जागा अपघाती आहे का? फासे ऑनलाइन फासे पडणे कमी-अधिक यादृच्छिक कसे बनवायचे.

यादृच्छिकतेचे तीन नियम काय आहेत आणि अप्रत्याशितता आपल्याला सर्वात विश्वासार्ह भविष्यवाणी करण्याची क्षमता का देते.

आपले मन सर्व शक्तीनिशी संधीच्या कल्पनेला विरोध करते. एक प्रजाती म्हणून आपल्या उत्क्रांतीच्या काळात, आपण प्रत्येक गोष्टीत कारण-आणि-परिणाम संबंध शोधण्याची क्षमता विकसित केली आहे. विज्ञानाच्या उदयापूर्वी, आम्हाला आधीच माहित होते की किरमिजी-लाल सूर्यास्त एक धोकादायक वादळ दर्शवतो आणि बाळाच्या चेहऱ्यावर तापदायक लाली म्हणजे त्याच्या आईला कठीण रात्र असेल. आमची मने आपोआप प्राप्त झालेल्या डेटाची रचना अशा प्रकारे करण्याचा प्रयत्न करतात की ते आम्हाला आमच्या निरीक्षणांमधून निष्कर्ष काढण्यास मदत करतात आणि त्या निष्कर्षांचा वापर घटना समजून घेण्यासाठी आणि अंदाज लावण्यासाठी करतात.

यादृच्छिकतेची कल्पना स्वीकारणे खूप कठीण आहे कारण ती मूलभूत अंतःप्रेरणाशी विरोध करते ज्यामुळे आपल्याला आपल्या सभोवतालच्या जगात तर्कसंगत नमुने शोधता येतात. आणि शक्यता फक्त आम्हाला दाखवतात की असे नमुने अस्तित्वात नाहीत. याचा अर्थ असा आहे की संधी मूलभूतपणे आपल्या अंतर्ज्ञानास मर्यादित करते, कारण ते सिद्ध करते की अशा प्रक्रिया आहेत, ज्याचा आपण पूर्ण अंदाज लावू शकत नाही. ही संकल्पना स्वीकारणे सोपे नाही, जरी ती विश्वाच्या यंत्रणेचा एक आवश्यक भाग आहे. यादृच्छिकता म्हणजे काय हे समजून घेतल्याशिवाय, आपण पूर्णपणे अंदाज लावता येण्याजोग्या जगाच्या मृत अवस्थेत सापडतो, जे आपल्या कल्पनेच्या पलीकडे अस्तित्वात नाही.

मी असे म्हणेन की जेव्हा आपण तीन सूचकांवर प्रभुत्व मिळवू - यादृच्छिकतेचे तीन नियम - तेव्हाच आपण भविष्यवाणी करण्याच्या आपल्या आदिम इच्छेपासून स्वतःला मुक्त करू आणि विश्व जसे आहे तसे स्वीकारू शकू, आणि आपल्याला ते पहायचे आहे तसे नाही.

यादृच्छिकता अस्तित्वात आहे

यादृच्छिकतेचा सामना करण्यासाठी आम्ही कोणतीही मानसिक यंत्रणा वापरतो. आम्ही कर्माबद्दल बोलत आहोत, या वैश्विक समतुल्यबद्दल, जे स्पष्टपणे असंबंधित गोष्टींना जोडते. आम्ही चांगल्या आणि वाईट चिन्हांवर विश्वास ठेवतो, "देव ट्रिनिटीवर प्रेम करतो" या वस्तुस्थितीत, आम्ही दावा करतो की आम्ही ताऱ्यांचे स्थान, चंद्राचे टप्पे आणि ग्रहांच्या हालचालींनी प्रभावित आहोत. आम्हाला कर्करोगाचे निदान झाल्यास, आम्ही आपोआपच एखाद्याला (किंवा कोणालातरी) दोष देण्याचा प्रयत्न करतो.

परंतु अनेक घटनांचा पूर्ण अंदाज किंवा उलगडा करता येत नाही. आपत्ती अप्रत्याशितपणे घडतात आणि चांगल्या आणि वाईट दोन्ही लोकांना त्रास होतो, ज्यांचा जन्म "भाग्यवान ताऱ्याखाली" किंवा "अनुकूल चिन्हाखाली" झाला होता. काहीवेळा आपण एखाद्या गोष्टीचा अंदाज लावू शकतो, परंतु संधी अगदी विश्वासार्ह अंदाज देखील सहजपणे नाकारू शकते. तुमचा लठ्ठ शेजारी जो नॉन-स्टॉप स्मोकिंग बेपर्वा बाइकर आहे तो तुमच्यापेक्षा जास्त काळ जगला तर आश्चर्यचकित होऊ नका.

शिवाय, यादृच्छिक घटना यादृच्छिक नसल्याचा आव आणू शकतात. अगदी समजूतदार शास्त्रज्ञालाही वास्तविक परिणाम आणि यादृच्छिक चढ-उतार यांच्यातील फरक ओळखण्यात अडचण येऊ शकते. शक्यता प्लेसबॉसला जादूच्या उपचारात आणि निरुपद्रवी संयुगे घातक विषात बदलू शकते; आणि शून्यातूनही सबअॅटॉमिक कण तयार करू शकतात.

काही घटना सांगता येत नाहीत

जर तुम्ही लास वेगासमधील कॅसिनोमध्ये गेलात आणि जुगाराच्या टेबलावर खेळाडूंची गर्दी पाहिली तर तुम्हाला कदाचित कोणीतरी दिसेल ज्याला वाटते की आज ते भाग्यवान आहेत. तो सलग अनेक वेळा जिंकला, आणि त्याचा मेंदू त्याला खात्री देतो की तो जिंकत राहील, म्हणून खेळाडू बेट लावत राहतो. तुम्हाला नुकतेच हरवलेले कोणीतरी देखील दिसेल. विजेत्याच्या मेंदूप्रमाणेच पराभूताचा मेंदूही त्याला खेळ सुरू ठेवण्याचा सल्ला देतो: तुम्ही सलग अनेक वेळा हरलात, आता ते भाग्यवान होण्यास सुरुवात होईल. आता निघून ही संधी गमावणे मूर्खपणाचे आहे.

परंतु आपला मेंदू आपल्याला काय सांगतो हे महत्त्वाचे नाही, अशी कोणतीही गूढ शक्ती नाही जी आपल्याला "नशिबाची लकीर" प्रदान करू शकते, किंवा सार्वत्रिक न्याय देऊ शकत नाही ज्यामुळे हरणारा शेवटी जिंकू लागतो. आपण जिंकलो किंवा हरलो याबद्दल विश्व पूर्णपणे उदासीन आहे; तिच्यासाठी, फासेचे सर्व रोल समान आहेत.

फासे पुन्हा कसे खाली आले याचे निरीक्षण करण्यासाठी तुम्ही कितीही प्रयत्न केलेत, आणि ज्या खेळाडूंना त्यांचे नशीब चालवण्यात यश आले आहे, असा विश्वास असलेल्या खेळाडूंची तुम्ही कितीही बारकाईने तपासणी केली तरीही, पुढील थ्रोबाबत तुम्हाला कोणतीही माहिती मिळणार नाही. प्रत्येक थ्रोचा निकाल मागील थ्रोच्या इतिहासापेक्षा पूर्णपणे स्वतंत्र असतो. त्यामुळे, खेळ पाहून फायदा मिळवण्याची कोणतीही अपेक्षा अयशस्वी ठरते. अशा घटना - कोणत्याही गोष्टीपासून स्वतंत्र आणि पूर्णपणे यादृच्छिक - स्वतःला नमुने शोधण्याच्या कोणत्याही प्रयत्नांना उधार देऊ नका, कारण हे नमुने अस्तित्त्वात नाहीत.

यादृच्छिकता मानवी कल्पकतेच्या मार्गात अडथळा आणते, कारण ते दाखवते की आपले सर्व तर्कशास्त्र, आपले सर्व विज्ञान आणि तर्क करण्याची क्षमता विश्वाच्या वर्तनाचा पूर्णपणे अंदाज लावू शकत नाही. तुम्ही कोणत्याही पद्धती वापरता, कोणताही सिद्धांत तुम्ही शोधलात, फासे रोलच्या निकालाचा अंदाज लावण्यासाठी तुम्ही कोणतेही तर्कशास्त्र वापरता, तुम्ही सहा पैकी पाच वेळा गमावाल. नेहमी असते.

वैयक्तिक इव्हेंट नसले तरीही यादृच्छिक घटनांचा एक जटिल अंदाज आहे

यादृच्छिकता भयावह आहे, ते अगदी अत्याधुनिक सिद्धांतांची विश्वासार्हता मर्यादित करते आणि निसर्गाचे काही घटक आपल्यापासून लपवतात, आपण कितीही सतत त्यांच्या सारात प्रवेश करण्याचा प्रयत्न केला तरीही. असे असले तरी, असा युक्तिवाद केला जाऊ शकत नाही की यादृच्छिक हा अज्ञात साठी समानार्थी शब्द आहे. असे अजिबात नाही.

यादृच्छिकता त्याच्या स्वतःच्या नियमांचे पालन करते आणि हे नियम यादृच्छिक प्रक्रिया समजण्यायोग्य आणि अंदाज करण्यायोग्य बनवतात.

मोठ्या संख्येचा कायदा सांगतो की एकल यादृच्छिक घटना पूर्णपणे अप्रत्याशित असल्या तरी, या घटनांचा पुरेसा मोठा नमुना अंदाज करण्यायोग्य असू शकतो - आणि नमुना जितका मोठा असेल तितका अंदाज अधिक अचूक असेल. आणखी एक शक्तिशाली गणितीय साधन, मध्यवर्ती मर्यादा प्रमेये, हे देखील दर्शविते की पुरेशा मोठ्या संख्येने यादृच्छिक चलांच्या बेरजेचे वितरण सामान्याच्या जवळ असेल. या साधनांच्या सहाय्याने, आम्ही दीर्घकालीन घटनांचा अचूक अंदाज लावू शकतो, मग त्या अल्पावधीत कितीही गोंधळलेल्या, विचित्र आणि यादृच्छिक असल्या तरी.

संधीचे नियम इतके शक्तिशाली आहेत की त्यांनी भौतिकशास्त्राच्या सर्वात अचल आणि न बदलणाऱ्या नियमांचा आधार बनवला. गॅसच्या कंटेनरमधील अणू अव्यवस्थितपणे फिरत असले तरी, त्यांच्या सामान्य वर्तनाचे वर्णन एका साध्या समीकरणाद्वारे केले जाते. थर्मोडायनामिक्सचे नियम देखील मोठ्या संख्येने यादृच्छिक घटनांच्या अंदाजानुसार पुढे जातात; हे कायदे तंतोतंत अचल आहेत कारण यादृच्छिकता खूप निरपेक्ष आहे.

विरोधाभास म्हणजे, ही यादृच्छिक घटनांची अनिश्चितता आहे जी आम्हाला आमची सर्वात विश्वासार्ह भविष्यवाणी करण्यास सक्षम करते.

डिझायनर टायलर सिग्मन यांनी गामासूत्रावर लिहिलेले. मी त्याला प्रेमाने "ओर्कच्या नाकपुड्यातील केस" लेख म्हणतो, परंतु गेममधील संभाव्यतेच्या मूलभूत गोष्टी मांडण्याचे ते खूप चांगले काम करते.

या आठवड्याचा विषय

आजपर्यंत, आम्ही ज्याबद्दल बोललो ते जवळजवळ प्रत्येक गोष्ट निर्धारवादी आहे आणि गेल्या आठवड्यात आम्ही संक्रमणात्मक यांत्रिकीकडे बारकाईने लक्ष दिले आणि मी ते स्पष्ट करू शकेन तितक्या तपशीलाने ते क्रमवारी लावले. परंतु आत्तापर्यंत, आम्ही बर्‍याच खेळांच्या एका मोठ्या पैलूकडे लक्ष दिले नाही, म्हणजे अ-निर्धारित पैलू, दुसऱ्या शब्दांत, यादृच्छिकता. यादृच्छिकतेचे स्वरूप समजून घेणे गेम डिझायनर्ससाठी खूप महत्वाचे आहे कारण आम्ही दिलेल्या गेममधील खेळाडूच्या अनुभवावर परिणाम करणारी प्रणाली तयार करतो, म्हणून आम्हाला या प्रणाली कशा कार्य करतात हे जाणून घेणे आवश्यक आहे. प्रणालीमध्ये यादृच्छिकता असल्यास, आपल्याला समजून घेणे आवश्यक आहे निसर्गही यादृच्छिकता आणि आम्हाला आवश्यक परिणाम मिळविण्यासाठी ते कसे बदलावे.

फासा

चला सोप्या गोष्टीपासून सुरुवात करूया: फासे फिरवणे. जेव्हा बहुतेक लोक फासाचा विचार करतात, तेव्हा ते सहा बाजूंनी d6 म्हणून ओळखल्या जाणार्‍या डाईचा विचार करतात. परंतु बहुतेक गेमर्सनी इतर अनेक फासे पाहिले आहेत: टेट्राहेड्रल (d4), अष्टहेड्रल (d8), बारा (d12), वीस (d20) ... आणि जर तुम्ही वास्तविकगीक, तुमच्याकडे कुठेतरी 30-बाजूची किंवा 100-बाजूची हाडे असू शकतात. जर तुम्हाला या शब्दावलीशी अपरिचित असेल तर, “d” चा अर्थ मरणे, आणि त्यानंतरची संख्या, त्याचे किती चेहरे आहेत. तर समोर"डी" म्हणजे संख्या, याचा अर्थ संख्याफेकल्यावर फासे. उदाहरणार्थ, मोनोपॉलीमध्ये, तुम्ही 2d6 रोल करा.

तर, या प्रकरणात, वाक्यांश "पासे" एक परंपरागत पदनाम आहे. इतर अनेक यादृच्छिक संख्या जनरेटर आहेत जे प्लास्टिकच्या गुठळ्याच्या आकारात नसतात, परंतु 1 ते n पर्यंत यादृच्छिक संख्या तयार करण्याचे समान कार्य करतात. एक सामान्य नाणे देखील d2 dihedral म्हणून विचारात घेतले जाऊ शकते. मला सात बाजूंच्या फासाच्या दोन डिझाईन्स दिसल्या: एक फासासारखा दिसत होता आणि दुसरा सात बाजूंच्या लाकडी पेन्सिलसारखा दिसत होता. टेट्राहेड्रल ड्रायडेल (ज्याला टिटोटम देखील म्हणतात) हे टेट्राहेड्रल हाडासारखे आहे. “च्युट्स अँड लॅडर्स” या गेममध्ये फिरणारे बाण असलेले खेळाचे मैदान, जिथे निकाल 1 ते 6 पर्यंत असू शकतो, हे षटकोनी डायशी संबंधित आहे. संगणकात 19-बाजूचे फासे नसले तरीही डिझाइनरने अशी आज्ञा विचारल्यास संगणकातील यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर 1 ते 19 पर्यंत कोणतीही संख्या तयार करू शकतो (सर्वसाधारणपणे, मी संख्या मिळविण्याच्या संभाव्यतेबद्दल अधिक तपशीलवार बोलेन. येथे संगणकावर पुढेआठवडा). हे सर्व आयटम भिन्न दिसत असले तरी ते प्रत्यक्षात सारखेच आहेत: तुम्हाला अनेक परिणामांपैकी एक मिळण्याची समान संधी आहे.

फासेमध्ये काही मनोरंजक गुणधर्म आहेत ज्याबद्दल आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे. प्रथम, कोणताही चेहरा पडण्याची शक्यता सारखीच असते (मी गृहीत धरत आहे की तुम्ही योग्य डाय रोल करत आहात, अनियमित भौमितिक आकार नाही). अशा प्रकारे, जर तुम्हाला जाणून घ्यायचे असेल अर्थथ्रो (ज्यांना संभाव्यतेच्या विषयाची आवड आहे त्यांच्यामध्ये "गणितीय अपेक्षित" म्हणून देखील ओळखले जाते), सर्व कडांच्या मूल्यांची बेरीज करा आणि या बेरीजला भागा संख्याचेहरे प्रमाणित हेक्स डाइससाठी सरासरी रोल 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 आहे, 21/6 = 3.5 ची सरासरी मिळविण्यासाठी किनार्यांच्या संख्येने (6) भागा. हे एक विशेष प्रकरण आहे कारण आम्ही असे गृहीत धरतो की सर्व परिणाम समान शक्यता आहेत.

तुमच्याकडे विशेष फासे असल्यास काय? उदाहरणार्थ, मी एक षटकोनी फासे असलेला खेळ पाहिला ज्याच्या काठावर विशेष स्टिकर्स आहेत: 1, 1, 1, 2, 2, 3, त्यामुळे तो एका विचित्र त्रिकोणी फासेसारखा वागतो ज्यामध्ये 2 पेक्षा 1 क्रमांक मिळण्याची चांगली संधी आहे, आणि 2 पेक्षा 3. या डायसाठी सरासरी रोल मूल्य किती आहे? तर, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, 6 ने भागा, 5/3 किंवा सुमारे 1.66. त्यामुळे जर तुमच्याकडे असा स्पेशल डाय असेल आणि खेळाडू तीन फासे टाकतील आणि नंतर निकाल जोडतील, तर तुम्हाला माहित आहे की त्यांची अंदाजे एकूण संख्या सुमारे 5 असेल आणि तुम्ही या गृहीतकावर आधारित गेम संतुलित करू शकता.

फासे आणि स्वातंत्र्य

मी म्हटल्याप्रमाणे, प्रत्येक चेहरा बाहेर पडण्याची तितकीच शक्यता आहे या गृहितकातून आम्ही पुढे जातो. तुम्ही किती फासे रोल करता याने काही फरक पडत नाही. फासे प्रत्येक रोल जे काही, याचा अर्थ असा की मागील थ्रोचा नंतरच्या परिणामांवर परिणाम करत नाही. पुरेशा चाचण्यांसह, आपण आवश्यक आहे सूचनासंख्यांची “मालिका”, जसे की मुख्यतः मोठ्या किंवा लहान मूल्यांमधून बाहेर पडणे, किंवा इतर वैशिष्ट्ये, आणि आम्ही त्याबद्दल नंतर बोलू, परंतु याचा अर्थ असा नाही की फासे “गरम” किंवा “थंड” आहेत. जर तुम्ही प्रमाणित सहा बाजू असलेला डाय रोल केला आणि क्रमांक 6 सलग दोन वेळा आला, तर पुढील रोलचा परिणाम 6 होण्याची शक्यता देखील 1/6 आहे. क्यूब “वॉर्म अप” झाल्यामुळे संभाव्यता वाढलेली नाही. संभाव्यता कमी होत नाही, कारण क्रमांक 6 आधीच सलग दोन वेळा बाहेर पडला आहे, याचा अर्थ आता दुसरा चेहरा बाहेर पडेल. (अर्थात, जर तुम्ही वीस वेळा फासे फिरवले आणि प्रत्येक वेळी 6 क्रमांक आला तर, एकविसाव्या वेळी 6 क्रमांक मिळण्याची शक्यता खूपच जास्त आहे ... कारण कदाचित याचा अर्थ तुमच्याकडे चुकीचा फासा असेल!) पण तुमच्याकडे योग्य फासे असल्यास, इतर रोलच्या निकालांची पर्वा न करता प्रत्येक चेहऱ्यावरून पडण्याची शक्यता सारखीच असते. तुम्ही अशी कल्पना देखील करू शकता की प्रत्येक वेळी आम्ही डाय बदलतो, म्हणून जर क्रमांक 6 सलग दोनदा आला, तर गेममधून “हॉट” डाय काढून टाका आणि त्याच्या जागी नवीन सहा-बाजू असलेला डाय लावा. तुमच्यापैकी कोणाला याबद्दल आधीच माहिती असल्यास मी दिलगीर आहोत, परंतु मला पुढे जाण्यापूर्वी हे स्पष्ट करणे आवश्यक आहे.

फासे कमी-अधिक यादृच्छिक कसे पडायचे

वेगवेगळ्या फासांवर वेगवेगळे परिणाम कसे मिळवायचे याबद्दल बोलूया. तुम्ही फक्त एकदा किंवा अनेक वेळा फासे फिरवल्यास, फासेला जास्त कडा असल्यास गेम अधिक यादृच्छिक वाटेल. तुम्ही जितके जास्त फासे रोल कराल किंवा जितके जास्त फासे रोल कराल तितके परिणाम सरासरीच्या जवळ येतील. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही 1d6 + 4 रोल केला (म्हणजेच मानक हेक्स फासे एकदा आणि निकालात 4 जोडले), तर सरासरी 5 ते 10 असेल. तुम्ही 5d2 रोल केल्यास, सरासरी देखील 5 ते 10 असेल. पण जेव्हा सहा बाजू असलेला फासे फेकून, 5, 8 किंवा 10 क्रमांक मिळण्याची शक्यता समान आहे. 5d2 फेकण्याचा परिणाम प्रामुख्याने संख्या 7 आणि 8 असेल, कमी वेळा इतर मूल्ये. समान मालिका, अगदी समान सरासरी मूल्य (दोन्ही प्रकरणांमध्ये 7.5), परंतु यादृच्छिकतेचे स्वरूप भिन्न आहे.

एक मिनिट थांब. फासे गरम होत नाहीत किंवा थंड होत नाहीत असं मी म्हटलं होतं ना? आता मी म्हणतो की जर तुम्ही खूप फासे रोल केले तर रोल सरासरीच्या जवळ येतात का? का?

