तीन वेक्टर आणि त्याचे गुणधर्म यांचे मिश्रित उत्पादन

मिश्र कार्यतीन सदिशांना समान संख्या म्हणतात. नियुक्त केले . येथे पहिल्या दोन सदिशांचा वेक्टोरिअली गुणाकार केला जातो आणि नंतर परिणामी वेक्टरचा तिसऱ्या वेक्टरने स्केलरली गुणाकार केला जातो. अर्थात, असे उत्पादन एक विशिष्ट संख्या आहे.

चला मिश्रित उत्पादनाच्या गुणधर्मांचा विचार करूया.

1. भौमितिक अर्थमिश्र कार्य. 3 सदिशांचे मिश्रित उत्पादन, एका चिन्हापर्यंत, या वेक्टरवर बांधलेल्या समांतर पाईपच्या आकारमानाच्या बरोबरीचे असते, जसे की कडांवर. .

   अशा प्रकारे, आणि .

   

   पुरावा. चला सामान्य उत्पत्तीपासून वेक्टर बाजूला ठेवू आणि त्यांच्यावर समांतर पाईप तयार करू. चला ते दर्शवू आणि लक्षात घ्या. स्केलर उत्पादनाच्या व्याख्येनुसार

   असे गृहीत धरून आणि द्वारे सूचित करणे hसमांतर पाईपची उंची शोधा.

   अशा प्रकारे, जेव्हा

   जर, तर. म्हणून, .

   या दोन्ही केसेस एकत्र केल्याने, आम्हाला मिळते किंवा.

   या गुणधर्माच्या पुराव्यावरून, विशेषतः, असे आढळते की जर व्हेक्टरचा तिप्पट उजव्या हाताने असेल, तर मिश्रित उत्पादन आहे, आणि जर ते डाव्या हाताने असेल, तर.

2. कोणत्याही वेक्टरसाठी, , समानता सत्य आहे

   या मालमत्तेचा पुरावा मालमत्ता 1 वरून मिळतो. खरंच, हे दाखवणे सोपे आहे आणि . शिवाय, “+” आणि “–” ही चिन्हे एकाच वेळी घेतली जातात, कारण वेक्टर आणि आणि आणि दोन्ही मधील कोन तीव्र आणि स्थूल आहेत.

3. कोणत्याही दोन घटकांची पुनर्रचना केल्यावर, मिश्रित उत्पादन चिन्ह बदलते.

   खरंच, जर आपण मिश्रित उत्पादनाचा विचार केला तर, उदाहरणार्थ, किंवा

4. मिश्रित उत्पादन जर आणि फक्त जर घटकांपैकी एक शून्य समान असेल किंवा व्हेक्टर कॉप्लॅनर असेल.

   पुरावा.

   अशा प्रकारे, 3 वेक्टरच्या समतलतेसाठी आवश्यक आणि पुरेशी अट म्हणजे त्यांचे मिश्रित उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे आहे. याव्यतिरिक्त, हे खालीलप्रमाणे आहे की तीन सदिश जर अवकाशात आधार बनवतात.

   जर व्हेक्टर समन्वय स्वरूपात दिले असतील, तर असे दर्शवले जाऊ शकते की त्यांचे मिश्रित उत्पादन सूत्राद्वारे आढळते:

   .

   अशाप्रकारे, मिश्रित उत्पादन तिसऱ्या-क्रम निर्धारकाच्या बरोबरीचे असते, ज्यामध्ये पहिल्या ओळीतील पहिल्या वेक्टरचे निर्देशांक, दुसऱ्या ओळीतील दुसऱ्या वेक्टरचे निर्देशांक आणि तिसऱ्या ओळीतील तिसऱ्या वेक्टरचे समन्वय असतात.

   उदाहरणे.

अंतराळातील विश्लेषणात्मक भूमिती

समीकरण F(x, y, z)= 0 स्पेसमध्ये परिभाषित करते Oxyzकाही पृष्ठभाग, म्हणजे बिंदूंचे भौमितिक स्थान ज्यांचे समन्वय x, y, zहे समीकरण पूर्ण करा. या समीकरणाला पृष्ठभाग समीकरण म्हणतात, आणि x, y, z- वर्तमान निर्देशांक.

तथापि, बऱ्याचदा पृष्ठभाग समीकरणाद्वारे निर्दिष्ट केले जात नाही, परंतु अंतराळातील बिंदूंचा संच म्हणून ज्यामध्ये एक किंवा दुसरी मालमत्ता असते. या प्रकरणात, त्याच्या भौमितिक गुणधर्मांवर आधारित पृष्ठभागाचे समीकरण शोधणे आवश्यक आहे.

विमान.

नॉर्मल प्लेन वेक्टर.

दिलेल्या बिंदूतून विमानाचे समीकरण

अंतराळातील एका अनियंत्रित विमान σ चा विचार करू. या समतलाला लंब असलेला वेक्टर आणि काही निश्चित बिंदू निर्दिष्ट करून त्याची स्थिती निश्चित केली जाते M0(x ०, y 0, z 0), σ विमानात पडलेला.

समतल σ ला लंब असलेला वेक्टर म्हणतात सामान्यया विमानाचा वेक्टर. वेक्टरला निर्देशांक असू द्या.

या बिंदूतून जाणारे विमान σ चे समीकरण काढू M0आणि सामान्य वेक्टर असणे. हे करण्यासाठी, विमान σ वर एक अनियंत्रित बिंदू घ्या M(x, y, z)आणि वेक्टरचा विचार करा.

कोणत्याही बिंदूसाठी एमО σ एक सदिश आहे, म्हणून त्यांचे स्केलर गुणाकार शून्य आहे. ही समानता हीच स्थिती आहे एमओ σ. हे या विमानाच्या सर्व बिंदूंसाठी वैध आहे आणि बिंदू होताच त्याचे उल्लंघन केले जाते एमσ विमानाच्या बाहेर असेल.

जर आपण त्रिज्या वेक्टरद्वारे बिंदू दर्शवितो एम, – बिंदूचा त्रिज्या वेक्टर M0, नंतर समीकरण फॉर्ममध्ये लिहिले जाऊ शकते

या समीकरणाला म्हणतात वेक्टरविमान समीकरण. चला ते समन्वय स्वरूपात लिहू. तेंव्हापासून

तर, आम्ही या बिंदूवरून जाणारे विमानाचे समीकरण प्राप्त केले आहे. अशा प्रकारे, विमानाचे समीकरण तयार करण्यासाठी, आपल्याला सामान्य वेक्टरचे निर्देशांक आणि विमानावर पडलेल्या काही बिंदूचे निर्देशांक माहित असणे आवश्यक आहे.

लक्षात घ्या की विमानाचे समीकरण हे वर्तमान निर्देशांकांच्या संदर्भात 1ल्या अंशाचे समीकरण आहे x, yआणि z.

उदाहरणे.

विमानाचे सामान्य समीकरण

हे दर्शविले जाऊ शकते की कार्टेशियन निर्देशांकांच्या संदर्भात कोणतेही प्रथम पदवी समीकरण x, y, zविशिष्ट विमानाचे समीकरण दर्शवते. हे समीकरण असे लिहिले आहे:

Ax+By+Cz+D=0

आणि म्हणतात सामान्य समीकरणविमान आणि निर्देशांक A, B, Cविमानाच्या सामान्य वेक्टरचे निर्देशांक येथे आहेत.

सामान्य समीकरणाच्या विशेष प्रकरणांचा विचार करूया. समीकरणाचे एक किंवा अधिक गुणांक शून्य झाल्यास समीकरण प्रणालीच्या सापेक्ष विमान कसे स्थित आहे ते शोधू या.

