अंतराल पद्धतीद्वारे तर्कसंगत असमानतेचे निराकरण.

अंतर पद्धतशालेय बीजगणित अभ्यासक्रमात आढळणारी जवळपास कोणतीही असमानता सोडवण्याचा हा एक सार्वत्रिक मार्ग आहे. हे फंक्शन्सच्या खालील गुणधर्मांवर आधारित आहे:

1. एक सतत फंक्शन g (x) फक्त त्या बिंदूवर चिन्ह बदलू शकते ज्यावर ते 0 च्या बरोबरीचे आहे. ग्राफिकदृष्ट्या, याचा अर्थ असा की सतत फंक्शनचा आलेख एका अर्ध्या भागातून दुसर्‍या भागात जाऊ शकतो तरच तो abscissa ओलांडतो. अक्ष (आम्ही लक्षात ठेवतो की OX अक्षावर असलेल्या कोणत्याही बिंदूचा ऑर्डिनेट शून्य आहे, म्हणजेच या बिंदूवरील फंक्शनचे मूल्य 0 आहे):

आपण पाहतो की आलेखावर चित्रित केलेले कार्य y = g (x) हे OX अक्षाला x = -8, x = -2, x = 4, x = 8 या बिंदूंवर छेदते. या बिंदूंना फंक्शन शून्य म्हणतात. आणि त्याच बिंदूंवर फंक्शन g(x) चे चिन्ह बदलते.

2. फंक्शन भाजकाच्या शून्यातील चिन्ह देखील बदलू शकते - सर्वात सोपा उदाहरण म्हणजे एक सुप्रसिद्ध फंक्शन:

आपण पाहतो की फंक्शन एका बिंदूवर भाजकाच्या मुळाशी चिन्ह बदलते, परंतु कोणत्याही बिंदूवर नाहीसे होत नाही. अशा प्रकारे, फंक्शनमध्ये अंश असल्यास, ते भाजकाच्या मुळावरील चिन्ह बदलू शकते.

2. तथापि, फंक्शन नेहमी अंशाच्या मुळावर किंवा भाजकाच्या मुळाशी असलेले चिन्ह बदलत नाही. उदाहरणार्थ, फंक्शन y = x 2 x = 0 बिंदूवर चिन्ह बदलत नाही:

कारण x 2 = 0 या समीकरणाची दोन समान मुळे x = 0 आहेत, x = 0 बिंदूवर फंक्शन, जसे होते, 0 मध्ये दोनदा बदलते. अशा रूटला दुसऱ्या गुणाकाराचे मूळ म्हणतात.

कार्य अंशाच्या शून्यावर चिन्ह बदलते, परंतु भाजकाच्या शून्यावर चिन्ह बदलत नाही:, कारण मूळ हे दुसऱ्या गुणाकाराचे मूळ आहे, म्हणजेच सम गुणाकाराचे:

महत्वाचे! सम गुणाकाराच्या मुळांवर, फंक्शन चिन्ह बदलत नाही.

लक्षात ठेवा! कोणतीही अरेखीयशालेय बीजगणित अभ्यासक्रमाची असमानता सहसा मध्यांतर पद्धती वापरून सोडवली जाते.

मी तुम्हाला एक तपशीलवार ऑफर देतो, ज्याचे अनुसरण करून तुम्ही चुका टाळू शकता नॉनलाइनर असमानता सोडवणे.

1. प्रथम, आपल्याला फॉर्ममध्ये असमानता आणण्याची आवश्यकता आहे

P(x) V0,

जेथे V हे असमानतेचे चिन्ह आहे:<,>, ≤ किंवा ≥. यासाठी आवश्यक आहे:

अ) सर्व अटी असमानतेच्या डाव्या बाजूला हस्तांतरित करा,

ब) परिणामी अभिव्यक्तीची मुळे शोधा,

c) असमानतेच्या डाव्या बाजूचा घटक करा

d) पॉवर म्हणून समान घटक लिहा.

लक्ष द्या!मुळांच्या गुणाकाराची चूक होऊ नये म्हणून शेवटची क्रिया करणे आवश्यक आहे - जर परिणाम सम शक्तीचा घटक असेल, तर संबंधित मुळामध्ये सम गुणाकार आहे.

2. सापडलेली मुळे संख्या अक्षावर ठेवा.

3. जर असमानता कठोर असेल, तर अंकीय अक्षावरील मुळे दर्शविणारी मंडळे "रिक्त" सोडली जातात, जर असमानता कठोर नसेल, तर आम्ही वर्तुळांवर पेंट करतो.

4. सम गुणाकाराची मुळे निवडा - त्यात P (x)चिन्ह बदलत नाही.

5. चिन्ह निश्चित करा P (x)सर्वात उजव्या मध्यांतरावर. हे करण्यासाठी, आम्ही एक अनियंत्रित मूल्य x 0 घेतो, जे मोठ्या मुळापेक्षा मोठे आहे आणि त्यास बदलतो. P (x).

जर P (x 0)> 0 (किंवा ≥0), तर सर्वात उजव्या मध्यांतरात आपण "+" चिन्ह ठेवतो.

जर P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

सम गुणाकाराचे मूळ दर्शविणाऱ्या बिंदूमधून जात असताना, चिन्ह बदलत नाही.

7. पुन्हा एकदा आपण मूळ असमानतेचे चिन्ह पाहतो आणि आपल्याला आवश्यक असलेल्या चिन्हाचे अंतराल निवडतो.

8. लक्ष द्या! जर आमची असमानता कठोर नसेल, तर शून्य समानतेची अट स्वतंत्रपणे सत्यापित केली जाते.

9. आम्ही उत्तर लिहून ठेवतो.

जर मूळ असमानतेमध्ये भाजकामध्ये अज्ञात समाविष्ट आहे, नंतर आम्ही सर्व अटी डावीकडे हस्तांतरित करतो आणि असमानतेची डावी बाजू फॉर्ममध्ये कमी करतो

(जेथे V हे असमानतेचे चिन्ह आहे:< или >)

या प्रकारची कठोर असमानता असमानतेच्या बरोबरीची आहे

कडक नाहीफॉर्मची असमानता

च्या समान प्रणाली:

सराव मध्ये, जर फंक्शनचा फॉर्म असेल, तर आम्ही खालीलप्रमाणे पुढे जाऊ:

1. अंश आणि भाजक यांची मुळे शोधा.
2. आम्ही त्यांना अक्षावर ठेवतो. सर्व मंडळे रिक्त सोडा. नंतर, जर असमानता कठोर नसेल, तर अंशाच्या मुळांवर पेंट करा आणि भाजकाची मुळे नेहमी रिकामी ठेवा.
3. पुढे, आम्ही सामान्य अल्गोरिदमचे अनुसरण करतो:
4. सम गुणाकाराची मुळे निवडा (जर अंश आणि भाजक समान मुळे असतील, तर आपण समान मुळे किती वेळा येतात ते मोजतो). अगदी बहुगुणाच्या मुळांमध्ये, चिन्ह बदलत नाही.
5. आम्ही सर्वात उजव्या मध्यांतरावर चिन्ह शोधतो.
6. आम्ही चिन्हे ठेवतो.
7. कठोर असमानतेच्या बाबतीत, समानतेची स्थिती, शून्य समानतेची स्थिती, स्वतंत्रपणे सत्यापित केली जाते.
8. आवश्यक अंतर आणि विलग मुळे निवडा.
9. आम्ही उत्तर लिहून ठेवतो.

चांगले समजून घेण्यासाठी मध्यांतरांच्या पद्धतीद्वारे असमानता सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम, व्हिडिओ ट्यूटोरियल पहा, जे उदाहरणावर तपशीलवार आहे मध्यांतरांच्या पद्धतीद्वारे असमानतेचे निराकरण.

तर्कसंगत असमानता प्रणाली

धडा मजकूर

• सारांश [बेझदेनेझनीख एल.व्ही.]

  बीजगणित, ग्रेड 9 EMC: ए.जी. मोर्डकोविच. बीजगणित. ग्रेड 9. 2 ता. भाग 1: पाठ्यपुस्तक; भाग २: मारेकरी एम.: म्नेमोसिना, 2010 शिक्षणाचा स्तर: मूलभूत धडा विषय: तर्कसंगत असमानता प्रणाली. (विषयावरील पहिला धडा, विषयाच्या अभ्यासासाठी एकूण 3 तास दिलेले आहेत) नवीन विषयाच्या अभ्यासातील धडा. धड्याचा उद्देश: रेखीय असमानतेचे निराकरण पुन्हा करणे; असमानतेच्या प्रणालीची संकल्पना सादर करा, रेखीय असमानतेच्या सोप्या प्रणालींचे निराकरण स्पष्ट करा; कोणत्याही जटिलतेच्या रेखीय असमानतेच्या प्रणालींचे निराकरण करण्याची क्षमता तयार करणे. कार्ये: शैक्षणिक: विद्यमान ज्ञानाच्या आधारे विषयाचा अभ्यास करणे, विद्यार्थ्यांच्या स्वतंत्र कार्याचा परिणाम म्हणून व्यावहारिक कौशल्ये आणि रेखीय असमानता सोडविण्याची क्षमता एकत्रित करणे आणि त्यापैकी सर्वात तयार केलेल्या व्याख्यान आणि सल्लामसलत क्रियाकलाप. विकसनशील: संप्रेषणात्मक - क्रियाकलाप पद्धती आणि समस्या शिकण्याचे घटक वापरून संज्ञानात्मक स्वारस्य, विचारांचे स्वातंत्र्य, स्मरणशक्ती, विद्यार्थ्यांचा पुढाकार. शैक्षणिक: संप्रेषण कौशल्यांची निर्मिती, संवादाची संस्कृती, सहकार्य. आयोजित करण्याच्या पद्धती: - संभाषण आणि समस्या शिकण्याच्या घटकांसह व्याख्यान; - पाठ्यपुस्तकातील सैद्धांतिक आणि व्यावहारिक सामग्रीसह विद्यार्थ्यांचे स्वतंत्र कार्य; -रेषीय असमानता प्रणालींच्या समाधानाच्या नोंदणीच्या संस्कृतीचा विकास. अपेक्षित परिणाम: विद्यार्थ्यांना रेखीय असमानता कशी सोडवायची, संख्या रेषेवर असमानतेच्या उपायांचे छेदनबिंदू चिन्हांकित कसे करायचे आणि रेखीय असमानतेची प्रणाली कशी सोडवायची ते शिकतील. धडे उपकरणे: ब्लॅकबोर्ड, हँडआउट्स (परिशिष्ट), पाठ्यपुस्तके, कार्यपुस्तके. धडा सामग्री: 1. संस्थात्मक क्षण. गृहपाठ तपासा. 2. ज्ञान अद्यतनित करणे. शिक्षकांसह विद्यार्थी ब्लॅकबोर्डवरील तक्ता भरतात: असमानता रेखाचित्र अंतर खालील तयार टेबल आहे: असमानता रेखाचित्र अंतर 3. गणितीय श्रुतलेखन. नवीन विषयाच्या आकलनाची तयारी. 1.सारणीचे उदाहरण वापरून असमानता सोडवा: पर्याय 1 पर्याय 2 पर्याय 3 पर्याय 4 2. असमानता सोडवा, एकाच अक्षावर दोन आकृत्या काढा आणि 5 ही संख्या दोन असमानतेवर उपाय आहे का ते तपासा: पर्याय 1 पर्याय 2 पर्याय 3 पर्याय 4 4. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण ... नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण (pp. 40-44): 1. असमानता प्रणालीची व्याख्या द्या (पृ. 41). व्याख्या: व्हेरिएबल x सह अनेक असमानता असमानतेची एक प्रणाली तयार करतात, जर कार्य व्हेरिएबलची अशी सर्व मूल्ये शोधणे असेल ज्यासाठी व्हेरिएबलसह दिलेली प्रत्येक असमानता खऱ्या संख्यात्मक असमानतेमध्ये बदलते. 2. असमानतेच्या प्रणालीच्या विशिष्ट आणि सामान्य समाधानाची संकल्पना सादर करा. x च्या अशा कोणत्याही मूल्याला असमानतेच्या प्रणालीचे समाधान (किंवा विशिष्ट समाधान) म्हणतात. असमानतेच्या प्रणालीसाठी सर्व विशिष्ट उपायांचा संच असमानतेच्या प्रणालीसाठी एक सामान्य उपाय आहे. 3. उदाहरण क्रमांक 3 (a, b, c) नुसार पाठ्यपुस्तकातील असमानता प्रणालींचे निराकरण विचारात घ्या. 4. प्रणालीचे निराकरण करून तर्काचे सामान्यीकरण करा: 5. नवीन सामग्री सुरक्षित करणे. क्रमांक 4.20 (a, b), 4.21 (a, b) वरून कार्ये सोडवा. 6. पडताळणीचे कार्य नवीन सामग्रीचे एकत्रीकरण तपासा, पर्यायांनुसार कार्ये सोडवण्यात सक्रियपणे मदत करा: पर्याय 1 a, c क्रमांक 4.6, 4.8 पर्याय 2 b, d क्रमांक 4.6, 4.8 7. सारांश. प्रतिबिंब आज तुम्हाला कोणत्या नवीन संकल्पना भेटल्या आहेत? रेषीय असमानतेच्या प्रणालीवर उपाय कसे शोधायचे हे तुम्ही शिकलात का? तुम्ही सर्वात जास्त काय केले आहे, कोणते क्षण तुम्ही सर्वात यशस्वीपणे पूर्ण केले आहेत? 8. गृहपाठ: क्रमांक 4.5, 4.7.; पाठ्यपुस्तकातील सिद्धांत pp. 40-44; वाढीव प्रेरणा असलेल्या विद्यार्थ्यांसाठी № 4.23 (c, d). परिशिष्ट. पर्याय 1. असमानता चित्र अंतर 2. असमानता सोडवा, एका अक्षावर दोन चित्रे काढा आणि संख्या 5 दोन असमानतेवर उपाय आहे का ते तपासा: असमानता चित्र प्रश्नाचे उत्तर. पर्याय 2. असमानता चित्र अंतर 2. असमानता सोडवा, एका अक्षावर दोन चित्रे काढा आणि संख्या 5 दोन असमानतेवर उपाय आहे का ते तपासा: असमानता चित्र प्रश्नाचे उत्तर. पर्याय 3. असमानता आकृती अंतर 2. असमानता सोडवा, एका अक्षावर दोन आकृत्या काढा आणि 5 ही संख्या दोन असमानतेचे समाधान आहे का ते तपासा: असमानता आकृती प्रश्नाचे उत्तर. पर्याय 4. असमानता चित्र अंतर 2. असमानता सोडवा, एका अक्षावर दोन चित्रे काढा आणि संख्या 5 हा दोन असमानतेवर उपाय आहे का ते तपासा: असमानता चित्र प्रश्नाचे उत्तर.

