व्याख्या. बाजूची धारहा एक त्रिकोण आहे, ज्याचा एक कोपरा पिरॅमिडच्या शीर्षस्थानी आहे आणि उलट बाजू पायाच्या (बहुभुज) बाजूने जुळते.

व्याख्या. बाजूच्या कड्याबाजूच्या चेहऱ्याच्या सामान्य बाजू आहेत. पिरॅमिडला बहुभुजाच्या कोपऱ्यांइतके कडा आहेत.

व्याख्या. पिरॅमिडची उंची- हा एक लंब आहे, जो वरून पिरॅमिडच्या पायथ्यापर्यंत खाली केला आहे.

व्याख्या. अपोथेमपिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याचा लंब आहे, जो पिरॅमिडच्या वरच्या भागापासून पायाच्या बाजूला खाली केला आहे.

व्याख्या. कर्ण विभागपिरॅमिडचा एक भाग पिरॅमिडच्या वरून आणि बेसच्या कर्णातून जातो.

व्याख्या. अचूक पिरॅमिडएक पिरॅमिड आहे ज्यामध्ये पाया हा एक नियमित बहुभुज आहे आणि उंची पायाच्या मध्यभागी खाली येते.

पिरॅमिडचे खंड आणि पृष्ठभाग

सुत्र. पिरॅमिडचे परिमाणबेस क्षेत्र आणि उंची द्वारे:

पिरॅमिड गुणधर्म

जर सर्व बाजूच्या कडा समान असतील, तर पिरॅमिडच्या पायाभोवती वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते आणि पायाचा केंद्र वर्तुळाच्या मध्यभागी जुळतो. तसेच, वरून सोडलेला लंब बेस (वर्तुळ) च्या मध्यभागी जातो.

जर सर्व बाजूच्या कडा समान असतील, तर ते त्याच कोनात बेसच्या विमानाकडे कललेले असतात.

बाजूच्या कडा समान असतात जेव्हा ते बेस प्लेन बरोबर समान कोन बनवतात किंवा पिरॅमिडच्या पायथ्याभोवती वर्तुळाचे वर्णन करता येते.

जर बाजूचे चेहरे एका कोनात बेस प्लेनकडे झुकलेले असतील तर पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक वर्तुळ कोरले जाऊ शकते आणि पिरॅमिडचा वरचा भाग त्याच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जाऊ शकतो.

जर बाजूचे चेहरे त्याच कोनात बेस प्लेनकडे कललेले असतील तर बाजूच्या चेहऱ्यांचे अपोथम्स समान आहेत.

नियमित पिरॅमिडचे गुणधर्म

1. पिरॅमिडचा वरचा भाग पायाच्या सर्व कोपऱ्यांपासून समान अंतरावर आहे.

2. सर्व बाजूच्या कडा समान आहेत.

3. सर्व बाजूच्या फास्या पायाच्या समान कोनात उतार.

४. सर्व बाजूकडील चेहऱ्यांचे apothems समान आहेत.

5. सर्व बाजूंच्या चेहर्याचे क्षेत्र समान आहेत.

All. सर्व चेहऱ्यांना समान डायहेड्रल (सपाट) कोन असतात.

7. पिरामिडच्या भोवती गोलाचे वर्णन करता येते. वर्तुळाकार गोलाचे केंद्र कडांच्या मध्यभागी जाणाऱ्या लंबांच्या छेदनबिंदूचे बिंदू असेल.

8. पिरॅमिडमध्ये एक गोलाकार कोरला जाऊ शकतो. कोरलेल्या गोलाचे केंद्र हे काठावर आणि पायाच्या दरम्यानच्या कोनातून निघणाऱ्या दुभाजकांचा छेदनबिंदू असेल.

9. जर शिलालेखित गोलाचे केंद्र परिभ्रमित गोलाच्या केंद्राशी जुळते, तर शिरोबिंदूवरील सपाट कोनांची बेरीज π किंवा उलट, एक कोन π / n च्या बरोबरीचा असतो, जेथे n संख्या असते पिरॅमिडच्या पायथ्याशी असलेल्या कोनांचा.

