प्रथम स्तर

अभिव्यक्ती रूपांतरण. तपशीलवार सिद्धांत (२०१९)

अभिव्यक्ती रूपांतरण

बर्याचदा आपण हे अप्रिय वाक्यांश ऐकतो: "अभिव्यक्ती सुलभ करा." सहसा, या प्रकरणात, आमच्याकडे असा काही प्रकारचा राक्षस असतो:

"होय, खूप सोपे," आम्ही म्हणतो, परंतु असे उत्तर सहसा कार्य करत नाही.

आता मी तुम्हाला शिकवेन की अशा कोणत्याही कामांना घाबरू नका. शिवाय, धड्याच्या शेवटी, तुम्ही स्वतः हे उदाहरण एका (फक्त!) सामान्य संख्येत (होय, या अक्षरांसह नरकात) सोपे कराल.

परंतु आपण हा धडा सुरू करण्यापूर्वी, आपण अपूर्णांक आणि घटक बहुपदी हाताळण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे. म्हणून, प्रथम, आपण यापूर्वी हे केले नसल्यास, "" आणि "" विषयांवर प्रभुत्व मिळवण्याची खात्री करा.

वाचा? जर होय, तर तुम्ही तयार आहात.

मूलभूत सरलीकरण ऑपरेशन्स

आता आपण अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी वापरल्या जाणार्‍या मुख्य तंत्रांचे विश्लेषण करू.

त्यापैकी सर्वात सोपा आहे

1. समान आणणे

काय समान आहेत? तुम्ही 7 व्या इयत्तेत यातून गेला होता, जेव्हा प्रथम गणितात अंकांऐवजी अक्षरे दिसली. समान अक्षर भाग असलेल्या संज्ञा (एकपदार्थ) समान आहेत. उदाहरणार्थ, बेरीज मध्ये, जसे अटी आहेत आणि.

आठवले?

समान संज्ञा आणणे म्हणजे एकमेकांना अनेक समान संज्ञा जोडणे आणि एक पद मिळवणे.

पण आपण अक्षरे एकत्र कशी ठेवू शकतो? - तू विचार.

जर तुम्ही कल्पना केली की अक्षरे काही प्रकारच्या वस्तू आहेत तर हे समजणे खूप सोपे आहे. उदाहरणार्थ, पत्र एक खुर्ची आहे. मग अभिव्यक्ती म्हणजे काय? दोन खुर्च्या अधिक तीन खुर्च्या, किती असतील? बरोबर आहे, खुर्च्या: .

आता ही अभिव्यक्ती वापरून पहा:

गोंधळात पडू नये म्हणून, भिन्न अक्षरे भिन्न वस्तू दर्शवू द्या. उदाहरणार्थ, - ही (नेहमीप्रमाणे) एक खुर्ची आहे आणि - ही एक टेबल आहे. मग:

खुर्च्या टेबल खुर्च्या टेबल खुर्च्या खुर्च्या टेबल

अशा संज्ञांमधील अक्षरांचा ज्या संख्येने गुणाकार केला जातो त्यांना म्हणतात गुणांक. उदाहरणार्थ, मोनोमियलमध्ये गुणांक समान आहे. आणि तो समान आहे.

तर, समान आणण्यासाठी नियमः

उदाहरणे:

समान आणा:

उत्तरे:

2. (आणि समान आहेत, कारण, या अटींमध्ये समान अक्षरांचा भाग आहे).

2. घटकीकरण

अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी हा सहसा सर्वात महत्वाचा भाग असतो. तुम्ही तत्सम दिल्यानंतर, बहुतेकदा परिणामी अभिव्यक्ती घटकात असणे आवश्यक आहे, म्हणजेच उत्पादन म्हणून सादर केले जाते. अपूर्णांकांमध्ये हे विशेषतः महत्वाचे आहे: सर्व केल्यानंतर, अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, अंश आणि भाजक हे उत्पादन म्हणून प्रस्तुत केले जाणे आवश्यक आहे.

तुम्ही "" या विषयातील अभिव्यक्ती घटकांच्या तपशीलवार पद्धतींचा अभ्यास केला आहे, म्हणून येथे तुम्हाला फक्त तुम्ही काय शिकलात ते लक्षात ठेवावे लागेल. हे करण्यासाठी, काही सोडवा उदाहरणे(घटित करणे)

उपाय:

3. अपूर्णांक कमी करणे.

बरं, अंश आणि भाजकाचा काही भाग ओलांडणे आणि त्यांना तुमच्या आयुष्यातून काढून टाकण्यापेक्षा चांगले काय असू शकते?

हेच संक्षेपाचे सौंदर्य आहे.

हे सोपं आहे:

अंश आणि भाजकांमध्ये समान घटक असल्यास, ते कमी केले जाऊ शकतात, म्हणजेच अपूर्णांकातून काढले जाऊ शकतात.

हा नियम अपूर्णांकाच्या मूळ गुणधर्मावरून येतो:

म्हणजेच, कपात ऑपरेशनचे सार हे आहे आपण अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक समान संख्येने (किंवा समान अभिव्यक्तीद्वारे) विभाजित करतो.

अपूर्णांक कमी करण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक आहे:

1) अंश आणि भाजक फॅक्टरीकरण

2) जर अंश आणि भाजक असतील सामान्य घटक, ते हटविले जाऊ शकतात.

तत्त्व, मला वाटते, स्पष्ट आहे?

संक्षेपातील एका सामान्य चुकीकडे मी तुमचे लक्ष वेधू इच्छितो. हा विषय जरी सोपा असला, तरी अनेकजण सर्व काही चुकीचे करतात, हे लक्षातच येत नाही कट- याचा अर्थ विभागणेसमान संख्येने अंश आणि भाजक.

अंश किंवा भाजक बेरीज असल्यास कोणतेही संक्षेप नाहीत.

उदाहरणार्थ: तुम्हाला सोपे करणे आवश्यक आहे.

काही असे करतात: जे पूर्णपणे चुकीचे आहे.

दुसरे उदाहरण: कमी करा.

"सर्वात हुशार" हे करेल:.

मला सांगा इथे काय चूक आहे? असे दिसते: - हा गुणक आहे, म्हणून आपण कमी करू शकता.

पण नाही: - हा अंशामध्ये फक्त एका पदाचा घटक आहे, परंतु अंश स्वतःच घटकांमध्ये विघटित होत नाही.

येथे दुसरे उदाहरण आहे: .

ही अभिव्यक्ती घटकांमध्ये विघटित झाली आहे, ज्याचा अर्थ असा आहे की आपण कमी करू शकता, म्हणजेच, अंश आणि भाजक याने आणि नंतर:

तुम्ही ताबडतोब द्वारे विभाजित करू शकता:

अशा चुका टाळण्यासाठी, अभिव्यक्ती घटक आहे की नाही हे निर्धारित करण्याचा एक सोपा मार्ग लक्षात ठेवा:

अभिव्यक्तीच्या मूल्याची गणना करताना सर्वात शेवटी केले जाणारे अंकगणित ऑपरेशन "मुख्य" आहे. म्हणजेच, जर तुम्ही अक्षरांऐवजी काही (कोणत्याही) संख्या बदलल्या आणि अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजण्याचा प्रयत्न केला, तर शेवटची क्रिया गुणाकार असेल, तर आपल्याकडे एक उत्पादन आहे (अभिव्यक्ती घटकांमध्ये विघटित आहे). जर शेवटची क्रिया बेरीज किंवा वजाबाकी असेल, तर याचा अर्थ अभिव्यक्ती गुणांकीत नाही (आणि म्हणून कमी करता येत नाही).

त्याचे निराकरण करण्यासाठी, ते काही स्वतः सोडवा उदाहरणे:

उत्तरे:

1. मला आशा आहे की तुम्ही लगेच कट करण्यासाठी घाई केली नाही आणि? यासारखे युनिट्स "कमी" करणे अद्याप पुरेसे नव्हते:

पहिली पायरी फॅक्टराइज करणे आवश्यक आहे:

4. अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी. अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणणे.