मला समजावून सांगा. फेकले तर एकफासे, प्रत्येक चेहऱ्यावरून पडण्याची शक्यता समान आहे. याचा अर्थ असा की तुम्ही अनेक फासे गुंडाळल्यास, प्रत्येक चेहरा कालांतराने अंदाजे समान संख्येने बाहेर पडेल. तुम्ही जितके अधिक फासे रोल कराल तितके एकत्रित परिणाम सरासरीच्या जवळ येतील. याचे कारण असे नाही की सोडलेली संख्या दुसरी संख्या "बनवते", जी अद्याप सोडलेली नाही. पण 6 (किंवा 20, किंवा इतर काही संख्या) ची लहान मालिका तुम्ही दहा हजार वेळा फासे फिरवल्यास शेवटी फारसा फरक पडणार नाही आणि सरासरी मूल्य बहुतेक कमी होईल ... कदाचित आता तुमच्याकडे काही उच्च मूल्यासह संख्या, परंतु कदाचित नंतर कमी मूल्यासह काही संख्या आणि कालांतराने ते सरासरी मूल्यापर्यंत पोहोचतील. पूर्वीचे रोल्स फासेवर परिणाम करतात म्हणून नाही (गंभीरपणे, एक फासे बनलेले आहे प्लास्टिक, तिच्याकडे विचार करण्यासाठी मेंदू नाही: "अरे, हे बर्याच काळापासून रोल केले गेले नाही"), परंतु मोठ्या प्रमाणात फासे रोलसह असे घडते. मोठ्या संख्येने निकालांमध्ये पुनरावृत्ती केलेल्या संख्यांची एक छोटी मालिका जवळजवळ अदृश्य असेल.

अशाप्रकारे, डायसच्या एका यादृच्छिक रोलसाठी गणना करणे अगदी सोपे आहे, किमान सरासरी रोल मूल्याची गणना करणे संबंधित आहे. काहीतरी "किती यादृच्छिक" आहे याची गणना करण्याचे मार्ग देखील आहेत, असे म्हणण्याचा एक मार्ग आहे की रोलिंग 1d6 + 4 चे परिणाम 5d2 पेक्षा "अधिक यादृच्छिक" असतील, 5d2 साठी परिणामांचे वितरण अधिक समान असेल, सहसा यासाठी आपण मानक विचलनाची गणना करा, आणि जितके अधिक मूल्य तितके अधिक यादृच्छिक परिणाम होतील, परंतु यासाठी मी आज देऊ इच्छितो त्यापेक्षा अधिक गणना आवश्यक आहे (मी हा विषय नंतर स्पष्ट करेन). मी तुम्हाला फक्त एक गोष्ट जाणून घेण्यास सांगत आहे की सामान्य नियम म्हणून, जितके कमी फासे गुंडाळले जातील तितके यादृच्छिकता जास्त. आणि या विषयावर आणखी एक जोड: फासे जितके अधिक चेहरे तितके अधिक यादृच्छिकता, कारण आपल्याकडे अधिक पर्याय आहेत.

मोजणी करून संभाव्यता कशी मोजायची

तुम्ही कदाचित विचार करत असाल: ठराविक परिणाम मिळण्याच्या अचूक संभाव्यतेची आम्ही गणना कशी करू शकतो? बर्‍याच खेळांसाठी हे खरोखर महत्वाचे आहे कारण आपण फासे रोल केल्यास, सुरुवातीला काही इष्टतम परिणाम मिळण्याची शक्यता आहे. उत्तर आहे: आपल्याला दोन मूल्ये मोजण्याची आवश्यकता आहे. प्रथम, फासेच्या रोलवर जास्तीत जास्त परिणामांची संख्या मोजा (परिणाम काहीही असो). नंतर अनुकूल परिणामांची संख्या मोजा. दुसऱ्या मूल्याला पहिल्याने भागून, तुम्हाला हवी असलेली संभाव्यता मिळते. टक्केवारी मिळवण्यासाठी, तुमचा निकाल 100 ने गुणा.

उदाहरणे:

येथे एक अतिशय साधे उदाहरण आहे. तुम्‍हाला 4 किंवा त्याहून अधिक वर यायचे आहे आणि हेक्‍स डाइस एकदा रोल करा. निकालांची कमाल संख्या 6 आहे (1, 2, 3, 4, 5, 6). त्यापैकी 3 निकाल (4, 5, 6) अनुकूल आहेत. तर, संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, 3 ने 6 ने भागा आणि 0.5 किंवा 50% मिळवा.

येथे एक उदाहरण आहे जे थोडे अधिक क्लिष्ट आहे. तुम्हाला 2d6 रोलवर सम क्रमांक लावायचा आहे. परिणामांची कमाल संख्या 36 आहे (प्रत्येक मृत्यूसाठी 6, आणि एक मृत्यूचा दुसर्‍यावर परिणाम होत नसल्यामुळे, आम्ही 36 मिळविण्यासाठी 6 परिणामांना 6 ने गुणाकार करतो). या प्रकारच्या प्रश्नाची अडचण अशी आहे की दोनदा मोजणे सोपे आहे. उदाहरणार्थ, 2d6 रोलवर 3 च्या निकालासाठी प्रत्यक्षात दोन पर्याय आहेत: 1 + 2 आणि 2 + 1. ते सारखेच दिसतात, परंतु फरक हा आहे की पहिल्या डायवर कोणता नंबर प्रदर्शित होतो आणि दुसरा कोणता. आपण कल्पना देखील करू शकता की फासे वेगवेगळ्या रंगांचे आहेत, म्हणून, उदाहरणार्थ, या प्रकरणात, एक फासा लाल आहे आणि दुसरा निळा आहे. नंतर सम संख्येसाठी पर्यायांची संख्या मोजा: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). असे दिसून आले की 36 पैकी अनुकूल निकालासाठी 18 पर्याय आहेत, मागील बाबतीत प्रमाणे, संभाव्यता 0.5 किंवा 50% असेल. कदाचित अनपेक्षित, पण तेही अचूक.

मोंटे कार्लो सिम्युलेशन

तुमच्याकडे मोजण्यासाठी खूप फासे असतील तर? उदाहरणार्थ, तुम्हाला हे जाणून घ्यायचे आहे की 8d6 रोलवर 15 किंवा त्याहून अधिक रक्कम रोल केली जाईल याची संभाव्यता काय आहे. आठ फास्यांसाठी, बरेच वेगवेगळे वैयक्तिक परिणाम आहेत आणि ते व्यक्तिचलितपणे मोजण्यात खूप वेळ लागेल. फासे रोल्सच्या वेगवेगळ्या मालिका गट करण्यासाठी आम्ही काही चांगले उपाय शोधू शकलो तरीही, ते मोजण्यासाठी खूप वेळ लागेल. या प्रकरणात, संभाव्यतेची गणना करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे ते व्यक्तिचलितपणे मोजणे नाही, परंतु संगणक वापरणे. संगणकावर संभाव्यता मोजण्याचे दोन मार्ग आहेत.

अचूक उत्तर मिळविण्यासाठी पहिली पद्धत वापरली जाऊ शकते, परंतु त्यात थोडेसे प्रोग्रामिंग किंवा स्क्रिप्टिंग समाविष्ट आहे. मूलभूतपणे, संगणक प्रत्येक संधी पाहतो, एकूण पुनरावृत्तीची संख्या आणि इच्छित परिणामाशी जुळणार्‍या पुनरावृत्तीची संख्या अंदाज करतो आणि मोजतो आणि नंतर उत्तरे देतो. तुमचा कोड कदाचित यासारखा दिसतो:

int wincount = 0, totalcount = 0;

साठी (int i = 1; i<=6; i++) {

साठी (int j = 1; j<=6; j++) {

साठी (int k = 1; k<=6; k++) {

… // येथे आणखी लूप घाला

जर (i + j + k +…> = 15) (

फ्लोट संभाव्यता = wincount / totalcount;

जर तुम्ही प्रोग्रामिंगमध्ये पारंगत नसाल आणि तुम्हाला फक्त एक अस्पष्ट, परंतु अंदाजे उत्तर हवे असेल, तर तुम्ही एक्सेलमध्ये या परिस्थितीचे अनुकरण करू शकता, जिथे तुम्ही 8d6 हजार वेळा टॉस कराल आणि उत्तर मिळेल. Excel मध्ये 1d6 कास्ट करण्यासाठी खालील सूत्र वापरा:

मजला (रँड () * 6) +1

अशा परिस्थितीला एक नाव आहे जिथे तुम्हाला उत्तर माहित नाही आणि फक्त अनेक वेळा प्रयत्न करा - मोंटे कार्लो सिम्युलेशनआणि जेव्हा तुम्ही संभाव्यतेची गणना करण्याचा प्रयत्न करत असाल तेव्हा मागे पडण्याचा हा एक उत्तम उपाय आहे आणि तो खूप कठीण आहे. मोठी गोष्ट अशी आहे की या प्रकरणात आपल्याला गणिती गणना कशी कार्य करते हे समजून घेण्याची आवश्यकता नाही आणि आपल्याला माहित आहे की उत्तर "बरेच चांगले" असेल, कारण आपल्याला आधीच माहित आहे की, फेकण्याची संख्या जितकी जास्त असेल तितका परिणाम. सरासरी मूल्यापर्यंत पोहोचते.

स्वतंत्र चाचण्या कशा एकत्र करायच्या

तुम्ही अनेक पुनरावृत्ती होणाऱ्या परंतु स्वतंत्र आव्हानांबद्दल विचारल्यास, एका रोलचा परिणाम इतर रोलच्या निकालावर परिणाम करत नाही. या परिस्थितीचे आणखी एक सोपे स्पष्टीकरण आहे.

अवलंबून आणि स्वतंत्र काहीतरी वेगळे कसे करावे? मुळात, जर तुम्ही फासाचा प्रत्येक रोल (किंवा रोलची मालिका) वेगळा कार्यक्रम म्हणून ओळखू शकत असाल, तर ते स्वतंत्र आहे. उदाहरणार्थ, आम्हाला 8d6 वर एकूण 15 रोल करायचे असल्यास, या केसला एकाधिक स्वतंत्र फासे रोलमध्ये विभाजित केले जाऊ शकत नाही. निकालासाठी तुम्ही सर्व फास्यांच्या मूल्यांची बेरीज मोजत असल्याने, एका फासावर पडलेला परिणाम दुसर्‍या फासावर पडलेल्या परिणामांवर परिणाम करतो, कारण केवळ सर्व मूल्ये जोडल्यास तुम्हाला अपेक्षित परिणाम मिळेल. .

येथे स्वतंत्र फेकण्याचे उदाहरण आहे: तुम्ही फासे खेळत आहात आणि तुम्ही हेक्स फासे अनेक वेळा फेकत आहात. गेममध्ये राहण्यासाठी, तुमचा पहिला रोल 2 किंवा त्याहून अधिक असणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या रोलसाठी, 3 किंवा उच्च. तिसर्‍यासाठी 4 किंवा त्याहून अधिक, चौथ्यासाठी 5 किंवा त्याहून अधिक आवश्यक आहेत आणि पाचव्यासाठी 6 आवश्यक आहेत. सर्व पाच रोल यशस्वी झाल्यास, तुम्ही जिंकाल. या प्रकरणात, सर्व रोल स्वतंत्र आहेत. होय, जर एक थ्रो अयशस्वी झाला, तर त्याचा संपूर्ण खेळाच्या निकालावर परिणाम होतो, परंतु एका थ्रोचा दुसऱ्या थ्रोवर परिणाम होत नाही. उदाहरणार्थ, जर तुमचा फासाचा दुसरा रोल खूप यशस्वी झाला असेल, तर पुढील रोल तितकेच यशस्वी होण्याच्या शक्यतेवर याचा कोणत्याही प्रकारे परिणाम होत नाही. म्हणून, आपण फासाच्या प्रत्येक रोलच्या संभाव्यतेचा स्वतंत्रपणे विचार करू शकतो.

तुमच्याकडे स्वतंत्र, स्वतंत्र संभाव्यता असल्यास आणि ती संभाव्यता काय आहे हे जाणून घ्यायचे असल्यास सर्वइव्हेंट्स येतील, तुम्ही प्रत्येक वैयक्तिक संभाव्यता निश्चित करा आणि त्यांचा गुणाकार करा.दुसरा मार्ग: जर तुम्ही अनेक परिस्थितींचे वर्णन करण्यासाठी "आणि" संयोग वापरत असाल (उदाहरणार्थ, यादृच्छिक घटना घडण्याची संभाव्यता काय आहे आणिकाही इतर स्वतंत्र यादृच्छिक घटना?), वैयक्तिक संभाव्यता मोजा आणि त्यांचा गुणाकार करा.

तुम्हाला काय वाटते हे महत्त्वाचे नाही कधीहीस्वतंत्र संभाव्यता जोडू नका. ही एक सामान्य चूक आहे. हे चुकीचे का आहे हे समजून घेण्यासाठी, तुम्ही 50/50 चे नाणे फेकत आहात अशा परिस्थितीची कल्पना करा आणि तुम्हाला हे जाणून घ्यायचे आहे की ते सलग दोनदा डोक्यावर पडण्याची शक्यता काय आहे. प्रत्येक बाजूने आदळण्याची संभाव्यता 50% आहे, त्यामुळे तुम्ही या दोन संभाव्यता जोडल्यास, तुम्हाला हेड मारण्याची 100% शक्यता आहे, परंतु आम्हाला माहित आहे की हे खरे नाही, कारण सलग दोन वेळा हेड मिळू शकते. त्याऐवजी तुम्ही या दोन संभाव्यतेचा गुणाकार केल्यास, तुम्हाला 50% * 50% = 25% मिळेल, जे सलग दोनदा डोक्यावर मारण्याच्या संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी योग्य उत्तर आहे.

उदाहरण

चला षटकोनी फासेसह गेमकडे परत जाऊया, जिथे तुम्हाला प्रथम 2 पेक्षा जास्त, नंतर 3 पेक्षा जास्त आणि याप्रमाणे संख्या मिळवणे आवश्यक आहे. 6 पर्यंत. दिलेल्या 5 टॉसच्या मालिकेत, सर्व निकाल अनुकूल असण्याची शक्यता किती आहे?

वर सांगितल्याप्रमाणे, या स्वतंत्र चाचण्या आहेत आणि म्हणून आम्ही प्रत्येक वैयक्तिक रोलसाठी संभाव्यता मोजतो आणि नंतर त्यांचा गुणाकार करतो. पहिल्या रोलचा निकाल अनुकूल असण्याची शक्यता 5/6 आहे. दुसरा 4/6 आहे. तिसरा 3/6 आहे. चौथा - 2/6, पाचवा - 1/6. या सर्व परिणामांचा गुणाकार केल्याने आम्हाला सुमारे 1.5% मिळते... अशा प्रकारे, या गेममध्ये जिंकणे फारच दुर्मिळ आहे, म्हणून तुम्ही तुमच्या गेममध्ये हा घटक जोडल्यास, तुम्हाला बऱ्यापैकी मोठा जॅकपॉट लागेल.

नकार

येथे आणखी एक उपयुक्त टीप आहे: काहीवेळा एखादी घटना घडण्याची संभाव्यता मोजणे कठीण असते, परंतु घटना घडण्याची शक्यता किती आहे हे निर्धारित करणे सोपे आहे. येणार नाही.

उदाहरणार्थ, समजा आमच्याकडे दुसरा गेम आहे आणि तुम्ही रोल 6d6, आणि जर एकदा तरी 6 गुंडाळले आहे, तुम्ही जिंकलात. जिंकण्याची शक्यता किती आहे?

या प्रकरणात, गणना करण्यासाठी अनेक पर्याय आहेत. हे शक्य आहे की एक क्रमांक 6 सोडला जाईल, म्हणजे. एका फासेवर 6 हा आकडा टाकला जाईल आणि दुसर्‍या क्रमांकावर 1 ते 5 पर्यंत, आणि 6 पर्यायांपैकी कोणता फासा हा क्रमांक 6 असेल. मग तुम्हाला दोन फास्यांवर 6 क्रमांक मिळेल, किंवा तीन वर, किंवा त्याहूनही अधिक, आणि प्रत्येक वेळी आपल्याला वेगळी मोजणी करावी लागेल, त्यामुळे याबद्दल गोंधळात पडणे सोपे आहे.

परंतु या समस्येचे निराकरण करण्याचा आणखी एक मार्ग आहे, चला दुसऱ्या बाजूने पाहूया. आपण गमावणेतर एकावर नाहीअंक 6 फासेतून बाहेर पडणार नाही. या प्रकरणात, आमच्याकडे सहा स्वतंत्र चाचण्या आहेत, त्यापैकी प्रत्येकाची संभाव्यता 5/6 आहे (6 व्यतिरिक्त इतर कोणतीही संख्या फासेवर टाकली जाऊ शकते). त्यांचा गुणाकार करा आणि तुम्हाला सुमारे 33% मिळेल. अशा प्रकारे, गमावण्याची शक्यता 3 पैकी 1 आहे.

म्हणून, जिंकण्याची संभाव्यता 67% (किंवा 2 ते 3) आहे.

हे या उदाहरणावरून स्पष्ट होते आपण घटना घडणार नाही याची संभाव्यता लक्षात घेतल्यास, आपल्याला 100% मधून निकाल वजा करणे आवश्यक आहे.जिंकण्याची संभाव्यता 67% असल्यास, संभाव्यता गमावू — 100% वजा 67%, किंवा 33%. आणि उलट. जर एखाद्या संभाव्यतेची गणना करणे कठीण असेल, परंतु उलट गणना करणे सोपे आहे, उलट गणना करा आणि नंतर 100% मधून वजा करा.

एका स्वतंत्र चाचणीसाठी अटी एकत्र करणे

मी वर म्हटले आहे की तुम्ही स्वतंत्र चाचण्यांमध्ये संभाव्यता कधीही जोडू नये. तेथे काही प्रकरणे आहेत का करू शकतासंभाव्यतेची बेरीज करा? - होय, एका विशेष परिस्थितीत.

तुम्हाला एकाच चाचणीच्या अनेक असंबंधित अनुकूल परिणामांच्या संभाव्यतेची गणना करायची असल्यास, प्रत्येक अनुकूल परिणामाची संभाव्यता जोडा. उदाहरणार्थ, 1d6 वर 4, 5 किंवा 6 क्रमांक मिळण्याची शक्यता आहे बेरीजक्रमांक 4 मिळण्याची संभाव्यता, क्रमांक 5 मिळण्याची संभाव्यता आणि क्रमांक 6 मिळण्याची संभाव्यता. तुम्ही या परिस्थितीची खालीलप्रमाणे कल्पना देखील करू शकता: जर तुम्ही संभाव्यतेच्या प्रश्नात "किंवा" संयोग वापरत असाल (उदाहरणार्थ , संभाव्यता किती आहे किंवाएका यादृच्छिक घटनेचे इतर परिणाम?), वैयक्तिक संभाव्यतेची गणना करा आणि त्यांची बेरीज करा.

तुम्ही जोडता तेव्हा लक्षात ठेवा सर्व संभाव्य परिणामखेळ, सर्व संभाव्यतेची बेरीज 100% इतकी असणे आवश्यक आहे. जर रक्कम 100% नसेल, तर तुमची गणना चुकीच्या पद्धतीने केली गेली होती. तुमची गणना दोनदा तपासण्याचा हा एक चांगला मार्ग आहे. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही पोकरमध्ये सर्व हात मिळवण्याच्या संभाव्यतेचे विश्लेषण केले तर, तुम्ही सर्व निकाल जोडल्यास, तुम्हाला 100% (किंवा किमान 100% च्या जवळपास मूल्य, जर तुम्ही कॅल्क्युलेटर वापरत असाल तर, तुमच्याकडे असेल. एक लहान गोलाकार त्रुटी. परंतु आपण हाताने अचूक संख्या जोडल्यास, ते कार्य करेल.) जर बेरीज जमली नाही, तर बहुधा तुम्ही काही संयोग विचारात घेतले नाहीत किंवा काही संयोगांच्या संभाव्यतेची चुकीची गणना केली नाही आणि नंतर तुम्हाला तुमची गणना दोनदा तपासावी लागेल.

असमान संभाव्यता

आत्तापर्यंत, आम्ही असे गृहीत धरले की फासाचा प्रत्येक चेहरा समान वारंवारतेने पडतो, कारण फासे अशा प्रकारे कार्य करतात. परंतु काहीवेळा तुम्हाला अशा परिस्थितीचा सामना करावा लागतो जेथे भिन्न परिणाम शक्य आहेत आणि ते आहेत वेगळेबाहेर पडण्याची शक्यता. उदाहरणार्थ, कार्ड गेम "न्यूक्लियर वॉर" च्या ऍड-ऑन्सपैकी एकामध्ये बाण असलेले एक खेळण्याचे मैदान आहे, ज्यावर रॉकेटच्या प्रक्षेपणाचा परिणाम अवलंबून असतो: मूलभूतपणे, ते सामान्य नुकसान, मजबूत किंवा कमकुवत, परंतु काहीवेळा नुकसान दोन किंवा तीन पटीने वाढले आहे, किंवा रॉकेट लाँच पॅडवर स्फोट होऊन तुम्हाला दुखापत होते किंवा इतर काही घटना घडतात. “च्युट्स अँड लॅडर्स” किंवा “ए गेम ऑफ लाईफ” मधील बाण असलेल्या खेळाच्या मैदानाच्या विपरीत, “न्यूक्लियर वॉर” मधील खेळाच्या मैदानाचे परिणाम असमान असतात. खेळण्याच्या मैदानाचे काही विभाग मोठे आहेत आणि बाण त्यांच्याकडे जास्त वेळा थांबतो, तर इतर विभाग खूप लहान आहेत आणि बाण त्यांच्याकडे क्वचितच थांबतो.