पिरामिडचे गोलाशी कनेक्शन

पिरॅमिडच्या भोवती गोलाचे वर्णन करता येते जेव्हा पिरॅमिडच्या पायथ्याशी पॉलीहेड्रॉन असतो ज्याभोवती वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते (एक आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती). पिरॅमिडच्या बाजूच्या काठाच्या मध्यबिंदूंमधून लंबवत जाणाऱ्या विमानांच्या छेदनबिंदूचा गोलाचा केंद्रबिंदू असेल.

कोणत्याही त्रिकोणी किंवा नियमित पिरॅमिडभोवती गोलाचे वर्णन नेहमी करता येते.

पिरॅमिडच्या आतील डायहेड्रल कोनांची द्विभाजक विमाने एका बिंदूवर (एक आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती) एकमेकांना छेदल्यास पिरॅमिडमध्ये अंकित केले जाऊ शकते. हा बिंदू गोलाचे केंद्र असेल.

शंकूच्या सहाय्याने पिरॅमिडचे कनेक्शन

पिरामिडमध्ये शंकूचे शिलालेख म्हटले जाते जर त्यांचे शिखर जुळले आणि शंकूचा आधार पिरॅमिडच्या पायथ्यामध्ये कोरला गेला.

जर पिरॅमिडचे एपोथेम्स एकमेकांच्या बरोबरीचे असतील तर शंकू पिरामिडमध्ये कोरला जाऊ शकतो.

शंकूला पिरॅमिडच्या भोवती परिभ्रमण म्हणतात जर त्यांचे शिखर जुळले आणि शंकूचा आधार पिरामिडच्या पायाभोवती फिरला.

पिरॅमिडच्या सभोवतालच्या सर्व कडा एकमेकांच्या समान असल्यास शंकूचे वर्णन केले जाऊ शकते.

सिलिंडरसह पिरामिडचे कनेक्शन

जर पिरामिडचा वरचा भाग सिलेंडरच्या एका पायावर असेल आणि पिरामिडचा आधार सिलेंडरच्या दुसर्या बेसमध्ये कोरला असेल तर सिलिंडरमध्ये शिलालेख म्हणतात.

पिरामिडच्या भोवती सिलेंडरचे वर्णन केले जाऊ शकते जर पिरामिडच्या पायाभोवती वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते.

टेट्राहेड्रॉनला चार चेहरे आणि चार शिरोबिंदू आणि सहा कडा असतात, जिथे कोणत्याही दोन कडा सामान्य शिरोबिंदू नसतात परंतु स्पर्श करत नाहीत.

प्रत्येक शिरोबिंदूमध्ये तीन चेहरे आणि कडा असतात ज्या तयार होतात त्रिकोणी कोपरा.

टेट्राहेड्रॉनच्या शिरोबिंदूला विरुद्ध चेहऱ्याच्या मध्यभागी जोडणाऱ्या विभागाला म्हणतात मध्य टेट्राहेड्रॉन(जीएम).

बिमेडियनसंपर्कात नसलेल्या विरुद्ध कडाच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा विभाग आहे (KL).

टेट्राहेड्रॉनचे सर्व बिमेडियन आणि मध्यस्थ एका ठिकाणी (एस) भेटतात. या प्रकरणात, बिमेडियन अर्ध्यामध्ये विभागले गेले आहेत आणि मध्यभागी 3: 1 च्या गुणोत्तरामध्ये आहेत, वरपासून सुरू होते.

व्याख्या. तीव्र कोन असलेला पिरामिड- हा एक पिरॅमिड आहे ज्यामध्ये एपोथेम बेसच्या बाजूच्या अर्ध्या लांबीपेक्षा जास्त आहे.

व्याख्या. अस्पष्ट पिरॅमिड- हा एक पिरॅमिड आहे ज्यामध्ये एपोथेम बेसच्या बाजूच्या लांबीच्या अर्ध्यापेक्षा कमी आहे.

व्याख्या. नियमित टेट्राहेड्रॉन- एक टेट्राहेड्रॉन ज्यामध्ये चारही चेहरे समभुज त्रिकोण आहेत. हे पाच नियमित बहुभुजांपैकी एक आहे. नियमित टेट्राहेड्रॉनमध्ये, सर्व डायहेड्रल कोन (चेहर्यांच्या दरम्यान) आणि ट्रायहेड्रल कोन (शिरोबिंदूवर) समान असतात.