सामान्य अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी ही एक सुप्रसिद्ध क्रिया आहे: आम्ही एक सामान्य भाजक शोधतो, प्रत्येक अपूर्णांकाचा गहाळ घटकाने गुणाकार करतो आणि अंशांची बेरीज/वजाबाकी करतो. चला लक्षात ठेवूया:

उत्तरे:

1. भाजक आणि coprime आहेत, म्हणजेच त्यांच्यात सामान्य घटक नाहीत. म्हणून, या संख्यांचा एलसीएम त्यांच्या उत्पादनासारखा आहे. हे सामान्य भाजक असेल:

2. येथे सामान्य भाजक आहे:

3. येथे, सर्व प्रथम, आम्ही मिश्रित अपूर्णांकांना अयोग्य मध्ये बदलतो आणि नंतर - नेहमीच्या योजनेनुसार:

जर अपूर्णांकांमध्ये अक्षरे असतील तर ही दुसरी बाब आहे, उदाहरणार्थ:

चला सोपी सुरुवात करूया:

अ) भाजकांमध्ये अक्षरे नसतात

येथे सर्व काही सामान्य संख्यात्मक अपूर्णांकांप्रमाणेच आहे: आम्हाला एक सामान्य भाजक सापडतो, प्रत्येक अपूर्णांकाचा गहाळ घटकाने गुणाकार करतो आणि अंश जोडतो/वजा करतो:

आता अंशामध्ये तुम्ही समान आणू शकता, जर असेल तर, आणि त्यांना घटक बनवू शकता:

हे स्वतः वापरून पहा:

b) भाजकांमध्ये अक्षरे असतात

अक्षरांशिवाय सामान्य भाजक शोधण्याचे तत्त्व लक्षात ठेवूया:

सर्व प्रथम, आम्ही सामान्य घटक निर्धारित करतो;

मग आपण सर्व सामान्य घटक एकदा लिहून काढतो;

आणि त्यांना इतर सर्व घटकांनी गुणा, सामान्य घटकांनी नाही.

भाजकांचे सामान्य घटक निश्चित करण्यासाठी, आम्ही प्रथम त्यांचे विघटन साध्या घटकांमध्ये करतो:

आम्ही सामान्य घटकांवर जोर देतो:

आता आम्ही सामान्य घटक एकदा लिहून काढतो आणि त्यात सर्व सामान्य नसलेले (अधोरेखित केलेले नाही) घटक जोडतो:

हा सामान्य भाजक आहे.

चला पत्रांकडे परत जाऊया. भाजक अगदी तशाच प्रकारे दिले आहेत:

आम्ही घटकांमध्ये भाजकांचे विघटन करतो;

सामान्य (समान) गुणक निश्चित करा;

सर्व सामान्य घटक एकदा लिहा;

आम्ही त्यांना इतर सर्व घटकांनी गुणाकार करतो, सामान्य घटकांनी नाही.

तर, क्रमाने:

१) भाजकांचे घटकांमध्ये विघटन करा:

2) सामान्य (समान) घटक निर्धारित करा:

3) सर्व सामान्य घटक एकदा लिहा आणि त्यांना इतर सर्व (अधोरेखित केलेले नाही) घटकांनी गुणा:

तर कॉमन डिनोमिनेटर इथे आहे. पहिल्या अपूर्णांकाचा गुणाकार केला पाहिजे, दुसरा - द्वारे:

तसे, एक युक्ती आहे:

उदाहरणार्थ: .

आपल्याला भाजकांमध्ये समान घटक दिसतात, फक्त सर्व भिन्न निर्देशकांसह. सामान्य भाजक असेल:

च्या मर्यादेपर्यंत

च्या मर्यादेपर्यंत

च्या मर्यादेपर्यंत

पदवी मध्ये.

चला कार्य क्लिष्ट करूया:

अपूर्णांकांना समान भाजक कसे बनवायचे?

अपूर्णांकाचा मूळ गुणधर्म लक्षात ठेवूया:

अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक यातून समान संख्या वजा (किंवा जोडली) जाऊ शकते असे कोठेही म्हटलेले नाही. कारण ते खरे नाही!

स्वतःसाठी पहा: उदाहरणार्थ कोणताही अपूर्णांक घ्या आणि अंश आणि भाजक यांना काही संख्या जोडा, उदाहरणार्थ, . काय शिकले आहे?

तर, आणखी एक अटळ नियम:

जेव्हा तुम्ही अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणता, तेव्हा फक्त गुणाकार क्रिया वापरा!

पण मिळवण्यासाठी तुम्हाला काय गुणाकार करण्याची गरज आहे?

येथे चालू आणि गुणाकार. आणि याने गुणाकार करा:

ज्या अभिव्यक्तींना घटक बनवता येत नाहीत त्यांना "प्राथमिक घटक" म्हटले जाईल. उदाहरणार्थ, एक प्राथमिक घटक आहे. - खूप. पण - नाही: ते घटकांमध्ये विघटित होते.

अभिव्यक्तीचे काय? ते प्राथमिक आहे का?

नाही, कारण ते घटकबद्ध केले जाऊ शकते:

(तुम्ही "" विषयात फॅक्टरायझेशनबद्दल आधीच वाचले आहे).

तर, ज्या प्राथमिक घटकांमध्ये तुम्ही अक्षरांसह अभिव्यक्ती विघटित करता ते साध्या घटकांचे अॅनालॉग आहेत ज्यामध्ये तुम्ही संख्या विघटित करता. आणि आम्ही त्यांच्यासोबत असेच करू.

आपण पाहतो की दोन्ही भाजकांमध्ये एक घटक आहे. हे सत्तेतील सामान्य भाजकाकडे जाईल (का लक्षात ठेवा?).

गुणक प्राथमिक आहे, आणि त्यांच्यात ते सामाईक नाही, याचा अर्थ असा की पहिल्या अपूर्णांकाचा फक्त त्याच्याद्वारे गुणाकार करावा लागेल:

दुसरे उदाहरण:

उपाय:

घाबरलेल्या अवस्थेत या भाजकांचा गुणाकार करण्यापूर्वी, आपण त्यांचा घटक कसा बनवायचा याचा विचार करणे आवश्यक आहे? ते दोन्ही प्रतिनिधित्व करतात:

ठीक आहे! मग:

दुसरे उदाहरण:

उपाय:

नेहमीप्रमाणे, आम्ही भाजकांचे गुणांकन करतो. पहिल्या भाजकात, आम्ही ते फक्त कंसाच्या बाहेर ठेवतो; दुसऱ्यामध्ये - चौरसांचा फरक:

असे दिसते की कोणतेही सामान्य घटक नाहीत. परंतु जर तुम्ही बारकाईने पाहिले तर ते आधीच इतके समान आहेत ... आणि सत्य हे आहे:

तर चला लिहूया:

म्हणजेच, हे असे झाले: ब्रॅकेटच्या आत, आम्ही अटी बदलल्या आणि त्याच वेळी, अपूर्णांकाच्या समोरील चिन्ह उलट बदलले. लक्षात घ्या, तुम्हाला हे वारंवार करावे लागेल.

आता आम्ही एका सामान्य भाजकाकडे आणतो:

समजले? आता तपासूया.

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये:

उत्तरे:

येथे आपण आणखी एक गोष्ट लक्षात ठेवली पाहिजे - क्यूब्सचा फरक:

कृपया लक्षात घ्या की दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकामध्ये "रजेचा वर्ग" हे सूत्र नाही! बेरीजचा वर्ग असा दिसेल:

A हा बेरीजचा तथाकथित अपूर्ण वर्ग आहे: त्यातील दुसरी संज्ञा पहिल्या आणि शेवटच्या गुणाकार आहे, त्यांच्या दुप्पट गुणाकार नाही. बेरीजचा अपूर्ण वर्ग हा क्यूब्सच्या फरकाच्या विस्तारातील घटकांपैकी एक आहे:

आधीच तीन अपूर्णांक असल्यास काय?

होय, तेच! सर्व प्रथम, आम्ही हे सुनिश्चित करू की भाजकांमध्ये जास्तीत जास्त घटकांची संख्या समान आहे:

लक्ष द्या: आपण एका कंसातील चिन्हे बदलल्यास, अपूर्णांकाच्या समोरील चिन्ह उलट बदलते. जेव्हा आपण दुसऱ्या कंसातील चिन्हे बदलतो, तेव्हा अपूर्णांकाच्या समोरील चिन्ह पुन्हा उलटे होते. परिणामी, तो (अपूर्णांकाच्या समोरील चिन्ह) बदलला नाही.

