एस्कर फॉल्स बद्दल काय विचित्र आहे. एस्चर - डच ग्राफिक कलाकार

28 फेब्रुवारी 2014 रोजी मॉरिट्झ एशरची मॅथमॅटिकल आर्ट

मूळ घेतले imit_omsu मॅरिझेटिकल आर्ट ऑफ मॉरिट्झ एस्कर मध्ये

“गणितज्ञांनी दुसर्या जगाकडे जाण्याचा दरवाजा उघडला, पण त्यांना स्वतःच या जगात प्रवेश करण्याची हिंमत झाली नाही. त्यामागील बागेपेक्षा ज्या दाराने दरवाजा उभा आहे त्या मार्गावर त्यांना अधिक रस आहे. "
(एम. सी. एस्चर)

लिथोग्राफ "हँड विथ ए मिरर गोला", स्वत: ची पोर्ट्रेट.

मॉरिट्स कर्नेलियस एशर हा एक डच ग्राफिक कलाकार आहे जो प्रत्येक गणिताला जाणतो.
एस्चरच्या कृत्यांचे प्लॉट्स तार्किक आणि प्लास्टिकच्या विरोधाभासांच्या चतुर समजानुसार दर्शविले जातात.
तो सर्व प्रथम, ज्या कार्यांमध्ये त्याने विविध गणितीय संकल्पना वापरल्या त्याबद्दल परिचित आहे - मर्यादा आणि मोबियस पट्टीपासून लोबाचेव्हस्कीच्या भूमितीपर्यंत.

वुडकट "रेड अँट्स".

मॉरिट्स एशर यांनी विशेष गणिताचे शिक्षण घेतले नाही. परंतु त्याच्या सर्जनशील कारकिर्दीच्या अगदी सुरुवातीसच त्याला जागेच्या गुणधर्मांमध्ये रस होता, त्यातील अनपेक्षित बाजूंचा अभ्यास केला.

"टायस ऑफ युनिटी".

एशर बर्\u200dयाचदा 2-डी आणि 3-डी जगाच्या संयोजनांमध्ये झेलत.


लिथोग्राफ "रेखाचित्र हात".

लिथोग्राफ "सरपटणारे प्राणी".

टिलिंग्ज.

टाइलिंग म्हणजे विमानाचे समान आकृत्यामध्ये विभागणे. या प्रकारच्या विभाजनांचा अभ्यास करण्यासाठी, सममिती गटाची संकल्पना परंपरेने वापरली जाते. चला अशा विमानाची कल्पना करूया ज्यावर काही टाइलिंग रेषेत आहे. विमान एका अनियंत्रित अक्षांभोवती फिरता येऊ शकते आणि हलविले जाऊ शकते. ऑफसेटची व्याख्या ऑफसेट वेक्टरद्वारे केली जाते, आणि फिरविणे केंद्र आणि कोनातून परिभाषित केले जाते. अशा परिवर्तनांना हालचाली म्हणतात. ते म्हणतात की ही किंवा ती हालचाल समरूप आहे, जर त्या नंतर टाइलिंग स्वतःमध्ये गेली.

उदाहरणार्थ, समान चौरसांमध्ये विभागलेले विमान - सर्व दिशेने असलेल्या सेलमधील नोटबुकची अंतहीन पत्रक विचारात घ्या. जर असे विमान कोणत्याही चौरसाच्या मध्यभागी 90 अंश (180, 270 किंवा 360 अंश) फिरवले तर टाइलिंग स्वतःमध्ये रूपांतरित होईल. जेव्हा चौरसांच्या एका बाजूच्या समांतर वेक्टरने हलवले तेव्हा ते स्वतःच रूपांतरित होते. वेक्टरची लांबी चौरसाच्या बाजूला एकाधिक असणे आवश्यक आहे.

१ 24 २24 मध्ये जॉर्ज पोलियाने (यूएसए जॉर्गी पोलिया येथे जाण्यापूर्वी) झुंबडांच्या सममिती गटांवर एक पेपर प्रकाशित केला, ज्यामध्ये त्याने एक उल्लेखनीय सत्य सिद्ध केले (जरी रशियन गणितज्ञ इव्हग्राफ फेडोरोव्ह यांनी १ 18 in १ मध्ये आधीच शोधून काढले होते आणि नंतर सुरक्षितपणे विसरले गेले होते): तेथे फक्त 17 गट सममिती आहेत ज्यात कमीतकमी दोन भिन्न दिशानिर्देशांमध्ये बदल समाविष्ट आहेत. १ In .36 मध्ये, एशरने, मुरीश दागिन्यांमध्ये (भौमितिक दृष्टीकोनातून, फरसबंदीचा एक प्रकार) रस घेतलेल्या पॉलियाचे कार्य वाचले. त्याला स्वतःच्या प्रवेशामुळे, कामामागील सर्व गणित समजू शकले नाही तरीही, एस्चरला त्याचे भौमितिक सार समजण्यास सक्षम होते. याचा परिणाम म्हणून, एस्चरने सर्व 17 गटांवर आधारित 40 पेक्षा जास्त कामे तयार केली.

मोज़ेक

वुडकट "डे अँड नाईट".

"विमानाचे नियमित फरसबात IV".

वुडकट "स्काय अँड वॉटर".

टिलिंग्ज. गट काहीतरी सोपी आहे, जनरेटर: सरकतेची सममिती आणि समांतर हस्तांतरण. पण फरसबंदी फरशा अप्रतिम आहेत. आणि मोबियस पट्टीच्या संयोजनात तेच आहे.


वुडकट "हॉर्समेन".

सपाट आणि त्रिमितीय जगाच्या थीमवरील आणखी एक भिन्नता आणि झुकाव.


लिथोग्राफ "जादूई मिरर".