व्याख्या. आयताकृती टेट्राहेड्रॉनशिरोबिंदूच्या तीन कडा दरम्यानच्या काटकोनासह टेट्राहेड्रॉन म्हणतात (कडा लंब आहेत). तीन चेहरे तयार होतात आयताकृती त्रिकोणी कोपराआणि चेहरे काटकोन त्रिकोण आहेत, आणि आधार एक अनियंत्रित त्रिकोण आहे. कोणत्याही पैलूचे एपोथेम बेसच्या अर्ध्या भागाच्या बरोबरीचे असते ज्यावर अॅपोथेम पडतो.

व्याख्या. इक्वेड्रल टेट्राहेड्रॉनटेट्राहेड्रॉन म्हणतात ज्यामध्ये बाजूचे चेहरे एकमेकांच्या बरोबरीचे असतात आणि आधार एक नियमित त्रिकोण आहे. अशा टेट्राहेड्रॉनसाठी, चेहरे समद्विभुज त्रिकोण आहेत.

व्याख्या. ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनत्याला टेट्राहेड्रॉन म्हणतात ज्यामध्ये सर्व उंची (लंब) जे वरपासून विरुद्ध चेहऱ्यापर्यंत खाली केले जातात ते एका बिंदूवर छेदतात.

व्याख्या. स्टार पिरॅमिडत्याला पॉलीहेड्रॉन म्हणतात ज्याचा आधार तारा आहे.

येथे आपल्याला पिरॅमिड आणि संबंधित सूत्रे आणि संकल्पनांबद्दल मूलभूत माहिती मिळू शकते. या सर्वांचा परीक्षेच्या तयारीसाठी गणिताच्या शिक्षकाबरोबर अभ्यास केला जातो.

एक विमान, एक बहुभुज विचारात घ्या त्यात पडलेले आणि एक बिंदू S त्यात पडलेला नाही. बहुभुजाच्या सर्व शिरोबिंदूंना एस कनेक्ट करा. परिणामी पॉलीहेड्रॉनला पिरॅमिड म्हणतात. रेषाखंडांना साइड रिब्स म्हणतात. बहुभुजाला आधार म्हणतात, आणि बिंदू S ला पिरॅमिडचा वरचा भाग म्हणतात. संख्या n वर अवलंबून, पिरॅमिडला त्रिकोणी (n = 3), चतुर्भुज (n = 4), ptyagonal (n = 5) वगैरे म्हणतात. त्रिकोणी पिरॅमिडचे पर्यायी नाव आहे टेट्राहेड्रॉन... पिरॅमिडच्या उंचीला लंब म्हणतात, त्याच्या वरपासून बेसच्या विमानापर्यंत खाली आणले जाते.

जर पिरॅमिड योग्य असेल तर ते म्हणतात नियमित बहुभुज, आणि पिरॅमिडच्या उंचीचा आधार (लंबचा आधार) त्याचे केंद्र आहे.

शिक्षक टिप्पणी:
"नियमित पिरॅमिड" आणि "योग्य टेट्राहेड्रॉन" या संकल्पनेला गोंधळात टाकू नका. नियमित पिरॅमिडमध्ये, बाजूच्या कडा बेसच्या कडा समान नसतात, परंतु नियमित टेट्राहेड्रॉनमध्ये, सर्व 6 कडा समान असतात. ही त्याची व्याख्या आहे. हे सिद्ध करणे सोपे आहे की समानता बहुभुजाच्या केंद्र P चा योगायोग दर्शवते उंचीच्या पायासह, म्हणून नियमित टेट्राहेड्रॉन एक नियमित पिरॅमिड आहे.

अपोथेमा म्हणजे काय?
पिरॅमिडचा एपोथेम त्याच्या बाजूकडील चेहऱ्याची उंची आहे. जर पिरॅमिड बरोबर असेल तर त्याचे सर्व अपोथेम्स समान आहेत. संभाषण खरे नाही.

