अयोग्य अपूर्णांक कसे जोडायचे. अपूर्णांकांसह क्रिया

मुख्यपृष्ठ / प्रेम

या धड्यात, आपण वेगवेगळ्या भाजकांसह बीजगणितीय अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकीचा विचार करू. भिन्न भाजकांसह सामान्य अपूर्णांक कसे जोडायचे आणि वजा करायचे हे आम्हाला आधीच माहित आहे. हे करण्यासाठी, अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे. असे दिसून आले की बीजगणितीय अपूर्णांक समान नियमांचे पालन करतात. त्याच वेळी, बीजगणितीय अपूर्णांकांना सामान्य भाजक कसे कमी करायचे हे आम्हाला आधीच माहित आहे. विविध भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे आणि वजा करणे हा 8 व्या वर्गाच्या अभ्यासक्रमातील सर्वात महत्त्वाचा आणि कठीण विषय आहे. शिवाय, हा विषय बीजगणित अभ्यासक्रमाच्या अनेक विषयांमध्ये सापडेल, ज्याचा तुम्ही भविष्यात अभ्यास कराल. धड्याचा भाग म्हणून, आम्ही वेगवेगळ्या भाजकांसह बीजगणितीय अपूर्णांक जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांचा अभ्यास करू, तसेच अनेक वैशिष्ट्यपूर्ण उदाहरणांचे विश्लेषण करू.

सामान्य अपूर्णांकांसाठी सर्वात सोप्या उदाहरणाचा विचार करा.

उदाहरण १अपूर्णांक जोडा: .

उपाय:

अपूर्णांक जोडण्याचा नियम लक्षात ठेवा. सुरुवातीला, अपूर्णांकांना सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे. सामान्य अपूर्णांकांसाठी सामान्य भाजक आहे किमान सामान्य एकाधिकमूळ भाजकांचे (LCM).

व्याख्या

सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या जी दोन्ही संख्या आणि .

LCM शोधण्यासाठी, भाजकांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे आवश्यक आहे, आणि नंतर दोन्ही भाजकांच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट असलेले सर्व अविभाज्य घटक निवडा.

; . मग संख्यांच्या LCM मध्ये दोन 2s आणि दोन 3s समाविष्ट असणे आवश्यक आहे: .

सामान्य भाजक शोधल्यानंतर, प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक शोधणे आवश्यक आहे (खरं तर, समान भाजकाला संबंधित अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा).

मग प्रत्येक अपूर्णांक परिणामी अतिरिक्त घटकाने गुणाकार केला जातो. आम्हाला समान भाजकांसह अपूर्णांक मिळतात, जे आम्ही मागील धड्यांमध्ये जोडणे आणि वजा करणे शिकलो.

आम्हाला मिळते: .

उत्तर:.

आता वेगवेगळ्या भाजकांसह बीजगणितीय अपूर्णांकांची बेरीज विचारात घ्या. प्रथम अपूर्णांकांचा विचार करा ज्यांचे भाजक संख्या आहेत.

उदाहरण २अपूर्णांक जोडा: .

उपाय:

सोल्यूशन अल्गोरिदम मागील उदाहरणासारखेच आहे. या अपूर्णांकांसाठी सामान्य भाजक शोधणे सोपे आहे: आणि त्या प्रत्येकासाठी अतिरिक्त घटक.

उत्तर:.

तर चला सूत्रबद्ध करूया भिन्न भाजकांसह बीजगणितीय अपूर्णांक जोडण्यासाठी आणि वजा करण्यासाठी अल्गोरिदम:

1. अपूर्णांकांचा सर्वात लहान सामान्य भाजक शोधा.

2. प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक शोधा (सामान्य भाजकाला या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करून).

3. योग्य अतिरिक्त घटकांनी अंकांचा गुणाकार करा.

4. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांचा वापर करून अपूर्णांक जोडा किंवा वजा करा.

आता भाजकातील अपूर्णांकांसह एक उदाहरण विचारात घ्या ज्यामध्ये शाब्दिक अभिव्यक्ती आहेत.

उदाहरण ३अपूर्णांक जोडा: .

उपाय:

दोन्ही भाजकांमधील शाब्दिक अभिव्यक्ती समान असल्याने, तुम्ही संख्यांसाठी एक समान भाजक शोधला पाहिजे. अंतिम सामान्य भाजक असे दिसेल: . तर या उदाहरणाचा उपाय आहे:

उत्तर:.

उदाहरण ४अपूर्णांक वजा करा: .

उपाय:

जर तुम्ही सामान्य भाजक निवडताना "फसवणूक" करू शकत नसाल (तुम्ही ते घटक करू शकत नाही किंवा संक्षेपित गुणाकार सूत्रे वापरू शकत नाही), तर तुम्हाला दोन्ही अपूर्णांकांच्या भाजकांचा गुणाकार समान भाजक म्हणून घ्यावा लागेल.

उत्तर:.

सर्वसाधारणपणे, अशी उदाहरणे सोडवताना, सर्वात कठीण काम म्हणजे सामान्य भाजक शोधणे.

चला अधिक जटिल उदाहरण पाहू.

उदाहरण ५सरलीकृत करा: .

उपाय:

सामाईक भाजक शोधताना, तुम्ही प्रथम मूळ अपूर्णांकांचे (सामान्य भाजक सोपे करण्यासाठी) भाजकांचे गुणांकन करण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे.

या विशिष्ट प्रकरणात:

मग सामान्य भाजक निश्चित करणे सोपे आहे: .

आम्ही अतिरिक्त घटक निर्धारित करतो आणि हे उदाहरण सोडवतो:

उत्तर:.

आता आपण भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी करण्याचे नियम निश्चित करू.

उदाहरण 6सरलीकृत करा: .

उपाय:

उत्तर:.

उदाहरण 7सरलीकृत करा: .

उपाय:

उत्तर:.

आता एक उदाहरण विचारात घ्या ज्यामध्ये दोन नाही तर तीन अपूर्णांक जोडले गेले आहेत (अगदी, अधिक अपूर्णांकांसाठी बेरीज आणि वजाबाकीचे नियम समान आहेत).

उदाहरण 8सरलीकृत करा: .

सामान्य अपूर्णांकांसाठी सर्वात सोप्या उदाहरणाचा विचार करा.

उदाहरण १अपूर्णांक जोडा: .

उपाय:

व्याख्या

सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या जी दोन्ही संख्या आणि .

; . मग संख्यांच्या LCM मध्ये दोन 2s आणि दोन 3s समाविष्ट असणे आवश्यक आहे: .

आम्हाला मिळते: .

उत्तर:.

उदाहरण २अपूर्णांक जोडा: .

उपाय:

उत्तर:.

1. अपूर्णांकांचा सर्वात लहान सामान्य भाजक शोधा.

3. योग्य अतिरिक्त घटकांनी अंकांचा गुणाकार करा.

उदाहरण ३अपूर्णांक जोडा: .

उपाय:

उत्तर:.

उदाहरण ४अपूर्णांक वजा करा: .

उपाय:

उत्तर:.

चला अधिक जटिल उदाहरण पाहू.

उदाहरण ५सरलीकृत करा: .

उपाय:

या विशिष्ट प्रकरणात:

मग सामान्य भाजक निश्चित करणे सोपे आहे: .

आम्ही अतिरिक्त घटक निर्धारित करतो आणि हे उदाहरण सोडवतो:

उत्तर:.

उदाहरण 6सरलीकृत करा: .

उपाय:

उत्तर:.

उदाहरण 7सरलीकृत करा: .

उपाय:

उत्तर:.

उदाहरण 8सरलीकृत करा: .

अपूर्णांक अभिव्यक्ती मुलाला समजणे कठीण आहे. बहुतेक लोकांना यात अडचणी येतात. "पूर्णांकांसह अपूर्णांकांची बेरीज" या विषयाचा अभ्यास करताना, मुल मूर्खात पडतो, त्याला कार्य सोडवणे कठीण होते. बर्‍याच उदाहरणांमध्ये, कृती पूर्ण करण्यापूर्वी गणनांची मालिका करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, अपूर्णांक रूपांतरित करा किंवा अयोग्य अपूर्णांक योग्य अपूर्णांकामध्ये रूपांतरित करा.

मुलाला स्पष्टपणे समजावून सांगा. तीन सफरचंद घ्या, त्यापैकी दोन संपूर्ण असतील आणि तिसरे 4 भागांमध्ये कापले जातील. कापलेल्या सफरचंदाचा एक तुकडा वेगळा करा आणि उरलेले तीन दोन पूर्ण फळांच्या पुढे ठेवा. आम्हाला एका बाजूला ¼ सफरचंद आणि दुसऱ्या बाजूला 2 ¾ मिळतात. जर आपण ते एकत्र केले तर आपल्याला तीन संपूर्ण सफरचंद मिळतील. चला 2 ¾ सफरचंद ¼ ने कमी करण्याचा प्रयत्न करूया, म्हणजे आणखी एक तुकडा काढा, आम्हाला 2 2/4 सफरचंद मिळतील.

पूर्णांक समाविष्ट असलेल्या अपूर्णांकांसह क्रियांचे जवळून निरीक्षण करूया:

प्रथम, सामान्य भाजकासह अपूर्णांक अभिव्यक्तीसाठी गणना नियम आठवू:

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, सर्वकाही सोपे आणि सोपे आहे. परंतु हे केवळ अभिव्यक्तींना लागू होते ज्यांना रूपांतरणाची आवश्यकता नसते.

जेथे भाजक भिन्न आहेत अशा अभिव्यक्तीचे मूल्य कसे शोधायचे

काही कार्यांमध्ये, अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधणे आवश्यक आहे जेथे भाजक भिन्न आहेत. एका विशिष्ट प्रकरणाचा विचार करा:
3 2/7+6 1/3

या अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा, यासाठी आपल्याला दोन अपूर्णांकांसाठी एक समान भाजक सापडतो.