एसर भौतिकशास्त्रज्ञ रॉजर पेनरोझशी मैत्री करतो. भौतिकशास्त्रापासून मुक्त झालेल्या काळात पेनरोझ गणिताचे कोडे सोडविण्यात गुंतले होते. एके दिवशी तो ही कल्पना घेऊन आला: आपण एकापेक्षा जास्त आकृती असलेल्या टाइलिंगची कल्पना केल्यास, सममिती गट पोलियाने वर्णन केलेल्या वर्णनापेक्षा भिन्न असेल का? हे निष्पन्न झाले की या प्रश्नाचे उत्तर होय आहे - पेनोरोझ मोज़ेकचा जन्म अशाप्रकारे झाला. १ 1980 s० च्या दशकात हे उघड झाले की ते क्वासिक्रायस्टल्सशी संबंधित आहे (रसायनशास्त्र २०११ मधील नोबेल पुरस्कार).

तथापि, एशरला या मोझीकचा त्याच्या कामात वेळ नव्हता (किंवा कदाचित नको असेल). (परंतु पेनरोसने "पेनरोझ चिकन" चे खरोखर आश्चर्यकारक मोज़ेक आहे, परंतु एस्चरने त्यांना आकर्षित केले नाही.)

लोबाचेव्हस्की विमान.

हेबर्गच्या पुनर्रचनातील युक्लिडच्या "तत्त्वे" मधील अक्षरेच्या यादीतील पाचवा खालील विधान आहे: जर दोन सरळ रेषांना छेदणारी सरळ रेषा दोन सरळ रेषांपेक्षा अंतर्गत एकतर्फी कोन बनविली तर अनिश्चित काळासाठी चालू ठेवली तर हे दोन सरळ कोन दोन सरळ रेषांपेक्षा कमी कोनात आहेत त्या बाजूंनी रेषा भेटतील ... आधुनिक साहित्यात, समतुल्य आणि अधिक मोहक फॉर्म्युलेशनला प्राधान्य दिले जाते: एका बिंदूद्वारे जे एका सरळ रेषेत उभा राहत नाही, तेथे दिलेली एक समांतर सरळ रेषा असते आणि शिवाय, फक्त एक. परंतु या सूत्रामध्येसुद्धा, युक्लिडच्या उर्वरित पोस्ट्युलेट्सपेक्षा वेगळा भाग हा अवजड आणि गोंधळात टाकणारा दिसतो - म्हणूनच, दोन हजार वर्षांपासून, शास्त्रज्ञ उर्वरित कल्पांमधून हे विधान काढण्याचा प्रयत्न करीत आहेत. म्हणजेच, प्रत्यक्षात एक प्रमेय एक प्रमेय मध्ये रुपांतरित करते.

१ thव्या शतकात, गणितज्ञ निकोलाई लोबाचेव्हस्की यांनी विरोधाभास करुन हे करण्याचा प्रयत्न केला: त्याने असे मानले की पद्दत चुकीची आहे आणि त्याने विरोधाभास शोधण्याचा प्रयत्न केला. परंतु तो सापडला नाही - आणि परिणामी लोबाचेव्हस्कीने नवीन भूमिती तयार केली. त्यामध्ये, एका सरळ रेषेत न पडणा a्या बिंदूद्वारे, वेगवेगळ्या सरळ रेषांचा एक असीम सेट असतो जो दिलेल्या एकाला काटत नाही. हा नवीन भूमिती शोधणारा लोबाचेव्स्की पहिला नव्हता. परंतु तो पहिला होता ज्याने हे जाहीरपणे जाहीर करण्याचे धाडस केले - ज्यासाठी अर्थातच त्याची थट्टा केली गेली.

पाचव्या पोस्टला अपवाद वगळता, इतर युक्लिडियन अक्षराची तृप्ती करणारे सामान्य युक्लिडियन विमानातील वस्तूंच्या प्रणाली - त्याच्या भूमितीच्या मॉडेल्सच्या उदय धन्यवाद, इतर गोष्टींबरोबरच, लोबॅचेव्हस्कीच्या कार्ये मरणोत्तर ओळख झाली. यापैकी एक मॉडेल गणितज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ हेन्री पोंकारे यांनी 1882 मध्ये प्रस्तावित केले होते - कार्यात्मक आणि जटिल विश्लेषणाच्या आवश्यकतांसाठी.

तेथे एक मंडळ असू द्या, ज्याची सीमा ज्याला आपण परिपूर्ण म्हणतो. आमच्या मॉडेलमधील "गुण" मंडळाचे अंतर्गत बिंदू असतील. "सरळ रेषा" ची भूमिका मंडळे किंवा परिपूर्ण लंबगत सरळ रेषांद्वारे केली जाते (अधिक तंतोतंत, वर्तुळात पडलेल्या त्यांचे कमान). अशा "सरळ रेषांसाठी" पाचव्या पोस्ट्युलेटची पूर्तता केली गेली नाही हे व्यावहारिकपणे स्पष्ट आहे. उर्वरित पोस्ट्युलेट्स या वस्तूंसाठी पूर्ण केल्या आहेत ही वस्तुस्थिती थोडी कमी स्पष्ट आहे, तथापि, तसे आहे.

हे दिसून येते की पॉइंकारे मॉडेलमध्ये बिंदूंमधील अंतर निश्चित करणे शक्य आहे. लांबीची गणना करण्यासाठी रिमॅनियन मेट्रिकची संकल्पना आवश्यक आहे. त्याचे गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहेतः "सरळ रेषा" च्या बिंदूंची जोडी परिपूर्ण करण्यासाठी जितकी जवळ असेल तितकी जास्त अंतर. तसेच, "सरळ रेषांमध्ये" कोन परिभाषित केले जातात - हे "सरळ रेषां" च्या छेदनबिंदूच्या स्पर्शिकेमधील कोन आहेत.