त्याच्या शब्दावलीबद्दल गणितातील शिक्षक: पिरॅमिडसह काम 80% दोन प्रकारच्या त्रिकोणाद्वारे तयार केले आहे:
1) अपोथेम एसके आणि उंची एसपी असलेले
2) बाजूकडील किनारा SA आणि त्याचे प्रक्षेपण PA

या त्रिकोणाचे संदर्भ सुलभ करण्यासाठी, गणिताच्या शिक्षकाला त्यापैकी पहिल्याला कॉल करणे अधिक सोयीचे आहे. एपोथेमिक, आणि दुसरे खर्चिक... दुर्दैवाने, तुम्हाला ही शब्दावली कोणत्याही पाठ्यपुस्तकांमध्ये सापडणार नाही आणि शिक्षकाला त्यात एकतर्फी प्रवेश करावा लागेल.

पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमचे सूत्र:
1) , पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ कोठे आहे आणि पिरॅमिडची उंची आहे
2), अंकित गोलाची त्रिज्या कुठे आहे आणि पिरॅमिडच्या पूर्ण पृष्ठभागाचे क्षेत्र आहे.
3) , जेथे MN कोणत्याही दोन क्रॉसिंग काठाचे अंतर आहे, आणि उर्वरित चार कडाच्या मध्यबिंदूंनी तयार केलेल्या समांतरभुज क्षेत्राचे क्षेत्र आहे.

पिरॅमिड उंची बेस प्रॉपर्टी:

बिंदू पी (आकृती पहा) खालील अटींपैकी एक पूर्ण झाल्यास पिरॅमिडच्या पायथ्याशी कोरलेल्या वर्तुळाच्या केंद्राशी जुळते:
1) सर्व apothems समान आहेत
२) सर्व बाजूचे चेहरे पायाच्या दिशेने तितकेच कललेले असतात
3) सर्व apothems पिरॅमिडच्या उंचीवर तितकेच कललेले असतात
4) पिरॅमिडची उंची सर्व बाजूंच्या चेहऱ्यांवर तितकीच झुकलेली असते

गणिताचे शिक्षक भाष्य: लक्षात घ्या की सर्व बिंदूंमध्ये एक समान गुणधर्म आहे: एक मार्ग किंवा दुसरा, बाजूचे चेहरे सर्वत्र गुंतलेले आहेत (apothems त्यांचे घटक आहेत). म्हणून, शिक्षक कमी अचूक देऊ शकतो, परंतु लक्षात ठेवण्यासाठी अधिक सोयीस्कर आहे: बिंदू P पिरॅमिडच्या पायथ्याशी कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी आहे, जर त्याच्या पार्श्व चेहर्यांबद्दल कोणतीही समान माहिती असेल. हे सिद्ध करण्यासाठी, सर्व अपोथिमिक त्रिकोण समान आहेत हे दर्शविणे पुरेसे आहे.

बिंदू P पिरॅमिडच्या पायथ्याजवळ वर्णन केलेल्या वर्तुळाच्या केंद्राशी जुळतो, जर तीनपैकी एक परिस्थिती खरी असेल:
1) सर्व बाजूच्या कडा समान आहेत
2) सर्व बाजूच्या फासळ्या पायाच्या दिशेने तितक्याच झुकलेल्या असतात
3) सर्व बाजूच्या फासळ्या समान उंचीकडे झुकलेल्या असतात

व्याख्या

पिरॅमिडबहुभुज composed (A_1A_2 ... A_n \) आणि \ (n \) त्रिकोण एक सामान्य शिरोबिंदू \ (P \) (बहुभुजाच्या विमानात पडलेले नाही) आणि विरुद्ध बाजूंच्या बाजूंनी एकत्र येणारे एक बहुभुज आहे बहुभुज.
पद: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
उदाहरण: पंचकोनी पिरॅमिड \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

त्रिकोण \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 etc.) इ. म्हटले जाते बाजूचे चेहरेपिरॅमिड, विभाग \ (PA_1, PA_2 \), इ. - बाजूकडील बरगड्या, बहुभुज \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - आधार, बिंदू \ (पी) - शिखर.

उंचीपिरॅमिड हे पिरॅमिडच्या वरच्या भागापासून पायथ्याच्या समतलपर्यंत काढलेले लंब आहेत.

पिरॅमिड, ज्याच्या पायथ्याशी त्रिकोण आहे, त्याला म्हणतात टेट्राहेड्रॉन.