A ही अक्षावरील विमानाने कापलेल्या खंडाची लांबी आहे बैल. त्याचप्रमाणे, ते दाखवले जाऊ शकते bआणि c- अक्षांवर विचाराधीन विमानाने कापलेल्या खंडांची लांबी ओयआणि ओझ.

विमाने बांधण्यासाठी खंडांमध्ये विमानाचे समीकरण वापरणे सोयीचे आहे.

७.१. क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या

तीन नॉन-कॉप्लॅनर व्हेक्टर a, b आणि c, दर्शविलेल्या क्रमाने घेतलेले, जर तिसऱ्या वेक्टर c च्या शेवटी, पहिल्या वेक्टर a पासून दुसऱ्या व्हेक्टर b पर्यंत सर्वात लहान वळण दिसले तर उजव्या हाताने ट्रिपलेट तयार करतात. घड्याळाच्या उलट दिशेने, आणि घड्याळाच्या दिशेने असल्यास डाव्या हाताचा तिप्पट (चित्र पहा. 16).

व्हेक्टर a आणि व्हेक्टर b च्या वेक्टर उत्पादनास वेक्टर c म्हणतात, जे:

1. a आणि b सदिशांना लंब, म्हणजे c^a आणि c ^ b;

2. व्हेक्टर a आणि वर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाइतकी लांबी संख्यात्मकदृष्ट्या असतेbबाजूंप्रमाणे (चित्र 17 पहा), म्हणजे.

3. वेक्टर a, b आणि c उजव्या हाताने तिहेरी बनवतात.

क्रॉस उत्पादनाला x b किंवा [a,b] दर्शविले जाते. सदिश उत्पादनाच्या व्याख्येवरून मी थेट फॉलो करत असलेले युनिट वेक्टरमधील खालील संबंध, jआणि k(चित्र 18 पहा):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
उदाहरणार्थ, ते सिद्ध करूया i xj = k.

1) k^i, k ^ j;

2) |k |=1, पण | i x j| = |i | |जे | पाप(90°)=1;

3) सदिश i, j आणि kउजवा तिप्पट तयार करा (चित्र 16 पहा).

७.२. क्रॉस उत्पादनाचे गुणधर्म

1. घटकांची पुनर्रचना करताना, सदिश उत्पादन चिन्ह बदलते, उदा. आणि xb =(b xa) (चित्र 19 पहा).

व्हेक्टर a xb आणि b xa समरेखीय आहेत, त्यांच्याकडे समान मॉड्यूल आहेत (समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ अपरिवर्तित राहते), परंतु विरुद्ध दिशेने निर्देशित केले जातात (विपरीत अभिमुखतेचे a, b, a xb आणि a, b, b x a). ते आहे axb = -(b xa).

2. सदिश उत्पादनामध्ये स्केलर घटकाच्या संदर्भात एकत्रित गुणधर्म असतो, म्हणजे l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0 द्या. वेक्टर l (a xb) हे a आणि b वेक्टरला लंब आहे. वेक्टर ( lअ) x b a आणि vectors ला देखील लंब आहे b(वेक्टर a, lपण त्याच विमानात झोपा). याचा अर्थ व्हेक्टर l(a xb) आणि ( lअ) x bसमरेख हे उघड आहे की त्यांच्या दिशा एकरूप आहेत. त्यांची लांबी समान आहे:

म्हणून l(a xb) = lएक xb. साठी तशाच प्रकारे सिद्ध झाले आहे l<0.

3. दोन नॉन-झिरो वेक्टर a आणि bसमरेखीय असतात जर आणि फक्त त्यांचे सदिश उत्पादन शून्य सदिशाच्या समान असेल, म्हणजे a ||b<=>आणि xb =0.

विशेषतः, i *i =j *j =k *k =0 .

4. वेक्टर उत्पादनामध्ये वितरण गुणधर्म आहेत:

(a+b) xc = a xc + b xs.

आम्ही पुराव्याशिवाय मान्य करू.

७.३. निर्देशांकांच्या दृष्टीने क्रॉस उत्पादन व्यक्त करणे

आपण व्हेक्टर i च्या क्रॉस उत्पादन सारणीचा वापर करू, jआणि k:

जर पहिल्या वेक्टरपासून दुसऱ्यापर्यंतच्या सर्वात लहान मार्गाची दिशा बाणाच्या दिशेशी जुळत असेल, तर उत्पादन तिसऱ्या वेक्टरच्या बरोबरीचे असेल, तर तिसरा वेक्टर वजा चिन्हाने घेतला जाईल;

दोन सदिश a =a x i +a y द्या j+a z kआणि b = b x i+b y j+b z k. चला या सदिशांचे बहुपदी गुणाकार करून त्यांचे सदिश गुणाकार शोधू (सदिश उत्पादनाच्या गुणधर्मांनुसार):

परिणामी सूत्र आणखी थोडक्यात लिहिले जाऊ शकते:

कारण समानतेची उजवी बाजू (7.1) पहिल्या पंक्तीच्या घटकांच्या दृष्टीने तिसऱ्या-क्रम निर्धारकाच्या विस्ताराशी संबंधित आहे (7.2) लक्षात ठेवणे सोपे आहे.

७.४. क्रॉस उत्पादन काही अनुप्रयोग

वेक्टरची समरेखता स्थापित करणे

समांतरभुज चौकोन आणि त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधणे

वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाच्या व्याख्येनुसार एआणि ब |a xb | =|a | * |b |sin g, म्हणजे S जोड्या = |a x b |. आणि, म्हणून, D S =1/2|a x b |.

एका बिंदूबद्दल बलाच्या क्षणाचे निर्धारण

बिंदू A वर बल लागू करू द्या F = ABते जाऊ द्या बद्दल- अंतराळातील काही बिंदू (चित्र 20 पहा).

हे भौतिकशास्त्रावरून कळते शक्तीचा क्षण एफ मुद्द्याशी संबंधित बद्दलवेक्टर म्हणतात मी,जे बिंदूमधून जाते बद्दलआणि:

1) बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाला लंब ओ, ए, बी;

2) संख्यात्मकदृष्ट्या प्रति हात शक्तीच्या गुणाकाराच्या समान

3) OA आणि A B व्हेक्टरसह उजवे तिहेरी बनवते.

म्हणून, M = OA x F.

रेषीय रोटेशन गती शोधत आहे

गती vटोकदार शरीराचा बिंदू M टोकदार गतीने फिरत आहे wएका स्थिर अक्षाभोवती, यूलरच्या सूत्र v =w xr द्वारे निर्धारित केले जाते, जेथे r = OM, जेथे O हा अक्षाचा काही स्थिर बिंदू आहे (चित्र 21 पहा).

सदिश उत्पादनाची संकल्पना देण्यापूर्वी, त्रिमितीय जागेत a →, b →, c → क्रमबद्ध तिप्पट वेक्टरच्या अभिमुखतेच्या प्रश्नाकडे वळू या.

सुरुवातीला, a → , b → , c → एका बिंदूपासून वेक्टर बाजूला ठेवू. ट्रिपल a → , b → , c → ची दिशा उजवीकडे किंवा डावीकडे असू शकते, c → वेक्टरच्या दिशेवर अवलंबून. ट्रिपल a → , b → , c → चे प्रकार वेक्टर a → ते b → वेक्टर c → च्या टोकापासून ज्या दिशेतून सर्वात लहान वळण केले जाते त्या दिशेने निश्चित केले जाईल.

