित केली आणि सोडवली.

डायओफँटसच्या अंकगणितामध्ये बीजगणिताचे पद्धतशीर प्रदर्शन नसते, परंतु त्यामध्ये समस्यांची एक पद्धतशीर मालिका असते, ज्यात स्पष्टीकरणे असतात आणि विविध अंशांची समीकरणे तयार करून सोडवली जातात.

समीकरणे संकलित करताना, डायओफँटस कुशलतेने निराकरण सुलभ करण्यासाठी अज्ञात निवडतो.

येथे, उदाहरणार्थ, त्याच्या कार्यांपैकी एक आहे.

कार्य 11."दोन संख्या जाणून घ्या की त्यांची बेरीज 20 आहे आणि त्यांचे उत्पादन 96 आहे"

डायओफँटस खालीलप्रमाणे युक्तिवाद करतात: समस्येच्या स्थितीवरून असे दिसून येते की इच्छित संख्या समान नाहीत, कारण जर ते समान असतील तर त्यांचे उत्पादन 96 नाही तर 100 इतके असेल. अशा प्रकारे, त्यापैकी एक पेक्षा जास्त असेल. त्यांच्या बेरजेचा अर्धा, म्हणजे. 10+x, दुसरा लहान आहे, म्हणजे. 10 चे. त्यांच्यातील फरक 2x .

म्हणून समीकरण:

(१० + x)(१० - x) = ९६

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

येथून x = 2. इच्छित संख्यांपैकी एक आहे 12 , इतर 8 . उपाय x = -2कारण डायओफँटस अस्तित्वात नाही, कारण ग्रीक गणिताला फक्त धन संख्या माहित होती.

जर आपण इच्छित संख्यांपैकी एक अज्ञात म्हणून निवडून ही समस्या सोडवली तर आपण समीकरणाच्या निराकरणाकडे येऊ.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

हे स्पष्ट आहे की डायओफँटस इच्छित संख्यांचा अर्धा फरक अज्ञात म्हणून निवडून उपाय सुलभ करतो; तो अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण (1) सोडवण्यासाठी समस्या कमी करण्यास व्यवस्थापित करतो.

1.3 भारतातील चतुर्भुज समीकरणे

भारतीय गणितज्ञ आणि खगोलशास्त्रज्ञ आर्यभट्ट यांनी 499 मध्ये संकलित केलेल्या "आर्यभट्टम" या खगोलशास्त्रीय पत्रिकेत चतुर्भुज समीकरणांच्या समस्या आधीच आढळतात. आणखी एक भारतीय शास्त्रज्ञ, ब्रह्मगुप्त (७वे शतक), यांनी एका विहित स्वरुपात घटलेली चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याचा सामान्य नियम सांगितला:

आह 2+ b x = c, a > 0. (1)

समीकरण (1) मध्ये, गुणांक, वगळता परंतु, नकारात्मक देखील असू शकते. ब्रह्मगुप्ताचा नियम मूलत: आपल्याशी एकरूप होतो.

प्राचीन भारतात, कठीण समस्या सोडवण्याच्या सार्वजनिक स्पर्धा सामान्य होत्या. एका जुन्या भारतीय पुस्तकात, अशा स्पर्धांबद्दल पुढील गोष्टी सांगितल्या आहेत: "जसा सूर्य आपल्या तेजाने ताऱ्यांना मागे टाकतो, त्याचप्रमाणे एक विद्वान व्यक्ती सार्वजनिक सभांमध्ये, बीजगणितीय समस्या मांडून आणि सोडवताना दुसर्‍याचे वैभव दाखवेल." कार्ये बहुतेक वेळा काव्यात्मक स्वरूपात केली जातात.

बाराव्या शतकातील प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञांच्या समस्यांपैकी एक येथे आहे. भास्कर.

कार्य 13.

“माकडांचा एक झुळझुळ कळप आणि वेलींमध्ये बारा ...

सत्ता खाल्ली, मजा आली. ते उडी मारू लागले, लटकले ...

त्यांचा भाग आठवा एका चौकात किती माकडे होती,

कुरणात मजा करणे. तुम्हीच सांगा या कळपात?

भास्कराच्या उपायावरून असे दिसून येते की त्याला चतुर्भुज समीकरणांच्या मुळांच्या द्वि-मूल्याविषयी माहिती होती (चित्र 3).

समस्या 13 शी संबंधित समीकरण आहे:

( x /8) 2 + 12 = x

भास्कर याच्या नावाखाली लिहितात:

x 2 - 64x = -768

आणि, या समीकरणाची डावी बाजू एका चौकोनात पूर्ण करण्यासाठी, तो दोन्ही बाजूंना जोडतो 32 2 , मग मिळवत आहे:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - ३२ = ± १६,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 अल-खोरेझमी मधील चतुर्भुज समीकरणे

अल-खोरेझमीचा बीजगणितीय ग्रंथ रेषीय आणि द्विघात समीकरणांचे वर्गीकरण देतो. लेखकाने 6 प्रकारची समीकरणे सूचीबद्ध केली आहेत, ती खालीलप्रमाणे व्यक्त करतात:

1) "चौरस मुळांच्या समान आहेत", उदा. ax 2 + c = b एक्स.

2) "वर्ग संख्येच्या समान आहेत", म्हणजे ax 2 = s.

3) "मुळे संख्येच्या समान आहेत", म्हणजे. आह = एस.

4) "वर्ग आणि संख्या मुळांच्या समान आहेत", म्हणजे. ax 2 + c = b एक्स.

5) "चौरस आणि मुळे संख्या समान आहेत", म्हणजे. आह 2+ bx = एस.

6) "मूळ आणि संख्या वर्गाच्या समान आहेत", म्हणजे. bx + c \u003d अक्ष २.

अल-ख्वारीझमीसाठी, ज्यांनी ऋण संख्यांचा वापर टाळला, या प्रत्येक समीकरणाच्या संज्ञा बेरीज आहेत, वजाबाकी नाहीत. या प्रकरणात, सकारात्मक निराकरणे नसलेली समीकरणे साहजिकच विचारात घेतली जात नाहीत. लेखकाने अल-जबर आणि अल-मुकाबला या पद्धतींचा वापर करून ही समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती सांगितल्या आहेत. त्याचे निर्णय अर्थातच आपल्याशी पूर्णपणे जुळत नाहीत. हे निव्वळ वक्तृत्वात्मक आहे हे नमूद न करता, हे लक्षात घेतले पाहिजे, उदाहरणार्थ, पहिल्या प्रकाराचे अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण सोडवताना

अल-खोरेझमी, 17 व्या शतकापूर्वीच्या सर्व गणितज्ञांप्रमाणे, शून्य उपाय विचारात घेत नाही, कारण कदाचित विशिष्ट व्यावहारिक समस्यांमध्ये काही फरक पडत नाही. पूर्ण चतुर्भुज समीकरणे सोडवताना, अल-खोरेझमी विशिष्ट संख्यात्मक उदाहरणे वापरून सोडवण्याचे नियम आणि नंतर भौमितिक पुरावे ठरवतात.

कार्य 14.“वर्ग आणि संख्या 21 हे 10 मुळांच्या समान आहेत. मूळ शोधा" (x 2 + 21 = 10x समीकरणाचे मूळ गृहीत धरून).

लेखकाचे समाधान असे काहीतरी आहे: मुळांची संख्या अर्ध्यामध्ये विभाजित करा, तुम्हाला 5 मिळेल, स्वतः 5 गुणाकार करा, गुणाकारातून 21 वजा करा, 4 उरले. 4 चे मूळ घ्या, तुम्हाला 2 मिळेल. 5 मधून 2 वजा करा, तुम्ही मिळवा 3, हे इच्छित रूट असेल. किंवा 2 ते 5 जोडा, जे 7 देईल, हे देखील एक मूळ आहे.