संख्या 7 आणि 3 साठी, हे 21 आहे. आम्ही पूर्णांक भाग समान सोडतो, आणि अपूर्णांक भाग 21 पर्यंत कमी करतो, यासाठी आम्ही पहिल्या अपूर्णांकाचा 3 ने गुणाकार करतो, दुसरा 7 ने गुणाकार करतो, आम्हाला मिळते:
6/21+7/21, हे विसरू नका की संपूर्ण भाग रूपांतरणाच्या अधीन नाहीत. परिणामी, आम्हाला एका भाजकासह दोन अपूर्णांक मिळतील आणि त्यांची बेरीज काढू:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
जर जोडणीचा परिणाम अयोग्य अपूर्णांक असेल ज्यामध्ये आधीपासून पूर्णांक भाग असेल:
2 1/3+3 2/3
या प्रकरणात, आम्ही पूर्णांक भाग आणि अपूर्णांक जोडतो, आम्हाला मिळते:
5 3/3, जसे तुम्हाला माहिती आहे, 3/3 एक आहे, म्हणून 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

बेरीज शोधून, सर्वकाही स्पष्ट आहे, चला वजाबाकीचे विश्लेषण करूया:

म्हटल्या गेलेल्या सर्व गोष्टींवरून, मिश्र संख्येवरील ऑपरेशन्सचा नियम खालीलप्रमाणे आहे, जो यासारखा वाटतो:

अपूर्णांक अभिव्यक्तीतून पूर्णांक वजा करणे आवश्यक असल्यास, दुसरी संख्या अपूर्णांक म्हणून दर्शवणे आवश्यक नाही, ते केवळ पूर्णांक भागांवर कार्य करण्यासाठी पुरेसे आहे.

चला अभिव्यक्तींचे मूल्य स्वतःच मोजण्याचा प्रयत्न करूया:

चला "m" अक्षराखालील उदाहरण जवळून पाहू:

4 5/11-2 8/11, पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्यापेक्षा कमी आहे. हे करण्यासाठी, आपण पहिल्या अपूर्णांकातून एक पूर्णांक घेतो, आपल्याला मिळेल,
3 5/11+11/11=3 संपूर्ण 16/11, पहिल्या अपूर्णांकातून दुसरा वजा करा:
3 16/11-2 8/11=1 संपूर्ण 8/11

कार्य पूर्ण करताना सावधगिरी बाळगा, संपूर्ण भाग हायलाइट करून अयोग्य अपूर्णांकांना मिश्रित भागांमध्ये रूपांतरित करण्यास विसरू नका. हे करण्यासाठी, अंशाचे मूल्य भाजकाच्या मूल्याने विभाजित करणे आवश्यक आहे, काय झाले, पूर्णांक भागाची जागा घेते, उर्वरित अंश असेल, उदाहरणार्थ:

19/4=4 ¾, तपासा: 4*4+3=19, भाजक 4 मध्ये अपरिवर्तित राहते.

सारांश:

अपूर्णांकांशी संबंधित कार्य पुढे जाण्यापूर्वी, ते कोणत्या प्रकारचे अभिव्यक्ती आहे, निराकरण योग्य होण्यासाठी अपूर्णांकावर कोणते परिवर्तन करणे आवश्यक आहे याचे विश्लेषण करणे आवश्यक आहे. अधिक तर्कशुद्ध उपाय पहा. कठीण मार्गाने जाऊ नका. सर्व क्रियांची योजना करा, प्रथम मसुदा आवृत्तीमध्ये निर्णय घ्या, नंतर शाळेच्या नोटबुकमध्ये हस्तांतरित करा.

अंशात्मक अभिव्यक्ती सोडवताना गोंधळ टाळण्यासाठी, अनुक्रम नियमाचे पालन करणे आवश्यक आहे. घाई न करता सर्वकाही काळजीपूर्वक ठरवा.

रसायनशास्त्र, भौतिकशास्त्र आणि अगदी जीवशास्त्र यांसारख्या विषयांमध्ये ज्याचा उपयोग केला जाऊ शकतो, ते सर्वात महत्त्वाचे विज्ञान म्हणजे गणित. या विज्ञानाचा अभ्यास आपल्याला काही मानसिक गुण विकसित करण्यास, लक्ष केंद्रित करण्याची क्षमता सुधारण्यास अनुमती देतो. "गणित" या अभ्यासक्रमात विशेष लक्ष देण्यास पात्र असलेल्या विषयांपैकी एक म्हणजे अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी. अनेक विद्यार्थ्यांना अभ्यास करणे अवघड जाते. कदाचित आमचा लेख हा विषय अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यास मदत करेल.

ज्यांचे भाजक समान आहेत ते अपूर्णांक कसे वजा करायचे

अपूर्णांक ही समान संख्या आहेत ज्याद्वारे तुम्ही विविध क्रिया करू शकता. पूर्णांकांमधील त्यांचा फरक भाजकाच्या उपस्थितीत आहे. म्हणूनच अपूर्णांकांसह क्रिया करताना, आपल्याला त्यांची काही वैशिष्ट्ये आणि नियमांचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे. सर्वात सोपी केस म्हणजे सामान्य अपूर्णांकांची वजाबाकी, ज्याचे भाजक समान संख्या म्हणून दर्शविले जातात. जर तुम्हाला एक साधा नियम माहित असेल तर ही क्रिया करणे कठीण होणार नाही:

एका अपूर्णांकातून दुसरा वजा करण्यासाठी, कमी केलेल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून वजा करावयाच्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करणे आवश्यक आहे. आम्ही ही संख्या फरकाच्या अंशामध्ये लिहितो, आणि भाजक समान सोडतो: k / m - b / m = (k-b) / m.

अपूर्णांक वजा करण्याची उदाहरणे ज्यांचे भाजक समान आहेत

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

कमी केलेल्या अपूर्णांक "7" च्या अंशातून वजा केलेल्या अपूर्णांकाचा अंश "3" वजा केल्यास आपल्याला "4" मिळेल. आम्ही ही संख्या उत्तराच्या अंशामध्ये लिहितो, आणि पहिल्या आणि द्वितीय अपूर्णांकांच्या भाजकांमध्ये समान संख्या ठेवतो - "19".

खालील चित्र अशी आणखी काही उदाहरणे दाखवते.

एक अधिक जटिल उदाहरण विचारात घ्या जेथे समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा केले जातात:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

कमी केलेल्या अपूर्णांक "29" च्या अंशातून नंतरच्या सर्व अपूर्णांकांचे अंश वजा करून - "3", "8", "2", "7". परिणामी, आपल्याला "9" हा निकाल मिळतो, जो आपण उत्तराच्या अंशामध्ये लिहितो आणि भाजकात आपण या सर्व अपूर्णांकांच्या भाजकांमध्ये असलेली संख्या लिहितो - "47".

समान भाजकासह अपूर्णांक जोडणे

सामान्य अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी समान तत्त्वानुसार केली जाते.

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला अंश जोडणे आवश्यक आहे. परिणामी संख्या बेरजेचा अंश आहे आणि भाजक तोच राहतो: k/m + b/m = (k + b)/m.

ते एका उदाहरणात कसे दिसते ते पाहूया:

1/4 + 2/4 = 3/4.

अपूर्णांकाच्या पहिल्या पदाच्या अंशामध्ये - "1" - आम्ही अपूर्णांकाच्या दुसऱ्या पदाचा अंश - "2" जोडतो. परिणाम - "3" - रकमेच्या अंशामध्ये लिहिलेला आहे, आणि भाजक अपूर्णांकांमध्ये उपस्थित होता तसाच ठेवला आहे - "4".

भिन्न भाजक आणि त्यांची वजाबाकी असलेले अपूर्णांक

समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांच्या कृतीचा आम्ही आधीच विचार केला आहे. जसे आपण पाहू शकता, साधे नियम जाणून घेणे, अशी उदाहरणे सोडवणे खूप सोपे आहे. पण जर तुम्हाला भिन्न भाजक असलेल्या अपूर्णांकांसह कृती करायची असेल तर? अनेक हायस्कूलचे विद्यार्थी अशा उदाहरणांमुळे गोंधळलेले असतात. परंतु येथेही, जर तुम्हाला समाधानाचे तत्त्व माहित असेल तर, उदाहरणे तुमच्यासाठी यापुढे कठीण होणार नाहीत. येथे एक नियम देखील आहे, ज्याशिवाय अशा अपूर्णांकांचे निराकरण करणे अशक्य आहे.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्यासाठी, ते समान सर्वात लहान भाजकापर्यंत कमी केले पाहिजेत.

हे कसे करावे याबद्दल आम्ही अधिक तपशीलवार बोलू.

अपूर्णांक गुणधर्म

एकाच भाजकात अनेक अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, तुम्हाला सोल्युशनमध्ये अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म वापरण्याची आवश्यकता आहे: अंश आणि भाजक यांना समान संख्येने विभाजित किंवा गुणाकार केल्यावर, तुम्हाला दिलेल्या एका बरोबरीचा अपूर्णांक मिळेल.

तर, उदाहरणार्थ, अपूर्णांक 2/3 मध्ये "6", "9", "12" इत्यादी सारखे भाजक असू शकतात, म्हणजेच ते "3" च्या गुणाकार असलेल्या कोणत्याही संख्येसारखे दिसू शकते. अंश आणि भाजक यांचा "2" ने गुणाकार केल्यावर, आपल्याला 4/6 चा अंश मिळेल. मूळ अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक "3" ने गुणाकार केल्यावर, आपल्याला 6/9 मिळेल आणि जर आपण "4" या संख्येसह समान क्रिया केली तर आपल्याला 8/12 मिळेल. एका समीकरणात, हे असे लिहिले जाऊ शकते:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

एकाच भाजकावर अनेक अपूर्णांक कसे आणायचे

एकाच भाजकात अनेक अपूर्णांक कसे कमी करायचे ते विचारात घ्या. उदाहरणार्थ, खालील चित्रात दाखवलेले अपूर्णांक घ्या. प्रथम तुम्हाला त्या सर्वांसाठी कोणती संख्या भाजक बनू शकते हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे. हे सोपे करण्यासाठी, उपलब्ध भाजकांचे घटकांमध्ये विघटन करूया.

अपूर्णांक 1/2 आणि अपूर्णांक 2/3 चा भाजक घटक बनवता येत नाही. 7/9 च्या भाजकात दोन घटक आहेत 7/9 = 7/(3 x 3), अपूर्णांक 5/6 = 5/(2 x 3) चा भाजक. आता तुम्हाला या चारही अपूर्णांकांसाठी कोणते घटक सर्वात लहान असतील हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे. पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजकामध्ये "2" हा अंक असल्याने, याचा अर्थ असा की तो सर्व भाजकांमध्ये उपस्थित असणे आवश्यक आहे, अपूर्णांक 7/9 मध्ये दोन तिप्पट आहेत, याचा अर्थ ते भाजकांमध्ये देखील उपस्थित असले पाहिजेत. वर दिलेले, आम्ही निर्धारित करतो की भाजकामध्ये तीन घटक असतात: 3, 2, 3 आणि 3 x 2 x 3 = 18 च्या बरोबरीचे आहे.

