पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याचे वेगवेगळे मार्ग. पायथागोरियन प्रमेयाबद्दल मनोरंजक तथ्ये: प्रसिद्ध प्रमेयाबद्दल नवीन गोष्टी जाणून घ्या

(बर्लिन संग्रहालयाच्या पॅपिरस 6619 नुसार). कँटोरच्या मते, हार्पेडोनॅप्ट्स किंवा "रोप टेंशनर्स", 3, 4 आणि 5 बाजू असलेल्या काटकोन त्रिकोणांचा वापर करून काटकोन तयार करतात.

त्यांच्या बांधणीच्या पद्धतीचे पुनरुत्पादन करणे खूप सोपे आहे. 12 मीटर लांबीची दोरी घ्या आणि त्यास एका टोकापासून 3 मीटर आणि दुसऱ्या टोकापासून 4 मीटर अंतरावर रंगीत पट्टीने बांधा. 3 आणि 4 मीटर लांबीच्या बाजूंमध्ये काटकोन बंद केला जाईल. हारपेडोनाप्ट्स असा युक्तिवाद करू शकतात की जर आपण वापरला तर त्यांची बांधकाम पद्धत अनावश्यक होईल, उदाहरणार्थ, सर्व सुतार वापरत असलेले लाकडी चौकोन. खरंच, ज्ञात इजिप्शियन रेखाचित्रे आहेत ज्यात असे साधन आढळते, उदाहरणार्थ, सुतारकाम कार्यशाळेचे चित्रण करणारी रेखाचित्रे.

बॅबिलोनियन पायथागोरियन प्रमेयाबद्दल थोडी अधिक माहिती आहे. एका मजकुरात हममुराबीच्या काळातील, म्हणजे 2000 ईसापूर्व. ई , काटकोन त्रिकोणाच्या कर्णाची अंदाजे गणना दिली आहे. यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की मेसोपोटेमियामध्ये त्यांना काटकोन त्रिकोणांसह गणना कशी करायची हे माहित होते, कमीतकमी काही प्रकरणांमध्ये. एकीकडे, इजिप्शियन आणि बॅबिलोनियन गणिताच्या ज्ञानाच्या सद्य स्तरावर आणि दुसरीकडे, ग्रीक स्त्रोतांच्या गंभीर अभ्यासाच्या आधारावर, व्हॅन डेर वॉर्डन (डच गणितज्ञ) यांनी असा निष्कर्ष काढला की हे प्रमेय अत्यंत संभाव्य आहे. कर्णाचा चौरस 18 व्या शतकाच्या आसपास भारतात आधीच ज्ञात होता. ई

सुमारे 400 बीसी. ई., प्रोक्लसच्या मते, प्लॅटोने बीजगणित आणि भूमिती एकत्र करून पायथागोरियन ट्रिपलेट शोधण्याची पद्धत दिली. सुमारे 300 ईसापूर्व. ई पायथागोरियन प्रमेयाचा सर्वात जुना स्वयंसिद्ध पुरावा युक्लिडच्या "एलिमेंट्स" मध्ये दिसून आला.

शब्दरचना

भौमितिक सूत्रीकरण:

सुरुवातीला, प्रमेय खालीलप्रमाणे तयार केला गेला:

बीजगणितीय सूत्रीकरण:

म्हणजेच, त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी आणि पायांची लांबी द्वारे दर्शवित आहे आणि:

प्रमेयाची दोन्ही विधाने समतुल्य आहेत, परंतु दुसरे विधान अधिक प्राथमिक आहे, त्याला क्षेत्रफळाची संकल्पना आवश्यक नाही. म्हणजेच, क्षेत्राबद्दल काहीही माहिती न घेता आणि काटकोन त्रिकोणाच्या फक्त बाजूंच्या लांबीचे मोजमाप न करता दुसरे विधान तपासले जाऊ शकते.