  डाउनलोड करा: बीजगणित 9kl - सारांश [Bezdenezhnykh LV]. Docx

• 2-4 धड्यांचा सारांश [झ्वेरेवा एल.पी.]

  बीजगणित 9 वर्ग UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. पी. व्ही. मोर्डकोविच सेम्योनोव्ह, 2014. स्तर - शिक्षण-मूलभूत धडा विषय: तर्कसंगत असमानतेच्या प्रणाली विषयाच्या अभ्यासासाठी वाटप केलेल्या एकूण तासांची संख्या-4 तास विषयावरील धड्यांच्या प्रणालीमध्ये धड्याचे स्थान धडा क्रमांक 2; क्रमांक 3; क्रमांक 4. धड्याचा उद्देश: विद्यार्थ्यांना असमानतेची प्रणाली तयार करण्यास शिकवणे, तसेच पाठ्यपुस्तकाच्या लेखकाने प्रस्तावित केलेल्या तयार प्रणालींचे निराकरण कसे करावे हे शिकवणे. धड्याची उद्दिष्टे: कौशल्ये तयार करणे: विश्लेषणात्मकपणे असमानतेच्या प्रणालींचे मुक्तपणे निराकरण करा, तसेच उत्तर अचूकपणे रेकॉर्ड करण्यासाठी, दिलेल्या सामग्रीसह स्वतंत्रपणे कार्य करण्यासाठी समन्वय रेषेवर समाधान हस्तांतरित करण्यात सक्षम व्हा. .नियोजित परिणाम: विद्यार्थी तयार प्रणाली सोडविण्यास सक्षम असावेत, तसेच कार्यांच्या शाब्दिक स्थितीसाठी असमानता प्रणाली तयार करू शकतात आणि तयार केलेले मॉडेल सोडवू शकतात. धड्याचे तांत्रिक समर्थन: UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. पी. व्ही. मोर्डकोविच सेम्योनोव्ह. वर्कबुक, तोंडी मोजणीसाठी प्रोजेक्टर, सशक्त विद्यार्थ्यांसाठी अतिरिक्त असाइनमेंटचे प्रिंटआउट. धड्याचे अतिरिक्त पद्धतशीर आणि अभ्यासात्मक समर्थन (इंटरनेट संसाधनांचे दुवे शक्य आहेत): 1. मॅन्युअल N.N. Khlevnyuk, M.V. इव्हानोव्हा, व्ही.जी. इव्हाशेन्को, एन.एस. मेलकोव्ह "गणिताच्या धड्यांमध्ये 5-9 ग्रेडमधील संगणकीय कौशल्यांची निर्मिती" 2.G.G. लेविटास "गणितीय श्रुतलेख" 7-11 ग्रेड.3. टी.जी. गुलिना "गणितीय सिम्युलेटर" 5-11 (4 अडचण पातळी) गणित शिक्षक: झ्वेरेवा एल.पी. धडा क्रमांक 2 उद्दिष्टे: समाधानाच्या निकालाच्या स्पष्टतेसाठी भौमितिक व्याख्या वापरून तर्कसंगत असमानतेची प्रणाली सोडवण्याच्या कौशल्याचा सराव करा. धड्याचा अभ्यासक्रम 1. संघटनात्मक क्षण: वर्गाची काम करण्याची वृत्ती, विषयाचा संदेश आणि धड्याचा उद्देश 11 गृहपाठ तपासणे 1. सैद्धांतिक भाग: * तर्कसंगत असमानतेचे विश्लेषणात्मक रेकॉर्ड काय आहे * काय आहे तर्कसंगत असमानतेच्या प्रणालीचे विश्लेषणात्मक रेकॉर्ड * असमानतेच्या प्रणालीचे निराकरण करण्याचा अर्थ काय आहे * तर्कसंगत असमानतेच्या प्रणालीचे निराकरण करण्याचा परिणाम काय आहे. 2. व्यावहारिक भाग: * ब्लॅकबोर्डवरील कार्ये सोडवा ज्यामुळे विद्यार्थ्यांना अडचणी येतात. गृहपाठ दरम्यान II1 व्यायाम. 1.बहुपदी गुणांकन करण्याच्या पद्धतींची पुनरावृत्ती करा. 2. असमानता सोडवण्यासाठी मध्यांतर पद्धत काय आहे याचे पुनरावलोकन करा. 3. प्रणाली सोडवा. शिक्षकांच्या देखरेखीखाली ब्लॅकबोर्डवरील मजबूत विद्यार्थ्याद्वारे समाधानाचे नेतृत्व केले जाते. 1) असमानता 3x - 10> 5x - 5 सोडवा; 3x - 5x> - 5 + 10; - 2x> 5; एक्स< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>असमानतेच्या या प्रणालीचे निराकरण x> उत्तरः x> 6. ब्लॅकबोर्डवर आणि नोटबुकमध्ये क्रमांक 4.10 (c) सोडवा. चला विषमता 5x2 - 2x + 1 ≤ 0.5x2-2x + 1 = 0 सोडवू; D = 4 - 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0.2x2 + 5x + 10 = 0; डी = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, नंतर - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. पूर्वी अभ्यासलेल्या साहित्याची पुनरावृत्ती. सोडवा क्रमांक 2.33. कमी झाल्यानंतर (x - 3) किमी/ताशी सायकलस्वाराचा प्रारंभिक वेग x किमी/तास असू द्या. 15x - 45 + 6x = 1.5x (x - 3); 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x; 1.5x2 - 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; नंतर x2 - 17x + 30 = 0; डी = 169; x1 = 15; x2 = 2 समस्येचा अर्थ पूर्ण करत नाही. उत्तर: 15 किमी / ता; 12 किमी / ता IV. धड्याचा निष्कर्ष: धड्यावर, आम्ही एका क्लिष्ट प्रकारच्या असमानता प्रणाली सोडवायला शिकलो, विशेषत: मॉड्यूलसह, स्वतंत्र कामात आमचा हात आजमावला. चिन्हांकित करणे. गृहपाठ: पेपर होम चाचणी क्रमांक 1 च्या स्वतंत्र शीटवर 7 क्रमांक ते 10 क्रमांक p वर पूर्ण करा. 32–33, क्रमांक 4.34 (a; b), क्रमांक 4.35 (a; b). धडा 4 चाचणीची तयारी उद्दिष्टे: अभ्यास केलेल्या सामग्रीचा सारांश आणि पद्धतशीर करणे, विद्यार्थ्यांना "तर्कसंगत असमानतेची प्रणाली" या विषयावरील चाचणीसाठी तयार करणे धडा प्रवाह 1. संस्थात्मक क्षण: वर्गाचा कार्य करण्याची मनःस्थिती, संदेश विषय आणि धड्याचा उद्देश. 11. अभ्यासलेल्या साहित्याची पुनरावृत्ती. *विषमतेची व्यवस्था सोडवण्याचा अर्थ काय* तर्कसंगत असमानता सोडवण्याचा परिणाम काय होतो 1. पूर्ण झालेल्या गृह चाचणीसह कागदपत्रे गोळा करा. 2. असमानता सोडवण्यासाठी कोणते नियम वापरले जातात? असमानतेचे उपाय स्पष्ट करा: अ) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5> 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. दोन चलांमध्ये असमानतेच्या प्रणालीची व्याख्या तयार करा. असमानतेची व्यवस्था सोडवणे म्हणजे काय? 5. मध्यांतरांची पद्धत कोणती आहे, जी तर्कसंगत असमानता सोडवण्यासाठी सक्रियपणे वापरली जाते? असमानता सोडवण्याचे उदाहरण वापरून हे स्पष्ट करा: (2x - 4) (3 - x) ≥ 0; I11. प्रशिक्षण व्यायाम. 1. असमानता सोडवा: अ) 12 (1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. हे एकतर कार्य a) किंवा कार्य b) शी संबंधित नाही. म्हणून, आपण असे गृहीत धरू शकतो की p ≠ 2, म्हणजे दिलेली असमानता चौरस आहे. a) ax2 + bx + c> 0 फॉर्मच्या चौरस असमानतेला कोणतेही उपाय नाहीत तर< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>a> 0 आणि D असल्यास x च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी 0 समाधानी आहे< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. धडा सारांश. सर्व अभ्यास केलेले साहित्य घरी पाहणे आणि परीक्षेची तयारी करणे आवश्यक आहे. गृहपाठ: क्रमांक 1.21 (b; d), क्रमांक 2.15 (c; d); क्रमांक 4.14 (ग्रॅम), क्रमांक 4.28 (ग्रॅम); क्र. 4.19 (अ), क्र. 4.33 (ड).

  
  

  आम्ही "एका व्हेरिएबलसह असमानता सोडवणे" या विषयाचा शोध घेत आहोत. आम्ही रेखीय असमानता आणि चौरस असमानता आधीपासूनच परिचित आहोत. ते विशेष प्रकरणे आहेत. तर्कसंगत असमानता, ज्याचा आपण आता अभ्यास करू. कोणत्या प्रकारच्या असमानतेला तर्कसंगत म्हणतात ते शोधून प्रारंभ करूया. पुढे, आपण तर्कसंगत आणि अपूर्णांक तर्कसंगत असमानतेमध्ये त्यांच्या विभागणीचा सामना करू. आणि त्यानंतर आम्ही एका व्हेरिएबलसह तर्कसंगत असमानतेचे निराकरण कसे केले जाते याचा अभ्यास करू, संबंधित अल्गोरिदम लिहा आणि तपशीलवार स्पष्टीकरणांसह ठराविक उदाहरणांच्या निराकरणाचा विचार करू.

  पृष्ठ नेव्हिगेशन.

  तर्कसंगत असमानता काय आहेत?

  शाळेत, बीजगणिताच्या धड्यांमध्ये, असमानता सोडवण्याबद्दल संभाषण येताच, लगेच तर्कसंगत असमानतेची बैठक होते. तथापि, प्रथम त्यांना त्यांच्या नावाने संबोधले जात नाही, कारण या टप्प्यावर असमानतेच्या प्रकारांमध्ये फारसा रस नसतो आणि असमानतेसह कार्य करण्यासाठी प्रारंभिक कौशल्ये प्राप्त करणे हे मुख्य ध्येय आहे. "तर्कसंगत असमानता" हा शब्द स्वतः नंतर 9 व्या वर्गात सादर केला जातो, जेव्हा या विशिष्ट प्रकारच्या असमानतेचा तपशीलवार अभ्यास सुरू होतो.

  चला तर्कसंगत असमानता काय आहेत ते शोधूया. येथे व्याख्या आहे:

  ध्वनी व्याख्या व्हेरिएबल्सच्या संख्येबद्दल काहीही सांगत नाही, याचा अर्थ त्यांच्यापैकी कोणत्याही संख्येस परवानगी आहे. यावर अवलंबून, तर्कसंगत असमानता एक, दोन, इत्यादींनी ओळखली जातात. चल तसे, पाठ्यपुस्तक एक समान व्याख्या देते, परंतु एका व्हेरिएबलसह तर्कसंगत असमानतेसाठी. हे समजण्याजोगे आहे, कारण शाळा एका व्हेरिएबलसह असमानता सोडवण्यावर लक्ष केंद्रित करते (खाली आपण केवळ एका चलने तर्कसंगत असमानता सोडवण्याबद्दल देखील बोलू). दोन चलांमध्ये असमानताथोडे विचार करा, आणि तीन किंवा अधिक चलांसह असमानतेकडे थोडे लक्ष दिले जाते.

  तर, तर्कसंगत असमानता त्याच्या रेकॉर्डद्वारे ओळखली जाऊ शकते, यासाठी त्याच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंच्या अभिव्यक्ती पाहणे आणि ते तर्कसंगत अभिव्यक्ती आहेत याची खात्री करणे पुरेसे आहे. हे विचार आपल्याला तर्कसंगत असमानतेची उदाहरणे देण्यास अनुमती देतात. उदाहरणार्थ, x> 4, x 3 + 2 y≤5 (y − 1) (x 2 +1), तर्कसंगत असमानता आहेत. आणि असमानता तर्कसंगत नाही, कारण त्याच्या डाव्या बाजूला मूळ चिन्हाखाली एक व्हेरिएबल आहे, आणि म्हणून, तर्कसंगत अभिव्यक्ती नाही. असमानता देखील तर्कसंगत नाही, कारण त्याचे दोन्ही भाग तर्कसंगत अभिव्यक्ती नाहीत.

  पुढील वर्णनाच्या सोयीसाठी, आम्ही पूर्णांक आणि अपूर्णांकांमध्ये परिमेय असमानतेची विभागणी सादर करतो.

  व्याख्या.

  तर्कसंगत असमानता म्हटले जाईल संपूर्णजर त्याचे दोन्ही भाग संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ती असतील.

  व्याख्या.

  फ्रॅक्शनल रॅशनल असमानतातर्कसंगत असमानता आहे, ज्याचा किमान एक भाग अंशात्मक अभिव्यक्ती आहे.

  तर 0.5 x≤3 (2−5 y), पूर्णांक असमानता आहेत, आणि 1: x + 3> 0 आणि - अंशतः तर्कसंगत.

  आता आपल्याला तर्कसंगत असमानता काय आहे हे स्पष्टपणे समजले आहे आणि आपण एका चलने अविभाज्य आणि अंशात्मक तर्कसंगत असमानता सोडवण्याची तत्त्वे सुरक्षितपणे समजून घेणे सुरू करू शकतो.

  पूर्णांक असमानता सोडवणे

  चला स्वतःला एक समस्या सेट करूया: समजा आपल्याला r (x) फॉर्मच्या एका व्हेरिएबल x सह संपूर्ण तर्कसंगत असमानता सोडवायची आहे. , ≥), जेथे r (x) आणि s (x) काही अविभाज्य परिमेय अभिव्यक्ती आहेत. त्याचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही समतुल्य असमानता परिवर्तनांचा वापर करू.

  आम्ही अभिव्यक्ती उजवीकडून डावीकडे हस्तांतरित करतो, ज्यामुळे आम्हाला r (x) −s (x) फॉर्मच्या समतुल्य असमानतेकडे नेले जाईल.<0 (≤, >, ≥) उजवीकडे शून्य सह. साहजिकच, डाव्या बाजूला तयार झालेला r (x) - s (x) हा शब्दही पूर्णांक आहे, परंतु तुम्ही काहीही करू शकता हे माहीत आहे. अभिव्यक्ती r (x) −s (x) चे एकसमान समान बहुपदी h (x) मध्ये रूपांतर करून (येथे आपण लक्षात घेतो की r (x) −s (x) आणि h (x) मध्ये समान व्हेरिएबल x आहे), आम्ही समतुल्य असमानता h (x) कडे जातो<0 (≤, >, ≥).