पहिल्या अपूर्णांकाचा विचार करा - 1/2. त्याच्या भाजकात "2" आहे, परंतु तेथे एकच "3" नाही, परंतु दोन असावेत. हे करण्यासाठी, आपण भाजकाला दोन तिप्पटने गुणाकार करतो, परंतु, अपूर्णांकाच्या गुणधर्मानुसार, आपण अंशाला दोन तिप्पटने गुणाकार केला पाहिजे:
१/२ = (१ x ३ x ३)/(२ x ३ x ३) = ९/१८.

त्याचप्रमाणे, आम्ही उर्वरित अपूर्णांकांसह क्रिया करतो.

2/3 - भाजकात एक तीन आणि एक दोन गहाळ आहेत:
२/३ = (२ x ३ x २)/(३ x ३ x २) = १२/१८.
7/9 किंवा 7/(3 x 3) - भाजक दोन गहाळ आहे:
७/९ = (७ x २)/(९ x २) = १४/१८.
5/6 किंवा 5/(2 x 3) - भाजकात तिहेरी गहाळ आहे:
५/६ = (५ x ३)/(६ x ३) = १५/१८.

सर्व एकत्रितपणे असे दिसते:

वेगवेगळ्या भाजकांसह अपूर्णांक कसे वजा करायचे आणि जोडायचे

वर नमूद केल्याप्रमाणे, भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी किंवा वजा करण्यासाठी, ते समान भाजकापर्यंत कमी केले पाहिजेत आणि नंतर त्याच भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्याचे नियम वापरा, ज्याचे वर्णन आधीच केले गेले आहे.

उदाहरणासह याचा विचार करा: 4/18 - 3/15.

18 आणि 15 च्या गुणाकार शोधणे:

18 क्रमांकामध्ये 3 x 2 x 3 आहे.
15 क्रमांकामध्ये 5 x 3 असतात.
सामान्य गुणकामध्ये खालील घटकांचा समावेश असेल 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

भाजक सापडल्यानंतर, प्रत्येक अपूर्णांकासाठी भिन्न असेल अशा घटकाची गणना करणे आवश्यक आहे, म्हणजे, ज्या संख्येने केवळ भाजकच नव्हे तर अंशाचा देखील गुणाकार करणे आवश्यक असेल. हे करण्यासाठी, आम्ही सापडलेल्या संख्येला (सामान्य बहुविध) अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करतो ज्यासाठी अतिरिक्त घटक निर्धारित करणे आवश्यक आहे.

90 भागिले 15. परिणामी संख्या "6" हा 3/15 साठी गुणक असेल.
90 भागिले 18. परिणामी संख्या "5" हा 4/18 साठी गुणक असेल.

आमच्या सोल्युशनमधील पुढील पायरी म्हणजे प्रत्येक अपूर्णांक "90" भाजकावर आणणे.

हे कसे केले जाते याबद्दल आम्ही आधीच चर्चा केली आहे. हे उदाहरणात कसे लिहिले आहे ते पाहूया:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

लहान संख्येसह अपूर्णांक असल्यास, खालील चित्रात दर्शविल्याप्रमाणे, आपण सामान्य भाजक निर्धारित करू शकता.

त्याचप्रमाणे उत्पादित आणि भिन्न भाजक आहेत.

वजाबाकी आणि पूर्णांक भाग असणे

अपूर्णांकांची वजाबाकी आणि त्यांची बेरीज, आम्ही आधीच तपशीलवार विश्लेषण केले आहे. पण अपूर्णांकाला पूर्णांक भाग असल्यास वजाबाकी कशी करायची? पुन्हा, चला काही नियम वापरू:

पूर्णांक भाग असलेल्या सर्व अपूर्णांकांना अयोग्य मध्ये रूपांतरित करा. सोप्या शब्दात, संपूर्ण भाग काढून टाका. हे करण्यासाठी, पूर्णांक भागाची संख्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार केली जाते, परिणामी उत्पादन अंशामध्ये जोडले जाते. या क्रियांनंतर प्राप्त होणारी संख्या ही अयोग्य अपूर्णांकाचा अंश आहे. भाजक अपरिवर्तित राहतो.
अपूर्णांकांचे भाजक भिन्न असल्यास, ते समान केले पाहिजेत.
समान भाजकांसह बेरीज किंवा वजाबाकी करा.
अयोग्य अंश प्राप्त करताना, संपूर्ण भाग निवडा.

आणखी एक मार्ग आहे ज्याद्वारे तुम्ही पूर्णांक भागांसह अपूर्णांक जोडू आणि वजा करू शकता. यासाठी, क्रिया पूर्णांक भागांसह स्वतंत्रपणे केल्या जातात आणि अपूर्णांकांसह स्वतंत्रपणे केल्या जातात आणि परिणाम एकत्र रेकॉर्ड केले जातात.

वरील उदाहरणामध्ये समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांचा समावेश आहे. जेव्हा भाजक भिन्न असतात, तेव्हा ते समान केले पाहिजेत आणि नंतर उदाहरणामध्ये दर्शविल्याप्रमाणे चरणांचे अनुसरण करा.

पूर्ण संख्येतून अपूर्णांक वजा करणे

अपूर्णांकांसह क्रियांच्या प्रकारांपैकी आणखी एक अशी परिस्थिती आहे जेव्हा अपूर्णांकातून वजा करणे आवश्यक आहे पहिल्या दृष्टीक्षेपात, अशा उदाहरणाचे निराकरण करणे कठीण वाटते. तथापि, येथे सर्वकाही अगदी सोपे आहे. त्याचे निराकरण करण्यासाठी, पूर्णांकाचे अपूर्णांकात रूपांतर करणे आवश्यक आहे आणि अशा भाजकासह, जो अपूर्णांकात आहे वजा करणे आवश्यक आहे. पुढे, आम्ही समान भाजकांसह वजाबाकी प्रमाणेच वजाबाकी करतो. उदाहरणार्थ, हे असे दिसते:

७ - ४/९ = (७ x ९)/९ - ४/९ = ५३/९ - ४/९ = ४९/९.

या लेखात दिलेली अपूर्णांकांची वजाबाकी (ग्रेड 6) अधिक जटिल उदाहरणे सोडवण्याचा आधार आहे, ज्याचा पुढील वर्गांमध्ये विचार केला जातो. या विषयाचे ज्ञान नंतर फंक्शन्स, डेरिव्हेटिव्ह्ज इत्यादी सोडवण्यासाठी वापरले जाते. म्हणून, वर चर्चा केलेल्या अपूर्णांकांसह क्रिया समजून घेणे आणि समजून घेणे खूप महत्वाचे आहे.

§ 87. अपूर्णांकांची बेरीज.

अपूर्णांक जोडणे पूर्ण संख्या जोडण्यासारखे बरेच साम्य आहे. अपूर्णांकांची बेरीज ही एक क्रिया आहे ज्यामध्ये अनेक दिलेल्या संख्या (अटी) एका संख्येमध्ये (बेरीज) एकत्रित केल्या जातात, ज्यामध्ये संज्ञांच्या एककांची सर्व एकके आणि अपूर्णांक असतात.

आम्ही तीन प्रकरणांचा विचार करू:

1. समान भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज.
2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज.
3. मिश्र संख्यांची बेरीज.

1. समान भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज.

एक उदाहरण विचारात घ्या: 1 / 5 + 2 / 5 .

सेगमेंट AB (Fig. 17) घ्या, त्याला एकक म्हणून घ्या आणि त्याला 5 समान भागांमध्ये विभाजित करा, नंतर या विभागाचा भाग AC AB खंडाच्या 1/5, आणि त्याच विभागातील CD चा भाग असेल. 2/5 AB समान असेल.

रेखाचित्रावरून असे दिसून येते की जर आपण AD हा खंड घेतला तर तो 3/5 AB असेल; परंतु खंड AD ही अचूकपणे AC आणि CD खंडांची बेरीज आहे. तर, आम्ही लिहू शकतो:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

या संज्ञा आणि परिणामी रक्कम विचारात घेतल्यास, आपण पाहतो की अटींचे अंश जोडून बेरीजचा अंश प्राप्त झाला आणि भाजक अपरिवर्तित राहिला.

यावरून आम्हाला खालील नियम मिळतात: समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्ही त्यांचे अंश जोडले पाहिजेत आणि समान भाजक सोडले पाहिजेत.

एक उदाहरण विचारात घ्या:

2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची बेरीज.

चला अपूर्णांक जोडू: 3/4 + 3/8 प्रथम त्यांना सर्वात कमी सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे:

मध्यवर्ती दुवा 6/8 + 3/8 लिहिता आला नसता; अधिक स्पष्टतेसाठी आम्ही ते येथे लिहिले आहे.

अशा प्रकारे, भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्ही प्रथम त्यांना सर्वात कमी सामान्य भाजकावर आणले पाहिजे, त्यांचे अंश जोडा आणि सामान्य भाजकावर स्वाक्षरी करा.

एक उदाहरण विचारात घ्या (आम्ही संबंधित अपूर्णांकांवर अतिरिक्त घटक लिहू):

3. मिश्र संख्यांची बेरीज.

चला संख्या जोडू: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

आपण प्रथम आपल्या संख्यांचे अंशात्मक भाग एका सामान्य भाजकावर आणू आणि त्यांना पुन्हा लिहू:

आता अनुक्रमाने पूर्णांक आणि अपूर्णांक जोडा:

§ 88. अपूर्णांकांची वजाबाकी.

अपूर्णांकांच्या वजाबाकीची व्याख्या पूर्ण संख्यांच्या वजाबाकीप्रमाणेच केली जाते. ही अशी क्रिया आहे ज्याद्वारे, दोन पदांची बेरीज आणि त्यापैकी एक, दुसरी संज्ञा आढळते. चला तीन प्रकरणांचा क्रमाने विचार करूया:

1. समान भाजकांसह अपूर्णांकांची वजाबाकी.
2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची वजाबाकी.
3. मिश्र संख्यांची वजाबाकी.

1. समान भाजकांसह अपूर्णांकांची वजाबाकी.

एक उदाहरण विचारात घ्या:

13 / 15 - 4 / 15

चला AB (Fig. 18) सेगमेंट घेऊ, ते एकक म्हणून घेऊ आणि 15 समान भागांमध्ये विभागू; नंतर या विभागाचा AC भाग AB च्या 1/15 असेल आणि त्याच विभागाचा AD भाग 13/15 AB शी संबंधित असेल. 4/15 AB च्या बरोबरीचा दुसरा खंड ED बाजूला ठेवू.