जर सर्वात लहान वळण घड्याळाच्या उलट दिशेने नेले असेल, तर a → , b → , c → व्हेक्टरच्या तिप्पट म्हणतात. बरोबर, घड्याळाच्या दिशेने असल्यास - बाकी.

पुढे, a → आणि b → दोन नॉन-कॉलिनियर वेक्टर घ्या. चला मग बिंदू A पासून A B → = a → आणि A C → = b → वेक्टर्स प्लॉट करू. चला A D → = c → एक वेक्टर बनवू, जो एकाच वेळी A B → आणि A C → दोन्हीसाठी लंब आहे. अशा प्रकारे, सदिश स्वतः A D → = c → तयार करताना, आपण दोन गोष्टी करू शकतो, त्याला एक दिशा किंवा उलट (चित्र पहा).

a → , b → , c → व्हेक्टरचा क्रमबद्ध तिप्पट हा व्हेक्टरच्या दिशेनुसार उजवीकडे किंवा डावीकडे असू शकतो.

वरीलवरून आपण सदिश उत्पादनाची व्याख्या देऊ शकतो. त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये परिभाषित केलेल्या दोन सदिशांसाठी ही व्याख्या दिली आहे.

व्याख्या १

a → आणि b → या दोन सदिशांचे सदिश गुणाकार त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये परिभाषित केलेल्या अशा वेक्टरला आपण असे म्हणतो:

• a → आणि b → हे वेक्टर समरेषीय असल्यास, ते शून्य असेल;
• ते दोन्ही वेक्टर a → आणि व्हेक्टर b → म्हणजे लंब असेल. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• त्याची लांबी सूत्रानुसार निर्धारित केली जाते: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → या तिप्पट सदिशांना दिलेल्या निर्देशांक प्रणालीप्रमाणेच अभिमुखता आहे.

a → आणि b → व्हेक्टरच्या क्रॉस उत्पादनामध्ये खालील संकेत आहेत: a → × b → .

वेक्टर उत्पादनाचे निर्देशांक

कोणत्याही वेक्टरचे निर्देशांक प्रणालीमध्ये काही विशिष्ट निर्देशांक असल्यामुळे, आम्ही वेक्टर उत्पादनाची दुसरी व्याख्या सादर करू शकतो, ज्यामुळे आम्हाला वेक्टरच्या दिलेल्या निर्देशांकांचा वापर करून त्याचे निर्देशांक शोधता येतील.

व्याख्या २

त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये a → = (a x ; a y ; a z) आणि b → = (b x ; b y ; b z) दोन सदिशांचे सदिश गुणाकार वेक्टर म्हणतात c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , जेथे i → , j → , k → हे समन्वय सदिश आहेत.

वेक्टर उत्पादनास तृतीय-क्रमाच्या चौरस मॅट्रिक्सचे निर्धारक म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, जेथे पहिल्या पंक्तीमध्ये सदिश i → , j → , k → , दुसऱ्या पंक्तीमध्ये सदिश a → , आणि तिसऱ्या मध्ये दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये b → वेक्टरचे निर्देशांक असतात, हे मॅट्रिक्सचे निर्धारक असे दिसते: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

पहिल्या पंक्तीच्या घटकांमध्ये या निर्धारकाचा विस्तार केल्याने, आम्हाला समानता मिळते: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j a → b → x + y = → b + x → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

क्रॉस उत्पादनाचे गुणधर्म

हे ज्ञात आहे की निर्देशांकातील सदिश उत्पादन मॅट्रिक्स c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , नंतर आधारावर दर्शविला जातो. मॅट्रिक्स निर्धारकाचे गुणधर्मखालील प्रदर्शित केले आहेत वेक्टर उत्पादनाचे गुणधर्म:

1. अँटीकम्युटेटिव्हिटी a → × b → = - b → × a → ;
2. वितरणक्षमता a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → किंवा a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. सहयोगीता λ a → × b → = λ a → × b → किंवा a → × (λ b →) = λ a → × b →, जेथे λ ही अनियंत्रित वास्तविक संख्या आहे.

या गुणधर्मांना साधे पुरावे आहेत.

एक उदाहरण म्हणून, आपण सदिश उत्पादनाची प्रति-विघटनशील गुणधर्म सिद्ध करू शकतो.

अँटीकम्युटेटिव्हिटीचा पुरावा

व्याख्येनुसार, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z आणि b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . आणि जर मॅट्रिक्सच्या दोन ओळींची अदलाबदल केली, तर मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाचे मूल्य विरुद्ध बदलले पाहिजे, म्हणून, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a z = x - b → × a → , जे आणि हे सिद्ध करते की वेक्टर उत्पादन प्रति-विनिमय आहे.

वेक्टर उत्पादन - उदाहरणे आणि उपाय

बहुतेक प्रकरणांमध्ये, तीन प्रकारच्या समस्या आहेत.

पहिल्या प्रकारच्या समस्यांमध्ये, दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन सामान्यतः दिले जातात आणि आपल्याला वेक्टर उत्पादनाची लांबी शोधणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, खालील सूत्र c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → वापरा.

उदाहरण १

जर तुम्हाला a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 माहित असेल तर a → आणि b → सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा.

उपाय

a → आणि b → व्हेक्टरच्या सदिश गुणाकाराची लांबी ठरवून, आम्ही ही समस्या सोडवतो: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 २ २ .

उत्तर: 15 2 2 .

दुस-या प्रकारच्या समस्यांचा वेक्टरच्या समन्वयांशी संबंध असतो, त्यामध्ये वेक्टर उत्पादन, त्याची लांबी इ. दिलेल्या सदिशांच्या ज्ञात निर्देशांकांद्वारे शोधले जातात a → = (a x; a y; a z) आणि b → = (b x ; b y ; b z) .

या प्रकारच्या समस्येसाठी, आपण बरेच कार्य पर्याय सोडवू शकता. उदाहरणार्थ, a → आणि b → व्हेक्टरचे निर्देशांक निर्दिष्ट केले जाऊ शकत नाहीत, परंतु फॉर्मच्या समन्वय वेक्टरमध्ये त्यांचे विस्तार b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → आणि c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, किंवा vectors a → आणि b → त्यांच्या प्रारंभाच्या निर्देशांकांद्वारे निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात. आणि शेवटचे बिंदू.

खालील उदाहरणांचा विचार करा.

उदाहरण २

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये, दोन सदिश दिले जातात: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). त्यांचे क्रॉस उत्पादन शोधा.

उपाय

दुसऱ्या व्याख्येनुसार, आपल्याला दिलेल्या निर्देशांकांमध्ये दोन सदिशांचे सदिश गुण आढळतात: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

जर आपण मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाद्वारे सदिश उत्पादन लिहितो, तर या उदाहरणाचे समाधान असे दिसते: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

उत्तर: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

उदाहरण ३

i → - j → आणि i → + j → + k → या सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा, जेथे i →, j →, k → हे आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीचे एकक वेक्टर आहेत.

उपाय

प्रथम, दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दिलेल्या सदिश उत्पादनाचे i → - j → × i → + j → + k → शोधू.

हे ज्ञात आहे की i → - j → आणि i → + j → + k → या सदिशांमध्ये अनुक्रमे (1; - 1; 0) आणि (1; 1; 1) समन्वय आहेत. मॅट्रिक्सचा निर्धारक वापरून सदिश उत्पादनाची लांबी शोधू या, नंतर आपल्याकडे i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

म्हणून, वेक्टर उत्पादन i → - j → × i → + j → + k → दिलेल्या निर्देशांक प्रणालीमध्ये निर्देशांक (- 1 ; - 1 ; 2) आहेत.

