जागा अपघाती आहे का? यादृच्छिक घटनांचा संच अपेक्षित आहे, जरी वैयक्तिक घटना नसल्या तरीही.

सामान्य फासेपेक्षा ऑनलाईन फासे जनरेटरचा फायदा स्पष्ट आहे - तो कधीही गमावणार नाही! व्हर्च्युअल क्यूब त्याच्या कार्यांशी प्रत्यक्षापेक्षा अधिक चांगल्या प्रकारे सामना करेल - परिणामांची हाताळणी पूर्णपणे वगळली गेली आहे आणि कोणीही केवळ महाराजांच्या संधीची आशा करू शकतो. ऑनलाईन फासे, इतर गोष्टींबरोबरच, आपल्या मोकळ्या वेळेत उत्तम मनोरंजन आहे. निकाल तयार होण्यास तीन सेकंद लागतात, ज्यामुळे खेळाडूंचा उत्साह आणि आवड वाढते. फासे रोलचे अनुकरण करण्यासाठी, आपल्याला फक्त कीबोर्डवरील "1" बटण दाबावे लागेल, जे आपल्याला विचलित होऊ देत नाही, उदाहरणार्थ, एका रोमांचक बोर्ड गेममधून.

फासे संख्या:

कृपया एका क्लिकवर सेवेला मदत करा:आपल्या मित्रांना जनरेटरबद्दल सांगा!

जेव्हा आपण "फासे" असे वाक्यांश ऐकतो, तेव्हा लगेच कॅसिनोचा संबंध येतो, जिथे ते त्यांच्याशिवाय करू शकत नाहीत. सुरुवातीला, ही ऑब्जेक्ट काय आहे ते थोडे लक्षात ठेवूया.

फासे हे चौकोनी तुकडे असतात, ज्याच्या प्रत्येक चेहऱ्यावर 1 ते 6 पर्यंतचे अंक ठिपक्यांद्वारे दर्शविले जातात. जेव्हा आपण त्यांना फेकतो, तेव्हा आपण नेहमी या आशेवर असतो की आपण ठरवलेली आणि इच्छित संख्या बाहेर पडेल. पण असे काही वेळा असतात जेव्हा क्यूब, काठावर पडणे, संख्या दर्शवत नाही. याचा अर्थ असा की ज्याने फेकले तो कोणालाही निवडू शकतो.

हे असेही घडते की क्यूब बेड किंवा अलमारीखाली रोल करू शकते आणि जेव्हा ते तेथून काढले जाते, त्यानुसार संख्या बदलते. या प्रकरणात, हाड पुन्हा फेकले जाते जेणेकरून प्रत्येकजण संख्या स्पष्टपणे पाहू शकेल.

ऑनलाईन फासे रोल 1 क्लिक मध्ये

सामान्य फासे असलेल्या गेममध्ये, फसवणूक करणे खूप सोपे आहे. इच्छित संख्या मिळविण्यासाठी, आपल्याला क्यूबची ही बाजू वर ठेवणे आणि पिळणे आवश्यक आहे जेणेकरून ते समान राहील (फक्त बाजूचा भाग फिरतो). ही अपूर्ण हमी आहे, परंतु जिंकण्याची टक्केवारी पंचाहत्तर टक्के असेल.

जर तुम्ही दोन फासे वापरत असाल, तर शक्यता तीस पर्यंत कमी होते, परंतु ही एक लहान टक्केवारी नाही. फसवणुकीमुळे अनेक खेळाडूंच्या मोहिमांना फासे वापरणे आवडत नाही.

खरंच, आमची अद्भुत सेवा अशा परिस्थिती टाळण्यासाठी तंतोतंत कार्य करते. आमच्याबरोबर फसवणूक करणे अशक्य होईल, कारण ऑनलाइन फासे रोल बनावट असू शकत नाही. 1 ते 6 पर्यंतची संख्या पृष्ठावर पूर्णपणे यादृच्छिक आणि अनियंत्रित मार्गाने दिसेल.

सोयीस्कर फासे जनरेटर

एक खूप मोठा फायदा म्हणजे ऑनलाइन फासे जनरेटर गमावला जाऊ शकत नाही (अधिक, ते बुकमार्क केले जाऊ शकते), आणि एक सामान्य लहान फासे सहज कुठेतरी हरवू शकतात. तसेच, एक प्रचंड प्लस हे खरं असेल की परिणामांची हाताळणी पूर्णपणे वगळण्यात आली आहे. जनरेटरमध्ये एक कार्य आहे जे आपल्याला एकाच वेळी रोल करण्यासाठी एक ते तीन फासे निवडण्याची परवानगी देते.

ऑनलाइन फासे जनरेटर एक अतिशय मनोरंजक मनोरंजन आहे, अंतर्ज्ञान विकसित करण्याचा एक मार्ग आहे. आमची सेवा वापरा आणि त्वरित आणि विश्वासार्ह परिणाम मिळवा.

सर्वात सामान्य फॉर्म क्यूबच्या स्वरूपात आहे, ज्याच्या प्रत्येक बाजूला एक ते सहा पर्यंत संख्या दर्शविल्या आहेत. खेळाडू, एका सपाट पृष्ठभागावर फेकतो, त्याचा परिणाम वरच्या काठावर दिसतो. हाडे हे संधी, सौभाग्य किंवा दुर्भाग्याचे खरे मुखपत्र आहे.

अपघात.
क्यूब (हाडे) बर्याच काळापासून अस्तित्वात आहेत, परंतु त्यांनी सुमारे 2600 बीसी मध्ये सहा बाजूंनी पारंपारिक स्वरूप प्राप्त केले. NS प्राचीन ग्रीक लोकांना फासे खेळायला आवडायचे, आणि त्यांच्या दंतकथांमध्ये ओडिसीयसने अन्यायाने देशद्रोहाचा आरोप केलेला नायक पलामेड यांना त्यांचा शोधकर्ता म्हणून संबोधले जाते. पौराणिक कथेनुसार, त्याने एका प्रचंड लाकडी घोड्याने पकडलेल्या ट्रॉयला वेढा घातलेल्या सैनिकांचे मनोरंजन करण्यासाठी या खेळाचा शोध लावला. ज्युलियस सीझरच्या काळात रोमन लोकांनी विविध प्रकारच्या फासे खेळांचा आनंद घेतला. लॅटिनमध्ये, क्यूबला डॅटम म्हणतात, ज्याचा अर्थ "दिलेला" आहे.

मनाई.
मध्य युगात, 12 व्या शतकाच्या आसपास, युरोपमध्ये फासेचा खेळ खूप लोकप्रिय झाला: चौकोनी तुकडे, जे आपल्याबरोबर सर्वत्र नेले जाऊ शकतात, ते सैनिक आणि शेतकरी दोन्हीमध्ये लोकप्रिय आहेत. सहाशेहून अधिक विविध खेळ अस्तित्वात असल्याचे म्हटले जाते! फासे उत्पादन एक स्वतंत्र व्यवसाय बनत आहे. किंग लुई IX (1214-1270), धर्मयुद्धातून परतताना, जुगाराला नकार दिला आणि संपूर्ण राज्यात फासे उत्पादनावर बंदी घालण्याचे आदेश दिले. खेळापेक्षाच, अधिकारी त्याच्याशी संबंधित दंगलींमुळे असमाधानी होते - मग ते प्रामुख्याने सरायमध्ये खेळले गेले आणि पक्ष अनेकदा मारामारी आणि चाकूने संपले. परंतु कोणत्याही प्रतिबंधाने फासे वेळेत टिकून राहण्यापासून आणि आजपर्यंत जिवंत राहण्यापासून रोखले नाहीत.

"चार्ज" असलेली हाडे!
डाय रोलचा परिणाम नेहमीच यादृच्छिक असतो, परंतु काही फसवणूक करणारे ते बदलण्याचा प्रयत्न करतात. क्यूबमध्ये एक छिद्र ड्रिल करून आणि त्यात शिसे किंवा पारा ओतल्यास, आपण प्रत्येक वेळी फेकताना समान परिणाम प्राप्त करू शकता. अशा क्यूबला "चार्ज" म्हणतात. वेगवेगळ्या साहित्यापासून बनवलेले, ते सोने, दगड, क्रिस्टल, हाडे, फासे यांचे वेगवेगळे आकार असू शकतात. पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन) च्या आकाराचे लहान फासे इजिप्शियन फारोच्या कबरेमध्ये सापडले आहेत ज्यांनी मोठे पिरॅमिड बांधले! वेगवेगळ्या वेळी, हाडे 8, 10, 12, 20 आणि अगदी 100 बाजूंनी बनविली गेली. सहसा त्यांच्यावर संख्या लागू केली जाते, परंतु त्यांच्या जागी अक्षरे किंवा प्रतिमा देखील दिसू शकतात, ज्यामुळे कल्पनेला जागा मिळते.

फासे कसे रोल करावेत.
फासे केवळ वेगवेगळ्या आकारात येत नाहीत, तर त्यांच्याकडे खेळण्याचे वेगवेगळे मार्ग आहेत. काही खेळांना विशिष्ट पद्धतीने रोल बनवणे आवश्यक असते, सामान्यतः गणना केलेले रोल टाळण्यासाठी किंवा डाईला झुकलेल्या स्थितीत थांबण्यापासून रोखण्यासाठी. कधीकधी फसवणूक होऊ नये किंवा खेळण्याच्या टेबलवरून खाली पडू नये म्हणून त्यांना एक विशेष काच जोडली जाते. क्रेपच्या इंग्रजी गेममध्ये, फसवणूक करणाऱ्यांना फेकून फेकण्यापासून रोखण्यासाठी तिन्ही फासे अपरिहार्यपणे गेम टेबल किंवा भिंतीवर आदळले पाहिजेत, परंतु ते वळवू नका.

यादृच्छिकता आणि संभाव्यता.
डाय नेहमी एक यादृच्छिक परिणाम देते ज्याचा अंदाज करता येत नाही. एका मरणासह, खेळाडूला 1 ला रोल करण्याची समान संधी असते जशी तो 6 करतो - प्रत्येक गोष्ट योगायोगाने ठरवली जाते. दोन फासे, उलटपक्षी, यादृच्छिकतेची पातळी कमी होते, कारण खेळाडूला निकालाबद्दल अधिक माहिती असते: उदाहरणार्थ, दोन फासे सह, 7 क्रमांक अनेक प्रकारे मिळवता येतो - 1 आणि 6, 5 आणि 2 फेकून किंवा 4 आणि 3 ... पण 2 नंबर मिळवण्याची संधी फक्त एकच आहे: दोनदा रोलिंग 1. अशा प्रकारे, 7 मिळण्याची शक्यता 2 मिळवण्यापेक्षा जास्त आहे! याला संभाव्यता सिद्धांत म्हणतात. अनेक खेळ या तत्त्वाशी संबंधित आहेत, विशेषतः रोख खेळ.

फासे वापरण्यावर.
फासे हा इतर घटकांशिवाय स्वतंत्र खेळ असू शकतो. व्यावहारिकपणे अस्तित्वात नसलेली एकमेव गोष्ट म्हणजे एकाच क्यूबसाठी खेळ. नियमांमध्ये किमान दोन (उदाहरणार्थ, क्रेप) आवश्यक आहेत. फासे पोकर खेळण्यासाठी, आपल्याला पाच फासे, एक पेन आणि कागद आवश्यक आहे. विशेष सारणीमध्ये त्यांच्यासाठी गुण लिहून त्याच नावाच्या कार्ड गेमच्या संयोगांसारखी जोडणी भरणे हे ध्येय आहे. याव्यतिरिक्त, क्यूब बोर्ड गेमसाठी एक अतिशय लोकप्रिय भाग आहे, ज्यामुळे आपण चिप्स हलवू शकता किंवा गेम लढाईचा निकाल ठरवू शकता.

मरणे कास्ट आहे.
49 मध्ये. NS तरुण ज्युलियस सीझरने गॉलवर विजय मिळवला आणि पोम्पेईला परतला. परंतु त्याच्या सामर्थ्याने सिनेटर्समध्ये चिंता वाढवली, ज्यांनी परत येण्यापूर्वी आपले सैन्य बरखास्त करण्याचा निर्णय घेतला. भावी सम्राट, प्रजासत्ताकाच्या सीमेवर आल्यानंतर, सैन्यासह ओलांडून आदेशाचे उल्लंघन करण्याचा निर्णय घेतो. रुबिकॉन (सीमा असलेली नदी) ओलांडण्यापूर्वी त्याने त्याच्या सैन्यासमोर "अले जॅक्टा एस्ट" ("लॉट टाकला आहे") उच्चारला. हा हुकूम एक कॅच वाक्यांश बनला आहे, ज्याचा अर्थ असा आहे की, गेमप्रमाणे, काही निर्णय घेतल्यानंतर, मागे हटणे आता शक्य नाही.

डिझायनर टायलर सिग्मन यांनी गमसूत्रावर लिहिले. मी त्याला "orc च्या नाकपुडीतील केस" लेख आवडते, परंतु गेममध्ये संभाव्यतेच्या मूलभूत गोष्टी मांडण्याचे हे एक चांगले काम करते.

या आठवड्याचा विषय

आजपर्यंत, आम्ही बोललेली जवळजवळ प्रत्येक गोष्ट निश्चयात्मक होती आणि गेल्या आठवड्यात आम्ही संक्रमक यांत्रिकीवर बारकाईने नजर टाकली आणि मी ते जितके स्पष्ट करू शके तितके तपशीलवार क्रमवारी लावले. परंतु आत्तापर्यंत, आम्ही बर्‍याच खेळांच्या मोठ्या पैलूकडे लक्ष दिले नाही, म्हणजे निर्धारक नसलेल्या पैलू, दुसऱ्या शब्दांत, यादृच्छिकता. गेम डिझायनर्ससाठी यादृच्छिकतेचे स्वरूप समजून घेणे खूप महत्वाचे आहे कारण आम्ही दिलेल्या गेममध्ये खेळाडूच्या अनुभवावर परिणाम करणाऱ्या सिस्टीम तयार करतो, म्हणून या सिस्टीम कशा कार्य करतात हे आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे. जर सिस्टममध्ये यादृच्छिकता असेल तर आपल्याला समजून घेणे आवश्यक आहे निसर्गहा यादृच्छिकपणा आणि आपल्याला आवश्यक परिणाम मिळविण्यासाठी ते कसे बदलावे.