आपल्याला 13/15 मधून 4/15 वजा करणे आवश्यक आहे. रेखांकनामध्ये, याचा अर्थ असा आहे की विभाग ED AD मधून वजा करणे आवश्यक आहे. परिणामी, विभाग AE राहील, जो खंड AB चा 9/15 आहे. म्हणून आम्ही लिहू शकतो:

आम्ही केलेल्या उदाहरणावरून असे दिसून येते की अंशांची वजाबाकी करून फरकाचा अंश प्राप्त झाला आणि भाजक तोच राहिला.

म्हणून, समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्‍यासाठी, तुम्‍हाला मिन्युएंडच्‍या अंशामधून सबट्राहेंडचा अंश वजा करण्‍याची आवश्‍यकता आहे आणि तोच भाजक सोडावा लागेल.

2. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची वजाबाकी.

उदाहरण. ३/४ - ५/८

प्रथम, हे अपूर्णांक सर्वात लहान सामान्य भाजकापर्यंत कमी करूया:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 - 5/8 येथे स्पष्टतेसाठी लिहिली आहे, परंतु ती भविष्यात वगळली जाऊ शकते.

अशाप्रकारे, अपूर्णांकातून अपूर्णांक वजा करण्‍यासाठी, तुम्ही प्रथम त्यांना सर्वात लहान सामाईक भाजकावर आणले पाहिजे, नंतर मिन्युएंडच्या अंशातून सबट्राहेंडचा अंश वजा करा आणि त्यांच्या फरकाखाली सामान्य भाजकावर सही करा.

एक उदाहरण विचारात घ्या:

3. मिश्र संख्यांची वजाबाकी.

उदाहरण. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

चला मिन्युएंड आणि सबट्राहेंडचे अपूर्णांक सर्वात कमी सामान्य भाजकावर आणूया:

आम्ही पूर्णातून पूर्ण आणि अपूर्णांकातून अपूर्णांक वजा केला. परंतु अशी प्रकरणे आहेत जेव्हा सबट्राहेंडचा अपूर्णांक भाग मिनिटाच्या अपूर्णांक भागापेक्षा मोठा असतो. अशा प्रकरणांमध्ये, तुम्हाला कमी केलेल्या पूर्णांक भागातून एक युनिट घेणे आवश्यक आहे, ते त्या भागांमध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे ज्यामध्ये अपूर्णांक व्यक्त केला जातो आणि कमी केलेल्या अंशात्मक भागामध्ये जोडणे आवश्यक आहे. आणि नंतर वजाबाकी मागील उदाहरणाप्रमाणेच केली जाईल:

§ 89. अपूर्णांकांचा गुणाकार.

अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचा अभ्यास करताना आपण खालील प्रश्नांचा विचार करू.

1. अपूर्णांकाचा पूर्णांकाने गुणाकार करणे.
2. दिलेल्या संख्येचा अंश शोधणे.
3. पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाने गुणाकार.
4. अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करणे.
5. मिश्र संख्यांचा गुणाकार.
6. व्याजाची संकल्पना.
7. दिलेल्या संख्येची टक्केवारी शोधणे. चला त्यांचा क्रमाने विचार करूया.

1. अपूर्णांकाचा पूर्णांकाने गुणाकार करणे.

अपूर्णांकाचा पूर्णांकाने गुणाकार करण्याचा अर्थ पूर्णांकाने पूर्णांकाने गुणाण्यासारखाच आहे. पूर्णांक (गुणाकार) द्वारे अपूर्णांक (गुणाकार) गुणाकार करणे म्हणजे समान संज्ञांची बेरीज तयार करणे, ज्यामध्ये प्रत्येक पद गुणाकाराच्या समान आहे आणि संज्ञांची संख्या गुणाकाराच्या समान आहे.

म्हणून, जर तुम्हाला 1/9 7 ने गुणाकार करण्याची आवश्यकता असेल, तर हे असे केले जाऊ शकते:

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी क्रिया कमी केल्यामुळे आम्हाला परिणाम सहज मिळाला. त्यामुळे,

या क्रियेचा विचार केल्यास असे दिसून येते की पूर्णांकाने अपूर्णांकाचा गुणाकार करणे म्हणजे पूर्णांकामध्ये जितक्या एकके आहेत तितक्या वेळा हा अपूर्णांक वाढवण्यासारखे आहे. आणि अपूर्णांकातील वाढ एकतर त्याचा अंश वाढवून साध्य केली जाते

किंवा त्याचा भाजक कमी करून , मग आपण एकतर अंशाला पूर्णांकाने गुणू शकतो किंवा भाजकाला भागाकार करू शकतो, जर असा भागाकार शक्य असेल.

येथून आम्हाला नियम मिळतात:

अपूर्णांकाचा पूर्णांकाने गुणाकार करण्‍यासाठी, तुम्‍हाला या पूर्णांकाने अंशाचा गुणाकार करण्‍याची आवश्‍यकता आहे आणि तोच भाजक सोडणे आवश्‍यक आहे किंवा शक्य असल्‍यास, अंशाला अपरिवर्तित ठेवून या संख्‍येने भाजक भाग करणे आवश्‍यक आहे.

गुणाकार करताना, संक्षेप शक्य आहेत, उदाहरणार्थ:

2. दिलेल्या संख्येचा अंश शोधणे.अशा अनेक समस्या आहेत ज्यामध्ये तुम्हाला दिलेल्या संख्येचा एक भाग शोधावा लागतो किंवा त्याची गणना करावी लागते. या कार्यांमध्ये आणि इतरांमधील फरक असा आहे की ते काही वस्तू किंवा मोजमापाच्या एककांची संख्या देतात आणि आपल्याला या संख्येचा एक भाग शोधण्याची आवश्यकता आहे, जो येथे एका विशिष्ट अंशाने देखील दर्शविला आहे. समजून घेणे सुलभ करण्यासाठी, आम्ही प्रथम अशा समस्यांची उदाहरणे देऊ, आणि नंतर त्यांचे निराकरण करण्याच्या पद्धतीचा परिचय देऊ.

कार्य १.माझ्याकडे 60 रूबल होते; यातील १/३ पैसे मी पुस्तके खरेदीवर खर्च केले. पुस्तकांची किंमत किती होती?

कार्य २.ट्रेनने A आणि B शहरांमधील अंतर 300 किमी इतके पूर्ण केले पाहिजे. त्याने आधीच 2/3 अंतर कापले आहे. हे किती किलोमीटर आहे?

कार्य 3.गावात 400 घरे आहेत, त्यातील 3/4 घरे विटांची आहेत, बाकीची लाकडी आहेत. किती विटांची घरे आहेत?

दिलेल्या संख्येचा अंश शोधण्यासाठी आपल्याला ज्या अनेक समस्यांना सामोरे जावे लागते त्यापैकी काही येथे आहेत. त्यांना सामान्यतः दिलेल्या संख्येचा अंश शोधण्यासाठी समस्या म्हणतात.

समस्येचे निराकरण 1. 60 rubles पासून. मी पुस्तकांवर 1/3 खर्च केला; तर, पुस्तकांची किंमत शोधण्यासाठी, तुम्हाला 60 संख्या 3 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे:

समस्या 2 उपाय.समस्येचा अर्थ असा आहे की आपल्याला 300 किमी पैकी 2/3 शोधण्याची आवश्यकता आहे. 300 च्या पहिल्या 1/3 ची गणना करा; 300 किमी 3 ने विभाजित करून हे साध्य केले जाते:

300: 3 = 100 (म्हणजे 300 चा 1/3).

300 चे दोन-तृतियांश शोधण्यासाठी, तुम्हाला परिणामी भाग दुप्पट करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच 2 ने गुणाकार करा:

100 x 2 = 200 (म्हणजे 300 पैकी 2/3).

समस्येचे निराकरण 3.येथे तुम्हाला विटांच्या घरांची संख्या निश्चित करायची आहे, जी 400 पैकी 3/4 आहेत. चला प्रथम 400 पैकी 1/4 शोधू,

400: 4 = 100 (म्हणजे 400 चा 1/4).

400 च्या तीन चतुर्थांशांची गणना करण्यासाठी, परिणामी भागफल तिप्पट करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच 3 ने गुणाकार केला पाहिजे:

100 x 3 = 300 (म्हणजे 400 पैकी 3/4).

या समस्यांच्या निराकरणावर आधारित, आम्ही खालील नियम काढू शकतो:

दिलेल्या संख्येवरून अपूर्णांकाचे मूल्य शोधण्यासाठी, तुम्हाला ही संख्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करणे आवश्यक आहे आणि परिणामी भागाला त्याच्या अंशाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

3. पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाने गुणाकार.

पूर्वी (§ 26) असे स्थापित केले गेले होते की पूर्णांकांचा गुणाकार समान संज्ञा (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) ची बेरीज म्हणून समजला पाहिजे. या परिच्छेदामध्ये (परिच्छेद 1) हे स्थापित केले गेले आहे की पूर्णांकाने अपूर्णांकाचा गुणाकार करणे म्हणजे या अपूर्णांकाच्या समान संज्ञांची बेरीज शोधणे.

दोन्ही प्रकरणांमध्ये, गुणाकारात समान संज्ञांची बेरीज शोधणे समाविष्ट होते.

आता आपण पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाने गुणाकार करू. येथे आपण अशासह भेटू, उदाहरणार्थ, गुणाकार: 9 2 / 3. हे अगदी स्पष्ट आहे की गुणाकाराची पूर्वीची व्याख्या या प्रकरणात लागू होत नाही. हे या वस्तुस्थितीवरून स्पष्ट होते की आपण अशा गुणाकारांना समान संख्या जोडून बदलू शकत नाही.

यामुळे, आपल्याला गुणाकाराची नवीन व्याख्या द्यावी लागेल, म्हणजे, अपूर्णांकाने गुणाकार करून काय समजले पाहिजे, ही क्रिया कशी समजली पाहिजे या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी.

पूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्याचा अर्थ खालील व्याख्येवरून स्पष्ट होतो: पूर्णांक (गुणक) अपूर्णांकाने (गुणक) गुणाकार करणे म्हणजे गुणकाचा हा अपूर्णांक शोधणे.