तर, पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हाड असे दिसते: 1, 1, 1, 2, 2, 3; आम्ही याबद्दल आधीच बोललो आहोत, हे भारित 1d3 सारखे काहीतरी आहे, म्हणून, आम्हाला या सर्व विभागांना समान भागांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे, मोजमापाचे सर्वात लहान एकक शोधणे आवश्यक आहे, जे प्रत्येक गोष्टीचे गुणाकार आहे आणि नंतर परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करा. d522 (किंवा इतर काही ), जिथे फासेचे अनेक चेहरे समान परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करतील, परंतु अधिक परिणामांसह. आणि समस्येचे निराकरण करण्याचा हा एक मार्ग आहे आणि तो तांत्रिकदृष्ट्या व्यवहार्य आहे, परंतु एक सोपा मार्ग आहे.

चला आमच्या मानक हेक्स फासेकडे परत जाऊया. आम्ही सांगितले की सामान्य डायसाठी सरासरी रोल व्हॅल्यू मोजण्यासाठी, तुम्हाला सर्व कडांवरील मूल्यांची बेरीज करणे आवश्यक आहे आणि त्यांना कडांच्या संख्येने विभाजित करणे आवश्यक आहे, परंतु कसे नक्कीसेटलमेंट चालू आहे का? तुम्ही ते वेगळ्या पद्धतीने मांडू शकता. षटकोनी फासासाठी, प्रत्येक चेहरा बाहेर पडण्याची संभाव्यता 1/6 आहे. आता आपण गुणाकार करतो निर्गमनप्रत्येक चेहरा संभाव्यताहा परिणाम (या प्रकरणात, प्रत्येक चेहर्यासाठी 1/6), नंतर आम्ही प्राप्त मूल्यांचा सारांश देतो. तर सारांश (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , आम्हाला वरील गणनेप्रमाणे समान परिणाम (3.5) मिळतात. खरं तर, आम्ही प्रत्येक वेळी हे मोजतो: आम्ही प्रत्येक परिणामाला त्या परिणामाच्या संभाव्यतेने गुणाकार करतो.

न्यूक्लियर वॉरमधील खेळाच्या मैदानावरील नेमबाजासाठी आपण समान गणना करू शकतो का? नक्कीच आपण करू शकतो. आणि सापडलेले सर्व परिणाम जोडल्यास, आम्हाला सरासरी मिळते. आपल्याला फक्त बोर्डवरील बाणासाठी प्रत्येक निकालाच्या संभाव्यतेची गणना करायची आहे आणि परिणामाने गुणाकार करायचा आहे.

दुसरे उदाहरण

प्रत्येक निकालाचा त्याच्या वैयक्तिक संभाव्यतेने गुणाकार करून सरासरी काढण्याची ही पद्धत देखील योग्य आहे जर परिणामांची शक्यता तितकीच असेल परंतु त्याचे फायदे भिन्न असतील, उदाहरणार्थ तुम्ही डाय रोल केला आणि इतरांपेक्षा काही कडांवर जास्त जिंकल्यास. उदाहरणार्थ, कॅसिनो गेमचा विचार करा: तुम्ही पैज लावा आणि 2d6 रोल करा. जर सर्वात कमी मूल्याचे तीन अंक (2, 3, 4) किंवा सर्वोच्च मूल्य असलेल्या चार संख्या (9, 10, 11, 12) आल्या, तर तुम्ही तुमच्या भागिदारीइतकी रक्कम जिंकता. सर्वात कमी आणि सर्वोच्च मूल्य असलेले अंक विशेष आहेत: जर 2 किंवा 12 आले तर तुम्ही जिंकता दुप्पट जास्ततुमच्या दरापेक्षा. इतर कोणतीही संख्या (5, 6, 7, 8) बाहेर पडल्यास, तुम्ही तुमची पैज गमावाल. हा एक अतिशय सोपा खेळ आहे. पण जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

आपण किती वेळा जिंकू शकता याची गणना करून प्रारंभ करूया:

• 2d6 रोलवरील निकालांची कमाल संख्या 36 आहे. किती यशस्वी परिणाम आहेत?
• दोन साठी 1 पर्याय आहे आणि बारा साठी 1 पर्याय आहे.
• जे तीन आणि अकरा बाहेर येते त्यासाठी 2 पर्याय आहेत.
• चारसाठी 3 आणि दहासाठी 3 पर्याय आहेत.
• नऊसाठी 4 पर्याय आहेत.
• सर्व पर्यायांचा सारांश, आम्हाला 36 पैकी 16 अनुकूल परिणामांची संख्या मिळते.

त्यामुळे, सामान्य परिस्थितीत, तुम्ही शक्य असलेल्या ३६ पैकी १६ वेळा जिंकू शकाल... जिंकण्याची संभाव्यता ५०% पेक्षा थोडी कमी आहे.

परंतु या 16 पैकी दोन प्रकरणांमध्ये तुम्ही दुप्पट जिंकाल, म्हणजे. हे दोनदा जिंकण्यासारखे आहे! तुम्ही हा गेम ३६ वेळा खेळल्यास, प्रत्येक वेळी $1 वर सट्टेबाजी केली, आणि प्रत्येक संभाव्य निकाल एकदाच समोर आला, तर तुम्ही $१८ जिंकाल (खरं तर, तुम्ही १६ वेळा जिंकता, परंतु त्यापैकी दोन वेळा दोन विजय म्हणून गणले जातात). जर तुम्ही 36 वेळा खेळलात आणि $18 जिंकलात, तर याचा अर्थ समान संधी आहे असे नाही का?

घाई नको. तुम्ही किती वेळा गमावू शकता याची संख्या मोजल्यास, तुम्हाला 20 मिळतील, 18 नाही. तुम्ही 36 वेळा खेळल्यास, प्रत्येक वेळी $ 1 वर सट्टेबाजी केली, तर तुम्ही सर्व अनुकूल परिणामांवर एकूण $ 18 जिंकू शकाल... परंतु तुम्ही हराल. सर्व 20 प्रतिकूल परिणामांसह एकूण $20 ची रक्कम! परिणामी, तुम्ही थोडे मागे असाल: तुम्ही प्रत्येक 36 गेमसाठी सरासरी $ 2 निव्वळ गमावाल (तुम्ही असे देखील म्हणू शकता की तुम्ही दररोज सरासरी $ 1/18 गमावाल). आता आपण पाहू शकता की या प्रकरणात चूक करणे आणि संभाव्यतेची चुकीची गणना करणे किती सोपे आहे!

क्रमपरिवर्तन

आत्तापर्यंत आपण असे गृहीत धरले आहे की फासे फेकताना संख्यांचा क्रम काही फरक पडत नाही. 2 + 4 चा रोल 4 + 2 च्या रोल सारखाच असतो. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, आम्ही अनुकूल परिणामांची संख्या व्यक्तिचलितपणे मोजतो, परंतु कधीकधी ही पद्धत अव्यवहार्य असते आणि गणितीय सूत्र वापरणे चांगले असते.

या परिस्थितीचे उदाहरण "फर्कल" या फासेसह खेळाचे आहे. प्रत्येक नवीन फेरीसाठी, तुम्ही 6d6 रोल करा. जर तुम्ही भाग्यवान असाल आणि सर्व संभाव्य परिणाम 1-2-3-4-5-6 (“सरळ”) असतील, तर तुम्हाला मोठा बोनस मिळेल. असे होण्याची शक्यता काय आहे? या प्रकरणात, या संयोजनासाठी बरेच पर्याय आहेत!

समाधान असे दिसते: फासेपैकी एक (आणि फक्त एक) क्रमांक 1 असावा! एका क्रमांकावर 1 च्या बाहेर पडण्याची किती रूपे मरतात? सहा, कारण 6 फासे आहेत आणि त्यापैकी कोणत्याहीमध्ये 1 क्रमांक असू शकतो. त्यानुसार, एक फासे घ्या आणि बाजूला ठेवा. आता, उरलेल्या फासांपैकी एका फासेमध्ये 2 क्रमांक असावा. यासाठी पाच पर्याय आहेत. दुसरा फासा घ्या आणि बाजूला ठेवा. त्यानंतर असे होते की उर्वरित फासेपैकी चार क्रमांकावर 3 क्रमांक बाहेर पडू शकतो, उर्वरित फासेपैकी तीन क्रमांकावर 4 बाहेर पडू शकतो, दोन - क्रमांक 5 आणि परिणामी तुमच्याकडे एक फासे आहे ज्यावर क्रमांक 6 आहे. पडणे आवश्यक आहे (नंतरच्या प्रकरणात डाय एक आहे आणि पर्याय नाही). "सरळ" संयोजनासाठी अनुकूल परिणामांची संख्या मोजण्यासाठी, आम्ही सर्व भिन्न, स्वतंत्र पर्यायांचा गुणाकार करतो: 6x5x4x3x2x1 = 720 - असे दिसते की हे संयोजन काय करेल यासाठी बरेच पर्याय आहेत.

सरळ मिळण्याच्या संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, आम्हाला 6d6 रोलसाठी सर्व संभाव्य परिणामांच्या संख्येने 720 विभाजित करणे आवश्यक आहे. सर्व संभाव्य परिणामांची संख्या किती आहे? प्रत्येक डायमध्ये 6 चेहरे असू शकतात, म्हणून आम्ही 6x6x6x6x6x6 = 46656 गुणाकार करतो (संख्या खूप मोठी आहे!). आम्ही 720/46656 विभाजित करतो आणि आम्हाला सुमारे 1.5% संभाव्यता मिळते. जर तुम्ही हा गेम डिझाईन करत असाल, तर तुमच्यासाठी हे जाणून घेणे उपयुक्त ठरेल जेणेकरून तुम्ही योग्य स्कोअरिंग सिस्टम तयार करू शकता. आता आम्हाला समजले आहे की "फार्कल" गेममध्ये जर तुम्हाला "सरळ" संयोजन मिळाले तर तुम्हाला इतका मोठा बोनस का मिळेल, कारण ही परिस्थिती अगदी दुर्मिळ आहे!

परिणाम दुसर्या कारणासाठी देखील मनोरंजक आहे. उदाहरण दाखवते की क्वचितच, अल्प कालावधीत, संभाव्यतेशी संबंधित परिणाम बाहेर पडतो. अर्थात, जर आपण हजारो फासे टाकले तर फास्यांचे वेगवेगळे चेहरे बरेचदा बाहेर पडतील. पण जेव्हा आम्ही फक्त सहा फासे रोल करतो, जवळजवळ कधीहीप्रत्येक चेहरा गळून पडतो असे होत नाही! यावरून पुढे गेल्यावर, हे स्पष्ट होते की आता आणखी एक चेहरा बाद होईल अशी अपेक्षा करणे मूर्खपणाचे आहे, जो अद्याप बाहेर पडलेला नाही, "कारण आम्हाला 6 क्रमांक बराच काळ मिळाला नाही, याचा अर्थ आता तो बाद होईल" .

ऐका, तुमचा यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटला आहे ...

हे आपल्याला संभाव्यतेबद्दल एक सामान्य गैरसमजाकडे घेऊन जाते: सर्व परिणाम समान वारंवारतेसह येतात अशी धारणा. अल्प कालावधीसाठीजे प्रत्यक्षात तसे नाही. जर आपण अनेक वेळा फासे गुंडाळले तर प्रत्येक काठाची वारंवारता सारखी राहणार नाही.

जर तुम्ही यादृच्छिक क्रमांक जनरेटरच्या सहाय्याने कधीही ऑनलाइन गेमवर काम केले असेल, तर बहुधा तुम्हाला अशी परिस्थिती आली असेल जिथे एखादा खेळाडू तुमचा यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटलेला आहे आणि यादृच्छिक क्रमांक दर्शवत नाही असे सांगण्यासाठी तांत्रिक समर्थनास लिहितो. आणि तो या निष्कर्षावर पोहोचला, कारण त्याने नुकतेच सलग 4 राक्षस मारले होते आणि 4 अगदी समान बक्षिसे मिळवली होती आणि ही बक्षिसे फक्त 10% प्रकरणांमध्येच पडली पाहिजेत, म्हणून हे बहुदा कधिच नाहीकरू नये घडणे, याचा अर्थ स्पष्टपणेतुमचा यादृच्छिक क्रमांक जनरेटर तुटलेला आहे.

तुम्ही गणिताची गणना करत आहात. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 हे 10,000 मधील 1 च्या बरोबरीचे आहे, याचा अर्थ असा की ही एक दुर्मिळ केस आहे. आणि हेच खेळाडू तुम्हाला सांगण्याचा प्रयत्न करत आहे. या प्रकरणात काही समस्या आहे का?

हे सर्व परिस्थितीवर अवलंबून असते. आता तुमच्या सर्व्हरवर किती खेळाडू आहेत? समजा तुमच्याकडे बर्‍यापैकी लोकप्रिय गेम आहे आणि 100,000 लोक तो दररोज खेळतात. किती खेळाडू सलग चार राक्षस मारतील? सर्वकाही शक्य आहे, दिवसातून अनेक वेळा, परंतु समजा की त्यापैकी निम्मे फक्त लिलावात वेगवेगळ्या वस्तूंची देवाणघेवाण करत आहेत किंवा आरपी सर्व्हरवर पुन्हा लिहित आहेत किंवा इतर गेम क्रिया करत आहेत, तर खरं तर त्यापैकी निम्मेच राक्षसांची शिकार करत आहेत. याची शक्यता किती आहे कोणालातरीतोच बक्षीस टाकला जाईल का? या परिस्थितीत, आपण अशी अपेक्षा करू शकता की समान बक्षीस दिवसातून अनेक वेळा कमी होऊ शकते!

तसे, असे दिसते की दर काही आठवड्यांनी किमान कोणीतरीलॉटरी जिंकली, जरी ती कोणीतरी कधीहीतुम्ही किंवा तुमचे मित्र नाही. दर आठवड्याला पुरेसे लोक खेळत असल्यास, शक्यता किमान आहे एकभाग्यवान ... पण जर आपणलॉटरी खेळल्यास, तुम्ही इन्फिनिटी वॉर्डमध्ये नोकरी जिंकण्याची शक्यता कमी आहे.

नकाशे आणि व्यसन

आम्‍ही स्‍वतंत्र इव्‍हेंट्सवर चर्चा केली आहे, जसे की फासे गुंडाळणे, आणि आता आम्‍हाला अनेक गेममध्‍ये यादृच्छिकतेचे विश्‍लेषण करण्‍यासाठी अनेक शक्तिशाली साधने माहित आहेत. डेकमधून कार्ड काढण्याच्या बाबतीत संभाव्यतेची गणना करणे थोडे अवघड आहे, कारण आम्ही जे कार्ड काढतो त्याचा परिणाम डेकमधील उर्वरित कार्डांवर होतो. जर तुमच्याकडे मानक 52-कार्ड डेक असेल आणि ड्रॉ असेल, उदाहरणार्थ, 10 हृदय आणि पुढील कार्ड त्याच सूटचे असेल याची संभाव्यता जाणून घ्यायची असेल, तर संभाव्यता बदलली आहे कारण तुम्ही सूट ऑफ हार्ट्सचे एक कार्ड आधीच काढून टाकले आहे. डेक पासून. तुम्ही काढलेले प्रत्येक कार्ड डेकमधील पुढील कार्डची संभाव्यता बदलते. या प्रकरणात मागील घटनेचा पुढील घटनेवर परिणाम होत असल्याने, आम्ही याला संभाव्यता म्हणतो अवलंबून.

लक्षात घ्या की जेव्हा मी कार्ड्स म्हणतो तेव्हा मला म्हणायचे आहे कोणतेहीगेम मेकॅनिक्स, ज्यामध्ये ऑब्जेक्ट्सचा एक संच असतो आणि आपण एखादी वस्तू न बदलता काढून टाकता, या प्रकरणात "कार्डांचा डेक" टोकनच्या पिशवीशी समान असतो ज्यामधून आपण एक टोकन काढता आणि ते बदलू नका. , किंवा कलश ज्यातून तुम्ही रंगीत गोळे काढता (खरं तर, कलश असलेला असा खेळ मी कधीच पाहिला नाही ज्यातून रंगीत गोळे काढता येतील, पण असे दिसते की संभाव्यता सिद्धांताचे शिक्षक काही कारणास्तव हे उदाहरण पसंत करतात) .

अवलंबित्व गुणधर्म

मी हे स्पष्ट करू इच्छितो की जेव्हा कार्ड्सचा विचार केला जातो तेव्हा मी असे गृहीत धरतो की तुम्ही कार्डे काढता, ती पहा आणि डेकमधून काढून टाका. यातील प्रत्येक क्रिया ही एक महत्त्वाची मालमत्ता आहे.

जर माझ्याकडे 1 ते 6 क्रमांक असलेली सहा कार्डे असतील आणि मी ती बदलून एक कार्ड काढले आणि नंतर सर्व सहा कार्डे पुन्हा फेकून दिली, तर ते सहा-बाजूंनी मारल्यासारखे होईल; एका परिणामाचा पुढील परिणाम होत नाही. जर मी कार्ड काढले आणि ते बदलले नाही तरच, मी 1 क्रमांकाचे कार्ड काढले या वस्तुस्थितीचा परिणाम म्हणजे पुढच्या वेळी मी 6 क्रमांकाचे कार्ड काढण्याची शक्यता वाढेल (मी शेवटी घेईपर्यंत संभाव्यता वाढेल. हे कार्ड काढून टाका किंवा जोपर्यंत मी कार्ड हलवत नाही तोपर्यंत).

खरं आहे की आम्ही दिसतकार्ड वर देखील महत्वाचे आहे. जर मी डेकमधून कार्ड काढले आणि त्याकडे पाहिले नाही तर माझ्याकडे कोणतीही अतिरिक्त माहिती नाही आणि प्रत्यक्षात संभाव्यता बदलत नाही. हे परस्परविरोधी वाटू शकते. कार्डच्या साध्या पलटण्याने संभाव्यता कशी बदलू शकते? परंतु हे शक्य आहे कारण आपण केवळ त्या वस्तुस्थितीवर आधारित अज्ञात वस्तूंच्या संभाव्यतेची गणना करू शकता तुम्हाला माहीत आहे... उदाहरणार्थ, जर तुम्ही कार्ड्सचा मानक डेक बदललात, 51 कार्डे उघड केली आणि त्यापैकी एकही क्लबची राणी नाही, तर तुम्हाला 100% खात्रीने कळेल की उर्वरित कार्ड क्लबची राणी आहे. जर तुम्ही कार्ड्सचा मानक डेक बदलला आणि 51 कार्डे काढली, असूनहीत्यांच्यावर, उर्वरित कार्ड क्लबची राणी असण्याची शक्यता अजूनही 1/52 असेल. प्रत्येक कार्ड उघडून, तुम्हाला अधिक माहिती मिळते.

अवलंबून असलेल्या इव्हेंटसाठी संभाव्यतेची गणना करणे स्वतंत्र इव्हेंटसाठी समान तत्त्वांचे पालन करते, त्याशिवाय ते थोडे अधिक क्लिष्ट आहे, कारण जेव्हा तुम्ही कार्ड उघडता तेव्हा संभाव्यता बदलतात. अशा प्रकारे, तुम्हाला समान मूल्याचा गुणाकार करण्याऐवजी अनेक भिन्न मूल्यांचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे. किंबहुना, याचा अर्थ असा आहे की आपण केलेल्या सर्व आकडेमोड एका संयोजनात एकत्र करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण

तुम्ही मानक 52-कार्ड डेक शफल करा आणि दोन कार्डे काढा. आपण एक जोडी बाहेर काढण्याची शक्यता काय आहे? या संभाव्यतेची गणना करण्याचे अनेक मार्ग आहेत, परंतु कदाचित सर्वात सोपा खालीलप्रमाणे आहे: जेव्हा आपण एक कार्ड काढता तेव्हा आपण जोडी काढू शकणार नाही याची संभाव्यता किती आहे? ही संभाव्यता शून्य आहे, त्यामुळे तुम्ही कोणते पहिले कार्ड काढले हे महत्त्वाचे नाही, जोपर्यंत ते दुसऱ्याशी जुळते. आम्ही प्रथम कोणते कार्ड काढले याने काही फरक पडत नाही, आमच्याकडे अद्याप एक जोडी काढण्याची संधी आहे, त्यामुळे पहिले कार्ड काढल्यानंतर आम्ही एक जोडी काढू शकतो याची संभाव्यता 100% आहे.

दुसरे कार्ड पहिल्याशी जुळण्याची शक्यता किती आहे? डेकमध्ये 51 कार्डे शिल्लक आहेत आणि त्यापैकी 3 पहिल्या कार्डाशी जुळतात (खरं तर 52 पैकी 4 असतील, परंतु तुम्ही पहिले कार्ड काढल्यावर तुम्ही आधीच जुळणारे कार्ड काढून टाकले आहे!), त्यामुळे संभाव्यता आहे १/१७. (म्हणून पुढच्या वेळी टेक्सास होल्डम खेळत असलेला तुमच्या टेबलावरचा माणूस म्हणाला, "छान, आणखी एक जोडी? आज रात्री मी भाग्यवान आहे," तुम्हाला कळेल की तो बडबड करत आहे.)

जर आम्ही दोन जोकर जोडले आणि आता आमच्याकडे डेकमध्ये 54 कार्डे आहेत आणि आम्हाला हे जाणून घ्यायचे आहे की जोडी काढण्याची संभाव्यता काय आहे? पहिले कार्ड एक जोकर असू शकते, आणि नंतर डेक फक्त समाविष्ट असेल एककार्ड, तीन नाही, जे जुळेल. या प्रकरणात संभाव्यता कशी शोधायची? आम्ही संभाव्यता विभाजित करू आणि प्रत्येक शक्यता गुणाकार करू.