फासा

चला एका सोप्या गोष्टीसह प्रारंभ करूया: फासे फिरवणे. जेव्हा बहुतेक लोक फासेचा विचार करतात, तेव्हा ते सहा-बाजूच्या मरणाचा विचार करतात ज्याला d6 म्हणतात. परंतु बहुतेक गेमर्सनी इतर अनेक फासे पाहिले आहेत: टेट्राहेड्रल (डी 4), अष्टक्षेत्र (डी 8), बारा (डी 12), वीस (डी 20) ... आणि जर तुम्ही वास्तविक geek, आपल्याकडे कुठेतरी 30-बाजू किंवा 100-बाजूची हाडे असू शकतात. आपण या शब्दावलीशी परिचित नसल्यास, "डी" म्हणजे मरणे, आणि त्यानंतरची संख्या, त्याचे किती चेहरे आहेत. तर समोर"डी" म्हणजे एका संख्येचा, नंतर त्याचा अर्थ होतो संख्याफेकल्यावर फासे. उदाहरणार्थ, एकाधिकारात, आपण 2d6 रोल करता.

तर, या प्रकरणात, "फासे" हा वाक्यांश पारंपारिक पद आहे. इतर अनेक यादृच्छिक संख्या जनरेटर आहेत जे प्लास्टिकच्या ढेकणाच्या आकारात नाहीत, परंतु 1 ते n पर्यंत यादृच्छिक संख्या निर्माण करण्याचे समान कार्य करतात. एक सामान्य नाणे डी 2 डायहेड्रल म्हणून देखील विचार केला जाऊ शकतो. मी सात-बाजूच्या फासेच्या दोन डिझाईन्स पाहिल्या: एक फासेसारखा दिसला आणि दुसरा सात-बाजूच्या लाकडी पेन्सिलसारखा दिसला. टेट्राहेड्रल ड्रिडेल (टायटोटम म्हणूनही ओळखले जाते) टेट्राहेड्रल हाडाशी समान आहे. "चुट आणि शिडी" गेममध्ये फिरणाऱ्या बाणासह खेळण्याचे मैदान, जेथे परिणाम 1 ते 6 पर्यंत असू शकतो, हे षटकोनी फासेशी संबंधित आहे. कॉम्प्युटरमधील यादृच्छिक संख्या जनरेटर डिझायनरने अशी आज्ञा विचारल्यास 1 ते 19 पर्यंत कोणतीही संख्या तयार करू शकते, जरी संगणकाकडे 19-बाजूचे फासे नसतात (सर्वसाधारणपणे, मी संख्या मिळवण्याच्या संभाव्यतेबद्दल अधिक तपशीलवार बोलू. येथे संगणकावर पुढेआठवडा). जरी हे सर्व भिन्न दिसत असले तरी ते प्रत्यक्षात समान आहेत: आपल्याकडे अनेक परिणामांपैकी एक मिळण्याची समान संधी आहे.

फासेमध्ये काही मनोरंजक गुणधर्म आहेत ज्याबद्दल आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे. प्रथम, कोणताही चेहरा बाहेर पडण्याची शक्यता समान आहे (मी असे गृहित धरत आहे की आपण योग्य डाय लावत आहात, अनियमित भौमितिक आकार नाही). अशा प्रकारे, जर तुम्हाला जाणून घ्यायचे असेल म्हणजेफेकणे (ज्यांना संभाव्यतेच्या विषयाला "गणितीय अपेक्षित" म्हणून आवडते त्यांच्यामध्ये देखील ओळखले जाते), सर्व कडाच्या मूल्यांची बेरीज करा आणि ही बेरीज करा संख्याचेहरे मानक हेक्स फासेसाठी सरासरी रोल 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 आहे, सरासरी 21/6 = 3.5 मिळविण्यासाठी कडा (6) च्या संख्येने विभाजित करा. हे एक विशेष प्रकरण आहे कारण आम्ही असे गृहीत धरतो की सर्व परिणाम समान आहेत.

आपल्याकडे विशेष फासे असल्यास काय? उदाहरणार्थ, मी षटकोनी फासे असलेला एक खेळ पाहिला ज्याच्या काठावर विशेष स्टिकर्स आहेत: १, १, १, २, २, ३, म्हणून तो एक विचित्र त्रिकोणी फासासारखा वागतो ज्याला २ पेक्षा एक क्रमांक मिळण्याची अधिक चांगली संधी असते, आणि 2 पेक्षा 3. या डायसाठी सरासरी रोल मूल्य किती आहे? तर, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, 6 ने भाग, 5/3 किंवा सुमारे 1.66. म्हणून, जर तुमच्याकडे असे विशेष मरण असेल आणि खेळाडू तीन फासे फिरवतील आणि नंतर निकाल जोडतील, तर तुम्हाला माहित आहे की त्यांची अंदाजे एकूण अंदाजे 5 असेल आणि तुम्ही या गृहितकावर आधारित खेळ संतुलित करू शकता.

फासे आणि स्वातंत्र्य

मी म्हटल्याप्रमाणे, प्रत्येक चेहरा बाहेर पडण्याची तितकीच शक्यता आहे या गृहीतकावरून आम्ही पुढे जाऊ. तुम्ही किती फासे रोल करता हे महत्त्वाचे नाही. फासे प्रत्येक रोल काहीही, याचा अर्थ असा की मागील फेकणे नंतरच्या निकालांवर परिणाम करत नाहीत. पुरेशा चाचण्यांसह, आपल्याला आवश्यक आहे सूचनासंख्यांची एक "मालिका", जसे की बहुतेक मोठ्या किंवा लहान मूल्यांमधून बाहेर पडणे, किंवा इतर वैशिष्ट्ये, आणि आम्ही त्याबद्दल नंतर बोलू, परंतु याचा अर्थ असा नाही की फासे "गरम" किंवा "थंड" आहेत. जर तुम्ही एक मानक सहा-बाजूचे डाय रोल केले आणि क्रमांक 6 सलग दोन वेळा आला, तर पुढील रोल 6 मध्ये येण्याची शक्यता देखील 1/6 आहे. क्यूब "वार्म अप" झाल्यामुळे संभाव्यता वाढत नाही. संभाव्यता कमी होत नाही, कारण 6 क्रमांक आधीच सलग दोनदा बाहेर पडला आहे, याचा अर्थ आता दुसरा चेहरा बाहेर पडेल. (अर्थातच, जर तुम्ही फासे वीस वेळा लाटले आणि प्रत्येक वेळी number वा क्रमांक आला, तर एकविसाव्या वेळी सहावा क्रमांक मिळण्याची शक्यता खूप जास्त आहे ... कारण कदाचित याचा अर्थ असा की तुमच्याकडे चुकीचे फासे आहेत!) पण आपल्याकडे योग्य फासे असल्यास, इतर रोलच्या परिणामांची पर्वा न करता, प्रत्येक चेहर्यावरून बाहेर पडण्याची शक्यता समान आहे. आपण अशी कल्पना देखील करू शकता की प्रत्येक वेळी आपण डाई बदलतो, म्हणून जर 6 क्रमांक सलग दोनदा आला, तर गेममधून "हॉट" डाय काढून टाका आणि त्याच्या जागी नवीन सहा बाजूंनी डाय लावा. तुमच्यापैकी कोणाला आधीच याबद्दल माहित असल्यास मी दिलगिरी व्यक्त करतो, परंतु पुढे जाण्यापूर्वी मला हे स्पष्ट करणे आवश्यक आहे.

फासे अधिक किंवा कमी यादृच्छिक कसे पडतात

वेगवेगळ्या फासे वर वेगवेगळे परिणाम कसे मिळवायचे याबद्दल बोलूया. जर तुम्ही फक्त एकदा किंवा अनेक वेळा फासे लाटले, तर फासे अधिक कडा असतील तर गेम अधिक यादृच्छिक वाटेल. जितक्या वेळा तुम्ही फासे रोल कराल, किंवा जितके जास्त फासे तुम्ही रोल कराल तितके जास्त परिणाम सरासरीच्या जवळ येतील. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही 1d6 + 4 (म्हणजे एकदा मानक हेक्स फासे लावले आणि निकालात 4 जोडा), तर सरासरी 5 ते 10 असेल. जर तुम्ही 5d2 ला रोल केले तर सरासरी देखील 5 ते 10 असेल. पण जेव्हा सहा-बाजूचे फासे फेकणे, 5, 8 किंवा 10 क्रमांक मिळण्याची शक्यता समान आहे. 5d2 फेकण्याचा परिणाम प्रामुख्याने 7 आणि 8 संख्या असेल, कमी वेळा इतर मूल्ये. समान मालिका, अगदी समान सरासरी (दोन्ही प्रकरणांमध्ये 7.5), परंतु यादृच्छिकतेचे स्वरूप भिन्न आहे.

एक मिनिट थांब. मी फक्त असे म्हटले नाही की फासे गरम होत नाहीत किंवा थंड होत नाहीत? आता मी असे म्हणत आहे की जर तुम्ही खूप फासे फिरवले तर रोल सरासरीच्या जवळ येतात का? का?

मला समजावून सांगा. आपण फेकल्यास एकफासे, प्रत्येक चेहऱ्यामधून बाहेर पडण्याची शक्यता समान आहे. याचा अर्थ असा की जर तुम्ही अनेक फासे फिरवले तर प्रत्येक चेहरा कालांतराने अंदाजे समान संख्येने बाहेर पडेल. तुम्ही जितके जास्त फासे रोल कराल तितका संचयी परिणाम सरासरीच्या जवळ येईल. याचे कारण असे नाही की सोडलेली संख्या दुसरी संख्या "बनवते", जी अद्याप सोडली गेली नाही. परंतु 6 (किंवा 20, किंवा काही इतर संख्या) ची एक छोटी मालिका शेवटी जास्त फरक पडणार नाही जर तुम्ही दहा हजार अधिक वेळा फासे फिरवले आणि मुळात सरासरी कमी होईल ... कदाचित आता तुमच्याकडे काही संख्या असतील उच्च मूल्यासह, परंतु कदाचित नंतर कमी मूल्यासह काही संख्या आणि कालांतराने ते सरासरी मूल्याशी संपर्क साधतील. असे नाही की मागील रोल्स फासेवर परिणाम करतात (गंभीरपणे, एक फासे बनलेले असते प्लास्टिक, तिला विचार करायला मेंदू नाही: "अरे, हे बर्याच काळापासून आणले गेले नाही"), परंतु कारण सामान्यतः मोठ्या संख्येने फासे रोलसह असे घडते. पुनरावृत्ती संख्यांची एक छोटी मालिका मोठ्या संख्येने परिणामांमध्ये जवळजवळ अदृश्य असेल.

अशा प्रकारे, फासाच्या एका यादृच्छिक रोलसाठी गणना करणे अगदी सरळ आहे, किमान सरासरी रोल मूल्याची गणना करण्याइतकी. काहीतरी "किती यादृच्छिक" आहे याची गणना करण्याचे मार्ग देखील आहेत, 1d6 + 4 रोलिंगचे परिणाम 5d2 पेक्षा "अधिक यादृच्छिक" असतील असे सांगण्याचा एक मार्ग आहे, 5d2 साठी परिणामांचे वितरण अधिक समान असेल, सहसा यासाठी आपण मानक विचलनाची गणना करा आणि जितके अधिक मूल्य असेल तितके अधिक यादृच्छिक परिणाम होतील, परंतु यासाठी मी आज देऊ इच्छित असलेल्यापेक्षा अधिक गणना आवश्यक आहे (मी नंतर हा विषय समजावून सांगेन). मी तुम्हाला फक्त एकच गोष्ट जाणून घेण्यास सांगत आहे की एक सामान्य नियम म्हणून, जितके कमी फासे लावले जातात तितके जास्त यादृच्छिकता. आणि या विषयावर आणखी एक भर: फासे जितके अधिक चेहरे तितके अधिक यादृच्छिकता, कारण आपल्याकडे अधिक पर्याय आहेत.

मोजणी करून संभाव्यता कशी मोजावी

आपण विचार करत असाल: विशिष्ट परिणाम मिळण्याची नेमकी संभाव्यता आम्ही कशी मोजू शकतो? हे बर्‍याच गेमसाठी खरोखर महत्वाचे आहे, कारण जर तुम्ही फासे फिरवले तर सुरुवातीला काही इष्टतम परिणाम होण्याची शक्यता आहे. उत्तर आहे: आपल्याला दोन मूल्ये मोजावी लागतील. प्रथम, फासेच्या रोलवर जास्तीत जास्त परिणामांची गणना करा (परिणाम काहीही असो). नंतर अनुकूल परिणामांची संख्या मोजा. दुसरे मूल्य प्रथम द्वारे विभाजित करून, आपल्याला हवी असलेली संभाव्यता मिळते. टक्केवारी मिळवण्यासाठी, तुमचा निकाल 100 ने गुणाकार करा.

उदाहरणे:

येथे एक अतिशय सोपे उदाहरण आहे. आपल्याला हेक्स फासे एकदा रोल आणि रोल करण्यासाठी 4 किंवा त्यापेक्षा जास्त हवे आहेत. निकालांची कमाल संख्या 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) आहे. यापैकी 3 परिणाम (4, 5, 6) अनुकूल आहेत. तर, संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, 3 ला 6 ने विभाजित करा आणि 0.5 किंवा 50%मिळवा.

येथे एक उदाहरण आहे जे थोडे अधिक क्लिष्ट आहे. तुम्हाला 2d6 रोलवर सम संख्या रोल करायची आहे. निकालांची जास्तीत जास्त संख्या 36 आहे (प्रत्येक मरणासाठी 6, आणि एक मरण दुसऱ्यावर परिणाम करत नाही म्हणून, आम्ही 6 परिणामांना 36 ने 6 ने गुणाकार करतो). या प्रकारच्या प्रश्नामध्ये अडचण अशी आहे की दोनदा मोजणे सोपे आहे. उदाहरणार्थ, 2d6 रोलवर 3 च्या निकालासाठी प्रत्यक्षात दोन पर्याय आहेत: 1 + 2 आणि 2 + 1. ते सारखेच दिसतात, परंतु फरक हा आहे की पहिल्या मरणावर कोणती संख्या प्रदर्शित केली जाते आणि दुसरी. आपण कल्पना देखील करू शकता की फासे वेगवेगळ्या रंगांचे आहेत, म्हणून, उदाहरणार्थ, या प्रकरणात, एक फासे लाल आणि दुसरा निळा आहे. नंतर सम संख्येसाठी पर्यायांची संख्या मोजा: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). असे दिसून आले की 36 पैकी अनुकूल परिणामासाठी 18 पर्याय आहेत, मागील प्रकरणात, संभाव्यता 0.5 किंवा 50%असेल. कदाचित अनपेक्षित, पण अगदी अचूक.