ट्रीटाइज अल - खोरेझमी हे आपल्यापर्यंत आलेले पहिले पुस्तक आहे, ज्यामध्ये चतुर्भुज समीकरणांचे वर्गीकरण पद्धतशीरपणे सांगितले आहे आणि त्यांच्या निराकरणासाठी सूत्रे दिली आहेत.

1.5 युरोपमधील चतुर्भुज समीकरणे तेरावा - XVII शतके

युरोपमधील अल-खोरेझमीच्या मॉडेलवर चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याची सूत्रे प्रथम इटालियन गणितज्ञ लिओनार्डो फिबोनाची यांनी 1202 मध्ये लिहिलेल्या "बुक ऑफ द अबॅकस" मध्ये मांडली होती. इस्लाम आणि प्राचीन ग्रीस या दोन्ही देशांतील गणिताचा प्रभाव प्रतिबिंबित करणारे हे विपुल काम, सादरीकरणाची पूर्णता आणि स्पष्टता या दोन्हींद्वारे वेगळे आहे. लेखकाने स्वतंत्रपणे समस्या सोडवण्याची काही नवीन बीजगणितीय उदाहरणे विकसित केली आणि नकारात्मक संख्यांच्या परिचयापर्यंत पोहोचणारे ते युरोपमधील पहिले होते. त्यांच्या पुस्तकाने केवळ इटलीमध्येच नव्हे तर जर्मनी, फ्रान्स आणि इतर युरोपीय देशांमध्ये बीजगणितीय ज्ञानाचा प्रसार करण्यास हातभार लावला. "बुक ऑफ द अबॅकस" मधील बरीच कार्ये 16 व्या - 17 व्या शतकातील जवळजवळ सर्व युरोपियन पाठ्यपुस्तकांमध्ये गेली. आणि अंशतः XVIII.

चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याचा सामान्य नियम एका कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये कमी केला जातो:

x 2+ bx = सह,

गुणांकांच्या चिन्हांच्या सर्व संभाव्य संयोजनांसाठी b , पासूनएम. स्टीफेल यांनी केवळ 1544 मध्ये युरोपमध्ये तयार केले होते.

चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी व्हिएटाची सामान्य व्युत्पत्ती आहे, परंतु व्हिएटाने फक्त सकारात्मक मुळे ओळखली. टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली हे इटालियन गणितज्ञ 16 व्या शतकातील पहिले होते. सकारात्मक आणि नकारात्मक मुळे व्यतिरिक्त, खात्यात घ्या. फक्त XVII शतकात. गिरार्ड, डेकार्टेस, न्यूटन आणि इतर शास्त्रज्ञांच्या कार्याबद्दल धन्यवाद, चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्याचा मार्ग आधुनिक रूप घेतो.

1.6 व्हिएटाच्या प्रमेयाबद्दल

चतुर्भुज समीकरणाचे गुणांक आणि त्याची मुळे यांच्यातील संबंध व्यक्त करणारे प्रमेय, ज्याला व्हिएटा असे नाव आहे, त्याने 1591 मध्ये प्रथमच खालीलप्रमाणे तयार केले: “जर बी + डीने गुणाकार केला ए - ए 2 , समान बी.डी, नंतर एसमान INआणि समान डी ».

व्हिएटा समजून घेण्यासाठी, एखाद्याने ते लक्षात ठेवले पाहिजे परंतु, कोणत्याही स्वराप्रमाणे, त्याच्यासाठी अज्ञात (आमचे एक्स), स्वर मध्ये, डी- अज्ञात साठी गुणांक. आधुनिक बीजगणिताच्या भाषेत, वरील व्हिएटाच्या सूत्रीकरणाचा अर्थ आहे: जर

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

चिन्हांचा वापर करून लिहिलेल्या सामान्य सूत्रांद्वारे समीकरणांची मुळे आणि गुणांक यांच्यातील संबंध व्यक्त करून, व्हिएतने समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींमध्ये एकसमानता स्थापित केली. तथापि, व्हिएटाचे प्रतीकवाद अद्याप त्याच्या आधुनिक स्वरूपापासून दूर आहे. त्याला ऋण संख्या ओळखता आली नाही, आणि म्हणूनच, समीकरणे सोडवताना, त्याने फक्त अशा प्रकरणांचा विचार केला जेथे सर्व मुळे सकारात्मक आहेत.

2. द्विघात समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

चतुर्भुज समीकरणे हा पाया आहे ज्यावर बीजगणिताची भव्य इमारत आहे. त्रिकोणमितीय, घातांक, लॉगरिदमिक, अपरिमेय आणि अतींद्रिय समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी चतुर्भुज समीकरणे मोठ्या प्रमाणावर वापरली जातात. शाळा (इयत्ता 8) पासून पदवीपर्यंत चतुर्भुज समीकरणे कशी सोडवायची हे आपल्या सर्वांना माहीत आहे.

आधुनिक समाजात, स्क्वेअर व्हेरिएबल असलेल्या समीकरणांसह कार्य करण्याची क्षमता क्रियाकलापांच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये उपयुक्त ठरू शकते आणि वैज्ञानिक आणि तांत्रिक घडामोडींमध्ये व्यवहारात मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते. समुद्र आणि नदी पात्रे, विमाने आणि क्षेपणास्त्रांच्या रचनेवरून याचा पुरावा मिळू शकतो. अशा गणनेच्या मदतीने, अवकाशातील वस्तूंसह विविध शरीरांच्या हालचालींचे मार्ग निश्चित केले जातात. चतुर्भुज समीकरणांच्या सोल्यूशनसह उदाहरणे केवळ आर्थिक अंदाज, इमारतींच्या डिझाइन आणि बांधकामातच नव्हे तर सर्वात सामान्य दैनंदिन परिस्थितीत देखील वापरली जातात. कॅम्पिंग ट्रिपमध्ये, क्रीडा इव्हेंटमध्ये, स्टोअरमध्ये खरेदी करताना आणि इतर अतिशय सामान्य परिस्थितींमध्ये त्यांची आवश्यकता असू शकते.

चला अभिव्यक्ती घटक घटकांमध्ये खंडित करूया

दिलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये असलेल्या व्हेरिएबलच्या डिग्रीच्या कमाल मूल्याद्वारे समीकरणाची डिग्री निर्धारित केली जाते. जर ते 2 असेल तर अशा समीकरणाला द्विघात समीकरण म्हणतात.

जर आपण सूत्रांच्या भाषेत बोललो, तर या अभिव्यक्ती, ते कसेही दिसत असले तरीही, जेव्हा अभिव्यक्तीच्या डाव्या बाजूला तीन पद असतात तेव्हा नेहमी फॉर्ममध्ये आणले जाऊ शकतात. त्यापैकी: ax 2 (म्हणजे, एक चल त्याच्या गुणांकासह वर्ग), bx (त्याच्या गुणांकासह चौरस नसलेला अज्ञात) आणि c (मुक्त घटक, म्हणजे, एक सामान्य संख्या). उजव्या बाजूला हे सर्व 0 च्या बरोबरीचे आहे. अशा बहुपदीमध्ये अक्ष 2 चा अपवाद वगळता त्याच्या घटक पदांपैकी एक नसताना, त्याला अपूर्ण द्विपद समीकरण म्हणतात. अशा समस्यांचे निराकरण करणारी उदाहरणे, ज्यामध्ये चलांचे मूल्य शोधणे कठीण नाही, प्रथम विचारात घेतले पाहिजे.