उलट पायथागोरियन प्रमेय:

पुरावा

याक्षणी, या प्रमेयाचे 367 पुरावे वैज्ञानिक साहित्यात नोंदवले गेले आहेत. कदाचित पायथागोरियन प्रमेय हे इतके प्रभावी प्रमाण असलेले एकमेव प्रमेय आहे. ही विविधता केवळ भूमितीच्या प्रमेयाच्या मूलभूत अर्थाद्वारे स्पष्ट केली जाऊ शकते.

अर्थात, वैचारिकदृष्ट्या त्या सर्वांना थोड्या वर्गात विभागले जाऊ शकते. त्यापैकी सर्वात प्रसिद्ध: क्षेत्र पद्धतीनुसार पुरावे, स्वयंसिद्ध आणि विदेशी पुरावे (उदाहरणार्थ, भिन्न समीकरणे वापरणे).

समान त्रिकोणांद्वारे

बीजगणितीय सूत्रीकरणाचा खालील पुरावा थेट स्वयंसिद्धांवरून तयार केलेल्या पुराव्यांपैकी सर्वात सोपा आहे. विशेषतः, ते आकृतीच्या क्षेत्राची संकल्पना वापरत नाही.

द्या ABCकाटकोन असलेला काटकोन त्रिकोण आहे सी... वरून उंची काढू सीआणि त्याचा आधार द्वारे दर्शवा एच... त्रिकोण ACHत्रिकोणासारखे ABCदोन कोपऱ्यात. त्याचप्रमाणे, त्रिकोण CBHसमान आहे ABC... नोटेशन सादर करत आहे

आम्हाला मिळते

समतुल्य काय आहे

जोडणे, आम्हाला मिळते

क्षेत्र पुरावा

खाली दिलेले पुरावे, दिसायला साधेपणा असूनही, इतके सोपे नाहीत. ते सर्व क्षेत्रफळाचे गुणधर्म वापरतात, ज्याचा पुरावा पायथागोरियन प्रमेयाच्या पुराव्यापेक्षा अधिक कठीण आहे.

समान पूरकता पुरावा

1. आकृती 1 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे चार समान काटकोन त्रिकोण ठेवा.
2. बाजू असलेला चतुर्भुज cएक चौरस आहे, कारण दोन तीव्र कोनांची बेरीज 90 ° आहे, आणि उलगडलेला कोन 180 ° आहे.
3. संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ म्हणजे एकीकडे, बाजू (a + b) असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि दुसरीकडे चार त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाची बेरीज आणि त्याचे क्षेत्रफळ. आतील चौकोन.

Q.E.D.

युक्लिडचा पुरावा

युक्लिडच्या पुराव्यामागील कल्पना पुढीलप्रमाणे आहे: कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे अर्धे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसाच्या क्षेत्रफळाच्या अर्ध्या भागांच्या बेरजेएवढे आहे हे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करू या. मोठ्या आणि दोन लहान चौरसांपैकी समान आहेत.

डावीकडील रेखाचित्र विचारात घ्या. त्यावर, आम्ही काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंनी चौकोन तयार केले आणि कर्ण AB ला लंब असलेल्या काटकोन C च्या शिरोबिंदूपासून एक किरण s काढला, तो कर्णावर बांधलेला ABIK वर्ग दोन आयतांमध्ये कापतो - BHJI आणि HAKJ, अनुक्रमे. असे दिसून आले की या आयतांचे क्षेत्रफळ संबंधित पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्राइतके समान आहेत.

DECA चौरसाचे क्षेत्रफळ हे AHJK आयताच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे हे सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करूया, हे करण्यासाठी, एक सहाय्यक निरीक्षण वापरू या: या आयताप्रमाणेच उंची आणि पाया असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दिलेल्या आयताच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाएवढे आहे. त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या व्याख्येचा हा परिणाम आहे पाया आणि उंचीच्या उत्पादनाच्या अर्धा. या निरीक्षणावरून असे दिसून येते की ACK त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ हे त्रिकोण AHK च्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे (आकृतीमध्ये दाखवलेले नाही), जे यामधून, आयताच्या AHJK च्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे. .