मोंटे कार्लो सिम्युलेशन

आपल्याकडे मोजण्यासाठी खूप फासे असल्यास काय? उदाहरणार्थ, तुम्हाला हे जाणून घ्यायचे आहे की संभाव्यता काय आहे की 15 किंवा त्यापेक्षा जास्त रक्कम 8d6 च्या रोलवर आणली जाईल. आठ फासे साठी, बरेच वेगवेगळे वैयक्तिक परिणाम आहेत आणि त्यांना व्यक्तिचलितपणे मोजण्यास बराच वेळ लागेल. जरी आम्ही फासे रोलच्या विविध मालिकांचे गट करण्यासाठी काही चांगले उपाय शोधू शकलो, तरीही मोजण्यासाठी बराच वेळ लागेल. या प्रकरणात, संभाव्यतेची गणना करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे तो व्यक्तिचलितपणे मोजणे नाही, परंतु संगणक वापरणे. संगणकावर संभाव्यता मोजण्याचे दोन मार्ग आहेत.

अचूक उत्तर मिळवण्यासाठी पहिली पद्धत वापरली जाऊ शकते, परंतु त्यात थोडे प्रोग्रामिंग किंवा स्क्रिप्टिंग समाविष्ट आहे. मूलभूतपणे, संगणक प्रत्येक संधीकडे लक्ष देईल, एकूण पुनरावृत्तींची संख्या आणि इच्छित परिणामाशी जुळणाऱ्या पुनरावृत्तींची संख्या अंदाज करेल आणि मोजेल आणि नंतर उत्तरे देईल. तुमचा कोड असे काहीतरी दिसू शकतो:

int wincount = 0, एकूण गणना = 0;

साठी (int i = 1; i<=6; i++) {

साठी (int j = 1; j<=6; j++) {

साठी (int k = 1; k<=6; k++) {

… // येथे अधिक लूप घाला

जर (i + j + k +…> = 15) (

फ्लोट संभाव्यता = जिंक गणना / एकूण गणना;

आपण प्रोग्रामिंगशी परिचित नसल्यास आणि आपल्याला फक्त एक अचूक, परंतु अंदाजे उत्तराची आवश्यकता असल्यास, आपण एक्सेलमध्ये या परिस्थितीचे अनुकरण करू शकता, जिथे आपण 8d6 अनेक हजार वेळा टॉस करा आणि उत्तर मिळवा. Excel मध्ये 1d6 टाकण्यासाठी खालील सूत्र वापरा:

मजला (रँड () * 6) +1

अशा परिस्थितीचे नाव आहे जिथे आपल्याला उत्तर माहित नाही आणि फक्त अनेक वेळा प्रयत्न करा - मोंटे कार्लो सिम्युलेशनआणि जेव्हा आपण संभाव्यतेची गणना करण्याचा प्रयत्न करीत असता तेव्हा मागे पडण्याचा हा एक चांगला उपाय आहे आणि हे खूप कठीण आहे. सर्वात मोठी गोष्ट अशी आहे की या प्रकरणात आपल्याला गणिताची गणना कशी कार्य करते हे समजून घेण्याची गरज नाही आणि आम्हाला माहित आहे की उत्तर “खूप चांगले” असेल, कारण जसे आपल्याला आधीच माहित आहे, जितके जास्त फेकण्याची संख्या तितकी अधिक परिणाम सरासरी मूल्याकडे येतो.

स्वतंत्र चाचण्या कशा एकत्र कराव्यात

जर तुम्ही अनेक पुनरावृत्ती पण स्वतंत्र आव्हानांबद्दल विचारले तर एका रोलचा परिणाम दुसऱ्या रोलच्या निकालावर परिणाम करत नाही. या परिस्थितीसाठी आणखी एक सोपा स्पष्टीकरण आहे.

आश्रित आणि स्वतंत्र काहीतरी वेगळे कसे करावे? मुळात, जर तुम्ही फासाचा प्रत्येक रोल (किंवा रोलची मालिका) वेगळा कार्यक्रम म्हणून ओळखू शकत असाल तर ते स्वतंत्र आहे. उदाहरणार्थ, जर आपल्याला 8d6 वर एकूण 15 रोल करायचे असतील तर हे प्रकरण एकाधिक स्वतंत्र फासे रोलमध्ये विभागले जाऊ शकत नाही. परिणामासाठी तुम्ही सर्व फासे च्या मूल्यांची बेरीज मोजू, एका पासावर पडलेल्या परिणामामुळे इतर फासे वर पडणाऱ्या परिणामांवर परिणाम होतो, कारण फक्त सर्व मूल्ये जोडून, ​​तुम्हाला अपेक्षित परिणाम मिळेल .

येथे स्वतंत्र थ्रोचे उदाहरण आहे: आपण फासे खेळत आहात आणि आपण हेक्स फासे अनेक वेळा फेकत आहात. गेममध्ये राहण्यासाठी, तुमचा पहिला रोल 2 किंवा जास्त असणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या रोलसाठी, 3 किंवा उच्च. तिसऱ्याला 4 किंवा त्यापेक्षा जास्त, चौथ्याला 5 किंवा त्यापेक्षा जास्त आवश्यक आहे, आणि पाचव्याला 6. आवश्यक आहे. जर सर्व पाच रोल यशस्वी झाले तर तुम्ही जिंकलात. या प्रकरणात, सर्व रोल स्वतंत्र आहेत. होय, जर एक फेक अयशस्वी झाली, तर त्याचा संपूर्ण खेळाच्या निकालावर परिणाम होईल, परंतु एक फेकणे दुसऱ्या फेकण्यावर परिणाम करत नाही. उदाहरणार्थ, जर तुमचा फासाचा दुसरा रोल खूप यशस्वी झाला, तर पुढील रोल यशस्वी होण्याच्या शक्यतेवर याचा कोणत्याही प्रकारे परिणाम होत नाही. म्हणून, आम्ही फासाच्या प्रत्येक रोलच्या संभाव्यतेचा स्वतंत्रपणे विचार करू शकतो.

आपल्याकडे स्वतंत्र, स्वतंत्र संभाव्यता असल्यास आणि संभाव्यता काय आहे हे जाणून घ्यायचे असल्यास सर्वघटना येतील, आपण प्रत्येक वैयक्तिक संभाव्यता निश्चित करा आणि त्यांना गुणाकार करा.दुसरा मार्ग: जर तुम्ही अनेक अटींचे वर्णन करण्यासाठी “आणि” संयोग वापरला (उदाहरणार्थ, यादृच्छिक घटना घडण्याची शक्यता काय आहे आणिकाही इतर स्वतंत्र यादृच्छिक घटना?), वैयक्तिक संभाव्यता मोजा आणि त्यांना गुणाकार करा.

आपण काय विचार करता हे महत्त्वाचे नाही कधीच नाहीस्वतंत्र संभाव्यता जोडू नका. ही एक सामान्य चूक आहे. हे चुकीचे का आहे हे समजून घेण्यासाठी, अशा स्थितीची कल्पना करा जिथे तुम्ही 50/50 चे नाणे पलटवता, तुम्हाला हे जाणून घ्यायचे आहे की संभाव्यता काय आहे की सलग दोन वेळा "डोके". प्रत्येक बाजू मारण्याची शक्यता 50% आहे, म्हणून जर तुम्ही या दोन संभाव्यता जोडल्या तर तुम्हाला डोक्यावर मारण्याची 100% शक्यता आहे, परंतु आम्हाला माहित आहे की हे खरे नाही, कारण सलग दोन वेळा हेड मिळू शकतात. जर तुम्ही त्याऐवजी या दोन संभाव्यता गुणाकार केल्या तर तुम्हाला 50% * 50% = 25% मिळेल, जे सलग दोनदा डोके मारण्याच्या संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी योग्य उत्तर आहे.

उदाहरण

चला सहा-बाजूच्या फासासह गेमकडे परत जाऊया, जिथे आपल्याला प्रथम 2 पेक्षा जास्त, नंतर 3 पेक्षा जास्त, आणि असेच नंबर मिळवणे आवश्यक आहे. to पर्यंत. to टॉसच्या दिलेल्या मालिकेमध्ये सर्व परिणाम अनुकूल असतील याची शक्यता काय आहे?

वर नमूद केल्याप्रमाणे, ही स्वतंत्र चाचण्या आहेत आणि म्हणून आम्ही प्रत्येक वैयक्तिक रोलच्या संभाव्यतेची गणना करतो आणि नंतर त्यांना गुणाकार करतो. पहिल्या रोलचा निकाल अनुकूल असण्याची शक्यता 5/6 आहे. दुसरा 4/6 आहे. तिसरा 3/6 आहे. चौथा - 2/6, पाचवा - 1/6. आम्ही हे सर्व परिणाम गुणाकार करतो आणि आम्हाला सुमारे 1.5% मिळतो ... अशा प्रकारे, या गेममध्ये जिंकणे अत्यंत दुर्मिळ आहे, म्हणून जर आपण आपल्या गेममध्ये हा घटक जोडला तर आपल्याला बऱ्यापैकी मोठ्या जॅकपॉटची आवश्यकता असेल.

नकार

येथे आणखी एक उपयुक्त टीप आहे: कधीकधी एखादी घटना घडण्याची शक्यता मोजणे कठीण असते, परंतु एखादी घटना घडण्याची शक्यता किती आहे हे ठरवणे सोपे असते. येणार नाही.

उदाहरणार्थ, समजा आमच्याकडे दुसरा गेम आहे आणि तुम्ही 6d6 रोल करा आणि जर किमान एकदा 6 आणले आहे, तुम्ही जिंकलात. जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

या प्रकरणात, गणना करण्यासाठी बरेच पर्याय आहेत. हे शक्य आहे की एक क्रमांक 6 सोडला जाईल, म्हणजे. एका फासेवर 6 क्रमांक सोडला जाईल, आणि इतर क्रमांक 1 ते 5 पर्यंत, आणि 6 पर्याय आहेत ज्यासाठी फासे क्रमांक 6 असेल. मग तुम्हाला दोन फासे वर 6 क्रमांक मिळू शकेल, किंवा तीन, किंवा त्याहून अधिक, आणि प्रत्येक वेळी आपल्याला वेगळी गणना करणे आवश्यक आहे, म्हणून याबद्दल गोंधळ करणे सोपे आहे.

परंतु या समस्येचे निराकरण करण्याचा आणखी एक मार्ग आहे, आपण दुसऱ्या बाजूने ते पाहू या. आपण हरवणेतर काहीही नाहीसंख्या 6 फासे बाहेर पडणार नाही. या प्रकरणात, आमच्याकडे सहा स्वतंत्र चाचण्या आहेत, त्या प्रत्येकाची संभाव्यता 5/6 आहे (6 पेक्षा इतर कोणतीही संख्या फासेवर सोडली जाऊ शकते). त्यांना गुणाकार करा आणि तुम्हाला सुमारे 33%मिळेल. अशा प्रकारे, हरवण्याची शक्यता 3 मध्ये 1 आहे.

म्हणून, जिंकण्याची संभाव्यता 67% (किंवा 2 ते 3) आहे.

हे या उदाहरणावरून स्पष्ट आहे जर आपण इव्हेंट होणार नाही या संभाव्यतेचा विचार केला तर आपल्याला परिणाम 100%वजा करणे आवश्यक आहे.जर जिंकण्याची संभाव्यता 67%असेल तर संभाव्यता गमावू — 100% वजा 67%, किंवा 33%. आणि उलट. जर एखाद्या संभाव्यतेची गणना करणे कठीण असेल, परंतु उलट गणना करणे, उलट गणना करणे आणि नंतर 100%वजा करणे सोपे आहे.

एका स्वतंत्र चाचणीसाठी अटी एकत्र करणे

मी फक्त वर म्हटले आहे की तुम्ही स्वतंत्र चाचण्यांमध्ये संभाव्यतांची बेरीज करू नये. तेथे काही प्रकरणे आहेत का करू शकतासंभाव्यतांची बेरीज करा? - होय, एका विशेष परिस्थितीत.

आपण एकाच चाचणीच्या अनेक असंबंधित अनुकूल परिणामांच्या संभाव्यतेची गणना करू इच्छित असल्यास, प्रत्येक अनुकूल परिणामाची संभाव्यता जोडा. उदाहरणार्थ, 1d6 वर 4, 5, किंवा 6 क्रमांक मिळण्याची शक्यता आहे बेरीज 4 नंबर मिळण्याची शक्यता, 5 नंबर मिळवण्याची संभाव्यता आणि 6 नंबर मिळवण्याची संभाव्यता. तुम्ही या परिस्थितीची कल्पना खालीलप्रमाणे करू शकता: जर तुम्ही संभाव्यतेच्या प्रश्नामध्ये "किंवा" संयोग वापरला (उदाहरणार्थ , याची संभाव्यता काय आहे किंवाएका यादृच्छिक घटनेचा वेगळा परिणाम?), वैयक्तिक संभाव्यतांची गणना करा आणि त्यांची बेरीज करा.

लक्षात घ्या की जेव्हा आपण जोडता सर्व संभाव्य परिणामखेळ, सर्व संभाव्यतांची बेरीज 100%च्या समान असणे आवश्यक आहे. जर रक्कम 100%नसेल तर तुमची गणना चुकीची केली गेली. तुमची गणिते तपासण्यासाठी हा एक चांगला मार्ग आहे. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही पोकरमध्ये सर्व हात मिळवण्याच्या संभाव्यतेचे विश्लेषण केले, जर तुम्ही सर्व परिणाम जोडले, तर तुम्हाला नक्की १००% (किंवा किमान मूल्य १००% च्या जवळपास असावे, जर तुम्ही कॅल्क्युलेटर वापरत असाल तर तुमच्याकडे एक लहान गोलाकार त्रुटी., परंतु आपण हाताने अचूक संख्या जोडल्यास, ते कार्य केले पाहिजे.) जर बेरीज जोडली नाही, तर बहुधा आपण काही जोड्या विचारात घेतल्या नाहीत किंवा काही संयोगांच्या संभाव्यतेची चुकीची गणना केली नाही आणि नंतर आपल्याला आपली गणना दुप्पट तपासण्याची आवश्यकता आहे.

असमान संभाव्यता

आतापर्यंत, आम्ही असे गृहीत धरले आहे की फासेचा प्रत्येक चेहरा समान वारंवारतेने बाहेर पडतो, कारण फासे कसे कार्य करते. परंतु कधीकधी आपल्याला अशा परिस्थितीचा सामना करावा लागतो जेथे भिन्न परिणाम शक्य असतात आणि ते असतात विविधबाहेर पडण्याची शक्यता. उदाहरणार्थ, कार्ड गेम "न्यूक्लियर वॉर" च्या एका अॅड-ऑनमध्ये बाणासह एक खेळण्याचे मैदान आहे, ज्यावर रॉकेटच्या प्रक्षेपणाचा परिणाम अवलंबून असतो: मुळात, ते सामान्य नुकसान, मजबूत किंवा कमकुवत, परंतु कधीकधी नुकसान दोन किंवा तीन पटीने वाढते, किंवा रॉकेट लाँच पॅडवर स्फोट होऊन तुम्हाला दुखवते, किंवा इतर काही घटना घडतात. "Chutes & Ladders" किंवा "A Game of Life" मधील बाण असलेल्या खेळाच्या मैदानाच्या विपरीत, "आण्विक युद्ध" मधील खेळाच्या मैदानाचे परिणाम असमान असतात. खेळाच्या मैदानाचे काही विभाग मोठे असतात आणि बाण त्यांच्याकडे जास्त वेळा थांबतो, तर इतर विभाग खूप लहान असतात आणि बाण त्यांच्याकडे क्वचितच थांबतो.