  सर्वात सोप्या प्रकरणांमध्ये, केलेले परिवर्तन इच्छित समाधान मिळविण्यासाठी पुरेसे असेल, कारण ते आपल्याला मूळ संपूर्ण तर्कसंगत असमानतेपासून अशा असमानतेकडे नेतील ज्याचे निराकरण आपण करू शकतो, उदाहरणार्थ, रेखीय किंवा चौरस एकाकडे. चला काही उदाहरणे पाहू.

  उदाहरण.

  संपूर्ण तर्कसंगत असमानतेचे समाधान शोधा x · (x + 3) + 2 · x≤ (x + 1) 2 +1.

  उपाय.

  प्रथम, आम्ही अभिव्यक्ती उजवीकडून डावीकडे हस्तांतरित करतो: x (x + 3) + 2 x− (x + 1) 2 −1≤0... सर्व काही डाव्या बाजूला केल्याने, आपण रेखीय असमानता 3 x − 2≤0 वर पोहोचतो, जी मूळ पूर्णांक असमानतेच्या समतुल्य आहे. त्याचे निराकरण कठीण नाही:
  3 x≤2,
  x≤2 / 3.

  उत्तर:

  x≤2 / 3.

  उदाहरण.

  विषमता सोडवा (x 2 +1) 2 −3 x 2> (x 2 −x) (x 2 + x).

  उपाय.

  उजव्या बाजूने अभिव्यक्ती हलवून आम्ही नेहमीप्रमाणे सुरुवात करतो आणि नंतर डावीकडे वापरून परिवर्तन करतो:
  (x 2 +1) 2 −3 x 2 - (x 2 −x) (x 2 + x)> 0,
  x 4 + 2 x 2 + 1−3 x 2 −x 4 + x 2> 0,
  1>0 .

  तर, समतुल्य परिवर्तने करून, आम्ही असमानता 1> 0 वर आलो, जी व्हेरिएबल x च्या कोणत्याही मूल्यांसाठी सत्य आहे. याचा अर्थ मूळ पूर्णांक असमानतेवर उपाय म्हणजे कोणतीही वास्तविक संख्या.

  उत्तर:

  x कोणताही आहे.

  उदाहरण.

  विषमता सोडवा x + 6 + 2 x 3 −2 x (x 2 + x − 5)> 0.

  उपाय.

  उजव्या बाजूला शून्य आहे, त्यामुळे तुम्हाला त्यातून काहीही हस्तांतरित करण्याची आवश्यकता नाही. डावीकडील संपूर्ण अभिव्यक्ती बहुपदीमध्ये रूपांतरित करा:
  x + 6 + 2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 + 10 x> 0,
  −2 x 2 + 11 x + 6> 0.

  आम्हाला एक चौरस असमानता मिळाली, जी मूळ असमानतेच्या बरोबरीची आहे. आम्हाला ज्ञात असलेल्या कोणत्याही पद्धतीने आम्ही ते सोडवतो. चौरस असमानता ग्राफिक पद्धतीने सोडवू.

  −2 x 2 + 11 x + 6 वर्ग त्रिपदाची मुळे शोधा:
  

  आम्ही एक योजनाबद्ध रेखाचित्र बनवतो, ज्यावर आम्ही आढळलेले शून्य चिन्हांकित करतो आणि विचारात घेतो की पॅराबोलाच्या शाखा खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या आहेत, कारण अग्रगण्य गुणांक नकारात्मक आहे:
  

  आपण > चिन्हाने असमानता सोडवत असल्याने, पॅराबोला अॅब्सिसा अक्षाच्या वर स्थित असलेल्या अंतरांमध्ये आपल्याला स्वारस्य आहे. हे मध्यांतर (−0.5, 6) वर घडते, जे इच्छित समाधान आहे.

  उत्तर:

  (−0,5, 6) .

  अधिक क्लिष्ट प्रकरणांमध्ये, परिणामी असमानतेच्या डाव्या बाजूला h (x)<0 (≤, >, ≥) पदवी 3 किंवा त्याहून अधिक बहुपदी असेल. अशा असमानतेचे निराकरण करण्यासाठी, मध्यांतर पद्धत योग्य आहे, ज्याच्या पहिल्या टप्प्यावर बहुपदी h (x) ची सर्व मुळे शोधणे आवश्यक आहे, जी अनेकदा केली जाते.

  उदाहरण.

  संपूर्ण तर्कसंगत असमानतेचे समाधान शोधा (x 2 + 2) (x + 4)<14−9·x .

  उपाय.

  सर्वकाही डाव्या बाजूला हलवा, त्यानंतर तेथे आणि:
  (x 2 +2) (x + 4) −14 + 9 x<0 ,
  x 3 + 4 x 2 + 2 x + 8−14 + 9 x<0 ,
  x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6<0 .

  केलेल्या हाताळणीमुळे आपल्याला मूळ असमानतेकडे नेले जाते. त्याच्या डाव्या बाजूला तिसऱ्या अंशाचा बहुपद आहे. तुम्ही मध्यांतर पद्धती वापरून ते सोडवू शकता. हे करण्यासाठी, सर्वप्रथम, तुम्हाला बहुपदीची मुळे शोधावी लागतील, जी x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0 वर अवलंबून आहे. त्याची परिमेय मुळे आहेत का ते शोधून काढूया, जी केवळ मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये असू शकते, म्हणजेच ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 या संख्यांमध्ये असू शकते. x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0 या समीकरणामध्ये x च्या ऐवजी या संख्यांना बदलल्यास, आपल्याला कळते की समीकरणाची मुळे 1, 2 आणि 3 आहेत. हे आपल्याला बहुपदी x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 हे गुणाकार (x − 1) (x − 2) (x − 3), आणि असमानता x 3 + 4 x 2 + 11 x − म्हणून दर्शवू देते. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

  आणि नंतर मध्यांतर पद्धतीच्या मानक चरणांचे अनुसरण करणे बाकी आहे: अंक रेषेवर 1, 2 आणि 3 सह बिंदू चिन्हांकित करा, जे या रेषेला चार मध्यांतरांमध्ये विभाजित करतात, चिन्हे निर्धारित करतात आणि ठेवतात, मध्यांतरांवर उणे काढतात. चिन्ह (आम्ही चिन्हाने असमानता सोडवतो<) и записать ответ.
  

  आमच्याकडे (−∞, 1) ∪ (2, 3) आहे.

  उत्तर:

  (−∞, 1)∪(2, 3) .

  हे लक्षात घेतले पाहिजे की कधीकधी असमानता r (x) - s (x) पासून ते अव्यवहार्य असते.<0 (≤, >, ≥) असमानता h (x) वर जा<0 (≤, >, ≥), जेथे h (x) ही दोन पेक्षा जास्त पदवीची बहुपदी आहे. हे अशा प्रकरणांना लागू होते जेव्हा r (x) - s (x) ही अभिव्यक्ती रेखीय द्विपदी आणि चौरस त्रिपदी यांचे गुणाकार म्हणून दर्शविण्यापेक्षा बहुपदी h (x) चा गुणांक काढणे अधिक कठीण असते, उदाहरणार्थ, गुणांकन करून सामान्य घटक. हे एका उदाहरणाने स्पष्ट करू.

  उदाहरण.

  विषमता सोडवा (x 2 −2 x − 1) (x 2 −19) ≥2 x (x 2 −2 x −1).

  उपाय.

  ही संपूर्ण असमानता आहे. जर आपण अभिव्यक्ती उजव्या बाजूकडून डावीकडे हलवली, तर कंस उघडून समान संज्ञा दिल्यास, आपल्याला असमानता मिळेल. x 4 −4 x 3 −16 x 2 + 40 x + 19≥0... ते सोडवणे फार कठीण आहे, कारण त्यात चौथ्या अंशाच्या बहुपदीची मुळे शोधणे समाविष्ट आहे. त्याला कोणतेही तर्कसंगत मुळे नाहीत हे तपासणे सोपे आहे (ते संख्या 1, −1, 19 किंवा −19 असू शकतात), आणि त्याची इतर मुळे शोधणे समस्याप्रधान आहे. त्यामुळे हा मार्ग मृतप्राय आहे.

  चला इतर उपाय शोधूया. हे पाहणे सोपे आहे की अभिव्यक्ती मूळ पूर्णांक असमानतेच्या उजव्या बाजूपासून डावीकडे हस्तांतरित केल्यानंतर, तुम्ही सामान्य घटक x 2 −2 x − 1 काढू शकता:
  (x 2 −2 x − 1) (x 2 −19) −2 x (x 2 −2 x − 1) ≥0,
  (x 2 −2 x − 1) (x 2 −2 x − 19) ≥0.

  केलेले परिवर्तन समतुल्य आहे, म्हणून परिणामी असमानतेचे समाधान मूळ असमानतेचे समाधान असेल.

  आणि आता आपण परिणामी असमानतेच्या डाव्या बाजूला अभिव्यक्तीचे शून्य शोधू शकतो, यासाठी आपल्याला x 2 −2 x − 1 = 0 आणि x 2 −2 x − 19 = 0 आवश्यक आहे. त्यांची मुळे संख्या आहेत ... हे आम्हाला समतुल्य असमानतेकडे जाण्यास अनुमती देते आणि आम्ही ते मध्यांतरांच्या पद्धतीद्वारे सोडवू शकतो:
  

  आम्ही रेखाचित्रानुसार उत्तर लिहितो.

  उत्तर:

  या उपविभागाच्या शेवटी, मी फक्त हे जोडू इच्छितो की बहुपदी h (x) ची सर्व मुळे शोधणे नेहमीच शक्य नसते, आणि परिणामी, रेखीय द्विपदी आणि चौरस त्रिपदाच्या गुणाकारात विस्तारित करणे. . या प्रकरणांमध्ये, असमानता h (x) सोडवण्याचा कोणताही मार्ग नाही.<0 (≤, >, ≥), म्हणजे मूळ संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणावर उपाय शोधण्याचा कोणताही मार्ग नाही.

  अंशतः तर्कसंगत असमानतेचे समाधान

  आता आपण अशा समस्येचे निराकरण करू: r (x) फॉर्मच्या एका व्हेरिएबल xसह अंशतः परिमेय असमानता सोडवणे आवश्यक आहे. , ≥), जिथे r (x) आणि s (x) काही तर्कसंगत अभिव्यक्ती आहेत आणि त्यापैकी किमान एक अंशात्मक आहे. ते सोडवण्यासाठी त्वरित अल्गोरिदम देऊ, त्यानंतर आम्ही आवश्यक स्पष्टीकरण देऊ.

  अपूर्णांक तर्कसंगत असमानता सोडवण्यासाठी अल्गोरिदमएक चल r (x) सह , ≥):

  • प्रथम, तुम्हाला मूळ असमानतेसाठी व्हेरिएबल x च्या स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी (ADV) शोधणे आवश्यक आहे.
  • पुढे, तुम्हाला विषमतेच्या उजव्या बाजूकडून डावीकडे अभिव्यक्ती हस्तांतरित करणे आवश्यक आहे आणि तेथे तयार झालेल्या r (x) −s (x) या अभिव्यक्तीचे p (x) / q (x) अपूर्णांकाच्या रूपात रूपांतर करणे आवश्यक आहे. जेथे p (x) आणि q (x) पूर्णांक अभिव्यक्ती आहेत जी रेखीय द्विपदी, अविघटनशील चौरस त्रिपदी आणि नैसर्गिक घातांकासह त्यांच्या अंशांची उत्पादने आहेत.
  • पुढे, आपल्याला मध्यांतरांच्या पद्धतीद्वारे परिणामी असमानता सोडवणे आवश्यक आहे.
  • शेवटी, मागील पायरीवर मिळालेल्या सोल्यूशनमधून, मूळ असमानतेसाठी x च्या GDV मध्ये समाविष्ट नसलेले गुण वगळणे आवश्यक आहे, जे पहिल्या चरणावर आढळले.

  हे अपूर्णांक तर्कसंगत असमानतेवर इच्छित समाधान देईल.

  अल्गोरिदमच्या दुसऱ्या टप्प्यासाठी स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. विषमतेच्या उजव्या बाजूपासून डावीकडे अभिव्यक्ती हलवल्यास असमानता r (x) −s (x) मिळते.<0 (≤, >, ≥), जे मूळच्या समतुल्य आहे. येथे सर्व काही स्पष्ट आहे. परंतु p (x) / q (x) फॉर्ममध्ये त्याच्या पुढील परिवर्तनामुळे प्रश्न उपस्थित केले जातात.<0 (≤, >, ≥).

  पहिला प्रश्न: "ते पार पाडणे नेहमीच शक्य आहे का?" सिद्धांततः, होय. आम्हाला माहित आहे की काहीही शक्य आहे. परिमेय अपूर्णांकाच्या अंश आणि भाजकामध्ये बहुपदी असतात. आणि बीजगणिताच्या मुख्य प्रमेयातून आणि बेझाउटच्या प्रमेयावरून असे दिसून येते की डिग्री n ची कोणतीही बहुपदी एका व्हेरिएबलसह रेखीय द्विपदींचे गुणाकार म्हणून दर्शविली जाऊ शकते. हे हे परिवर्तन पार पाडण्याची शक्यता स्पष्ट करते.

  व्यवहारात, बहुपदी घटक काढणे अवघड आहे आणि जर त्यांची पदवी चौथ्यापेक्षा जास्त असेल तर ते नेहमीच शक्य नसते. जर फॅक्टरायझेशन शक्य नसेल, तर मूळ असमानतेवर उपाय शोधण्याचा कोणताही मार्ग नसेल, परंतु शाळेत अशी प्रकरणे सहसा घडत नाहीत.

  दुसरा प्रश्न: “ असमानता p (x) / q (x) असेल<0 (≤, >, ≥) असमानता r (x) - s (x) च्या समतुल्य आहे<0 (≤, >, ≥), आणि म्हणून मूळ "? हे समतुल्य आणि असमान दोन्ही असू शकते. p (x) / q (x) या अभिव्यक्तीसाठी ODV r (x) - s (x) या अभिव्यक्तीसाठी ODV शी जुळत असल्यास ते समतुल्य आहे. या प्रकरणात, अल्गोरिदमची शेवटची पायरी अनावश्यक असेल. परंतु p (x) / q (x) या अभिव्यक्तीसाठी ODV r (x) - s (x) या अभिव्यक्तीसाठी ODV पेक्षा अधिक रुंद असू शकतो. जेव्हा अपूर्णांक कमी केले जातात तेव्हा ओडीझेडचा विस्तार होऊ शकतो, उदाहरणार्थ, येथून जात असताना ते . तसेच, ODZ चा विस्तार समान अटी कमी करून सुलभ केला जाऊ शकतो, उदाहरणार्थ, पासून संक्रमणामध्ये ते . या प्रकरणात, अल्गोरिदमचा शेवटचा टप्पा हेतू आहे, जो ओडीझेडच्या विस्तारामुळे उद्भवलेल्या बाह्य निर्णयांना वगळतो. आपण खालील उदाहरणांवर लक्ष ठेवूया.