जर अभिव्यक्ती अशा प्रकारे दिसत असेल की अभिव्यक्तीच्या उजव्या बाजूला ax 2 आणि bx या दोन संज्ञा आहेत, तर व्हेरिएबल ब्रॅकेट करून x शोधणे सर्वात सोपे आहे. आता आपले समीकरण असे दिसेल: x(ax+b). पुढे, हे स्पष्ट होते की एकतर x=0, किंवा खालील अभिव्यक्तीमधून चल शोधण्यात समस्या कमी होते: ax+b=0. हे गुणाकाराच्या गुणधर्मांपैकी एकाद्वारे निर्धारित केले जाते. नियम म्हणतो की दोन घटकांच्या गुणाकाराचा परिणाम 0 असेल तरच त्यांपैकी एक शून्य असेल.

उदाहरण

x=0 किंवा 8x - 3 = 0

परिणामी, आम्हाला समीकरणाची दोन मुळे मिळतात: 0 आणि 0.375.

या प्रकारची समीकरणे गुरुत्वाकर्षणाच्या कृती अंतर्गत शरीराच्या हालचालींचे वर्णन करू शकतात, जे मूळ म्हणून घेतलेल्या एका विशिष्ट बिंदूपासून हलू लागले. येथे गणितीय नोटेशन खालील फॉर्म घेते: y = v 0 t + gt 2 /2. आवश्यक मूल्ये बदलून, उजवी बाजू 0 बरोबर समीकरण करून आणि संभाव्य अज्ञात शोधून, तुम्ही शरीर उगवल्यापासून ते पडण्याच्या क्षणापर्यंत निघून गेलेला वेळ, तसेच इतर अनेक प्रमाणे शोधू शकता. परंतु आपण याबद्दल नंतर बोलू.

अभिव्यक्ती निर्माण करणे

वर वर्णन केलेले नियम अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये या समस्यांचे निराकरण करणे शक्य करते. या प्रकारच्या द्विघात समीकरणांच्या सोल्युशनसह उदाहरणे विचारात घ्या.

X2 - 33x + 200 = 0

हा चौरस त्रिपद पूर्ण आहे. प्रथम, आपण अभिव्यक्तीचे रूपांतर करतो आणि त्याचे घटकांमध्ये विघटन करतो. त्यापैकी दोन आहेत: (x-8) आणि (x-25) = 0. परिणामी, आपल्याकडे 8 आणि 25 दोन मुळे आहेत.

इयत्ता 9 मधील चतुर्भुज समीकरणांच्या सोल्यूशनसह उदाहरणे या पद्धतीला केवळ दुसऱ्याच नव्हे तर तिसऱ्या आणि चौथ्या क्रमातील अभिव्यक्तींमध्ये एक व्हेरिएबल शोधण्याची परवानगी देतात.

उदाहरणार्थ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. उजव्या बाजूचा गुणांक व्हेरिएबलसह घटकांमध्ये काढताना, त्यापैकी तीन असतात, म्हणजेच (x + 1), (x-3) आणि (x + ३).

परिणामी, हे स्पष्ट होते की या समीकरणाची तीन मुळे आहेत: -3; -एक; 3.

वर्गमूळ काढत आहे

अपूर्ण द्वितीय क्रम समीकरणाचे आणखी एक प्रकरण म्हणजे अक्षरांच्या भाषेत अशा प्रकारे लिहिलेली अभिव्यक्ती आहे की उजवी बाजू ax 2 आणि c या घटकांपासून तयार केली जाते. येथे, व्हेरिएबलचे मूल्य मिळविण्यासाठी, मुक्त पद उजव्या बाजूला हस्तांतरित केले जाते आणि त्यानंतर, समानतेच्या दोन्ही बाजूंमधून वर्गमूळ काढले जाते. हे लक्षात घ्यावे की या प्रकरणात सामान्यतः समीकरणाची दोन मुळे असतात. अपवाद फक्त समानता आहेत ज्यात c हा शब्द अजिबात नसतो, जेथे व्हेरिएबल शून्याच्या बरोबरीचे असते, तसेच जेव्हा उजवी बाजू नकारात्मक असल्याचे दिसून येते तेव्हा अभिव्यक्तीचे प्रकार. नंतरच्या प्रकरणात, कोणतेही उपाय नाहीत, कारण वरील क्रिया मुळांसह केल्या जाऊ शकत नाहीत. या प्रकारच्या द्विघात समीकरणांच्या उपायांची उदाहरणे विचारात घेतली पाहिजेत.

या प्रकरणात, समीकरणाची मुळे -4 आणि 4 संख्या असतील.

जमिनीच्या क्षेत्रफळाची गणना

अशा प्रकारच्या गणनेची गरज प्राचीन काळात दिसून आली, कारण त्या दूरच्या काळात गणिताचा विकास मुख्यत्वे जमिनीच्या भूखंडांचे क्षेत्र आणि परिमिती सर्वात अचूकतेने निश्चित करण्याची गरज होती.

या प्रकारच्या समस्यांच्या आधारे संकलित केलेल्या चतुर्भुज समीकरणांच्या समाधानासह उदाहरणे देखील विचारात घेतली पाहिजेत.

तर, समजा, जमिनीचा एक आयताकृती तुकडा आहे, ज्याची लांबी रुंदीपेक्षा 16 मीटर जास्त आहे. साइटची लांबी, रुंदी आणि परिमिती शोधली पाहिजे, जर हे माहित असेल की त्याचे क्षेत्रफळ 612 मीटर 2 आहे.

व्यवसायात उतरताना, प्रथम आपण आवश्यक समीकरण बनवू. विभागाची रुंदी x म्हणून दर्शवू, तर त्याची लांबी (x + 16) होईल. हे जे लिहिले आहे त्यावरून हे पुढे येते की क्षेत्र x (x + 16) या अभिव्यक्तीद्वारे निर्धारित केले जाते, जे आपल्या समस्येच्या स्थितीनुसार, 612 आहे. याचा अर्थ x (x + 16) \u003d 612.

पूर्ण चतुर्भुज समीकरणांचे निराकरण, आणि ही अभिव्यक्ती एवढीच आहे, त्याच प्रकारे करता येत नाही. का? याच्या डाव्या बाजूला दोन घटक असले तरी त्यांचा गुणाकार मुळीच ० नाही, म्हणून इतर पद्धती येथे वापरल्या आहेत.

भेदभाव करणारा

सर्व प्रथम, आम्ही आवश्यक परिवर्तने करू, नंतर या अभिव्यक्तीचे स्वरूप असे दिसेल: x 2 + 16x - 612 = 0. याचा अर्थ असा की आम्हाला पूर्वी निर्दिष्ट मानकांशी संबंधित फॉर्ममध्ये अभिव्यक्ती प्राप्त झाली आहे, जिथे a=1, b=16, c= -612.

भेदभावाद्वारे द्विघात समीकरणे सोडवण्याचे हे उदाहरण असू शकते. येथे योजनेनुसार आवश्यक गणना केली जाते: D = b 2 - 4ac. हे सहाय्यक मूल्य केवळ दुसऱ्या क्रमाच्या समीकरणामध्ये इच्छित मूल्ये शोधणे शक्य करत नाही तर संभाव्य पर्यायांची संख्या निर्धारित करते. D>0 बाबतीत, त्यापैकी दोन आहेत; D=0 साठी एक रूट आहे. बाबतीत डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

मुळे आणि त्यांचे सूत्र बद्दल

आमच्या बाबतीत, भेदभाव आहे: 256 - 4(-612) = 2704. हे सूचित करते की आमच्या समस्येचे उत्तर आहे. तुम्हाला माहित असल्यास, खालील सूत्र वापरून द्विघात समीकरणांचे निराकरण चालू ठेवले पाहिजे. हे आपल्याला मुळांची गणना करण्यास अनुमती देते.