आम्ही सूत्र वापरून वेक्टर उत्पादनाची लांबी शोधतो (वेक्टरची लांबी शोधण्यासाठी विभाग पहा): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

उत्तर: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

उदाहरण ४

आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये, A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) या तीन बिंदूंचे निर्देशांक दिले जातात. एकाच वेळी A B → आणि A C → ला लंब असलेले काही वेक्टर शोधा.

उपाय

सदिश A B → आणि A C → चे अनुक्रमे खालील निर्देशांक (- 1 ; 2 ; 2) आणि (0 ; 4 ; 1) आहेत. A B → आणि A C → या सदिशांचे सदिश उत्पादन आढळून आल्यावर, हे स्पष्ट आहे की ते A B → आणि A C → या दोन्हींच्या व्याख्येनुसार लंबवर्तुळ आहे, म्हणजेच ते आपल्या समस्येचे निराकरण आहे. चला ते शोधूया A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

उत्तर: - 6 i → + j → - 4 k → . - लंब सदिशांपैकी एक.

तिसऱ्या प्रकारच्या समस्या वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाच्या गुणधर्मांचा वापर करण्यावर केंद्रित आहेत. जे लागू केल्यानंतर, आम्ही दिलेल्या समस्येचे निराकरण करू.

उदाहरण ५

वेक्टर a → आणि b → लंब आहेत आणि त्यांची लांबी अनुक्रमे 3 आणि 4 आहे. सदिश उत्पादनाची लांबी शोधा 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

उपाय

सदिश उत्पादनाच्या वितरणात्मक गुणधर्मानुसार, आपण 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 लिहू शकतो. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

सहवासाच्या गुणधर्मानुसार, आम्ही शेवटच्या अभिव्यक्तीमधील सदिश उत्पादनांच्या चिन्हातून संख्यात्मक गुणांक काढतो: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

सदिश उत्पादने a → × a → आणि b → × b → 0 च्या समान आहेत, कारण a → × a → = a → a → · sin 0 = 0 आणि b → × b → = b → · b → · sin. 0 = 0, नंतर 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

सदिश उत्पादनाच्या अँटीकम्युटेटिव्हिटीवरून ते खालीलप्रमाणे आहे - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → .

सदिश उत्पादनाचे गुणधर्म वापरून, आम्हाला समानता 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → मिळते.

कंडिशननुसार, a → आणि b → हे व्हेक्टर लंब आहेत, म्हणजेच त्यांच्यामधील कोन π 2 इतका आहे. आता फक्त सापडलेल्या मूल्यांना योग्य सूत्रांमध्ये बदलणे बाकी आहे: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

उत्तर: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

व्याख्येनुसार सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → एवढी आहे. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ हे त्याच्या दोन बाजूंच्या लांबीच्या निम्म्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या या बाजूंमधील कोनाच्या साइनने गुणाकारल्यास (शालेय अभ्यासक्रमातून) आधीच ज्ञात असल्यामुळे. परिणामी, सदिश उत्पादनाची लांबी समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची असते - दुप्पट त्रिकोण, म्हणजे a → आणि b → व्हेक्टरच्या रूपात बाजूंचे गुणाकार, एका बिंदूपासून, च्या साइनने खाली ठेवलेले असते. त्यांच्यामधील कोन sin ∠ a →, b →.

हा सदिश उत्पादनाचा भौमितीय अर्थ आहे.

वेक्टर उत्पादनाचा भौतिक अर्थ

यांत्रिकीमध्ये, भौतिकशास्त्रातील एक शाखा, सदिश उत्पादनामुळे, आपण अवकाशातील एका बिंदूशी संबंधित शक्तीचा क्षण निर्धारित करू शकता.

व्याख्या 3

बिंदू A च्या सापेक्ष, बिंदू B वर F → लागू होण्याच्या क्षणापर्यंत, आम्हाला खालील सदिश उत्पादन A B → × F → समजेल.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

या धड्यात आपण वेक्टरसह आणखी दोन ऑपरेशन्स पाहू: वेक्टरचे वेक्टर उत्पादनआणि वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन (ज्यांना त्याची गरज आहे त्यांच्यासाठी त्वरित लिंक). हे ठीक आहे, कधीकधी असे होते की संपूर्ण आनंदासाठी, व्यतिरिक्त वेक्टरचे स्केलर उत्पादन, अधिक आणि अधिक आवश्यक आहेत. हे वेक्टर व्यसन आहे. असे दिसते की आपण विश्लेषणात्मक भूमितीच्या जंगलात उतरत आहोत. हे चुकीचे आहे. उच्च गणिताच्या या विभागात सामान्यतः थोडे लाकूड असते, कदाचित पिनोचियोसाठी पुरेसे असेल. खरं तर, सामग्री अतिशय सामान्य आणि सोपी आहे - त्याचपेक्षा फारच क्लिष्ट आहे स्केलर उत्पादन, अगदी कमी ठराविक कार्ये असतील. विश्लेषणात्मक भूमितीतील मुख्य गोष्ट, जसे की अनेकांना खात्री पटली असेल किंवा आधीच खात्री पटली असेल, गणनामध्ये चुका करू नयेत. शब्दलेखनाप्रमाणे पुनरावृत्ती करा आणि तुम्हाला आनंद होईल =)

क्षितिजावरील विजेप्रमाणे वेक्टर दूर कुठेतरी चमकत असल्यास, काही फरक पडत नाही, धड्यापासून सुरुवात करा डमीसाठी वेक्टरपुनर्संचयित करण्यासाठी किंवा वेक्टरबद्दल मूलभूत ज्ञान पुन्हा प्राप्त करण्यासाठी. अधिक तयार वाचक निवडकपणे माहितीसह परिचित होऊ शकतात, मी बहुतेकदा व्यावहारिक कार्यात आढळणारी उदाहरणे गोळा करण्याचा प्रयत्न केला

तुम्हाला लगेच काय आनंद होईल? जेव्हा मी लहान होतो तेव्हा मला दोन किंवा तीन चेंडूही खेळता येत होते. ते चांगले चालले. आता तुम्हाला अजिबात भांडण करावे लागणार नाही, कारण आम्ही विचार करू फक्त अवकाशीय वेक्टर, आणि दोन निर्देशांक असलेले सपाट वेक्टर सोडले जातील. का? अशाप्रकारे या क्रियांचा जन्म झाला - सदिशांचे वेक्टर आणि मिश्रित उत्पादन परिभाषित केले जातात आणि त्रिमितीय जागेत कार्य करतात. हे आधीच सोपे आहे!

हे ऑपरेशन, स्केलर उत्पादनाप्रमाणेच, समाविष्ट आहे दोन वेक्टर. ही अविनाशी अक्षरे असू दे.

कृती स्वतःच द्वारे दर्शविलेखालील प्रकारे: . इतर पर्याय आहेत, परंतु मला अशा प्रकारे व्हेक्टरचे वेक्टर उत्पादन दर्शविण्याची सवय आहे, क्रॉससह चौरस कंसात.