  गणितीय असमानतेची संकल्पना प्राचीन काळात उद्भवली. हे तेव्हा घडले जेव्हा आदिम मानवाला विविध वस्तूंची मोजणी आणि क्रिया करताना त्यांचे प्रमाण आणि आकार यांची तुलना करणे आवश्यक होते. प्राचीन काळापासून, आर्किमिडीज, युक्लिड आणि इतर प्रसिद्ध शास्त्रज्ञांनी त्यांच्या युक्तिवादांमध्ये असमानता वापरली आहे: गणितज्ञ, खगोलशास्त्रज्ञ, डिझाइनर आणि तत्त्वज्ञ.

  परंतु त्यांनी, एक नियम म्हणून, त्यांच्या कामात मौखिक शब्दावली वापरली. प्रथमच, "अधिक" आणि "कमी" संकल्पना नियुक्त करण्यासाठी आधुनिक चिन्हे आज प्रत्येक शाळकरी मुलास ज्या स्वरूपात माहित आहेत, त्यांचा शोध लावला गेला आणि सरावाने इंग्लंडमध्ये लागू केला गेला. गणितज्ञ थॉमस गॅरियट यांनी वंशजांना अशी सेवा दिली. आणि हे सुमारे चार शतकांपूर्वी घडले.

  अनेक प्रकारच्या असमानता आहेत. त्यापैकी एक, दोन किंवा अधिक चल, चौरस, अपूर्णांक, जटिल गुणोत्तर आणि अगदी अभिव्यक्तीच्या प्रणालीद्वारे दर्शविलेले, साधे आहेत. आणि असमानता कशी सोडवायची हे समजून घेण्यासाठी, विविध उदाहरणे वापरणे हा सर्वोत्तम मार्ग आहे.

  ट्रेन चुकवू नका

  सुरुवातीला, एक गावकरी त्याच्या गावापासून २० किमी अंतरावर असलेल्या रेल्वे स्टेशनवर घाई करत असल्याची कल्पना करूया. 11 ची ट्रेन चुकू नये म्हणून, त्याने वेळेवर घर सोडले पाहिजे. त्याच्या हालचालीचा वेग ताशी 5 किमी असल्यास ते कोणत्या वेळी करावे? या व्यावहारिक समस्येचे निराकरण अभिव्यक्तीच्या अटींच्या पूर्ततेपर्यंत कमी केले जाते: 5 (11 - X) ≥ 20, जेथे X ही निर्गमन वेळ आहे.

  हे समजण्याजोगे आहे, कारण एका गावकऱ्याने स्टेशनपर्यंत जे अंतर कापले पाहिजे ते वाटेतील तासांच्या संख्येने गुणाकार केलेल्या हालचालीच्या गतीइतके असते. एखादी व्यक्ती लवकर येऊ शकते, परंतु त्याला उशीर होऊ शकत नाही. असमानता कशी सोडवायची हे जाणून घेणे, आणि तुमची कौशल्ये सरावात लागू करणे, शेवटी आम्हाला X ≤ 7 मिळेल, जे उत्तर आहे. म्हणजे गावकऱ्याने सकाळी सात वाजता किंवा त्यापूर्वीच रेल्वे स्टेशनवर जावे.

  समन्वय रेषेवरील संख्या अंतराल

  आता वर वर्णन केलेल्या असमानतेसाठी वर्णन केलेल्या संबंधांचा नकाशा कसा बनवायचा ते शोधूया, कठोर नाही. याचा अर्थ व्हेरिएबल 7 पेक्षा कमी मूल्ये घेऊ शकते आणि या संख्येइतके असू शकते. येथे काही इतर उदाहरणे आहेत. हे करण्यासाठी, खालील चार आकृत्यांचा काळजीपूर्वक विचार करा.

  

  पहिल्यावर तुम्ही मध्यांतराचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व पाहू शकता [-7; 7]. यात समन्वय रेषेवर स्थित असलेल्या आणि सीमांसह -7 आणि 7 च्या दरम्यान असलेल्या संख्येच्या अनेकत्वाचा समावेश आहे. या प्रकरणात, आलेखावरील बिंदू भरलेली मंडळे म्हणून दर्शविले जातात आणि मध्यांतर वापरून रेकॉर्ड केले जातात

  दुसरी आकृती गंभीर असमानतेचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व आहे. या प्रकरणात, सीमा क्रमांक -7 आणि 7, पंक्चर केलेल्या (न भरलेल्या) ठिपक्यांद्वारे दर्शविलेले, निर्दिष्ट सेटमध्ये समाविष्ट केलेले नाहीत. आणि मध्यांतर स्वतः कंसात खालीलप्रमाणे रेकॉर्ड केले आहे: (-7; 7).

  म्हणजेच, या प्रकारातील असमानता कशी सोडवायची हे शोधून काढल्यानंतर, आणि समान उत्तर मिळाल्यानंतर, आम्ही असा निष्कर्ष काढू शकतो की त्यामध्ये -7 आणि 7 वगळता, मानल्या जाणार्‍या सीमांच्या दरम्यान स्थित असलेल्या संख्येचा समावेश आहे. पुढील दोन प्रकरणांचा अंदाजानुसार समान मार्ग. तिसरी आकृती अंतरांच्या प्रतिमा दर्शवते (-∞; -7] U

  आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया आणि केवळ बहुपदीच नव्हे तर फॉर्मच्या तथाकथित तर्कसंगत अपूर्णांकांचा विचार करूया:

  जेथे $ P \ डावे (x \ उजवे) $ आणि $ Q \ डावे (x \ उजवे) $ $ (a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + फॉर्मचे सर्व समान बहुपद आहेत ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, किंवा अशा बहुपदींचे उत्पादन.

  ही तर्कसंगत असमानता असेल. मुलभूत मुद्दा म्हणजे $ x $ या व्हेरिएबलचे भाजकात उपस्थिती. उदाहरणार्थ, या तर्कसंगत असमानता आहेत:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ डावे (3-x \ उजवे)) ^ (2)) \ डावे (4 - (x) ^ ( 2)) \ right)) \ ge 0. \\ \ end (संरेखित) \]

  आणि ही तर्कसंगत नाही, परंतु सर्वात सामान्य असमानता आहे, जी मध्यांतरांच्या पद्धतीद्वारे सोडविली जाते:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]

  पुढे पाहताना, मी लगेच म्हणेन: तर्कसंगत असमानता सोडवण्याचे किमान दोन मार्ग आहेत, परंतु ते सर्व काही तरी आम्हाला आधीच ज्ञात असलेल्या मध्यांतरांच्या पद्धतीपर्यंत कमी करतात. म्हणून, या पद्धतींचे परीक्षण करण्यापूर्वी, जुन्या तथ्ये आठवूया, अन्यथा नवीन सामग्रीमधून काहीच अर्थ राहणार नाही.

  आपल्याला आधीपासूनच काय माहित असणे आवश्यक आहे

  त्यात फारशी महत्त्वाची तथ्ये नाहीत. आम्हाला खरोखर फक्त चार हवे आहेत.

  संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे

  होय, होय: संपूर्ण शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमात ते आम्हाला त्रास देतील. आणि विद्यापीठातही. यापैकी काही सूत्रे आहेत, परंतु आम्हाला फक्त खालील गोष्टींची आवश्यकता आहे:

  \ [\ begin (संरेखित करा) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ left (a \ pm b \ right)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ डावे (a + b \ उजवे) \ डावे (((a) ^ (2)) - ab + ((b) ) ^ (2)) \ बरोबर); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ डावे (ab \ उजवे) \ डावे (((a) ^ (2)) + ab + ((b)^ (2)) \ बरोबर). \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  शेवटच्या दोन सूत्रांकडे लक्ष द्या - हे क्यूब्सची बेरीज आणि फरक आहेत (बेरीज किंवा फरक क्यूब नाही!). पहिल्या कंसातील चिन्ह मूळ अभिव्यक्तीतील चिन्हाशी जुळत असल्याचे लक्षात आल्यास ते लक्षात ठेवणे सोपे आहे आणि दुसऱ्यामध्ये ते मूळ अभिव्यक्तीतील चिन्हाच्या विरुद्ध आहे.

  रेखीय समीकरणे

  $ ax + b = 0 $ या स्वरूपाची ही सर्वात सोपी समीकरणे आहेत, जिथे $ a $ आणि $ b $ या $ a \ ne 0 $ सह सामान्य संख्या आहेत. हे समीकरण सोप्या पद्धतीने सोडवले जाऊ शकते:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & ax + b = 0; \\ & ax = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  लक्षात घ्या की आम्हाला $a $ ने गुणांक भागण्याचा अधिकार आहे, कारण $a \ne 0 $. ही आवश्यकता अगदी तार्किक आहे, कारण $a = 0 $ साठी आम्हाला हे मिळते:

  प्रथम, या समीकरणात कोणतेही $ x $ व्हेरिएबल नाही. सर्वसाधारणपणे, हे आपल्याला गोंधळात टाकू नये (हे घडते, म्हणा, भूमितीमध्ये आणि बरेचदा), परंतु तरीही आपण यापुढे एका रेषीय समीकरणाचा सामना करत नाही.

  दुसरे म्हणजे, या समीकरणाचे समाधान केवळ $b$ या गुणांकावर अवलंबून असते. जर $b$ देखील शून्य असेल, तर आपल्या समीकरणाचे स्वरूप $0 = 0$ आहे. ही समानता नेहमीच खरी असते; म्हणून, $ x $ ही कोणतीही संख्या आहे (सामान्यतः ते असे लिहिले जाते: $ x \ मध्ये \ mathbb (R) $). जर गुणांक $ b $ शून्याच्या समान नसेल, तर समानता $ b = 0 $ कधीही समाधानी नाही, म्हणजे. कोणतीही उत्तरे नाहीत ($ x \ मध्ये \ varnothing $ लिहा आणि "उपायांचा संच रिक्त आहे" वाचा).

  या सर्व गुंतागुंत टाळण्यासाठी, आम्ही फक्त $a ​​\ne 0 $ असे गृहीत धरतो, जे कोणत्याही प्रकारे आपल्या पुढील विचारांना मर्यादित करत नाही.

  चतुर्भुज समीकरणे

  मी तुम्हाला आठवण करून देतो की याला चतुर्भुज समीकरण म्हणतात:

  येथे डावीकडे दुसऱ्या अंशाचा बहुपदी आहे, आणि पुन्हा $a \ne 0 $ (अन्यथा, द्विपद समीकरणाऐवजी, आपल्याला एक रेषीय समीकरण मिळेल). खालील समीकरणे भेदभावाद्वारे सोडविली जातात:

  1. जर $D \gt 0 $, तर आपल्याला दोन भिन्न मुळे मिळतात;
  2. जर $ D = 0 $, तर एक मूळ असेल, परंतु दुसऱ्या गुणाकाराचे (हे गुणाकार काय आहे आणि ते कसे लक्षात घ्यावे - याबद्दल नंतर अधिक). किंवा आपण असे म्हणू शकतो की समीकरणाची दोन समान मुळे आहेत;
  3. $D \lt 0$ साठी, मुळीच मुळी नाहीत आणि $a ((x)^(2)) + bx + c$ चे चिन्ह कोणत्याही $x $ साठी गुणांक $ च्या चिन्हाशी जुळते. एक $. तसे, ही एक अतिशय उपयुक्त वस्तुस्थिती आहे, जी काही कारणास्तव ते बीजगणिताच्या धड्यांबद्दल बोलणे विसरतात.

  मुळे स्वतःच सुप्रसिद्ध सूत्रानुसार मानली जातात:

  \ [((x)_ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]

  यास्तव, मार्गाने, आणि भेदभावावर बंधने. शेवटी, ऋण संख्येचे वर्गमूळ अस्तित्वात नाही. मुळांबद्दल, बर्‍याच विद्यार्थ्यांच्या डोक्यात एक भयानक गोंधळ आहे, म्हणून मी खास एक संपूर्ण धडा लिहिला: बीजगणितात मूळ काय आहे आणि ते कसे मोजायचे - मी ते वाचण्याची शिफारस करतो. :)

  परिमेय अपूर्णांकांसह क्रिया

  वर लिहिलेली प्रत्येक गोष्ट, आपण मध्यांतरांच्या पद्धतीचा अभ्यास केला असेल तर आपल्याला आधीच माहित आहे. परंतु आपण आता ज्याचे विश्लेषण करू त्याचे भूतकाळात कोणतेही उपमा नाहीत - ही एक पूर्णपणे नवीन वस्तुस्थिती आहे.

  व्याख्या. तर्कसंगत अपूर्णांक ही एक अभिव्यक्ती आहे

  \ [\ frac (P \ left (x \ उजवीकडे)) (Q \ left (x \ उजवीकडे)) \]

  जेथे $P \ left (x \ right) $ आणि $ Q \ left (x \ right) $ बहुपदी आहेत.

  अर्थात, अशा अपूर्णांकातून असमानता मिळवणे सोपे आहे - उजवीकडे "अधिक" किंवा "कमी" चिन्ह नियुक्त करणे पुरेसे आहे. आणि थोडे पुढे आपण शोधू की अशा समस्यांचे निराकरण करण्यात आनंद आहे, तेथे सर्वकाही अगदी सोपे आहे.

  जेव्हा एका अभिव्यक्तीमध्ये असे अनेक अपूर्णांक असतात तेव्हा समस्या सुरू होतात. त्यांना एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करावे लागेल - आणि या क्षणी मोठ्या प्रमाणात आक्षेपार्ह चुका केल्या जातात.

  म्हणून, तर्कसंगत समीकरणे यशस्वीरित्या सोडवण्यासाठी, आपल्याला दोन कौशल्ये दृढपणे पार पाडणे आवश्यक आहे:

  1. बहुपदी $ P \ डावीकडे (x \ उजवीकडे) $ गुणांकन;
  2. वास्तविक, अपूर्णांकांना सामान्य भाजक कमी करणे.

  बहुपदी घटक कसा बनवायचा? अगदी साधे. समजा आपल्याकडे फॉर्मची बहुपदी आहे

  आम्ही त्याची शून्याशी बरोबरी करतो. आम्ही $ n $ -th पदवीचे समीकरण प्राप्त करतो:

  \ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( a) _ (1)) x + (a) _ (0)) = 0 \]

  समजा आम्ही हे समीकरण सोडवले आणि मुळे मिळाली $(x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (घाबरू नका: बहुतेक प्रकरणांमध्ये असेल यापैकी दोन पेक्षा जास्त मुळे नाहीत) ... या प्रकरणात, आमचे मूळ बहुपद खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिले जाऊ शकते:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & P \ डावे (x \ उजवे) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + (a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ बाकी ( x - ((x)_ (1)) \ उजवीकडे) \ cdot \ डावे (x - ((x) _ (2)) \ उजवीकडे) \ cdot ... \ cdot \ left (x - ((x) _ (n)) \ right) \ end (संरेखित) \]

  इतकंच! कृपया लक्षात ठेवा: अग्रगण्य गुणांक $ ((a) _ (n)) $ कुठेही गायब झालेला नाही - तो कंसाच्या समोर एक वेगळा घटक असेल आणि आवश्यक असल्यास, तो यापैकी कोणत्याही कंसात घातला जाऊ शकतो (सराव शो की $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ सह मुळांमध्ये जवळजवळ नेहमीच अपूर्णांक असतात).