आम्ही सामान्य भाजकात पहिला भाजक पूर्णपणे लिहितो आणि नंतर आम्ही त्यात अद्याप लिहिलेले नसलेले सर्व घटक जोडतो, दुसऱ्यापासून आणि नंतर तिसऱ्यापासून (आणि असेच, जर अधिक अपूर्णांक असतील तर). म्हणजेच, हे असे होते:

हम्म... अपूर्णांकांसह, काय करायचे ते स्पष्ट आहे. पण दोघांचे काय?

हे सोपे आहे: तुम्हाला अपूर्णांक कसे जोडायचे हे माहित आहे, बरोबर? म्हणून, आपल्याला हे सुनिश्चित करणे आवश्यक आहे की ड्यूस एक अपूर्णांक बनतो! लक्षात ठेवा: अपूर्णांक एक भागाकार क्रिया आहे (अंक हा भाजकाने भागलेला आहे, जर तुम्ही अचानक विसरलात). आणि संख्येने भागाकार करण्यापेक्षा काहीही सोपे नाही. या प्रकरणात, संख्या स्वतःच बदलणार नाही, परंतु अपूर्णांकात बदलेल:

नेमकी काय गरज आहे!

5. अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार.

बरं, सर्वात कठीण भाग आता संपला आहे. आणि आपल्या पुढे सर्वात सोपा आहे, परंतु त्याच वेळी सर्वात महत्वाचे आहे:

कार्यपद्धती

अंकीय अभिव्यक्ती मोजण्याची प्रक्रिया काय आहे? लक्षात ठेवा, अशा अभिव्यक्तीचे मूल्य लक्षात घेऊन:

तुम्ही मोजले का?

ते चालले पाहिजे.

म्हणून, मी तुम्हाला आठवण करून देतो.

पहिली पायरी म्हणजे पदवीची गणना करणे.

दुसरा गुणाकार आणि भागाकार आहे. एकाच वेळी अनेक गुणाकार आणि भागाकार असल्यास, आपण ते कोणत्याही क्रमाने करू शकता.

आणि शेवटी, आम्ही बेरीज आणि वजाबाकी करतो. पुन्हा, कोणत्याही क्रमाने.

परंतु: कंसातील अभिव्यक्तीचे क्रमश: मूल्यमापन केले जाते!

जर अनेक कंस एकमेकांना गुणाकार किंवा भागले असतील, तर आम्ही प्रथम प्रत्येक कंसातील अभिव्यक्तीचे मूल्यमापन करतो, आणि नंतर त्यांना गुणाकार किंवा विभाजित करतो.

कंसात इतर कंस असतील तर? बरं, चला विचार करूया: कंसात काही अभिव्यक्ती लिहिली आहेत. अभिव्यक्तीचे मूल्यमापन करताना प्रथम काय करावे? ते बरोबर आहे, कंसाची गणना करा. ठीक आहे, आम्ही ते शोधून काढले: प्रथम आम्ही आतील कंसांची गणना करतो, नंतर इतर सर्व काही.

तर, वरील अभिव्यक्तीसाठी क्रियांचा क्रम खालीलप्रमाणे आहे (सध्याची क्रिया लाल रंगात हायलाइट केली आहे, म्हणजे, मी सध्या करत असलेली क्रिया):

ठीक आहे, हे सर्व सोपे आहे.

पण ते अक्षरांसह अभिव्यक्तीसारखेच नाही, नाही का?

नाही, तेच आहे! केवळ अंकगणित ऑपरेशन्सऐवजी बीजगणित ऑपरेशन्स करणे आवश्यक आहे, म्हणजेच मागील विभागात वर्णन केलेल्या ऑपरेशन्स: समान आणत आहे, अपूर्णांक जोडणे, अपूर्णांक कमी करणे इ. फरक फक्त बहुपदी घटकांच्या कृतीचा असेल (अपूर्णांकांसह कार्य करताना आम्ही ते सहसा वापरतो). बर्‍याचदा, फॅक्टरायझेशनसाठी, तुम्हाला i वापरणे आवश्यक आहे किंवा कंसातून सामान्य घटक काढणे आवश्यक आहे.

सामान्यत: उत्पादन किंवा भाग म्हणून अभिव्यक्तीचे प्रतिनिधित्व करणे हे आमचे ध्येय असते.

उदाहरणार्थ:

चला अभिव्यक्ती सोपी करूया.

1) प्रथम आपण कंसातील अभिव्यक्ती सुलभ करू. तेथे आमच्याकडे अपूर्णांकांचा फरक आहे आणि आमचे ध्येय ते उत्पादन किंवा भागफल म्हणून प्रस्तुत करणे आहे. म्हणून, आम्ही अपूर्णांक एका सामान्य भाजकावर आणतो आणि जोडतो:

ही अभिव्यक्ती आणखी सोपी करणे अशक्य आहे, येथे सर्व घटक प्राथमिक आहेत (याचा अर्थ काय आहे हे तुम्हाला अजूनही आठवते का?).

२) आम्हाला मिळते:

अपूर्णांकांचा गुणाकार: काय सोपे असू शकते.

3) आता तुम्ही लहान करू शकता:

ठीक आहे आता सर्व संपले आहे. काहीही क्लिष्ट नाही, बरोबर?

दुसरे उदाहरण:

अभिव्यक्ती सुलभ करा.

प्रथम, ते स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न करा, आणि त्यानंतरच उपाय पहा.

सर्व प्रथम, कार्यपद्धती परिभाषित करूया. प्रथम, कंसात अपूर्णांक जोडू, दोन अपूर्णांकांऐवजी एक निघेल. मग आपण अपूर्णांकांची विभागणी करू. बरं, आम्ही शेवटच्या अपूर्णांकासह परिणाम जोडतो. मी योजनाबद्धपणे चरणांची संख्या देईन:

आता मी सध्याची क्रिया लाल रंगाने टिंट करून संपूर्ण प्रक्रिया दर्शवेन:

शेवटी, मी तुम्हाला दोन उपयुक्त टिप्स देईन:

1. समान असल्यास, ते त्वरित आणले पाहिजे. कोणत्याही क्षणी आपल्याकडे समान आहेत, त्यांना त्वरित आणण्याचा सल्ला दिला जातो.

2. अपूर्णांक कमी करण्याच्या बाबतीतही हेच आहे: कमी करण्याची संधी मिळताच ती वापरली जाणे आवश्यक आहे. अपवाद तुम्ही जोडलेले किंवा वजा केलेले अपूर्णांक आहेत: जर त्यांचे आता समान भाजक असतील, तर घट नंतरसाठी सोडली पाहिजे.

येथे काही कार्ये आहेत जी तुम्ही स्वतः सोडवू शकता:

आणि अगदी सुरुवातीला वचन दिले:

उपाय (संक्षिप्त):

जर तुम्ही किमान पहिल्या तीन उदाहरणांचा सामना केला तर तुम्ही या विषयावर प्रभुत्व मिळवले आहे.

आता शिकण्यासाठी!

अभिव्यक्ती रूपांतरण. सारांश आणि मूलभूत सूत्र

मूलभूत सरलीकरण ऑपरेशन्स:

• समान आणत आहे: अटींप्रमाणे जोडण्यासाठी (कमी) करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे गुणांक जोडणे आणि अक्षराचा भाग नियुक्त करणे आवश्यक आहे.
• फॅक्टरायझेशन:कंसातून सामान्य घटक काढणे, अर्ज करणे इ.
• अपूर्णांक कमी करणे: अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक समान शून्य नसलेल्या संख्येने गुणाकार किंवा भागू शकतो, ज्यावरून अपूर्णांकाचे मूल्य बदलत नाही.
  1) अंश आणि भाजक फॅक्टरीकरण
  2) अंश आणि भाजकांमध्ये समान घटक असल्यास, ते ओलांडले जाऊ शकतात.

  महत्त्वाचे: केवळ गुणक कमी केले जाऊ शकतात!

• अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी:
  ;
• अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार:
  ;

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर.
अंकीय अपूर्णांकांसह अभिव्यक्तीचे मूल्यमापन.
भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांचे गुणाकार, वजाबाकी, भागाकार, बेरीज आणि घट.

या ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरद्वारे तुम्ही हे करू शकता भिन्न भाजकांसह संख्यात्मक अपूर्णांकांचा गुणाकार, वजाबाकी, भागाकार, बेरीज आणि कमी करा.

प्रोग्राम योग्य, अयोग्य आणि मिश्रित संख्यात्मक अपूर्णांकांसह कार्य करतो.