आता आपण सिद्ध करूया की ACK त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ देखील DECA वर्गाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे. यासाठी फक्त एक गोष्ट करणे आवश्यक आहे ते म्हणजे ACK आणि BDA त्रिकोणांची समानता सिद्ध करणे (वरील गुणधर्मानुसार BDA त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके आहे). समानता स्पष्ट आहे: त्रिकोण दोन बाजूंना समान आहेत आणि त्यांच्यामधील कोन आहेत. म्हणजे - AB = AK, AD = AC - CAK आणि BAD या कोनांची समानता गतीच्या पद्धतीद्वारे सिद्ध करणे सोपे आहे: आपण CAK 90 ° त्रिकोण घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवतो, तर हे स्पष्ट आहे की दोन त्रिकोणांच्या संबंधित बाजू खाली आहेत. विचारात एकरूप होईल (चौरसाच्या शिखरावरील कोन 90° असल्याने).

वर्ग BCFG आणि आयत BHJI च्या क्षेत्रांच्या समानतेबद्दलचे तर्क पूर्णपणे समान आहेत.

अशाप्रकारे, कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाची बेरीज आहे हे आपण सिद्ध केले आहे. या पुराव्यामागील कल्पना वरील अॅनिमेशनने आणखी स्पष्ट केली आहे.

लिओनार्डो दा विंचीचा पुरावा

पुराव्याचे मुख्य घटक सममिती आणि गती आहेत.

रेखाचित्राचा विचार करा, जसे की सममितीवरून पाहिले जाऊ शकते, विभाग चौरस दोन समान भागांमध्ये कापतो (कारण त्रिकोण आणि बांधकाम समान आहेत).

एका बिंदूभोवती 90 अंश घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवल्यास, आपण छायांकित आकृत्या आणि समान असल्याचे पाहतो.

आता हे स्पष्ट आहे की छायांकित आकृतीचे क्षेत्रफळ लहान चौरस (पायांवर बांधलेले) आणि मूळ त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या अर्ध्या भागांच्या बेरजेइतके आहे. दुसरीकडे, ते मोठ्या चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाच्या (कर्णावर बांधलेले) तसेच मूळ त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे. अशा प्रकारे, लहान चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेचा अर्धा भाग मोठ्या चौरसाच्या क्षेत्रफळाच्या निम्म्या इतका असतो आणि म्हणून पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाची बेरीज चौरसाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची असते. कर्ण वर बांधलेले.

इन्फिनिटिमल पद्धतीद्वारे पुरावा

विभेदक समीकरणे वापरून खालील पुराव्याचे श्रेय बहुतेक वेळा प्रसिद्ध इंग्रजी गणितज्ञ हार्डी यांना दिले जाते, जो 20 व्या शतकाच्या पूर्वार्धात जगला होता.

आकृतीमध्ये दर्शविलेले रेखाचित्र पाहणे आणि बाजूच्या बदलाचे निरीक्षण करणे a, आपण बाजूंच्या अनंत लहान वाढीसाठी खालील संबंध लिहू शकतो सहआणि a(त्रिकोणांची समानता वापरून):

व्हेरिएबल्स विभक्त करण्याची पद्धत वापरून, आम्ही शोधतो

दोन्ही पायांच्या वाढीच्या बाबतीत कर्ण बदलण्यासाठी अधिक सामान्य अभिव्यक्ती

हे समीकरण समाकलित करून आणि प्रारंभिक परिस्थिती वापरून, आम्ही प्राप्त करतो

अशा प्रकारे, आम्ही इच्छित उत्तरावर पोहोचतो

हे पाहणे सोपे आहे की, त्रिकोणाच्या बाजू आणि वाढ यांच्यातील रेषीय आनुपातिकतेमुळे अंतिम सूत्रातील चतुर्भुज अवलंबित्व दिसून येते, तर बेरीज वेगवेगळ्या पायांच्या वाढीपासून स्वतंत्र योगदानाशी संबंधित आहे.