म्हणजे, 9 चा 2/3 ने गुणाकार करणे म्हणजे नऊ एककांपैकी 2/3 शोधणे. मागील परिच्छेदात, अशा समस्यांचे निराकरण केले गेले; त्यामुळे हे समजणे सोपे आहे की आम्ही 6 पर्यंत पोहोचतो.

पण आता एक मनोरंजक आणि महत्त्वाचा प्रश्न उद्भवतो: समान संख्यांची बेरीज शोधणे आणि संख्येचा अपूर्णांक शोधणे यासारख्या वरवर भिन्न दिसणार्‍या क्रियांना अंकगणितात समान शब्द "गुणाकार" का म्हणतात?

असे घडते कारण मागील क्रिया (संख्येची अनेक वेळा पुनरावृत्ती करणे) आणि नवीन क्रिया (संख्येचा अंश शोधणे) एकसमान प्रश्नांची उत्तरे देतात. याचा अर्थ असा की एकसमान प्रश्न किंवा कार्ये एकाच क्रियेने सोडवली जातात या विचारातून आपण येथे पुढे जाऊ.

हे समजून घेण्यासाठी, खालील समस्येचा विचार करा: “1 मीटर कापडाची किंमत 50 रूबल आहे. अशा 4 मीटर कापडाची किंमत किती असेल?

रूबल (50) ची संख्या मीटर (4) च्या संख्येने गुणाकार करून ही समस्या सोडवली जाते, म्हणजे 50 x 4 = 200 (रूबल).

चला तीच समस्या घेऊ, परंतु त्यात कापडाचे प्रमाण अपूर्णांक म्हणून व्यक्त केले जाईल: “1 मीटर कापडाची किंमत 50 रूबल आहे. अशा 3/4 मीटर कापडाची किंमत किती असेल?

रूबलची संख्या (50) मीटरच्या संख्येने (3/4) गुणाकार करून ही समस्या देखील सोडवणे आवश्यक आहे.

आपण समस्येचा अर्थ न बदलता त्यातील संख्या देखील अनेक वेळा बदलू शकता, उदाहरणार्थ, 9/10 मीटर किंवा 2 3/10 मीटर इ.

या समस्या समान सामग्री असल्याने आणि फक्त संख्यांमध्ये भिन्न असल्याने, आम्ही त्यांचे निराकरण करण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या क्रियांना समान शब्द म्हणतो - गुणाकार.

पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाने गुणाकार कसा केला जातो?

शेवटच्या समस्येत आलेले आकडे घेऊ:

व्याख्येनुसार, आपल्याला 50 पैकी 3/4 शोधणे आवश्यक आहे. प्रथम आपण 50 पैकी 1/4 शोधू आणि नंतर 3/4 शोधू.

50 पैकी 1/4 म्हणजे 50/4;

50 पैकी 3/4 आहे.

त्यामुळे.

दुसरे उदाहरण विचारात घ्या: 12 5 / 8 = ?

१२ पैकी १/८ म्हणजे १२/८,

12 क्रमांकाचा 5/8 आहे.

त्यामुळे,

येथून आम्हाला नियम मिळतात:

पूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्‍यासाठी, तुम्‍हाला अपूर्णांकाच्या अंशाने पूर्णांक गुणाकार करण्‍याची आवश्‍यकता आहे आणि हा गुणाकार अंश बनवण्‍याची आवश्‍यकता आहे आणि दिलेल्या अपूर्णांकाचा भाजक भाजक म्‍हणून सही करणे आवश्‍यक आहे.

आम्ही हा नियम अक्षरे वापरून लिहितो:

हा नियम पूर्णपणे स्पष्ट करण्यासाठी, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की अपूर्णांक भागफल म्हणून मानला जाऊ शकतो. म्हणून, आढळलेल्या नियमाची एका भागाने गुणाकार करण्याच्या नियमाशी तुलना करणे उपयुक्त आहे, जे § 38 मध्ये सेट केले होते.

हे लक्षात ठेवले पाहिजे की गुणाकार करण्यापूर्वी, आपण हे केले पाहिजे (शक्य असल्यास) कट, उदाहरणार्थ:

4. अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करणे.अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्याचा अर्थ पूर्णांकाने अपूर्णांकाने गुणाकार करण्यासारखाच आहे, म्हणजेच, अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करताना, आपल्याला पहिल्या अपूर्णांकातून (गुणाकार) गुणकातील अपूर्णांक शोधणे आवश्यक आहे.

म्हणजे, 3/4 ला 1/2 (अर्धा) ने गुणणे म्हणजे 3/4 चा अर्धा शोधणे.

अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने कसे गुणावे?

चला एक उदाहरण घेऊ: 3/4 वेळा 5/7. याचा अर्थ असा की तुम्हाला 3/4 मधून 5/7 शोधणे आवश्यक आहे. 3/4 पैकी प्रथम 1/7 आणि नंतर 5/7 शोधा

3/4 पैकी 1/7 असे व्यक्त केले जाईल:

5/7 क्रमांक 3/4 खालीलप्रमाणे व्यक्त केले जातील:

अशा प्रकारे,

दुसरे उदाहरण: ५/८ वेळा ४/९.

५/८ चा १/९ आहे,

4/9 संख्या 5/8 आहेत.

अशा प्रकारे,

या उदाहरणांवरून, खालील नियम काढता येतात:

अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्‍यासाठी, तुम्‍हाला अंशाला अंशाने आणि भाजकाचा भाजकाने गुणाकार करणे आवश्‍यक आहे आणि पहिल्या गुणाकाराला अंश आणि दुस-या गुणाकाराला गुणाकार बनवावे लागेल.

हा नियम सर्वसाधारणपणे खालीलप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:

गुणाकार करताना, (शक्य असल्यास) कपात करणे आवश्यक आहे. उदाहरणे विचारात घ्या:

5. मिश्र संख्यांचा गुणाकार.मिश्र संख्या सहजपणे अयोग्य अपूर्णांकांद्वारे बदलली जाऊ शकत असल्याने, मिश्र संख्यांचा गुणाकार करताना ही परिस्थिती सहसा वापरली जाते. याचा अर्थ असा की ज्या प्रकरणांमध्ये गुणक, किंवा गुणक, किंवा दोन्ही घटक मिश्र संख्या म्हणून व्यक्त केले जातात, तेव्हा ते अयोग्य अपूर्णांकांद्वारे बदलले जातात. गुणाकार करा, उदाहरणार्थ, मिश्र संख्या: 2 1/2 आणि 3 1/5. आम्ही त्या प्रत्येकाला अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतरित करतो आणि नंतर आम्ही परिणामी अपूर्णांकांना अपूर्णांकाने गुणाकार करण्याच्या नियमानुसार गुणाकार करू:

नियम.मिश्र संख्यांचा गुणाकार करण्यासाठी, तुम्ही प्रथम त्यांना अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित केले पाहिजे आणि नंतर अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्याच्या नियमानुसार गुणाकार केला पाहिजे.

नोंद.जर घटकांपैकी एक पूर्णांक असेल, तर खालीलप्रमाणे वितरण कायद्यावर आधारित गुणाकार केला जाऊ शकतो:

6. व्याजाची संकल्पना.समस्या सोडवताना आणि विविध व्यावहारिक गणना करताना, आम्ही सर्व प्रकारचे अपूर्णांक वापरतो. परंतु एक लक्षात ठेवले पाहिजे की अनेक प्रमाण त्यांच्यासाठी कोणतेही नाही तर नैसर्गिक उपविभाग स्वीकारतात. उदाहरणार्थ, आपण रूबलचा शंभरावा (1/100) घेऊ शकता, तो एक पैसा असेल, दोनशेवा भाग 2 कोपेक्स असेल, तीन शंभरावा भाग 3 कोपेक्स असेल. तुम्ही रुबलचा 1/10 घेऊ शकता, ते "10 कोपेक्स किंवा एक डायम असेल. तुम्ही रुबलचा एक चतुर्थांश, म्हणजे 25 कोपेक्स, अर्धा रूबल, म्हणजे 50 कोपेक्स (पन्नास कोपेक्स) घेऊ शकता. परंतु ते व्यावहारिकरित्या डॉन आहेत. उदाहरणार्थ, 2/7 रूबल घेऊ नका कारण रूबल सातव्या भागात विभागलेला नाही.

वजन मोजण्याचे एकक, म्हणजे, किलोग्रॅम, सर्व प्रथम, दशांश उपविभागांना परवानगी देते, उदाहरणार्थ, 1/10 किलो, किंवा 100 ग्रॅम. आणि 1/6, 1/11, 1/ असे किलोग्रामचे अपूर्णांक. 13 असामान्य आहेत.

सर्वसाधारणपणे आमचे (मेट्रिक) उपाय दशांश आहेत आणि दशांश उपविभागांना परवानगी देतात.

तथापि, हे लक्षात घेतले पाहिजे की उपविभाजित परिमाणांची समान (एकसमान) पद्धत वापरणे विविध प्रकरणांमध्ये अत्यंत उपयुक्त आणि सोयीस्कर आहे. बर्‍याच वर्षांच्या अनुभवावरून असे दिसून आले आहे की अशी न्याय्य विभागणी म्हणजे "शतांश" विभागणी होय. मानवी सरावाच्या सर्वात वैविध्यपूर्ण क्षेत्रांशी संबंधित काही उदाहरणांचा विचार करूया.

1. पुस्तकांच्या किमती मागील किमतीच्या 12/100 ने कमी झाल्या आहेत.

उदाहरण. पुस्तकाची मागील किंमत 10 रूबल आहे. ती 1 रूबलने खाली गेली. 20 कोप.

2. बचत बँका वर्षभरात ठेवीदारांना बचतीमध्ये ठेवलेल्या रकमेच्या 2/100 रक्कम देतात.

उदाहरण. कॅश डेस्कमध्ये 500 रूबल ठेवले जातात, या रकमेतून वर्षभराचे उत्पन्न 10 रूबल आहे.

3. एका शाळेतील पदवीधरांची संख्या एकूण विद्यार्थ्यांच्या 5/100 होती.

उदाहरण केवळ 1,200 विद्यार्थ्यांनी शाळेत शिक्षण घेतले, त्यापैकी 60 विद्यार्थी शाळेतून पदवीधर झाले.

संख्येच्या शंभरव्या भागाला टक्केवारी म्हणतात..