हा प्रोग्राम (ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर) हे करू शकतो:
- भिन्न भाजकांसह मिश्रित अपूर्णांक जोडा
- भिन्न भाजकांसह मिश्रित अपूर्णांक वजा करा
- मिश्रित अपूर्णांकांना वेगवेगळ्या भाजकांसह विभाजित करा
- विविध भाजकांसह मिश्रित अपूर्णांकांचा गुणाकार करा
- अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणा
- मिश्रित अपूर्णांकांना अयोग्य मध्ये रूपांतरित करा
- अपूर्णांक कमी करा

आपण अपूर्णांकांसह अभिव्यक्ती नाही तर एकच अपूर्णांक देखील प्रविष्ट करू शकता.
या प्रकरणात, अपूर्णांक कमी केला जाईल आणि पूर्णांक भाग निकालातून निवडला जाईल.

संख्यात्मक अपूर्णांकांसह अभिव्यक्तींची गणना करण्यासाठी ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही, ते स्पष्टीकरणांसह तपशीलवार समाधान प्रदान करते, म्हणजे. उपाय शोधण्याची प्रक्रिया दाखवते.

हा कार्यक्रम हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांसाठी चाचण्या आणि परीक्षांच्या तयारीसाठी, युनिफाइड स्टेट परीक्षेपूर्वी ज्ञानाची चाचणी करताना, पालकांना गणित आणि बीजगणितातील अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकतो. किंवा कदाचित तुमच्यासाठी ट्यूटर घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा तुम्हाला तुमचे गणित किंवा बीजगणित गृहपाठ शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करायचे आहे का? या प्रकरणात, आपण तपशीलवार समाधानासह आमचे प्रोग्राम देखील वापरू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे प्रशिक्षण आणि/किंवा तुमच्या लहान भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर सोडवण्याच्या कार्याच्या क्षेत्रातील शिक्षणाचा स्तर वाढवला जाईल.

अंकीय अपूर्णांकांसह अभिव्यक्ती प्रविष्ट करण्याच्या नियमांशी आपण परिचित नसल्यास, आम्ही शिफारस करतो की आपण त्यांच्याशी परिचित व्हा.

अंकीय अपूर्णांकांसह अभिव्यक्ती प्रविष्ट करण्याचे नियम

अपूर्णांकाचा अंश, भाजक आणि पूर्णांक भाग म्हणून केवळ पूर्ण संख्याच कार्य करू शकते.

भाजक ऋणात्मक असू शकत नाही.

संख्यात्मक अपूर्णांक प्रविष्ट करताना, भागाकार चिन्हाद्वारे अंश विभक्त केला जातो: /
इनपुट: -2/3 + 7/5
परिणाम: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

पूर्णांक भाग अपूर्णांकापासून अँपरसँडद्वारे विभक्त केला जातो: &
इनपुट: -1&2/3 * 5&8/3
परिणाम: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

अपूर्णांकांचे विभाजन कोलनसह केले जाते: :
इनपुट: -9&37/12: -3&5/14
निकाल: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
लक्षात ठेवा की तुम्ही शून्याने भागू शकत नाही!

अंकीय अपूर्णांकांसह अभिव्यक्ती प्रविष्ट करताना कंस वापरला जाऊ शकतो.
इनपुट: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
परिणाम: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right): 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

असे आढळले की हे कार्य सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड झाल्या नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
तुम्ही AdBlock सक्षम केले असेल.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

कारण प्रश्न सोडवायचा आहे, तुमची विनंती रांगेत आहे असे बरेच लोक आहेत.
काही सेकंदांनंतर, समाधान खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद...

जर तू समाधानामध्ये त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा काय फील्डमध्ये प्रवेश करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

सामान्य अपूर्णांक. उर्वरित सह विभागणी

जर आपल्याला ४९७ ला ४ ने भागायचे असेल, तर भागाकार करताना ४९७ ला ४ ने भाग जात नाही असे दिसेल. विभागाचा उर्वरित भाग शिल्लक आहे. अशा वेळी असे म्हणतात उर्वरित सह विभागणी, आणि समाधान खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:
497: 4 = 124 (1 शिल्लक).

समानतेच्या डावीकडील भागाकार घटकांना भागाकार भागाप्रमाणेच म्हणतात: 497 - लाभांश, 4 - दुभाजक. भागाकाराने भागाकार केल्यावर मिळणारा परिणाम असे म्हणतात अपूर्ण खाजगी. आमच्या बाबतीत, ही संख्या 124 आहे. आणि शेवटी, शेवटचा घटक, जो नेहमीच्या विभागात नाही, आहे उर्वरित. जेव्हा शिल्लक नसते, तेव्हा एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने भागाकार म्हणतात. ट्रेसशिवाय किंवा पूर्णपणे. असे मानले जाते की अशा विभागणीसह, उर्वरित शून्य आहे. आमच्या बाबतीत, उर्वरित 1 आहे.

उर्वरित भाग नेहमी विभाजकापेक्षा कमी असतो.

गुणाकार करून भागाकार करताना तुम्ही तपासू शकता. जर, उदाहरणार्थ, समानता 64: 32 = 2 असेल, तर चेक याप्रमाणे केले जाऊ शकते: 64 = 32 * 2.

बहुतेकदा ज्या प्रकरणांमध्ये उर्वरित भागाकार केला जातो, समानता वापरणे सोयीचे असते
a \u003d b * n + r,
जेथे a हा लाभांश आहे, b हा भाजक आहे, n हा आंशिक भागफल आहे, r हा शेष आहे.

नैसर्गिक संख्यांच्या भागाकाराचा भाग अपूर्णांक म्हणून लिहिता येतो.

अपूर्णांकाचा अंश हा लाभांश असतो आणि भाजक हा भाजक असतो.

अपूर्णांकाचा अंश हा लाभांश असल्याने आणि भाजक हा भागाकार असल्याने, अपूर्णांकाच्या रेषेचा अर्थ भागाकाराची क्रिया असा विश्वास ठेवा. कधीकधी ":" चिन्ह न वापरता भागाकार अपूर्णांक म्हणून लिहिणे सोयीचे असते.

नैसर्गिक संख्या m आणि n च्या भागाकाराचा भागांक \(\frac(m)(n) \) म्हणून लिहिता येईल, जेथे अंश m हा लाभांश आहे आणि भाजक n हा भाजक आहे:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

खालील नियम योग्य आहेत:

अपूर्णांक \(\frac(m)(n) \) मिळविण्यासाठी, तुम्हाला एकक n समान भागांमध्ये (शेअर्स) विभाजित करावे लागेल आणि m असे भाग घ्यावे लागतील.

अपूर्णांक \(\frac(m)(n) \) मिळविण्यासाठी, तुम्हाला m संख्या n ने भागणे आवश्यक आहे.

संपूर्ण भाग शोधण्यासाठी, तुम्हाला संपूर्ण संख्‍येशी संबंधित संख्‍येला भाजकाने विभाजित करणे आवश्‍यक आहे आणि हा भाग व्‍यक्‍त करणार्‍या अपूर्णांकाच्या अंशाने परिणाम गुणाकार करण्‍याची आवश्‍यकता आहे.

त्याच्या भागाद्वारे संपूर्ण शोधण्यासाठी, आपल्याला या भागाशी संबंधित संख्येने अंशाने विभाजित करणे आणि हा भाग व्यक्त करणार्‍या अपूर्णांकाच्या भाजकाने परिणाम गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक दोन्ही एकाच संख्येने (शून्य वगळता) गुणाकार केल्यास, अपूर्णांकाचे मूल्य बदलणार नाही:
\(\मोठा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक दोन्ही समान संख्येने भागल्यास (शून्य वगळता), अपूर्णांकाचे मूल्य बदलणार नाही:
\(\मोठा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
या गुणधर्माला म्हणतात अपूर्णांकाचा मूळ गुणधर्म.

शेवटची दोन परिवर्तने म्हणतात अपूर्णांक कमी.

अपूर्णांकांना समान भाजकासह अपूर्णांक म्हणून दर्शविणे आवश्यक असल्यास, अशा क्रियेला म्हणतात. अपूर्णांकांना सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे.