तर, पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हाड असे काहीतरी दिसते: 1, 1, 1, 2, 2, 3; आम्ही आधीच त्याबद्दल बोललो, हे एक भारित 1d3 सारखे काहीतरी आहे, म्हणून, आपल्याला या सर्व विभागांना समान भागांमध्ये विभाजित करणे, मोजण्याचे सर्वात लहान एकक शोधणे आवश्यक आहे, जे प्रत्येक गोष्टीचे गुणक आहे आणि नंतर परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व d522 (किंवा काही इतर), जेथे फासे चे अनेक चेहरे समान परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करतील, परंतु अधिक परिणामांसह. आणि समस्येचे निराकरण करण्याचा हा एक मार्ग आहे आणि तो तांत्रिकदृष्ट्या व्यवहार्य आहे, परंतु एक सोपा मार्ग आहे.

चला आमच्या मानक हेक्स पासाकडे परत जाऊया. आम्ही म्हणालो की सामान्य डाईसाठी सरासरी रोल मूल्याची गणना करण्यासाठी, आपल्याला सर्व कडावरील मूल्यांची बेरीज करणे आणि त्यांना काठाच्या संख्येने विभाजित करणे आवश्यक आहे, परंतु कसे नक्कीगणना चालू आहे का? आपण ते वेगळ्या प्रकारे ठेवू शकता. षटकोनी पासासाठी, प्रत्येक चेहरा बाहेर पडण्याची शक्यता अगदी 1/6 आहे. आता आपण गुणाकार करतो निर्गमप्रत्येक चेहरा संभाव्यताहा परिणाम (या प्रकरणात, प्रत्येक चेहऱ्यासाठी 1/6), नंतर आम्ही परिणामी मूल्यांची बेरीज करतो. तर सारांश (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , वरील गणनेप्रमाणे आपल्याला समान परिणाम (3.5) मिळतो. खरं तर, आम्ही प्रत्येक वेळी हे मोजतो: आम्ही प्रत्येक परिणामाला त्या निकालाच्या संभाव्यतेने गुणाकार करतो.

न्यूक्लियर वॉरमध्ये खेळाच्या मैदानावर नेमबाजासाठी आपण समान गणना करू शकतो का? नक्कीच आपण करू शकतो. आणि जर आपण सापडलेले सर्व परिणाम जोडले तर आपल्याला सरासरी मिळते. आपल्याला फक्त बोर्डवरील बाणाच्या प्रत्येक परिणामाच्या संभाव्यतेची गणना करणे आणि परिणामाद्वारे गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

आणखी एक उदाहरण

प्रत्येक निकालाला त्याच्या वैयक्तिक संभाव्यतेने गुणाकार करून सरासरीची गणना करण्याची ही पद्धत देखील योग्य आहे जर परिणाम तितकेच संभव असतील परंतु भिन्न फायदे असतील, उदाहरणार्थ आपण इतरांपेक्षा काही काठावर अधिक जिंकल्यास आणि जिंकल्यास. उदाहरणार्थ, कॅसिनो गेम घ्या: तुम्ही पैज लावा आणि 2d6 रोल करा. जर सर्वात कमी मूल्यांसह तीन संख्या (2, 3, 4) किंवा सर्वोच्च मूल्य (9, 10, 11, 12) असलेल्या चार संख्या आल्या तर तुम्ही तुमच्या भागभांडवलाइतकी रक्कम जिंकता. सर्वात कमी आणि उच्च मूल्यांसह संख्या विशेष आहेत: आपण 2 किंवा 12 रोल केल्यास आपण जिंकता दुप्पटआपल्या दरापेक्षा. इतर कोणताही क्रमांक (5, 6, 7, 8) पडल्यास, तुम्ही तुमचा पैज गमावाल. हा खूप सोपा खेळ आहे. पण जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

आपण किती वेळा जिंकू शकता याची मोजणी करून प्रारंभ करूया:

• 2d6 रोलवर जास्तीत जास्त निकालांची संख्या 36 आहे. किती चांगले परिणाम आहेत?
• दोनसाठी 1 आणि बारासाठी 1 पर्याय आहे.
• जे तीन आणि अकरा बाहेर येतात त्यासाठी 2 पर्याय आहेत.
• चारसाठी 3 आणि दहासाठी 3 पर्याय आहेत.
• नऊ साठी 4 पर्याय आहेत.
• सर्व पर्यायांचा सारांश, आम्हाला अनुकूल परिणामांची संख्या 36 पैकी 16 मिळते.

तर, सामान्य परिस्थितीत, तुम्ही 36 पैकी 16 वेळा जिंकू शकाल ... जिंकण्याची शक्यता 50%पेक्षा थोडी कमी आहे.

परंतु या 16 पैकी दोन प्रकरणांमध्ये तुम्ही दुप्पट जिंकू, म्हणजे. हे दोनदा जिंकण्यासारखे आहे! जर तुम्ही हा गेम 36 वेळा खेळला, प्रत्येक वेळी $ 1 ला सट्टेबाजी केली आणि प्रत्येक संभाव्य परिणाम एकदाच आला, तर तुम्ही $ 18 जिंकू (खरं तर, तुम्ही 16 वेळा जिंकलात, पण दोन वेळा दोन जिंकल्याप्रमाणे मोजली जाईल). जर तुम्ही 36 वेळा खेळलात आणि $ 18 जिंकलात, तर याचा अर्थ असा नाही की ही एक समान संधी आहे?

घाई नको. तुम्ही किती वेळा गमावू शकता याची मोजणी केल्यास तुम्हाला 18 नाही तर 20 मिळतात. जर तुम्ही 36 वेळा खेळलात, प्रत्येक वेळी $ 1 ला सट्टेबाजी केली, तर तुम्ही सर्व चांगल्या परिणामांवर एकूण $ 18 जिंकलात ... पण तुम्ही एकूण गमावले सर्व 20 प्रतिकूल परिणाम बाहेर पडल्यास $ 20 ची रक्कम! परिणामी, तुम्ही थोडे मागे असाल: तुम्ही प्रत्येक 36 गेमसाठी सरासरी $ 2 निव्वळ गमावता (तुम्ही असेही म्हणू शकता की तुम्ही दररोज सरासरी $ 1/18 गमावता). आता आपण पाहू शकता की या प्रकरणात चूक करणे आणि संभाव्यतेची चुकीची गणना करणे किती सोपे आहे!

क्रमपरिवर्तन

आतापर्यंत, आम्ही असे गृहीत धरले आहे की फासे फेकताना संख्यांच्या क्रमाने काही फरक पडत नाही. 2 + 4 चा रोल 4 + 2 च्या रोल सारखाच आहे. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, आम्ही अनुकूल परिणामांच्या संख्येची व्यक्तिचलितपणे गणना करतो, परंतु कधीकधी ही पद्धत अव्यवहार्य असते आणि गणिती सूत्र वापरणे चांगले असते.

या परिस्थितीचे उदाहरण फासा "फार्कल" असलेल्या गेममधून आहे. प्रत्येक नवीन फेरीसाठी, आपण 6d6 रोल करता. जर तुम्ही भाग्यवान असाल आणि सर्व संभाव्य परिणाम 1-2-3-4-5-6 ("सरळ") असतील तर तुम्हाला मोठा बोनस मिळेल. असे होण्याची शक्यता किती आहे? या प्रकरणात, या संयोजनासाठी बरेच पर्याय आहेत!

उपाय असे दिसते: फासे पैकी एका (आणि फक्त एका) मध्ये 1 क्रमांक असावा! एका डायवर पडणाऱ्या नंबर 1 ची किती रूपे आहेत? सहा, 6 फासे असल्याने आणि त्यापैकी कोणाचाही 1 क्रमांक असू शकतो. त्यानुसार, एक फासे घ्या आणि बाजूला ठेवा. आता, उर्वरित फासे पैकी एक संख्या 2 असावी. यासाठी पाच पर्याय आहेत. दुसरा फासा घ्या आणि बाजूला ठेवा. मग असे होते की उर्वरित फासे पैकी चार वर 3 क्रमांक पडू शकतो, उर्वरित फासे पैकी तीन वर 4 क्रमांक बाहेर पडू शकतो, दोन - 5 क्रमांकावर आणि परिणामी आपल्याकडे एक पासा आहे ज्यावर 6 क्रमांक असावा पडणे (नंतरच्या प्रकरणात मरणे एक आहे आणि पर्याय नाही). "सरळ" संयोजनासाठी अनुकूल परिणामांच्या संख्येची गणना करण्यासाठी, आम्ही सर्व भिन्न, स्वतंत्र पर्याय गुणाकार करतो: 6x5x4x3x2x1 = 720 - असे दिसते की हे संयोजन कशासाठी येईल यासाठी बरेच पर्याय आहेत.

सरळ कॉम्बो मिळण्याच्या संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, आपल्याला 6d6 रोलच्या सर्व संभाव्य परिणामांच्या संख्येने 720 विभाजित करणे आवश्यक आहे. सर्व संभाव्य परिणामांची संख्या किती आहे? प्रत्येक मरणास 6 चेहरे असू शकतात, म्हणून आम्ही 6x6x6x6x6x6 = 46656 (संख्या खूप मोठी आहे!) गुणाकार करतो. आम्ही 720/46656 विभाजित करतो आणि आम्हाला सुमारे 1.5%ची संभाव्यता मिळते. जर तुम्ही या खेळाची रचना करत असाल, तर तुमच्यासाठी हे जाणून घेणे उपयुक्त ठरेल जेणेकरून तुम्ही एक योग्य स्कोअरिंग सिस्टम तयार करू शकाल. आता आपल्याला समजले आहे की "फार्कल" गेममध्ये आपल्याला "सरळ" संयोजन मिळाले तर आपल्याला इतका मोठा बोनस का मिळेल, कारण ही परिस्थिती अगदी दुर्मिळ आहे!

परिणाम दुसर्या कारणासाठी देखील मनोरंजक आहे. उदाहरण दाखवते की क्वचितच, कमी कालावधीत, संभाव्यतेशी संबंधित परिणाम बाहेर पडतो. अर्थात, जर आपण अनेक हजार फासे फेकले तर फासेचे वेगवेगळे चेहरे बरेचदा बाहेर पडतील. पण जेव्हा आपण फक्त सहा फासे लाटतो, जवळजवळ कधीच नाहीअसे होत नाही की प्रत्येक चेहरा बाहेर पडतो! यावरून पुढे जाताना, हे स्पष्ट होते की आता दुसरा चेहरा बाहेर पडेल अशी अपेक्षा करणे मूर्खपणाचे आहे, जो अद्याप बाहेर पडलेला नाही "कारण आम्हाला बराच काळ 6 नंबर मिळाला नाही, याचा अर्थ आता तो बाहेर पडेल" .

ऐका, तुमचा यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटलेला आहे ...

यामुळे आपल्याला संभाव्यतेबद्दल एक सामान्य गैरसमज होतो: असे गृहीत धरले जाते की सर्व परिणाम एकाच वारंवारतेसह येतात. थोड्या काळासाठीजे प्रत्यक्षात तसे नाही. जर आपण फासे अनेक वेळा लाटले तर प्रत्येक काठाची वारंवारता सारखी नसेल.

जर तुम्ही यापूर्वी काही यादृच्छिक संख्या जनरेटरसह ऑनलाइन गेमवर काम केले असेल, तर तुम्हाला बहुधा अशी परिस्थिती आली असेल जिथे एखादा खेळाडू तांत्रिक समर्थनाला लिहितो की तुमचा यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटलेला आहे आणि यादृच्छिक संख्या दर्शवत नाही. आणि तो या निष्कर्षापर्यंत पोहोचला, कारण त्याने सलग 4 राक्षसांना ठार केले होते आणि 4 पूर्णपणे एकसारखे बक्षीस प्राप्त केले होते आणि हे बक्षीस केवळ 10% प्रकरणांमध्ये बाहेर पडले पाहिजेत, म्हणून हे बहुदा कधिच नाहीकरू नये घडणे, म्हणजे याचा अर्थ स्पष्टपणेकी तुमचा यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटलेला आहे.

तुम्ही गणिताची गणना करत आहात. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 हे 10,000 मध्ये 1 च्या बरोबरीचे आहे, याचा अर्थ असा की हे एक दुर्मिळ प्रकरण आहे. आणि हेच खेळाडू तुम्हाला सांगण्याचा प्रयत्न करत आहे. या प्रकरणात काही समस्या आहे का?

हे सर्व परिस्थितीवर अवलंबून आहे. तुमच्या सर्व्हरवर आता किती खेळाडू आहेत? समजा तुमच्याकडे बऱ्यापैकी लोकप्रिय खेळ आहे आणि दररोज 100,000 लोक ते खेळतात. किती खेळाडू सलग चार राक्षसांना मारतील? काहीही शक्य आहे, दिवसातून अनेक वेळा, परंतु समजा की त्यापैकी अर्धे फक्त लिलावात वेगवेगळ्या वस्तूंची देवाणघेवाण करत आहेत किंवा आरपी सर्व्हरवर पुन्हा लिहित आहेत, किंवा इतर गेम क्रिया करत आहेत, म्हणून प्रत्यक्षात त्यापैकी फक्त अर्धे राक्षसांची शिकार करत आहेत. याची संभाव्यता किती आहे कोणालातरीतेच बक्षीस सोडले जाईल का? या परिस्थितीत, आपण अशी अपेक्षा करू शकता की समान बक्षीस दिवसातून अनेक वेळा कमी होऊ शकते, कमीतकमी!

तसे, म्हणून असे दिसते की प्रत्येक काही आठवड्यात किमान कोणीतरीलॉटरी जिंकली, जरी ती कोणीही असो कधीच नाहीआपण किंवा आपले मित्र नाही. जर दर आठवड्याला पुरेसे लोक खेळत असतील, तर शक्यता कमीतकमी असेल एकभाग्यवान ... पण जर तूलॉटरी खेळणे, तुम्हाला इन्फिनिटी वॉर्डमध्ये नोकरी मिळण्याची शक्यता कमी आहे.