"टक्के" हा शब्द लॅटिन भाषेतून घेतला गेला आहे आणि त्याचे मूळ "शत" म्हणजे शंभर. प्रीपोझिशन (प्रो सेंटम) सह, या शब्दाचा अर्थ "शंभरासाठी" असा होतो. या अभिव्यक्तीचा अर्थ असा होतो की प्राचीन रोममध्ये सुरुवातीला कर्जदाराने कर्जदाराला “प्रत्येक शंभरामागे” दिलेले पैसे व्याज होते. "सेंट" हा शब्द अशा परिचित शब्दांमध्ये ऐकला जातो: सेंटनर (शंभर किलोग्रॅम), सेंटीमीटर (ते सेंटीमीटर म्हणतात).

उदाहरणार्थ, मागील महिन्यात उत्पादन केलेल्या सर्व उत्पादनांपैकी 1/100 उत्पादन वनस्पतीने तयार केले असे म्हणण्याऐवजी, आम्ही असे म्हणू: मागील महिन्यात वनस्पतीने एक टक्के नकार दिला. असे म्हणण्याऐवजी: प्लांटने प्रस्थापित योजनेपेक्षा 4/100 अधिक उत्पादने तयार केली, आम्ही म्हणू: प्लांटने योजना 4 टक्क्यांनी ओलांडली.

वरील उदाहरणे वेगळ्या प्रकारे व्यक्त केली जाऊ शकतात:

1. पुस्तकांच्या किमती पूर्वीच्या किमतीच्या 12 टक्क्यांनी कमी झाल्या आहेत.

2. बचत बँका ठेवीदारांना बचतीत ठेवलेल्या रकमेच्या 2 टक्के दर वर्षी देतात.

3. एका शाळेतील पदवीधरांची संख्या शाळेतील सर्व विद्यार्थ्यांच्या संख्येच्या 5 टक्के होती.

अक्षर लहान करण्यासाठी, "टक्केवारी" शब्दाऐवजी% चिन्ह लिहिण्याची प्रथा आहे.

तथापि, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की % चिन्ह सहसा गणनामध्ये लिहिले जात नाही, ते समस्या विधानात आणि अंतिम निकालात लिहिले जाऊ शकते. गणना करताना, तुम्हाला या चिन्हासह पूर्णांकाऐवजी 100 च्या भाजकासह एक अपूर्णांक लिहावा लागेल.

तुम्हाला 100 च्या भाजक असलेल्या अपूर्णांकासह निर्दिष्ट चिन्हासह पूर्णांक पुनर्स्थित करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे:

याउलट, तुम्हाला 100 च्या भाजक असलेल्या अपूर्णांकाऐवजी सूचित चिन्हासह पूर्णांक लिहिण्याची सवय लावणे आवश्यक आहे:

7. दिलेल्या संख्येची टक्केवारी शोधणे.

कार्य १.शाळेला 200 घनमीटर मिळाले. मी सरपण, बर्च सरपण सह 30% खाते. बर्च झाडापासून तयार केलेले लाकूड किती होते?

या समस्येचा अर्थ असा आहे की बर्च फायरवुड हा फक्त शाळेत वितरित केलेल्या सरपणचा एक भाग होता आणि हा भाग 30/100 च्या अंश म्हणून व्यक्त केला जातो. तर, आपल्याला एका संख्येचा अंश शोधण्याचे काम तोंड द्यावे लागते. ते सोडवण्यासाठी, आपण 200 चा 30/100 ने गुणाकार केला पाहिजे (संख्येचा अपूर्णांक शोधण्याची कार्ये एका संख्येचा अपूर्णांकाने गुणाकार करून सोडवली जातात.).

तर 200 पैकी 30% म्हणजे 60.

या समस्येमध्ये आलेला अपूर्णांक 30/100 10 ने कमी केला जाऊ शकतो. ही कपात अगदी सुरुवातीपासून करणे शक्य होईल; समस्येचे समाधान बदलणार नाही.

कार्य २.शिबिरात विविध वयोगटातील 300 मुले सहभागी झाली होती. 11 वर्षे वयोगटातील मुले 21%, 12 वर्षे वयोगटातील मुले 61% आणि शेवटी 13 वर्षांची मुले 18% होती. शिबिरात प्रत्येक वयोगटातील किती मुले होती?

या समस्येमध्ये, आपल्याला तीन गणना करणे आवश्यक आहे, म्हणजे, 11 वर्षांची, नंतर 12 वर्षांची आणि शेवटी 13 वर्षांची मुलांची संख्या क्रमाने शोधा.

तर, येथे तीन वेळा संख्येचा अपूर्णांक शोधणे आवश्यक असेल. चला ते करूया:

1) 11 वर्षांची किती मुले होती?

2) 12 वर्षांची किती मुले होती?

3) 13 वर्षांची किती मुले होती?

समस्येचे निराकरण केल्यानंतर, सापडलेल्या संख्या जोडणे उपयुक्त आहे; त्यांची बेरीज 300 असावी:

63 + 183 + 54 = 300

आपण समस्येच्या स्थितीत दिलेल्या टक्केवारीची बेरीज 100 आहे याकडे देखील लक्ष दिले पाहिजे:

21% + 61% + 18% = 100%

हे सूचित करते की शिबिरातील एकूण मुलांची संख्या 100% घेतली गेली.

3 a da cha 3.कामगाराला दरमहा 1,200 रूबल मिळाले. यापैकी, त्याने 65% अन्नावर, 6% अपार्टमेंट आणि गरम करण्यासाठी, 4% गॅस, वीज आणि रेडिओवर, 10% सांस्कृतिक गरजांवर आणि 15% बचत केली. कार्यामध्ये दर्शविलेल्या गरजांवर किती पैसे खर्च केले गेले?

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, तुम्हाला 1,200 या संख्येचा 5 वेळा अंश शोधणे आवश्यक आहे. चला ते करूया.

1) जेवणासाठी किती पैसे खर्च होतात? टास्क सांगते की हा खर्च सर्व कमाईच्या ६५% आहे, म्हणजे १,२०० च्या ६५/१००. चला गणना करूया:

2) हीटिंगसह अपार्टमेंटसाठी किती पैसे दिले गेले? मागील प्रमाणेच वाद घालत, आम्ही खालील गणनेवर पोहोचतो:

3) तुम्ही गॅस, वीज आणि रेडिओसाठी किती पैसे दिले?

4) सांस्कृतिक गरजांसाठी किती पैसा खर्च होतो?

5) कामगाराने किती पैसे वाचवले?

पडताळणीसाठी, या 5 प्रश्नांमधील संख्या जोडणे उपयुक्त आहे. रक्कम 1,200 रूबल असावी. सर्व कमाई 100% म्हणून घेतली जाते, जी समस्या विधानात दिलेली टक्केवारी जोडून तपासणे सोपे आहे.

आम्ही तीन समस्या सोडवल्या आहेत. ही कामे वेगवेगळ्या गोष्टींबद्दल होती (शाळेसाठी सरपण, वेगवेगळ्या वयोगटातील मुलांची संख्या, कामगाराचा खर्च) बद्दल असूनही, ते त्याच प्रकारे सोडवले गेले. हे घडले कारण सर्व कार्यांमध्ये दिलेल्या संख्येपैकी काही टक्के शोधणे आवश्यक होते.

§ 90. अपूर्णांकांचे विभाजन.

अपूर्णांकांच्या विभाजनाचा अभ्यास करताना आपण खालील प्रश्नांचा विचार करू.

1. पूर्णांकाला पूर्णांकाने विभाजित करा.
2. पूर्णांकाने अपूर्णांकाचा भागाकार
3. पूर्णांकाचा अंशाने भागाकार.
4. अपूर्णांकाचे अपूर्णांकाने विभाजन.
5. मिश्र संख्यांचे विभाजन.
6. अपूर्णांक दिल्यास संख्या शोधणे.
7. टक्केवारीनुसार संख्या शोधणे.

चला त्यांचा क्रमाने विचार करूया.

1. पूर्णांकाला पूर्णांकाने विभाजित करा.

पूर्णांकांवरील विभागात दर्शविल्याप्रमाणे, भागाकार ही क्रिया आहे ज्यामध्ये दोन घटक (लाभांश) आणि या घटकांपैकी एक (विभाजक) यांचे उत्पादन दिलेले, दुसरा घटक आढळतो.

पूर्णांकाने पूर्णांकाची विभागणी आम्ही पूर्णांक विभागात विचारात घेतली. आम्ही तेथे भागाकाराची दोन प्रकरणे पाहिली: उर्वरित भागाशिवाय भागाकार किंवा "संपूर्णपणे" (150: 10 = 15), आणि उर्वरित भागाकार (100: 9 = 11 आणि 1 उर्वरित). म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की पूर्णांकांच्या क्षेत्रामध्ये, अचूक भागाकार नेहमीच शक्य नाही, कारण लाभांश हा नेहमी भागाकार आणि पूर्णांकाचा गुणाकार नसतो. अपूर्णांकाने गुणाकाराचा परिचय दिल्यानंतर, आपण पूर्णांकांच्या भागाकाराच्या कोणत्याही केसचा शक्य तितका विचार करू शकतो (केवळ शून्याने भागाकार वगळला आहे).

उदाहरणार्थ, 7 ला 12 ने भागणे म्हणजे 12 गुणाकार 7 असेल अशी संख्या शोधणे. ही संख्या 7/12 अपूर्णांक आहे कारण 7/12 12 = 7. दुसरे उदाहरण: 14: 25 = 14/25 कारण 14/25 25 = 14.

अशाप्रकारे, पूर्णांकाला पूर्णांकाने भागण्यासाठी, तुम्हाला एक अपूर्णांक बनवावा लागेल, ज्याचा अंश लाभांशाएवढा असेल आणि भाजक हा भागाकार असेल.

2. पूर्णांकाने अपूर्णांकाचा भागाकार.

अपूर्णांक 6/7 ला 3 ने विभाजित करा. वर दिलेल्या भागाकाराच्या व्याख्येनुसार, आपल्याकडे येथे उत्पादन (6/7) आणि घटकांपैकी एक आहे (3); असा दुसरा घटक शोधणे आवश्यक आहे की, 3 ने गुणाकार केल्यावर, दिलेले उत्पादन 6/7 देईल. अर्थात, ते या उत्पादनापेक्षा तीन पट लहान असावे. याचा अर्थ असा की आपल्यासमोर ठेवलेले कार्य 6/7 अपूर्णांक 3 वेळा कमी करायचे होते.

आम्हाला आधीच माहित आहे की अपूर्णांक कमी करणे हे त्याचे अंश कमी करून किंवा त्याचा भाजक वाढवून केले जाऊ शकते. म्हणून, आपण लिहू शकता:

या प्रकरणात, अंश 6 ला 3 ने भाग जातो, म्हणून अंश 3 वेळा कमी केला पाहिजे.