पिरॅमिड म्हणतात योग्यजर त्याचा आधार नियमित बहुभुज असेल आणि खालीलपैकी एक अटी पूर्ण झाली असेल:

\ ((a) \) पिरॅमिडच्या बाजूच्या कडा समान आहेत;

\ ((b) \) पिरामिडची उंची पायाजवळ वर्णन केलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी जाते;

\ ((c) \) बाजूकडील बरगड्या त्याच कोनात बेसच्या विमानाकडे झुकलेल्या असतात.

\ ((d) \) बाजूचे चेहरे त्याच कोनात बेसच्या विमानाकडे झुकलेले असतात.

नियमित टेट्राहेड्रॉन- हा एक त्रिकोणी पिरॅमिड आहे, ज्याचे सर्व चेहरे समान समभुज त्रिकोण आहेत.

प्रमेय

अटी \ ((a), (b), (c), (d) \) समतुल्य आहेत.

पुरावा

चला पिरॅमिडची उंची काढू \ (PH \). \ (\ अल्फा \) पिरॅमिडच्या पायाचे विमान असू द्या.

1) आपण हे सिद्ध करूया की \ ((a) \) म्हणजे \ ((b) \). चला \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

कारण \ (PH \ perp \ alpha \), नंतर \ (PH \) या विमानात पडलेल्या कोणत्याही सरळ रेषेला लंब आहे, त्यामुळे त्रिकोण काटकोनात आहेत. याचा अर्थ असा की हे त्रिकोण सामान्य पाय equal (PH \) आणि कर्ण \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \) मध्ये समान आहेत. म्हणून, \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH). म्हणून, बिंदू \ (A_1, A_2, ..., A_n \) बिंदू from (H \) पासून समान अंतरावर आहेत, म्हणून, ते circle (A_1H \) त्रिज्यासह त्याच वर्तुळावर आहेत. व्याख्येनुसार, हे वर्तुळ बहुभुज about (A_1A_2 ... A_n \) बद्दल वर्तुळाकार आहे.

2) आपण हे सिद्ध करूया की \ ((b) \) म्हणजे \ ((c) \).

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)आयताकृती आणि दोन पायांमध्ये समान. म्हणून, त्यांचे कोन देखील समान आहेत, म्हणून, \ (\ कोन PA_1H = \ कोन PA_2H = ... = \ कोन PA_nH \).

3) आपण हे सिद्ध करूया की \ ((c) \) म्हणजे \ ((a) \).

पहिल्या बिंदू प्रमाणेच, त्रिकोण \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)आयताकृती आणि पाय आणि तीव्र कोनासह. याचा अर्थ असा की त्यांचे कर्ण देखील समान आहेत, म्हणजेच \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) आपण हे सिद्ध करूया की \ ((b) \) म्हणजे \ ((d) \).

कारण नियमित बहुभुजामध्ये वर्तुळाची आणि अवतीभोवतीची केंद्रे जुळतात (साधारणपणे, या बिंदूला नियमित बहुभुजाचे केंद्र म्हणतात), नंतर \ (H \) हे वर्तुळाचे केंद्र असते. चला बिंदू \ (H \) पासून पायाच्या बाजूंना लंब काढू: \ (HK_1, HK_2 \), इ. हे कोरलेल्या वर्तुळाच्या (व्याख्येनुसार) त्रिज्या आहेत. नंतर, टीटीपीनुसार (\ (PH \) - विमानाला लंब, \ (HK_1, HK_2 \), इ. - बाजूंना लंब अंदाज) तिरकस P (PK_1, PK_2 \), इ. बाजूंना लंब \ (A_1A_2, A_2A_3 \), इ. अनुक्रमे. म्हणून, व्याख्येनुसार \ (\ कोन PK_1H, \ कोन PK_2H \)बाजूचे चेहरे आणि पाया यांच्यातील कोनांच्या समान. कारण त्रिकोण \ (PK_1H, PK_2H, ... \) समान आहेत (दोन पायांमध्ये आयताकृती म्हणून), नंतर कोन \ (\ कोन PK_1H, \ कोन PK_2H, ... \)समान आहेत.