आमचे पहिले कार्ड जोकर किंवा दुसरे कार्ड असू शकते. जोकर काढण्याची संभाव्यता 2/54 आहे, इतर कोणतेही कार्ड काढण्याची संभाव्यता 52/54 आहे.

जर पहिले कार्ड जोकर असेल (2/54), तर दुसरे कार्ड पहिल्याशी जुळण्याची शक्यता 1/53 आहे. मूल्यांचा गुणाकार करा (आम्ही त्यांचा गुणाकार करू शकतो कारण या स्वतंत्र घटना आहेत आणि आम्हाला पाहिजे आहेत दोन्हीघटना घडल्या) आणि आम्हाला 1/1431 मिळतो - टक्केच्या एक दशांश पेक्षा कमी.

जर तुम्ही पहिले दुसरे कार्ड काढले असेल (52/54), तर दुसऱ्या कार्डशी योगायोग होण्याची शक्यता 3/53 आहे. मूल्ये गुणाकार करा आणि 78/1431 मिळवा (5.5% पेक्षा थोडे जास्त).

या दोन निकालांचे आपण काय करायचे? ते एकमेकांना छेदत नाहीत आणि आम्हाला संभाव्यता जाणून घ्यायची आहे प्रत्येकाचेत्यापैकी, म्हणून आम्ही मूल्यांचा सारांश देतो! आम्हाला अंतिम निकाल 79/1431 मिळतो (अजूनही सुमारे 5.5%).

आम्हाला उत्तराच्या अचूकतेची खात्री हवी असल्यास, आम्ही इतर सर्व संभाव्य परिणामांच्या संभाव्यतेची गणना करू शकतो: जोकर काढणे आणि दुसरे कार्ड जुळणे किंवा दुसरे कार्ड काढणे आणि दुसरे कार्ड जुळणे आणि त्या सर्वांची बेरीज करणे. जिंकण्याच्या संभाव्यतेसह, आम्हाला 100% नक्की मिळेल. मी येथे गणितीय गणना देणार नाही, परंतु तुम्ही दोनदा तपासण्यासाठी गणना करण्याचा प्रयत्न करू शकता.

मॉन्टी हॉल विरोधाभास

हे आपल्याला बर्‍याच सुप्रसिद्ध विरोधाभासात आणते जे बर्‍याचदा अनेकांना गोंधळात टाकते - मॉन्टी हॉल विरोधाभास. विरोधाभासाचे नाव “लेट्स मेक अ डील” होस्ट मॉन्टी हॉलच्या नावावर आहे. तुम्ही हा शो कधीच पाहिला नसेल, तर तो 'द प्राइस इज राईट' टीव्ही शोच्या विरुद्ध होता. "किंमत योग्य आहे" मध्ये होस्ट (पूर्वी बॉब बार्कर, आता… ड्र्यू केरी? असो…) तुमचा मित्र आहे. तो पाहिजेत्यामुळे तुम्ही पैसे किंवा उत्तम बक्षिसे जिंकू शकता. तो तुम्हाला जिंकण्याची प्रत्येक संधी देण्याचा प्रयत्न करतो, जर तुम्ही प्रायोजकांनी खरेदी केलेल्या वस्तूंची किंमत किती असेल याचा अंदाज लावू शकता.

मॉन्टी हॉल वेगळ्या पद्धतीने वागला. तो बॉब बार्करच्या दुष्ट जुळ्यासारखा होता. राष्ट्रीय टेलिव्हिजनवर तुम्हाला मूर्खासारखे दिसणे हे त्याचे ध्येय होते. जर तुम्ही शोमध्ये असता, तर तो तुमचा विरोधक होता, तुम्ही त्याच्याविरुद्ध खेळत होता आणि जिंकण्याची शक्यता त्याच्या बाजूने होती. मी खूप कठोर असू शकतो, परंतु जेव्हा प्रतिस्पर्धी म्हणून निवडले जाण्याची संधी तुम्ही हास्यास्पद सूट घातली आहे की नाही याच्या थेट प्रमाणात दिसते तेव्हा मी अशा निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो.

पण शोच्या सर्वात प्रसिद्ध मीम्सपैकी एक हे होते: तुमच्या समोर तीन दरवाजे होते, आणि त्यांना दरवाजा क्रमांक 1, दरवाजा क्रमांक 2 आणि दरवाजा क्रमांक 3 असे म्हणतात. तुम्ही कोणताही एक दरवाजा निवडू शकता... विनामूल्य! यापैकी एका दरवाज्यामागे नवीन प्रवासी गाडी असे मोठे बक्षीस होते. इतर दारांमागे बक्षिसे नव्हती, या दोन दरवाजांना काहीच किंमत नव्हती. त्यांचा उद्देश तुमचा अपमान करणे हा होता आणि म्हणून असे नाही की त्यांच्या मागे काहीही नव्हते, त्यांच्या मागे काहीतरी होते जे मूर्ख दिसत होते, उदाहरणार्थ, त्यांच्या मागे एक बकरी किंवा टूथपेस्टची एक मोठी ट्यूब, किंवा काहीतरी ... काहीतरी, काय? नक्की होते नाहीएक नवीन प्रवासी कार.

तुम्ही एक दरवाजा निवडला होता आणि मॉन्टी तो उघडणार होता जेणेकरून तुम्हाला कळेल की तुम्ही जिंकलात की नाही... पण थांबा, आम्हाला कळण्यापूर्वी, चला एक नजर टाकूया त्यातुम्हाला दरवाजे निवडले नाही... बक्षीस कोणत्या दाराच्या मागे आहे हे मॉन्टीला माहीत असल्याने आणि फक्त एकच बक्षीस आहे आणि दोनआपण निवडलेले दरवाजे, काहीही असो, तो नेहमीच एक दरवाजा उघडू शकतो ज्यासाठी कोणतेही बक्षीस नाही. “तुम्ही दरवाजा क्रमांक 3 निवडता का? मग त्यामागे कोणतेही बक्षीस नव्हते हे दाखवण्यासाठी दार 1 उघडूया.” आणि आता, उदारतेमुळे, तो तुम्हाला दरवाजा क्रमांक 2 च्या मागे असलेल्या दरवाजा क्रमांक 3 चा व्यापार करण्याची संधी देतो. या क्षणी संभाव्यतेबद्दल प्रश्न उद्भवतो: दुसरा दरवाजा निवडण्याची शक्यता वाढते की कमी होते? तुमची जिंकण्याची शक्यता, किंवा ती अपरिवर्तित राहते? तुला काय वाटत?

बरोबर उत्तर: वेगळा दरवाजा निवडण्याची क्षमता वाढते 1/3 ते 2/3 पर्यंत जिंकण्याची शक्यता. हे अतार्किक आहे. जर तुम्हाला आधी हा विरोधाभास आला नसेल, तर बहुधा तुम्ही विचार करत असाल: थांबा, एक दरवाजा उघडून, आम्ही जादूने संभाव्यता बदलली? परंतु आपण वरील नकाशांसह उदाहरणामध्ये आधीच पाहिले आहे, हे आहे नक्कीआम्हाला अधिक माहिती मिळाल्यावर काय होते. हे उघड आहे की तुम्ही पहिल्यांदा निवडता तेव्हा जिंकण्याची संभाव्यता 1/3 आहे आणि मला वाटते की प्रत्येकजण त्याशी सहमत असेल. जेव्हा एक दरवाजा उघडतो, तेव्हा पहिल्या निवडीसाठी जिंकण्याची संभाव्यता अजिबात बदलत नाही, तरीही संभाव्यता 1/3 आहे, परंतु याचा अर्थ असा होतो की संभाव्यता इतरयोग्य दरवाजा आता 2/3 आहे.

या उदाहरणाकडे वेगळ्या दृष्टिकोनातून पाहू. तुम्ही दार निवडा. जिंकण्याची शक्यता 1/3 आहे. मी तुम्हाला बदल सुचवतो दोनइतर दरवाजे, जे मॉन्टी हॉलने प्रत्यक्षात करण्याचा प्रस्ताव दिला आहे. अर्थात, त्यामागे बक्षीस नाही हे दाखवण्यासाठी तो एक दरवाजा उघडतो, पण तो नेहमीते करू शकते, त्यामुळे ते खरोखर काहीही बदलत नाही. अर्थात, तुम्हाला वेगळा दरवाजा निवडायचा असेल!

जर तुम्ही या प्रश्नावर पूर्णपणे स्पष्ट नसाल आणि तुम्हाला अधिक खात्रीशीर स्पष्टीकरण हवे असेल, तर या दुव्यावर क्लिक करून एका अप्रतिम फ्लॅश ऍप्लिकेशनवर नेव्हिगेट करा जे तुम्हाला या विरोधाभासाचा अधिक तपशीलवार अभ्यास करण्यास अनुमती देईल. तुम्ही सुमारे 10 दारांसह खेळू शकता आणि नंतर हळूहळू तीन दरवाजे असलेल्या गेममध्ये जाऊ शकता; एक सिम्युलेटर देखील आहे जिथे तुम्ही 3 ते 50 पर्यंत कितीही दरवाजे निवडू शकता आणि अनेक हजार सिम्युलेशन खेळू किंवा चालवू शकता आणि तुम्ही खेळलात तर तुम्ही किती वेळा जिंकलात ते पाहू शकता.

उच्च गणिताचे शिक्षक आणि गेम बॅलन्समधील तज्ञ मॅक्सिम सोल्डाटॉव्हची टिप्पणी, जी अर्थातच श्रेबरकडे नव्हती, परंतु त्याशिवाय हे जादुई परिवर्तन समजणे कठीण आहे:

एक दरवाजा निवडा, तीनपैकी एक, "जिंकण्याची" संभाव्यता 1/3 आहे. आता तुमच्याकडे 2 धोरणे आहेत: चुकीचा दरवाजा उघडल्यानंतर निवड बदला किंवा नाही. जर तुम्ही तुमची निवड बदलली नाही, तर संभाव्यता 1/3 राहील, कारण निवड फक्त पहिल्या टप्प्यावर आहे, आणि तुम्हाला लगेच अंदाज लावावा लागेल, जर तुम्ही बदललात, तर तुम्ही प्रथम चुकीचा दरवाजा निवडल्यास तुम्ही जिंकू शकता. (मग त्यांनी दुसरे चुकीचे उघडले, ते खरे राहील, तुम्ही तुमचा विचार बदला आणि फक्त ते घ्या)
सुरुवातीला चुकीचा दरवाजा निवडण्याची संभाव्यता 2/3 आहे, त्यामुळे असे दिसून आले की तुमचा निर्णय बदलून तुम्ही जिंकण्याची शक्यता 2 पट जास्त कराल.

आणि पुन्हा मॉन्टी हॉल विरोधाभास बद्दल

शोसाठीच, मॉन्टी हॉलला हे माहित होते कारण जरी त्याचे प्रतिस्पर्धी गणितात चांगले नसले तरीही, तोते चांगले समजते. खेळ थोडा बदलण्यासाठी त्याने काय केले ते येथे आहे. ज्याच्या मागे बक्षीस आहे तो दरवाजा तुम्ही निवडल्यास, ज्याची संभाव्यता 1/3 आहे नेहमीतुम्हाला वेगळा दरवाजा निवडण्याची संधी दिली. शेवटी, आपण एक प्रवासी कार निवडली आणि नंतर आपण ती बकरीमध्ये बदलली आणि आपण खूपच मूर्ख दिसाल, जे त्याला आवश्यक आहे, कारण तो एक प्रकारचा दुष्ट माणूस आहे. परंतु आपण दरवाजा निवडल्यास ज्याच्या मागे कोणतेही बक्षीस मिळणार नाही, फक्त अर्ध्या वाजताअशा प्रकरणांमध्ये, तो तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर देईल आणि इतर प्रकरणांमध्ये, तो तुम्हाला तुमची नवीन बकरी दाखवेल आणि तुम्ही स्टेज सोडून जाल. चला या नवीन गेमचे विश्लेषण करूया ज्यामध्ये मॉन्टी हॉल करू शकतो निवडातुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी द्या किंवा नाही.

समजा तो या अल्गोरिदमचे पालन करतो: जर तुम्ही बक्षीस असलेला दरवाजा निवडला तर तो तुम्हाला नेहमी दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी देतो, अन्यथा तो तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची किंवा बकरी देण्याची शक्यता 50/50 आहे. तुमच्या जिंकण्याची शक्यता काय आहे?

तीन पर्यायांपैकी एकामध्ये, ज्याच्या मागे बक्षीस आहे तो दरवाजा तुम्ही ताबडतोब निवडा आणि होस्ट तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्यासाठी आमंत्रित करेल.

तीनपैकी उरलेल्या दोन पर्यायांपैकी (तुम्ही सुरुवातीला बक्षीसशिवाय दरवाजा निवडता), अर्ध्या प्रकरणांमध्ये, यजमान तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर देईल आणि उर्वरित प्रकरणांमध्ये, नाही. 2/3 चा अर्धा 1/3 आहे, म्हणजे. तीनपैकी एका प्रकरणात तुम्हाला एक बकरा मिळेल, तीनपैकी एका प्रकरणात तुम्ही चुकीचा दरवाजा निवडाल आणि यजमान तुम्हाला दुसरा पर्याय निवडण्याची ऑफर देईल आणि तीनपैकी एका प्रकरणात तुम्ही निवड कराल. उजवा दरवाजा,आणि तो तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्यास सांगेल.

जर नेत्याने दुसरा दरवाजा निवडण्याची ऑफर दिली, तर आम्हाला आधीच माहित आहे की तीनपैकी एक केस, जेव्हा तो आम्हाला बकरा देतो आणि आम्ही निघतो, तसे झाले नाही. ही उपयुक्त माहिती आहे कारण याचा अर्थ आमची जिंकण्याची शक्यता बदलली आहे. तीनपैकी दोन प्रकरणांमध्ये, जेव्हा आम्हाला निवडण्याची संधी असते, एका बाबतीत याचा अर्थ असा होतो की आम्ही योग्य अंदाज लावला आहे आणि दुसर्‍या बाबतीत आम्ही चुकीचा अंदाज लावला आहे, म्हणून जर आम्हाला अजिबात निवडण्याची संधी दिली गेली असेल तर याचा अर्थ असा होतो की आमची जिंकण्याची शक्यता 50/50 आहे, आणि नाही गणितीयफायदे, तुमच्या आवडीनुसार रहा किंवा दुसरा दरवाजा निवडा.

पोकर प्रमाणे, हा आता एक मानसशास्त्रीय खेळ आहे, गणिताचा नाही. मॉन्टीने तुम्हाला एक पर्याय देऊ केला कारण त्याला वाटते की तुम्ही मूर्ख आहात ज्याला माहित नाही की वेगळा दरवाजा निवडणे हा "योग्य" निर्णय आहे आणि तुम्ही जिद्दीने तुमच्या निवडीवर ठाम राहाल, कारण जेव्हा तुम्ही कार निवडली तेव्हा मानसिकदृष्ट्या परिस्थिती होती, पण नंतर ते गमावले, कठीण? किंवा त्याला असे वाटते की तुम्ही हुशार आहात आणि दुसरा दरवाजा निवडा आणि तो तुम्हाला ही संधी देतो कारण त्याला माहित आहे की तुम्ही सुरुवातीला बरोबर अंदाज लावला होता आणि तुम्ही अडकून पडाल? किंवा कदाचित तो स्वतःवर दयाळू असेल आणि तुम्हाला तुमच्या वैयक्तिक हितासाठी काहीतरी करण्यास भाग पाडेल, कारण त्याने बर्याच काळापासून कार दिली नाही आणि त्याचे निर्माते त्याला सांगतात की प्रेक्षक कंटाळले आहेत आणि त्याने दिले तर बरे होईल. रेटिंग घसरण्यापासून रोखण्यासाठी लवकरच एक मोठे बक्षीस?

अशा प्रकारे, मॉन्टी निवड ऑफर करण्यास व्यवस्थापित करतो (कधीकधी) आणि जिंकण्याची एकूण संभाव्यता 1/3 सारखीच राहते. लक्षात ठेवा की तुम्ही लगेच गमावाल अशी १/३ शक्यता आहे. तुम्हाला ते लगेच मिळण्याची शक्यता 1/3 आहे आणि यापैकी 50% प्रकरणांमध्ये तुम्ही जिंकाल (1/3 x 1/2 = 1/6). तुम्ही सुरुवातीला चुकीचा अंदाज लावाल, पण नंतर तुम्हाला दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी मिळेल, ही शक्यता 1/3 आहे आणि यापैकी 50% प्रकरणांमध्ये तुम्ही जिंकू शकता (1/6 देखील). दोन स्वतंत्र जिंकण्याच्या संधी जोडा, आणि तुम्हाला 1/3 च्या बरोबरीची संभाव्यता मिळेल, त्यामुळे तुम्ही तुमच्या आवडीनुसार राहिल्यास किंवा दुसरा दरवाजा निवडल्यास काही फरक पडत नाही, संपूर्ण गेममध्ये तुमची जिंकण्याची एकूण संभाव्यता 1/3 च्या बरोबरीची आहे. .. संभाव्यता अशा परिस्थितीत जास्त होत नाही जिथे तुम्ही दरवाजाचा अंदाज लावाल आणि प्रस्तुतकर्ता तुम्हाला या दरवाजाच्या मागे काय आहे हे दाखवेल, दुसरा दरवाजा निवडण्याची शक्यता न घेता! म्हणून दुसरा दरवाजा निवडण्याची संधी देण्याचा मुद्दा संभाव्यता बदलणे नाही, तर निर्णय घेण्याची प्रक्रिया टीव्ही पाहण्यासाठी अधिक मनोरंजक बनवणे आहे.

तसे, पोकर इतके मनोरंजक का असू शकते याचे हे एक कारण आहे: फेऱ्यांमधील बहुतेक फॉरमॅटमध्ये, जेव्हा बेट लावले जाते (उदाहरणार्थ, टेक्सास होल्डममधील फ्लॉप, वळण आणि नदी), कार्डे हळूहळू उघड होतात, आणि जर गेमच्या सुरुवातीला तुम्हाला जिंकण्याची शक्यता असेल, तर प्रत्येक फेरीनंतर, जेव्हा अधिक कार्डे उघडली जातात, तेव्हा ही संभाव्यता बदलते.

मुलगा आणि मुलगी विरोधाभास

हे आपल्याला दुसर्या सुप्रसिद्ध विरोधाभासाकडे घेऊन जाते, जे नियम म्हणून, प्रत्येकाला कोडे बनवते - मुलगा आणि मुलगी यांचा विरोधाभास. आज मी फक्त एकच गोष्ट लिहित आहे जी थेट गेमशी संबंधित नाही (जरी मी असे गृहीत धरतो की याचा अर्थ असा आहे की मी तुम्हाला योग्य गेम यांत्रिकी तयार करण्यासाठी धक्का दिला पाहिजे). हे एक कोडे आहे, परंतु मनोरंजक आहे आणि ते सोडवण्यासाठी, आपल्याला सशर्त संभाव्यता समजून घेणे आवश्यक आहे, ज्याबद्दल आम्ही वर बोललो.

आव्हान: माझा दोन मुलांसह एक मित्र आहे, कमीत कमी एकमूल मुलगी आहे. दुसरे अपत्य होण्याची शक्यता किती आहे खूपमुलगी चला असे गृहीत धरू की कोणत्याही कुटुंबात मुलगी किंवा मुलगा होण्याची शक्यता 50/50 आहे आणि हे प्रत्येक मुलासाठी खरे आहे (खरं तर, काही पुरुषांमध्ये एक्स गुणसूत्र किंवा वाय गुणसूत्र असलेले शुक्राणू जास्त असतात, त्यामुळे संभाव्यता थोडीशी बदलते. आपल्याला माहित आहे की एक मूल मुलगी आहे, मुलीला जन्म देण्याची शक्यता थोडी जास्त आहे, याव्यतिरिक्त, इतर अटी आहेत, उदाहरणार्थ, हर्माफ्रोडिटिझम, परंतु या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही हे विचारात घेणार नाही आणि असे गृहीत धरू. मुलाचा जन्म ही एक स्वतंत्र घटना आहे आणि मुलगा किंवा मुली असण्याची शक्यता समान आहे).

आपण 1/2 संधीबद्दल बोलत असल्याने, अंतर्ज्ञानाने आपल्याला अपेक्षित आहे की उत्तर बहुधा 1/2 किंवा 1/4, किंवा इतर काही गोल संख्या असेल जी दोनचा गुणाकार असेल. पण उत्तर आहे: 1/3 ... का थांबा?

या प्रकरणात अडचण अशी आहे की आपल्याकडे असलेल्या माहितीमुळे शक्यतांची संख्या कमी होते. समजा पालक सेसेम स्ट्रीटचे चाहते आहेत, आणि मुलगा किंवा मुलगी जन्माला आले की नाही याची पर्वा न करता, त्यांनी त्यांच्या मुलांचे नाव अ आणि ब ठेवले. सामान्य परिस्थितीत, चार समान संभाव्य शक्यता आहेत: A आणि B ही दोन मुले आहेत, A आणि B दोन मुली आहेत, A एक मुलगा आहे, आणि B एक मुलगी आहे, A एक मुलगी आहे आणि B एक मुलगा आहे. आम्हाला ते माहीत असल्याने कमीत कमी एकमूल मुलगी आहे, अ आणि ब ही दोन मुले असण्याची शक्यता आपण काढून टाकू शकतो, त्यामुळे आपल्याकडे तीन (अजूनही तितक्याच संभाव्य) शक्यता उरल्या आहेत. जर सर्व शक्यता समान संभाव्य असतील आणि त्यापैकी तीन असतील, तर आम्हाला माहित आहे की त्या प्रत्येकाची संभाव्यता 1/3 आहे. या तीन पर्यायांपैकी फक्त एका पर्यायामध्ये दोन्ही मुले दोन मुली आहेत, म्हणून उत्तर 1/3 आहे.