योग्य आणि अयोग्य अपूर्णांक. मिश्र संख्या

तुम्हाला आधीच माहित आहे की संपूर्ण भाग समान भागांमध्ये विभागून आणि असे अनेक भाग घेऊन अपूर्णांक मिळवता येतो. उदाहरणार्थ, अपूर्णांक \(\frac(3)(4) \) म्हणजे एकाचा तीन-चतुर्थांश. मागील विभागातील अनेक समस्यांमध्ये, अपूर्णांकांचा वापर संपूर्ण भाग दर्शविण्यासाठी केला होता. अक्कल सांगते की भाग नेहमी संपूर्ण पेक्षा कमी असावा, परंतु \(\frac(5)(5) \) किंवा \(\frac(8)(5) \) सारख्या अपूर्णांकांचे काय? हे स्पष्ट आहे की हे यापुढे युनिटचा भाग नाही. म्हणूनच कदाचित अशा अपूर्णांकांना, ज्यामध्ये अंश हा भाजकापेक्षा मोठा किंवा समान असतो, असे म्हणतात. अयोग्य अपूर्णांक. उर्वरित अपूर्णांक, म्हणजे ज्या अपूर्णांकात अंश हा भाजकापेक्षा कमी असतो, त्यांना म्हणतात. योग्य अपूर्णांक.

तुम्हाला माहिती आहेच की, कोणताही सामान्य अपूर्णांक, योग्य आणि अयोग्य दोन्ही, अंशाला भाजकाने विभाजित केल्याचा परिणाम मानला जाऊ शकतो. म्हणून, गणितात, सामान्य भाषेच्या विपरीत, "अयोग्य अपूर्णांक" या संज्ञेचा अर्थ असा नाही की आपण काहीतरी चूक केली आहे, परंतु केवळ या अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या भाजकापेक्षा मोठा किंवा समान आहे.

जर एखाद्या संख्येमध्ये पूर्णांक भाग आणि अपूर्णांक असेल तर अशा अपूर्णांकांना मिश्र म्हणतात.

उदाहरणार्थ:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 हा पूर्णांक भाग आहे आणि \(\frac(2)(3) \) हा अपूर्णांक भाग आहे.

अपूर्णांकाचा अंश \(\frac(a)(b) \) नैसर्गिक संख्येने भाग जात असल्यास, या अपूर्णांकाला n ने भागण्यासाठी, त्याचा अंश या संख्येने भागला पाहिजे:
\(\मोठा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

जर \(\frac(a)(b) \) अपूर्णांकाचा अंश नैसर्गिक संख्येने n ने भागत नसेल, तर या अपूर्णांकाला n ने भागण्यासाठी, तुम्हाला त्याचा भाजक या संख्येने गुणाकार करावा लागेल:
\(\मोठा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

लक्षात घ्या की जेव्हा अंशाला n ने भाग जातो तेव्हा दुसरा नियम देखील वैध असतो. म्हणून, अपूर्णांकाचा अंश n ने भाग जातो की नाही हे पहिल्या दृष्टीक्षेपात कठीण असताना आपण ते वापरू शकतो.

अपूर्णांकांसह क्रिया. अपूर्णांकांची बेरीज.

अपूर्णांक संख्यांसह, नैसर्गिक संख्यांप्रमाणे, तुम्ही अंकगणितीय क्रिया करू शकता. प्रथम अपूर्णांक जोडणे पाहू. समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे सोपे आहे. उदाहरणार्थ, \(\frac(2)(7) \) आणि \(\frac(3)(7) \) ची बेरीज शोधा. हे समजणे सोपे आहे की \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश जोडणे आवश्यक आहे आणि भाजक समान सोडणे आवश्यक आहे.

अक्षरे वापरून, समान भाजकांसह अपूर्णांक जोडण्याचा नियम खालीलप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:
\(\मोठा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

जर तुम्हाला भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडायचे असतील, तर ते प्रथम सामान्य भाजकापर्यंत कमी केले पाहिजेत. उदाहरणार्थ:
\(\मोठा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

अपूर्णांकांसाठी, तसेच नैसर्गिक संख्यांसाठी, जोडणीचे कम्युटेटिव्ह आणि असोसिएटिव्ह गुणधर्म वैध आहेत.

मिश्र अपूर्णांक जोडणे

रेकॉर्डिंग जसे की \(2\frac(2)(3) \) म्हणतात मिश्रित अपूर्णांक. क्रमांक 2 म्हणतात संपूर्ण भागमिश्र अपूर्णांक, आणि संख्या \(\frac(2)(3) \) आहे अपूर्णांक भाग. एंट्री \(2\frac(2)(3) \) अशी वाचली जाते: "दोन आणि दोन तृतीयांश".

संख्या 8 ला संख्या 3 ने भागल्यास दोन उत्तरे मिळतात: \(\frac(8)(3) \) आणि \(2\frac(2)(3) \). ते समान अपूर्णांक संख्या व्यक्त करतात, म्हणजे \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

अशा प्रकारे, अयोग्य अपूर्णांक \(\frac(8)(3) \) मिश्र अपूर्णांक \(2\frac(2)(3) \) म्हणून दर्शविला जातो. अशा प्रकरणांमध्ये, ते म्हणतात की अयोग्य अंशातून संपूर्ण बाहेर एकल.

अपूर्णांकांची वजाबाकी (अपूर्णांक संख्या)

अपूर्णांक संख्यांची वजाबाकी, तसेच नैसर्गिक संख्या, बेरीज क्रियेच्या आधारे निर्धारित केली जाते: एका संख्येतून दुसरी वजा करणे म्हणजे अशी संख्या शोधणे जी दुसर्‍यामध्ये जोडल्यावर प्रथम देते. उदाहरणार्थ:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) पासून \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = frac(8)(9) \)

समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करण्याचा नियम अशा अपूर्णांक जोडण्याच्या नियमासारखाच आहे:
समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांमधील फरक शोधण्यासाठी, पहिल्या अपूर्णांकाच्या अंशातून दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश वजा करा आणि भाजक समान सोडा.

अक्षरे वापरुन, हा नियम खालीलप्रमाणे लिहिला आहे:
\(\मोठा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

अपूर्णांकांचा गुणाकार

अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्‍यासाठी, तुम्‍हाला त्‍यांचे अंश आणि भाजक गुणाकार करण्‍याची आवश्‍यकता आहे आणि पहिला गुणाकार अंश आणि दुसरा भाजक म्‍हणून लिहावा लागेल.

अक्षरे वापरून, अपूर्णांकांचा गुणाकार करण्याचा नियम खालीलप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:
\(\मोठा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तयार केलेल्या नियमाचा वापर करून, एखाद्या अपूर्णांकाचा नैसर्गिक संख्येने, मिश्र अपूर्णांकाने आणि मिश्र अपूर्णांकाचा देखील गुणाकार करणे शक्य आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला 1 च्या भाजकासह अपूर्णांक म्हणून एक नैसर्गिक संख्या लिहावी लागेल, मिश्र अपूर्णांक अयोग्य अपूर्णांक म्हणून लिहावा लागेल.

अपूर्णांक कमी करून आणि अयोग्य अपूर्णांकाचा पूर्णांक भाग हायलाइट करून गुणाकाराचा परिणाम सरलीकृत (शक्य असल्यास) केला पाहिजे.

अपूर्णांकांसाठी, तसेच नैसर्गिक संख्यांसाठी, गुणाकाराचे कम्युटेटिव्ह आणि असोसिएटिव्ह गुणधर्म वैध आहेत, तसेच बेरीजच्या संदर्भात गुणाकाराचे वितरण गुणधर्म वैध आहेत.

अपूर्णांकांची विभागणी

अपूर्णांक \(\frac(2)(3) \) घ्या आणि अंश आणि भाजक स्वॅप करून तो “फ्लिप” करा. आपल्याला \(\frac(3)(2) \) अपूर्णांक मिळतो. या अपूर्णांकाला म्हणतात उलटअपूर्णांक \(\frac(2)(3) \).

जर आपण आता अपूर्णांक \(\frac(3)(2) \ ला “उलटा” केला, तर आपल्याला मूळ अपूर्णांक \(\frac(2)(3) \) मिळेल. म्हणून, \(\frac(2)(3) \) आणि \(\frac(3)(2) \) सारख्या अपूर्णांकांना म्हणतात. परस्पर उलट.

उदाहरणार्थ, अपूर्णांक \(\frac(6)(5) \) आणि \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) आणि \(\frac (18) )(7) \).