  कार्य. अभिव्यक्ती सुलभ करा:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]

  उपाय. प्रथम, भाजक पाहू: ते सर्व रेखीय द्विपद आहेत, आणि त्यात घटक करण्यासारखे काहीही नाही. चला तर अंकांचे घटक काढूया:

  \ [\ start (संरेखित) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ left (x- \ frac (3) (2) \ right) \ left (x-1 \ right) = \ left (2x- 3 \ उजवीकडे) \ डावीकडे (x-1 \ उजवीकडे); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ डावे (x + 2 \ उजवे) \ डावे (x- \ frac (2) (5) \ उजवे) = \ डावे (x +2 \ उजवीकडे) \ डावीकडे (2-5x \ उजवीकडे). \\\ शेवट (संरेखित) \]

  लक्ष द्या: दुस-या बहुपदीमध्ये, अग्रगण्य गुणांक "2", आमच्या योजनेनुसार, प्रथम ब्रॅकेटच्या समोर दिसला आणि नंतर प्रथम ब्रॅकेटमध्ये सादर केला गेला, कारण अपूर्णांक तेथे आला.

  तिसर्‍या बहुपदीमध्येही असेच घडले, केवळ तेथे पदांचा क्रम गोंधळलेला आहे. तथापि, गुणांक "−5" दुसर्‍या कंसात संपला (लक्षात ठेवा: तुम्ही एक आणि फक्त एका कंसात घटक प्रविष्ट करू शकता!), ज्यामुळे आम्हाला अंशात्मक मुळांशी संबंधित गैरसोयीपासून वाचवले.

  पहिल्या बहुपदासाठी, तेथे सर्वकाही सोपे आहे: त्याची मुळे एकतर भेदभावाद्वारे किंवा व्हिएटाच्या प्रमेयाद्वारे मानक मार्गाने शोधली जातात.

  चला मूळ अभिव्यक्तीकडे परत जाऊया आणि त्यास गुणांक असलेल्या अंकांसह पुन्हा लिहू:

  \ [\ आरंभ (मॅट्रिक्स) \ frac (\ left (x + 5 \ right) \ left (x-4 \ right)) (x-4) - \ frac (\ left (2x-3 \ right) \ left ( x-1 \ right)) (2x-3) - \ frac (\ left (x + 2 \ right) \ left (2-5x \ right)) (x + 2) = \\ = \ left (x + 5 \ right) - \ left (x-1 \ right) - \ left (2-5x \ right) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ एंड (मॅट्रिक्स) \]

  उत्तर: $ 5x + $ 4.

  जसे आपण पाहू शकता, काहीही क्लिष्ट नाही. इयत्ता 7-8 मध्ये थोडेसे गणित - इतकेच. सर्व परिवर्तनांचा मुद्दा म्हणजे जटिल आणि भितीदायक अभिव्यक्तीमधून काहीतरी सोपे मिळवणे ज्यासह कार्य करणे सोपे आहे.

  तथापि, हे नेहमीच असेल असे नाही. म्हणून, आता आम्ही अधिक गंभीर समस्येचा विचार करू.

  पण प्रथम, दोन अपूर्णांक एका सामान्य भाजकात कसे आणायचे ते शोधून काढू. अल्गोरिदम अत्यंत सोपी आहे:

  1. दोन्ही भाजक घटक;
  2. पहिल्या भाजकाचा विचार करा आणि त्यात दुसऱ्या भाजकात असलेले घटक जोडा, परंतु पहिल्यामध्ये नाही. परिणामी उत्पादन सामान्य भाजक असेल;
  3. प्रत्येक मूळ अपूर्णांकासाठी कोणते घटक गहाळ आहेत ते शोधा जेणेकरुन भाजक सामान्य सारखे होतील.

  कदाचित हा अल्गोरिदम तुम्हाला फक्त एक मजकूर वाटेल ज्यामध्ये "अनेक अक्षरे" आहेत. म्हणून, आम्ही एका विशिष्ट उदाहरणासह प्रत्येक गोष्टीचे विश्लेषण करू.

  कार्य. अभिव्यक्ती सुलभ करा:

  \ [\ बाकी (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ उजवीकडे) \ cdot \ डावे (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ right) \]

  उपाय. भागांमध्ये अशा मोठ्या समस्यांचे निराकरण करणे चांगले आहे. पहिल्या कंसात काय आहे ते लिहूया:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]

  मागील समस्येच्या विपरीत, येथे भाजकांसह सर्व काही इतके सोपे नाही. चला त्या प्रत्येकाचा घटक करूया.

  $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ हे चतुर्भुज त्रिपदी असू शकत नाही, कारण $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ या समीकरणाला कोणतेही मूळ नाही (भेदभाव ऋणात्मक आहे. ). आम्ही ते अपरिवर्तित सोडतो.

  दुसरा भाजक - घन बहुपद $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - जवळून तपासणी केल्यावर घनांचा फरक आहे आणि संक्षिप्त गुणाकार सूत्रांनुसार सहजपणे विघटित केले जाऊ शकते:

  \ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ डावे (x-2 \ उजवे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवीकडे) \]

  दुसरे काहीही फॅक्टरीकृत केले जाऊ शकत नाही, कारण पहिल्या कंसात एक रेखीय द्विपदी आहे आणि दुसर्‍यामध्ये एक बांधकाम आहे जे आपल्याला आधीपासूनच परिचित आहे, ज्याची वास्तविक मुळे नाहीत.

  शेवटी, तिसरा भाजक हा एक रेखीय द्विपदी आहे जो विघटित होऊ शकत नाही. अशा प्रकारे, आमचे समीकरण फॉर्म घेईल:

  \ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ left (x-2 \ उजवीकडे) \ बाकी (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवीकडे)) - \ frac (1) (x-2) \]

  हे अगदी स्पष्ट आहे की सामान्य भाजक हा अगदी $ \ left (x-2 \ उजवा) \ डावा (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवा) $ असेल आणि त्यात सर्व अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, तुम्हाला पहिला अपूर्णांक $ \ डावा (x-2 \ उजवा) $ आणि शेवटचा अपूर्णांक $ \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवा) $ ने गुणाकार करावा लागेल. मग ते फक्त खालील देणे बाकी आहे:

  \ [\ start (matrix) \ frac (x \ cdot \ left (x-2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) \ left (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवे)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ डावे (x-2 \ उजवे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवे)) - \ frac (1 \ cdot \ डावे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवे)) (\ left (x-2 \ उजवे) \ left (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ right)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ left (x-2 \ right) + \ left (((x) ^ (2)) + 8 \ right) - \ left (((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवीकडे)) (\ डावे (x-2 \ उजवे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवे)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ डावीकडे (x-2 \ उजवीकडे) \ डावीकडे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवीकडे)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ left (x-2 \ उजवीकडे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवीकडे)). \\ \ एंड (मॅट्रिक्स) \]

  दुसऱ्या ओळीकडे लक्ष द्या: जेव्हा भाजक आधीपासून सामान्य आहे, म्हणजे. तीन स्वतंत्र अपूर्णांकांऐवजी, आम्ही एक मोठा अपूर्णांक लिहिला, तुम्ही ताबडतोब कंस काढून टाकू नका. एक अतिरिक्त ओळ लिहिणे चांगले आहे आणि लक्षात ठेवा की, तिसर्‍या अपूर्णांकाच्या समोर एक वजा होता - आणि तो कुठेही जाणार नाही, परंतु कंसाच्या समोर अंशामध्ये "हँग" होईल. हे तुम्हाला बर्याच चुका वाचवेल.

  बरं, शेवटच्या ओळीत, अंश काढणे उपयुक्त आहे. शिवाय, हा एक अचूक चौरस आहे आणि संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे पुन्हा आपल्या मदतीला येतात. आमच्याकडे आहे:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ डावे (x-2 \ उजवे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवे)) = \ frac (((\ डावे (x-2 \ उजवे)) ^ (2))) (\ डावे (x-2 \ उजवे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ उजवे) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]

  आता दुसऱ्या ब्रॅकेटला त्याच पद्धतीने हाताळू. येथे मी फक्त समानतेची साखळी लिहीन:

  \ [\ आरंभ (मॅट्रिक्स) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2)) (\ डावे (x-2 \ उजवे) \ डावे (x + 2 \ उजवे)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ डावे (x-2 \ उजवे) \ डावे (x + 2 \ उजवे)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)) + \ frac (2 \ cdot \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2 \ right) ) \ cdot \ left (x + 2 \ right)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ left (x + 2 \ right)) (\ left (x-2) \ right) \ left (x + 2 \ right)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right) ). \\ \ एंड (मॅट्रिक्स) \]

  आम्ही मूळ समस्येकडे परत आलो आणि उत्पादन पाहू:

  \ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ left (x-2) \ right) \ डावे (x + 2 \ उजवे)) = \ frac (1) (x + 2) \]

  उत्तर: \ [\ frac (1) (x + 2) \].

  या कार्याचा अर्थ मागील कार्याप्रमाणेच आहे: जर तुम्ही त्यांच्या परिवर्तनाकडे सुज्ञपणे विचार केला तर तर्कशुद्ध अभिव्यक्ती किती सरलीकृत केल्या जाऊ शकतात हे दर्शविण्यासाठी.

  आणि आता तुम्हाला हे सर्व माहित आहे, चला आजच्या धड्याच्या मुख्य विषयाकडे वळू - अपूर्णांक-तर्कसंगत असमानता सोडवणे. शिवाय, अशा तयारीनंतर, असमानता स्वतःच काजूप्रमाणे क्रॅक होतील. :)

  तर्कसंगत असमानता सोडवण्याचा मुख्य मार्ग

  तर्कसंगत असमानता सोडवण्यासाठी किमान दोन दृष्टिकोन आहेत. आता आपण त्यापैकी एकाचा विचार करू - जो सामान्यतः शालेय गणित अभ्यासक्रमात स्वीकारला जातो.

  परंतु प्रथम, एक महत्त्वाचा तपशील लक्षात घ्या. सर्व असमानता दोन प्रकारांमध्ये विभागली आहेत:

  1. कठोर: $f \ left (x \ right) \ gt 0 $ किंवा $ f \ left (x \ right) \ lt 0 $;
  2. लक्ष: $f \ left (x \ right) \ ge 0 $ किंवा $ f \ left (x \ right) \ le 0 $.

  दुस-या प्रकारातील असमानता सहजपणे पहिल्या, तसेच समीकरणापर्यंत कमी केली जाऊ शकते:

  हे थोडेसे "अ‍ॅडिशन" $f \ left (x \ right) = 0 $ भरलेल्या ठिपक्यांसारख्या अप्रिय गोष्टीकडे नेत आहे - आम्हाला ते अंतराच्या पद्धतीत परत कळले. अन्यथा, कठोर आणि कठोर नसलेल्या असमानतेमध्ये कोणतेही फरक नाहीत, म्हणून सार्वत्रिक अल्गोरिदमचे विश्लेषण करूया:

  1. असमानता चिन्हाच्या एका बाजूला सर्व शून्य घटक गोळा करा. उदाहरणार्थ, डावीकडे;
  2. सर्व अपूर्णांक एका सामान्य भाजकावर आणा (जर असे अनेक अपूर्णांक असतील तर), समान आणा. नंतर, शक्य असल्यास, अंश आणि भाजक मध्ये घटक करा. एक ना एक मार्ग, आम्हाला $\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $ या फॉर्मची असमानता मिळते, जेथे चेक मार्क असमानतेचे चिन्ह आहे.
  3. अंश शून्यावर सेट करा: $ P \ डावे (x \ उजवे) = 0 $. आम्ही हे समीकरण सोडवतो आणि $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... नंतर आपल्याला आवश्यक आहे की भाजक शून्याच्या बरोबरीचा नव्हता: $ Q \ डावा (x \ उजवा) \ ne 0 $. अर्थात, खरं तर, आपल्याला $ Q \ left (x \ right) = 0 $ हे समीकरण सोडवायचे आहे आणि आपल्याला $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) ही मुळे मिळेल. $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (वास्तविक समस्यांमध्ये क्वचितच अशी तीन पेक्षा जास्त मुळे असतील).
  4. आम्ही या सर्व मुळे (तारकांसह आणि शिवाय) एकाच क्रमांकाच्या रेषेवर चिन्हांकित करतो आणि तारे नसलेली मुळे रंगविली जातात आणि ताऱ्यांसह ते बाहेर काढले जातात.
  5. आम्ही अधिक आणि वजा चिन्हे ठेवतो, आम्हाला आवश्यक असलेले मध्यांतर निवडा. असमानता $f \ left (x \ right) \ gt 0 $ सारखी दिसत असल्यास, उत्तर "प्लस" ने चिन्हांकित केलेले मध्यांतर असेल. जर $f \ left (x \ right) \lt 0 $, तर "minuses" सह मध्यांतर पहा.

  सराव दर्शवितो की सर्वात मोठ्या अडचणी गुण 2 आणि 4 - सक्षम परिवर्तन आणि चढत्या क्रमाने संख्यांची योग्य मांडणी यामुळे उद्भवतात. ठीक आहे, आणि शेवटच्या टप्प्यावर, अत्यंत सावधगिरी बाळगा: आम्ही नेहमी चिन्हे ठेवतो, त्यावर अवलंबून असतो समीकरणांवर जाण्यापूर्वी लिहिलेली सर्वात अलीकडील असमानता... अंतर पद्धतीपासून मिळालेला हा सार्वत्रिक नियम आहे.

  तर, योजना आहे. चला सराव करू.

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]

  उपाय. आमच्यासमोर $ f \ left (x \ उजवीकडे) \ lt 0 $ फॉर्मची कठोर असमानता आहे. अर्थात, आमच्या योजनेतील बिंदू 1 आणि 2 आधीच पूर्ण केले गेले आहेत: असमानतेचे सर्व घटक डावीकडे एकत्रित केले आहेत, सामान्य भाजकात काहीही आणण्याची गरज नाही. म्हणून, आम्ही थेट तिसऱ्या बिंदूकडे जातो.