आणि पुन्हा एक मुलगा आणि मुलगी विरोधाभास बद्दल

समस्येचे निराकरण आणखी अतार्किक बनते. कल्पना करा की मी तुम्हाला सांगितले की माझ्या मित्राला दोन मुले आणि एक मूल आहे - ज्या मुलीचा जन्म मंगळवारी झाला... समजा की सामान्य परिस्थितीत आठवड्याच्या सात दिवसांपैकी एका दिवशी बाळ होण्याची शक्यता सारखीच असते. दुसरे मूल देखील मुलगी असण्याची शक्यता किती आहे? तुम्हाला वाटेल की अजून 1/3 उत्तर असेल; मंगळवार म्हणजे काय? परंतु या प्रकरणातही, अंतर्ज्ञान आपल्याला अपयशी ठरते. उत्तर: 13/27 जे केवळ अंतर्ज्ञानी नाही तर ते खूप विचित्र आहे. काय झला या प्रकरणात?

खरं तर, मंगळवार संभाव्यता बदलतो कारण आम्हाला माहित नाही जेमुलाचा जन्म मंगळवारी किंवा शक्यतो झाला दोन मुलेमंगळवारी जन्म झाला. या प्रकरणात, आम्ही वरीलप्रमाणेच तर्कशास्त्र वापरतो, आम्ही सर्व संभाव्य जोड्या मोजतो जेव्हा कमीतकमी एक मूल मंगळवारी जन्मलेली मुलगी असते. मागील उदाहरणाप्रमाणे, समजा मुलांचे नाव A आणि B ठेवले आहे, तर संयोजन खालीलप्रमाणे आहेत:

• A - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, B - एक मुलगा (या परिस्थितीत 7 शक्यता आहेत, आठवड्याच्या प्रत्येक दिवसासाठी एक मुलगा जन्माला येऊ शकतो).
• बी - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, ए - एक मुलगा (7 शक्यता देखील).
• A - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, B - एक मुलगी जिचा जन्म मंगळवारी झाला दुसराआठवड्याचा दिवस (6 शक्यता).
• B - मंगळवारी जन्मलेली मुलगी, A - एक मुलगी जिचा जन्म मंगळवारी नसलेल्या दिवशी झाला (6 संभाव्यता देखील).
• ए आणि बी - दोन मुली ज्यांचा जन्म मंगळवारी झाला (1 शक्यता, आपल्याला याकडे लक्ष देणे आवश्यक आहे, जेणेकरून दोनदा मोजू नये).

आम्ही बेरीज करतो आणि मुलांच्या जन्माचे आणि दिवसांचे 27 भिन्न तितकेच संभाव्य संयोजन मिळवतो ज्यात मंगळवारी मुलगी होण्याची किमान एक शक्यता असते. यापैकी 13 संधी दोन मुलींच्या जन्माला येतात. हे देखील पूर्णपणे अतार्किक दिसते आणि असे दिसते की हे कार्य केवळ डोकेदुखीसाठी तयार केले गेले आहे. जर तुम्ही अजूनही या उदाहरणाने गोंधळलेले असाल, तर गेम थिअरिस्ट जेस्पर युल यांनी त्यांच्या वेबसाइटवर या प्रकरणाचे चांगले स्पष्टीकरण दिले आहे.

तुम्ही सध्या एखाद्या गेमवर काम करत असाल तर...

तुम्ही डिझाइन करत असलेल्या गेममध्ये यादृच्छिकता असल्यास, त्याचे विश्लेषण करण्याची ही एक उत्तम संधी आहे. तुम्हाला विश्लेषण करायचे आहे असे काही घटक निवडा. प्रथम, स्वतःला विचारा की दिलेल्या घटकाची संभाव्यता तुम्हाला काय अपेक्षित आहे, खेळाच्या संदर्भात ते काय असावे असे तुम्हाला वाटते. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही RPG तयार करत असाल आणि एखाद्या खेळाडूला युद्धात एखाद्या राक्षसाला पराभूत करण्याची शक्यता काय असावी असा विचार करत असाल तर, जिंकण्याची टक्केवारी तुम्हाला किती योग्य वाटते ते स्वतःला विचारा. सामान्यत: कन्सोल आरपीजी खेळताना, खेळाडू हरतात तेव्हा खूप निराश होतात, त्यामुळे त्यांनी अनेकदा न गमावणे चांगले आहे... कदाचित 10% वेळ किंवा कमी? जर तुम्ही RPG डिझायनर असाल, तर तुम्हाला कदाचित माझ्यापेक्षा चांगले माहित असेल, परंतु संभाव्यता काय असावी याची तुम्हाला मूलभूत कल्पना असणे आवश्यक आहे.

मग हे काहीतरी आहे का ते स्वतःला विचारा व्यसनी(जसे कार्ड्स) किंवा स्वतंत्र(फासे सारखे). सर्व संभाव्य परिणाम आणि त्यांच्या संभाव्यतेचे पुनरावलोकन करा. सर्व संभाव्यतेची बेरीज 100% असल्याची खात्री करा. शेवटी, नक्कीच, तुम्हाला मिळालेल्या परिणामांची तुमच्या अपेक्षांशी तुलना करा. तुम्ही फासे फेकत असाल किंवा तुमच्या इच्छेनुसार कार्ड काढत असाल किंवा तुम्हाला मूल्ये समायोजित करण्याची आवश्यकता आहे असे तुम्हाला दिसते. आणि, नक्कीच, जर तुम्ही शोधणेकाय समायोजित करणे आवश्यक आहे, आपण काहीतरी समायोजित करण्यासाठी समान गणना वापरू शकता!

गृहपाठ

या आठवड्यात तुमचा "गृहपाठ" तुम्हाला तुमची संभाव्य कौशल्ये सुधारण्यात मदत करेल. येथे दोन फासे गेम आणि एक कार्ड गेम आहे ज्याचे तुम्ही संभाव्यतेचा वापर करून विश्लेषण कराल, तसेच मी एकदा विकसित केलेला एक विचित्र गेम मेकॅनिक जो तुम्ही मॉन्टे कार्लो पद्धतीची चाचणी घेण्यासाठी वापरू शकता.

गेम क्रमांक 1 - ड्रॅगन हाडे

हा एक फासेचा खेळ आहे ज्याचा आम्ही सहकाऱ्यांसोबत शोध लावला होता (जेब हेव्हन्स आणि जेसी किंगचे आभार!), आणि जे जाणूनबुजून त्याच्या संभाव्यतेसह लोकांच्या मेंदूला घेऊन जाते. हा ड्रॅगन बोन्स नावाचा एक साधा कॅसिनो गेम आहे आणि खेळाडू आणि घर यांच्यातील फासे स्पर्धा आहे. तुम्हाला नेहमीचा 1d6 डाय दिला जातो. खेळाचा उद्देश घरापेक्षा उंच क्रमांक टाकणे आहे. टॉमला एक नॉन-स्टँडर्ड 1d6 - तुमच्या सारखाच, परंतु एका चेहऱ्यावर एक ऐवजी - ड्रॅगनची प्रतिमा (अशा प्रकारे, कॅसिनोमध्ये ड्रॅगन-2-3-4-5-6 क्यूब आहे). जर घराला ड्रॅगन मिळाला तर तो आपोआप जिंकतो आणि तुम्ही हराल. तुम्हा दोघांना समान क्रमांक मिळाल्यास, तो ड्रॉ आहे आणि तुम्ही पुन्हा फासे गुंडाळता. जो सर्वात जास्त फेकतो तो जिंकतो.

अर्थात, सर्व काही पूर्णपणे खेळाडूच्या बाजूने जात नाही, कारण कॅसिनोला ड्रॅगनच्या काठाच्या रूपात एक फायदा आहे. पण खरंच असं आहे का? तुम्हाला ते बाहेर काढावे लागेल. पण त्याआधी, तुमची अंतर्ज्ञान तपासा. समजा विजय 2 ते 1 आहेत. त्यामुळे तुम्ही जिंकल्यास, तुम्ही तुमची पैज ठेवा आणि दुप्पट करा. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही $1 वर पैज लावली आणि जिंकली, तर तुम्ही ते डॉलर ठेवाल आणि एकूण $3 साठी आणखी 2 मिळवाल. आपण गमावल्यास, आपण फक्त आपली पैज गमावाल. तुम्ही खेळाल का? तर, तुम्हाला अंतर्ज्ञानाने असे वाटते की संभाव्यता 2 ते 1 पेक्षा जास्त आहे किंवा तरीही तुम्हाला वाटते की ती कमी आहे? दुसऱ्या शब्दांत, सरासरी 3 गेममध्ये, तुम्ही एकापेक्षा जास्त, किंवा कमी, किंवा एकदा जिंकण्याची अपेक्षा करता?

एकदा तुमची अंतर्ज्ञान सुटली की, गणित लागू करा. दोन्ही फासांसाठी फक्त 36 संभाव्य पोझिशन्स आहेत, त्यामुळे तुम्ही कोणत्याही अडचणीशिवाय त्या सर्वांची गणना करू शकता. तुम्हाला या 2-ते-1 वाक्याबद्दल खात्री नसल्यास, याचा विचार करा: समजा तुम्ही गेम 36 वेळा खेळला आहे (प्रत्येक वेळी $ 1 सट्टा). प्रत्येक विजयासाठी तुम्हाला $2 मिळतात, प्रत्येक पराभवासाठी तुम्ही $1 गमावता आणि ड्रॉमुळे काहीही बदलत नाही. तुमच्‍या सर्व संभाव्य विजयांची आणि तोट्याची गणना करा आणि तुम्‍ही काही डॉलर गमावणार की नफा होणार हे ठरवा. मग स्वतःला विचारा की तुमची अंतर्ज्ञान किती बरोबर होती. आणि मग - मी काय खलनायक आहे याची जाणीव.

आणि, होय, जर तुम्ही या प्रश्नाबद्दल आधीच विचार केला असेल - मी जाणूनबुजून फासे खेळांचे वास्तविक यांत्रिकी विकृत करून तुम्हाला गोंधळात टाकत आहे, परंतु मला खात्री आहे की तुम्ही फक्त चांगल्या विचाराने या अडथळ्यावर मात करू शकता. ही समस्या स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा. मी पुढील आठवड्यात सर्व उत्तरे येथे पोस्ट करेन.

गेम # 2 - लक टॉस

हा लक रोल नावाचा एक फासाचा खेळ आहे (बर्डकेज देखील, कारण काहीवेळा फासे फेकले जात नाहीत, परंतु बिंगो पिंजऱ्याची आठवण करून देणार्‍या मोठ्या वायरच्या पिंजऱ्यात ठेवले जातात). हा एक साधा खेळ आहे जो यासारखे काहीतरी उकळतो: 1 आणि 6 मधील नंबरवर $ 1 पैज लावा. मग तुम्ही 3d6 रोल करा. तुमचा नंबर मारणाऱ्या प्रत्येक डायसाठी, तुम्हाला $1 मिळेल (आणि तुमचा मूळ हिस्सा ठेवा). तुमचा नंबर कोणत्याही फासेवर दिसत नसल्यास, कॅसिनोला तुमचे डॉलर मिळतात आणि तुम्हाला - काहीही नाही. त्यामुळे, जर तुम्ही 1 वर पैज लावली आणि तुम्हाला तीन वेळा कडांवर 1 मिळाला तर तुम्हाला $3 मिळतील.

अंतर्ज्ञानाने, या गेममध्ये समान संधी असल्याचे दिसते. प्रत्येक डाय हा प्रत्येकी 6 पैकी 1 जिंकण्याची संधी आहे, त्यामुळे तिन्हींच्या बेरजेवर तुमची जिंकण्याची शक्यता 3 ते 6 आहे. तथापि, अर्थातच, लक्षात ठेवा की तुम्ही तीन वेगळे फासे तयार करत आहात आणि तुम्हाला जोडण्याची परवानगी असेल तरच आम्ही एकाच फासाच्या वेगळ्या विजयी संयोजनांबद्दल बोलत आहोत. आपल्याला गुणाकार करण्यासाठी काहीतरी आवश्यक असेल.

एकदा आपण सर्व संभाव्य परिणाम शोधून काढल्यानंतर (हे हाताने करण्यापेक्षा Excel मध्ये हे करणे कदाचित सोपे आहे, कारण त्यापैकी 216 आहेत), गेम अजूनही विचित्र आणि अगदी पहिल्या दृष्टीक्षेपात दिसतो. पण प्रत्यक्षात, कॅसिनोमध्ये अजूनही जिंकण्याची अधिक शक्यता आहे - आणखी किती? विशेषतः, गेमच्या प्रत्येक फेरीसाठी तुम्हाला सरासरी किती पैसे गमावण्याची अपेक्षा आहे? तुम्हाला फक्त सर्व 216 निकालांचे विजय आणि नुकसान जोडायचे आहे आणि नंतर 216 ने भागायचे आहे, जे अगदी सोपे असले पाहिजे ... परंतु तुम्ही बघू शकता, काही तोटे आहेत ज्यात तुम्ही पडू शकता, म्हणूनच मी मी तुम्हाला सांगतो: जर तुम्हाला वाटत असेल की या गेममध्ये जिंकण्याची शक्यता देखील आहे, तर तुमचे सर्व चुकले आहे.

गेम # 3 - 5 कार्ड स्टड पोकर

आपण मागील गेममध्ये उबदार असल्यास, या कार्ड गेमसह सशर्त संभाव्यतेबद्दल आम्हाला काय माहित आहे ते तपासूया. विशेषतः, 52-कार्ड डेकसह पोकरची कल्पना करूया. चला 5 कार्ड स्टडची देखील कल्पना करूया, जिथे प्रत्येक खेळाडूला फक्त 5 कार्ड मिळतात. तुम्ही कार्ड टाकून देऊ शकत नाही, तुम्ही नवीन काढू शकत नाही, सामान्य डेक नाही - तुम्हाला फक्त 5 कार्डे मिळतील.

रॉयल फ्लश एका हातात 10-J-Q-K-A आहे, एकूण चार आहेत, त्यामुळे रॉयल फ्लश मिळविण्याचे चार संभाव्य मार्ग आहेत. तुम्हाला असे एक संयोजन मिळेल या संभाव्यतेची गणना करा.

मी तुम्हाला एका गोष्टीबद्दल चेतावणी दिली पाहिजे: लक्षात ठेवा की तुम्ही ही पाच कार्डे कोणत्याही क्रमाने काढू शकता. म्हणजेच, प्रथम आपण एक एक्का किंवा दहा काढू शकता, काही फरक पडत नाही. त्यामुळे याची गणना करताना, लक्षात ठेवा की कार्डे क्रमाने हाताळली गेली आहेत असे गृहीत धरून रॉयल फ्लश मिळविण्याचे प्रत्यक्षात चार मार्ग आहेत!

गेम # 4 - IMF लॉटरी

आज आपण ज्या पद्धतींबद्दल बोललो त्या पद्धतींसह चौथी समस्या सोडवणे इतके सोपे होणार नाही, परंतु आपण प्रोग्रामिंग किंवा एक्सेल वापरून परिस्थितीचे सहज अनुकरण करू शकता. या समस्येच्या उदाहरणावरच तुम्ही मॉन्टे कार्लो पद्धतीचा अभ्यास करू शकता.

मी आधी "क्रोन एक्स" गेमचा उल्लेख केला होता, ज्यावर मी काम केले होते आणि एक अतिशय मनोरंजक कार्ड होते - IMF लॉटरी. ते कसे कार्य करते ते येथे आहे: तुम्ही ते गेममध्ये वापरले. फेरी संपल्यानंतर, कार्डांचे पुनर्वितरण करण्यात आले, आणि कार्ड गेम सोडून जाण्याची 10% शक्यता होती, आणि यादृच्छिक खेळाडूला प्रत्येक प्रकारच्या संसाधनाचे 5 युनिट्स मिळतील ज्यांचे टोकन या कार्डवर उपस्थित होते. हे कार्ड एका टोकनशिवाय खेळण्यात आले होते, परंतु प्रत्येक वेळी पुढील फेरीच्या सुरुवातीला ते गेममध्ये राहिले, तेव्हा त्याला एक टोकन मिळाले. त्यामुळे 10% शक्यता होती की तुम्ही तिला खेळात आणाल, फेरी संपेल, कार्ड गेम सोडेल आणि कोणालाही काहीही मिळणार नाही. असे न घडल्यास (90% संभाव्यतेसह), 10% शक्यता आहे (खरेतर 9%, कारण हे 90% पैकी 10% आहे) पुढील फेरीत ती गेम सोडेल आणि कोणाला 5 मिळतील. संसाधनांची एकके. जर कार्ड एका फेरीनंतर गेम सोडले (उपलब्ध 81% पैकी 10%, त्यामुळे संभाव्यता 8.1% आहे), एखाद्याला 10 युनिट्स मिळतील, दुसर्‍या फेरीनंतर - 15, आणखी 20 आणि असेच. प्रश्न: हे कार्ड शेवटी गेम सोडल्यावर तुम्हाला मिळणाऱ्या संसाधनांच्या संख्येचे सामान्य अपेक्षित मूल्य काय आहे?

सामान्यतः, आम्ही प्रत्येक परिणामाची शक्यता शोधून आणि सर्व परिणामांच्या संख्येने गुणाकार करून ही समस्या सोडवण्याचा प्रयत्न करू. त्यामुळे तुम्हाला 0 (0.1 * 0 = 0) मिळण्याची 10% शक्यता आहे. 9% की तुम्हाला 5 युनिट्स संसाधने (9% * 5 = 0.45 संसाधने) प्राप्त होतील. तुम्हाला 10 मिळालेल्या 8.1% (8.1% * 10 = 0.81 एकूण संसाधने, अपेक्षित मूल्य). इ. आणि मग आम्ही ते सर्व जोडू.

आणि आता समस्या तुमच्यासाठी स्पष्ट आहे: कार्डची संधी नेहमीच असते नाहीगेम सोडेल जेणेकरून ती गेममध्ये राहू शकेल कायमचे, असंख्य फेऱ्यांसाठी, जेणेकरून गणना करण्याच्या शक्यता प्रत्येक संधीअस्तित्वात नाही. आज आपण शिकलेल्या पद्धती आपल्याला अनंत पुनरावृत्तीची गणना करण्याची क्षमता देत नाहीत, म्हणून आपल्याला ती कृत्रिमरित्या तयार करावी लागेल.

जर तुम्ही प्रोग्रामिंगमध्ये पुरेसे चांगले असाल तर, या कार्डचे अनुकरण करणारा प्रोग्राम लिहा. तुमच्याकडे एक टाइम लूप असावा जो व्हेरिएबलला त्याच्या मूळ शून्य स्थानावर परत आणतो, एक यादृच्छिक संख्या दाखवतो आणि व्हेरिएबल लूपच्या बाहेर जाण्याची 10% शक्यता असते. अन्यथा, ते व्हेरिएबलमध्ये 5 जोडते आणि लूपची पुनरावृत्ती होते. जेव्हा ते शेवटी लूपमधून बाहेर पडते, तेव्हा एकूण ट्रायल रन्सची संख्या 1 ने वाढवा आणि एकूण संसाधनांची संख्या (व्हेरिएबल कोठे सोडले यावर किती अवलंबून आहे). नंतर व्हेरिएबल रीसेट करा आणि पुन्हा सुरू करा. कार्यक्रम अनेक हजार वेळा चालवा. शेवटी, एकूण संसाधने एकूण धावांनी विभाजित करा - हे तुमचे अपेक्षित मॉन्टे कार्लो मूल्य असेल. तुम्हाला मिळालेले आकडे अंदाजे समान आहेत याची खात्री करण्यासाठी प्रोग्राम अनेक वेळा चालवा; जर स्प्रेड अजूनही मोठा असेल तर, जोपर्यंत तुम्हाला जुळणे सुरू होत नाही तोपर्यंत बाह्य लूपमध्ये पुनरावृत्तीची संख्या वाढवा. तुम्‍ही खात्री बाळगू शकता की तुम्‍हाला जे काही आकडे असतील ते अंदाजे बरोबर असतील.

तुम्‍हाला प्रोग्रॅमिंग (किंवा तुम्‍ही असले तरीही) अपरिचित असल्‍यास, तुमच्‍या एक्‍सेल कौशल्‍याला वार्म करण्‍यासाठी तुमच्‍यासाठी हा एक छोटासा व्यायाम आहे. तुम्ही गेम डिझायनर असल्यास, एक्सेल कौशल्ये कधीही अनावश्यक नसतात.

आत्तासाठी, IF आणि RAND फंक्शन्स उपयोगी येतील. RAND ला कोणत्याही मूल्यांची आवश्यकता नाही, ती फक्त 0 आणि 1 मधील यादृच्छिक दशांश संख्या आउटपुट करते. सामान्यत: आम्ही ते रोल ऑफ द डायचे अनुकरण करण्यासाठी FLOOR आणि फायदे आणि तोटे एकत्र करतो, ज्याचा मी आधी उल्लेख केला आहे. तथापि, या प्रकरणात, आम्ही फक्त 10% संधी सोडतो की कार्ड गेम सोडेल, म्हणून आम्ही फक्त RAND मूल्य 0.1 पेक्षा कमी आहे का ते तपासू शकतो आणि यापुढे त्याचा त्रास होणार नाही.