अक्षरे वापरून, परस्पर व्यस्त अपूर्णांक खालीलप्रमाणे लिहिता येतात: \(\frac(a)(b) \) आणि \(\frac(b)(a) \)

हे स्पष्ट आहे कि परस्पर अपूर्णांकांचे गुणाकार 1 आहे. उदाहरणार्थ: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

परस्पर अपूर्णांक वापरून, अपूर्णांकांचे विभाजन गुणाकारात कमी करता येते.

अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने विभाजित करण्याचा नियम:
एका अपूर्णांकाला दुसर्‍याने विभाजित करण्यासाठी, तुम्हाला विभाजकाच्या परस्परसंबंधाने लाभांश गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

लेखात, आम्ही दर्शवू अपूर्णांक कसे सोडवायचेसाध्या स्पष्ट उदाहरणांसह. अपूर्णांक म्हणजे काय ते समजून घेऊ आणि विचार करू अपूर्णांक सोडवणे!

संकल्पना अपूर्णांकमाध्यमिक शाळेच्या सहाव्या इयत्तेपासून सुरू होणाऱ्या गणिताच्या अभ्यासक्रमात प्रवेश केला जातो.

अपूर्णांक असे दिसतात: ±X / Y, जेथे Y हा भाजक आहे, तो संपूर्ण भाग किती भागांमध्ये विभागला गेला हे सांगते आणि X हा अंश आहे, असे किती भाग घेतले गेले ते सांगते. स्पष्टतेसाठी, केकचे उदाहरण घेऊ:

पहिल्या प्रकरणात, केक समान रीतीने कापला गेला आणि एक अर्धा घेतला गेला, म्हणजे. 1/2. दुसऱ्या प्रकरणात, केक 7 भागांमध्ये कापला गेला, ज्यामधून 4 भाग घेतले गेले, म्हणजे. ४/७.

एका संख्‍येला दुसर्‍या संख्‍येने विभाजित करण्‍याचा भाग पूर्ण संख्‍येचा नसल्‍यास तो अपूर्णांक म्‍हणून लिहिला जातो.

उदाहरणार्थ, 4:2 \u003d 2 ही अभिव्यक्ती पूर्णांक देते, परंतु 4:7 पूर्णपणे विभाज्य नाही, म्हणून ही अभिव्यक्ती 4/7 अपूर्णांक म्हणून लिहिली जाते.

दुसऱ्या शब्दात अपूर्णांकही एक अभिव्यक्ती आहे जी दोन संख्या किंवा अभिव्यक्तींचे विभाजन दर्शवते आणि जी स्लॅशने लिहिलेली असते.

जर अंश भाजकापेक्षा कमी असेल तर अपूर्णांक बरोबर आहे, जर उलट असेल तर तो चुकीचा आहे. अपूर्णांकामध्ये पूर्णांक असू शकतो.

उदाहरणार्थ, 5 संपूर्ण 3/4.

या नोंदीचा अर्थ असा आहे की संपूर्ण 6 मिळवण्यासाठी चारपैकी एक भाग पुरेसा नाही.

लक्षात ठेवायचे असेल तर सहाव्या वर्गासाठी अपूर्णांक कसे सोडवायचेआपण ते समजून घेणे आवश्यक आहे अपूर्णांक सोडवणेमुळात काही सोप्या गोष्टी समजून घेतल्या जातात.

• अपूर्णांक हा अपूर्णांकासाठी मूलत: एक अभिव्यक्ती आहे. म्हणजेच, दिलेले मूल्य कोणत्या भागातून आहे याची संख्यात्मक अभिव्यक्ती. उदाहरणार्थ, अपूर्णांक 3/5 व्यक्त करतो की जर आपण एखाद्या संपूर्ण गोष्टीला 5 भागांमध्ये विभागले आणि या संपूर्ण भागांची संख्या किंवा भागांची संख्या तीन असेल.
• अपूर्णांक 1 पेक्षा कमी असू शकतो, उदाहरणार्थ 1/2 (किंवा अनिवार्यपणे अर्धा), तर ते बरोबर आहे. जर अपूर्णांक 1 पेक्षा जास्त असेल, उदाहरणार्थ 3/2 (तीन अर्धे किंवा दीड), तर ते चुकीचे आहे आणि समाधान सोपे करण्यासाठी, संपूर्ण भाग 3/2= 1 संपूर्ण 1 निवडणे आपल्यासाठी चांगले आहे. /2.
• अपूर्णांक 1, 3, 10 आणि अगदी 100 सारख्याच संख्या आहेत, फक्त संख्या पूर्ण नसून अपूर्णांक आहेत. त्यांच्यासह, आपण संख्यांप्रमाणेच सर्व ऑपरेशन करू शकता. अपूर्णांक मोजणे अधिक कठीण नाही, आणि पुढे आम्ही विशिष्ट उदाहरणांसह हे दर्शवू.

अपूर्णांक कसे सोडवायचे. उदाहरणे.

अपूर्णांकांना विविध अंकगणितीय क्रिया लागू होतात.

एका सामान्य भाजकावर अपूर्णांक आणणे

उदाहरणार्थ, तुम्हाला 3/4 आणि 4/5 अपूर्णांकांची तुलना करणे आवश्यक आहे.

समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आम्ही प्रथम सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधतो, म्हणजे. अपूर्णांकांच्या प्रत्येक भाजकांद्वारे उर्वरित न भागता येणारी सर्वात लहान संख्या

सर्वात कमी सामान्य भाजक(4.5) = 20

मग दोन्ही अपूर्णांकांचा भाजक सर्वात कमी सामान्य भाजकापर्यंत कमी केला जातो

उत्तर: 15/20

अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी

दोन अपूर्णांकांची बेरीज मोजणे आवश्यक असल्यास, ते प्रथम एका सामान्य भाजकावर आणले जातात, नंतर अंश जोडले जातात, तर भाजक अपरिवर्तित राहतात. अपूर्णांकांचा फरक अशाच प्रकारे विचारात घेतला जातो, फरक एवढाच आहे की अंशांची वजाबाकी केली जाते.

उदाहरणार्थ, तुम्हाला १/२ आणि १/३ अपूर्णांकांची बेरीज शोधायची आहे

आता 1/2 आणि 1/4 अपूर्णांकांमधील फरक शोधा

अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार

येथे अपूर्णांकांचे समाधान सोपे आहे, येथे सर्वकाही अगदी सोपे आहे:

• गुणाकार - अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक आपापसात गुणाकार केले जातात;
• भागाकार - प्रथम आपल्याला एक अपूर्णांक मिळतो, दुसऱ्या अपूर्णांकाचा परस्पर, म्हणजे. त्याचा अंश आणि भाजक स्वॅप करा, त्यानंतर आपण परिणामी अपूर्णांकांचा गुणाकार करू.

उदाहरणार्थ:

याविषयी अपूर्णांक कसे सोडवायचे, सर्व. बद्दल काही प्रश्न असल्यास अपूर्णांक सोडवणे, काहीतरी स्पष्ट नाही, नंतर टिप्पण्यांमध्ये लिहा आणि आम्ही तुम्हाला उत्तर देऊ.

तुम्ही शिक्षक असल्यास, प्राथमिक शाळेसाठी (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) सादरीकरण डाउनलोड करणे शक्य आहे जे उपयुक्त ठरेल.

"अपूर्णांक" या शब्दावर अनेक गूजबंप चालतात. कारण मला शाळा आणि गणितात सोडवलेली कामे आठवतात. हे कर्तव्य पार पाडायचे होते. पण जर आपण योग्य आणि अयोग्य अपूर्णांक असलेली कार्ये एक कोडे मानली तर? शेवटी, बरेच प्रौढ डिजिटल आणि जपानी शब्दकोष सोडवतात. नियम समजून घ्या आणि झाले. इथेही तेच. एखाद्याला फक्त सिद्धांताचा शोध घ्यावा लागेल - आणि सर्व काही ठिकाणी पडेल. आणि उदाहरणे मेंदूला प्रशिक्षित करण्याचा मार्ग बनतील.

कोणत्या प्रकारचे अपूर्णांक आहेत?

चला ते काय आहे ते सुरू करूया. अपूर्णांक ही अशी संख्या आहे ज्यामध्ये एकाचा काही अंश असतो. ते दोन स्वरूपात लिहिता येते. पहिल्याला सामान्य म्हणतात. म्हणजेच, ज्याला आडवा किंवा तिरकस स्ट्रोक आहे. हे विभाजन चिन्हाशी समान आहे.