आता टिलिंग्जकडे परत जाऊया. जर आपण आधीपासूनच पॉइंटकार मॉडेलमध्ये समान नियमित बहुभुज (म्हणजे सर्व समान बाजू आणि कोनात बहुभुज) विभाजित केले तर ते कसे दिसेल? उदाहरणार्थ, बहुभुज परिपूर्णच्या जवळ जितके लहान असेल तितके "लिमिट-सर्कल" च्या कामांच्या मालिकेत ही कल्पना एशरला प्राप्त झाली. तथापि, डच नागरिकांनी योग्य विभाजने वापरली नाहीत, परंतु त्यांच्या अधिक सममितीय आवृत्त्या वापरल्या. गणितातील शुद्धतेपेक्षा सौंदर्य अधिक महत्वाचे होते.

वुडकट "द लिमिट - सर्कल II".

वुडकट "मर्यादा - मंडळ तिसरा".

वुडकट "स्वर्ग आणि नरक".

अशक्य आकडेवारी.

अशक्य व्यक्तींना विशेष ऑप्टिकल भ्रम म्हणण्याची प्रथा आहे - ते एखाद्या विमानात काही त्रिमितीय वस्तूंची प्रतिमा असल्याचे दिसते. परंतु जवळच्या तपासणीनंतर, त्यांच्या रचनामध्ये भूमितीय विरोधाभास प्रकट होतात. अशक्य व्यक्ती केवळ गणितज्ञांसाठीच मनोरंजक नाहीत - ते मानसशास्त्रज्ञ आणि डिझाइन तज्ञांमध्ये गुंतलेले आहेत.

अशक्य व्यक्तींचे आजोबा म्हणजे तथाकथित नेकर क्यूब, विमानातील घनची एक परिचित प्रतिमा. हे स्वीडिश क्रिस्टलोग्राफर लुई नेकर यांनी 1832 मध्ये प्रस्तावित केले होते. या प्रतिमेचे वैशिष्ट्य म्हणजे याचा अर्थ वेगवेगळ्या मार्गांनी केला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, लाल वर्तुळाद्वारे या आकृतीत सूचित केलेला कोना एकतर घनच्या सर्व कोप from्यातून आणि अगदी उलट दिशेने सर्वात जवळचा असू शकतो.

यासारख्या पहिल्या ख true्या अशक्य व्यक्तींना 1930 च्या दशकात आणखी एक स्वीडिश शास्त्रज्ञ ओस्कर रदरवर्ड यांनी तयार केले होते. विशेषत: क्यूबसमधून त्रिकोण एकत्रित करण्याची कल्पना त्याच्याकडे आली, जी निसर्गात अस्तित्त्वात नाही. रुथरवर्डची पर्वा न करता, उपरोक्त रॉजर पेनरोझ यांनी ब्रिटिश जर्नल ऑफ सायकोलॉजीमध्ये "इम्पॉसिबल ऑब्जेक्ट्स: एक स्पेशल टाईप ऑप्टिकल इल्युजन" (1956) नावाचे एक पुस्तक प्रकाशित केले. त्यात, पेनरोसेसने अशा दोन वस्तू प्रस्तावित केल्या - पेनरोस त्रिकोण (रुथरवर्डच्या क्यूबसच्या बांधकामाची एक ठोस आवृत्ती) आणि पेनरोस जिना. त्यांच्या कार्याची प्रेरणा म्हणून त्यांनी मॉरिट्स एस्चरला नाव दिले.

दोन्ही वस्तू - त्रिकोण आणि जिना - नंतर एस्करच्या चित्रांमध्ये दिसू लागले.

लिथोग्राफ "सापेक्षता".

लिथोग्राफ "धबधबा".

लिथोग्राफ "बेलवेदेर".

लिथोग्राफ "आरोह आणि वंश".

गणिताच्या अर्थासह इतर कामेः

तारा बहुभुज:

वुडकट "तारे".

लिथोग्राफ "जागेचे क्यूबिक विभाग".

लिथोग्राफ "तरंगांनी झाकलेली पृष्ठभाग".

लिथोग्राफ "तीन वर्ल्ड्स"

आभासी कलाकृतीला विशिष्ट आकर्षण असते. वास्तविकतेपेक्षा ती ललित कलेचा विजय आहे. भ्रम इतके मनोरंजक का आहेत? बरेच कलाकार त्यांचा कला मध्ये त्यांचा उपयोग का करतात? कदाचित कारण ते प्रत्यक्षात काय काढले आहे ते दर्शवत नाहीत. प्रत्येकजण लिथोग्राफ चिन्हांकित करतो मॉरिट्स सी. एशर यांचे "धबधबा"... येथे चाक फिरल्यानंतर ते पुढे वाहते आणि सुरवातीच्या बिंदूवर परत जाते. जर अशी रचना बांधली जाऊ शकत असेल तर तिथे कायमस्वरूपी मोशन मशीन असेल! परंतु चित्रकलेची बारकाईने तपासणी केल्यावर आपण जाणतो की कलाकार आपल्याला फसवत आहे आणि ही रचना बनवण्याचा कोणताही प्रयत्न अपयशी ठरला आहे.

आयसोमेट्रिक रेखाचित्र

त्रिमितीय वास्तविकतेचा भ्रम व्यक्त करण्यासाठी, द्विमितीय रेखांकने (सपाट पृष्ठभागावरील रेखांकने) वापरली जातात. सहसा, फसवणूकीमध्ये ठोस आकडेवारीचे अनुमान दर्शविण्यामध्ये असते, ज्याला एखाद्या व्यक्तीने आपल्या वैयक्तिक अनुभवाच्या अनुषंगाने त्रि-आयामी वस्तू दर्शविण्याचा प्रयत्न केला.