आणखी एक उदाहरण घेऊ: 5/8 भागिले 2. येथे अंश 5 ला 2 ने भाग जात नाही, याचा अर्थ भाजकाला या संख्येने गुणाकार करावा लागेल:

यावर आधारित, आम्ही नियम सांगू शकतो: अपूर्णांकाला पूर्णांकाने भागण्यासाठी, तुम्हाला त्या अपूर्णांकाचा अंश पूर्णांकाने भागणे आवश्यक आहे.(शक्य असेल तर), समान भाजक सोडून, किंवा अपूर्णांकाचा भाजक या संख्येने गुणाकार, समान अंश सोडून.

3. पूर्णांकाचा अंशाने भागाकार.

5 ला 1/2 ने भागणे आवश्यक आहे, म्हणजे अशी संख्या शोधा जी 1/2 ने गुणाकार केल्यावर गुणाकार 5 मिळेल. अर्थात, ही संख्या 5 पेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे, कारण 1/2 हा योग्य अपूर्णांक आहे, आणि एखाद्या संख्येचा योग्य अपूर्णांकाने गुणाकार करताना, गुणाकार गुणाकारापेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे. हे स्पष्ट करण्यासाठी, आपल्या क्रिया खालीलप्रमाणे लिहू: 5: 1 / 2 = एक्स , म्हणून x १ / २ \u003d ५.

अशी संख्या आपण शोधली पाहिजे एक्स , ज्याला, 1/2 ने गुणाकार केल्यावर, 5 मिळेल. विशिष्ट संख्येला 1/2 ने गुणणे म्हणजे या संख्येचा 1/2 शोधणे, म्हणून, अज्ञात संख्येचा 1/2 एक्स 5 आहे, आणि संपूर्ण संख्या एक्स दुप्पट, म्हणजे ५ २ \u003d १०.

तर 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

चला तपासूया:

आणखी एक उदाहरण पाहू. 6 ला 2/3 ने भागणे आवश्यक आहे. प्रथम रेखांकन वापरून इच्छित परिणाम शोधण्याचा प्रयत्न करूया (चित्र 19).

अंजीर.19

काही एककांपैकी 6 च्या बरोबरीचा AB खंड काढा आणि प्रत्येक एकक 3 समान भागांमध्ये विभाजित करा. प्रत्येक युनिटमध्ये, संपूर्ण विभागातील तीन-तृतियांश (3/3) AB 6 पट मोठा आहे, म्हणजे. e. 18/3. आम्ही लहान कंसांच्या मदतीने कनेक्ट करतो 18 प्राप्त केलेले विभाग 2; फक्त 9 विभाग असतील. याचा अर्थ असा की अपूर्णांक 2/3 हा b युनिट्समध्ये 9 वेळा समाविष्ट आहे, किंवा दुसऱ्या शब्दांत, 2/3 अपूर्णांक 6 पूर्णांक एककांपेक्षा 9 पट कमी आहे. त्यामुळे,

केवळ आकडेमोड वापरून रेखाचित्राशिवाय हा निकाल कसा मिळवायचा? आपण खालीलप्रमाणे युक्तिवाद करू: 6 ला 2/3 ने भागणे आवश्यक आहे, म्हणजे, 6 मध्ये किती वेळा 2/3 समाविष्ट आहे या प्रश्नाचे उत्तर देणे आवश्यक आहे. चला प्रथम शोधूया: 1/3 किती वेळा आहे 6 मध्ये समाविष्ट आहे? संपूर्ण युनिटमध्ये - 3 तृतीयांश, आणि 6 युनिट्समध्ये - 6 पट अधिक, म्हणजे 18 तृतीयांश; ही संख्या शोधण्यासाठी, आपण 6 चा 3 ने गुणाकार केला पाहिजे. म्हणून, 1/3 हा b युनिटमध्ये 18 वेळा समाविष्ट आहे आणि 2/3 हा b युनिटमध्ये 18 वेळा नाही तर अर्ध्या वेळा आहे, म्हणजे 18: 2 = 9 म्हणून, 6 ला 2/3 ने भागताना आम्ही खालील गोष्टी केल्या:

येथून पूर्णांकाला अपूर्णांकाने भागण्याचा नियम मिळतो. पूर्णांकाला अपूर्णांकाने भागण्यासाठी, आपल्याला या पूर्णांकाचा दिलेल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि या गुणाकाराचा अंश बनवून, दिलेल्या अपूर्णांकाच्या अंशाने भागाकार करणे आवश्यक आहे.

आम्ही अक्षरे वापरून नियम लिहितो:

हा नियम पूर्णपणे स्पष्ट करण्यासाठी, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की अपूर्णांक भागफल म्हणून मानला जाऊ शकतो. म्हणून, § 38 मध्ये सेट केलेल्या संख्येला भागाकाराने विभाजित करण्याच्या नियमाशी सापडलेल्या नियमाची तुलना करणे उपयुक्त आहे. हेच सूत्र तिथे मिळाले होते हे लक्षात घ्या.

विभाजित करताना, संक्षेप शक्य आहेत, उदाहरणार्थ:

4. अपूर्णांकाचे अपूर्णांकाने विभाजन.

3/4 ला 3/8 ने भागणे आवश्यक आहे. भागाकाराच्या परिणामी प्राप्त होणारी संख्या काय दर्शवेल? अपूर्णांक 3/4 मध्ये किती वेळा अपूर्णांक 3/8 समाविष्ट आहे या प्रश्नाचे उत्तर देईल. हा मुद्दा समजून घेण्यासाठी, एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 20).

AB खंड घ्या, त्याला एकक म्हणून घ्या, त्याचे 4 समान भाग करा आणि असे 3 भाग चिन्हांकित करा. सेगमेंट AC हे सेगमेंट AB च्या 3/4 च्या बरोबरीचे असेल. आता आपण चार प्रारंभिक खंडांपैकी प्रत्येक भाग अर्ध्यामध्ये विभागू या, नंतर खंड AB 8 समान भागांमध्ये विभागला जाईल आणि असा प्रत्येक भाग AB खंडाच्या 1/8 सारखा असेल. आम्ही असे ३ सेगमेंट आर्क्सने जोडतो, त्यानंतर प्रत्येक सेगमेंट AD आणि DC हे सेगमेंट AB च्या 3/8 सारखे असतील. रेखाचित्र दाखवते की 3/8 च्या बरोबरीचा सेगमेंट 3/4 च्या बरोबरीने 2 वेळा आहे; तर विभागणीचा निकाल याप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आणखी एक उदाहरण पाहू. 15/16 ला 3/32 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे:

आपण असे तर्क करू शकतो: आपल्याला अशी संख्या शोधण्याची आवश्यकता आहे जी 3 / 32 ने गुणाकार केल्यानंतर, 15 / 16 च्या समान उत्पादन देईल. चला अशा प्रकारे गणना लिहू:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात क्रमांक एक्स 15/16 बनवा

1/32 अज्ञात क्रमांक एक्स आहे,

32 / 32 संख्या एक्स मेक अप

त्यामुळे,

अशाप्रकारे, अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने भागण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश दुसऱ्याच्या भाजकाने गुणाकार करावा लागेल आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक दुसऱ्याच्या अंशाने गुणाकार करावा लागेल आणि पहिल्या गुणाकाराचा अंश बनवावा लागेल. दुसरा भाजक.

अक्षरे वापरून नियम लिहू:

विभाजित करताना, संक्षेप शक्य आहेत, उदाहरणार्थ:

5. मिश्र संख्यांचे विभाजन.

मिश्र संख्यांचे विभाजन करताना, त्यांना प्रथम अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे आणि नंतर परिणामी अपूर्णांक अपूर्णांक संख्या विभाजित करण्याच्या नियमांनुसार विभागले जावेत. एक उदाहरण विचारात घ्या:

मिश्र संख्यांना अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करा:

आता विभाजित करूया:

अशाप्रकारे, मिश्र संख्यांना विभाजित करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतर करणे आवश्यक आहे आणि नंतर अपूर्णांक विभाजित करण्याच्या नियमानुसार विभाजित करणे आवश्यक आहे.

6. अपूर्णांक दिल्यास संख्या शोधणे.

अपूर्णांकांवरील विविध कार्यांमध्ये, कधीकधी अशी कार्ये असतात ज्यात अज्ञात संख्येच्या काही अंशांचे मूल्य दिले जाते आणि ही संख्या शोधणे आवश्यक असते. या प्रकारची समस्या दिलेल्या संख्येचा अंश शोधण्याच्या समस्येच्या उलट असेल; तेथे एक संख्या दिली होती आणि या संख्येचा काही अंश शोधणे आवश्यक होते, येथे एका संख्येचा अंश दिलेला आहे आणि ही संख्या स्वतः शोधणे आवश्यक आहे. या प्रकारच्या समस्येच्या निराकरणाकडे वळल्यास ही कल्पना अधिक स्पष्ट होईल.

कार्य १.पहिल्या दिवशी, ग्लेझियर्सने 50 खिडक्या चकाकल्या, जे बांधलेल्या घराच्या सर्व खिडक्यांपैकी 1/3 आहे. या घरात किती खिडक्या आहेत?

उपाय.समस्या म्हणते की 50 चकचकीत खिडक्या घराच्या सर्व खिडक्यांपैकी 1/3 बनवतात, म्हणजे एकूण 3 पट अधिक खिडक्या आहेत, म्हणजे.

घराला 150 खिडक्या होत्या.

कार्य २.दुकानात 1,500 किलो पीठ विकले गेले, जे दुकानातील एकूण पिठाच्या 3/8 आहे. दुकानात पिठाचा प्रारंभिक पुरवठा काय होता?

उपाय.समस्येच्या स्थितीवरून हे लक्षात येते की विकले गेलेले 1,500 किलो पीठ एकूण साठ्याच्या 3/8 बनते; याचा अर्थ असा की या स्टॉकचा 1/8 भाग 3 पट कमी असेल, म्हणजेच त्याची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला 1500 ने 3 पट कमी करणे आवश्यक आहे:

1,500: 3 = 500 (हे स्टॉकच्या 1/8 आहे).

साहजिकच, संपूर्ण स्टॉक 8 पट मोठा असेल. त्यामुळे,

५०० ८ \u003d ४,००० (किलो).

स्टोअरमध्ये पिठाचा प्रारंभिक पुरवठा 4,000 किलो होता.