5) आपण हे सिद्ध करूया की \ ((d) \) म्हणजे \ ((b) \).

त्याचप्रमाणे चौथ्या बिंदूसाठी, त्रिकोण \ (PK_1H, PK_2H, ... \) समान आहेत (पाय आणि तीव्र कोनात आयताकृती म्हणून), म्हणून \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) विभाग समान आहेत. म्हणून, व्याख्येनुसार, \ (H \) हे पायावर कोरलेल्या वर्तुळाचे केंद्र आहे. पण तेव्हापासून नियमित बहुभुजांसाठी, वर्तुळाची आणि वर्तुळाची केंद्रे जुळतात, नंतर \ (H \) हे वर्तुळाचे केंद्र असते. Thtd.

परिणाम

नियमित पिरॅमिडचे बाजूचे चेहरे समान समद्विभुज त्रिकोण आहेत.

व्याख्या

नियमित पिरॅमिडच्या बाजूच्या चेहऱ्याची उंची, त्याच्या वरून काढलेली, याला म्हणतात एपोथेम.
नियमित पिरॅमिडच्या सर्व बाजूकडील चेहऱ्यांचे एपोथेम्स एकमेकांच्या बरोबरीचे असतात आणि ते मध्यक आणि दुभाजक देखील असतात.

महत्वाच्या नोट्स

1. नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडची उंची पायाच्या उंची (किंवा दुभाजक, किंवा मध्यक) च्या छेदनबिंदूवर येते (आधार हा एक नियमित त्रिकोण आहे).

2. नियमित चतुर्भुज पिरामिडची उंची बेसच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूवर येते (बेस एक चौरस आहे).

3. नियमित षटकोनी पिरॅमिडची उंची बेसच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूवर येते (आधार हा नियमित षटकोन आहे).

4. पिरॅमिडची उंची पायावर पडलेल्या कोणत्याही सरळ रेषेला लंब आहे.

व्याख्या

पिरॅमिड म्हणतात आयताकृतीजर त्याच्या बाजूकडील कडा बेसच्या विमानास लंब असेल तर.

महत्वाच्या नोट्स

1. आयताकृती पिरॅमिडमध्ये, पायाला लंब असलेली काठा ही पिरॅमिडची उंची असते. म्हणजेच \ (SR \) उंची आहे.

2. कारण SR (SR \) नंतर पायापासून कोणत्याही सरळ रेषेला लंब आहे \ (\ त्रिकोण SRM, \ त्रिकोण SRP)- काटकोन त्रिकोण.

3. त्रिकोण \ (\ त्रिकोण SRN, \ त्रिकोण SRK)- आयताकृती देखील.
म्हणजेच, या काठाद्वारे तयार झालेला कोणताही त्रिकोण आणि पायथ्याशी असलेल्या या काठाच्या शिखरापासून पसरलेला कर्ण आयताकृती असेल.

\ [(\ मोठा (\ मजकूर (पिरॅमिडचा खंड आणि पृष्ठभाग क्षेत्र)) \]

प्रमेय

पिरॅमिडची उंची बेस क्षेत्राच्या उत्पादनाच्या एक तृतीयांश इतकी आहे \

परिणाम

\ (A \) पायाची बाजू असू द्या, \ (h \) पिरॅमिडची उंची.

1. नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडचे परिमाण आहे \ (V _ (\ मजकूर (उजवा त्रिकोणी pyr.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. नियमित चतुर्भुज पिरामिडचे परिमाण आहे (V _ (\ मजकूर (उजवा चार पायरी.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).

3. नियमित षटकोनी पिरॅमिडचे परिमाण आहे \ (V _ (\ मजकूर (उजवा हेक्स)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).

4. नियमित टेट्राहेड्रॉनचे परिमाण आहे \ (V _ (\ मजकूर (उजवा मजकूर)) = \ dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).

प्रमेय

नियमित पिरॅमिडचा बाजूकडील पृष्ठभाग एपोथेमद्वारे बेस परिमितीच्या अर्ध्या उत्पादनाच्या बरोबरीचा असतो.