  अंश शून्यावर सेट करा:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ समाप्त (संरेखित) \]

  आणि भाजक:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  बरेच लोक या ठिकाणी चिकटून राहतात, कारण सिद्धांतानुसार तुम्हाला $ x + 7 \ ne 0 $ लिहावे लागेल, ODZ (तुम्ही शून्याने भागू शकत नाही, इतकेच). पण तरीही, भविष्यात आम्ही भाजकाकडून आलेले गुण काढू, त्यामुळे तुम्हाला तुमची गणना पुन्हा एकदा गुंतागुंतीची करण्याची गरज नाही - सर्वत्र समान चिन्ह लिहा आणि काळजी करू नका. यासाठी कोणीही गुण कमी करणार नाही. :)

  चौथा मुद्दा. आम्ही परिणामी मुळे संख्या ओळीवर चिन्हांकित करतो:

  सर्व बिंदू पंक्चर केलेले आहेत कारण असमानता कठोर आहे

  टीप: मूळ असमानता कठोर असल्याने सर्व बिंदू पंक्चर केलेले आहेत... आणि इथे हे बिंदू अंशातून आले की भाजकाकडून आले याने काही फरक पडत नाही.

  बरं, आम्ही चिन्हे पाहतो. $ ((x)_ (0)) \gt 3 $ कोणतीही संख्या घ्या. उदाहरणार्थ, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (परंतु तुम्ही $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ किंवा $ ((x) _ (0) देखील घेतले असेल. ) = 1 \ 000 \ 000 $). आम्हाला मिळते:

  तर, सर्व मुळांच्या उजवीकडे, आपल्याकडे एक सकारात्मक क्षेत्र आहे. आणि प्रत्येक रूटमधून जात असताना, चिन्ह बदलते (हे नेहमीच असे होणार नाही, परंतु नंतर त्याबद्दल अधिक). म्हणून, आम्ही पाचव्या मुद्द्याकडे जातो: चिन्हे व्यवस्थित करा आणि आपल्याला आवश्यक असलेले निवडा:

  

  आम्ही शेवटच्या असमानतेकडे परत जाऊ, जी समीकरणांच्या निराकरणापूर्वी होती. वास्तविक, ते मूळच्याशी जुळते, कारण आम्ही या कार्यात कोणतेही परिवर्तन केले नाही.

  $f \ left (x \ right) \ lt 0 $ ची असमानता सोडवणे आवश्यक असल्याने, मी मध्यांतर $ x \ मधील \ left (-7; 3 \ उजवीकडे) $ - हे एकमेव आहे वजा चिन्हाने चिन्हांकित. हे उत्तर आहे.

  उत्तर: $ x \ मध्ये \ डावीकडे (-7; 3 \ उजवीकडे) $

  इतकंच! अवघड आहे का? नाही, अवघड नाही. खरे आहे, आणि कार्य सोपे होते. आता मिशन थोडे क्लिष्ट करूया आणि अधिक "फॅन्सी" असमानतेचा विचार करूया. ते सोडवताना, मी यापुढे अशी तपशीलवार गणना देणार नाही - मी फक्त मुख्य मुद्द्यांची रूपरेषा देईन. सर्वसाधारणपणे, आम्ही ते स्वतंत्र काम किंवा परीक्षेत केले जाईल त्याच प्रकारे व्यवस्था करू. :)

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4) \ ge 0 \]

  उपाय. ही $ f \ left (x \ उजवीकडे) \ ge 0 $ या स्वरूपाची एक सैल असमानता आहे. सर्व शून्य घटक डावीकडे गोळा केले जातात, कोणतेही भिन्न भाजक नाहीत. चला समीकरणांकडे वळूया.

  अंश:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & \ डावे (7x + 1 \ उजवे) \ डावे (11x + 2 \ उजवे) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ उजवा बाजू (x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ उजवा बाजू (x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  भाजक:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  ही समस्या कोणत्या प्रकारची विकृत होती हे मला माहित नाही, परंतु मुळे फार चांगले काम करत नाहीत: त्यांना क्रमांक रेषेवर ठेवणे कठीण होईल. आणि जर मूळ $(x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ सर्व काही कमी-अधिक स्पष्ट असेल (ही एकमेव सकारात्मक संख्या आहे - ती उजवीकडे असेल), तर $ ((x) _ (1)) = - (1) / (7) \; $ आणि $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ अतिरिक्त संशोधन आवश्यक आहे: कोणते मोठे आहे?

  आपण शोधू शकता, उदाहरणार्थ, यासारखे:

  \ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2) )) \]

  मला आशा आहे की संख्यात्मक अपूर्णांक $ - (2) / (14) \ का आहे हे स्पष्ट करण्याची आवश्यकता नाही; \gt - (2) / (11) \; $? आवश्यक असल्यास, मी अपूर्णांकांसह क्रिया कशी करावी हे लक्षात ठेवण्याची शिफारस करतो.

  आणि आम्ही संख्या रेषेवर सर्व तीन मुळे चिन्हांकित करतो:

  अंशातून ठिपके भरले जातात, भाजकातून - बाहेर काढले जातात

  आम्ही चिन्हे ठेवतो. उदाहरणार्थ, तुम्ही $ ((x)_ (0)) = 1 $ घेऊ शकता आणि या टप्प्यावर चिन्ह शोधू शकता:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & f \ left (x \ right) = \ frac (\ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right)) (13x-4); \\ & f \ left (1 \ right) = \ frac (\ left (7 \ cdot 1 + 1 \ right) \ left (11 \ cdot 1 + 2 \ right)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ end (संरेखित) \]

  समीकरणांपूर्वीची शेवटची असमानता होती $f \ left (x \ right) \ ge 0 $, त्यामुळे आम्हाला अधिक चिन्हामध्ये रस आहे.

  

  आम्हाला दोन संच मिळाले आहेत: एक सामान्य विभाग आहे आणि दुसरा क्रमांक रेषेवरील खुला किरण आहे.

  उत्तर: $ x \ मध्ये \ left [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ right] \ bigcup \ left (\ frac (4) (13); + \ infty \ right ) $

  सर्वात उजवीकडील मध्यांतरावरील चिन्हासाठी आम्ही बदललेल्या संख्येबद्दल एक महत्त्वाची नोंद. सर्वात उजव्या मुळाच्या जवळ असलेल्या संख्येची जागा घेणे अजिबात आवश्यक नाही. तुम्ही अब्जावधी किंवा "प्लस-अनंत" देखील घेऊ शकता - या प्रकरणात, कंस, अंश किंवा भाजक मधील बहुपदीचे चिन्ह केवळ अग्रगण्य गुणांकाच्या चिन्हाद्वारे निश्चित केले जाते.

  शेवटच्या असमानतेपासून $f \ left (x \ right) $ फंक्शनवर आणखी एक नजर टाकूया:

  तिच्या रेकॉर्डमध्ये तीन बहुपदी आहेत:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & ((P)_ (1)) \ left (x \ उजवीकडे) = 7x + 1; \\ & ((P)_ (2)) \ डावे (x \ उजवे) = 11x + 2; \\ & Q \ डावे (x \ उजवे) = 13x-4. \ समाप्त (संरेखित) \]

  ते सर्व रेखीय द्विपदी आहेत आणि सर्व अग्रगण्य गुणांक (संख्या 7, 11 आणि 13) धनात्मक आहेत. म्हणून, खूप मोठ्या संख्येची जागा घेताना, बहुपदी देखील सकारात्मक असतील. :)

  हा नियम खूप क्लिष्ट वाटू शकतो, परंतु जेव्हा आपण अगदी सोप्या समस्यांचे विश्लेषण करतो तेव्हाच. गंभीर असमानतेमध्ये, अधिक-अनंत प्रतिस्थापन आम्हाला मानक $ ((x) _ (0)) = 100 $ पेक्षा खूपच जलद चिन्हे काढण्याची परवानगी देईल.

  अशा आव्हानांना लवकरच तोंड द्यावे लागेल. पण प्रथम, अपूर्णांक-तर्कसंगत असमानता सोडवण्याचा पर्यायी मार्ग पाहू.

  पर्यायी मार्ग

  हे तंत्र मला माझ्या एका विद्यार्थ्याने सुचवले होते. मी स्वतः ते कधीही वापरलेले नाही, परंतु सरावाने दर्शविले आहे की अशा प्रकारे असमानता सोडवण्यासाठी बरेच विद्यार्थी खरोखरच अधिक सोयीस्कर आहेत.

  तर, प्रारंभिक डेटा समान आहे. अपूर्णांक-तर्कसंगत असमानता सोडवणे आवश्यक आहे:

  \ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ gt 0 \]

  चला विचार करूया: बहुपदी $Q \ left (x \ right) $ हे बहुपदी $ P \ left (x \ right) $ पेक्षा "वाईट" कसे आहे? आपल्याला मुळांच्या स्वतंत्र गटांचा विचार का करावा लागतो (तारकासह आणि त्याशिवाय), पंक्चर पॉइंट्स इत्यादींचा विचार करावा लागतो? हे सोपे आहे: अपूर्णांकाला परिभाषाचे क्षेत्र असते, ज्याचा व्यंजनाचा अपूर्णांक केवळ तेव्हाच समजतो जेव्हा त्याचा भाजक शून्य असतो.

  अन्यथा, अंश आणि भाजक यांच्यात कोणताही फरक शोधला जाऊ शकत नाही: आम्ही ते शून्याशी देखील समतुल्य करतो, मुळे शोधा, नंतर त्यांना संख्या रेषेवर चिन्हांकित करा. तर अपूर्णांक बार (खरं तर भागाकार चिन्ह) नेहमीच्या गुणाकाराने का बदलू नये आणि DHS च्या सर्व आवश्यकता वेगळ्या असमानतेच्या स्वरूपात का लिहू नये? उदाहरणार्थ, यासारखे:

  \ [\ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ gt 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (align) & P \ left (x \ right) \ cdot Q \ left (x \ right) \ gt 0, \\ & Q \ left (x \ right) \ ne 0. \\ \ end (align) \ right. \]

  कृपया लक्षात ठेवा: हा दृष्टीकोन मध्यांतरांच्या पद्धतीपर्यंत समस्या कमी करेल, परंतु ते निराकरण अजिबात गुंतागुंत करणार नाही. तरीही, आपण बहुपदी $ Q \ left (x \ उजवीकडे) $ ची शून्याशी बरोबरी करू.

  वास्तविक-जगातील समस्यांवर हे कसे कार्य करते ते पाहूया.

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]

  उपाय. तर आता स्पेसिंग पद्धतीकडे वळूया:

  \ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ उजवा बाजू \ डावीकडे \ (\ आरंभ (संरेखित) आणि \ डावे (x + 8 \ उजवे) \ डावे (x-11 \ उजवे) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ end (संरेखित) \ उजवीकडे. \]

  प्रथम असमानता सोडवणे सोपे आहे. आम्ही फक्त प्रत्येक कंस शून्याशी समान करतो:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & x + 8 = 0 \ उजवा बाजू (x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ उजवा बाण (x) _ (2)) = 11. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  दुसरी असमानता देखील सोपी आहे:

  आम्ही अंक रेषेवर $ ((x) _ (1)) $ आणि $ ((x) _ (2)) $ हे बिंदू चिन्हांकित करतो. ते सर्व बाहेर काढले आहेत, कारण असमानता कठोर आहे:

  उजवा पॉइंट दोनदा पंक्चर झाला. हे ठीक आहे.

  $ x = 11 $ बिंदूकडे लक्ष द्या. असे दिसून आले की ते "दोनदा पंक्चर केलेले" आहे: एकीकडे, आम्ही असमानतेच्या तीव्रतेमुळे आणि दुसरीकडे, डीएचएसच्या अतिरिक्त आवश्यकतेमुळे ते बाहेर काढतो.

  कोणत्याही परिस्थितीत, तो फक्त एक पंचर बिंदू असेल. म्हणून, आम्ही असमानतेसाठी चिन्हे ठेवतो $ \ left (x + 8 \ right) \ left (x-11 \ right) \ gt 0 $ - समीकरणे सोडवायला सुरुवात करण्यापूर्वी आम्ही पाहिलेली शेवटची चिन्हे:

  

  आम्हाला सकारात्मक क्षेत्रांमध्ये रस आहे, कारण आम्ही $ f \ left (x \ right) \ gt 0 $ ची असमानता सोडवत आहोत - आणि त्यांना सावली देतो. हे फक्त उत्तर लिहायचे राहते.

  उत्तर द्या. $ x \ मध्ये \ डावे (- \ infty; -8 \ उजवे) \ bigcup \ left (11; + \ infty \ उजवे) $

  हे उपाय उदाहरण म्हणून वापरून, मी तुम्हाला नवशिक्या विद्यार्थ्यांमधील सामान्य चुकीबद्दल चेतावणी देऊ इच्छितो. उदाहरणार्थ: असमानतेमध्ये कंस कधीही वाढवू नका! त्याउलट, सर्वकाही घटक करण्याचा प्रयत्न करा - ते समाधान सुलभ करेल आणि आपल्याला बर्याच समस्या वाचवेल.

  आता थोडे अवघड करून बघूया.

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (\ left (2x-13 \ right) \ left (12x-9 \ right)) (15x + 33) \ le 0 \]

  उपाय. ही $f \ left (x \ right) \ le 0 $ या फॉर्मची एक सैल असमानता आहे, म्हणून तुम्हाला येथे भरलेल्या ठिपक्यांकडे बारकाईने लक्ष देणे आवश्यक आहे.

  स्पेसिंग पद्धतीकडे जात आहे:

  \ [\ डावे \ (\ आरंभ (संरेखित) आणि \ डावे (2x-13 \ उजवे) \ डावे (12x-9 \ उजवे) \ डावे (15x + 33 \ उजवे) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ end (संरेखित) \ उजवीकडे. \]

  चला समीकरणाकडे जाऊया:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & \ डावे (2x-13 \ उजवे) \ डावे (12x-9 \ उजवे) \ डावे (15x + 33 \ उजवे) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ उजवा बाण (x ) _ (1)) = 6.5; \\ & 12x-9 = 0 \ राईटरो ((x)_ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ उजवा बाजू (x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  आम्ही अतिरिक्त आवश्यकता लक्षात घेतो:

  आम्ही प्राप्त केलेली सर्व मुळे संख्या रेषेवर चिन्हांकित करतो:

  जर एखादा बिंदू एकाच वेळी पंक्चर केलेला आणि छायांकित केला असेल तर तो पंक्चर केलेला बिंदू मानला जातो.

  पुन्हा, दोन बिंदू एकमेकांना "ओव्हरलॅप" करतात - हे सामान्य आहे, ते नेहमीच असेल. हे समजून घेणे महत्त्वाचे आहे की पंक्चर केलेले आणि भरलेले दोन्ही चिन्हांकित केलेले बिंदू प्रत्यक्षात पंक्चर झाले आहेत. त्या. "गौगिंग" ही "पेंटिंग" पेक्षा मजबूत क्रिया आहे.