जर आपण असे गृहीत धरले की पायांपैकी एक वाढ (या प्रकरणात, पाय) अनुभवत नाही तर एक सोपा पुरावा मिळू शकतो. मग एकीकरणाच्या स्थिरतेसाठी आम्ही प्राप्त करतो

भिन्नता आणि सामान्यीकरण

तीन बाजूंनी समान भौमितिक आकार

समान त्रिकोणांचे सामान्यीकरण, हिरव्या आकाराचे क्षेत्रफळ A + B = निळ्या C चे क्षेत्रफळ

समान काटकोन त्रिकोण वापरून पायथागोरियन प्रमेय

पायथागोरियन प्रमेयाचे सामान्यीकरण युक्लिडने त्याच्या कामात केले होते सुरुवात, बाजूंच्या चौरसांचे क्षेत्र समान भौमितिक आकारांच्या क्षेत्रांमध्ये विस्तारत आहे:

जर तुम्ही काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंनी समान भौमितिक आकार (युक्लिडियन भूमिती पहा) तयार केले तर दोन लहान आकृत्यांची बेरीज मोठ्या आकृतीच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची असेल.

या सामान्यीकरणाची मुख्य कल्पना अशी आहे की अशा भौमितिक आकृतीचे क्षेत्रफळ त्याच्या कोणत्याही रेषीय परिमाणांच्या चौरसाच्या आणि विशेषतः कोणत्याही बाजूच्या लांबीच्या चौरसाच्या प्रमाणात असते. म्हणून, क्षेत्रांसह समान आकृत्यांसाठी ए, बीआणि सीलांबीसह बाजूंनी बांधलेले a, bआणि c, आमच्याकडे आहे:

परंतु, पायथागोरियन प्रमेयानुसार, a 2 + b 2 = c 2, नंतर ए + बी = सी.

याउलट, जर आपण ते सिद्ध करू शकलो तर ए + बी = सीपायथागोरियन प्रमेय न वापरता तीन समान भौमितीय आकृत्यांसाठी, नंतर आपण प्रमेय स्वतःच सिद्ध करू शकतो, उलट दिशेने फिरत आहोत. उदाहरणार्थ, सुरू होणारा मध्य त्रिकोण त्रिकोण म्हणून पुन्हा वापरला जाऊ शकतो सीकर्ण वर, आणि दोन समान काटकोन त्रिकोण ( एआणि बी), इतर दोन बाजूंनी बांधलेले, जे मध्य त्रिकोणाला त्याच्या उंचीने विभाजित केल्यामुळे तयार होतात. त्रिकोणांच्या दोन लहान क्षेत्रांची बेरीज स्पष्टपणे तिसर्‍याच्या क्षेत्रफळाच्या समान असते, अशा प्रकारे ए + बी = सीआणि, मागील पुरावे उलट क्रमाने पार पाडताना, आपल्याला पायथागोरियन प्रमेय a 2 + b 2 = c 2 प्राप्त होतो.

कोसाइन प्रमेय

पायथागोरियन प्रमेय हे अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेयचे एक विशेष प्रकरण आहे, जे एका अनियंत्रित त्रिकोणातील बाजूंच्या लांबीशी संबंधित आहे:

जेथे θ हा बाजूंमधील कोन आहे aआणि b.

जर θ 90 अंश असेल तर cos θ = 0 आणि सूत्र नेहमीच्या पायथागोरियन प्रमेयाला सरलीकृत केले आहे.