आणि लगेच प्रश्न: जर मध्ये वेक्टरचे स्केलर उत्पादनदोन सदिश गुंतलेले आहेत, आणि येथे दोन सदिशांचा देखील गुणाकार केला जातो काय फरक आहे? स्पष्ट फरक आहे, सर्व प्रथम, निकालात:

सदिशांच्या स्केलर उत्पादनाचा परिणाम NUMBER आहे:

सदिशांच्या क्रॉस उत्पादनाचा परिणाम म्हणजे वेक्टर: , म्हणजे, आपण सदिश गुणाकार करतो आणि पुन्हा सदिश मिळवतो. बंद क्लब. वास्तविक, ऑपरेशनचे नाव येथून येते. वेगवेगळ्या शैक्षणिक साहित्यात, पदनाम देखील भिन्न असू शकतात मी पत्र वापरेन;

क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या

प्रथम चित्रासह व्याख्या असेल, नंतर टिप्पण्या.

व्याख्या: वेक्टर उत्पादन नॉन-कॉलिनियरवेक्टर, या क्रमाने घेतले, वेक्टर म्हणतात, लांबीजे संख्यात्मक आहे समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाइतका, या वेक्टरवर बांधलेले; वेक्टर ऑर्थोगोनल ते वेक्टर, आणि निर्देशित केले आहे जेणेकरून आधाराला योग्य अभिमुखता असेल:

चला व्याख्या तुकड्या तुकड्याने खंडित करूया, येथे बरीच मनोरंजक सामग्री आहे!

तर, खालील महत्त्वपूर्ण मुद्दे हायलाइट केले जाऊ शकतात:

1) व्याख्येनुसार लाल बाणांनी दर्शविलेले मूळ वेक्टर समरेख नाही. समरेख वेक्टर्सच्या बाबतीत थोड्या वेळाने विचार करणे योग्य होईल.

2) वेक्टर घेतले जातात काटेकोरपणे परिभाषित क्रमाने: – "a" ला "be" ने गुणले जाते, आणि "a" सह "असणे" नाही. वेक्टर गुणाकाराचा परिणाम VECTOR आहे, जो निळ्यामध्ये दर्शविला आहे. जर व्हेक्टर उलट क्रमाने गुणाकार केले तर, आम्हाला लांबीच्या समान आणि विरुद्ध दिशेने (रास्पबेरी रंग) वेक्टर मिळतो. म्हणजेच समानता खरी आहे .

3) आता सदिश उत्पादनाच्या भौमितिक अर्थाशी परिचित होऊ या. हा एक अतिशय महत्त्वाचा मुद्दा आहे! निळ्या वेक्टरची LENGTH (आणि म्हणून, किरमिजी वेक्टर) ही व्हेक्टरवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या संख्यात्मकदृष्ट्या समान असते. आकृतीमध्ये, हा समांतरभुज चौकोन काळ्या छायांकित आहे.

नोंद : रेखाचित्र योजनाबद्ध आहे आणि, नैसर्गिकरित्या, वेक्टर उत्पादनाची नाममात्र लांबी समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची नाही.

भौमितिक सूत्रांपैकी एक आठवूया: समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ समीप बाजूंच्या गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनच्या बरोबरीचे असते.. म्हणून, वरील आधारावर, सदिश उत्पादनाची LENGTH मोजण्याचे सूत्र वैध आहे:

मी जोर देतो की सूत्र हे वेक्टरच्या LENGTH बद्दल आहे, आणि वेक्टरबद्दल नाही. व्यावहारिक अर्थ काय आहे? आणि याचा अर्थ असा आहे की विश्लेषणात्मक भूमितीच्या समस्यांमध्ये, समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्र बहुतेक वेळा सदिश उत्पादनाच्या संकल्पनेद्वारे आढळते:

चला दुसरा महत्वाचा फॉर्म्युला घेऊ. समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण (लाल ठिपके असलेली रेषा) त्याला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभागतो. म्हणून, वेक्टर (लाल शेडिंग) वर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्र सूत्र वापरून शोधले जाऊ शकते:

4) एक तितकेच महत्त्वाचे तथ्य हे आहे की वेक्टर व्हेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल आहे, म्हणजे . अर्थात, विरुद्ध दिग्दर्शित वेक्टर (रास्पबेरी बाण) देखील मूळ वेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल आहे.

5) वेक्टर निर्देशित केले आहे जेणेकरून आधारत्यात आहे बरोबरअभिमुखता बद्दल धड्यात नवीन आधारावर संक्रमणमी याबद्दल पुरेशी तपशीलवार बोललो विमान अभिमुखता, आणि आता आपण अंतराळ अभिमुखता काय आहे ते शोधू. मी तुमच्या बोटांवर स्पष्टीकरण देईन उजवा हात. मानसिकरित्या एकत्र करा तर्जनीवेक्टर आणि सह मधले बोटवेक्टर सह. अनामिका आणि करंगळीते आपल्या तळहातावर दाबा. परिणामी अंगठा- वेक्टर उत्पादन वर दिसेल. हा एक उजवा-देणारं आधार आहे (आकृतीत तो आहे). आता वेक्टर बदला ( निर्देशांक आणि मधली बोटं) काही ठिकाणी, परिणामी अंगठा फिरेल आणि वेक्टर उत्पादन आधीच खाली दिसेल. हा देखील एक उजवा-उन्मुख आधार आहे. तुम्हाला प्रश्न पडू शकतो: कोणत्या आधारावर अभिमुखता सोडली आहे? त्याच बोटांना "नियुक्त करा". डावा हातसदिश, आणि डावा आधार आणि स्पेसचा डावी दिशा मिळवा (या प्रकरणात, अंगठा खालच्या वेक्टरच्या दिशेने स्थित असेल). लाक्षणिकरित्या बोलायचे झाल्यास, हे तळ वेगवेगळ्या दिशांना “वळवतात” किंवा जागा देतात. आणि ही संकल्पना काहीतरी दूरगामी किंवा अमूर्त मानली जाऊ नये - उदाहरणार्थ, सर्वात सामान्य आरशाद्वारे जागेचे अभिमुखता बदलले जाते आणि जर तुम्ही "दिसणाऱ्या काचेतून परावर्तित वस्तू बाहेर काढली," तर सर्वसाधारणपणे ते "मूळ" सह एकत्र करणे शक्य होणार नाही. तसे, आरशापर्यंत तीन बोटे धरा आणि प्रतिबिंबाचे विश्लेषण करा ;-)

...तुम्हाला आता माहिती आहे हे किती चांगले आहे उजवीकडे आणि डावीकडेआधार, कारण अभिमुखतेतील बदलाबद्दल काही व्याख्यात्यांची विधाने भितीदायक आहेत =)

समरेखीय वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन

व्याख्येवर तपशीलवार चर्चा केली गेली आहे, जेव्हा वेक्टर समरेखित असतात तेव्हा काय होते हे शोधणे बाकी आहे. जर व्हेक्टर समरेषीय असतील तर ते एका सरळ रेषेवर ठेवता येतात आणि आपला समांतरभुज चौकोन देखील एका सरळ रेषेत “दुमडतो”. असे क्षेत्र, गणितज्ञ म्हणतात, क्षीण होणेसमांतरभुज चौकोन शून्य आहे. हेच सूत्रानुसार येते - शून्य किंवा 180 अंशांची साइन शून्य बरोबर आहे, याचा अर्थ क्षेत्र शून्य आहे

अशा प्रकारे, जर, तर आणि . कृपया लक्षात घ्या की वेक्टर उत्पादन स्वतः शून्य वेक्टरच्या बरोबरीचे आहे, परंतु व्यवहारात याकडे अनेकदा दुर्लक्ष केले जाते आणि ते असे लिहिले जाते की ते शून्याच्या समान आहे.