अशा नोटेशनमध्ये, डॅशच्या वरच्या संख्येला अंश म्हणतात आणि त्याच्या खाली भाजक म्हणतात.

सामान्य अपूर्णांकांमध्ये, योग्य आणि चुकीचे अपूर्णांक वेगळे केले जातात. आधीच्यासाठी, मोड्युलो अंश हा नेहमी भाजकापेक्षा कमी असतो. चुकीच्या लोकांना असे म्हटले जाते कारण त्यांच्यात उलट आहे. योग्य अपूर्णांकाचे मूल्य नेहमी एकापेक्षा कमी असते. चुकीचे नेहमी या संख्येपेक्षा मोठे असते.

मिश्र संख्या देखील आहेत, म्हणजेच ज्यांचे पूर्णांक आणि अपूर्णांक आहेत.

नोटेशनचा दुसरा प्रकार दशांश आहे. तिच्या स्वतंत्र संभाषणाबद्दल.

अयोग्य अपूर्णांक आणि मिश्र संख्या यांच्यात काय फरक आहे?

मुळात, काहीही नाही. हे एकाच संख्येचे फक्त भिन्न संकेतन आहे. साध्या ऑपरेशननंतर अयोग्य अपूर्णांक सहजपणे मिश्र संख्या बनतात. आणि उलट.

हे सर्व विशिष्ट परिस्थितीवर अवलंबून असते. कधीकधी कार्यांमध्ये अयोग्य अपूर्णांक वापरणे अधिक सोयीचे असते. आणि कधीकधी ते मिश्रित संख्येमध्ये भाषांतरित करणे आवश्यक असते आणि नंतर उदाहरण अगदी सहजपणे सोडवले जाईल. म्हणून, काय वापरायचे: अयोग्य अपूर्णांक, मिश्र संख्या - समस्येचे निराकरण करणार्‍याच्या निरीक्षणावर अवलंबून असते.

मिश्र संख्येची तुलना पूर्णांक भाग आणि अपूर्णांक भाग यांच्या बेरजेशी देखील केली जाते. शिवाय, दुसरा नेहमी ऐक्यापेक्षा कमी असतो.

मिश्र संख्या अयोग्य अपूर्णांक म्हणून कशी दर्शवायची?

जर तुम्हाला वेगवेगळ्या फॉर्ममध्ये लिहिलेल्या अनेक संख्यांसह काही क्रिया करायच्या असतील, तर तुम्हाला त्या सारख्याच कराव्या लागतील. एक पद्धत म्हणजे संख्यांना अयोग्य अपूर्णांक म्हणून प्रस्तुत करणे.

या उद्देशासाठी, आपल्याला खालील अल्गोरिदमचे अनुसरण करणे आवश्यक आहे:

• पूर्णांक भागाने भाजक गुणाकार करा;
• परिणामामध्ये अंशाचे मूल्य जोडा;
• ओळीच्या वर उत्तर लिहा;
• भाजक समान सोडा.

मिश्र संख्यांमधून अयोग्य अपूर्णांक कसे लिहायचे याची उदाहरणे येथे आहेत:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

मिश्र संख्या म्हणून अयोग्य अपूर्णांक कसा लिहायचा?

पुढील पद्धत वर चर्चा केलेल्या एकाच्या उलट आहे. म्हणजेच, जेव्हा सर्व मिश्र संख्या अयोग्य अपूर्णांकांसह बदलल्या जातात. क्रियांचे अल्गोरिदम खालीलप्रमाणे असेल:

• उरलेला भाग मिळवण्यासाठी अंशाला भाजकाने भागा;
• मिश्रित पूर्णांक भागाच्या जागी भागफल लिहा;
• उर्वरित रेषेच्या वर ठेवले पाहिजे;
• भाजक हा भाजक असेल.

अशा परिवर्तनाची उदाहरणे:

76/14; 76:14 = 5 उर्वरित 6 सह; उत्तर 5 पूर्णांक आणि 6/14 आहे; या उदाहरणातील अंशात्मक भाग 2 ने कमी करणे आवश्यक आहे, तुम्हाला 3/7 मिळेल; अंतिम उत्तर 5 पूर्ण 3/7 आहे.

108/54; भागाकारानंतर, भागांक 2 उर्वरित न घेता प्राप्त होतो; याचा अर्थ असा की सर्व अयोग्य अपूर्णांक मिश्रित संख्या म्हणून दर्शविले जाऊ शकत नाहीत; उत्तर पूर्णांक आहे - 2.

तुम्ही पूर्णांकाला अयोग्य अपूर्णांकात कसे बदलता?

अशी कृती आवश्यक असते तेव्हा परिस्थिती असते. पूर्वनिर्धारित भाजकासह अयोग्य अपूर्णांक मिळविण्यासाठी, तुम्हाला खालील अल्गोरिदम करणे आवश्यक आहे:

• इच्छित भाजकाने पूर्णांक गुणाकार करा;
• हे मूल्य ओळीच्या वर लिहा;
• त्याच्या खाली एक भाजक ठेवा.

सर्वात सोपा पर्याय म्हणजे जेव्हा भाजक एक समान असतो. मग गुणाकार करण्याची गरज नाही. फक्त एक पूर्णांक लिहिणे पुरेसे आहे, जे उदाहरणात दिले आहे आणि ओळीखाली एक युनिट ठेवा.

उदाहरण: 5 ला 3 च्या भाजकासह अयोग्य अपूर्णांक बनवा. 5 ला 3 ने गुणाकार केल्यावर तुम्हाला 15 मिळेल. ही संख्या भाजक असेल. कार्याचे उत्तर अपूर्णांक आहे: 15/3.

भिन्न संख्यांसह कार्ये सोडवण्यासाठी दोन दृष्टिकोन

उदाहरणामध्ये, बेरीज आणि फरक, तसेच दोन संख्यांचे गुणाकार आणि भागांक काढणे आवश्यक आहे: 2 पूर्णांक 3/5 आणि 14/11.

पहिल्या दृष्टिकोनातमिश्र संख्या अयोग्य अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाईल.

वर वर्णन केलेल्या चरणांचे पालन केल्यानंतर, तुम्हाला खालील मूल्य मिळेल: 13/5.

बेरीज शोधण्यासाठी, तुम्हाला अपूर्णांक समान भाजकापर्यंत कमी करणे आवश्यक आहे. 13/5 ला 11 ने गुणले तर 143/55 होतो. आणि 5 ने गुणाकार केल्यावर 14/11 हा फॉर्म घेईल: 70/55. बेरजेची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला फक्त अंक जोडणे आवश्यक आहे: 143 आणि 70, आणि नंतर एका भाजकासह उत्तर लिहा. 213/55 - हा अयोग्य अंश समस्येचे उत्तर आहे.

फरक शोधताना, या समान संख्या वजा केल्या जातात: 143 - 70 = 73. उत्तर एक अपूर्णांक आहे: 73/55.

13/5 आणि 14/11 चा गुणाकार करताना, तुम्हाला सामान्य भाजक कमी करण्याची आवश्यकता नाही. फक्त अंक आणि भाजक जोड्यांमध्ये गुणा. उत्तर असेल: 182/55.

त्याचप्रमाणे विभागणीसह. योग्य सोल्यूशनसाठी, तुम्हाला भागाकार गुणाकाराने पुनर्स्थित करणे आणि भाजक फ्लिप करणे आवश्यक आहे: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

दुसऱ्या दृष्टिकोनातअयोग्य अपूर्णांक मिश्र संख्या बनतो.

अल्गोरिदमच्या क्रिया पूर्ण केल्यानंतर, 14/11 1 च्या पूर्णांक भागासह आणि 3/11 च्या अंशात्मक भागासह मिश्र संख्येत बदलेल.

बेरीजची गणना करताना, तुम्हाला पूर्णांक आणि अपूर्णांक स्वतंत्रपणे जोडणे आवश्यक आहे. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. अंतिम उत्तर 3 पूर्ण 48/55 आहे. पहिल्या दृष्टिकोनात 213/55 अपूर्णांक होता. तुम्ही त्यास मिश्र संख्येत रूपांतरित करून शुद्धता तपासू शकता. 213 ला 55 ने भागल्यावर भागफल 3 आणि उर्वरित 48 आहे. उत्तर बरोबर आहे हे पाहणे सोपे आहे.