IF चे तीन अर्थ आहेत. क्रमाने, एक अट जी एकतर सत्य आहे किंवा नाही, नंतर एक मूल्य जी स्थिती सत्य असल्यास परत केली जाते आणि एक मूल्य जी स्थिती सत्य नसल्यास परत केली जाते. तर खालील फंक्शन 5% वेळेत आणि 0 इतर 90% वेळ देईल:
= IF (RAND ()<0.1,5,0)

ही आज्ञा सेट करण्याचे अनेक मार्ग आहेत, परंतु मी पहिल्या फेरीचे प्रतिनिधित्व करणार्‍या सेलसाठी असे सूत्र वापरेन, समजा तो सेल A1 आहे:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

येथे मी नकारात्मक व्हेरिएबल वापरत आहे याचा अर्थ "या कार्डाने गेम सोडला नाही आणि अद्याप कोणतेही संसाधन दान केलेले नाही." त्यामुळे जर पहिली फेरी संपली आणि कार्ड बाहेर पडले, तर A1 0 आहे; अन्यथा ते -1 आहे.

दुसऱ्या फेरीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या पुढील सेलसाठी:

IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

त्यामुळे जर पहिली फेरी संपली आणि कार्ड लगेच गेम सोडले, तर A1 0 आहे (संसाधनांची संख्या) आणि हा सेल फक्त ते मूल्य कॉपी करेल. उलट स्थितीत, A1 हे -1 आहे (कार्डने अद्याप गेम सोडला नाही), आणि हा सेल यादृच्छिकपणे फिरत राहतो: 10% वेळेत तो 5 युनिट्स संसाधने परत करेल, उर्वरित वेळेत त्याचे मूल्य स्थिर राहील. असणे -1. जर आम्ही हे सूत्र अतिरिक्त सेलवर लागू केले, तर आम्हाला अतिरिक्त राउंड मिळतील आणि शेवटी जो सेल तुमच्यासमोर येईल, तुम्हाला अंतिम निकाल मिळेल (किंवा -1 तुम्ही खेळलेल्या सर्व फेऱ्यांनंतर कार्डने गेम सोडला नसेल तर) .

सेलची ही पंक्ती घ्या, जी या कार्डसह एकमात्र फेरी आहे आणि अनेक शंभर (किंवा हजारो) पंक्ती कॉपी आणि पेस्ट करा. आम्ही कदाचित करू शकणार नाही अंतहीन Excel साठी चाचणी (टेबलमध्ये मर्यादित सेल आहेत), परंतु कमीतकमी आम्ही बहुतेक प्रकरणे कव्हर करू शकतो. नंतर एक सेल निवडा जिथे तुम्ही सर्व फेऱ्यांच्या निकालांची सरासरी ठेवाल (Excel कृपया यासाठी AVERAGE () फंक्शन प्रदान करेल).

Windows वर, तुम्ही सर्व यादृच्छिक संख्या पुन्हा मोजण्यासाठी किमान F9 दाबू शकता. पूर्वीप्रमाणे, हे अनेक वेळा करा आणि तुम्हाला मिळालेली मूल्ये समान आहेत का ते पहा. जर स्प्रेड खूप विस्तृत असेल, तर धावांची संख्या दुप्पट करा आणि पुन्हा प्रयत्न करा.

न सोडवलेली कामे

तुमच्याकडे संभाव्यतेची पदवी असल्यास आणि वरील समस्या तुमच्यासाठी खूप सोप्या वाटत असल्यास, येथे दोन समस्या आहेत ज्या मी अनेक वर्षांपासून गोंधळात टाकत आहे, परंतु अरेरे, त्या सोडवण्यासाठी मी गणितात इतका चांगला नाही. जर तुम्हाला अचानक एखादा उपाय माहित असेल, तर कृपया ते येथे टिप्पण्यांमध्ये पोस्ट करा, मी ते आनंदाने वाचेन.

निराकरण न झालेली समस्या क्रमांक 1: लॉटरीIMF

पहिली न सुटलेली समस्या म्हणजे मागील गृहपाठ असाइनमेंट. मी मॉन्टे कार्लो पद्धत (सी ++ किंवा एक्सेल वापरून) सहजपणे लागू करू शकतो आणि "खेळाडूला किती संसाधने मिळतील" या प्रश्नाच्या उत्तरात मला खात्री आहे, परंतु मला अचूक सिद्धता कशी प्रदान करावी हे माहित नाही. गणिताने उत्तर द्या (ही अंतहीन मालिका आहे). जर तुम्हाला उत्तर माहित असेल तर ते येथे पोस्ट करा ... अर्थातच मॉन्टे कार्लो बरोबर तपासल्यानंतर.

निराकरण न झालेली समस्या # 2: आकारांचे अनुक्रम

ही समस्या (आणि पुन्हा ती या ब्लॉगमध्ये सोडवलेल्या कार्यांच्या पलीकडे आहे) 10 वर्षांपूर्वी एका परिचित गेमरने माझ्याकडे टाकली होती. वेगासमध्ये ब्लॅकजॅक खेळताना त्याला एक मनोरंजक वैशिष्ट्य लक्षात आले: जेव्हा त्याने 8 डेकसाठी त्याच्या बुटातून पत्ते काढले तेव्हा त्याने पाहिले दहासलग तुकडे (एक तुकडा, किंवा एक तुकडा कार्ड - 10, जोकर, राजा किंवा राणी, म्हणून मानक 52-कार्ड डेकमध्ये त्यापैकी 16 आहेत, म्हणून 416-कार्डच्या शूमध्ये त्यापैकी 128 आहेत). या जोडा मध्ये संभाव्यता काय आहे किमानएक क्रम दहा किंवा जास्तआकडे? यादृच्छिक क्रमाने ते प्रामाणिकपणे बदलले होते असे मानू या. (किंवा, जर तुम्हाला ते अधिक चांगले आवडत असेल तर, संभाव्यता किती आहे कुठेही आढळले नाहीदहा किंवा अधिक आकारांचा क्रम?)

आपण कार्य सोपे करू शकतो. येथे 416 भागांचा क्रम आहे. प्रत्येक तुकडा 0 किंवा 1 आहे. संपूर्ण अनुक्रमात 128 आणि 288 शून्य यादृच्छिकपणे विखुरलेले आहेत. यादृच्छिकपणे 288 शून्यांसह 128 एकमेकांना छेदण्याचे किती मार्ग आहेत आणि या मार्गांमध्ये दहा किंवा त्याहून अधिक लोकांचा किमान एक गट किती वेळा असेल?

प्रत्येक वेळी, जेव्हा मी ही समस्या सोडवायला सुरुवात केली तेव्हा ती मला सोपी आणि स्पष्ट वाटली, परंतु मी तपशीलांचा शोध घेताच, ते अचानक वेगळे झाले आणि मला अशक्य वाटले. म्हणून उत्तर अस्पष्ट करण्यासाठी घाई करू नका: खाली बसा, काळजीपूर्वक विचार करा, समस्येच्या परिस्थितीचा अभ्यास करा, वास्तविक संख्या बदलण्याचा प्रयत्न करा, कारण ज्या लोकांशी मी या समस्येबद्दल बोललो ते सर्व लोक (या क्षेत्रात काम करणाऱ्या अनेक पदवीधर विद्यार्थ्यांसह) त्याचबद्दल प्रतिक्रिया दिली: "हे अगदी स्पष्ट आहे ... अरे, नाही, थांबा, हे अजिबात स्पष्ट नाही." हे असे आहे ज्यासाठी माझ्याकडे सर्व पर्यायांची गणना करण्याची पद्धत नाही. मी कॉम्प्युटर अल्गोरिदम द्वारे समस्येवर सक्तीने बळजबरी करू शकतो, परंतु ही समस्या सोडवण्याचा गणिती मार्ग जाणून घेणे अधिक उत्सुकतेचे असेल.

अनुवाद - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

देव विश्वाशी फासे खेळत नाही या आईन्स्टाईनच्या दाव्याचा चुकीचा अर्थ काढण्यात आला आहे

आईन्स्टाईनचे काही कॅचफ्रेसेस देव विश्वाशी फासे खेळत नाही या त्यांच्या टिप्पणीइतके व्यापकपणे उद्धृत केले गेले आहेत. लोक स्वाभाविकपणे त्याच्याबद्दलचे हे विनोदी भाष्य पुरावा म्हणून घेतात की ते क्वांटम मेकॅनिक्सला कट्टरपणे विरोध करत होते, जे यादृच्छिकतेला भौतिक जगाचे वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्य मानतात. जेव्हा किरणोत्सर्गी घटकाचा गाभा क्षय होतो तेव्हा ते उत्स्फूर्तपणे घडते; तो केव्हा आणि का होईल हे सांगणारा कोणताही नियम नाही. जेव्हा प्रकाशाचा कण अर्धपारदर्शक आरशावर आदळतो तेव्हा तो त्यातून परावर्तित होतो किंवा त्यातून जातो. ही घटना घडल्याच्या क्षणापर्यंत परिणाम कोणताही असू शकतो. आणि या प्रकारची प्रक्रिया पाहण्यासाठी तुम्हाला प्रयोगशाळेत जाण्याची गरज नाही: अनेक इंटरनेट साइट्स गीजर काउंटर किंवा क्वांटम ऑप्टिक्सद्वारे व्युत्पन्न केलेल्या यादृच्छिक संख्यांचे प्रवाह दर्शवतात. जरी तत्वतः अप्रत्याशित असले तरी, अशा संख्या क्रिप्टोग्राफी, आकडेवारी आणि ऑनलाइन पोकर स्पर्धांसाठी आदर्श आहेत.

आइन्स्टाईन, मानक आख्यायिका म्हटल्याप्रमाणे. काही घटना त्यांच्या स्वभावानुसार निर्धारवादी नसतात हे सत्य स्वीकारण्यास नकार दिला. - ते फक्त घडतात आणि का हे शोधण्यासाठी काहीही केले जाऊ शकत नाही. त्याच्या समवयस्कांनी वेढलेल्या, जवळजवळ भव्य अलगावमध्ये राहून, त्याने दोन्ही हातांनी शास्त्रीय भौतिकशास्त्राच्या यांत्रिक विश्वाला चिकटून ठेवले, यांत्रिकपणे सेकंद मोजले, ज्यामध्ये प्रत्येक क्षण पुढील काय होईल हे आधीच ठरवतो. फासेची ओळ त्याच्या आयुष्याच्या दुसर्‍या बाजूचे सूचक होती: एका क्रांतिकारकाची शोकांतिका प्रतिगामी बनली ज्याने त्याच्या सापेक्षतेच्या सिद्धांताने भौतिकशास्त्रात क्रांती केली, परंतु - नील्स बोहरने मुत्सद्दीपणे मांडल्याप्रमाणे - जेव्हा क्वांटम सिद्धांताचा सामना करावा लागला तेव्हा तो "जेवणाला गेला. "

तथापि, गेल्या काही वर्षांत, अनेक इतिहासकार, तत्त्वज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञांनी कथेच्या या व्याख्यावर प्रश्नचिन्ह उपस्थित केले आहे. आईन्स्टाईनने जे काही सांगितले त्या सर्व गोष्टींच्या समुद्रात डुबकी मारताना, त्यांना असे आढळले की अप्रत्याशिततेबद्दलचे त्यांचे निर्णय अधिक मूलगामी आहेत आणि त्यांच्या छटा सामान्यतः रंगवल्यापेक्षा विस्तृत आहेत. नॉट्रे डेम विद्यापीठातील इतिहासकार डॉन ए. हॉवर्ड म्हणतात, "एक सत्य कथा शोधण्याचा प्रयत्न करणे हे एक प्रकारचे मिशनरी कार्य बनते." त्याने आणि विज्ञानाच्या इतर इतिहासकारांनी दाखवल्याप्रमाणे, आइन्स्टाईनने क्वांटम मेकॅनिक्सचे नॉन-डिटरमिनिस्टिक स्वरूप ओळखले - जे आश्चर्यकारक नाही, कारण त्यानेच त्याचा अनिश्चितता शोधला. अनिश्चितता हा मूळ स्वभाव आहे हे त्यांनी कधीच मान्य केले नाही. या सर्वांनी सूचित केले की समस्या वास्तविकतेच्या सखोल स्तरावर उद्भवते, जी सिद्धांताने प्रतिबिंबित केली नाही. त्यांची टीका गूढ नव्हती, परंतु आजपर्यंत निराकरण न झालेल्या विशिष्ट वैज्ञानिक समस्यांवर लक्ष केंद्रित केले.

घड्याळाचे घड्याळ हे विश्व आहे की फासे टेबल आपल्याला भौतिकशास्त्राचा पाया मोडून टाकतो हा प्रश्न आहे: निसर्गाच्या आश्चर्यकारक विविधता अधोरेखित करणारे साधे नियम शोधणे. विनाकारण काही घडले तर ते तर्कशुद्ध संशोधनाला पूर्णविराम देते. मॅसॅच्युसेट्स इन्स्टिट्यूट ऑफ टेक्नॉलॉजीचे कॉस्मॉलॉजिस्ट अँड्र्यू एस. फ्रीडमन म्हणतात, "मूलभूत अनिश्चिततावादाचा अर्थ विज्ञानाचा अंत होईल." तरीही संपूर्ण इतिहासातील तत्त्वज्ञांचा असा विश्वास आहे की अनिश्चितता ही मानवी इच्छाशक्तीसाठी आवश्यक अट आहे. एकतर आपण घड्याळाच्या काट्याचे सर्व गीअर्स आहोत, आणि म्हणून आपण जे काही करतो ते आगाऊ ठरवलेले असते, किंवा आपण आपल्या स्वतःच्या नशिबाची क्रियाशील शक्ती आहोत, अशा परिस्थितीत विश्व अजूनही निर्धारवादी असू नये.

या द्वंद्वाचे खूप वास्तविक परिणाम झाले, ज्या पद्धतीने समाज लोकांना त्यांच्या कृतींसाठी जबाबदार बनवतो त्या मार्गाने प्रकट झाला. आपली कायदेशीर व्यवस्था स्वेच्छेच्या गृहीतकावर आधारित आहे; आरोपी दोषी सिद्ध होण्यासाठी, त्याला हेतूने वागावे लागले. न्यायालये सतत त्यांच्या मेंदूला प्रश्न विचारत असतात: जर एखादी व्यक्ती वेडेपणा, तरुणपणाची आवेग किंवा कुजलेल्या सामाजिक वातावरणामुळे निर्दोष असेल तर?

तथापि, जेव्हा जेव्हा लोक द्वंद्वाबद्दल बोलतात तेव्हा ते चुकीचा समज म्हणून उघड करण्याचा प्रयत्न करतात. खरंच, अनेक तत्त्ववेत्त्यांचा असा विश्वास आहे की हे विश्व निर्धारवादी आहे की निर्धारवादी आहे याबद्दल बोलणे निरर्थक आहे. संशोधनाचा विषय किती मोठा किंवा गुंतागुंतीचा आहे यावर अवलंबून हे दोन्ही असू शकतात: कण, अणू, रेणू, पेशी, जीव, मानस, समुदाय. लंडन स्कूल ऑफ इकॉनॉमिक्स अँड पॉलिटिकल सायन्समधील तत्वज्ञानी ख्रिश्चन लिस्ट म्हणतात, "निश्चयवाद आणि अनिश्चिततावाद यांच्यातील फरक हा समस्येच्या अभ्यासाच्या पातळीवर अवलंबून असतो. उच्च आणि खालच्या दोन्ही स्तरांवर अनिश्चिततावादासह." आपल्या मेंदूतील अणू पूर्णपणे निर्धारवादी पद्धतीने वागू शकतात, त्याच वेळी आपल्याला अणू आणि अवयव वेगवेगळ्या स्तरांवर कार्य करण्यास मोकळे सोडतात.

त्याचप्रमाणे, क्वांटम पातळी संभाव्य आहे हे नाकारत नसताना आइन्स्टाईनने निर्धारक सबक्वांटम पातळी शोधली.

आईन्स्टाईनने काय हरकत घेतली

आइन्स्टाईनने क्वांटम सिद्धांताच्या विरोधकाचे लेबल कसे मिळवले हे जवळजवळ क्वांटम मेकॅनिक्सइतकेच मोठे रहस्य आहे. क्वांटमची संकल्पना - उर्जेचे एक वेगळे एकक - हे 1905 मध्ये त्याच्या प्रतिबिंबांचे फळ होते आणि दीड दशके ते त्याच्या बचावासाठी व्यावहारिकपणे एकटे उभे राहिले. असे आइन्स्टाईनने सुचवले. आज भौतिकशास्त्रज्ञ क्वांटम भौतिकशास्त्राची मुख्य वैशिष्ट्ये मानतात, जसे की प्रकाशाची कण आणि तरंग म्हणून कार्य करण्याची विचित्र क्षमता, आणि वेव्ह फिजिक्सवरील त्याच्या प्रतिबिंबांवरूनच एर्विन श्रोडिंगरने क्वांटमचे सर्वात व्यापकपणे स्वीकारलेले सूत्र विकसित केले. 1920 मध्ये सिद्धांत. आईन्स्टाईन हा संधीचा विरोधकही नव्हता. 1916 मध्ये, त्यांनी दाखवून दिले की जेव्हा अणू फोटॉन उत्सर्जित करतात तेव्हा किरणोत्सर्गाची वेळ आणि दिशा यादृच्छिक प्रमाणात असतात.

हेलसिंकी युनिव्हर्सिटीचे जॅन वॉन पठार यांनी युक्तिवाद केला, "हे संभाव्यतावादी दृष्टिकोनाचा विरोधक म्हणून आइन्स्टाईनच्या लोकप्रिय चित्रणाच्या विरुद्ध आहे." पण आईन्स्टाईन आणि त्याच्या समकालीनांना एका गंभीर समस्येचा सामना करावा लागला. क्वांटम घटना यादृच्छिक आहेत, परंतु क्वांटम सिद्धांत स्वतःच नाही. श्रोडिंगरचे समीकरण 100% निर्धारवादी आहे. हे वेव्ह फंक्शन म्हटल्या जाणार्‍या कणांच्या किंवा कणांच्या प्रणालीचे वर्णन करते, जे कणांच्या लहरी स्वरूपाचा फायदा घेते आणि कणांच्या संग्रहातून तयार होणार्‍या वेव्ह-सदृश पॅटर्नचे स्पष्टीकरण देते. समीकरण कोणत्याही वेळी वेव्ह फंक्शनचे नेमके काय होईल याचा अंदाज लावते. बर्‍याच मार्गांनी, हे समीकरण न्यूटनच्या गतीच्या नियमांपेक्षा अधिक निर्धारवादी आहे: यामुळे गोंधळ होत नाही, जसे की एकलता (जिथे प्रमाण अमर्याद होते आणि त्यामुळे वर्णन करणे अशक्य होते) किंवा गोंधळ (जिथे गती अप्रत्याशित होते).

पकड अशी आहे की श्रोडिंगर समीकरणाचा निर्धारवाद हा वेव्ह फंक्शनचा निर्धारवाद आहे आणि कणांचे स्थान आणि वेग याच्या विपरीत तरंग फंक्शन थेट पाहिले जाऊ शकत नाही. त्याऐवजी, वेव्ह फंक्शन निरीक्षण करता येणारे प्रमाण आणि संभाव्य पर्यायांपैकी प्रत्येकाची शक्यता निर्धारित करते. तरंग कार्य स्वतःच काय आहे आणि आपल्या भौतिक जगात ती अक्षरशः वास्तविक लहर म्हणून मानली जावी की नाही हे सिद्धांत प्रश्न उघडतात. त्यानुसार, खालील प्रश्न खुला राहतो: निरीक्षण केलेले यादृच्छिकता ही निसर्गाची अविभाज्य आंतरिक मालमत्ता आहे की ती फक्त त्याचा दर्शनी भाग आहे? स्वित्झर्लंडमधील जिनिव्हा विद्यापीठाचे तत्त्वज्ञ ख्रिश्चन वुथ्रिच म्हणतात, "क्वांटम मेकॅनिक्स नॉन-डिटरमिनिस्टिक आहे असा दावा केला जातो, परंतु हा निष्कर्ष खूप घाई आहे."

क्वांटम सिद्धांताची पायाभरणी करणारे आणखी एक आद्य प्रवर्तक वर्नर हायझेनबर्ग यांनी तरंग कार्याची कल्पना संभाव्य अस्तित्वाची धुंदी म्हणून केली. कण कुठे आहे हे स्पष्टपणे आणि निःसंदिग्धपणे सांगणे शक्य नसल्यास, कारण एखाद्या विशिष्ट ठिकाणी कण खरोखर कुठेही आढळत नाही. जेव्हा तुम्ही एखाद्या कणाचे निरीक्षण करता तेव्हाच तो अवकाशात कुठेतरी साकार होतो. वेव्ह फंक्शन मोठ्या जागेत अस्पष्ट केले जाऊ शकते, परंतु ज्या क्षणी निरीक्षण केले जाते तेव्हा ते त्वरित कोसळते, एका विशिष्ट ठिकाणी असलेल्या अरुंद बिंदूमध्ये आकुंचन पावते आणि अचानक तेथे एक कण दिसून येतो. पण आपण एक कण पाहतो तेव्हा देखील - मोठा आवाज! - ती अचानक निश्चयवादी वागणे थांबवते आणि "म्युझिकल चेअर" च्या खेळात एखाद्या मुलाने खुर्ची पकडल्याप्रमाणे अंतिम स्थितीत उडी मारते. (गेममध्ये मुले खुर्च्यांभोवती गोल नृत्य करतात, ज्याची संख्या खेळाडूंच्या संख्येपेक्षा एक कमी असते आणि संगीत थांबताच रिकाम्या आसनावर बसण्याचा प्रयत्न करतात).