याचा अर्थ असा की प्रस्तुत प्रकरणात: x 1 =18, x 2 =-34. या पेचप्रसंगातील दुसरा पर्याय हा उपाय असू शकत नाही, कारण जमिनीच्या प्लॉटचा आकार नकारात्मक मूल्यांमध्ये मोजला जाऊ शकत नाही, याचा अर्थ x (म्हणजे प्लॉटची रुंदी) 18 मीटर आहे. येथून आपण लांबीची गणना करतो: 18+16=34, आणि परिमिती 2(34+ 18) = 104 (m 2).

उदाहरणे आणि कार्ये

आम्ही चतुर्भुज समीकरणांचा अभ्यास सुरू ठेवतो. त्यापैकी अनेक उदाहरणे आणि तपशीलवार उपाय खाली दिले जातील.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

चला सर्व काही समानतेच्या डाव्या बाजूला हस्तांतरित करू, एक परिवर्तन करू, म्हणजेच, आपल्याला समीकरणाचे स्वरूप मिळेल, ज्याला सामान्यतः मानक म्हणतात, आणि ते शून्यावर समीकरण करू.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोडल्यानंतर, आम्ही भेदभाव निश्चित करतो: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. तर आपल्या समीकरणाला दोन मुळे असतील. आम्ही वरील सूत्रानुसार त्यांची गणना करतो, याचा अर्थ असा की त्यापैकी पहिला 4/3 आणि दुसरा 1 असेल.

२) आता आपण वेगळ्या प्रकारचे कोडे उघड करू.

चला शोधूया इथे x 2 - 4x + 5 = 1 मुळीच आहेत का? एक संपूर्ण उत्तर मिळविण्यासाठी, आम्ही बहुपदी संबंधित परिचित स्वरूपात आणतो आणि भेदभावाची गणना करतो. या उदाहरणात, चतुर्भुज समीकरण सोडवणे आवश्यक नाही, कारण समस्येचे सार यात अजिबात नाही. या प्रकरणात, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, याचा अर्थ असा आहे की खरोखर मुळे नाहीत.

व्हिएटाचे प्रमेय

उपरोक्त सूत्रे आणि भेदक यांच्या द्वारे वर्गमूळ जेव्हा नंतरच्या मूल्यातून काढले जाते तेव्हा द्विघात समीकरणे सोडवणे सोयीचे असते. पण हे नेहमीच होत नाही. तथापि, या प्रकरणात व्हेरिएबल्सची मूल्ये मिळविण्याचे अनेक मार्ग आहेत. उदाहरण: व्हिएटाचे प्रमेय वापरून द्विघात समीकरणे सोडवणे. हे नाव 16व्या शतकातील फ्रान्समध्ये राहणाऱ्या एका माणसाच्या नावावर ठेवण्यात आले आहे आणि त्याच्या गणिताच्या प्रतिभेमुळे आणि कोर्टातील संबंधांमुळे चमकदार कारकीर्द होती. त्याचे पोर्ट्रेट लेखात पाहिले जाऊ शकते.

प्रसिद्ध फ्रेंच माणसाच्या लक्षात आलेला नमुना खालीलप्रमाणे होता. त्याने हे सिद्ध केले की समीकरणाच्या मुळांची बेरीज -p=b/a आहे आणि त्यांचे गुणाकार q=c/a शी संबंधित आहेत.

आता विशिष्ट कार्ये पाहू.

3x2 + 21x - 54 = 0

साधेपणासाठी, अभिव्यक्तीचे रूपांतर करूया:

x 2 + 7x - 18 = 0

व्हिएटा प्रमेय वापरून, हे आम्हाला पुढील गोष्टी देईल: मुळांची बेरीज -7 आहे आणि त्यांचे उत्पादन -18 आहे. येथून आपल्याला समजते की समीकरणाची मुळे -9 आणि 2 ही संख्या आहेत. तपासल्यानंतर, आपण खात्री करू की व्हेरिएबल्सची ही मूल्ये अभिव्यक्तीमध्ये खरोखरच बसतात.

पॅराबोलाचा आलेख आणि समीकरण

चतुर्भुज फंक्शन आणि चतुर्भुज समीकरणांच्या संकल्पना जवळून संबंधित आहेत. याची उदाहरणे यापूर्वीही दिली आहेत. आता थोडे अधिक तपशीलाने काही गणिती कोडे पाहू. वर्णन केलेल्या प्रकाराचे कोणतेही समीकरण दृश्यमानपणे दर्शविले जाऊ शकते. आलेखाच्या रूपात काढलेल्या अशा अवलंबनाला पॅराबोला म्हणतात. त्याचे विविध प्रकार खालील चित्रात दाखवले आहेत.

कोणत्याही पॅराबोलामध्ये शिरोबिंदू असतो, म्हणजेच एक बिंदू जिथून त्याच्या शाखा बाहेर येतात. जर a>0, तर ते अनंतापर्यंत उंच जातात आणि जेव्हा a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

फंक्शन्सचे व्हिज्युअल प्रतिनिधित्व चतुर्भुज समीकरणांसह कोणतीही समीकरणे सोडवण्यास मदत करतात. या पद्धतीला ग्राफिक म्हणतात. आणि x व्हेरिएबलचे मूल्य ज्या बिंदूंवर आलेख रेषा 0x ने छेदते त्या ठिकाणी abscissa समन्वय आहे. शिरोबिंदूचे समन्वय फक्त x 0 = -b/2a दिलेल्या सूत्राद्वारे शोधले जाऊ शकतात. आणि, परिणामी मूल्याला फंक्शनच्या मूळ समीकरणामध्ये बदलून, तुम्ही y 0 शोधू शकता, म्हणजेच y-अक्षाशी संबंधित पॅराबोला शिरोबिंदूचा दुसरा समन्वय.

पॅराबोलाच्या शाखांचे छेदनबिंदू abscissa अक्षासह

चतुर्भुज समीकरणांच्या सोल्युशनसह बरीच उदाहरणे आहेत, परंतु सामान्य नमुने देखील आहेत. चला त्यांचा विचार करूया. हे स्पष्ट आहे की a>0 साठी 0x अक्षासह आलेखाचे छेदन y 0 ने ऋण मूल्ये घेतल्यासच शक्य आहे. आणि ए साठी<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

पॅराबोलाच्या आलेखावरून, आपण मुळे देखील निर्धारित करू शकता. उलट देखील खरे आहे. म्हणजेच, जर चतुर्भुज फंक्शनचे दृश्य प्रतिनिधित्व मिळवणे सोपे नसेल, तर तुम्ही अभिव्यक्तीच्या उजव्या बाजूचे 0 बरोबर समीकरण करू शकता आणि परिणामी समीकरण सोडवू शकता. आणि 0x अक्षासह छेदनबिंदू जाणून घेतल्यास, प्लॉट करणे सोपे आहे.

इतिहासातून

स्क्वेअर व्हेरिएबल असलेल्या समीकरणांच्या मदतीने, जुन्या दिवसांमध्ये, केवळ गणितीय गणनाच केली जात नाही आणि भौमितिक आकारांचे क्षेत्रफळ देखील निर्धारित केले जात असे. प्राचीन लोकांना भौतिकशास्त्र आणि खगोलशास्त्राच्या क्षेत्रातील भव्य शोध तसेच ज्योतिषशास्त्रीय अंदाज लावण्यासाठी अशा गणनांची आवश्यकता होती.