  हे पूर्णपणे तार्किक आहे, कारण गॉगिंग करून, आम्ही फंक्शनच्या चिन्हावर परिणाम करणारे बिंदू चिन्हांकित करतो, परंतु स्वतः उत्तरामध्ये भाग घेत नाही. आणि जर काही क्षणी संख्या आपल्यास अनुरूप नाही (उदाहरणार्थ, तो ओडीझेडमध्ये येत नाही), तर आम्ही समस्येच्या अगदी शेवटपर्यंत विचारातून हटवतो.

  सर्वसाधारणपणे, तत्त्वज्ञान थांबवा. वजा चिन्हाने चिन्हांकित केलेल्या मध्यांतरांवर आम्ही चिन्हे ठेवतो आणि पेंट करतो:

  

  उत्तर द्या. $ x \ मध्ये \ डावे (- \ infty; -2.2 \ उजवे) \ bigcup \ left [0.75; 6.5 \ right] $.

  आणि पुन्हा मी या समीकरणाकडे तुमचे लक्ष वेधू इच्छितो:

  \ [\ डावे (2x-13 \ उजवे) \ डावे (12x-9 \ उजवे) \ डावे (15x + 33 \ उजवे) = 0 \]

  पुन्हा एकदा: अशा समीकरणांमध्ये कंस कधीही उघडू नका! आपण फक्त आपल्यासाठी ते कठीण कराल. लक्षात ठेवा: कमीत कमी एक घटक शून्य असतो तेव्हा उत्पादन शून्य असते. परिणामी, हे समीकरण फक्त अनेक लहान समीकरणांमध्ये "असून पडते", जे आम्ही मागील समस्येमध्ये सोडवले होते.

  मुळांची बाहुल्यता लक्षात घेऊन

  मागील समस्यांवरून हे पाहणे सोपे आहे की ही सर्वात कठीण असमानता आहे, कारण त्यात तुम्हाला भरलेल्या ठिपक्यांचा मागोवा ठेवावा लागेल.

  पण जगात त्याहूनही मोठी वाईट गोष्ट आहे - ही असमानतेची अनेक मुळे आहेत. येथे तुम्हाला आधीपासून काही भरलेल्या ठिपक्यांचे अनुसरण करावे लागेल - येथे समान बिंदूंमधून जाताना असमानता चिन्ह अचानक बदलू शकत नाही.

  आम्ही या धड्यात असे काहीही विचारात घेतले नाही (जरी मध्यांतर पद्धतीमध्ये अशीच समस्या अनेकदा आली होती). म्हणून, आम्ही एक नवीन व्याख्या सादर करतो:

  व्याख्या. $ (\ left (x-a \ right)) ^ (n)) = 0 $ या समीकरणाचे मूळ $ x = a $ आहे आणि त्याला $ n $ व्या गुणाकाराचे मूळ म्हणतात.

  वास्तविक, आम्हाला गुणाकाराच्या अचूक मूल्यामध्ये विशेष रस नाही. हीच संख्या $n$ सम आहे की विषम आहे हे महत्त्वाचे आहे. कारण:

  1. जर $x = a $ हे सम गुणाकाराचे मूळ असेल, तर त्यामधून जाताना फंक्शनचे चिन्ह बदलत नाही;
  2. आणि त्याउलट, जर $ x = a $ हे विषम गुणाकाराचे मूळ असेल, तर फंक्शनचे चिन्ह बदलेल.

  या धड्यात चर्चा केलेल्या मागील सर्व समस्या विषम गुणाकाराच्या मुळाचे एक विशेष प्रकरण आहेत: सर्वत्र गुणाकार एक समान आहे.

  आणि पुढे. आम्ही समस्या सोडवण्यास सुरुवात करण्यापूर्वी, मी तुमचे लक्ष एका सूक्ष्मतेकडे आकर्षित करू इच्छितो जे अनुभवी विद्यार्थ्याला स्पष्ट वाटेल, परंतु अनेक नवशिक्यांना मूर्ख बनवते. म्हणजे:

  गुणाकाराचे मूळ $ n $ तेव्हाच उद्भवते जेव्हा संपूर्ण अभिव्यक्ती या बळावर वाढवली जाते: $ ((\ डावे (xa \ उजवे)) ^ (n)) $, आणि $ \ डावे (((x) ^ ( n) )) - a \ right) $.

  पुन्हा एकदा: कंस $ ((\ डावा (xa \ उजवा)) ^ (n)) $ आम्हाला $ x = a $ गुणाकार $ n $ देतो, परंतु कंस $ \ left (((x) ^ ( n)) -a \ right) $ किंवा, बर्‍याचदा असे होते, $ (a - ((x) ^ (n))) $ आम्हाला मूळ (किंवा दोन मुळे, जर $ n $ सम असेल तर) देते. प्रथम गुणाकार, $ n $ च्या बरोबरीचे असले तरीही.

  तुलना करा:

  \ [((\ डावीकडे (x-3 \ उजवीकडे)) ^ (5)) = 0 \ राईटरो x = 3 \ डावे (5k \ उजवे) \]

  येथे सर्व काही स्पष्ट आहे: संपूर्ण कंस पाचव्या पॉवरवर वाढविला गेला, म्हणून आउटपुटवर आम्हाला पाचव्या पॉवरचे मूळ मिळाले. आणि आता:

  \ [\ डावीकडे (((x) ^ (2)) - 4 \ उजवीकडे) = 0 \ उजवा बाजू (x) ^ (2)) = 4 \ राईटरो x = \ pm 2 \]

  आपल्याला दोन मुळे मिळाली आहेत, परंतु त्या दोघांमध्ये प्रथम गुणाकार आहे. किंवा येथे दुसरे आहे:

  \ [\ डावीकडे (((x) ^ (10)) - 1024 \ उजवीकडे) = 0 \ राईटअॅरो (x) ^ (10)) = 1024 \ राईटअॅरो x = \ pm 2 \]

  आणि दहावीच्या पदवीने गोंधळून जाऊ नका. मुख्य गोष्ट अशी आहे की 10 ही एक सम संख्या आहे, म्हणून आउटपुटमध्ये आपल्याकडे दोन मुळे आहेत आणि त्या दोघांना पुन्हा प्रथम गुणाकार आहे.

  सर्वसाधारणपणे, सावधगिरी बाळगा: बाहुल्य तेव्हाच उद्भवते पदवी संपूर्ण कंसाचा संदर्भ देते, केवळ व्हेरिएबल नाही.

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ डावे (6-x \ उजवे)) ^ (3)) \ डावे (x + 4 \ उजवे)) (((\ डावे (x + 7) \ बरोबर)) ^ (5))) \ ge 0 \]

  उपाय. चला ते एका पर्यायी मार्गाने सोडवण्याचा प्रयत्न करूया - विशिष्ट ते कामाच्या संक्रमणाद्वारे:

  \ [\ डावे \ (\ आरंभ (संरेखित) & ((x) ^ (2)) (\ left (6-x \ उजवीकडे)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ उजवीकडे) \ cdot ( (\ डावे (x + 7 \ उजवे)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ डावे (x + 7 \ उजवे)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ शेवट (संरेखित करा) ) \ बरोबर. \]

  आम्ही मध्यांतर पद्धत वापरून प्रथम असमानतेचा सामना करतो:

  \ [\ आरंभ (संरेखित करा) & ((x) ^ (2)) (\ left (6-x \ उजवीकडे)) ^ (3)) \ left (x + 4 \ उजवीकडे) \ cdot ((\ left ( x + 7 \ उजवीकडे)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ उजवा बाजू x = 0 \ डावा (2k \ उजवा); \\ & ((\ डावीकडे (6-x \ उजवीकडे)) ^ (3)) = 0 \ राईटरो x = 6 \ डावे (3k \ उजवे); \\ & x + 4 = 0 \ उजवा बाजू x = -4; \\ & ((\ left (x + 7 \ right)) ^ (5)) = 0 \ Rightarrow x = -7 \ left (5k \ उजवीकडे). \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  याव्यतिरिक्त, आम्ही दुसरी असमानता सोडवतो. खरं तर, आम्ही ते आधीच सोडवले आहे, परंतु पुनरावलोकनकर्त्यांना निराकरणात दोष आढळू नये म्हणून, ते पुन्हा सोडवणे चांगले आहे:

  \ [((\ डावीकडे (x + 7 \ उजवीकडे)) ^ (5)) \ ne 0 \ Rightarrow x \ ne -7 \]

  कृपया लक्षात घ्या: शेवटच्या असमानतेमध्ये कोणतेही गुणाकार नाहीत. खरंच: अंक रेषेवर $ x = -7 $ हा बिंदू किती वेळा ओलांडायचा याने काय फरक पडतो? किमान एकदा, किमान पाच - परिणाम समान असेल: एक पंचर बिंदू.

  नंबर रेषेवर मिळालेल्या प्रत्येक गोष्टीवर चिन्हांकित करूया:

  

  मी म्हटल्याप्रमाणे, बिंदू $ x = -7 $ शेवटी पंक्चर होईल. मध्यांतरांच्या पद्धतीद्वारे असमानतेच्या समाधानावर आधारित गुणाकारांची मांडणी केली जाते.

  चिन्हे ठेवणे बाकी आहे:

  

  बिंदू $ x = 0 $ सम गुणाकाराचे मूळ असल्याने, त्यामधून जाताना चिन्ह बदलत नाही. उर्वरित बिंदूंमध्ये विषम गुणाकार आहेत आणि त्यांच्यासह सर्वकाही सोपे आहे.

  उत्तर द्या. $ x \ मध्ये \ डावे (- \ infty; -7 \ उजवे) \ bigcup \ left [-4; 6 \ right] $

  पुन्हा $ x = 0 $ लक्षात ठेवा. समान गुणाकारामुळे, एक मनोरंजक प्रभाव उद्भवतो: त्याच्या डावीकडे, सर्व काही उजवीकडे पेंट केले आहे, आणि बिंदू स्वतःच पूर्णपणे पेंट केला आहे.

  परिणामी, प्रतिसाद रेकॉर्ड करताना ते वेगळे करणे आवश्यक नाही. त्या. $x \ मध्ये \ left [-4; 0 \ right] \ bigcup \ left [0; 6 \ right] $ असे काही लिहिण्याची गरज नाही (जरी औपचारिकपणे हे उत्तर बरोबर असेल). त्याऐवजी, आम्ही लगेच $x \ in \ left [-4; 6 \ right] $ लिहू.

  असे परिणाम केवळ बहुगुणित मुळांसाठीच शक्य आहेत. आणि पुढील कार्यात आपण या प्रभावाच्या विरुद्ध "प्रकटीकरण" चा सामना करू. तयार?

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (((\ left (x-3 \ right)) ^ (4)) \ left (x-4 \ right)) (((\ left (x-1 \ right)) ^ (2)) \ डावे (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ उजवे)) \ ge 0 \]

  उपाय. यावेळी आम्ही मानक योजनेनुसार जाऊ. अंश शून्यावर सेट करा:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & ((\ डावे (x-3 \ उजवे)) ^ (4)) \ डावे (x-4 \ उजवे) = 0; \\ & ((\ डावीकडे (x-3 \ उजवीकडे)) ^ (4)) = 0 \ उजवा बाजू (x) _ (1)) = 3 \ डावीकडे (4k \ उजवीकडे); \\ & x-4 = 0 \ उजवा बाण ((x)_ (2)) = 4. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  आणि भाजक:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & ((\ डावीकडे (x-1 \ उजवीकडे)) ^ (2)) \ डावे (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ उजवीकडे) = 0; \\ & ((\ डावीकडे (x-1 \ उजवीकडे)) ^ (2)) = 0 \ उजवा बाजू x_ (1) ^ (*) = 1 \ डावीकडे (2k \ उजवीकडे); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ राईटरो x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  आपण $f \ left (x \ right) \ ge 0 $ या फॉर्मची कमकुवत असमानता सोडवत असल्याने, भाजक (जे तारकासह आहेत) ची मुळे पंक्चर होतील, आणि अंशातून ती भरली जातील.

  

  आम्ही "प्लस" सह चिन्हांकित चिन्हे आणि हॅच क्षेत्रे ठेवतो:

  बिंदू $ x = 3 $ वेगळे आहे. हा उत्तराचा भाग आहे

  अंतिम उत्तर लिहिण्यापूर्वी, चित्राकडे बारकाईने लक्ष द्या:

  1. बिंदू $ x = 1 $ मध्ये समान गुणाकार आहे, परंतु स्वतःच पंक्चर आहे. म्हणून, ते उत्तरात वेगळे करावे लागेल: तुम्हाला $x \ in \ left (- \ infty; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $ लिहावे लागेल, $ x \ in नाही. \ left (- \ infty; 2 \ उजवीकडे) $.
  2. बिंदू $ x = 3 $ मध्ये देखील सम गुणाकार आहे आणि तो एकाच वेळी भरला जातो. चिन्हांची मांडणी सूचित करते की बिंदू स्वतःच आपल्यासाठी अनुकूल आहे, परंतु डावीकडे आणि उजवीकडे एक पाऊल - आणि आपण स्वतःला अशा क्षेत्रात शोधतो जे निश्चितपणे आपल्यास अनुरूप नाही. अशा बिंदूंना विलग म्हणतात आणि $ x \ मध्ये \ left \ (3 \ उजवीकडे \) $ असे लिहिले जाते.

  आम्ही सर्व परिणामी तुकडे एका सामान्य सेटमध्ये एकत्र करतो आणि उत्तर लिहून देतो.

  उत्तर: $ x \ मध्ये \ left (- \ infty; 1 \ उजवीकडे) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; 5 \ right) $

  व्याख्या. विषमता सोडवणे म्हणजे त्याचे अनेक उपाय शोधा, किंवा हा संच रिकामा असल्याचे सिद्ध करा.

  असे दिसते: येथे काय समजण्यासारखे नाही? होय, वस्तुस्थिती अशी आहे की सेट वेगवेगळ्या प्रकारे निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात. शेवटच्या समस्येचे उत्तर पुन्हा एकदा लिहूया:

  जे लिहिले आहे ते आपण अक्षरशः वाचतो. व्हेरिएबल "x" एका विशिष्ट संचाशी संबंधित आहे, जो ("U" चिन्ह) चार स्वतंत्र संच एकत्र करून मिळवला जातो:

  • $ \ डावे (- \ infty; 1 \ उजवे) $ मध्यांतर, ज्याचा शब्दशः अर्थ "सर्व संख्या एकापेक्षा कमी आहेत, परंतु स्वतः एक नाही";
  • $ \ डावीकडे (1; 2 \ उजवीकडे) $ अंतर, i.e. "1 ते 2 च्या श्रेणीतील सर्व संख्या, परंतु स्वतः 1 आणि 2 संख्या नाहीत";
  • संच $ \ left \ (3 \ उजवा \) $, ज्यामध्ये एकच संख्या - तीन;
  • मध्यांतर $ \ left [4; 5 \ उजवीकडे) $, ज्यामध्ये 4 ते 5 च्या श्रेणीतील सर्व संख्या आहेत, तसेच चार स्वतः आहेत, परंतु पाच नाहीत.