वजा करताना, "+" चिन्ह "-" ने बदलले जाते. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. मागील दृष्टिकोनातून उत्तर तपासण्यासाठी, तुम्हाला ते मिश्र संख्येमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे: 73 ला 55 ने भागले आहे आणि तुम्हाला 1 चा भाग आणि 18 चा उरलेला भाग मिळेल.

उत्पादन आणि भागांक शोधण्यासाठी, मिश्र संख्या वापरणे गैरसोयीचे आहे. येथे नेहमीच अयोग्य अपूर्णांकांवर स्विच करण्याची शिफारस केली जाते.

अरे ते अपूर्णांक! हायस्कूलमध्ये, गणिताच्या धड्यांमध्ये, हे अपूर्णांक आणि कार्यांसह अंकगणितीय ऑपरेशन्स असतात ज्यामध्ये अंश आणि भाजकांसह संख्या अशा परिस्थितीत चमकतात जी एक अडथळा बनते ज्यावर अनेक शाळकरी मुले अडचणीने मात करतात. काही विद्यार्थ्यांसाठी अपूर्णांकांसह ऑपरेशन्स नियंत्रित करणारे अगदी सोपे नियम लक्षात ठेवणे आणि वापरणे हे गणितातील चांगल्या गुणांसाठी एक दुर्गम अडथळा बनतात. तर तुम्ही अपूर्णांकांसह समस्यांचे निराकरण कसे कराल? अपूर्णांक म्हणजे काय हे बरोबर समजल्यास हे शक्य आहे.

उदाहरण म्हणून एक सामान्य केक घेऊ. आपण सुट्टीसाठी सात लोकांच्या संख्येत अतिथींची अपेक्षा करत आहात. तुमच्याकडे एक केक आहे. तर, ते आठ (अतिथी आणि वाढदिवस) मध्ये विभागणे आवश्यक आहे. तुम्ही केकचे समान तुकडे करा. यापैकी प्रत्येक भाग संपूर्ण पाईच्या फक्त 1/8 आहे. एक साधा नैसर्गिक अपूर्णांक बाहेर आला, जिथे 1 हा अंश आहे आणि 8 हा भाजक आहे. अतिथींपैकी कोणीतरी पाई नाकारली आणि तुम्ही स्वतःला दुसरा तुकडा घेण्याचे ठरविले. आता पाईच्या आठ तुकड्यांमधून 2 तुकडे किंवा 2/8 बाहेर आले.

तुमचे सर्व पाहुणे आहारात असतील, वजन कमी करत असतील आणि केक खाण्याची इच्छा नसेल तर? मग तुम्हाला आठ (8/8) पैकी आठ भाग मिळतील, म्हणजेच एक संपूर्ण केक!

ज्या अपूर्णांकाचा अंश भाजकापेक्षा कमी असतो त्यांना योग्य अपूर्णांक म्हणतात. आणि जेथे अंश मोठा आहे ते चुकीचे आहेत.

नैसर्गिक अंशांसह समस्या
ज्या समस्यांमध्ये नैसर्गिक अपूर्णांक दिसतात त्यामध्ये त्यांच्यासह क्रियांचा समावेश होतो. अशा समस्येची सर्वात सोपी आवृत्ती म्हणजे अपूर्णांक म्हणून व्यक्त केलेल्या संख्येचा अंश शोधणे. तुम्हाला 6 किलो सफरचंद देण्यात आले. त्यापैकी 2/3 आपण पाईसाठी भरण्याच्या तयारीसाठी सोडले पाहिजे. आम्ही 6 चा 2 ने गुणाकार करतो, नंतर 3 ने भागतो. परिणामी, आम्हाला भरण्यासाठी 4 किलो आवश्यक आहे.

जर संख्या त्याच्या भागाद्वारे शोधणे कठीण काम असेल, तर संख्येचा भाग एका अपूर्णांकाने गुणाकार करा, अंश आणि भाजक स्वॅप करा. 6 किलोग्रॅम सफरचंद आहेत. तुमच्या सफरचंदाच्या झाडापासून कापणी केलेल्या एकूण सफरचंदांच्या संख्येपैकी हे 3/5 आहे. तर, आपण 6 चा पटकन 5 ने गुणाकार करतो आणि 3 ने भागतो. हे 10 किलोग्रॅम निघते.

तुम्ही अपूर्णांकांना कसे विभाजित आणि गुणाकार करता? येथे नियम सोपे आहेत. अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करून, आम्ही अंक आणि भाजकांसह क्रिया करतो. समजा तुम्हाला 2/3 चा 5/6 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. संख्या 2 चा 5 ने गुणाकार केला जातो आणि 3 चा 6 ने गुणाकार केला जातो. निकाल: 10/18. जर तुम्हाला अपूर्णांकाचा पूर्णांकाने गुणाकार करायचा असेल, तर फक्त संख्या स्वतःच आणि अपूर्णांकाचा अंश गुणाकार करा. तर 3*4/7=12/7. आम्ही अपूर्णांकाचे भाषांतर योग्य मध्ये करतो: 12/7=1 आणि 5/7.

अपूर्णांकांचे विभाजन सहजपणे गुणाकाराने बदलले जाते. 5/6 ला 2/3 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे? म्हणून, आपण पहिला अपूर्णांक 5/6 अपरिवर्तित ठेवतो, दुसऱ्यामध्ये आपण अंश आणि भाजक स्वॅप करतो. ५/६:२/३=५/६*३/२=१५/१२. नैसर्गिक संख्येला अपूर्णांकाने विभाजित करण्यासाठी असे नियम अस्तित्वात आहेत. २:४/७= २*७/४=१४/४. जर आपण एखाद्या अपूर्णांकाला नैसर्गिक संख्येने भागले, तर आपण भाजक आणि संख्या स्वतःच गुणाकार करू. ४/७:२=४/१४.

जेथे भाजक भिन्न आहेत अशा अपूर्णांकांसह वजाबाकी आणि बेरीज करणे अधिक कठीण आहे. जर तुम्हाला 2/8 ते 3/8 जोडायचे असेल तर ते सोपे आहे. भाजक अपरिवर्तित ठेवून अंश जोडा. 5/8 बाहेर येतो. वजाबाकीसह, सर्व काही सारखेच असते, जेथे मोठ्या अंशातून लहान वजा केला जातो.

आणि अपूर्णांकांसह समस्यांचे निराकरण कसे करावे, जेथे भिन्न भाजक आहेत? अर्थात, प्रथम त्यांना एकावर आणा. उदाहरणार्थ, 5/8 आणि 2/3 जोडणे आवश्यक आहे. आम्ही 8 आणि 3 या दोन्हीने भाग जाणार्‍या संख्येसाठी निवड पद्धत शोधत आहोत. ही संख्या 24 आहे. 5/8 मधील 24 च्या भाजकासह अपूर्णांक बनवण्यासाठी, 24 ला 8 ने भागा. संख्या 3 निघाली. आपण अंशाला 3 ने गुणाकार करतो. परिणामी, 5/8 15/24 च्या बरोबरीचे आहे. आम्ही 2/3 सह असेच करतो, 16/24 मिळवतो. मग तुम्ही भाजक जोडू आणि वजा करू शकता.

आम्हाला चुकीचा अपूर्णांक 31/24 मिळाला. 24/24 ही एक पूर्ण संख्या आहे. अंशातून भाजक वजा करा. तो 1 संपूर्ण आणि 7/24 बाहेर वळते.

पूर्ण संख्येतून भाग वजा करणे आवश्यक असताना काय करावे? तुमच्याकडे तीन केक आहेत जे तुम्हाला प्रत्येकी पाच तुकडे करायचे आहेत आणि तुमच्या ओळखीच्या एखाद्याला 2/5 द्यायचे आहेत. 3 ला 15 ने भागले जाते. तर तुमच्याकडे 15/5 केक आहे. 15 मधून 2 क्रमांक वजा करा, असे दिसून आले की तुमच्याकडे केकचा 13/5, किंवा 2 पूर्ण आणि 3/5 शिल्लक आहे.

अशा प्रकारे तुम्ही अपूर्णांकांसह समस्या सोडवू शकता. सर्वात महत्त्वाचे, लक्षात ठेवा की तुम्ही लहान अंशातून मोठा वजा करू शकत नाही!