अनियंत्रित त्रिकोण

बाजू असलेल्या अनियंत्रित त्रिकोणाच्या कोणत्याही निवडलेल्या कोपऱ्यात a, b, cआपण समद्विभुज त्रिकोण अशा प्रकारे लिहू की त्याच्या पायावरचे समान कोन θ निवडलेल्या कोनाइतके असतील. समजा की निवडलेला कोन θ चिन्हांकित बाजूच्या विरुद्ध आहे c... परिणामी, आम्हाला θ कोन असलेला त्रिकोण ABD मिळाला, जो बाजूच्या समोर स्थित आहे. aआणि पक्ष आर... दुसरा त्रिकोण θ कोनाने बनतो, जो बाजूच्या विरुद्ध आहे bआणि पक्ष सहलांबी s, चित्रावर दाखवल्याप्रमाणे. थाबीत इब्न कुर्राह यांनी युक्तिवाद केला की या तीन त्रिकोणांमधील बाजू खालीलप्रमाणे जोडल्या आहेत:

कोन θ जसजसा π / 2 जवळ येतो, समद्विभुज त्रिकोणाचा पाया कमी होतो आणि r आणि s या दोन बाजू कमी कमी होत जातात. जेव्हा θ = π / 2, ADB हा काटकोन त्रिकोण बनतो, आर + s = cआणि आपल्याला प्रारंभिक पायथागोरियन प्रमेय मिळतो.

चला एक कारण विचारात घेऊ या. त्रिकोण ABC मध्ये त्रिकोण ABD सारखेच कोन आहेत, परंतु उलट क्रमाने. (दोन त्रिकोणांचा शिरोबिंदू B वर एक समान कोन आहे, दोन्हीचा कोन θ आहे आणि त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेनुसार समान तिसरा कोन देखील आहे.) त्यानुसार, ABC त्रिकोण DBA च्या ABD प्रतिबिंबाप्रमाणे आहे, खालच्या आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे. विरुद्ध बाजू आणि कोनाच्या समीप θ मधील गुणोत्तर लिहूया,

तसेच दुसर्या त्रिकोणाचे प्रतिबिंब,

चला अपूर्णांकांचा गुणाकार करू आणि ही दोन गुणोत्तरे जोडू.

Q.E.D.

समांतरभुज चौकोनांद्वारे अनियंत्रित त्रिकोणांसाठी सामान्यीकरण

अनियंत्रित त्रिकोणांसाठी सामान्यीकरण,
हिरवे क्षेत्र भूखंड = क्षेत्रनिळा

प्रबंधाचा पुरावा जो वरील चित्रात आहे

चौरसांऐवजी तीन बाजूंच्या समांतरभुज चौकोनांचा वापर करून आयताकृती नसलेल्या त्रिकोणांचे पुढे सामान्यीकरण करू. (चौरस ही एक विशेष बाब आहे.) वरची आकृती दर्शवते की तीव्र-कोन त्रिकोणासाठी, लांब बाजूच्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ इतर दोन बाजूंच्या समांतरभुज चौकोनाच्या बेरजेइतके असते, परंतु समांतरभुज चौकोन आकृतीमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे लांब बाजू तयार केली आहे (बाणांनी चिन्हांकित केलेले परिमाण समान आहेत आणि खालच्या समांतरभुज चौकोनाच्या बाजू निर्धारित करतात). समांतरभुज चौकोनांसह चौरसांची ही बदली पायथागोरसच्या सुरुवातीच्या प्रमेयाशी स्पष्ट साम्य दर्शवते, असे मानले जाते की ते 4 एडी मध्ये अलेक्झांड्रियाच्या पप्पसने तयार केले होते. ई