शास्त्रीय दृष्टीकोन वास्तविकतेचे अनुकरण करण्यासाठी "छायाचित्रण" प्रतिमा प्रभावी आहे. हे दृश्य अनेक कारणांमुळे अपूर्ण आहे. हे दृश्य वेगवेगळ्या दृष्टिकोनातून पाहण्यास, त्याच्या जवळ येण्यास किंवा प्रत्येक बाजूने ऑब्जेक्टकडे पाहण्यास प्रतिबंध करते. हे वास्तविक वस्तूच्या खोलीचा प्रभाव देत नाही. खोलीचा प्रभाव या वस्तुस्थितीवरुन उद्भवतो की आमचे डोळे दोन वस्तूंच्या दृष्टिकोनातून पाहतात आणि आपला मेंदू त्यांना एका प्रतिमेमध्ये जोडतो. सपाट रेखांकन केवळ एका विशिष्ट दृश्यास्पद दृश्याचे प्रतिनिधित्व करते. अशा रेखांकनाचे उदाहरण म्हणजे पारंपारिक मोनोक्युलर कॅमेर्\u200dयासह घेतलेले छायाचित्र.

हा वर्ग भ्रम वापरताना, रेखांकन पहिल्या दृष्टीक्षेपात सामान्य घन शरीराचा दृष्टीकोन असल्याचे दिसून येते. परंतु जवळून तपासणी केल्यावर अशा वस्तूचे अंतर्गत विरोधाभास दिसून येतात. आणि हे स्पष्ट होते की अशा वस्तू वास्तवात अस्तित्त्वात नसतात.

पेनरोस भ्रम

एशर फॉल्स पेनरोझच्या भ्रमांवर आधारित आहेत, ज्यास कधीकधी अशक्य त्रिकोणांचा भ्रम म्हणतात. हा भ्रम त्याच्या सोप्या स्वरूपात येथे स्पष्ट केला आहे.

असे दिसते आहे की आपल्यास त्रिकोणाने जोडलेले तीन चौरस बार आहेत. आपण या आकाराचा कोपरा कव्हर केल्यास आपल्याला दिसेल की सर्व तीन बार योग्यरित्या कनेक्ट आहेत. परंतु जेव्हा आपण बंद कोप from्यातून आपला हात काढता तेव्हा फसवणूक स्पष्ट होते. या कोप in्यात सामील झालेल्या त्या दोन बार एकमेकांच्या अगदी जवळ जाऊ नयेत.

पेनरोझचा भ्रम "खोटा दृष्टीकोन" वापरतो. आयसोमेट्रिक रेंडरिंगमध्ये चुकीचे दृष्टीकोन देखील वापरले जाते. कधीकधी या दृष्टीकोनास चिनी असे म्हणतात (अनुवादकाची टीप: रॉयटर्सवार्ड या परिप्रेक्ष्याला जपानी म्हणतात). पेंटिंगची ही पद्धत बर्\u200dयाचदा चिनी व्हिज्युअल आर्टमध्ये वापरली जात आहे. रेखांकनाच्या या पद्धतीसह, रेखांकनाची खोली संदिग्ध आहे.

आयसोमेट्रिक रेखांकनात, सर्व समांतर रेषा समांतर दिसतात, जरी त्या निरीक्षकांच्या बाबतीत वाकल्या गेल्या तरी. दर्शकापासून दूर वाकलेला एखादा ऑब्जेक्ट अगदी तसाच दिसत आहे जणू तो त्याच कोनात दर्शकांकडे वाकलेला आहे. अर्ध्या दिशेने वाकलेला आयत (माच आकृती) स्पष्टपणे ही अस्पष्टता दर्शविते. ही आकृती तुम्हाला एखाद्या ओपन बुकसारखे वाटेल, जणू एखाद्या पुस्तकाची पाने तुम्ही पहात आहात किंवा एखादे पुस्तक बंधनकारक म्हणून आपल्यासाठी उघडले आहे असे दिसते आणि आपण पुस्तकाचे मुखपृष्ठ पहात आहात. ही आकृती दोन समांतर संरेखित केलेली असू शकते परंतु बहुतेक लोकांना ही आकृती समांतरभुज म्हणून दिसेल.

थिअरीची आकृती समान द्वैता दर्शवते

श्रोएडर जिना भ्रम विचारात घ्या - आयसोमेट्रिक खोलीतील अस्पष्टतेचे "शुद्ध" उदाहरण. ही आकृती उजवीकडून डावीकडे चढाई केलेली पायair्या किंवा पायर्\u200dयाच्या पायर्\u200dयाच्या खाली पाहिले जाऊ शकते. आकृतीच्या ओळी पुन्हा स्थापित करण्याचा कोणताही प्रयत्न केल्यास भ्रम नष्ट होईल.

हे साधे रेखाचित्र बाहेरून आणि आतून दर्शविलेले चौकोनी रेषांसारखे आहे. दुसरीकडे, हे रेखांकन वर आणि खाली दर्शविलेल्या चौकोनी रेषांसारखे दिसते. परंतु हे रेखाचित्र केवळ पॅरलॅलोग्रामचा संच म्हणून समजणे फार कठीण आहे.

चला काळ्या रंगाने काही भागात रंगवू. काळा समांतर ब्लॉग असे दिसू शकतात जसे की आपण त्या खाली किंवा वरून पहात आहोत. जर आपण हे करू शकता तर हे चित्र वेगळ्या प्रकारे पहाण्यासाठी प्रयत्न करा जसे की आपण खालीून एका समांतरग्रहाकडे पहात आहोत आणि दुसर्\u200dया वरुन ते बदलून. बहुतेक लोकांना हे चित्र अशा प्रकारे दिसू शकत नाही. अशाप्रकारे आपण चित्र का जाणू शकत नाही? साध्या भ्रमांपैकी हे मला सर्वात कठीण वाटले.

उजवीकडील स्पष्टीकरण आयसोमेट्रिक शैलीमध्ये अशक्य त्रिकोणाच्या भ्रमांचा वापर करते. हे ऑटोचॅड (टीएम) मसुदा तयार करणारे सॉफ्टवेअर "हॅच" नमुन्यांपैकी एक आहे. या नमुन्यास "Escher" म्हणतात.