आधुनिक शास्त्रज्ञांनी सुचविल्याप्रमाणे, बॅबिलोनचे रहिवासी हे चतुर्भुज समीकरणे सोडवणारे पहिले होते. हे आपल्या युगाच्या आगमनाच्या चार शतकांपूर्वी घडले. अर्थात, त्यांची गणना सध्या स्वीकारल्या गेलेल्यांपेक्षा मूलभूतपणे भिन्न होती आणि ती अधिक प्राचीन असल्याचे दिसून आले. उदाहरणार्थ, मेसोपोटेमियाच्या गणितज्ञांना ऋण संख्यांच्या अस्तित्वाची कल्पना नव्हती. आमच्या काळातील कोणत्याही विद्यार्थ्याला ज्ञात असलेल्या इतर बारकावेही ते अपरिचित होते.

कदाचित बॅबिलोनच्या शास्त्रज्ञांच्याही आधी, भारतातील बौद्ध ऋषींनी चतुर्भुज समीकरणांचे निराकरण केले. हे ख्रिस्त युगाच्या आगमनापूर्वी सुमारे आठ शतके घडले. खरे आहे, दुसऱ्या क्रमाची समीकरणे, त्याने सोडवण्याच्या पद्धती सर्वात सोप्या होत्या. त्याच्या व्यतिरिक्त, चिनी गणितज्ञांना देखील जुन्या काळात अशाच प्रश्नांमध्ये रस होता. युरोपमध्ये, 13 व्या शतकाच्या सुरूवातीस चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्यास सुरुवात झाली, परंतु नंतर ते न्यूटन, डेकार्टेस आणि इतर अनेक महान शास्त्रज्ञांनी त्यांच्या कार्यात वापरले.

चतुर्भुज समीकरण - सोडवणे सोपे! * पुढे "KU" मजकुरात.मित्रांनो, असे दिसते की गणितात असे समीकरण सोडवण्यापेक्षा सोपे आहे. पण मला काहीतरी सांगितले की अनेकांना त्याच्यासोबत समस्या आहेत. यांडेक्स दर महिन्याला प्रति विनंती किती इंप्रेशन देते हे पाहण्याचा मी निर्णय घेतला. काय झाले ते येथे आहे, एक नजर टाका:

याचा अर्थ काय? याचा अर्थ असा की महिन्याला सुमारे 70,000 लोक ही माहिती शोधत आहेत, आणि हा उन्हाळा आहे, आणि शाळेच्या वर्षात काय होईल - दुप्पट विनंत्या असतील. हे आश्चर्यकारक नाही, कारण ती मुले आणि मुली ज्यांनी शाळेतून दीर्घकाळ पदवी संपादन केली आहे आणि परीक्षेची तयारी करत आहेत ते ही माहिती शोधत आहेत आणि शाळकरी मुले देखील त्यांची आठवण ताजी करण्याचा प्रयत्न करीत आहेत.

हे समीकरण कसे सोडवायचे हे सांगणार्‍या बर्‍याच साइट्स असूनही, मी साहित्याचे योगदान आणि प्रकाशित करण्याचा निर्णय घेतला. सर्वप्रथम, या विनंतीवर अभ्यागतांनी माझ्या साइटवर यावे अशी माझी इच्छा आहे; दुसरे म्हणजे, इतर लेखांमध्ये, जेव्हा “KU” भाषण येईल, तेव्हा मी या लेखाची लिंक देईन; तिसरे म्हणजे, मी तुम्हाला त्याच्या सोल्यूशनबद्दल इतर साइट्सवर सांगितलेल्यापेक्षा थोडे अधिक सांगेन. चला सुरू करुया!लेखाची सामग्री:

चतुर्भुज समीकरण हे फॉर्मचे समीकरण आहे:

जेथे गुणांक a,bआणि अनियंत्रित संख्यांसह, a≠0 सह.

शालेय अभ्यासक्रमात, सामग्री खालील स्वरूपात दिली जाते - तीन वर्गांमध्ये समीकरणांची विभागणी सशर्त केली जाते:

1. दोन मुळे आहेत.

2. * फक्त एक रूट आहे.

3. मुळे नसतात. येथे हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की त्यांना वास्तविक मुळे नाहीत

मुळांची गणना कशी केली जाते? फक्त!

आम्ही भेदभावाची गणना करतो. या "भयंकर" शब्दाखाली एक अतिशय साधे सूत्र आहे:

मूळ सूत्रे खालीलप्रमाणे आहेत:

*ही सूत्रे मनापासून ओळखली पाहिजेत.

आपण त्वरित लिहून सोडवू शकता:

उदाहरण:

1. जर D > 0 असेल, तर समीकरणाला दोन मुळे आहेत.

2. जर D = 0 असेल, तर समीकरणाचे मूळ एक आहे.

3. जर डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

चला समीकरण पाहू:

या प्रसंगी, भेदभाव शून्य असताना, शालेय अभ्यासक्रम म्हटला की एक मूळ मिळते, येथे ते नऊच्या बरोबरीचे आहे. ते बरोबर आहे, पण...

हे प्रतिनिधित्व काहीसे चुकीचे आहे. खरं तर, दोन मुळे आहेत. होय, होय, आश्चर्यचकित होऊ नका, ते दोन समान मुळे बाहेर वळते, आणि गणितीयदृष्ट्या अचूक होण्यासाठी, उत्तरात दोन मुळे लिहिली पाहिजेत:

x 1 = 3 x 2 = 3

पण हे असे आहे - एक लहान विषयांतर. शाळेत, आपण लिहू शकता आणि म्हणू शकता की फक्त एक मूळ आहे.

आता खालील उदाहरण:

आपल्याला माहित आहे की, ऋण संख्येचे मूळ काढले जात नाही, म्हणून या प्रकरणात कोणताही उपाय नाही.

ही संपूर्ण निर्णय प्रक्रिया आहे.

चतुर्भुज कार्य.

समाधान भौमितीयदृष्ट्या कसे दिसते ते येथे आहे. हे समजून घेणे अत्यंत महत्वाचे आहे (भविष्यात, एका लेखात, आम्ही चतुर्भुज असमानतेच्या निराकरणाचे तपशीलवार विश्लेषण करू).

हे फॉर्मचे कार्य आहे:

जेथे x आणि y व्हेरिएबल्स आहेत

a, b, c या संख्या दिल्या आहेत, जेथे a ≠ 0

आलेख एक पॅराबोला आहे:

म्हणजेच, असे दिसून येते की शून्याच्या समान "y" सह द्विघात समीकरण सोडवून, आपल्याला x-अक्षासह पॅराबोलाचे छेदनबिंदू सापडतात. यापैकी दोन मुद्दे असू शकतात (भेदभाव करणारा सकारात्मक आहे), एक (भेदभाव करणारा शून्य आहे) किंवा काहीही नाही (भेदभाव करणारा नकारात्मक आहे). चतुर्भुज कार्याबद्दल अधिक तुम्ही पाहू शकताइन्ना फेल्डमन यांचा लेख.

उदाहरणे विचारात घ्या:

उदाहरण 1: निर्णय घ्या 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

* तुम्ही समीकरणाच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना लगेच 2 ने विभाजित करू शकता, म्हणजेच ते सोपे करा. आकडेमोड सोपे होईल.

उदाहरण २: सोडवा x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

आम्हाला ते x 1 \u003d 11 आणि x 2 \u003d 11 मिळाले

उत्तरात, x = 11 लिहिण्यास परवानगी आहे.