या पडझडीला शासन करण्यासाठी कोणताही कायदा नाही. त्याच्यासाठी समीकरण नाही. हे फक्त घडते - ते सर्व आहे! संकुचित हा कोपनहेगन व्याख्येचा मुख्य घटक बनला: शहरासाठी नाव दिलेले क्वांटम मेकॅनिक्सचे दृश्य जेथे बोहर आणि त्याच्या संस्थेने, हायझेनबर्गसह, बहुतेक पायाभूत काम केले. (विरोधाभास म्हणजे, बोहरने स्वत: ला वेव्ह फंक्शनचे पतन ओळखले नाही). कोपनहेगन स्कूल क्वांटम फिजिक्सची निरीक्षण केलेली यादृच्छिकता हे त्याचे नाममात्र वैशिष्ट्य मानते जे पुढील स्पष्टीकरणास नकार देते. बहुतेक भौतिकशास्त्रज्ञ याच्याशी सहमत आहेत, याचे एक कारण म्हणजे तथाकथित अँकर इफेक्ट किंवा अँकरिंग इफेक्ट, जो मानसशास्त्रातून ओळखला जातो: हे पूर्णपणे समाधानकारक स्पष्टीकरण आहे आणि ते प्रथम दिसून आले. आईन्स्टाईनचा क्वांटम मेकॅनिक्सला विरोध नसला तरी त्याचा कोपनहेगनच्या व्याख्याना नक्कीच विरोध होता. मोजमाप करण्याच्या कृतीमुळे भौतिक व्यवस्थेच्या निरंतर उत्क्रांतीमध्ये फूट पडते या कल्पनेतून त्यांनी सुरुवात केली आणि याच संदर्भात त्यांनी हाडे फेकण्याच्या दैवी विरोधात आपला विरोध व्यक्त करण्यास सुरुवात केली. हॉवर्ड म्हणतात, “म्हणूनच 1926 मध्ये आइन्स्टाईनने शोक व्यक्त केला, आणि सर्वसमावेशक तत्त्वभौतिक दाव्यामुळे नियतवाद ही एक अत्यंत आवश्यक स्थिती आहे.”

वास्तवाची अनेकता.आणि तरीही - जग निश्चयवादी आहे की नाही? या प्रश्नाचे उत्तर केवळ गतीच्या मूलभूत नियमांवरच अवलंबून नाही तर आपण ज्या स्तरावर प्रणालीचे वर्णन करतो त्यावर देखील अवलंबून आहे. वायूमधील पाच अणूंचा विचार करा जे निर्धारकपणे हलतात (शीर्ष आकृती). ते जवळजवळ त्याच ठिकाणाहून त्यांचा प्रवास सुरू करतात आणि हळूहळू वळतात. तथापि, मॅक्रोस्कोपिक स्तरावर (तळाशी आकृती), हे वैयक्तिक अणू दृश्यमान नसून वायूमध्ये एक अनाकार प्रवाह आहे. काही काळानंतर, गॅस अनेक प्रवाहांवर यादृच्छिकपणे वितरीत होण्याची शक्यता आहे. मॅक्रो स्तरावरील ही यादृच्छिकता सूक्ष्म पातळीच्या नियमांबद्दल निरीक्षकांच्या अज्ञानाचे उप-उत्पादन आहे, ही निसर्गाची एक वस्तुनिष्ठ गुणधर्म आहे जी अणू कशा प्रकारे एकत्र येतात ते प्रतिबिंबित करते. त्याचप्रमाणे, आइन्स्टाईनने सुचवले की विश्वाची निर्धारक आंतरिक रचना क्वांटम क्षेत्राच्या संभाव्य स्वरूपाकडे नेत आहे.

संकुचित होणे ही क्वचितच एक वास्तविक प्रक्रिया असू शकते, आइन्स्टाईनने युक्तिवाद केला. यासाठी काही अंतरावर तात्काळ क्रिया करणे आवश्यक आहे - एक रहस्यमय यंत्रणा ज्याद्वारे, म्हणा, तरंग फंक्शनच्या डाव्या आणि उजव्या दोन्ही बाजू एकाच लहान बिंदूमध्ये कोसळतात, जरी कोणतीही शक्ती त्यांच्या वर्तनाशी जुळत नाही. केवळ आइन्स्टाईनच नाही तर त्यांच्या काळातील प्रत्येक भौतिकशास्त्रज्ञाचा असा विश्वास होता की अशी प्रक्रिया अशक्य आहे, ती प्रकाशाच्या वेगापेक्षा अधिक वेगाने घडणे आवश्यक आहे, जे सापेक्षतेच्या सिद्धांताशी स्पष्टपणे विरोधाभास आहे. खरं तर, क्वांटम मेकॅनिक्स फक्त तुमच्या हातात फासे ठेवत नाही - ते तुम्हाला फासेच्या जोड्या देते जे नेहमी एकाच काठावर पडतात, जरी तुम्ही एक वेगासमध्ये आणि दुसरा वेगासमध्ये टाकला तरीही. आइन्स्टाईनसाठी, हे स्पष्ट दिसत होते की फासे फसवणूक करत असावेत, ज्यामुळे थ्रोच्या निकालावर अगोदर प्रभाव टाकता येईल. परंतु कोपनहेगन शाळेने अशी कोणतीही शक्यता नाकारली आहे आणि असे सुचवले आहे की पोर जागेच्या विशाल विस्तारामध्ये एकमेकांवर त्वरित परिणाम करतात. याव्यतिरिक्त, आईन्स्टाईनला कोपनहेजेनियन लोकांनी मोजमापाच्या कृतीचे श्रेय दिलेल्या शक्तीबद्दल चिंता होती. शेवटी, परिमाण म्हणजे काय? हे असे काही असू शकते जे केवळ संवेदनशील प्राणी किंवा केवळ कार्यकाळातील प्राध्यापकच करू शकतात? हायझेनबर्ग आणि कोपनहेगन शाळेच्या इतर प्रतिनिधींनी ही संकल्पना कधीही निर्दिष्ट केली नाही. काही लोक असे सुचवतात की आपण आजूबाजूच्या वास्तवाचे निरीक्षण करण्याच्या प्रक्रियेत आपल्या मनात निर्माण करतो - एक कल्पना जी काव्यात्मक दिसते, कदाचित अगदी काव्यात्मकही. क्वांटम मेकॅनिक्स पूर्णपणे पूर्ण आहे, असा दावा करण्यासाठी आइन्स्टाईनने कोपनहेगनच्या ब्रॅशनेसच्या उंचीचा देखील विचार केला, की हा अंतिम सिद्धांत आहे जो कधीही दुसर्‍याद्वारे मागे टाकला जाणार नाही. त्याने स्वतःच्या सिद्धांतांसह सर्व सिद्धांतांना आणखी मोठ्या गोष्टीसाठी पूल मानले.

प्रत्यक्षात. हॉवर्डचा असा युक्तिवाद आहे की आईन्स्टाईनला त्याच्या सर्व समस्यांची उत्तरे मिळाली तर अनिश्चितता स्वीकारण्यात आनंद होईल - जर, उदाहरणार्थ, जर कोणी मापन काय आहे आणि कण लांब पल्ल्याच्या कृतीशिवाय कसे समक्रमित राहू शकतात हे स्पष्टपणे सांगू शकतील. आईन्स्टाईनने अनिश्चिततावादाला दुय्यम समस्या मानल्याचा एक संकेत म्हणजे त्याने त्याच मागण्या केल्या आणि कोपनहेगन शाळेचे निर्धारवादी पर्याय नाकारले. आणखी एक इतिहासकार, वॉशिंग्टन विद्यापीठाचे आर्थर फाइन. विश्वास ठेवतो. हावर्ड आईन्स्टाईनची अनिश्चिततावादाची अतिसंवेदनशीलता अतिशयोक्ती दर्शवितो, परंतु त्याचे निर्णय भौतिकशास्त्रज्ञांच्या अनेक पिढ्यांवर विश्वास ठेवण्यापेक्षा अधिक भक्कम जमिनीवर आधारित आहेत, फासेबद्दलच्या त्याच्या म्हणींच्या कात्रणांवर आधारित आहेत.

यादृच्छिक विचार

जर तुम्ही कोपनहेगन शाळेच्या बाजूने टग-ऑफ-युद्ध केले, आइन्स्टाईनचा विश्वास होता, तर तुम्हाला आढळेल की क्वांटम डिसऑर्डर हे भौतिकशास्त्रातील इतर सर्व प्रकारच्या विकारांसारखे आहे: ते सखोल अंतर्दृष्टीचे उत्पादन आहे. प्रकाशाच्या तुळईमध्ये धूलिकणांच्या लहान कणांचे नृत्य रेणूंची जटिल हालचाल प्रकट करते आणि फोटॉनचे उत्सर्जन किंवा न्यूक्लीयचा किरणोत्सर्गी क्षय ही एक समान प्रक्रिया आहे, असे आइनस्टाइनचे मत होते. त्याच्या मते, क्वांटम मेकॅनिक्स हा एक मूल्यमापनात्मक सिद्धांत आहे जो निसर्गाच्या बिल्डिंग ब्लॉक्सचे सामान्य वर्तन व्यक्त करतो, परंतु वैयक्तिक तपशील कॅप्चर करण्यासाठी पुरेसे रिझोल्यूशन नाही.

एक सखोल, अधिक संपूर्ण सिद्धांत चळवळीचे पूर्णपणे स्पष्टीकरण देईल - कोणत्याही गूढ उडीशिवाय. या दृष्टिकोनातून, वेव्ह फंक्शन हे एक सामूहिक वर्णन आहे, एक विधान म्हणून की योग्य डाय, जर तो वारंवार फेकला गेला तर, त्याच्या प्रत्येक बाजूवर अंदाजे समान संख्येने पडेल. वेव्ह फंक्शनचे संकुचित होणे ही एक भौतिक प्रक्रिया नाही, परंतु ज्ञान संपादन आहे. जर तुम्ही सहा-बाजूंनी डाय रोल केला आणि चार, म्हणा, एक ते सहा पर्यंतच्या निवडींची श्रेणी कमी होते किंवा तुम्ही चारच्या वास्तविक मूल्यापर्यंत कोलॅप्स असे म्हणू शकता. हाड पडल्याच्या परिणामावर परिणाम करणाऱ्या अणू रचनेच्या तपशीलांचा शोध घेण्यास सक्षम असलेला देवासारखा राक्षस (म्हणजेच, टेबलावर टाकण्यापूर्वी तुमचा हात क्यूबला कसा ढकलतो आणि कसा फिरवतो याचे अचूक मोजमाप करतो) कधीही कोसळण्याबद्दल बोलणार नाही.

आण्विक गतीच्या सामूहिक परिणामावरील त्यांच्या सुरुवातीच्या कामामुळे आइन्स्टाईनच्या अंतर्ज्ञानाला बळकटी मिळाली, त्यांनी भौतिकशास्त्राच्या सांख्यिकीय यांत्रिकी नावाच्या शाखेत अभ्यास केला, ज्यामध्ये त्यांनी दाखवून दिले की भौतिकशास्त्र ही घटना निश्चितीवादी वास्तवावर आधारित असली तरीही संभाव्यतावादी असू शकते. 1935 मध्ये, आइनस्टाइनने तत्वज्ञानी कार्ल पॉपर यांना लिहिले: “मला वाटत नाही की तुमचे विधान बरोबर आहे की निर्धारवादी सिद्धांतावर आधारित सांख्यिकीय निष्कर्ष काढणे अशक्य आहे. उदाहरणार्थ, शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी (वायूंचा सिद्धांत किंवा ब्राउनियन गतीचा सिद्धांत)" आइन्स्टाईनच्या समजुतीतील संभाव्यता कोपनहेगन शाळेच्या व्याख्येप्रमाणेच वास्तविक होत्या. गतीच्या मूलभूत नियमांमध्ये प्रकट होऊन, ते आसपासच्या जगाच्या इतर गुणधर्मांना प्रतिबिंबित करतात, ते केवळ मानवी अज्ञानाच्या कलाकृती नाहीत. आइनस्टाइनने पॉपरला उदाहरण म्हणून, वर्तुळात स्थिर गतीने फिरणाऱ्या कणाचा विचार करण्याचे सुचवले; वर्तुळाकार चापच्या दिलेल्या विभागात कण शोधण्याची संभाव्यता त्याच्या प्रक्षेपणाची सममिती दर्शवते. त्याचप्रमाणे, दिलेल्या चेहऱ्यावर डाई लँडिंगची संभाव्यता एक-सहांश आहे, कारण त्यास सहा समान बाजू आहेत. "सांख्यिकीय-यांत्रिक संभाव्यतेच्या तपशिलांमध्ये एक महत्त्वपूर्ण भौतिक अस्तित्व समाविष्ट आहे हे त्याला त्यावेळेस बहुतेकांपेक्षा चांगले समजले," हॉवर्ड म्हणतात.

सांख्यिकीय यांत्रिकीमधील आणखी एक धडा असा होता की आपण निरीक्षण करत असलेल्या प्रमाणांची सखोल पातळी आवश्यक नसते. उदाहरणार्थ, गॅसचे तापमान असते, परंतु एका गॅस रेणूच्या तापमानाबद्दल बोलण्यात काहीच अर्थ नाही. सादृश्यतेने, आइन्स्टाईनचा असा विश्वास होता की क्वांटम मेकॅनिक्ससह मूलगामी ब्रेक दर्शविण्यासाठी सबक्वांटम सिद्धांत आवश्यक आहे. 1936 मध्ये त्यांनी लिहिले: “क्वांटम मेकॅनिक्सने सत्याचा सुंदर घटक पकडला आहे यात शंका नाही.<...>तथापि, मला विश्वास नाही की क्वांटम मेकॅनिक्स हा या पायाच्या शोधाचा प्रारंभ बिंदू असेल, त्याउलट, तुम्ही थर्मोडायनामिक्स (अनुक्रमे, सांख्यिकीय यांत्रिकी) पासून यांत्रिकीच्या पायापर्यंत जाऊ शकत नाही.” ही खोल पातळी भरण्यासाठी, आइन्स्टाईनने एका एकीकृत सिद्धांताचा शोध सुरू केला ज्यामध्ये कण हे कणांसारखे नसलेल्या रचनांचे व्युत्पन्न आहेत. थोडक्यात, क्वांटम भौतिकशास्त्राचे संभाव्य स्वरूप ओळखण्यास आइन्स्टाईनने नकार दिला तो पारंपारिक शहाणपणा चुकीचा आहे. त्याने यादृच्छिकतेचे स्पष्टीकरण देण्याचा प्रयत्न केला. , ते अजिबात अस्तित्वात नाही असे दाखवण्याऐवजी.

तुमची पातळी सर्वोत्तम बनवा

जरी आइन्स्टाईनचा एकसंध सिद्धांत तयार करण्याचा प्रकल्प अयशस्वी झाला, तरीही यादृच्छिकतेसाठी त्याच्या अंतर्ज्ञानी दृष्टिकोनाचे मूलभूत सिद्धांत अजूनही खरे आहेत: अनिश्चिततावाद निर्धारवादातून उद्भवू शकतो. क्वांटम आणि सबक्वांटम पातळी - किंवा निसर्गाच्या पदानुक्रमातील स्तरांची इतर कोणतीही जोडी - भिन्न प्रकारच्या रचनांनी बनलेली असतात, म्हणून ते वेगवेगळ्या प्रकारच्या कायद्यांचे पालन करतात. खालच्या स्तराचे कायदे पूर्णपणे नियमन केलेले असले तरीही, एका स्तरावर नियमन करणारा कायदा नैसर्गिकरित्या यादृच्छिकतेच्या घटकास परवानगी देऊ शकतो. केंब्रिज विद्यापीठाचे तत्त्वज्ञ जेरेमी बटरफिल्ड म्हणतात, "निर्धारणीय सूक्ष्म भौतिकशास्त्र निर्धारवादी मॅक्रोफिजिक्स तयार करत नाही."

अणु स्तरावर फासेचा विचार करा. क्यूबमध्ये अणूंच्या अकल्पनीय मोठ्या संख्येने कॉन्फिगरेशन असू शकतात जे उघड्या डोळ्यांपर्यंत एकमेकांपासून पूर्णपणे वेगळे नसतात. डायच्या रोटेशन दरम्यान आपण यापैकी कोणत्याही कॉन्फिगरेशनचा मागोवा घेतल्यास, ते विशिष्ट परिणामाकडे नेईल - काटेकोरपणे निर्धारवादी. काही कॉन्फिगरेशनमध्ये, वरच्या काठावर एका बिंदूसह डाय थांबेल, इतरांमध्ये दोन. इ. त्यामुळे, एकच मॅक्रोस्कोपिक स्थिती (जर तुम्ही क्यूब फिरवत असाल तर) अनेक संभाव्य मॅक्रोस्कोपिक परिणामांना कारणीभूत ठरू शकतात (सहा चेहऱ्यांपैकी एक शीर्षस्थानी असेल). "आम्ही मॅक्रो स्तरावर फासाचे वर्णन केल्यास, आम्ही त्यास एक स्टॉकॅस्टिक प्रणाली म्हणून पाहू शकतो जी वस्तुनिष्ठ यादृच्छिकतेस अनुमती देते," लिस्ट म्हणतात, जो फ्रान्समधील सेर्गी-पॉन्टॉईज विद्यापीठातील गणितज्ञ मार्कस पिव्हॅटो यांच्यासोबत लेव्हल कॉन्जुगेशनचा अभ्यास करत आहे.

जरी उच्च स्तर खालच्या स्तरावर तयार होतो, तो स्वायत्त आहे. फासेचे वर्णन करण्यासाठी, आपल्याला फासे अस्तित्वात असलेल्या स्तरावर कार्य करणे आवश्यक आहे आणि जेव्हा आपण हे करता तेव्हा आपण अणू आणि त्यांच्या गतिशीलतेकडे दुर्लक्ष करून मदत करू शकत नाही. तुम्ही एक पातळी दुसर्‍यासह ओलांडल्यास, तुम्ही श्रेणी बदलून फसवणूक करत आहात: हे सॅल्मन सँडविचच्या राजकीय संलग्नतेबद्दल विचारण्यासारखे आहे (कोलंबिया विद्यापीठातील तत्त्वज्ञ डेव्हिड अल्बर्टचे उदाहरण वापरण्यासाठी). लिस्ट म्हणते, “जेव्हा आपल्याकडे एखादी घटना असते ज्याचे वर्णन वेगवेगळ्या स्तरांवर करता येते, तेव्हा आपल्याला त्या पातळ्यांमध्ये मिसळू नये म्हणून वैचारिकदृष्ट्या खूप काळजी घ्यावी लागते. या कारणास्तव, फासे रोलिंगचा परिणाम केवळ यादृच्छिक दिसत नाही. हे खरोखर यादृच्छिक आहे. देवासारखा दानव फुशारकी मारत असेल की त्याला नेमके काय होईल हे माहित आहे, परंतु अणूंचे काय होईल हे त्यालाच माहित आहे. फासे म्हणजे काय असा संशयही त्याला येत नाही, कारण ती उच्च पातळीची माहिती आहे. राक्षसाला जंगल कधीच दिसत नाही, फक्त झाडेच दिसतात. तो अर्जेंटिनाच्या लेखक जॉर्ज लुईस बोर्जेसच्या "मेमोरेबल फ्युनेस" कथेच्या नायकासारखा आहे - एक माणूस ज्याला सर्वकाही आठवते, परंतु काहीही समजत नाही. "विचार करणे म्हणजे फरक विसरणे, सामान्यीकरण करणे, अमूर्त करणे," बोर्जेस लिहितात. राक्षसाला, जेणेकरुन फासे कोणत्या बाजूला पडतील हे त्याला कळेल, काय पहावे हे समजावून सांगणे आवश्यक आहे. "आम्ही स्तरांमधील सीमारेषा कशी परिभाषित करतो याचे तपशीलवार वर्णन दिले तरच राक्षस वरच्या स्तरावर काय घडत आहे हे समजण्यास सक्षम असेल," सूची म्हणते. खरंच, यानंतर, राक्षसाला कदाचित हेवा वाटेल की आपण मर्त्य आहोत.

लेव्हल लॉजिक देखील विरुद्ध दिशेने कार्य करते. नॉनडेटरमिनिस्टिक मायक्रोफिजिक्समुळे निर्धारक मॅक्रोफिजिक्स होऊ शकते. बेसबॉल अव्यवस्थित वर्तन दर्शविणाऱ्या कणांपासून बनविला जाऊ शकतो, परंतु त्याचे उड्डाण पूर्णपणे अंदाजे आहे; क्वांटम यादृच्छिकता, सरासरी. अदृश्य होते त्याचप्रमाणे, वायू हे रेणूंनी बनलेले असतात जे अत्यंत जटिल - आणि अक्षरशः निर्धारवादी नसलेल्या - हालचाली करतात, परंतु त्यांचे तापमान आणि इतर गुणधर्म दोन आणि दोन इतके साधे नियमांचे पालन करतात. अधिक अनुमानाने, काही भौतिकशास्त्रज्ञ, जसे की स्टॅनफोर्ड युनिव्हर्सिटीचे रॉबर्ट लॉफलिन, असे सुचवतात की तळाची पातळी पूर्णपणे अप्रासंगिक आहे. बिल्डिंग ब्लॉक्स काहीही असू शकतात आणि तरीही त्यांचे सामूहिक वर्तन समान असेल. शेवटी, प्रणाली, अगदी पाण्याचे रेणू, आकाशगंगेतील तारे आणि फ्रीवेवरील कार यासारख्या भिन्न प्रणाली देखील द्रव प्रवाहाच्या समान नियमांचे पालन करतात.