एक विशेष केस स्वतःसह वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन आहे:

वेक्टर उत्पादनाचा वापर करून, तुम्ही त्रिमितीय व्हेक्टरची समरेखता तपासू शकता आणि आम्ही इतरांसह या समस्येचे देखील विश्लेषण करू.

व्यावहारिक उदाहरणे सोडवण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक असेल त्रिकोणमितीय सारणीत्यातून सायन्सची मूल्ये शोधण्यासाठी.

बरं, आग लावूया:

उदाहरण १

a) जर सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा

b) जर सदिशांवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ शोधा

उपाय: नाही, हा काही टायपो नाही, मी मुद्दाम कलमांमधील प्रारंभिक डेटा समान केला आहे. कारण उपायांची रचना वेगळी असेल!

अ) स्थितीनुसार, तुम्हाला शोधणे आवश्यक आहे लांबीवेक्टर (क्रॉस उत्पादन). संबंधित सूत्रानुसार:

उत्तर द्या:

जर तुम्हाला लांबीबद्दल विचारले असेल, तर उत्तरात आम्ही परिमाण - एकके सूचित करतो.

ब) स्थितीनुसार, आपल्याला शोधण्याची आवश्यकता आहे चौरसवेक्टरवर बांधलेला समांतरभुज चौकोन. या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ संख्यात्मकदृष्ट्या वेक्टर उत्पादनाच्या लांबीइतके आहे:

उत्तर द्या:

कृपया लक्षात घ्या की उत्तर सदिश उत्पादनाबद्दल अजिबात बोलत नाही; आकृतीचे क्षेत्रफळ, त्यानुसार, परिमाण चौरस एकके आहे.

स्थितीनुसार आम्हाला काय शोधायचे आहे ते आम्ही नेहमी पाहतो आणि त्यावर आधारित आम्ही सूत्र तयार करतो स्पष्टउत्तर हे शाब्दिकतेसारखे वाटू शकते, परंतु शिक्षकांमध्ये भरपूर साहित्यिक आहेत आणि असाइनमेंट पुनरावृत्तीसाठी परत मिळण्याची चांगली संधी आहे. जरी हे विशेषत: दूरगामी प्रश्न नसले तरी - जर उत्तर चुकीचे असेल, तर एखाद्या व्यक्तीला असे समजते की त्या व्यक्तीला साध्या गोष्टी समजत नाहीत आणि/किंवा कार्याचे सार समजले नाही. उच्च गणितात आणि इतर विषयातही कोणतीही समस्या सोडवताना हा मुद्दा नेहमी नियंत्रणात ठेवला पाहिजे.

"en" हे मोठे अक्षर कुठे गेले? तत्त्वानुसार, ते सोल्यूशनमध्ये अतिरिक्तपणे जोडले जाऊ शकते, परंतु एंट्री लहान करण्यासाठी, मी हे केले नाही. मला आशा आहे की प्रत्येकाला ते समजले असेल आणि ते त्याच गोष्टीसाठी पदनाम आहे.

DIY सोल्यूशनसाठी एक लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण २

जर सदिशांवर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा

वेक्टर उत्पादनाद्वारे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सूत्र व्याख्याच्या टिप्पण्यांमध्ये दिले आहे. उपाय आणि उत्तर धड्याच्या शेवटी आहेत.

सराव मध्ये, कार्य खरोखर खूप सामान्य आहे त्रिकोण आपल्याला त्रास देऊ शकतात.

इतर समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी आम्हाला याची आवश्यकता असेल:

वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाचे गुणधर्म

आम्ही आधीच वेक्टर उत्पादनाच्या काही गुणधर्मांचा विचार केला आहे, तथापि, मी त्यांना या सूचीमध्ये समाविष्ट करेन.

अनियंत्रित व्हेक्टर आणि अनियंत्रित संख्येसाठी, खालील गुणधर्म सत्य आहेत:

1) माहितीच्या इतर स्त्रोतांमध्ये, हा आयटम सहसा गुणधर्मांमध्ये हायलाइट केला जात नाही, परंतु व्यावहारिक दृष्टीने ते खूप महत्वाचे आहे. तर असू दे.

2) - मालमत्तेची देखील वर चर्चा केली आहे, कधीकधी त्याला म्हणतात विरोधी कम्युटेटिव्हिटी. दुसऱ्या शब्दांत, वेक्टरचा क्रम महत्त्वाचा आहे.

3) - सहयोगी किंवा सहयोगीवेक्टर उत्पादन कायदे. स्थिरांक सहजपणे वेक्टर उत्पादनाच्या बाहेर हलविले जाऊ शकतात. खरोखर, त्यांनी तेथे काय करावे?

4) - वितरण किंवा वितरणात्मकवेक्टर उत्पादन कायदे. ब्रॅकेट उघडण्यात कोणतीही अडचण नाही.

दाखवण्यासाठी, एक लहान उदाहरण पाहू:

उदाहरण ३

तर शोधा

उपाय:स्थितीसाठी पुन्हा वेक्टर उत्पादनाची लांबी शोधणे आवश्यक आहे. चला आमचे लघुचित्र रंगवू:

(1) सहयोगी कायद्यानुसार, आम्ही स्थिरांक सदिश उत्पादनाच्या व्याप्तीबाहेर घेतो.

(२) आम्ही स्थिरांक मॉड्यूलच्या बाहेर हलवतो आणि मॉड्यूल वजा चिन्ह “खातो”. लांबी नकारात्मक असू शकत नाही.

(3) बाकी स्पष्ट आहे.

उत्तर द्या:

आगीत आणखी लाकूड घालण्याची वेळ आली आहे:

उदाहरण ४

जर सदिशांवर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा

उपाय: सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा . पकड अशी आहे की व्हेक्टर “tse” आणि “de” स्वतःच वेक्टरची बेरीज म्हणून सादर केले जातात. येथे अल्गोरिदम मानक आहे आणि धड्यातील उदाहरण क्रमांक 3 आणि 4 ची काहीशी आठवण करून देणारा आहे वेक्टरचे डॉट उत्पादन. स्पष्टतेसाठी, आम्ही समाधान तीन टप्प्यात विभागू:

1) पहिल्या टप्प्यावर, आपण सदिश उत्पादनाद्वारे वेक्टर उत्पादन व्यक्त करतो, खरेतर, व्हेक्टरला वेक्टरच्या संदर्भात व्यक्त करू. लांबीवर अद्याप कोणताही शब्द नाही!

(1) सदिशांच्या अभिव्यक्ती बदला.

(2) वितरण नियम वापरून, आपण बहुपदांच्या गुणाकाराच्या नियमानुसार कंस उघडतो.

(३) सहयोगी कायदे वापरून, आम्ही सर्व स्थिरांक सदिश उत्पादनांच्या पलीकडे हलवतो. थोड्या अनुभवाने, चरण 2 आणि 3 एकाच वेळी करता येतात.

(4) छान गुणधर्मामुळे पहिली आणि शेवटची संज्ञा शून्य (शून्य सदिश) समान आहेत. दुस-या टर्ममध्ये आम्ही वेक्टर उत्पादनाच्या अँटीकम्युटेटिव्हिटीचा गुणधर्म वापरतो:

(5) आम्ही समान अटी सादर करतो.

परिणामी, वेक्टर व्हेक्टरद्वारे व्यक्त केले गेले, जे साध्य करणे आवश्यक होते:

२) दुस-या पायरीमध्ये, आपल्याला आवश्यक असलेल्या वेक्टर उत्पादनाची लांबी सापडते. ही क्रिया उदाहरण 3 सारखीच आहे:

३) आवश्यक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा:

समाधानाचे 2-3 टप्पे एका ओळीत लिहिता आले असते.