उत्तर: x = 11

उदाहरण ३: सोडवा x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

भेदभाव नकारात्मक आहे, वास्तविक संख्येमध्ये कोणतेही समाधान नाही.

उत्तरः उपाय नाही

भेदभाव नकारात्मक आहे. एक उपाय आहे!

येथे आपण नकारात्मक भेदभाव प्राप्त झाल्यास समीकरण सोडविण्याबद्दल बोलू. तुम्हाला जटिल संख्यांबद्दल काही माहिती आहे का? ते का आणि कोठे उद्भवले आणि त्यांची गणितातील विशिष्ट भूमिका आणि आवश्यकता काय आहे याबद्दल मी येथे तपशीलवार विचार करणार नाही, हा एका मोठ्या स्वतंत्र लेखाचा विषय आहे.

जटिल संख्येची संकल्पना.

थोडा सिद्धांत.

एक जटिल संख्या z ही फॉर्मची संख्या आहे

z = a + bi

जेथे a आणि b या वास्तविक संख्या आहेत, i हे तथाकथित काल्पनिक एकक आहे.

a+bi एकच नंबर आहे, जोडणी नाही.

काल्पनिक एकक वजा एकच्या मुळाशी समान आहे:

आता समीकरण विचारात घ्या:

दोन संयुग्म मुळे मिळवा.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण.

विशेष प्रकरणांचा विचार करा, जेव्हा गुणांक "b" किंवा "c" शून्याच्या समान असतो (किंवा दोन्ही शून्य समान असतात). ते कोणत्याही भेदभावाशिवाय सहजपणे सोडवले जातात.

केस 1. गुणांक b = 0.

समीकरण फॉर्म घेते:

चला परिवर्तन करूया:

उदाहरण:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

केस 2. गुणांक c = 0.

समीकरण फॉर्म घेते:

रूपांतर, घटकीकरण:

*उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे असते जेव्हा कमीत कमी एक घटक शून्य असतो.

उदाहरण:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 किंवा x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

केस 3. गुणांक b = 0 आणि c = 0.

येथे हे स्पष्ट आहे की समीकरणाचे समाधान नेहमी x = 0 असेल.

गुणांकांचे उपयुक्त गुणधर्म आणि नमुने.

असे गुणधर्म आहेत जे मोठ्या गुणांकांसह समीकरणे सोडविण्यास परवानगी देतात.

परंतुx 2 + bx+ c=0 समानता

a + b+ c = 0,नंतर

— जर समीकरणाच्या गुणांकांसाठी परंतुx 2 + bx+ c=0 समानता

a+ सह =b, नंतर

हे गुणधर्म विशिष्ट प्रकारचे समीकरण सोडविण्यास मदत करतात.

उदाहरण १: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

गुणांकांची बेरीज 5001+( – 4995)+(– ६) = ०, तर

उदाहरण २: 2501 x 2 +2507 x+6=0

समानता a+ सह =b, म्हणजे

गुणांकांची नियमितता.

1. जर ax 2 + bx + c \u003d 0 या समीकरणामध्ये "b" हा गुणांक (a 2 +1) असेल आणि गुणांक "c" अंकीयदृष्ट्या गुणांक "a" च्या समान असेल, तर त्याची मुळे समान आहेत.

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

उदाहरण. 6x 2 +37x+6 = 0 या समीकरणाचा विचार करा.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. जर ax 2 - bx + c \u003d 0 या समीकरणामध्ये "b" गुणांक (a 2 +1) असेल आणि गुणांक "c" अंकीयदृष्ट्या गुणांक "a" च्या समान असेल, तर त्याची मुळे आहेत

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

उदाहरण. 15x 2 –226x +15 = 0 या समीकरणाचा विचार करा.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. समीकरणात असल्यास ax 2 + bx - c = 0 गुणांक "b" समान (a 2 – 1), आणि गुणांक “c” संख्यात्मकदृष्ट्या गुणांक "a" च्या समान, मग त्याची मुळे समान आहेत

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

उदाहरण. 17x 2 + 288x - 17 = 0 या समीकरणाचा विचार करा.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. जर समीकरण ax 2 - bx - c \u003d 0 मध्ये, गुणांक "b" समान असेल (a 2 - 1), आणि गुणांक c अंकीयदृष्ट्या गुणांक "a" च्या समान असेल, तर त्याची मुळे समान आहेत

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

उदाहरण. 10x2 - 99x -10 = 0 या समीकरणाचा विचार करा.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

व्हिएटाचे प्रमेय.

व्हिएटाच्या प्रमेयाला प्रसिद्ध फ्रेंच गणितज्ञ फ्रँकोइस व्हिएटा यांचे नाव देण्यात आले आहे. व्हिएटा प्रमेय वापरून, कोणीही अनियंत्रित KU च्या मुळांची बेरीज आणि गुणांक त्याच्या गुणांकांच्या संदर्भात व्यक्त करू शकतो.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

बेरीज मध्ये, संख्या 14 फक्त 5 आणि 9 देते. ही मुळे आहेत. एका विशिष्ट कौशल्याने, प्रस्तुत प्रमेय वापरून, तुम्ही तोंडी अनेक द्विघात समीकरणे लगेच सोडवू शकता.

Vieta च्या प्रमेय, शिवाय. सोयीस्कर कारण नेहमीच्या पद्धतीने (भेदभावाद्वारे) चतुर्भुज समीकरण सोडवल्यानंतर, परिणामी मुळे तपासली जाऊ शकतात. मी हे सर्व वेळ करण्याची शिफारस करतो.

हस्तांतरण पद्धत

या पद्धतीसह, गुणांक "अ" मुक्त शब्दाने गुणाकार केला जातो, जसे की त्यास "हस्तांतरित" केले जाते, म्हणूनच त्याला म्हणतात हस्तांतरण पद्धत.जेव्हा व्हिएटाचे प्रमेय वापरून समीकरणाची मुळे शोधणे सोपे असते आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे जेव्हा भेदभाव अचूक वर्ग असतो तेव्हा ही पद्धत वापरली जाते.

तर परंतु± b+c≠ 0, नंतर हस्तांतरण तंत्र वापरले जाते, उदाहरणार्थ:

2एक्स 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

समीकरण (2) मधील व्हिएटा प्रमेयानुसार, x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1 हे निर्धारित करणे सोपे आहे

समीकरणाची प्राप्त केलेली मुळे 2 ने भागली पाहिजेत (दोन x 2 वरून "फेकले" असल्याने), आम्हाला मिळते

x १ \u003d ५ x २ \u003d ०.५.

तर्क काय? काय होत आहे ते पहा.

समीकरणांचे भेदभाव (1) आणि (2) आहेत:

जर आपण समीकरणांची मुळे पाहिली तर फक्त भिन्न भाजक मिळतील आणि परिणाम x 2 वरील गुणांकावर तंतोतंत अवलंबून असेल:

दुसरी (सुधारित) मुळे 2 पट मोठी आहेत.

म्हणून, आम्ही निकाल 2 ने विभाजित करतो.

*जर आपण एका प्रकारचे तीन रोल केले, तर आपण निकालाला 3 ने भागतो आणि असेच पुढे.

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

चौ. ur-ie आणि परीक्षा.

मी त्याच्या महत्त्वाबद्दल थोडक्यात सांगेन - आपण त्वरीत आणि विचार न करता निर्णय घेण्यास सक्षम असावे, आपल्याला मूळ आणि भेदभावाची सूत्रे मनापासून माहित असणे आवश्यक आहे. USE कार्यांचा भाग असलेली बरीच कार्ये चतुर्भुज समीकरण (भौमितिक समीकरणांसह) सोडवण्यासाठी खाली येतात.