नकाशे आणि व्यसन

आम्ही फासा फिरवण्यासारख्या स्वतंत्र कार्यक्रमांवर चर्चा केली आहे आणि आता आम्हाला अनेक गेममध्ये यादृच्छिकतेचे विश्लेषण करण्यासाठी अनेक शक्तिशाली साधने माहित आहेत. डेकमधून कार्ड काढण्याच्या बाबतीत संभाव्यतेची गणना करणे थोडे अवघड आहे, कारण आम्ही काढलेले प्रत्येक कार्ड डेकमधील उर्वरित कार्डांवर परिणाम करते. जर तुमच्याकडे प्रमाणित 52-कार्ड डेक आणि ड्रॉ असेल, उदाहरणार्थ, 10 ह्रदये आणि पुढील कार्ड त्याच सूटची असण्याची शक्यता जाणून घ्यायची असेल, तर संभाव्यता बदलली आहे कारण तुम्ही आधीच हृदयाच्या सूटचे एक कार्ड काढले आहे डेक वरून. तुम्ही काढलेले प्रत्येक कार्ड डेकमधील पुढील कार्डची संभाव्यता बदलते. या प्रकरणात मागील घटना पुढील घटनेवर परिणाम करते म्हणून, आम्ही या संभाव्यतेला कॉल करतो अवलंबून.

कृपया लक्षात घ्या की जेव्हा मी कार्ड म्हणतो, म्हणजे मला कोणतेहीगेम मेकॅनिक्स, ज्यात ऑब्जेक्ट्सचा एक संच असतो आणि तुम्ही एखादी ऑब्जेक्ट ती न बदलता काढून टाकता, या प्रकरणात "कार्ड्सचा डेक" टोकनच्या बॅगशी साधर्म्य आहे, ज्यातून तुम्ही एक टोकन काढता आणि बदलू नका ते, किंवा एक कलश ज्यामधून तुम्ही रंगीत गोळे काढता (खरं तर, मी असा खेळ कधीच पाहिला नाही ज्यात रंगीत गोळे काढण्यासाठी कलश होता, पण असे दिसते की संभाव्यता सिद्धांताचे शिक्षक काही कारणास्तव हे उदाहरण पसंत करतात).

अवलंबित्व गुणधर्म

मी स्पष्ट करू इच्छितो की जेव्हा कार्ड्सचा प्रश्न येतो, तेव्हा मी असे गृहीत धरतो की तुम्ही कार्ड काढा, त्यांना पहा आणि त्यांना डेकमधून काढून टाका. यातील प्रत्येक कृती ही एक महत्त्वाची मालमत्ता आहे.

जर माझ्याकडे 1 ते 6 क्रमांकाची सहा कार्डे असतील, आणि मी त्यांना शफल केले आणि एक कार्ड काढले आणि नंतर सर्व सहा कार्डे पुन्हा शफल केली, तर ते सहा-बाजूचे डाय फेकण्यासारखे होईल; एक परिणाम खालील गोष्टींवर परिणाम करत नाही. मी कार्ड काढले आणि ते बदलले नाही तरच, मी 1 क्रमांकासह कार्ड काढले याच्या परिणामामुळे पुढच्या वेळी 6 क्रमांकासह कार्ड काढण्याची शक्यता वाढेल (मी शेवटी काढेपर्यंत संभाव्यता वाढेल हे कार्ड किंवा मी कार्ड शफल करेपर्यंत).

खरं की आम्ही दिसतकार्ड वर देखील महत्वाचे आहे. जर मी डेकमधून कार्ड काढले आणि त्याकडे पाहिले नाही तर माझ्याकडे कोणतीही अतिरिक्त माहिती नाही आणि प्रत्यक्षात संभाव्यता बदलत नाही. हे विरोधाभासी वाटू शकते. कार्डची साधी झटका जादूने संभाव्यता कशी बदलू शकते? परंतु हे शक्य आहे कारण आपण केवळ या वस्तुस्थितीवर आधारित अज्ञात वस्तूंच्या संभाव्यतेची गणना करू शकता तुम्हाला माहिती आहे... उदाहरणार्थ, जर तुम्ही कार्ड्सचा मानक डेक शफल केला, 51 कार्डे प्रकट केली आणि त्यापैकी कोणतेही क्लबची राणी नाही, तर तुम्हाला 100% खात्रीने कळेल की उर्वरित कार्ड क्लबची राणी आहे. जर तुम्ही कार्डांचे मानक डेक शफल केले आणि 51 कार्ड काढले, असूनहीत्यांच्यावर, उर्वरित कार्ड क्लबची राणी असण्याची शक्यता अजूनही 1/52 असेल. प्रत्येक कार्ड उघडून तुम्हाला अधिक माहिती मिळते.

आश्रित घटनांच्या संभाव्यतेची गणना करणे स्वतंत्र घटनांप्रमाणेच तत्त्वांचे पालन करते, वगळता हे थोडे अधिक कठीण आहे, कारण कार्ड उघडल्यावर संभाव्यता बदलते. अशा प्रकारे, आपल्याला समान मूल्य गुणाऐवजी अनेक भिन्न मूल्ये गुणाकार करणे आवश्यक आहे. खरं तर, याचा अर्थ असा आहे की आम्ही केलेल्या सर्व गणना एकत्र केल्या पाहिजेत.

उदाहरण

आपण एक मानक 52-कार्ड डेक शफल करा आणि दोन कार्डे काढा. आपण एक जोडी बाहेर काढण्याची शक्यता काय आहे? या संभाव्यतेची गणना करण्याचे अनेक मार्ग आहेत, परंतु कदाचित सर्वात सोपा खालीलप्रमाणे आहे: जेव्हा आपण एक कार्ड काढता तेव्हा आपण एक जोडी काढू शकणार नाही अशी संभाव्यता काय आहे? ही संभाव्यता शून्य आहे, म्हणून तुम्ही कोणते पहिले कार्ड काढता हे महत्त्वाचे नाही, जोपर्यंत ते दुसरे जुळते. आम्ही प्रथम कोणते कार्ड काढतो हे महत्त्वाचे नाही, आम्हाला अद्याप एक जोडी काढण्याची संधी आहे, म्हणून पहिले कार्ड काढल्यानंतर आम्ही एक जोडी काढण्याची शक्यता 100%आहे.

दुसरे कार्ड पहिल्यासारखेच असण्याची शक्यता काय आहे? डेकमध्ये 51 कार्डे शिल्लक आहेत आणि त्यापैकी 3 पहिल्या कार्डाशी जुळतात (प्रत्यक्षात 52 पैकी 4 असते, परंतु तुम्ही पहिले कार्ड काढल्यावर जुळणारे कार्ड आधीच काढून टाकले!), त्यामुळे संभाव्यता 1/17 आहे. (मग पुढच्या वेळी टेक्सस होल्डम खेळणारा तुमच्याकडून टेबलवर असलेला माणूस म्हणतो, "छान, अजून एक जोडी? मी आज रात्री भाग्यवान आहे," तुम्हाला समजेल की त्याला बडबड करण्याची खूप जास्त शक्यता आहे.)

जर आम्ही दोन जोकर जोडले आणि आता आमच्याकडे डेकमध्ये 54 कार्डे आहेत आणि आम्हाला हे जाणून घ्यायचे आहे की एक जोडी काढण्याची संभाव्यता काय आहे? पहिले कार्ड जोकर असू शकते आणि नंतर फक्त असेल एककार्ड, तीन नाही, जे जुळतील. या प्रकरणात तुम्हाला संभाव्यता कशी वाटते? आम्ही संभाव्यता विभाजित करू आणि प्रत्येक शक्यता गुणाकार करू.

आमचे पहिले कार्ड जोकर किंवा इतर कोणतेही कार्ड असू शकते. जोकर काढण्याची संभाव्यता 2/54 आहे, इतर कोणतेही कार्ड काढण्याची संभाव्यता 52/54 आहे.

जर पहिले कार्ड जोकर (2/54) असेल तर दुसरे कार्ड पहिल्याशी जुळण्याची शक्यता 1/53 आहे. मूल्ये गुणाकार करा (आम्ही त्यांना गुणाकार करू शकतो कारण या वेगळ्या घटना आहेत आणि आम्हाला हव्या आहेत दोन्हीघटना घडल्या) आणि आम्हाला 1/1431 मिळते - टक्केवारीच्या दहाव्यापेक्षा कमी.

जर तुम्ही आधी दुसरे कार्ड काढले (52/54), दुसऱ्या कार्डाशी योगायोगाची शक्यता 3/53 आहे. मूल्ये गुणाकार करा आणि 78/1431 (5.5%पेक्षा किंचित जास्त) मिळवा.

या दोन निकालांचे आपण काय करू? ते एकमेकांना छेदत नाहीत आणि आम्हाला संभाव्यता जाणून घ्यायची आहे प्रत्येकाचेत्यापैकी, म्हणून आम्ही मूल्ये सारांशित करतो! आम्हाला अंतिम निकाल 79/1431 (अजूनही सुमारे 5.5%) मिळतो.

जर आम्हाला उत्तराच्या अचूकतेची खात्री करायची असेल तर आम्ही इतर सर्व संभाव्य परिणामांच्या संभाव्यतेची गणना करू शकतो: जोकर बाहेर काढणे आणि दुसरे कार्ड जुळत नाही, किंवा दुसरे कार्ड काढणे आणि दुसरे कार्ड जुळत नाही, आणि त्या सर्वांचा सारांश जिंकण्याच्या संभाव्यतेसह अगदी 100%मिळाले. मी येथे गणिती गणित देणार नाही, परंतु दुप्पट तपासणीसाठी तुम्ही त्याची गणना करण्याचा प्रयत्न करू शकता.

मॉन्टी हॉल विरोधाभास

हे आपल्याला बऱ्यापैकी सुप्रसिद्ध विरोधाभास बनवते जे बर्याचदा गोंधळात टाकते - मॉन्टी हॉल विरोधाभास. विरोधाभास "लेट्स मेक ए डील" होस्ट मॉन्टी हॉलच्या नावावर आहे. जर तुम्ही हा शो कधीच पाहिला नसेल तर तो द प्राइज इज राईट टीव्ही शोच्या उलट होता. "द प्राइज इज राईट" मध्ये, होस्ट (पूर्वी बॉब बार्कर, आता ... ड्र्यू कॅरी? असो ...) तुमचा मित्र आहे. तो इच्छितेत्यामुळे तुम्ही पैसे किंवा मोठी बक्षिसे जिंकू शकता. तो तुम्हाला जिंकण्याची प्रत्येक संधी देण्याचा प्रयत्न करतो, बशर्ते तुम्ही अंदाज लावू शकता की प्रायोजकांनी खरेदी केलेल्या वस्तूंची किंमत किती आहे.

मॉन्टी हॉल वेगळ्या पद्धतीने वागला. तो बॉब बार्करच्या दुष्ट जुळ्यासारखा होता. राष्ट्रीय टेलिव्हिजनवर तुम्हाला मूर्खासारखे दिसणे हे त्यांचे ध्येय होते. जर तुम्ही शोमध्ये असाल तर तो तुमचा विरोधक होता, तुम्ही त्याच्याविरुद्ध खेळत होता आणि जिंकण्याची शक्यता त्याच्या बाजूने होती. मी खूप कठोर असू शकते, परंतु जेव्हा प्रतिस्पर्धी म्हणून निवडण्याची संधी आपण हास्यास्पद सूट घातली आहे की नाही याच्या थेट प्रमाणात दिसते, तेव्हा मी या प्रकारच्या निष्कर्षावर आलो.

पण शोच्या सर्वात प्रसिद्ध मेम्सपैकी एक हे होते: तुमच्या समोर तीन दरवाजे होते, आणि त्यांना दरवाजा क्रमांक 1, दरवाजा क्रमांक 2 आणि दरवाजा क्रमांक 3 असे म्हणतात. तुम्ही कोणताही एक दरवाजा निवडू शकता ... विनामूल्य! या दरवाजांपैकी एकाच्या मागे, एक नवीन बक्षीस होती, जसे की नवीन प्रवासी कार. इतर दरवाजांच्या मागे बक्षिसे नव्हती, या दोन दरवाजांची किंमत नव्हती. तुमचा अपमान करणे हे त्यांचे ध्येय होते आणि म्हणूनच असे नव्हते की त्यांच्या मागे काहीही नव्हते, त्यांच्या मागे काहीतरी मूर्ख दिसत होते, उदाहरणार्थ, त्यांच्या मागे एक बकरी किंवा टूथपेस्टची एक मोठी नळी होती, किंवा काहीतरी ... काहीतरी, काय नक्की होते नाहीनवीन प्रवासी कार.

तुम्ही एक दरवाजा निवडला आणि मोंटी ते उघडणार होता जेणेकरून तुम्हाला कळेल की तुम्ही जिंकलात की नाही ... पण थांबा, आम्हाला माहित होण्यापूर्वी, त्यातील एकावर एक नजर टाकूया त्यातुम्हाला दरवाजे निवडलेले नाही... बक्षीस कोणत्या दारामागे आहे हे मॉन्टीला माहीत असल्याने आणि फक्त एकच बक्षीस आहे आणि दोनजे दरवाजे तुम्ही निवडले नाहीत, ते काहीही असो, तो नेहमी एक दरवाजा उघडू शकतो ज्यासाठी कोणतेही बक्षीस नाही. “तुम्ही दरवाजा क्रमांक 3 निवडता का? मग त्यामागे कोणतेही बक्षीस नाही हे दाखवण्यासाठी दरवाजा 1 उघडू. ” आणि आता, उदारतेने, तो तुम्हाला द्वार 2 च्या मागे निवडलेल्या दरवाजा क्रमांक 3 ला व्यापार करण्याची संधी देतो. या क्षणी संभाव्यतेचा प्रश्न उद्भवतो: दुसरा दरवाजा निवडण्याची शक्यता तुमच्या जिंकण्याची संधी वाढवते का? किंवा ते कमी करा, किंवा ते समान राहील का? तुला काय वाटत?

बरोबर उत्तर: वेगळा दरवाजा निवडण्याची क्षमता वाढते 1/3 ते 2/3 पर्यंत जिंकण्याची शक्यता. हे अतार्किक आहे. जर तुम्हाला या विरोधाभासाचा आधी सामना झाला नसेल, तर बहुधा तुम्ही विचार करत असाल: थांबा, एक दरवाजा उघडून, आम्ही जादूने संभाव्यता बदलली? परंतु जसे आपण वरील नकाशांसह उदाहरणामध्ये आधीच पाहिले आहे, हे आहे नक्कीजेव्हा आम्हाला अधिक माहिती मिळते तेव्हा काय होते हे स्पष्ट आहे की आपण निवडलेल्या पहिल्यांदा जिंकण्याची संभाव्यता 1/3 आहे आणि मला वाटते की प्रत्येकजण त्याच्याशी सहमत असेल. जेव्हा एक दरवाजा उघडतो, तेव्हा पहिल्या पसंतीसाठी जिंकण्याची शक्यता अजिबात बदलत नाही, तरीही 1/3 ची संभाव्यता असते, परंतु याचा अर्थ असा की संभाव्यता इतरयोग्य दरवाजा आता 2/3 आहे.