शेवटी मोफत

जेव्हा तुम्ही स्तरांच्या दृष्टीने विचार करता, तेव्हा अनिश्चिततावादामुळे विज्ञानाचा अंत होण्याची शक्यता आहे ही चिंता नाहीशी होते. आपल्या आजूबाजूला अशी कोणतीही उंच भिंत नाही जी आपल्या विश्वाच्या कायद्याचे पालन करणाऱ्या तुकड्याला अराजकतेपासून वाचवते आणि बाकीचे अनाकलनीय आहे. किंबहुना, जग हे निश्चयवाद आणि अनिश्चिततावादाचे एक स्तरित केक आहे. पृथ्वीचे हवामान, उदाहरणार्थ, न्योटॉनच्या गतीच्या निर्णायक नियमांद्वारे शासित आहे, परंतु हवामानाचा अंदाज संभाव्य आहे, आणि त्याच वेळी, हंगामी आणि दीर्घकालीन हवामान ट्रेंड पुन्हा अंदाज करण्यायोग्य आहेत. जीवशास्त्र देखील निर्धारक भौतिकशास्त्रातून प्राप्त होते, परंतु जीव आणि परिसंस्था यांना वर्णनाच्या इतर पद्धती आवश्यक असतात, जसे की डार्विनियन उत्क्रांती. टफ्ट्स युनिव्हर्सिटीचे तत्वज्ञानी डॅनियल डेनेट म्हणतात, "निश्चयवाद सर्वकाही स्पष्ट करत नाही."

या पफ पेस्ट्रीच्या आत लोक एकमेकांत गुंतलेले आहेत. आमच्याकडे इच्छाशक्तीची ताकद आहे. आम्ही बर्‍याचदा अप्रत्याशित आणि मुख्यतः महत्त्वपूर्ण निर्णय घेतो, आम्हाला जाणवते की आम्ही वेगळ्या पद्धतीने करू शकलो असतो (आणि अनेकदा ते न केल्याबद्दल आम्हाला खेद होतो). हजारो वर्षांपासून, तथाकथित स्वातंत्र्यवादी, स्वातंत्र्याच्या तत्त्वज्ञानाच्या सिद्धांताचे समर्थक (राजकीय प्रवृत्तीशी गोंधळून जाऊ नका!), असा युक्तिवाद केला की मानवी स्वातंत्र्यासाठी कणांचे स्वातंत्र्य आवश्यक आहे. एखाद्या गोष्टीने घटनांचा निर्धारवादी मार्ग नष्ट केला पाहिजे, उदाहरणार्थ, क्वांटम यादृच्छिकता किंवा "विचलन" जे काही प्राचीन तत्त्वज्ञांच्या विश्वासानुसार, अणू त्यांच्या हालचाली दरम्यान अनुभवू शकतात (अणूचे त्याच्या मूळ प्रक्षेपणातून अपघाती अप्रत्याशित विचलन ही संकल्पना मांडण्यात आली होती. एपिक्युरसच्या अणु सिद्धांताचे संरक्षण करण्यासाठी ल्युक्रेटियस प्राचीन तत्त्वज्ञानात) ...

तर्काच्या या ओळीची मुख्य समस्या अशी आहे की ती कणांना मुक्त करते, परंतु आपल्याला गुलाम बनवते. तुमचा निर्णय बिग बँग दरम्यान पूर्वनिर्धारित होता की लहान कणाने काही फरक पडत नाही, तरीही तो तुमचा निर्णय नाही. मुक्त होण्यासाठी, आपल्याला कण पातळीवर नव्हे तर मानवी पातळीवर अनिश्चितता आवश्यक आहे. आणि हे शक्य आहे कारण मानवी पातळी आणि कण पातळी एकमेकांपासून स्वतंत्र आहेत. जरी तुम्ही करत असलेल्या प्रत्येक गोष्टीचा अगदी पहिल्या पायऱ्यांपर्यंत शोध घेतला जाऊ शकतो, तरीही तुम्ही तुमच्या कृतींचे स्वामी आहात, कारण तुम्ही किंवा तुमच्या कृती या पदार्थाच्या पातळीवर अस्तित्वात नाहीत, तर केवळ चेतनेच्या मॅक्रो स्तरावर अस्तित्वात आहेत. बटरफिल्ड म्हणतात, "हा मायक्रोडेटरमिनिझम-आधारित मॅक्रोइंडिटरमिनिझम कदाचित मुक्त इच्छाशक्तीची हमी देतो." मॅक्रोइंडिटरमिनिझम हे तुमच्या निर्णयांचे कारण नाही. हा तुमचा निर्णय आहे.

काही लोक कदाचित आक्षेप घेतील आणि तुम्हाला सांगतील की तू अजूनही बाहुली आहेस आणि निसर्गाचे नियम कठपुतळी म्हणून काम करतात आणि तुमचे स्वातंत्र्य एक भ्रमापेक्षा अधिक काही नाही. परंतु "भ्रम" हा शब्द वाळवंटातील मृगजळ आणि स्त्रियांच्या स्मृतीमध्ये उद्भवतो, अर्ध्या भागामध्ये कापलेला: हे सर्व प्रत्यक्षात अस्तित्वात नाही. मॅक्रोइंडिटरमिनिझम अजिबात समान नाही. हे अगदी वास्तविक आहे, फक्त मूलभूत नाही. त्याची तुलना जीवनाशी करता येईल. वैयक्तिक अणू पूर्णपणे निर्जीव पदार्थ आहेत, परंतु त्यांचे प्रचंड वस्तुमान जगू शकतात आणि श्वास घेऊ शकतात. "एजंट्स, त्यांच्या हेतूची स्थिती, त्यांचे निर्णय आणि निवडी यांच्याशी संबंधित असलेल्या सर्व गोष्टी - यापैकी कोणत्याही घटकाचा मूलभूत भौतिकशास्त्राच्या संकल्पनात्मक टूलकिटशी काही संबंध नाही, परंतु याचा अर्थ असा नाही की या घटना वास्तविक नाहीत," लिझ्ट नोट करते. फक्त याचा अर्थ असा आहे की त्या सर्व उच्च पातळीच्या घटना आहेत."

तुमच्या डोक्यातील अणूंच्या हालचालीच्या मेकॅनिकद्वारे मानवी निर्णयांचे वर्णन करणे, पूर्ण अज्ञान नसल्यास, ही एक स्पष्ट चूक असेल. त्याऐवजी, मनोविज्ञानाच्या सर्व संकल्पना वापरणे आवश्यक आहे: इच्छा, संधी, हेतू. मी वाइन का नाही पाणी प्यायले? कारण मला हवे होते. माझ्या इच्छा माझ्या कृतींचे स्पष्टीकरण देतात. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, जेव्हा आपण "का?" प्रश्न विचारतो, तेव्हा आपण व्यक्तीची प्रेरणा शोधत असतो, त्याच्या शारीरिक पार्श्वभूमीचा नाही. मानसशास्त्रीय स्पष्टीकरणे एका विशिष्ट प्रकारच्या अनिश्चिततेसाठी परवानगी देतात ज्याबद्दल यादी बोलते. उदाहरणार्थ, गेम थ्योरिस्ट विविध पर्यायांची मांडणी करून आणि तुम्ही तर्कशुद्धपणे वागल्यास तुम्ही कोणता निवडाल हे स्पष्ट करून मानवी निर्णय घेण्याचे मॉडेल बनवतात. एखादा विशिष्ट पर्याय निवडण्याचे तुमचे स्वातंत्र्य तुमच्या निवडीला चालना देते, जरी तुम्ही त्या पर्यायासाठी कधीही सेटल होत नसाल.

अर्थात, लिस्टचे युक्तिवाद पूर्णपणे मुक्त इच्छा स्पष्ट करत नाहीत. स्तरांचे पदानुक्रम मुक्त इच्छेसाठी जागा उघडते, मानसशास्त्राला भौतिकशास्त्रापासून वेगळे करते आणि आपल्याला अनपेक्षित गोष्टी करण्याची संधी देते. पण ही संधी आपण घेतली पाहिजे. उदाहरणार्थ, आम्ही सर्व निर्णय नाणे फेकून घेतल्यास, तरीही हे मॅक्रोइंडिटर-मिनिझम मानले जाईल, परंतु कोणीही कोणत्याही अर्थपूर्ण अर्थाने मुक्त इच्छा म्हणून पात्र होऊ शकत नाही. दुसरीकडे, काही लोकांचे निर्णय घेणे इतके थकवणारे असू शकते की ते मोकळेपणाने वागतात असे म्हणता येणार नाही.

निश्चयवादाच्या समस्येचा हा दृष्टीकोन क्वांटम सिद्धांताला अर्थ आणि व्याख्या देतो, जो 1955 मध्ये आइन्स्टाईनच्या मृत्यूनंतर काही वर्षांनी प्रस्तावित करण्यात आला होता. याला अनेक-जगातील व्याख्या किंवा एव्हरेटचे व्याख्या म्हणतात. त्याचे समर्थक असा युक्तिवाद करतात की क्वांटम मेकॅनिक्स समांतर विश्वांच्या संग्रहाचे वर्णन करते - एक बहुविश्व जे संपूर्णपणे, निर्धारवादी पद्धतीने वागते, परंतु आपल्याला ते नॉन-डिटरमिनिस्टिक वाटते, कारण आपण फक्त एकच विश्व पाहू शकतो. उदाहरणार्थ, अणू उजवीकडे किंवा डावीकडे फोटॉन उत्सर्जित करू शकतो; क्वांटम सिद्धांत या घटनेचा परिणाम उघडतो. अनेक-विश्वांच्या व्याख्येनुसार, असे चित्र पाळले जाते कारण असीम समांतर विश्वांमध्ये नेमकी हीच परिस्थिती उद्भवते: त्यापैकी काही फोटॉन डावीकडे निर्धारीतपणे उडतात आणि उर्वरित उजवीकडे. आपण नेमक्या कोणत्या विश्वात आहोत हे सांगता येत नसल्यामुळे काय घडेल हे सांगता येत नाही, त्यामुळे ही परिस्थिती आतून अवर्णनीय दिसते. "अंतराळात कोणतीही खरी यादृच्छिकता नाही, परंतु घटना निरीक्षकाच्या डोळ्यासमोर यादृच्छिक दिसू शकतात," एमआयटी कॉस्मोलॉजिस्ट मॅक्स टेगमार्क, या मताचे सुप्रसिद्ध समर्थक स्पष्ट करतात. "यादृच्छिकता आपण कुठे आहात हे निर्धारित करण्यात आपली असमर्थता दर्शवते."

हे असे म्हणण्यासारखे आहे की असंख्य अणु कॉन्फिगरेशन्समधून डाय किंवा मेंदू तयार केला जाऊ शकतो. हे कॉन्फिगरेशन स्वतःच निर्धारक असू शकते, परंतु आपल्या मृत्यूशी किंवा आपल्या मेंदूशी कोणता संबंध आहे हे आपल्याला माहित नसल्यामुळे, आपल्याला असे मानण्यास भाग पाडले जाते की परिणाम नॉन-डिटरमिनिस्टिक आहे. अशा प्रकारे, समांतर विश्व ही काही विचित्र कल्पना नाही जी एखाद्या आजारी कल्पनेत तरंगत असते. आपले शरीर आणि आपला मेंदू हे लहान बहुविभाजन आहेत, ही शक्यतांची विविधता आहे जी आपल्याला स्वातंत्र्य प्रदान करते.

फासे हजारो वर्षांपासून मानव वापरत आहेत.

21 व्या शतकात, नवीन तंत्रज्ञानामुळे तुम्हाला कोणत्याही सोयीस्कर वेळी आणि तुमच्याकडे इंटरनेटची सुविधा असल्यास, सोयीस्कर ठिकाणी फासे फिरवता येतात. फासे नेहमी तुमच्या घरी किंवा रस्त्यावर असतात.

फासे जनरेटर तुम्हाला 1 ते 4 फासे ऑनलाइन रोल करण्याची परवानगी देतो.

प्रामाणिकपणे फासे ऑनलाइन रोल करा

वास्तविक फासे वापरताना, मॅन्युअल निपुणता किंवा एका बाजूला जास्त वजनाचे खास बनवलेले फासे वापरले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, तुम्ही एका अक्षावर क्यूब फिरवू शकता आणि नंतर संभाव्यता वितरण बदलेल. आमच्या व्हर्च्युअल क्यूब्सचे वैशिष्ट्य म्हणजे सॉफ्टवेअर स्यूडो-रँडम नंबर जनरेटरचा वापर. हे आपल्याला या किंवा त्या परिणामासाठी खरोखर यादृच्छिक पर्याय प्रदान करण्यास अनुमती देते.

आणि जर तुम्ही हे पृष्ठ तुमच्या बुकमार्क्समध्ये जोडले, तर तुमचे ऑनलाइन फासे कुठेही हरवले जाणार नाहीत आणि योग्य वेळी नेहमी हातात असतील!

काही लोकांनी भविष्य सांगण्यासाठी किंवा भविष्य सांगण्यासाठी आणि जन्मकुंडली तयार करण्यासाठी फासे ऑनलाइन वापरण्यास अनुकूल केले आहे.

आनंदी मूड, शुभ दिवस आणि शुभेच्छा!

सर्वात सामान्य फॉर्म क्यूबच्या स्वरूपात आहे, ज्याच्या प्रत्येक बाजूला एक ते सहा पर्यंत संख्या दर्शविली आहे. खेळाडू, सपाट पृष्ठभागावर फेकून, वरच्या काठावर परिणाम पाहतो. संधी, नशीब किंवा दुर्दैव यासाठी हाडे एक वास्तविक मुखपत्र आहेत.

अपघात.
क्यूब्स (हाडे) बर्याच काळापासून अस्तित्वात आहेत, परंतु त्यांनी सुमारे 2600 ईसापूर्व सहा बाजूंनी पारंपारिक स्वरूप प्राप्त केले. ई प्राचीन ग्रीक लोकांना फासे खेळायला आवडत होते आणि त्यांच्या दंतकथांमध्ये नायक पालेमेड, ज्यावर अन्यायकारकपणे ओडिसियसने देशद्रोहाचा आरोप लावला होता, त्यांना त्यांचा शोधकर्ता म्हणून संबोधले जाते. पौराणिक कथेनुसार, एका मोठ्या लाकडी घोड्याने पकडलेल्या ट्रॉयला वेढा घालणाऱ्या सैनिकांचे मनोरंजन करण्यासाठी त्याने या खेळाचा शोध लावला. ज्युलियस सीझरच्या काळात रोमन लोकांनीही विविध फासे खेळांचा आनंद लुटला. लॅटिनमध्ये, क्यूबला डेटम म्हणतात, ज्याचा अर्थ "दिलेला" आहे.

मनाई.
मध्ययुगात, 12 व्या शतकाच्या आसपास, फासेचा खेळ युरोपमध्ये खूप लोकप्रिय झाला: चौकोनी तुकडे, जे आपल्याबरोबर सर्वत्र नेले जाऊ शकतात, ते सैनिक आणि शेतकरी दोघांमध्ये लोकप्रिय आहेत. असे म्हणतात की सहाशेवर वेगवेगळे खेळ होते! फासे उत्पादन हा एक वेगळा व्यवसाय बनत चालला आहे. किंग लुई नववा (1214-1270), धर्मयुद्धातून परत आल्याने, जुगार खेळण्यास नकार दिला आणि संपूर्ण राज्यात फासेच्या उत्पादनावर बंदी घालण्याचा आदेश दिला. खेळापेक्षाही, अधिकारी त्याच्याशी संबंधित दंगलींबद्दल असमाधानी होते - नंतर ते मुख्यतः टॅव्हर्नमध्ये खेळले आणि पक्ष बहुतेक वेळा मारामारी आणि मारहाणीत संपले. परंतु कोणत्याही प्रतिबंधांनी फासे टिकून राहण्यापासून आणि आजपर्यंत टिकून राहण्यापासून रोखले नाही.

"चार्ज" असलेली हाडे!
डाय रोलचा परिणाम नेहमीच यादृच्छिक असतो, परंतु काही फसवणूक करणारे ते बदलण्याचा प्रयत्न करतात. क्यूबमध्ये छिद्र पाडून आणि त्यात शिसे किंवा पारा ओतल्यास, आपण प्रत्येक वेळी फेकताना समान परिणाम प्राप्त करू शकता. अशा क्यूबला "चार्ज्ड" म्हणतात. वेगवेगळ्या सामग्रीपासून बनवलेले, ते सोने असो, दगड असो, स्फटिक असो, हाड असो, फासे वेगवेगळे आकार असू शकतात. पिरॅमिडच्या आकाराचे छोटे फासे (टेट्राहेड्रॉन) इजिप्शियन फारोच्या थडग्यात सापडले आहेत ज्यांनी मोठे पिरॅमिड बांधले होते! वेगवेगळ्या वेळी, 8, 10, 12, 20 आणि अगदी 100 बाजूंनी हाडे तयार केली गेली. सहसा त्यांना संख्या लागू केली जाते, परंतु त्यांच्या जागी अक्षरे किंवा प्रतिमा देखील दिसू शकतात, ज्यामुळे कल्पनाशक्तीला जागा मिळते.

फासे कसे रोल करायचे.
फासे केवळ वेगवेगळ्या आकारातच येत नाहीत तर त्यांच्या खेळण्याच्या पद्धतीही वेगवेगळ्या असतात. काही गेममध्ये रोल एका विशिष्ट पद्धतीने बनवणे आवश्यक असते, सामान्यतः गणना केलेले रोल टाळण्यासाठी किंवा झुकलेल्या स्थितीत डायला थांबण्यापासून रोखण्यासाठी. कधीकधी फसवणूक होऊ नये किंवा खेळण्याच्या टेबलवरून पडू नये म्हणून त्यांना एक विशेष काच जोडली जाते. क्रेप या इंग्रजी खेळात, तीनही फासे खेळाच्या टेबलावर किंवा भिंतीवर आदळले पाहिजेत, जेणेकरुन फसवणूक करणाऱ्यांना फक्त फासे हलवून, उलट न फिरवता फसवणूक करू देऊ नये.

यादृच्छिकता आणि संभाव्यता.
डाय नेहमी एक यादृच्छिक परिणाम देते ज्याचा अंदाज लावता येत नाही. वन डायसह, खेळाडूला 1 रोल करण्याची तितकीच संधी असते जितकी तो 6 करतो - सर्वकाही योगायोगाने ठरवले जाते. दोन फासे सह, उलटपक्षी, यादृच्छिकतेची पातळी कमी होते, कारण खेळाडूकडे निकालाबद्दल अधिक माहिती असते: उदाहरणार्थ, दोन फासे सह, क्रमांक 7 अनेक प्रकारे मिळवता येतो - 1 आणि 6, 5 आणि 2 फेकून किंवा 4 आणि 3 ... परंतु 2 क्रमांक मिळवण्याची संधी फक्त एकच आहे: 1 दोनदा रोल करणे. अशा प्रकारे, 2 मिळवण्यापेक्षा 7 मिळण्याची शक्यता जास्त आहे! याला संभाव्यता सिद्धांत म्हणतात. अनेक खेळ या तत्त्वाशी संबंधित आहेत, विशेषत: रोख खेळ.

फासे वापर वर.
फासे हा इतर घटकांशिवाय स्वतंत्र खेळ असू शकतो. व्यावहारिकदृष्ट्या अस्तित्वात नसलेली एकमेव गोष्ट म्हणजे एका क्यूबसाठी खेळ. नियमांना किमान दोन आवश्यक आहेत (उदाहरणार्थ, क्रेप). फासे पोकर खेळण्यासाठी, तुम्हाला पाच फासे, एक पेन आणि कागद आवश्यक आहे. त्याच नावाच्या कार्ड गेमच्या संयोजनाप्रमाणेच त्यांच्यासाठीचे गुण एका विशेष टेबलमध्ये लिहून भरणे हे ध्येय आहे. याव्यतिरिक्त, क्यूब हा बोर्ड गेमसाठी एक अतिशय लोकप्रिय भाग आहे, जो तुम्हाला चिप्स हलवू देतो किंवा गेम लढायांचे परिणाम ठरवू देतो.

डाय टाकला आहे.
इ.स.पूर्व ४९ मध्ये. ई तरुण ज्युलियस सीझरने गॉलवर विजय मिळवला आणि पोम्पेईला परतला. परंतु त्याच्या सामर्थ्याने सिनेटर्समध्ये चिंता निर्माण केली, ज्यांनी त्याच्या परत येण्यापूर्वी त्याचे सैन्य काढून टाकण्याचा निर्णय घेतला. भावी सम्राट, प्रजासत्ताकच्या सीमेवर पोहोचल्यानंतर, सैन्यासह ओलांडून ऑर्डरचे उल्लंघन करण्याचा निर्णय घेतो. रुबिकॉन (सीमा असलेली नदी) ओलांडण्यापूर्वी, त्याने त्याच्या सैन्यापुढे “Alea jacta est” (“लॉट टाकला आहे”) असा उच्चार केला. हा हुकूम एक कॅच वाक्यांश बनला आहे, ज्याचा अर्थ असा आहे की, खेळाप्रमाणे, काही निर्णय घेतल्यानंतर, मागे हटणे शक्य नाही.