\ [(\ मोठा (\ मजकूर (कापलेला पिरामिड)) \]

व्याख्या

मनमानी पिरॅमिड Cons (PA_1A_2A_3 ... A_n \) चा विचार करा. पिरॅमिडच्या पायथ्याशी समांतर एक विमान पिरॅमिडच्या बाजूच्या काठावर पडलेल्या बिंदूद्वारे काढूया. हे विमान पिरॅमिडचे दोन पॉलीहेड्रॉनमध्ये विभाजन करेल, त्यातील एक पिरॅमिड (\ (PB_1B_2 ... B_n \)) आहे आणि दुसऱ्याला म्हणतात कापलेला पिरॅमिड(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).

कापलेल्या पिरॅमिडला दोन आधार आहेत - बहुभुज \ (A_1A_2 ... A_n \) आणि \ (B_1B_2 ... B_n \), जे एकमेकांसारखे आहेत.

कापलेल्या पिरॅमिडची उंची वरच्या पायथ्यावरील काही बिंदूपासून खालच्या तळाच्या विमानापर्यंत काढलेली लंब आहे.

महत्वाच्या नोट्स

1. कापलेल्या पिरॅमिडचे सर्व बाजूचे चेहरे ट्रॅपेझियम आहेत.

2. नियमित कापलेल्या पिरॅमिडच्या तळांच्या केंद्रांना जोडणारा विभाग (म्हणजे नियमित पिरॅमिड कापून मिळवलेला पिरॅमिड) उंची आहे.

पहिला स्तर

पिरॅमिड. व्हिज्युअल मार्गदर्शक (2019)

पिरॅमिड म्हणजे काय?

ती कशी दिसते?

आपण पहा: पिरॅमिडच्या तळाशी (ते म्हणतात " तळाशी") काही बहुभुज, आणि या बहुभुजाचे सर्व शिरोबिंदू अंतराळातील काही बिंदूशी जोडलेले आहेत (या बिंदूला" शिरोबिंदू»).

ही संपूर्ण रचना अजूनही आहे बाजूचे चेहरे, बाजूच्या बरगड्याआणि बेस कडा... चला या सर्व नावांसह पुन्हा पिरॅमिड काढू:

काही पिरॅमिड खूप विचित्र वाटू शकतात, परंतु ते अजूनही पिरॅमिड आहेत.

उदाहरणार्थ, पूर्णपणे "तिरकस" पिरॅमिड.

आणि नावांबद्दल थोडे अधिक: जर पिरॅमिडच्या पायथ्याशी त्रिकोण असेल तर पिरॅमिडला त्रिकोणी म्हणतात, जर ते चतुर्भुज असेल तर ते चतुर्भुज आहे आणि जर ते एक स्टॅगन असेल तर ... अंदाज तू स्वतः.

या प्रकरणात, तो ज्या ठिकाणी उतरला उंचीअसे म्हणतात पायाची उंची... लक्ष द्या की "कुटिल" पिरॅमिड मध्ये उंचीपिरॅमिडच्या बाहेरही असू शकते. याप्रमाणे:

आणि त्यात काहीच गैर नाही. हे एक तिरकस त्रिकोणासारखे दिसते.

अचूक पिरॅमिड.

अनेक कठीण शब्द? चला उलगडा करू: "पायावर - बरोबर" - हे समजण्यासारखे आहे. आता लक्षात ठेवा की नियमित बहुभुजाला एक केंद्र असते - एक बिंदू जो मध्यभागी आहे आणि, आणि.

बरं, "वरचा आधार पायाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो" या शब्दाचा अर्थ असा आहे की उंचीचा आधार फक्त पायाच्या मध्यभागी येतो. ते किती गुळगुळीत आणि सुंदर दिसते ते पहा योग्य पिरॅमिड.

षटकोनी: बेसवर - एक नियमित षटकोन, शिरोबिंदू बेसच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

चतुर्भुज: पायथ्याशी - एक चौरस, शीर्ष या चौकाच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूवर प्रक्षेपित केला जातो.

त्रिकोणी: पायथ्याशी - एक नियमित त्रिकोण, शिरोबिंदू या त्रिकोणाच्या उंची (ते मध्यक आणि दुभाजक देखील आहेत) च्या छेदनबिंदूवर प्रक्षेपित केले जातात.