या उदाहरणाकडे वेगळ्या दृष्टीकोनातून पाहू. तुम्ही दरवाजा निवडा. जिंकण्याची शक्यता 1/3 आहे. मी तुम्हाला बदल सुचवतो दोनइतर दरवाजे, जे मॉन्टी हॉलने प्रत्यक्षात करण्याचा प्रस्ताव दिला आहे. अर्थात, त्यामागे कोणतेही बक्षीस नाही हे दाखवण्यासाठी तो एक दरवाजा उघडतो, पण तो नेहमीते करू शकतो, म्हणून ते खरोखर काहीही बदलत नाही. नक्कीच, तुम्हाला वेगळा दरवाजा निवडायचा आहे!

आपण या प्रश्नावर पूर्णपणे स्पष्ट नसल्यास, आणि आपल्याला अधिक विश्वासार्ह स्पष्टीकरण आवश्यक असल्यास, एका अद्भुत फ्लॅश अनुप्रयोगाकडे नेव्हिगेट करण्यासाठी या दुव्यावर क्लिक करा जे आपल्याला या विरोधाभासाचा अधिक तपशीलवार अभ्यास करण्यास अनुमती देईल. आपण सुमारे 10 दरवाज्यांपासून प्रारंभ करू शकता आणि नंतर हळूहळू तीन दरवाजे असलेल्या गेमकडे जाऊ शकता; तेथे एक सिम्युलेटर देखील आहे जेथे आपण 3 ते 50 पर्यंत कितीही दरवाजे निवडू शकता आणि अनेक हजार सिम्युलेशन खेळू किंवा चालवू शकता आणि आपण किती वेळा जिंकलात ते पाहू शकता.

उच्च गणिताचे शिक्षक आणि गेम बॅलन्सचे तज्ञ मॅक्सिम सोल्डाटोव्ह यांच्याकडून टिप्पणी, जे, अर्थातच, श्रेयबरकडे नव्हते, परंतु त्याशिवाय हे जादुई परिवर्तन समजणे खूप कठीण आहे:

तीनपैकी एक दरवाजा निवडा, "जिंकण्याची" शक्यता 1/3 आहे. आता तुमच्याकडे 2 रणनीती आहेत: चुकीचा दरवाजा उघडल्यानंतर निवड बदला किंवा नाही. जर तुम्ही तुमची निवड बदलली नाही, तर संभाव्यता 1/3 राहील, कारण निवड फक्त पहिल्या टप्प्यावर आहे, आणि तुम्हाला लगेच अंदाज लावावा लागेल, जर तुम्ही बदललात तर तुम्ही आधी चुकीचा दरवाजा निवडल्यास तुम्ही जिंकू शकता (मग ते दुसरे चुकीचे उघडतात, विश्वासू राहतील, तुम्ही तुमचा विचार बदला आणि फक्त ते घ्या)
सुरुवातीला चुकीचा दरवाजा निवडण्याची संभाव्यता 2/3 आहे, म्हणून असे दिसून आले की आपला निर्णय बदलून आपण 2 पट जास्त जिंकण्याची शक्यता बनवता

आणि पुन्हा मॉन्टी हॉल विरोधाभासाबद्दल

शोसाठीच, मोंटी हॉलला हे माहित होते कारण जरी त्याचे प्रतिस्पर्धी गणितामध्ये चांगले नसले तरीही, तोते चांगले समजते. त्याने गेम थोडा बदलण्यासाठी काय केले ते येथे आहे. जर आपण दरवाजा निवडला ज्याच्या मागे बक्षीस होते, ज्याची संभाव्यता 1/3 आहे, ती नेहमीतुम्हाला वेगळा दरवाजा निवडण्याची संधी दिली. शेवटी, तुम्ही एक प्रवासी कार निवडली आणि नंतर तुम्ही ती बकरीमध्ये बदलली आणि तुम्ही खूप मूर्ख दिसाल, जे त्याला आवश्यक आहे, कारण तो एक वाईट माणूस आहे. पण जर तुम्ही दरवाजा निवडला तर मागे कोणतेही बक्षीस मिळणार नाही, फक्त अर्ध्यावरअशा परिस्थितीत, तो तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर देईल आणि इतर बाबतीत तो तुम्हाला तुमची नवीन बकरी दाखवेल आणि तुम्ही स्टेज सोडून जाल. चला या नवीन गेमचे विश्लेषण करू ज्यामध्ये मॉन्टी हॉल करू शकतो निवडातुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी द्या किंवा नाही.

समजा तो या अल्गोरिदमचे अनुसरण करतो: जर आपण बक्षीसाने दरवाजा निवडला तर तो आपल्याला नेहमी दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी देतो, अन्यथा तो आपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्याची किंवा बकरी देण्याची शक्यता 50/50 आहे. आपण जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

तीन पर्यायांपैकी एकामध्ये, आपण ताबडतोब दरवाजा निवडा ज्याच्या मागे बक्षीस आहे आणि होस्ट आपल्याला दुसरे दार निवडण्याचे आमंत्रण देतो.

उर्वरित दोन पर्यायांपैकी तीन (तुम्ही सुरुवातीला बक्षीसाशिवाय दरवाजा निवडता), अर्ध्या प्रकरणांमध्ये, प्रस्तुतकर्ता तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर देईल आणि इतर अर्ध्या प्रकरणांमध्ये, नाही. 2/3 चा अर्धा भाग 1/3 आहे, म्हणजे. तीन पैकी एका प्रकरणात तुम्हाला बकरी मिळेल, तीन पैकी एका प्रकरणात तुम्ही चुकीचा दरवाजा निवडाल आणि होस्ट तुम्हाला दुसरा पर्याय निवडण्याची ऑफर देईल आणि तीन पैकी एका प्रकरणात तुम्ही निवड कराल उजवा दरवाजाआणि तो तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्यास सांगेल.

जर नेता दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर देत असेल तर आम्हाला आधीच माहित आहे की तीन पैकी एक प्रकरण, जेव्हा तो आम्हाला बकरी देतो आणि आम्ही निघतो, तसे झाले नाही. ही उपयुक्त माहिती आहे कारण याचा अर्थ असा की आमच्या जिंकण्याची शक्यता बदलली आहे. तीन पैकी दोन प्रकरणांमध्ये, जेव्हा आम्हाला निवडण्याची संधी मिळते, एका बाबतीत याचा अर्थ असा होतो की आम्ही योग्य अंदाज लावला, आणि दुसऱ्या बाबतीत आम्ही चुकीचा अंदाज लावला, म्हणून जर आम्हाला निवडण्याची संधी देण्यात आली तर याचा अर्थ असा की आमच्या जिंकण्याची शक्यता 50/50 आहे आणि नाही गणितीफायदे, आपल्या आवडीनुसार रहा किंवा दुसरा दरवाजा निवडा.

पोकर प्रमाणे, हा आता एक मानसिक खेळ आहे, गणिताचा नाही. मॉन्टीने तुम्हाला एक पर्याय दिला कारण त्याला असे वाटते की तुम्ही एक साधा माणूस आहात ज्याला माहित नाही की वेगळा दरवाजा निवडणे हा "योग्य" निर्णय आहे आणि तुम्ही जिद्दीने तुमच्या आवडीला धरून राहाल, कारण जेव्हा तुम्ही कार निवडता तेव्हा मानसिकदृष्ट्या परिस्थिती, आणि मग ते हरवले, कठीण? किंवा त्याला असे वाटते की आपण हुशार आहात आणि दुसरा दरवाजा निवडा आणि तो आपल्याला ही संधी देतो कारण त्याला माहित आहे की आपण सुरुवातीला योग्य अंदाज लावला होता आणि आपण अडकले आणि अडकले जाईल? किंवा कदाचित तो स्वतःवर दयाळू आहे आणि आपल्या वैयक्तिक हितासाठी तुम्हाला काहीतरी करण्यास प्रवृत्त करतो, कारण त्याने बर्याच काळापासून कार दिली नाही आणि त्याचे निर्माते त्याला सांगतात की प्रेक्षक कंटाळले आहेत आणि त्याने दिले तर ते चांगले होईल रेटिंग कमी होण्यापासून रोखण्यासाठी लवकरच एक मोठे बक्षीस?

अशाप्रकारे, मोंटी एक पर्याय (कधीकधी) देऊ करतो आणि जिंकण्याची एकूण शक्यता 1/3 इतकीच राहते. लक्षात ठेवा की आपण ताबडतोब गमावण्याची शक्यता 1/3 आहे. आपल्याला ते लगेच मिळण्याची शक्यता 1/3 आहे आणि यापैकी 50% प्रकरणांमध्ये आपण जिंकू (1/3 x 1/2 = 1/6). आपण प्रथम चुकीचा अंदाज लावण्याची शक्यता, परंतु नंतर आपल्याला दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी मिळेल, 1/3 आहे आणि यापैकी 50% प्रकरणांमध्ये आपण जिंकू (1/6 देखील). दोन स्वतंत्र जिंकण्याची शक्यता जोडा, आणि तुम्हाला 1/3 च्या बरोबरीने संभाव्यता मिळेल, त्यामुळे तुम्ही तुमच्या आवडीनुसार राहिलात किंवा दुसरा दरवाजा निवडला तरी हरकत नाही, संपूर्ण गेममध्ये तुमच्या जिंकण्याची एकूण शक्यता 1/3 इतकी आहे. .. संभाव्यता अशा स्थितीपेक्षा जास्त होत नाही जिथे तुम्ही दरवाजाचा अंदाज लावला असता आणि प्रस्तुतकर्ता तुम्हाला दर्शवेल की या दरवाजाच्या मागे काय आहे, दुसरा दरवाजा निवडण्याच्या शक्यतेशिवाय! म्हणून, दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी देण्याचा मुद्दा म्हणजे शक्यता बदलणे नव्हे, तर टेलिव्हिजन पाहण्यासाठी निर्णय प्रक्रिया अधिक मनोरंजक बनवणे.

तसे, पोकर इतके मनोरंजक होण्याचे हे एक कारण आहे: बहुतेक फेऱ्यांमध्ये, जेव्हा बेट बनवले जातात (उदाहरणार्थ, टेक्सास होल्डममधील फ्लॉप, टर्न आणि रिव्हर), कार्ड हळूहळू प्रकट होतात, आणि जर खेळाच्या सुरुवातीला तुमच्याकडे जिंकण्याची शक्यता आहे, तर प्रत्येक फेरीनंतर, जेव्हा अधिक कार्ड खुले असतील, तेव्हा ही शक्यता बदलते.

मुलगा आणि मुलगी विरोधाभास

हे आपल्याला आणखी एका सुप्रसिद्ध विरोधाभासाकडे घेऊन जाते, जे, एक नियम म्हणून, प्रत्येकाला कोडे करते - मुलगा आणि मुलगी यांचा विरोधाभास. मी आज ज्या गोष्टींबद्दल लिहित आहे ती थेट गेमशी संबंधित नाही (जरी मी असे गृहीत धरते की याचा अर्थ असा आहे की योग्य गेम मेकॅनिक्स तयार करण्यासाठी मी तुम्हाला दाबले पाहिजे). हे अधिक कोडे आहे, परंतु मनोरंजक आहे आणि ते सोडवण्यासाठी, आपल्याला सशर्त संभाव्यता समजून घेणे आवश्यक आहे, ज्याबद्दल आम्ही वर बोललो.

आव्हान: माझा एक मित्र आहे ज्याला दोन मुले आहेत, कमीत कमी एकमूल एक मुलगी आहे दुसरे मूल होण्याची शक्यता काय आहे खूपमुलगी? चला असे गृहीत धरू की कोणत्याही कुटुंबात मुलगी किंवा मुलगा असण्याची शक्यता 50/50 आहे आणि हे प्रत्येक मुलासाठी खरे आहे (खरं तर, काही पुरुषांमध्ये एक्स क्रोमोसोम किंवा वाय क्रोमोसोमसह अधिक शुक्राणू असतात, त्यामुळे शक्यता थोडी बदलते जर तुम्ही हे जाणून घ्या की एक मूल एक मुलगी आहे, मुलीला जन्म देण्याची शक्यता थोडी जास्त आहे, याव्यतिरिक्त, इतर अटी आहेत, उदाहरणार्थ, हर्माफ्रोडिटिझम, परंतु या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही हे विचारात घेणार नाही आणि असे गृहीत धरणार नाही की मुलाचा जन्म ही एक स्वतंत्र घटना आहे आणि मुलगा किंवा मुली असण्याची शक्यता समान आहे).

आम्ही 1/2 संधीबद्दल बोलत असल्याने, अंतर्ज्ञानीपणे आम्ही अशी अपेक्षा करतो की उत्तर बहुधा 1/2 किंवा 1/4 असेल किंवा काही इतर गोल संख्या जे दोनचे गुणक असतील. पण उत्तर आहे: 1/3 ... थांब का?

या प्रकरणात अडचण अशी आहे की आमच्याकडे असलेली माहिती शक्यतांची संख्या कमी करते. समजा पालक सीसम स्ट्रीटचे चाहते आहेत आणि मुलगा किंवा मुलगी जन्माला आली आहे की नाही याची पर्वा न करता, त्यांनी त्यांच्या मुलांची नावे ए आणि बी ठेवली आहेत, सामान्य परिस्थितीत, चार समान संभाव्य शक्यता आहेत: ए आणि बी दोन मुले आहेत, ए आणि बी दोन मुली आहेत, A मुलगा आहे आणि B मुलगी आहे, A मुलगी आहे आणि B मुलगा आहे. आम्हाला ते माहित असल्याने कमीत कमी एकमूल एक मुलगी आहे, आम्ही A आणि B दोन मुले असल्याची शक्यता वगळू शकतो, म्हणून आपल्याकडे तीन (अजूनही तितकेच संभाव्य) शक्यता आहेत. जर सर्व शक्यता तितक्याच संभाव्य असतील आणि त्यापैकी तीन असतील तर आम्हाला माहित आहे की प्रत्येकाची संभाव्यता 1/3 आहे. या तीन पर्यायांपैकी फक्त एकामध्ये, दोन्ही मुले दोन मुली आहेत, म्हणून उत्तर 1/3 आहे.

आणि पुन्हा मुलगा आणि मुलीच्या विरोधाभासाबद्दल

समस्येचे निराकरण आणखी अतार्किक बनते. कल्पना करा जर मी तुम्हाला सांगतो की माझ्या मित्राला दोन मुले आणि एक मूल आहे - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी... समजा की सामान्य परिस्थितीत आठवड्याच्या सात दिवसांपैकी एका दिवशी मूल होण्याची शक्यता समान आहे. दुसरे मूल देखील मुलगी असण्याची शक्यता काय आहे? तुम्हाला वाटेल की उत्तर अजूनही 1/3 असेल; मंगळवार म्हणजे काय? परंतु या प्रकरणातही, अंतर्ज्ञान आपल्याला अपयशी ठरवते. उत्तर: 13/27 जे फक्त अंतर्ज्ञानी नाही, ते खूप विचित्र आहे. काय झला या प्रकरणात?