लक्षात घेण्यासारखे काय आहे!

1. समीकरणाचे स्वरूप "निहित" असू शकते. उदाहरणार्थ, खालील प्रविष्टी शक्य आहे:

15+ 9x 2 - 45x = 0 किंवा 15x+42+9x 2 - 45x=0 किंवा 15 -5x+10x 2 = 0.

आपल्याला ते एका मानक स्वरूपात आणण्याची आवश्यकता आहे (जेणेकरुन सोडवताना गोंधळ होऊ नये).

2. लक्षात ठेवा की x हे अज्ञात मूल्य आहे आणि ते इतर कोणत्याही अक्षराने दर्शवले जाऊ शकते - t, q, p, h आणि इतर.

”, म्हणजेच पहिल्या पदवीचे समीकरण. या धड्यात, आपण एक्सप्लोर करू चतुर्भुज समीकरण काय आहेआणि ते कसे सोडवायचे.

चतुर्भुज समीकरण म्हणजे काय

महत्वाचे!

समीकरणाची डिग्री अज्ञात कोणत्या सर्वोच्च पदवीने निर्धारित केली जाते.

जर अज्ञात स्टँडची कमाल डिग्री "2" असेल, तर तुमच्याकडे द्विघात समीकरण आहे.

द्विघात समीकरणांची उदाहरणे

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

महत्वाचे! चतुर्भुज समीकरणाचे सामान्य रूप असे दिसते:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - प्रथम किंवा वरिष्ठ गुणांक;
• "b" - दुसरा गुणांक;
• "c" एक विनामूल्य सदस्य आहे.

"a", "b" आणि "c" शोधण्यासाठी तुम्हाला तुमच्या समीकरणाची तुलना "ax 2 + bx + c \u003d 0" या चतुर्भुज समीकरणाच्या सामान्य स्वरूपाशी करणे आवश्यक आहे.

चतुर्भुज समीकरणांमध्ये "a", "b" आणि "c" हे गुणांक ठरवण्याचा सराव करू.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

द्विघात समीकरणे कशी सोडवायची

रेखीय समीकरणांच्या विपरीत, चतुर्भुज समीकरणे सोडवण्यासाठी विशेष समीकरण वापरले जाते. मुळे शोधण्याचे सूत्र.

लक्षात ठेवा!

चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक आहे:

• द्विघात समीकरण "ax 2 + bx + c \u003d 0" या सामान्य रूपात आणा. म्हणजेच, फक्त "0" उजव्या बाजूला राहिले पाहिजे;
• मुळांसाठी सूत्र वापरा:

चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधण्यासाठी सूत्र कसे लागू करायचे ते शोधण्यासाठी उदाहरण वापरू. चला चतुर्भुज समीकरण सोडवू.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" हे समीकरण आधीच "ax 2 + bx + c = 0" या सामान्य स्वरूपात कमी केले गेले आहे आणि त्याला अतिरिक्त सरलीकरणाची आवश्यकता नाही. ते सोडवण्यासाठी, आम्हाला फक्त अर्ज करण्याची आवश्यकता आहे द्विघात समीकरणाची मुळे शोधण्याचे सूत्र.

या समीकरणासाठी "a", "b" आणि "c" गुणांक परिभाषित करू.

त्याच्या मदतीने कोणतेही चतुर्भुज समीकरण सोडवले जाते.

सूत्र "x 1; 2 \u003d" मध्ये रूट अभिव्यक्ती अनेकदा बदलली जाते
"b 2 − 4ac" अक्षराला "D" आणि discriminant म्हणतात. भेदभावाची संकल्पना "भेदभाव काय आहे" या धड्यात अधिक तपशीलवार चर्चा केली आहे.

द्विघात समीकरणाचे दुसरे उदाहरण विचारात घ्या.

x 2 + 9 + x = 7x

या फॉर्ममध्ये, "a", "b", आणि "c" गुणांक निश्चित करणे कठीण आहे. प्रथम "ax 2 + bx + c \u003d 0" या सामान्य रूपात समीकरण आणू.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

आता तुम्ही मुळांसाठी सूत्र वापरू शकता.

X १;२ =
x १;२ =
x १;२ =
x १;२ =
x=

असे काही वेळा असतात जेव्हा चतुर्भुज समीकरणांमध्ये मुळे नसतात. ही परिस्थिती उद्भवते जेव्हा मूळ अंतर्गत सूत्रामध्ये ऋण संख्या दिसून येते.

या गणित कार्यक्रमासह आपण हे करू शकता द्विघात समीकरण सोडवा.

प्रोग्राम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही तर निराकरण प्रक्रिया देखील दोन प्रकारे प्रदर्शित करतो:
- भेदभाव वापरणे
- व्हिएटा प्रमेय वापरून (शक्य असल्यास).

शिवाय, उत्तर अचूक दाखवले आहे, अंदाजे नाही.
उदाहरणार्थ, समीकरण \(81x^2-16x-1=0\), उत्तर या फॉर्ममध्ये प्रदर्शित केले आहे:

हा कार्यक्रम हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांसाठी चाचण्या आणि परीक्षांच्या तयारीसाठी, युनिफाइड स्टेट परीक्षेपूर्वी ज्ञानाची चाचणी करताना, पालकांना गणित आणि बीजगणितातील अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकतो. किंवा कदाचित तुमच्यासाठी ट्यूटर घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा तुम्हाला तुमचे गणित किंवा बीजगणित गृहपाठ शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करायचे आहे का? या प्रकरणात, आपण तपशीलवार समाधानासह आमचे प्रोग्राम देखील वापरू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे प्रशिक्षण आणि/किंवा तुमच्या लहान भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर सोडवण्याच्या कार्याच्या क्षेत्रातील शिक्षणाचा स्तर वाढवला जाईल.

चौरस बहुपदी प्रविष्ट करण्याच्या नियमांशी आपण परिचित नसल्यास, आम्ही शिफारस करतो की आपण त्यांच्याशी परिचित व्हा.

चौरस बहुपदी प्रविष्ट करण्याचे नियम

कोणतेही लॅटिन अक्षर व्हेरिएबल म्हणून काम करू शकते.
उदाहरणार्थ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) इ.

संख्या पूर्णांक किंवा अपूर्णांक म्हणून प्रविष्ट केल्या जाऊ शकतात.
शिवाय, अपूर्णांक संख्या केवळ दशांश स्वरूपातच नव्हे तर सामान्य अपूर्णांकाच्या स्वरूपात देखील प्रविष्ट केली जाऊ शकते.

दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
दशांश अपूर्णांकांमध्ये, पूर्णांकातील अंशात्मक भाग एकतर बिंदू किंवा स्वल्पविरामाने विभक्त केला जाऊ शकतो.
उदाहरणार्थ, तुम्ही याप्रमाणे दशांश प्रविष्ट करू शकता: 2.5x - 3.5x^2

सामान्य अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
अपूर्णांकाचा अंश, भाजक आणि पूर्णांक भाग म्हणून केवळ पूर्ण संख्याच कार्य करू शकते.

भाजक ऋणात्मक असू शकत नाही.

संख्यात्मक अपूर्णांक प्रविष्ट करताना, भागाकार चिन्हाद्वारे अंश विभक्त केला जातो: /
पूर्णांक भाग अपूर्णांकापासून अँपरसँडद्वारे विभक्त केला जातो: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

अभिव्यक्ती प्रविष्ट करताना आपण कंस वापरू शकता. या प्रकरणात, द्विघात समीकरण सोडवताना, सादर केलेली अभिव्यक्ती प्रथम सरलीकृत केली जाते.
उदाहरणार्थ: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10 आणि 1/2)

असे आढळले की हे कार्य सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड केल्या गेल्या नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
तुम्ही AdBlock सक्षम केले असेल.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

कारण प्रश्न सोडवायचा आहे, तुमची विनंती रांगेत आहे असे बरेच लोक आहेत.
काही सेकंदांनंतर, समाधान खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद...