वायर क्यूब स्ट्रक्चरचे आयसोमेट्रिक ड्रॉईंग आयसोमेट्रिक अस्पष्टता दर्शवते. या आकृतीला कधीकधी नेकर क्यूब म्हटले जाते. जर काळी ठिपका घन च्या एका बाजूला मध्यभागी असेल तर तो समोर किंवा मागे आहे का? आपण कल्पना देखील करू शकता की तो बिंदू एका बाजूच्या उजव्या कोप bottom्याच्या खाली आहे, परंतु तो बाजू समोर आहे की नाही हे आपण अद्याप सांगू शकत नाही. आपल्याकडे बिंदू घन च्या पृष्ठभागावर किंवा त्याच्या आत आहे असे समजायला कोणतेही कारण असू शकत नाही; ते अगदी घनच्या समोरील बाजूने आणि त्याच्या मागे असू शकते कारण आपल्याला त्या बिंदूच्या वास्तविक परिमाणांबद्दल काहीही माहिती नाही.

आपण लाकडी फळी म्हणून घन कडा विचार केल्यास, आपण अनपेक्षित परिणाम मिळवू शकता. येथे आम्ही क्षैतिज पट्ट्यांचे अस्पष्ट कनेक्शन वापरले, जे खाली चर्चा होईल. आकृतीच्या या आवृत्तीस अशक्य बॉक्स म्हटले जाते. अशाच अनेक भ्रमांचा आधार आहे.

एक अशक्य बॉक्स लाकडापासून बनविला जाऊ शकत नाही. आणि तरीही आम्ही येथे लाकडापासून बनवलेल्या अशक्य बॉक्सचा फोटो पाहतो. हे खोटे आहे. एक ड्रॉवर बार जो इतरांच्या मागे जात आहे असे दिसते की प्रत्यक्षात दोन वेगळ्या ब्रेक बार आहेत, एक जवळ आणि दुसरा क्रॉसिंग बारपेक्षा अधिक. अशी आकृती केवळ एका दृष्टिकोनातून दृश्यमान आहे. जर आपण एखाद्या वास्तविक संरचनेकडे पाहत असाल तर आपल्या स्टिरिस्कोपिक व्हिजनच्या मदतीने आपल्याला एक युक्ती दिसेल, ज्यामुळे आकृती अशक्य होते. जर आपण आपला दृष्टिकोन बदलला तर ही युक्ती आणखीन लक्षात येण्यासारखी आहे. म्हणूनच प्रदर्शनांमध्ये आणि संग्रहालयेांमध्ये अशक्य व्यक्तींचे प्रदर्शन करताना आपल्याला एका डोळ्यासह लहान छिद्रातून त्याकडे पाहण्यास भाग पाडले जाते.

संदिग्ध कनेक्शन

हा भ्रम कशावर आधारित आहे? माचच्या पुस्तकात फरक आहे काय?

खरं तर, हे माचच्या भ्रम आणि ओळींच्या संदिग्ध जोडणीचे संयोजन आहे. दोन पुस्तके आकृतीची एक सामान्य मध्यम पृष्ठभाग सामायिक करतात. यामुळे पुस्तकाचे आवरण अस्पष्ट बनते.

स्थितीचे भ्रम

पोगेन्डोर्फ भ्रम, किंवा "क्रॉस आयत" आपल्यास दिशाभूल करते की ए किंवा बी हे कोणत्या रेषेचे सुरू आहे सी लाइन चालू ठेवणे. एक स्पष्ट उत्तर केवळ एका शासकास रेषा सीशी जोडल्यास आणि त्यातील कोणत्या रेषेशी जुळते हे शोधून काढले जाऊ शकते. .

फॉर्म भ्रम

फॉर्म भ्रमांचे स्थान भितीशी जवळचे संबंध आहेत, परंतु येथे रेखांकनाची अगदी रचना आपल्याला रेखांकनाच्या भौमितीय स्वरूपाबद्दलचा आपला निर्णय बदलण्यास भाग पाडते. खाली दिलेल्या उदाहरणात, लहान तिरकी रेषांनी दोन आडव्या रेषा वक्र केल्याचा भ्रम मिळतो. खरं तर, या सरळ समांतर रेषा आहेत.

हे भ्रम छायांकित पृष्ठभागांसह दृश्यमान माहितीवर प्रक्रिया करण्यासाठी आपल्या मेंदूच्या क्षमतेचा वापर करतात. एक हॅच पॅटर्न इतका प्रभावशाली असू शकतो की नमुनाचे इतर घटक विकृत दिसतात.

उत्कृष्ट नमुना म्हणजे एका घन मंडळाचा संच जो त्यांच्यावर चौरस सुपरइम्पोज केलेला असतो. जरी चौकोनी बाजू सरळ सरळ असल्या तरी त्या वक्र असल्याचे दिसत आहेत. चौकाच्या बाजूस सरळ बाजू आहे की नाही हे एखाद्या राजाला त्यांच्याशी जोडले जाऊ शकते. बहुतेक फॉर्म भ्रम या परिणामावर आधारित आहेत.

खालील उदाहरण त्याच तत्त्वावर कार्य करते. जरी दोन्ही मंडळे एकसारख्या आकाराचे आहेत, परंतु त्यापैकी एक इतरांपेक्षा लहान दिसत आहे. हा अनेक आकारांच्या भ्रमांपैकी एक आहे.

या परिणामाचे स्पष्टीकरण छायाचित्र आणि चित्रांच्या दृष्टीकोनातून आमच्या दृश्यामध्ये सापडते. वास्तविक जगात, आपण पाहत आहोत की अंतर वाढत असताना दोन समांतर रेषा एकत्र होतात, म्हणून आपल्याला लक्षात येते की रेषांना स्पर्श करणारे मंडळ आपल्यापासून खूप दूर आहे आणि म्हणूनच ते मोठे असले पाहिजे.