खरं तर, मंगळवारी संभाव्यता बदलते कारण आम्हाला माहित नाही जेमुलाचा जन्म मंगळवारी किंवा शक्यतो झाला होता दोन मुलेत्यांचा जन्म मंगळवारी झाला. या प्रकरणात, आम्ही वरील प्रमाणेच तर्क वापरतो, कमीतकमी एक मूल मंगळवारी जन्मलेली मुलगी असेल तेव्हा आम्ही सर्व संभाव्य जोड्या मोजतो. मागील उदाहरणाप्रमाणे, समजा मुलांना A आणि B अशी नावे देण्यात आली आहेत, संयोजन खालीलप्रमाणे आहेत:

• A - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, B - एक मुलगा (या परिस्थितीत 7 शक्यता आहेत, आठवड्याच्या प्रत्येक दिवसासाठी एक मुलगा जन्माला येऊ शकतो).
• ब - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, ए - एक मुलगा (7 शक्यता देखील).
• A - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, B - जन्मलेली मुलगी दुसराआठवड्याचा दिवस (6 शक्यता).
• ब - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, अ - मंगळवारी नसलेली मुलगी (6 संभाव्यता).
• A आणि B - दोन मुली ज्या मंगळवारी जन्माला आल्या (1 शक्यता, तुम्हाला याकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे, जेणेकरून दोनदा मोजू नये).

आम्ही सारांशित करतो आणि मंगळवारी मुलगी होण्याच्या किमान एका शक्यतेसह मुलांच्या जन्माच्या आणि दिवसांच्या 27 समान समान संभाव्य जोड्या मिळवतो. यापैकी 13 संधी जेव्हा दोन मुलींचा जन्म होतो. हे देखील पूर्णपणे अतार्किक दिसते आणि असे दिसते की हे कार्य केवळ डोकेदुखी निर्माण करण्यासाठी तयार केले गेले आहे. आपण अद्याप या उदाहरणामुळे गोंधळलेले असल्यास, गेम सिद्धांतकार जेस्पर यूलने त्याच्या वेबसाइटवर या प्रकरणाचे चांगले स्पष्टीकरण दिले आहे.

आपण सध्या एखाद्या गेमवर काम करत असल्यास ...

आपण डिझाइन करत असलेल्या गेममध्ये यादृच्छिकता असल्यास, त्याचे विश्लेषण करण्याची ही एक उत्तम संधी आहे. आपण विश्लेषण करू इच्छित असलेले काही घटक निवडा. सर्वप्रथम, स्वतःला विचारा की आपण दिलेल्या घटकाची संभाव्यता काय अपेक्षित आहे, गेमच्या संदर्भात ते काय असावे असे आपल्याला वाटते. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही आरपीजी तयार करत असाल आणि तुम्ही विचार करत असाल की एखाद्या खेळाडूला लढाईत राक्षसाचा पराभव करण्याची शक्यता काय असावी, तर स्वतःला विचारा की विजयाची टक्केवारी तुम्हाला योग्य कशी वाटते? सहसा कन्सोल आरपीजी खेळताना, खेळाडू जेव्हा हरतात तेव्हा खूप निराश होतात, म्हणून ते बरेचदा हरले नाहीत हे चांगले आहे ... कदाचित 10% वेळ किंवा कमी? जर तुम्ही आरपीजी डिझायनर असाल तर तुम्हाला कदाचित माझ्यापेक्षा चांगले माहीत असेल, परंतु संभाव्यता काय असावी याची तुम्हाला मूलभूत कल्पना असणे आवश्यक आहे.

मग स्वतःला विचारा की हे काही आहे का व्यसनी(जसे कार्ड) किंवा स्वतंत्र(फासे सारखे). सर्व संभाव्य परिणाम आणि त्यांच्या संभाव्यतेचे विश्लेषण करा. सर्व संभाव्यतांची बेरीज 100%असल्याची खात्री करा. शेवटी, अर्थातच, आपल्या परिणामांची तुलना आपल्याला अपेक्षित परिणामांशी करा. आपण फासे फेकत असाल किंवा कार्ड्स आपल्या इच्छेनुसार काढत असाल किंवा आपल्याला मूल्ये समायोजित करण्याची आवश्यकता आहे हे आपण पाहता. आणि, नक्कीच, जर तुम्ही शोधणेकाय समायोजित करणे आवश्यक आहे, आपण काही गणना किती समायोजित करावी हे निर्धारित करण्यासाठी समान गणना वापरू शकता!

गृहपाठ

या आठवड्यात तुमचा “गृहपाठ” तुम्हाला तुमच्या संभाव्य कौशल्यांमध्ये सुधारणा करण्यास मदत करेल. येथे दोन फासे खेळ आणि एक कार्ड गेम आहे ज्याचे तुम्ही संभाव्यतेचा वापर करून विश्लेषण कराल, तसेच एक विचित्र गेम मेकॅनिक जो मी एकदा विकसित केला होता ज्याचा वापर तुम्ही मॉन्टे कार्लो पद्धतीची चाचणी घेण्यासाठी करू शकता.

गेम क्रमांक 1 - ड्रॅगन हाडे

हा एक फासे खेळ आहे जो आम्ही एकदा सहकाऱ्यांसह शोधला होता (जेब हेव्हन्स आणि जेसी किंग यांचे आभार!), आणि जे लोकांच्या मेंदूला त्याच्या संभाव्यतेसह जाणूनबुजून बाहेर काढते. हा "ड्रॅगन बोन्स" नावाचा एक साधा कॅसिनो गेम आहे आणि हा खेळाडू आणि घर यांच्यातील जुगार फासे स्पर्धा आहे. आपल्याला नेहमीचे 1d6 डाय दिले जाते. खेळाचा उद्देश घरापेक्षा जास्त संख्या फेकणे आहे. टॉमला नॉन-स्टँडर्ड 1 डी 6 देण्यात आला आहे-जो तुमच्यासारखाच आहे, परंतु एका चेहऱ्यावरील एकाऐवजी-ड्रॅगनची प्रतिमा (अशा प्रकारे, कॅसिनोमध्ये ड्रॅगन-2-3-4-5-6 क्यूब आहे). जर घराला ड्रॅगन मिळाले तर ते आपोआप जिंकते आणि आपण हरतो. जर तुम्हाला दोघांना समान क्रमांक मिळाला तर ते ड्रॉ आहे आणि तुम्ही पुन्हा फासे फिरवा. जो सर्वाधिक क्रमांक फेकतो तो जिंकतो.

नक्कीच, सर्वकाही पूर्णपणे खेळाडूच्या बाजूने जात नाही, कारण कॅसिनोला ड्रॅगन एजच्या स्वरूपात फायदा आहे. पण खरंच असं आहे का? तुम्हाला ते काढावे लागेल. पण त्याआधी तुमचे अंतर्ज्ञान तपासा. समजा जिंकणे 2 ते 1 आहेत. म्हणून जर तुम्ही जिंकलात तर तुम्ही तुमची पैज ठेवता आणि दुप्पट मिळवता. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही $ 1 ला पैज लावली आणि जिंकलात, तर तुम्ही ते डॉलर ठेवले आणि एकूण $ 3 साठी आणखी 2 वर मिळवले. जर तुम्ही हरलात, तर तुम्ही फक्त तुमचा पैज गमावाल. तू खेळशील का? तर, तुम्हाला अंतर्ज्ञानाने असे वाटते की संभाव्यता 2 ते 1 पेक्षा जास्त आहे किंवा तुम्हाला अजूनही असे वाटते की ते कमी आहे? दुसऱ्या शब्दांत, सरासरी 3 खेळांमध्ये, आपण एकापेक्षा जास्त, किंवा कमी, किंवा एकदा जिंकण्याची अपेक्षा करता?

एकदा तुमचे अंतर्ज्ञान सोडवले की, गणित लावा. दोन्ही फासे साठी फक्त 36 संभाव्य पोझिशन्स आहेत, त्यामुळे तुम्ही कोणत्याही अडचणीशिवाय त्या सर्वांची गणना करू शकता. जर तुम्हाला या 2-ते -1 वाक्याबद्दल खात्री नसेल तर, याचा विचार करा: समजा तुम्ही 36 वेळा गेम खेळला (प्रत्येक वेळी $ 1 ला सट्टेबाजी). प्रत्येक विजयासाठी तुम्हाला $ 2, प्रत्येक नुकसानीसाठी तुम्ही $ 1 गमावता आणि ड्रॉ काहीही बदलत नाही. आपल्या सर्व संभाव्य विजय आणि नुकसानाची गणना करा आणि ठरवा की आपण काही डॉलर्स गमावाल की नफा. मग स्वतःला विचारा की तुमची अंतर्ज्ञान किती बरोबर होती. आणि मग - मी काय खलनायक आहे याची जाणीव करा.

आणि, होय, जर तुम्ही या प्रश्नाबद्दल आधीच विचार केला असेल तर - मी फासे खेळांच्या वास्तविक यांत्रिकीचा विपर्यास करून जाणूनबुजून तुम्हाला गोंधळात टाकत आहे, परंतु मला खात्री आहे की तुम्ही फक्त चांगल्या विचाराने हा अडथळा पार करू शकता. ही समस्या स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा. मी पुढील आठवड्यात सर्व उत्तरे इथे पोस्ट करेन.

गेम # 2 - लक टॉस

हा लुक रोल नावाचा एक फासे खेळ आहे (बर्डकेज देखील, कारण कधीकधी फासे फेकले जात नाहीत, परंतु मोठ्या वायरच्या पिंजऱ्यात ठेवले जातात, जे बिंगो पिंजराची आठवण करून देतात). हा एक साधा खेळ आहे जो यासारखे काहीतरी उकळतो: पैज लावा, 1 ते 6 दरम्यानच्या संख्येवर $ 1 मग तुम्ही 3d6 रोल करा. तुमचा नंबर मारणाऱ्या प्रत्येक मरणासाठी, तुम्हाला $ 1 (आणि तुमचा मूळ हिस्सा) ठेवा. जर तुमचा नंबर कोणत्याही फासेवर दिसत नसेल तर कॅसिनोला तुमचे डॉलर मिळतील आणि तुम्हाला - काहीही नाही. म्हणून, जर तुम्ही 1 वर पैज लावली आणि तुम्हाला तीन वेळा काठावर 1 मिळाले तर तुम्हाला $ 3 मिळेल.

अंतर्ज्ञानीपणे, या गेममध्ये समान संधी असल्याचे दिसते. प्रत्येक फासे जिंकण्याची 6 पैकी 1 वैयक्तिक संधी आहे, त्यामुळे तिन्हीच्या बेरजेवर तुमच्या जिंकण्याची संधी 3 ते 6 आहे. तथापि, लक्षात ठेवा की तुम्ही तीन स्वतंत्र फासे तयार करत आहात आणि तुम्हाला फक्त जोडण्याची परवानगी असेल तर आम्ही एकाच फासाच्या स्वतंत्र विजयी जोड्यांबद्दल बोलत आहोत. काहीतरी आपल्याला गुणाकार करण्याची आवश्यकता असेल.

एकदा आपण सर्व संभाव्य परिणाम शोधून काढले (ते एक्सेलमध्ये हाताने करणे सोपे होईल, कारण त्यापैकी 216 आहेत), गेम अजूनही विचित्र आणि अगदी पहिल्या दृष्टीक्षेपात दिसतो. पण खरं तर, कॅसिनोला अजूनही जिंकण्याची अधिक शक्यता आहे - आणखी किती? विशेषतः, खेळाच्या प्रत्येक फेरीसाठी तुम्ही सरासरी किती पैसे गमावण्याची अपेक्षा करता? तुम्हाला फक्त 216 निकालातील विजय आणि हार जोडायचे आहेत, आणि नंतर 216 ने विभाजित करणे, जे अगदी सोपे असावे ... पण तुम्ही बघू शकता की, तुम्हाला अनेक अडचणी येऊ शकतात, म्हणूनच मी मी तुम्हाला सांगत आहे: जर तुम्हाला वाटत असेल की या गेममध्ये जिंकण्याची शक्यता आहे, तर तुम्हाला ते सर्व चुकीचे वाटले आहे.

गेम # 3 - 5 कार्ड स्टड पोकर

आपण मागील गेम्समध्ये उबदार असल्यास, या कार्ड गेमसह सशर्त संभाव्यतेबद्दल आम्हाला काय माहित आहे ते तपासा. विशेषतः, 52-कार्ड डेकसह पोकरची कल्पना करूया. चला 5 कार्ड स्टडची कल्पना करूया, जिथे प्रत्येक खेळाडूला फक्त 5 कार्डे मिळतात. आपण कार्ड टाकू शकत नाही, आपण नवीन काढू शकत नाही, सामान्य डेक नाही - आपल्याला फक्त 5 कार्ड मिळतात.

रॉयल फ्लश एका हातात 10-J-Q-K-A आहे, एकूण चार आहेत, त्यामुळे रॉयल फ्लश मिळवण्याचे चार संभाव्य मार्ग आहेत. संभाव्यतेची गणना करा की आपल्याला असे एक संयोजन मिळेल.

मी तुम्हाला एका गोष्टीचा इशारा दिला पाहिजे: लक्षात ठेवा की तुम्ही ही पाच कार्डे कोणत्याही क्रमाने काढू शकता. म्हणजेच, प्रथम आपण एक निपुण किंवा दहा काढू शकता, काही फरक पडत नाही. म्हणून हे मोजताना, लक्षात ठेवा की कार्ड्स क्रमाने हाताळले गेले आहेत असे गृहीत धरून रॉयल फ्लश मिळवण्याचे प्रत्यक्षात चारपेक्षा जास्त मार्ग आहेत!

गेम # 4 - आयएमएफ लॉटरी

आज आम्ही ज्या पद्धतींबद्दल बोललो त्यासह चौथी समस्या सोडवणे इतके सोपे होणार नाही, परंतु प्रोग्रामिंग किंवा एक्सेल वापरून आपण परिस्थितीचे सहज अनुकरण करू शकता. या समस्येच्या उदाहरणावर आपण मोंटे कार्लो पद्धतीचा अभ्यास करू शकता.