उच्च नियमित पिरॅमिडचे महत्त्वपूर्ण गुणधर्म:

योग्य पिरॅमिड मध्ये

• सर्व बाजूच्या कडा समान आहेत.
• सर्व बाजूचे चेहरे समद्विभुज त्रिकोण आहेत आणि हे सर्व त्रिकोण समान आहेत.

पिरॅमिड व्हॉल्यूम

पिरॅमिडच्या आवाजाचे मुख्य सूत्र आहे:

तो नेमका कुठून आला? हे इतके सोपे नाही आणि सुरुवातीला आपल्याला फक्त हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की सूत्रात पिरामिड आणि शंकूचे प्रमाण आहे, परंतु सिलेंडर नाही.

आता सर्वात लोकप्रिय पिरामिडच्या व्हॉल्यूमची गणना करूया.

पायाची बाजू समान आणि बाजूची किनार समान असू द्या. आपल्याला शोधणे आवश्यक आहे आणि.

हे नियमित त्रिकोणाचे क्षेत्र आहे.

हे क्षेत्र कसे शोधायचे ते लक्षात ठेवूया. आम्ही क्षेत्र सूत्र वापरतो:

आमच्याकडे "" - हे, आणि "" - हे देखील, आणि.

आता आम्ही शोधू.

साठी पायथागोरियन प्रमेयाद्वारे

समान म्हणजे काय? हे वर्तुळाची त्रिज्या आहे कारण पिरॅमिडयोग्यआणि म्हणून, केंद्र.

पासून - छेदनबिंदू आणि मध्यक देखील.

(पायथागोरियन प्रमेय)

साठी सूत्र मध्ये बदली करा.

आणि व्हॉल्यूम फॉर्म्युलामध्ये सर्वकाही बदला:

लक्ष:आपल्याकडे नियमित टेट्राहेड्रॉन (म्हणजे) असल्यास, सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

पायाची बाजू समान आणि बाजूची किनार समान असू द्या.

इथे शोधण्याची गरज नाही; शेवटी, पायथ्याशी एक चौरस आहे आणि म्हणूनच.

आम्ही ते शोधू. साठी पायथागोरियन प्रमेयाद्वारे

आम्हाला माहित आहे का? जवळजवळ. दिसत:

(आम्ही विचार करून हे पाहिले).

यासाठी सूत्रात बदली करा:

आणि आता आम्ही ते व्हॉल्यूम फॉर्म्युलामध्ये देखील बदलतो.

पायाची बाजू समान आणि बाजूची किनार असू द्या.

कसे शोधायचे? पाहा, एका षटकोनात सहा समान नियमित त्रिकोण असतात. नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमची गणना करताना आम्ही नियमित त्रिकोणाचे क्षेत्र आधीच शोधले आहे, येथे आम्ही सापडलेल्या सूत्राचा वापर करतो.

आता (हे) शोधूया.

साठी पायथागोरियन प्रमेयाद्वारे

पण काय फरक पडतो? हे सोपे आहे कारण (आणि इतर सर्वजण) बरोबर आहेत.

आम्ही बदलतो:

\ displaystyle V = \ frac (\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \ sqrt (((b) ^ (2)) - ((a) ^ (2)))

पिरामिड. मुख्यत्वे बद्दल संक्षिप्तपणे

पिरॅमिड हा एक पॉलीहेड्रॉन आहे ज्यामध्ये कोणत्याही सपाट बहुभुज () असतात, एक बिंदू जो बेसच्या समतल (पिरामिडचा शीर्ष) मध्ये नसतो आणि पिरामिडच्या वरच्या भागाला बेसच्या बिंदूंसह जोडणारा सर्व विभाग (बाजू कडा).

लंब, पिरॅमिडच्या वरपासून बेसच्या विमानापर्यंत खाली केले.

अचूक पिरॅमिड- एक पिरॅमिड, ज्यामध्ये नियमित बहुभुज पायथ्याशी असतो आणि पिरॅमिडचा वरचा भाग बेसच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

योग्य पिरॅमिड गुणधर्म:

• नियमित पिरॅमिडमध्ये, सर्व बाजूच्या कडा समान असतात.
• सर्व बाजूचे चेहरे समद्विभुज त्रिकोण आहेत आणि हे सर्व त्रिकोण समान आहेत.