जर आपण काळ्यासह मंडळे रंगविली तर मंडळे आणि रेषांनी बांधलेले क्षेत्र भ्रम कमकुवत करतील.

टोपीची रुंदी आणि टोपीची उंची समान आहे, जरी ती पहिल्या दृष्टीक्षेपात दिसत नाही. प्रतिमा 90 अंश फिरवण्याचा प्रयत्न करा. त्याचा प्रभाव जपला गेला आहे का? हे चित्रातील संबंधित परिमाणांचा एक भ्रम आहे.

अस्पष्ट दीर्घवृत्त

वाकलेल्या वर्तुळांवर लंबवर्तुळाद्वारे विमानात प्रक्षेपण केले जाते आणि या लंबवर्तुळांवर खोलवर संदिग्धता असते. जर आकार (वर) वाकलेला वर्तुळ असेल तर वरचा कंस आपल्या जवळ आहे किंवा तळाच्या कमानापेक्षा आपल्यापासून पुढे आहे की नाही हे जाणून घेण्याचा कोणताही मार्ग नाही.

अस्पष्ट रिंगच्या भ्रमात ओळींचे संदिग्ध कनेक्शन हे एक आवश्यक घटक आहे:

अ\u200dॅम्बिग्युज रिंग, © डोनाल्ड ई. सिमेंक, १ 1996 1996..

आपण चित्राचे अर्धे भाग कव्हर केल्यास, उर्वरित नियमित रिंगच्या अर्ध्यासारखे दिसतील.

जेव्हा मी हा आकार घेऊन आलो, तेव्हा मला वाटले की कदाचित हा मूळ भ्रम असेल. परंतु नंतर, मी फायबर कॉर्पोरेशन, कॅनस्टारच्या लोगोसह एक जाहिरात पाहिली. कॅन्स्टारचे चिन्ह माझे असले तरी त्यांचे समान भ्रामक वर्गामध्ये वर्गीकरण केले जाऊ शकते. अशाप्रकारे, मी आणि कॉर्पोरेशन स्वतंत्रपणे अशक्य चाकाचे आकृती विकसित केले. मला असे वाटते की जर आपण सखोल गेलात तर अशक्य चाकाची पूर्वीची उदाहरणे आपणास सापडतील.

अंतहीन जिना

पेनरोसचा आणखी एक क्लासिक भ्रम म्हणजे अशक्य पायर्या. तिला बर्\u200dयाचदा आयसोमेट्रिक ड्रॉइंग (अगदी पेनरोझच्या कार्यातही) चित्रित केले जाते. आमची असीम पायर्यांची आवृत्ती पेनरोस जिना आवृत्ती (क्रॉसचेचिंग वगळता) सारखीच आहे.

एम. के. एस्चर यांच्या लिथोग्राफवर केल्याप्रमाणे, तिला दृष्टिकोनातून देखील चित्रित केले जाऊ शकते.

लिथोग्राफमधील फसवणूक "centसेन्ट आणि डिसेंट" थोड्या वेगळ्या प्रकारे तयार केली गेली आहे. एस्चरने इमारतीच्या छतावर जिना ठेवला आणि दृष्टीकोनाची छाप व्यक्त करण्यासाठी खाली इमारतीचे चित्रण केले.

कलाकाराने सावलीसह अंतहीन जिना दाखविले. शेडिंग प्रमाणे, सावली देखील भ्रम नष्ट करू शकते. परंतु कलाकाराने प्रकाश स्त्रोत अशा ठिकाणी ठेवला की पेंटिंगच्या इतर भागांसह सावलीत चांगले मिश्रण केले जाईल. कदाचित पायairs्यांवरील सावली हा स्वतःमध्ये एक भ्रम आहे.

निष्कर्ष

काही लोक भ्रामक चित्रांनी अजिबात उत्सुक नसतात. ते म्हणतात, "हे फक्त एक चुकीचे चित्र आहे." काही लोक, बहुधा लोकसंख्येच्या 1% पेक्षा कमी लोकांना ते समजत नाहीत कारण त्यांचे मेंदू सपाट चित्रे त्रिमितीय प्रतिमांमध्ये रूपांतरित करण्यात अक्षम आहेत. या लोकांना पुस्तकांमधील तांत्रिक रेखाचित्रे आणि 3-डी आकृतींचे स्पष्टीकरण समजण्यास त्रास होत आहे.

इतरांना कदाचित पेंटिंगमध्ये "काहीतरी गडबड" असल्याचे दिसू शकते, परंतु फसवणूक कशा प्रकारे मिळविली जाते हे विचारण्याचा त्यांचा विचार नाही. या लोकांना निसर्ग कसे कार्य करते हे समजून घेण्याची आवश्यकता नसते, प्राथमिक बौद्धिक उत्सुकतेच्या अभावी ते तपशीलांवर लक्ष केंद्रित करू शकत नाहीत.

कदाचित व्हिज्युअल विरोधाभास समजून घेणे ही सर्वोत्कृष्ट गणितज्ञ, शास्त्रज्ञ आणि कलाकार ज्या प्रकारच्या सर्जनशीलतेची वैशिष्ट्ये आहेत. एम.एस्.एस्चर (एम.सी. एस्चर) च्या कामांपैकी बरीच पेंटिंग्ज-भ्रम तसेच जटिल भौमितिक पेंटिंग्ज आहेत ज्यांना कलापेक्षा "बौद्धिक गणितीय खेळ" जास्त दिले जाऊ शकते. तथापि, ते गणितज्ञ आणि वैज्ञानिकांना प्रभावित करतात.