उत्तर द्या:

चाचण्यांमध्ये विचारात घेतलेली समस्या अगदी सामान्य आहे, ती स्वतः सोडवण्यासाठी येथे एक उदाहरण आहे:

उदाहरण ५

तर शोधा

धड्याच्या शेवटी एक लहान उपाय आणि उत्तर. आधीच्या उदाहरणांचा अभ्यास करताना तुम्ही किती दक्ष होता ते पाहू या ;-)

कोऑर्डिनेट्समधील वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन

सूत्र खरोखर सोपे आहे: निर्धारकाच्या वरच्या ओळीत आपण समन्वय सदिश लिहितो, दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ओळीत आपण वेक्टरचे निर्देशांक "ठेवले" आणि आम्ही ठेवतो. कठोर क्रमाने– प्रथम “ve” वेक्टरचे निर्देशांक, नंतर “डबल-ve” वेक्टरचे निर्देशांक. जर वेक्टर वेगळ्या क्रमाने गुणाकार करणे आवश्यक असेल, तर पंक्ती स्वॅप केल्या पाहिजेत:

उदाहरण 10

खालील स्पेस वेक्टर समरेषीय आहेत का ते तपासा:
अ)
ब)

उपाय: चेक या धड्यातील विधानांपैकी एकावर आधारित आहे: जर सदिश समरेषीय असतील, तर त्यांचे सदिश उत्पादन शून्य (शून्य सदिश) च्या बरोबरीचे आहे: .

अ) सदिश उत्पादन शोधा:

अशा प्रकारे, वेक्टर समरेखीय नसतात.

b) सदिश उत्पादन शोधा:

उत्तर द्या: अ) समरेखीय नाही, ब)

येथे, कदाचित, वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाविषयी सर्व मूलभूत माहिती आहे.

हा विभाग फार मोठा नसेल, कारण अशा काही समस्या आहेत जेथे वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन वापरले जाते. खरं तर, सर्व काही व्याख्या, भूमितीय अर्थ आणि दोन कार्यरत सूत्रांवर अवलंबून असेल.

सदिशांचे मिश्रित गुण तीन सदिशांचे गुणाकार असतात:

म्हणून ते ट्रेनसारखे रांगेत उभे होते आणि ओळखण्याची प्रतीक्षा करू शकत नाहीत.

प्रथम, पुन्हा, एक व्याख्या आणि एक चित्र:

व्याख्या: मिश्र कार्य नॉन-कॉप्लनरवेक्टर, या क्रमाने घेतले, म्हणतात समांतर पाईप खंड, या वेक्टरवर तयार केलेले, आधार बरोबर असल्यास “+” चिन्ह आणि आधार सोडल्यास “–” चिन्हासह सुसज्ज.

चला रेखांकन करूया. आमच्यासाठी अदृश्य रेषा ठिपके असलेल्या रेषांनी काढल्या आहेत:

चला व्याख्या मध्ये जाऊया:

2) वेक्टर घेतले जातात एका विशिष्ट क्रमाने, म्हणजे, उत्पादनातील वेक्टरची पुनर्रचना, जसे आपण अंदाज लावू शकता, परिणामांशिवाय होत नाही.

३) भूमितीय अर्थावर भाष्य करण्यापूर्वी मी एक स्पष्ट वस्तुस्थिती लक्षात घेईन: सदिशांचे मिश्रित उत्पादन NUMBER आहे: . शैक्षणिक साहित्यात, रचना थोडी वेगळी असू शकते; मला , आणि "pe" अक्षराने केलेल्या गणनेचे परिणाम दर्शविण्याची सवय आहे.

A-priory मिश्रित उत्पादन म्हणजे समांतर पाईपचे आकारमान, वेक्टरवर बांधलेले (आकृती लाल वेक्टर आणि काळ्या रेषांनी काढलेली आहे). म्हणजेच, संख्या दिलेल्या समांतर पाईपच्या आकारमानाच्या समान आहे.

नोंद : रेखाचित्र योजनाबद्ध आहे.

4) आधार आणि जागेच्या अभिमुखतेच्या संकल्पनेबद्दल पुन्हा काळजी करू नका. अंतिम भागाचा अर्थ असा आहे की व्हॉल्यूममध्ये वजा चिन्ह जोडले जाऊ शकते. सोप्या शब्दात, मिश्रित उत्पादन नकारात्मक असू शकते: .

थेट व्याख्येवरून व्हेक्टरवर बांधलेल्या समांतर पाईपच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी सूत्राचे अनुसरण करते.

या लेखात आपण दोन सदिशांच्या क्रॉस उत्पादनाची संकल्पना जवळून पाहू. आम्ही आवश्यक व्याख्या देऊ, वेक्टर उत्पादनाचे निर्देशांक शोधण्यासाठी एक सूत्र लिहू, त्याचे गुणधर्म सूचीबद्ध करू आणि त्याचे समर्थन करू. यानंतर, आपण दोन सदिशांच्या सदिश गुणाकाराच्या भौमितीय अर्थावर विचार करू आणि विविध वैशिष्ट्यपूर्ण उदाहरणांच्या उपायांचा विचार करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या.

सदिश उत्पादनाची व्याख्या करण्यापूर्वी, त्रिमितीय जागेत क्रमबद्ध तिप्पट वेक्टरचे अभिमुखता समजून घेऊ.

चला एका बिंदूपासून वेक्टर्स प्लॉट करू. वेक्टरच्या दिशेनुसार, तीन उजवीकडे किंवा डावीकडे असू शकतात. वेक्टरच्या टोकापासून वेक्टरपासून सर्वात लहान वळण कसे होते ते पाहू. जर सर्वात लहान परिभ्रमण घड्याळाच्या उलट दिशेने होत असेल तर व्हेक्टरचा तिप्पट म्हणतात बरोबर, अन्यथा - बाकी.

आता दोन नॉन-कॉलिनियर वेक्टर घेऊ आणि . व्हेक्टर आणि बिंदू A पासून प्लॉट करू. चला आणि आणि दोन्हीला लंब असलेले काही वेक्टर बनवू. साहजिकच, सदिश बांधताना, आपण दोन गोष्टी करू शकतो, त्याला एक दिशा देऊन किंवा विरुद्ध (चित्र पहा).

वेक्टरच्या दिशेवर अवलंबून, वेक्टरचे क्रमबद्ध तिप्पट उजव्या हाताने किंवा डाव्या हाताने असू शकते.

हे आपल्याला वेक्टर उत्पादनाच्या व्याख्येच्या जवळ आणते. हे त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये परिभाषित केलेल्या दोन वेक्टरसाठी दिले जाते.

व्याख्या.

दोन सदिशांचे क्रॉस उत्पादनआणि, त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या, अशा वेक्टरला म्हणतात

सदिशांचे क्रॉस उत्पादन आणि म्हणून दर्शविले जाते.

वेक्टर उत्पादनाचे निर्देशांक.

आता आम्ही वेक्टर उत्पादनाची दुसरी व्याख्या देऊ, जी तुम्हाला दिलेल्या व्हेक्टरच्या निर्देशांकांमधून त्याचे समन्वय शोधू देते आणि.

व्याख्या.

त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दोन सदिशांचे सदिश उत्पादन आणि एक सदिश आहे, समन्वय सदिश कोठे आहेत.

ही व्याख्या आपल्याला समन्वय स्वरूपात क्रॉस उत्पादन देते.