या समस्येचा विचार करून, खालील नियम काढता येतो.

अपूर्णांकाच्या दिलेल्या मूल्याद्वारे संख्या शोधण्यासाठी, हे मूल्य अपूर्णांकाच्या अंशाने विभाजित करणे आणि परिणाम अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करणे पुरेसे आहे.

संख्या शोधण्यासाठी आम्ही दोन समस्या सोडवल्या आहेत ज्याचा अपूर्णांक दिला आहे. अशा समस्या, जसे की ते विशेषतः शेवटच्या समस्यांपासून चांगले दिसतात, दोन क्रियांद्वारे सोडवले जातात: भागाकार (जेव्हा एक भाग आढळतो) आणि गुणाकार (जेव्हा संपूर्ण संख्या आढळते).

तथापि, आपण अपूर्णांकांच्या विभाजनाचा अभ्यास केल्यानंतर, वरील समस्या एकाच क्रियेत सोडवल्या जाऊ शकतात, म्हणजे: अपूर्णांकाने भागाकार.

उदाहरणार्थ, शेवटचे कार्य यासारख्या एका क्रियेत सोडवले जाऊ शकते:

भविष्यात, आम्ही एका क्रियेत - भागाकाराने संख्या शोधण्याची समस्या सोडवू.

7. टक्केवारीनुसार संख्या शोधणे.

या कार्यांमध्ये, आपल्याला या संख्येतील काही टक्के जाणून घेऊन एक संख्या शोधण्याची आवश्यकता असेल.

कार्य १.या वर्षाच्या सुरूवातीस, मला बचत बँकेकडून 60 रूबल मिळाले. एका वर्षापूर्वी मी बचतीमध्ये ठेवलेल्या रकमेतून मिळणारे उत्पन्न. मी बचत बँकेत किती पैसे ठेवले? (रोख कार्यालये ठेवीदारांना दरवर्षी उत्पन्नाच्या 2% देतात.)

समस्येचा अर्थ असा आहे की मी एका बचत बँकेत ठराविक रक्कम ठेवली होती आणि एक वर्षासाठी तेथे ठेवली होती. एका वर्षानंतर, मला तिच्याकडून 60 रूबल मिळाले. उत्पन्न, जे मी टाकलेल्या पैशाच्या 2/100 आहे. मी किती पैसे जमा केले?

म्हणून, या पैशाचा भाग जाणून घेतल्यास, दोन प्रकारे व्यक्त केला जातो (रुबल आणि अपूर्णांकांमध्ये), आपल्याला संपूर्ण, अद्याप अज्ञात, रक्कम शोधली पाहिजे. अपूर्णांक दिल्यास संख्या शोधण्याची ही एक सामान्य समस्या आहे. खालील कार्ये विभागणीद्वारे सोडविली जातात:

तर, 3,000 रूबल बचत बँकेत टाकण्यात आले.

कार्य २.दोन आठवड्यांत, मच्छिमारांनी 512 टन मासे तयार करून मासिक योजना 64% ने पूर्ण केली. त्यांची योजना काय होती?

समस्येच्या स्थितीवरून, हे माहित आहे की मच्छिमारांनी योजनेचा काही भाग पूर्ण केला. हा भाग 512 टन इतका आहे, जो योजनेच्या 64% आहे. आराखड्यानुसार किती टन मासळी काढावी लागेल, हे माहीत नाही. समस्येचे निराकरण हा नंबर शोधण्यात असेल.

अशी कार्ये विभाजित करून सोडविली जातात:

तर, योजनेनुसार, आपल्याला 800 टन मासे तयार करण्याची आवश्यकता आहे.

कार्य 3.ट्रेन रीगाहून मॉस्कोला गेली. जेव्हा त्याने 276 वा किलोमीटर पार केले तेव्हा एका प्रवाशाने पासिंग कंडक्टरला विचारले की त्यांनी आधीच किती प्रवास केला आहे. यावर कंडक्टरने उत्तर दिले: “आम्ही आधीच संपूर्ण प्रवासाचा 30% कव्हर केला आहे.” रीगा ते मॉस्कोचे अंतर किती आहे?

समस्येच्या स्थितीवरून हे पाहिले जाऊ शकते की रीगा ते मॉस्कोपर्यंतचा 30% प्रवास 276 किमी आहे. आम्हाला या शहरांमधील संपूर्ण अंतर शोधण्याची आवश्यकता आहे, म्हणजे, या भागासाठी, संपूर्ण शोधा:

§ 91. परस्पर संख्या. भागाकाराच्या जागी गुणाकार.

अपूर्णांक 2/3 घ्या आणि भाजकाच्या ठिकाणी अंशाची पुनर्रचना करा, आपल्याला 3/2 मिळेल. आम्हाला एक अपूर्णांक मिळाला, याच्या परस्पर.

दिलेल्या अपूर्णांकाचा परस्परसंबंध मिळवण्यासाठी, तुम्हाला त्याचा अंश भाजकाच्या जागी आणि भाजक अंशाच्या जागी ठेवण्याची आवश्यकता आहे. अशाप्रकारे, आपण कोणत्याही अपूर्णांकाचा परस्परसंबंध असलेला अपूर्णांक मिळवू शकतो. उदाहरणार्थ:

3 / 4 , उलट 4 / 3 ; ५/६, उलट ६/५

पहिल्याचा अंश हा दुसऱ्याचा भाजक आणि पहिल्याचा भाजक हा दुसऱ्याचा अंश असा गुणधर्म असलेल्या दोन अपूर्णांकांना म्हणतात. परस्पर उलट.

आता १/२ चा अपूर्णांक कोणता असेल याचा विचार करू. अर्थात, ते 2/1 किंवा फक्त 2 असेल. याचा परस्परसंबंध शोधत असताना, आम्हाला एक पूर्णांक मिळाला. आणि हे प्रकरण वेगळे नाही; याउलट, 1 (एक) च्या अंश असलेल्या सर्व अपूर्णांकांसाठी, परस्परसंख्या पूर्णांक असतील, उदाहरणार्थ:

1 / 3, व्यस्त 3; १/५, उलट ५

पारस्परिकता शोधताना आम्ही पूर्णांकांसह देखील भेटलो, भविष्यात आम्ही परस्परांबद्दल नाही तर परस्परांबद्दल बोलू.

पूर्ण संख्येचा परस्परसंवाद कसा लिहायचा ते शोधू. अपूर्णांकांसाठी, हे सहजपणे सोडवले जाते: तुम्हाला अंशाच्या जागी भाजक ठेवणे आवश्यक आहे. त्याच प्रकारे, तुम्ही पूर्णांकाचा परस्परसंबंध मिळवू शकता, कारण कोणत्याही पूर्णांकाचा भाजक 1 असू शकतो. म्हणून 7 चा परस्परसंवाद 1 / 7 असेल, कारण 7 \u003d 7 / 1; 10 क्रमांकासाठी 10 = 10 / 1 पासून उलट 1/10 आहे

ही कल्पना वेगळ्या प्रकारे व्यक्त केली जाऊ शकते: दिलेल्या संख्येचा परस्परसंख्येला दिलेल्या संख्येने एक भाग करून प्राप्त होतो. हे विधान केवळ पूर्णांकांसाठीच नाही तर अपूर्णांकांसाठीही खरे आहे. खरंच, जर तुम्हाला 5/9 अपूर्णांकाची परस्परसंख्या लिहायची असेल, तर आपण 1 घेऊ शकतो आणि त्याला 5/9 ने भागू शकतो, म्हणजे.

आता एक निदर्शनास आणू मालमत्तापरस्पर परस्पर संख्या, जे आमच्यासाठी उपयुक्त ठरतील: परस्पर परस्परसंख्येचे गुणन एक समान असते.खरंच:

या मालमत्तेचा वापर करून, आम्ही खालील प्रकारे परस्परसंबंध शोधू शकतो. चला 8 चे परस्परसंबंध शोधू.

ते अक्षराने दर्शवू एक्स , नंतर 8 एक्स = 1, म्हणून एक्स = 1 / 8 . चला दुसरी संख्या शोधू, 7/12 चा व्यस्त, एका अक्षराने दर्शवू एक्स , नंतर 7/12 एक्स = 1, म्हणून एक्स = 1:7 / 12 किंवा एक्स = 12 / 7 .

अपूर्णांकांच्या विभाजनाविषयी माहितीची थोडीशी पूर्तता करण्यासाठी आम्ही येथे परस्पर संख्यांची संकल्पना मांडली आहे.

जेव्हा आपण संख्या 6 ला 3/5 ने विभाजित करतो, तेव्हा आपण पुढील गोष्टी करतो:

अभिव्यक्तीकडे विशेष लक्ष द्या आणि दिलेल्या शब्दाशी त्याची तुलना करा: .

जर आपण मागील अभिव्यक्तीशी संबंध न ठेवता स्वतंत्रपणे अभिव्यक्ती घेतली तर ती कोठून आली या प्रश्नाचे निराकरण करणे अशक्य आहे: 6 ला 3/5 ने विभाजित करणे किंवा 6 ला 5/3 ने गुणाकार करणे. दोन्ही प्रकरणांमध्ये परिणाम समान आहे. म्हणून आपण म्हणू शकतो एका संख्‍येला दुसर्‍या संख्‍येने भागणे हे विभाजकाच्या परस्परसंख्येने लाभांश गुणाकार करून बदलले जाऊ शकते.

आम्ही खाली दिलेली उदाहरणे या निष्कर्षाची पूर्ण पुष्टी करतात.

पूर्णांक समाविष्ट असलेल्या अपूर्णांकांसह क्रियांचे जवळून निरीक्षण करूया:

जेथे भाजक भिन्न आहेत अशा अभिव्यक्तीचे मूल्य कसे शोधायचे

ज्यांचे भाजक समान आहेत ते अपूर्णांक कसे वजा करायचे

अपूर्णांक वजा करण्याची उदाहरणे ज्यांचे भाजक समान आहेत

समान भाजकासह अपूर्णांक जोडणे

भिन्न भाजक आणि त्यांची वजाबाकी असलेले अपूर्णांक

अपूर्णांक गुणधर्म

एकाच भाजकावर अनेक अपूर्णांक कसे आणायचे

वेगवेगळ्या भाजकांसह अपूर्णांक कसे वजा करायचे आणि जोडायचे

वजाबाकी आणि पूर्णांक भाग असणे

पूर्ण संख्येतून अपूर्णांक वजा करणे

संपादकाची निवड