असे म्हटले जाते की पॅसिफिक बेटावर किंवा अ\u200dॅमेझॉन जंगलात खोलवर राहणारे लोक, जिथे त्यांनी कधीही छायाचित्र पाहिले नाही, दर्शविताना छायाचित्र म्हणजे काय हे प्रथम समजू शकणार नाही. या विशिष्ट प्रतिमेचे अर्थ लावणे हे एक कौशल्य आहे. काही लोक हे कौशल्य अधिक चांगल्याप्रकारे शिकतात, इतरांना वाईट.

फोटोग्राफीच्या शोधापूर्वीच कलाकारांनी त्यांच्या कामात भूमितीय दृष्टीकोन वापरण्यास सुरुवात केली. परंतु विज्ञानाच्या मदतीशिवाय त्यांचा अभ्यास करता आला नाही. सामान्यतः केवळ 14 व्या शतकात लेन्स उपलब्ध झाले. त्यावेळी ते अंधकारमय कॅमे with्यांच्या प्रयोगांमध्ये वापरले जात होते. एका गडद चेंबरच्या भिंतीच्या भोकात एक मोठे लेन्स ठेवलेले होते जेणेकरून उलट भिंतीवर एक उलटलेली प्रतिमा दिसून येईल. आरशाच्या जोडणीमुळे मजल्यापासून कमाल मर्यादेपर्यंत प्रतिमा टाकणे शक्य झाले. हे डिव्हाइस बर्\u200dयाचदा कला मध्ये नवीन "युरोपियन" दृष्टीकोन शैलीचा प्रयोग करून कलाकार वापरत असे. त्यावेळेस, गणिताकडे दृष्टिकोनासाठी एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करण्यासाठी आधीच एक जटिल विज्ञान होते आणि ही सैद्धांतिक तत्त्वे कलाकारांसाठी पुस्तकांमध्ये प्रकाशित केली गेली.

केवळ स्वत: वर भ्रामक चित्र काढण्याचा प्रयत्न करून आपण असे फसवणूक निर्माण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या सर्व सूक्ष्मतांचे कौतुक करू शकता. बर्\u200dयाचदा भ्रमांचे स्वरूप कलाकारावर स्वत: चे बंधन घालून स्वत: चे बंधन घालते. परिणामी, चित्रकलेची निर्मिती ही एखाद्या विलक्षण मोहजालच्या विचित्रतेसह कलाकारांच्या बुद्धीची लढाई बनते.

आता आम्ही काही भ्रमांच्या सारांवर चर्चा केली आहे, आपण त्यांचा स्वतःचा भ्रम निर्माण करण्यासाठी तसेच आपल्यास आढळणार्\u200dया कोणत्याही भ्रमांचे वर्गीकरण करण्यासाठी वापरू शकता. थोड्या वेळाने, आपल्याकडे भ्रमांचा एक मोठा संग्रह असेल आणि आपल्याला हे कसे तरी प्रदर्शित करावे लागेल. मी यासाठी एक ग्लास डिस्प्ले केस डिझाइन केले आहे.

भ्रमांचे प्रदर्शन. © डोनाल्ड ई. सिमेंक, १ 1996 1996..

आपण रेखाचित्रांच्या भूमितीच्या दृष्टीकोनात आणि इतर पैलूंमध्ये रेषांचे अभिसरण तपासू शकता. अशा चित्रांचे विश्लेषण करून आणि त्या चित्रित करण्याचा प्रयत्न करून आपण चित्रात वापरलेल्या फसवणूकीचे सार शोधू शकता. एमसी एस्चरने आपल्या "बेलवेदेर" (खाली) चित्रात अशाच युक्त्या वापरल्या.

डोनाल्ड ई. सिमॅनॅक, डिसेंबर 1996. इंग्रजीतून अनुवादित

मॉरिट्स कॉर्नेलिस एसर हा एक डच ग्राफिक कलाकार आहे ज्याने त्याच्या वैचारिक लिथोग्राफ्स, वुडकट्स आणि मेटल प्रिंट्स तसेच पुस्तके, टपाल तिकिटे, फ्रेस्को आणि टेपेस्ट्रीजची चित्रे देऊन यश मिळविले आहे. आर्ट-आर्टचा सर्वात प्रमुख प्रतिनिधी (अशक्य व्यक्तींचे चित्रण).

मॉरिट्स एशरचा जन्म नेदरलँड्समध्ये इंजिनीअर जॉर्ज अर्नोल्ड एश्चर आणि मंत्री सारा अद्रियाना ग्लिचमन-एशेर यांची मुलगी, लूवंदर शहरात नेदरलँड्समध्ये झाला. मॉरिट्स कुटुंबातील सर्वात धाकटा आणि चौथा मुलगा होता. जेव्हा तो 5 वर्षांचा होता तेव्हा संपूर्ण कुटुंब अर्नेहममध्ये गेले जेथे त्याने आपल्या तारुण्यातील बहुतेक दिवस घालवले. हायस्कूलमध्ये प्रवेश घेताना, भावी कलाकार परीक्षेत यशस्वीरित्या अयशस्वी झाला, ज्यासाठी त्याला हार्लेममधील आर्किटेक्चर आणि सजावटीच्या स्कूल स्कूलमध्ये पाठविले गेले. एकदा नवीन शाळेत, मॉरिट्स एस्करने आपली सृजनशीलता वाढवत राहिली, त्याचबरोबर त्याच्या शिक्षक सॅम्युएल जेसेर्नला काही रेखाचित्रे आणि लिनकोट्स दर्शविल्या, ज्याने त्याला सजावट शैलीत काम करण्यास प्रेरित केले. त्यानंतर, एशरने आपल्या वडिलांना अशी घोषणा केली की आपल्याला सजावटीच्या कला शिकण्याची इच्छा आहे आणि वास्तुशास्त्रात व्यावहारिकरित्या रस नाही.