वेक्टर उत्पादनास तृतीय-क्रमाच्या चौरस मॅट्रिक्सचे निर्धारक म्हणून प्रस्तुत करणे सोयीचे आहे, ज्याची पहिली पंक्ती सदिश आहे, दुसऱ्या पंक्तीमध्ये वेक्टरचे निर्देशांक आहेत आणि तिसऱ्यामध्ये वेक्टरचे निर्देशांक आहेत. आयताकृती समन्वय प्रणाली:

जर आपण हा निर्धारक पहिल्या पंक्तीच्या घटकांमध्ये विस्तारित केला, तर आपल्याला निर्देशांकातील वेक्टर उत्पादनाच्या व्याख्येवरून समानता मिळते (आवश्यक असल्यास, लेख पहा):

हे नोंद घ्यावे की वेक्टर उत्पादनाचे समन्वय स्वरूप या लेखाच्या पहिल्या परिच्छेदामध्ये दिलेल्या व्याख्येशी पूर्णपणे सुसंगत आहे. शिवाय, क्रॉस उत्पादनाच्या या दोन व्याख्या समतुल्य आहेत. या वस्तुस्थितीचा पुरावा तुम्ही लेखाच्या शेवटी दिलेल्या पुस्तकात पाहू शकता.

वेक्टर उत्पादनाचे गुणधर्म.

निर्देशांकातील सदिश उत्पादन मॅट्रिक्सचे निर्धारक म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकत असल्याने, खालील गोष्टी सहजपणे आधारावर न्याय्य ठरू शकतात क्रॉस उत्पादनाचे गुणधर्म:

उदाहरण म्हणून, सदिश उत्पादनाची कम्युटेटिव्ह गुणधर्म सिद्ध करू.

A-priory आणि . आपल्याला माहित आहे की दोन पंक्ती स्वॅप केल्यास मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाचे मूल्य उलट होते, म्हणून, , जे सदिश उत्पादनाची प्रति-विघटनशील गुणधर्म सिद्ध करते.

वेक्टर उत्पादन - उदाहरणे आणि उपाय.

प्रामुख्याने तीन प्रकारच्या समस्या आहेत.

पहिल्या प्रकारच्या समस्यांमध्ये, दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन दिलेला असतो आणि तुम्हाला सदिश उत्पादनाची लांबी शोधणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, सूत्र वापरले जाते .

उदाहरण.

सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा आणि , माहीत असल्यास .

उपाय.

आम्हाला व्याख्येवरून माहित आहे की सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी आणि सदिशांच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या समान आहे आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनद्वारे, म्हणून, .

उत्तर:

.

दुस-या प्रकारच्या समस्या सदिशांच्या निर्देशांकांशी संबंधित आहेत, ज्यामध्ये वेक्टर उत्पादन, त्याची लांबी किंवा इतर कोणत्याही गोष्टीचा शोध दिलेल्या सदिशांच्या निर्देशांकांद्वारे केला जातो. आणि .

येथे बरेच भिन्न पर्याय शक्य आहेत. उदाहरणार्थ, व्हेक्टरचे निर्देशांक नाही आणि निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात, परंतु फॉर्मच्या समन्वय वेक्टरमध्ये त्यांचे विस्तार आणि , किंवा वेक्टर आणि त्यांच्या प्रारंभ आणि समाप्ती बिंदूंच्या निर्देशांकांद्वारे निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात.

चला ठराविक उदाहरणे पाहू.

उदाहरण.

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दोन वेक्टर दिले आहेत . त्यांचे क्रॉस उत्पादन शोधा.

उपाय.

दुस-या व्याख्येनुसार, निर्देशांकातील दोन सदिशांचे वेक्टर गुण असे लिहिलेले आहे:

जर वेक्टर उत्पादन निर्धारकाच्या संदर्भात लिहिले गेले असते तर आम्ही त्याच निकालावर पोहोचलो असतो

उत्तर:

.

उदाहरण.

सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा आणि , आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीचे एकक वेक्टर कुठे आहेत.

उपाय.

प्रथम आपण वेक्टर उत्पादनाचे निर्देशांक शोधतो दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये.

सदिश आणि अनुक्रमे निर्देशांक असल्याने (आवश्यक असल्यास, आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये वेक्टरचे लेख समन्वय पहा), तर सदिश उत्पादनाच्या दुसऱ्या व्याख्येनुसार आपल्याकडे

म्हणजेच सदिश उत्पादन दिलेल्या समन्वय प्रणालीमध्ये निर्देशांक आहेत.

आम्हाला सदिश उत्पादनाची लांबी त्याच्या निर्देशांकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ म्हणून आढळते (आम्ही सदिशाची लांबी शोधण्याच्या विभागात सदिशाच्या लांबीसाठी हे सूत्र प्राप्त केले आहे):

उत्तर:

.

उदाहरण.

आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये, तीन बिंदूंचे निर्देशांक दिले जातात. लंब आणि एकाच वेळी काही वेक्टर शोधा.

उपाय.

सदिश आणि निर्देशांक असतात आणि अनुक्रमे (बिंदूंच्या समन्वयातून सदिशाचे समन्वय शोधणारा लेख पहा). जर आपल्याला सदिशांचे सदिश उत्पादन सापडले आणि , तर व्याख्येनुसार ते आणि ते दोन्हीसाठी लंब असलेला सदिश आहे, म्हणजेच ते आपल्या समस्येचे निराकरण आहे. चला त्याला शोधूया

उत्तर:

- लंब सदिशांपैकी एक.

तिसऱ्या प्रकारच्या समस्यांमध्ये, वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाचे गुणधर्म वापरण्याचे कौशल्य तपासले जाते. गुणधर्म लागू केल्यानंतर, संबंधित सूत्रे लागू केली जातात.

उदाहरण.

वेक्टर आणि लंब आहेत आणि त्यांची लांबी अनुक्रमे 3 आणि 4 आहे. क्रॉस उत्पादनाची लांबी शोधा .

उपाय.

सदिश उत्पादनाच्या वितरण गुणधर्मानुसार, आपण लिहू शकतो

संयुक्त गुणधर्मामुळे, आम्ही शेवटच्या अभिव्यक्तीमधील सदिश उत्पादनांच्या चिन्हातून संख्यात्मक गुणांक काढतो:

सदिश उत्पादने आणि शून्य समान आहेत, पासून आणि , मग .

सदिश उत्पादन प्रति-विघटनशील असल्याने, नंतर .

तर, सदिश उत्पादनाचे गुणधर्म वापरून, आम्ही समानतेवर पोहोचलो .

स्थितीनुसार, सदिश आणि लंब असतात, म्हणजेच त्यांच्यामधील कोन समान असतो. म्हणजेच, आवश्यक लांबी शोधण्यासाठी आमच्याकडे सर्व डेटा आहे

उत्तर:

.

सदिश उत्पादनाचा भौमितिक अर्थ.

व्याख्येनुसार, सदिशांच्या वेक्टर गुणाकाराची लांबी आहे . आणि हायस्कूल भूमितीच्या अभ्यासक्रमावरून आपल्याला माहित आहे की त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या लांबीच्या आणि त्यांच्या दरम्यानच्या कोनाच्या साइनच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे असते. परिणामी, सदिश गुणाकाराची लांबी त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या दुप्पट असते ज्याच्या बाजू सदिश असतात आणि जर ते एका बिंदूपासून प्लॉट केले जातात. दुसऱ्या शब्दांत, सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी आणि बाजू असलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाएवढी असते आणि त्यांच्यामधील कोन . हा सदिश उत्पादनाचा भौमितिक अर्थ आहे.