जर तू समाधानामध्ये त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा काय फील्डमध्ये प्रवेश करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

चतुर्भुज समीकरण आणि त्याची मुळे. अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
फॉर्म आहे
\(ax^2+bx+c=0, \)
जेथे x एक चल आहे, a, b आणि c संख्या आहेत.
पहिल्या समीकरणात a = -1, b = 6 आणि c = 1.4, दुसऱ्यामध्ये a = 8, b = -7 आणि c = 0, तिसऱ्या मध्ये a = 1, b = 0 आणि c = 4/9. अशी समीकरणे म्हणतात चतुर्भुज समीकरणे.

व्याख्या.
चतुर्भुज समीकरण ax 2 +bx+c=0 फॉर्मचे समीकरण म्हणतात, जेथे x हे चल आहे, a, b आणि c काही संख्या आहेत आणि \(a \neq 0 \).

a, b आणि c या संख्या द्विघात समीकरणाचे गुणांक आहेत. संख्या a ला पहिला गुणांक, संख्या b हा दुसरा गुणांक आणि संख्या c ला इंटरसेप्ट म्हणतात.

ax 2 +bx+c=0 या फॉर्मच्या प्रत्येक समीकरणामध्ये, जेथे \(a \neq 0 \), चल x ची सर्वात मोठी घात हा वर्ग आहे. म्हणून नाव: चतुर्भुज समीकरण.

लक्षात घ्या की चतुर्भुज समीकरणाला द्वितीय अंशाचे समीकरण देखील म्हटले जाते, कारण त्याची डावी बाजू द्वितीय अंशाची बहुपदी आहे.

एक द्विघात समीकरण ज्यामध्ये x 2 वर गुणांक 1 असतो त्याला म्हणतात कमी चतुर्भुज समीकरण. उदाहरणार्थ, दिलेली द्विघाती समीकरणे ही समीकरणे आहेत
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

जर द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 मध्ये b किंवा c गुणांकांपैकी किमान एक शून्य असेल तर अशा समीकरणाला म्हणतात. अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण. तर, समीकरण -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ही अपूर्ण द्विघात समीकरणे आहेत. त्यापैकी पहिल्यामध्ये b=0, दुसऱ्यामध्ये c=0, तिसऱ्या b=0 आणि c=0 मध्ये.

अपूर्ण चतुर्भुज समीकरणे तीन प्रकारची असतात:
1) ax 2 +c=0, जेथे \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, जेथे \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

या प्रत्येक प्रकारच्या समीकरणांचे समाधान विचारात घ्या.

\(c \neq 0 \) साठी ax 2 +c=0 फॉर्मचे अपूर्ण द्विघात समीकरण सोडवण्यासाठी, त्याची मुक्त संज्ञा उजवीकडे हस्तांतरित केली जाते आणि समीकरणाचे दोन्ही भाग a ने विभागले जातात:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

पासून \(c \neq 0 \), नंतर \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

जर \(-\frac(c)(a)>0 \), तर समीकरणाला दोन मुळे आहेत.

जर \(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) साठी ax 2 +bx=0 फॉर्मचे अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण सोडवायचे असेल तर त्याची डावी बाजू फॅक्टराइज केली आणि समीकरण मिळवा
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (अॅरे)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

म्हणून, \(b \neq 0 \) साठी ax 2 +bx=0 फॉर्मच्या अपूर्ण द्विघात समीकरणाला नेहमी दोन मुळे असतात.

ax 2 \u003d 0 फॉर्मचे अपूर्ण चतुर्भुज समीकरण हे x 2 \u003d 0 या समीकरणाच्या समतुल्य आहे आणि म्हणून त्याचे मूळ 0 आहे.

द्विघात समीकरणाच्या मुळांचे सूत्र

आता आपण द्विघात समीकरणे कशी सोडवली जातात याचा विचार करू या ज्यामध्ये अज्ञातांचे गुणांक आणि मुक्त संज्ञा दोन्ही शून्य आहेत.

आम्ही चतुर्भुज समीकरण सामान्य स्वरूपात सोडवतो आणि परिणामी आम्हाला मुळांचे सूत्र मिळते. मग हे सूत्र कोणतेही चतुर्भुज समीकरण सोडवण्यासाठी लागू केले जाऊ शकते.

ax 2 +bx+c=0 हे द्विघात समीकरण सोडवा

त्याचे दोन्ही भाग a ने विभाजित केल्याने, आपल्याला समान कमी केलेले चतुर्भुज समीकरण मिळते
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

द्विपदाचा वर्ग हायलाइट करून आम्ही हे समीकरण बदलतो:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

मूळ अभिव्यक्ती म्हणतात द्विघात समीकरणाचा भेदभाव ax 2 +bx+c=0 (लॅटिनमध्ये "भेदभाव" - भेदक). हे D अक्षराने दर्शविले जाते, म्हणजे.
\(D = b^2-4ac\)

आता, भेदभावाच्या नोटेशनचा वापर करून, आम्ही चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांसाठी सूत्र पुन्हा लिहू:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जेथे \(D= b^2-4ac \)

हे उघड आहे की:
1) जर D>0 असेल, तर द्विघात समीकरणाला दोन मुळे आहेत.
2) जर D=0 असेल, तर द्विघात समीकरणाचे एक मूळ \(x=-\frac(b)(2a)\) आहे.
3) जर D अशा प्रकारे, भेदभावाच्या मूल्यावर अवलंबून, द्विघात समीकरणाला दोन मुळे असू शकतात (D > 0 साठी), एक मूळ (D = 0 साठी) किंवा कोणतीही मुळे नाही (D साठी हे सूत्र वापरून द्विघात समीकरण सोडवताना , खालील प्रकारे करण्याचा सल्ला दिला जातो:
1) भेदभावाची गणना करा आणि त्याची शून्याशी तुलना करा;
2) जर भेदक सकारात्मक किंवा शून्य समान असेल तर मूळ सूत्र वापरा, जर भेदभाव नकारात्मक असेल तर मुळे नाहीत असे लिहा.

व्हिएटाचे प्रमेय

दिलेल्या चतुर्भुज समीकरण ax 2 -7x+10=0 मध्ये 2 आणि 5 मुळे आहेत. मुळांची बेरीज 7 आहे आणि गुणाकार 10 आहे. आपण पाहतो की मुळांची बेरीज दुसऱ्या गुणांकाच्या बरोबरीची आहे. विरुद्ध चिन्ह, आणि मुळांचे उत्पादन फ्री टर्मच्या बरोबरीचे आहे. मुळे असलेल्या कोणत्याही कमी केलेल्या द्विघात समीकरणामध्ये हा गुणधर्म असतो.

दिलेल्या चतुर्भुज समीकरणाच्या मुळांची बेरीज दुसर्‍या गुणांकाच्या बरोबरीची असते, विरुद्ध चिन्हासह घेतले जाते आणि मुळांचा गुणाकार मुक्त पदाच्या समान असतो.

त्या. व्हिएटाचे प्रमेय असे सांगते की कमी केलेल्या द्विघात समीकरणाच्या x 1 आणि x 2 च्या मुळांमध्ये गुणधर्म आहेत:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(अॅरे) \right. \)