खालची आकृती पुराव्याची प्रगती दर्शवते. चला त्रिकोणाच्या डाव्या बाजूला पाहू. डाव्या हिरव्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ निळ्या समांतरभुज चौकोनाच्या डाव्या बाजूइतकेच असते कारण त्यांचा आधार समान असतो. bआणि उंची h... या व्यतिरिक्त, डाव्या हिरव्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ वरच्या आकृतीत डाव्या हिरव्या समांतरभुज चौकोनाच्या समान असते कारण त्यांचा एक सामान्य पाया (त्रिकोणाची वरची डावी बाजू) आणि त्रिकोणाच्या त्या बाजूस एकूण उंची लंब असते. त्रिकोणाच्या उजव्या बाजूसाठी असाच युक्तिवाद करून, आम्ही सिद्ध करतो की खालच्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ दोन हिरव्या समांतरभुज चौकोनांइतकेच आहे.

जटिल संख्या

पायथागोरियन प्रमेय कार्टेशियन समन्वय प्रणालीतील दोन बिंदूंमधील अंतर शोधण्यासाठी वापरला जातो आणि हे प्रमेय सर्व खर्‍या समन्वयांसाठी सत्य आहे: अंतर sदोन बिंदूंमधील ( a, b) आणि ( c, d) बरोबरी

जर तुम्ही जटिल संख्यांना वास्तविक घटकांसह सदिश मानले तर सूत्रामध्ये कोणतीही अडचण नाही x + मी y = (x, y). ... उदाहरणार्थ अंतर s 0 + 1 च्या दरम्यान iआणि 1 + 0 iआपण व्हेक्टरचे मॉड्यूलस म्हणून गणना करतो (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), किंवा

तरीसुद्धा, जटिल निर्देशांकांसह वेक्टरसह ऑपरेशनसाठी, पायथागोरियन फॉर्म्युलामध्ये विशिष्ट सुधारणा करणे आवश्यक आहे. जटिल संख्या असलेल्या बिंदूंमधील अंतर ( a, b) आणि ( c, d); a, b, c, आणि dसर्व जटिल, आम्ही परिपूर्ण मूल्ये वापरून तयार करू. अंतर sवेक्टर फरकावर आधारित (a − c, b − d) खालील फॉर्ममध्ये: फरक करू द्या a − c = p+ i q, कुठे p- फरकाचा खरा भाग, qकाल्पनिक भाग आहे, आणि i = √ (−1). त्याचप्रमाणे, द्या b − d = आर+ i s... मग:

साठी जटिल संयुग्मित संख्या कोठे आहे. उदाहरणार्थ, बिंदूंमधील अंतर (a, b) = (0, 1) आणि (c, d) = (i, 0) , आम्ही फरक मोजू (a − c, b − d) = (−i, 1) आणि परिणामी कॉम्प्लेक्स कॉन्जुगेट्स न वापरल्यास आम्हाला 0 मिळेल. म्हणून, सुधारित सूत्र वापरून, आम्हाला मिळते

मॉड्यूल खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे:

स्टिरिओमेट्री

त्रिमितीय जागेसाठी पायथागोरियन प्रमेयचे महत्त्वपूर्ण सामान्यीकरण म्हणजे डी गुआचे प्रमेय, जे.-पी. de Gua: जर टेट्राहेड्रॉनला काटकोन असेल (घनाप्रमाणे), तर उजव्या कोनाच्या विरुद्ध असलेल्या चेहऱ्याच्या क्षेत्रफळाचा चौरस इतर तीन चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. या निष्कर्षाचा सारांश म्हणून " n-आयामी पायथागोरियन प्रमेय ":

त्रिमितीय जागेतील पायथागोरियन प्रमेय कर्ण AD ला तीन बाजूंनी जोडते.