  तिसरा मुद्दा येथे स्वारस्य आहे. मध्यांतरांच्या विपरीत, जे संख्यांचे अनंत संच परिभाषित करतात आणि केवळ या संचांच्या सीमा दर्शवतात, संच $ \ left \ (3 \ उजवा \) $ गणनेद्वारे अचूक एक संख्या निर्दिष्ट करतो.

  आम्ही फक्त सेटमध्ये समाविष्ट केलेल्या विशिष्ट संख्यांची यादी करत आहोत हे समजण्यासाठी (आणि सीमा किंवा इतर काहीही सेट करत नाही), कुरळे ब्रेसेस वापरले जातात. उदाहरणार्थ, नोटेशन $ \ left \ (1; 2 \ उजवा \) $ म्हणजे "दोन संख्यांचा समावेश असलेला संच: 1 आणि 2", परंतु 1 ते 2 पर्यंतचा खंड नाही. कोणत्याही परिस्थितीत तुम्ही या संकल्पनांचा गोंधळ करू नये. .

  गुणाकार जोडण्याचा नियम

  बरं, आजच्या धड्याच्या शेवटी, पावेल बर्डॉव्हचा एक छोटासा टिन. :)

  चौकस विद्यार्थ्यांनी कदाचित आधीच प्रश्न विचारला असेल: अंश आणि भाजकांमध्ये समान मुळे आढळल्यास काय होईल? तर, खालील नियम कार्य करते:

  समान मुळांच्या गुणाकार जोडल्या जातात. नेहमी असते. जरी हे मूळ अंश आणि भाजक या दोन्हीमध्ये आढळते.

  कधी कधी बोलण्यापेक्षा ठरवणे चांगले. म्हणून, आम्ही खालील समस्येचे निराकरण करतो:

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ डावे (((x) ^ (2)) - 16 \ उजवे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ उजवीकडे)) \ ge 0 \]

  \ [\ आरंभ (संरेखित करा) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x)_ (2)) = -4. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  अजून काही विशेष नाही. भाजक शून्यावर सेट करा:

  \ [\ आरंभ (संरेखित करा) & \ डावे (((x) ^ (2)) - 16 \ उजवीकडे) \ डावे (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ उजवे) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ राईटरो x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ उजवा बाजू x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  दोन समान मुळे सापडली: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ आणि $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. दोन्ही प्रथम पट आहेत. म्हणून, आम्ही त्यांना एका रूटने बदलतो $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, परंतु आधीच गुणाकार 1 + 1 = 2 सह.

  याव्यतिरिक्त, एकसारखी मुळे देखील आहेत: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ आणि $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. ते देखील पहिल्या गुणाकाराचे आहेत, त्यामुळे केवळ $x_ (2) ^ (*) = - 4 $ गुणाकार 1 + 1 = 2 शिल्लक आहे.

  कृपया लक्षात ठेवा: दोन्ही प्रकरणांमध्ये, आम्ही "पंक्चर केलेले" मूळ सोडले आहे आणि "भरलेले" विचारातून टाकून दिले आहे. कारण धड्याच्या सुरुवातीलाही आम्ही मान्य केले आहे: जर एखादा बिंदू पंक्चर झाला असेल आणि त्यावर पेंट केला असेल, तर आम्ही अजूनही तो पंक्चर मानतो.

  परिणामी, आमच्याकडे चार मुळे आहेत आणि सर्व बाहेर काढले गेले आहेत:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ बाकी (2k \ उजवीकडे); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ बाकी (2k \ उजवीकडे). \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  गुणाकार लक्षात घेऊन आम्ही त्यांना संख्या रेषेवर चिन्हांकित करतो:

  

  आम्हाला स्वारस्य असलेल्या क्षेत्रांवर आम्ही चिन्हे ठेवतो आणि पेंट करतो:

  

  सर्व काही. वेगळे बिंदू आणि इतर विकृती नाहीत. तुम्ही उत्तर लिहू शकता.

  उत्तर द्या. $x \ मध्ये \ left (- \ infty; -7 \ right) \ bigcup \ left (4; + \ infty \ right) $.

  गुणाकार नियम

  कधीकधी आणखी अप्रिय परिस्थिती उद्भवते: एकाधिक मुळांसह समीकरण स्वतःच एका विशिष्ट शक्तीपर्यंत वाढविले जाते. या प्रकरणात, सर्व मूळ मुळांचे गुणाकार बदलतात.

  हे दुर्मिळ आहे, म्हणूनच बहुतेक विद्यार्थ्यांना अशा समस्या सोडवण्याचा अनुभव नाही. आणि नियम खालीलप्रमाणे आहे:

  जेव्हा समीकरण $ n $ पर्यंत वाढवले ​​जाते, तेव्हा त्याच्या सर्व मुळांचे गुणाकार देखील $ n $ पटीने वाढतात.

  दुसऱ्या शब्दांत, घातांकामुळे समान शक्तीने गुणाकार केला जातो. चला या नियमाचा उदाहरणासह विचार करूया:

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (x ((\ डावे (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ उजवे)) ^ (2)) ((\ डावे (x-4 \ उजवे)) ^ (5)) ) (((\ डावे (2-x \ उजवे)) ^ (3)) (\ डावे (x-1 \ उजवे)) ^ (2))) \ le 0 \]

  उपाय. अंश शून्यावर सेट करा:

  कमीत कमी एक घटक शून्याच्या बरोबरीचा असतो तेव्हा उत्पादन शून्य असते. पहिल्या घटकासह, सर्वकाही स्पष्ट आहे: $ x = 0 $. परंतु नंतर समस्या सुरू होतात:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & ((\ डावे (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ उजवीकडे)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ बाकी (2k \ उजवीकडे); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ left (2k \ right) \ left (2k \ right) \\ \ & ((x)_ (2)) = 3 \ डावे (4k \ उजवे) \\ \ end (संरेखित) \]

  तुम्ही बघू शकता, समीकरण $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ मध्ये दुसऱ्या गुणाकाराचे एकच मूळ आहे: $ x = 3 $. मग संपूर्ण समीकरण चौरस होईल. म्हणून, रूटची गुणाकारता $ 2 \ cdot 2 = 4 $ असेल, जी आपण शेवटी लिहिली आहे.

  \ [((\ डावीकडे (x-4 \ उजवीकडे)) ^ (5)) = 0 \ राईटरो x = 4 \ डावे (5k \ उजवे) \]

  भाजकामध्ये देखील कोणतीही समस्या नाही:

  \ [\ आरंभ (संरेखित करा) & ((\ डावे (2-x \ उजवे)) ^ (3)) ((\ डावे (x-1 \ उजवे)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ डावीकडे (2-x \ उजवीकडे)) ^ (3)) = 0 \ राईटरो x_ (1) ^ (*) = 2 \ डावे (3k \ उजवे); \\ & ((\ डावीकडे (x-1 \ उजवीकडे)) ^ (2)) = 0 \ उजवा बाजू x_ (2) ^ (*) = 1 \ डावीकडे (2k \ उजवीकडे). \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  एकूण, आम्हाला पाच गुण मिळाले: दोन पंक्चर आणि तीन भरले. अंश आणि भाजक मध्ये कोणतेही योगायोग मुळे नाहीत, म्हणून आम्ही त्यांना फक्त संख्या रेषेवर चिन्हांकित करतो:

  

  आम्‍ही गुणाकार लक्षात घेऊन चिन्हांची मांडणी करतो आणि आम्‍हाला रुचीच्‍या अंतराने रंगवतो:

  पुन्हा, एक विलग बिंदू आणि एक पंक्चर

  समान गुणाकाराच्या मुळांमुळे, आम्हाला पुन्हा काही "नॉन-स्टँडर्ड" घटक मिळाले. हे $x \ in \ left [0; 1 \ right) \ bigcup \ left (1; 2 \ right) $ आहे, $ x \ in \ left [0; 2 \ right) $ नाही, आणि पृथक बिंदू $ आहे x \ मध्ये \ डावीकडे \ (3 \ उजवीकडे \) $.

  उत्तर द्या. $ x \ मध्ये \ डावीकडे [0; 1 \ उजवीकडे) \ bigcup \ left (1; 2 \ उजवीकडे) \ bigcup \ left \ (3 \ right \) \ bigcup \ left [4; + \ infty \ right) $

  जसे आपण पाहू शकता, सर्वकाही इतके अवघड नाही. मुख्य गोष्ट म्हणजे लक्ष देणे. या धड्याचा शेवटचा भाग परिवर्तनांवर केंद्रित आहे - ज्यांची आपण अगदी सुरुवातीला चर्चा केली होती.

  पूर्वरूपांतरे

  या विभागात आपण ज्या असमानतेची चर्चा करतो त्या गुंतागुंतीच्या नाहीत. तथापि, मागील कार्यांप्रमाणे, येथे तुम्हाला तर्कसंगत अपूर्णांकांच्या सिद्धांतातील कौशल्ये लागू करावी लागतील - फॅक्टरायझेशन आणि सामान्य भाजक कमी करणे.

  आजच्या धड्याच्या अगदी सुरुवातीला आम्ही या समस्येवर तपशीलवार चर्चा केली. जर तुम्हाला खात्री नसेल की तुम्हाला ते काय आहे ते समजले आहे, मी जोरदार शिफारस करतो की तुम्ही परत जा आणि पुन्हा करा. कारण आपण अपूर्णांकांच्या परिवर्तनामध्ये "फ्लोट" केले तर असमानता सोडवण्यासाठी क्रॅमिंग पद्धतींमध्ये काही अर्थ नाही.

  गृहपाठात, तसे, अनेक समान कार्ये देखील असतील. ते वेगळ्या उपविभागात ठेवले आहेत. आणि तिथे तुम्हाला फारच क्षुल्लक उदाहरणे सापडतील. परंतु हे गृहपाठात असेल आणि आता अशा काही असमानतेचे विश्लेषण करूया.

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]

  उपाय. सर्वकाही डावीकडे हलवा:

  \ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]

  आम्ही एक सामान्य भाजक आणतो, आम्ही कंस उघडतो, आम्ही अंशामध्ये समान संज्ञा देतो:

  \ [\ begin (संरेखित) & \ frac (x \ cdot x) (\ left (x-1 \ right) \ cdot x) - \ frac (\ left (x-2 \ right) \ left (x-1 \ उजवीकडे)) (x \ cdot \ डावे (x-1 \ उजवे)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ डावे (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ उजवे)) (x \ डावे (x-1 \ उजवे)) \le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ डावीकडे (x-1 \ उजवीकडे)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ left (x-1 \ उजवीकडे)) \ le 0. \\\ end (संरेखित) \]

  आता आपल्याकडे शास्त्रीय अपूर्णांक-तर्कसंगत असमानता आहे, ज्याचे निराकरण करणे आता कठीण नाही. मी ते एका पर्यायी पद्धतीने सोडवण्याचा प्रस्ताव देतो - मध्यांतरांच्या पद्धतीद्वारे:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & \ left (3x-2 \ right) \ cdot x \ cdot \ left (x-1 \ right) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  भाजकाकडून आलेली बंधने विसरू नका:

  आम्ही संख्या रेषेवरील सर्व संख्या आणि निर्बंध चिन्हांकित करतो:

  सर्व मुळांमध्ये प्रथम गुणाकार असतो. हरकत नाही. आम्ही फक्त चिन्हे ठेवतो आणि आम्हाला आवश्यक असलेल्या भागांवर पेंट करतो:

  

  हे सर्व आहे. तुम्ही उत्तर लिहू शकता.

  उत्तर द्या. $ x \ मध्ये \ left (- \ infty; 0 \ right) \ bigcup \ left [(2) / (3) \ ;; 1 \ right) $.

  अर्थात हे फक्त एक उदाहरण होते. म्हणून, आता आम्ही समस्येचा अधिक गांभीर्याने विचार करू. आणि तसे, या कार्याची पातळी इयत्ता 8 मधील या विषयावरील स्वतंत्र आणि नियंत्रण कार्याशी अगदी सुसंगत आहे.

  कार्य. असमानता सोडवा:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]

  उपाय. सर्वकाही डावीकडे हलवा:

  \ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]

  दोन्ही अपूर्णांकांना सामान्य भाजकापर्यंत कमी करण्यापूर्वी, आम्ही या भाजकांचा घटक करतो. तेच कंस बाहेर आले तर? पहिल्या भाजकासह, हे सोपे आहे:

  \ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ डावे (x-1 \ उजवे) \ डावे (x + 9 \ उजवे) \]

  दुसरा जरा अवघड आहे. कंसात जेथे अपूर्णांक दिसतो तेथे स्थिर घटक टाकण्यास मोकळ्या मनाने. लक्षात ठेवा: मूळ बहुपदीमध्ये पूर्णांक गुणांक होते, त्यामुळे गुणांकनामध्ये पूर्णांक गुणांक देखील असण्याची उच्च संभाव्यता आहे (खरं तर, भेदभाव अपरिमेय असल्याशिवाय ते नेहमीच असेच असेल).

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ डावे (x-1 \ उजवे) \ डावे (x- \ frac (2) (3) \ उजवे) = \\ & = \ डावे (x-1 \ उजवे) \ डावे (3x-2 \ उजवे) \ समाप्त (संरेखित) \]

  तुम्ही बघू शकता, एक सामान्य कंस आहे: $ \ left (x-1 \ उजवा) $. आम्ही असमानतेकडे परत आलो आणि दोन्ही अपूर्णांकांना समान भाजकावर आणतो:

  \ [\ start (संरेखित) & \ frac (1) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right)) - \ frac (1) (\ left (x-1 \ right) \ डावीकडे (3x-2 \ उजवीकडे)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ left (3x-2 \ right) -1 \ cdot \ left (x + 9 \ right)) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) ) \ डावे (3x-2 \ उजवे)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right)) \ ge 0; \\ \ समाप्त (संरेखित) \]

  भाजक शून्यावर सेट करा:

  \ [\ आरंभ (संरेखित) & \ left (x-1 \ right) \ left (x + 9 \ right) \ left (3x-2 \ right) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ शेवट ( संरेखित करा) \]

  गुणाकार किंवा योगायोग मुळे नाहीत. आम्ही एका सरळ रेषेवर चार संख्या चिन्हांकित करतो:

  आम्ही चिन्हे ठेवतो:

  

  आम्ही उत्तर लिहून ठेवतो.

  उत्तर: $x \ in \ left (- \ infty; -9 \ right) \ bigcup \ left (2) / (3) \ ;; 1 \ right) \ bigcup \ left [5,5; + \ infty \ बरोबर) $.