अभ्यास पूर्ण झाल्यावर मॉरिट्स एशेर इटलीला जाण्यासाठी गेले, तेथे त्यांची भावी पत्नी गेटा विम्करशी भेट झाली. हे तरुण जोडपे रोममध्ये स्थायिक झाले आणि तिथे ते 1935 पर्यंत वास्तव्य करीत होते. यावेळी, एस्चरने नियमितपणे इटलीला प्रवास केला आणि रेखाचित्रे आणि रेखाचित्रे तयार केली. त्यापैकी बरेच लोक नंतर वुडकट तयार करण्यासाठी आधार म्हणून वापरले गेले.

1920 च्या उत्तरार्धात, एशर नेदरलँड्समध्ये बर्\u200dयापैकी लोकप्रिय झाला आणि या तथ्याचा मुख्यत्वे कलाकाराच्या पालकांवर प्रभाव पडला. १ 29 In In मध्ये त्यांनी हॉलंड आणि स्वित्झर्लंडमध्ये पाच प्रदर्शन भरवले, ज्यांना समीक्षकांकडून जोरदार चापलूस प्रतिसाद मिळाला. या काळात, एस्चरच्या चित्रांना प्रथम यांत्रिक आणि "तार्किक" म्हटले गेले. १ 31 .१ मध्ये, कलाकार वुडकट संपविण्याकडे वळला. दुर्दैवाने, कलाकाराच्या यशामुळे त्याने बरेच पैसे आणले नाहीत आणि अनेकदा तो आर्थिक मदतीसाठी वडिलांकडे वळला. त्याच्या आयुष्यात पालकांनी मॉरीट्स एशरला त्याच्या सर्व प्रयत्नांमध्ये पाठिंबा दर्शविला, म्हणून जेव्हा १ 39. In मध्ये वडिलांचे निधन झाले आणि एक वर्षानंतर त्याची आई, तेव्हा एस्चरला सर्वात उत्तम प्रकारे वाटले नाही.

१ 194. Int मध्ये कलाकारास इंटॅग्लिओ मुद्रण तंत्रज्ञानाची आवड निर्माण झाली, जी अंमलबजावणीच्या विशिष्ट जटिलतेमुळे ओळखली गेली. या कारणास्तव, १ 195 1१ पर्यंत एशेरने मेझोटीन्टो पद्धतीने केवळ सात ठसे बनवले आणि पुन्हा या तंत्रामध्ये कार्य केले नाही. १ 194. In मध्ये, एस्चरने दोन इतर कलाकारांसह रॉटरडॅम येथे आपल्या ग्राफिक कामांचे एक मोठे प्रदर्शन आयोजित केले, त्याविषयीच्या मालिकेच्या मालिकेनंतर, एशर केवळ युरोपमध्येच नाही, तर यूएसएमध्येही ओळखला जाऊ लागला. त्यांनी निवडलेल्या पद्धतीने कार्य करणे सुरू केले, अधिकाधिक नवीन आणि कधीकधी अनपेक्षितपणे कलाकृती तयार केल्या.

एस्चरच्या सर्वात उल्लेखनीय कार्यांपैकी एक म्हणजे अशक्य त्रिकोणाच्या आधारे वॉटरफॉल लिथोग्राफ. धबधबा कायमस्वरूपी मोशन मशीनची भूमिका बजावते आणि टॉवर्स समान उंचीचे दिसत आहेत, जरी त्यातील एक मजला दुसर्\u200dया मजल्यापेक्षा कमी आहे. एस्चरने त्यानंतरच्या दोन अशक्य व्यक्तींची कोरीव काम - "बेलवेदरे" आणि "गोईंग डाउन आणि एसेन्डिंग" 1958 ते 1961 दरम्यान तयार केली. अतिशय मनोरंजक कामांमध्ये "अप आणि डाऊन", "सापेक्षता", "मेटामोर्फोजी I", "मेटामॉर्फोजीज II", "मेटामोर्फोस III" (सर्वात मोठे काम - 48 मीटर), "स्काई आणि वॉटर" किंवा "सरपटणारे प्राणी" देखील आहेत. ...

जुलै १ 69. In मध्ये एस्चरने साप नावाचा शेवटचा वूडकट तयार केला. आणि आधीच 27 मार्च 1972 रोजी कलाकार आतड्यांसंबंधी कर्करोगाने मरण पावला. आपल्या आयुष्यात, एस्चरने 448 लिथोग्राफ, प्रिंट्स आणि वुडकट आणि 2,000 हून अधिक भिन्न रेखाचित्रे आणि रेखाटने तयार केली. आणखी एक वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्य म्हणजे एशर त्याच्या पूर्ववर्ती (मिशेलॅन्जेलो, लिओनार्डो दा विंची, ड्युरर आणि होल्बेन) यांच्याप्रमाणे, डावखुरा होता.

एशरने केलेले हे काम विरोधाभास दर्शवते - धबधब्याचे पडते पाणी धबधब्याच्या माथ्यापर्यंत पाण्याचे दिशा वाहणारे चाक चालवते. धबधब्याला "अशक्य" पेनरोझ त्रिकोणची रचना आहे: ब्रिटिश जर्नल ऑफ सायकोलॉजीच्या लेखाच्या आधारे लिथोग्राफ तयार केले गेले.

रचना तीन कोप .्यांनी बनविली आहे, उजव्या कोनात एकमेकांच्या वर ठेवलेली आहे. लिथोग्राफीमधील धबधबा कायम मोशन मशीनसारखे कार्य करते. टक लावून पाहण्याच्या हालचालीवर अवलंबून असे दिसून येते की दोन्ही टॉवर्स एकसारखेच आहेत आणि उजवीकडे टॉवर डाव्या बुरुजाच्या खाली एक मजला आहे.

"धबधबा (लिथोग्राफी)" लेखावर पुनरावलोकन लिहा

नोट्स

दुवे

• अधिकृत साइटः (इंग्रजी)

धबधब्याचे भाग (लिथोग्राफ)