मी पूर्वी "क्रोन एक्स" गेमचा उल्लेख केला होता, ज्यावर मी काम केले होते आणि तेथे एक अतिशय मनोरंजक कार्ड होते - आयएमएफ लॉटरी. ते कसे कार्य करते ते येथे आहे: आपण ते गेममध्ये वापरले. फेरी संपल्यानंतर, कार्डे पुन्हा वितरित केली गेली आणि कार्ड गेम सोडण्याची 10% शक्यता होती आणि यादृच्छिक खेळाडूला प्रत्येक प्रकारच्या संसाधनाचे 5 युनिट प्राप्त होतील ज्याचे टोकन या कार्डवर उपस्थित होते. कार्ड एकाही टोकनशिवाय खेळण्यात आले, परंतु प्रत्येक वेळी ते पुढच्या फेरीच्या सुरुवातीला गेममध्ये राहिले, त्याला एक टोकन मिळाले. त्यामुळे 10% संधी होती की तुम्ही ते प्रत्यक्षात आणाल, फेरी संपेल, कार्ड गेम सोडेल आणि कोणालाही काहीही मिळणार नाही. जर हे घडले नाही (90% संभाव्यतेसह), 10% संधी आहे (प्रत्यक्षात 9%, कारण हे 90% पैकी 10% आहे) की पुढच्या फेरीत ती गेम सोडेल आणि कोणाला 5 मिळेल संसाधनांची एकके. जर कार्ड एका फेरीनंतर खेळ सोडला (उपलब्ध 81%पैकी 10%, तर संभाव्यता 8.1%आहे), एखाद्याला 10 युनिट मिळतील, दुसऱ्या फेरीनंतर - 15, दुसरा 20, आणि असेच. प्रश्न: शेवटी कार्ड सोडल्यावर तुम्हाला या कार्डमधून मिळणाऱ्या संसाधनांच्या संख्येचे सामान्य अपेक्षित मूल्य काय आहे?

सहसा, प्रत्येक परिणामाची शक्यता शोधून आणि सर्व परिणामांच्या संख्येने गुणाकार करून आम्ही ही समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करू. त्यामुळे तुम्हाला 10 (0.1 * 0 = 0) मिळण्याची 10% शक्यता आहे. 9% की तुम्हाला 5 युनिट्स संसाधने मिळतील (9% * 5 = 0.45 संसाधने). तुम्हाला मिळणाऱ्या 8.1% (8.1% * 10 = 0.81 एकूण संसाधने, अपेक्षित मूल्य). इ. आणि मग आम्ही ते सर्व जोडू.

आणि आता समस्या तुम्हाला स्पष्ट आहे: कार्ड असण्याची नेहमीच शक्यता असते नाहीखेळ सोडेल जेणेकरून ती गेममध्ये राहू शकेल सदासर्वकाळ, असीम फेऱ्यांसाठी, जेणेकरून गणना करण्याची शक्यता प्रत्येक संधीअस्तित्वात नाही. आज आपण शिकलेल्या पद्धती आपल्याला अनंत पुनरावृत्तीची गणना करण्याची क्षमता देत नाहीत, म्हणून आपल्याला ती कृत्रिमरित्या तयार करावी लागेल.

आपण प्रोग्रामिंगमध्ये पुरेसे चांगले असल्यास, या कार्डचे अनुकरण करणारा प्रोग्राम लिहा. आपल्याकडे टाइम लूप असावा जो व्हेरिएबलला त्याच्या मूळ शून्य स्थितीत परत आणतो, यादृच्छिक संख्या प्रदर्शित करतो आणि 10% संभाव्यतेसह व्हेरिएबल लूपमधून बाहेर पडेल. अन्यथा, ते व्हेरिएबलमध्ये 5 जोडते आणि लूप पुन्हा होते. जेव्हा ते शेवटी लूपमधून बाहेर पडते, चाचणीच्या एकूण संख्येची संख्या 1 ने आणि संसाधनांची एकूण संख्या (व्हेरिएबल कुठे सोडले यावर किती अवलंबून असते) वाढवा. नंतर व्हेरिएबल रीसेट करा आणि पुन्हा सुरू करा. प्रोग्राम हजारो वेळा चालवा. शेवटी, एकूण संसाधनांना एकूण धावांनी विभाजित करा - हे तुमचे अपेक्षित मॉन्टे कार्लो मूल्य असेल. आपल्याला मिळणारे क्रमांक अंदाजे समान आहेत याची खात्री करण्यासाठी प्रोग्राम अनेक वेळा चालवा; जर स्प्रेड अजून मोठा असेल, तर बाहेरच्या लूपमध्ये पुनरावृत्तीची संख्या वाढवा जोपर्यंत तुम्ही जुळणी घेण्यास सुरुवात करत नाही. आपण खात्री बाळगू शकता की आपण जे काही क्रमांक संपवाल ते अंदाजे बरोबर असतील.

जर तुम्ही प्रोग्रामिंगशी अपरिचित असाल (किंवा तुम्ही असलात तरी), तुमच्या एक्सेल कौशल्यांना उबदार करण्यासाठी येथे थोडासा व्यायाम आहे. आपण गेम डिझायनर असल्यास, एक्सेल कौशल्ये कधीही अनावश्यक नसतात.

आत्तासाठी, IF आणि RAND कार्ये सुलभ होतील. RAND ला मूल्याची आवश्यकता नसते, ती फक्त 0 ते 1 दरम्यान एक यादृच्छिक दशांश संख्या काढते, सहसा आम्ही ते FLOOR आणि साधक आणि बाधक एकत्र करून डायच्या रोलचे अनुकरण करतो, ज्याचा मी आधी उल्लेख केला आहे. तथापि, या प्रकरणात, आम्ही फक्त 10% संधी सोडतो की कार्ड गेम सोडेल, म्हणून आम्ही फक्त रँड व्हॅल्यू 0.1 पेक्षा कमी आहे की नाही हे तपासू शकतो आणि यापुढे त्रास देऊ नये.

IF चे तीन अर्थ आहेत. क्रमाने, एक अट जी एकतर खरी आहे किंवा नाही, तर मूल्य जर अटी खरी असेल तर परत केली जाते, आणि अट खरी नसल्यास परत केलेली किंमत. तर खालील फंक्शन 5% वेळ परत करेल, आणि इतर 90% वेळ:
= IF (RAND ()<0.1,5,0)

ही कमांड सेट करण्याचे अनेक मार्ग आहेत, परंतु पहिल्या फेरीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या सेलसाठी मी यासारखे सूत्र वापरू, असे म्हणूया की तो सेल A1 आहे:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

येथे मी एक नकारात्मक व्हेरिएबल वापरत आहे याचा अर्थ "या कार्डने गेम सोडला नाही आणि अद्याप कोणतेही संसाधने दान केले नाहीत." म्हणून जर पहिली फेरी संपली आणि कार्ड खेळणे बंद झाले, तर A1 0 आहे; अन्यथा ते -1 आहे.

दुसऱ्या फेरीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या पुढील सेलसाठी:

IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

म्हणून जर पहिली फेरी संपली आणि कार्ड ताबडतोब गेम सोडले तर A1 0 आहे (संसाधनांची संख्या) आणि हा सेल फक्त त्या मूल्याची कॉपी करेल. उलट प्रकरणात, A1 -1 आहे (कार्डने अद्याप गेम सोडला नाही), आणि हा सेल यादृच्छिकपणे हलवत राहतो: 10% वेळ 5 संसाधने परत करेल, उर्वरित वेळ त्याचे मूल्य अजूनही असेल -1 असा. जर आम्ही हे सूत्र अतिरिक्त पेशींवर लागू केले, तर आम्हाला अतिरिक्त फेऱ्या मिळतील, आणि शेवटी कोणताही सेल तुमच्यासमोर येईल, तुम्हाला अंतिम परिणाम प्राप्त होईल (किंवा -1 जर तुम्ही खेळलेल्या सर्व फेऱ्यांनंतर कार्ड खेळ सोडला नसेल तर) .

पेशींची ही पंक्ती घ्या, जी या कार्डसह एकमेव फेरी आहे आणि अनेक शंभर (किंवा हजारो) पंक्ती कॉपी आणि पेस्ट करा. आम्ही कदाचित करू शकत नाही अंतहीनएक्सेलसाठी चाचणी (टेबलमध्ये मर्यादित संख्येने पेशी आहेत), परंतु कमीतकमी आम्ही बहुतेक प्रकरणांचा समावेश करू शकतो. नंतर एक सेल निवडा जिथे तुम्ही सर्व फेऱ्यांच्या निकालांची सरासरी ठेवाल (एक्सेल कृपया यासाठी AVERAGE () फंक्शन प्रदान करते).

विंडोजवर, आपण सर्व यादृच्छिक संख्या पुन्हा मोजण्यासाठी F9 दाबा. पूर्वीप्रमाणे, हे अनेक वेळा करा आणि आपल्याला मिळणारी मूल्ये समान आहेत का ते पहा. जर स्प्रेड खूप रुंद असेल तर धावांची संख्या दुप्पट करा आणि पुन्हा प्रयत्न करा.

न सुटलेली कामे

जर तुमच्याकडे संभाव्यतेची पदवी असेल आणि वरील समस्या तुमच्यासाठी खूप सोप्या वाटत असतील, तर येथे दोन समस्या आहेत ज्या मी वर्षानुवर्षे गोंधळात टाकत आहे, पण दुर्दैवाने, मी त्या सोडवण्यासाठी गणितामध्ये तितकीशी चांगली नाही. जर तुम्हाला अचानक एखादा उपाय माहीत असेल तर कृपया तो इथे कमेंटमध्ये पोस्ट करा, मी ते आनंदाने वाचू.

न सुटलेली समस्या क्रमांक 1: लॉटरीआयएमएफ

पहिली न सुटलेली समस्या म्हणजे मागील गृहपाठ असाइनमेंट. मी मोंटे कार्लो पद्धत (सी ++ किंवा एक्सेल वापरून) सहजपणे लागू करू शकतो, आणि "खेळाडूला किती संसाधने मिळतील" या प्रश्नाचे उत्तर मला आत्मविश्वासाने मिळेल, परंतु अचूक सिद्ध कसे करावे हे मला माहित नाही गणिती उत्तर द्या (ही एक अंतहीन मालिका आहे). जर तुम्हाला उत्तर माहीत असेल तर ते इथे पोस्ट करा ... मोंटे कार्लो बरोबर तपासल्यानंतर, नक्कीच.

न सुटलेली समस्या # 2: आकारांचे अनुक्रम

ही समस्या (आणि पुन्हा ती या ब्लॉगमध्ये सोडवलेल्या कामांपेक्षा खूप पुढे आहे) 10 वर्षांपूर्वी एका परिचित गेमरने माझ्याकडे टाकली होती. वेगासमध्ये ब्लॅकजॅक खेळताना त्याला एक मनोरंजक वैशिष्ट्य लक्षात आले: जेव्हा त्याने 8 डेकसाठी त्याच्या शूमधून कार्ड काढले तेव्हा त्याने पाहिले दहासलग आकृत्या (एक आकृती, किंवा एक आकृतीयुक्त कार्ड-10, जोकर, किंग किंवा क्वीन, म्हणून त्यापैकी 16 मानक 52-कार्ड डेकमध्ये आहेत, म्हणून त्यापैकी 416-कार्ड शूमध्ये 128 आहेत). संभाव्यता काय आहे की या शू मध्ये किमानएक अनुक्रम दहा किंवा जास्तआकडे? आपण गृहित धरू की ते प्रामाणिकपणे बदलले गेले, यादृच्छिक क्रमाने. (किंवा, जर तुम्हाला ते अधिक आवडत असेल तर त्याची संभाव्यता किती आहे कुठेही सापडत नाहीदहा किंवा अधिक आकारांचा क्रम?)

आम्ही कार्य सुलभ करू शकतो. येथे 416 भागांचा क्रम आहे. प्रत्येक तुकडा 0 किंवा 1. आहे 128 अनुक्रमे आणि 288 शून्य संपूर्ण क्रमाने यादृच्छिकपणे विखुरलेले आहेत. 288 शून्यांसह 128 जणांना यादृच्छिकपणे अंतर्भूत करण्याचे किती मार्ग आहेत आणि या पद्धतींमध्ये कमीतकमी दहा किंवा अधिक गटांचा किती गट आहे?

प्रत्येक वेळी जेव्हा मी या समस्येचे निराकरण करण्यास सुरवात केली, तेव्हा ते मला सोपे आणि स्पष्ट वाटत होते, परंतु मी तपशीलात जाताच ते अचानक पडले आणि मला फक्त अशक्य वाटले. म्हणून उत्तर अस्पष्ट करण्यासाठी घाई करू नका: बसा, काळजीपूर्वक विचार करा, समस्येच्या परिस्थितीचा अभ्यास करा, वास्तविक संख्या बदलण्याचा प्रयत्न करा, कारण ज्यांच्याशी मी या समस्येबद्दल बोललो ते सर्व (या क्षेत्रात काम करणाऱ्या अनेक पदवीधर विद्यार्थ्यांसह) त्याच बद्दल प्रतिक्रिया दिली "हे अगदी स्पष्ट आहे ... अरे, नाही, थांबा, हे अजिबात स्पष्ट नाही." ही अशी परिस्थिती आहे ज्यासाठी माझ्याकडे सर्व पर्यायांची गणना करण्याची पद्धत नाही. मी नक्कीच संगणक अल्गोरिदम द्वारे समस्येवर जबरदस्ती करू शकतो, परंतु ही समस्या सोडवण्याचा गणिती मार्ग जाणून घेणे अधिक उत्सुक असेल.

भाषांतर - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

फासे हजारो वर्षांपासून मानवाद्वारे वापरले जात आहेत.

21 व्या शतकात, नवीन तंत्रज्ञान आपल्याला कोणत्याही सोयीच्या वेळी फासे फिरवण्याची परवानगी देते, आणि आपल्याकडे इंटरनेट असल्यास, सोयीस्कर ठिकाणी. फासे नेहमी घरी किंवा रस्त्यावर असतात.

फासे जनरेटर आपल्याला 1 ते 4 फासे ऑनलाइन रोल करण्याची परवानगी देतो.

ऑनलाईन फासे रोल करा

वास्तविक फासे वापरताना, एका बाजूला मॅन्युअल कौशल्य किंवा विशेषतः बनवलेले फासे जास्त वजन वापरले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, आपण एका अक्ष्यासह क्यूब फिरवू शकता आणि नंतर संभाव्यता वितरण बदलेल. आमच्या व्हर्च्युअल क्यूब्सचे वैशिष्ट्य म्हणजे सॉफ्टवेअर छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटरचा वापर. हे आपल्याला या किंवा त्या परिणामासाठी खरोखर यादृच्छिक पर्याय प्रदान करण्यास अनुमती देते.

आणि जर तुम्ही हे पान तुमच्या बुकमार्कमध्ये जोडले तर तुमचे ऑनलाइन फासे कुठेही गमावले जाणार नाहीत आणि नेहमी योग्य वेळी हाताशी असतील!

काही लोकांनी भविष्य सांगण्यासाठी किंवा भविष्यवाणी आणि कुंडली बनवण्यासाठी ऑनलाइन फासे वापरण्यास अनुकूल केले आहे.

आनंदी मूड, चांगला दिवस आणि शुभेच्छा!