आणखी एक सामान्यीकरण: पायथागोरियन प्रमेय खालील स्वरूपात स्टिरिओमेट्रीवर लागू केला जाऊ शकतो. आकृतीत दर्शविल्याप्रमाणे समांतर आयताकृती आकाराचा विचार करा. पायथागोरियन प्रमेयाद्वारे कर्ण BD ची लांबी शोधूया:

जिथे तिन्ही बाजू काटकोन त्रिकोण बनवतात. कर्ण AD ची लांबी शोधण्यासाठी आम्ही क्षैतिज कर्ण BD आणि अनुलंब किनारा AB वापरतो, यासाठी आम्ही पुन्हा पायथागोरियन प्रमेय वापरतो:

किंवा, सर्वकाही एका समीकरणात लिहिले असल्यास:

हा परिणाम व्हेक्टरची विशालता निर्धारित करण्यासाठी 3D अभिव्यक्ती आहे वि(कर्ण AD) त्याच्या लंब घटकांच्या संदर्भात व्यक्त केले जाते ( वि k) (तीन परस्पर लंब बाजू):

हे समीकरण बहुआयामी जागेसाठी पायथागोरियन प्रमेयाचे सामान्यीकरण म्हणून पाहिले जाऊ शकते. तथापि, परिणाम म्हणजे पायथागोरियन प्रमेयाचा क्रमवार लंब समतलांमध्ये काटकोन त्रिकोणांच्या क्रमवारीत पुनरावृत्ती करण्यापेक्षा अधिक काही नाही.

वेक्टर जागा

सदिशांच्या ऑर्थोगोनल प्रणालीच्या बाबतीत, समानता धारण करते, ज्याला पायथागोरियन प्रमेय देखील म्हणतात:

जर समन्वय अक्षांवर वेक्टरचे प्रक्षेपण असेल, तर हे सूत्र युक्लिडियन अंतराशी जुळते - आणि याचा अर्थ व्हेक्टरची लांबी त्याच्या घटकांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या वर्गमूळाच्या समान आहे.

सदिशांच्या अमर्याद प्रणालीच्या बाबतीत या समानतेच्या अॅनालॉगला पारसेव्हलची समानता म्हणतात.

नॉन-युक्लिडियन भूमिती

पायथागोरियन प्रमेय हे युक्लिडियन भूमितीच्या स्वयंसिद्धांमधून घेतलेले आहे आणि खरेतर, ते ज्या स्वरूपात वर लिहिले आहे त्या स्वरूपात ते गैर-युक्लिडियन भूमितीसाठी वैध नाही. (म्हणजेच, पायथागोरियन प्रमेय हे युक्लिडच्या समांतरतेच्या समतुल्य स्वरूपाचे ठरते) दुसऱ्या शब्दांत, नॉन-युक्लिडियन भूमितीमध्ये, त्रिकोणाच्या बाजूंमधील गुणोत्तर हे पायथागोरियन प्रमेयापेक्षा वेगळ्या स्वरूपात असणे आवश्यक आहे. . उदाहरणार्थ, गोलाकार भूमितीमध्ये, काटकोन त्रिकोणाच्या तीनही बाजू (म्हणा a, bआणि c), जे एकक गोलाच्या ऑक्टंट (आठवा भाग) मर्यादित करतात, त्यांची लांबी π / 2 आहे, जी पायथागोरियन प्रमेयाला विरोध करते, कारण a 2 + b 2 ≠ c 2 .

येथे नॉन-युक्लिडियन भूमितीच्या दोन प्रकरणांचा विचार करा - गोलाकार आणि हायपरबोलिक भूमिती; दोन्ही प्रकरणांमध्ये, काटकोन त्रिकोणांसाठी युक्लिडियन जागेप्रमाणे, पायथागोरियन प्रमेयाची जागा घेणारा परिणाम कोसाइन प्रमेयातून येतो.

तथापि, पायथागोरियन प्रमेय हायपरबोलिक आणि लंबवर्तुळाकार भूमितीसाठी वैध आहे, जर त्रिकोणाच्या आयताकृतीची आवश्यकता त्रिकोणाच्या दोन कोनांची बेरीज तिसर्‍याच्या बरोबरीची असली पाहिजे अशा अटीने बदलली असेल तर ए+बी = सी... मग बाजूंमधील गुणोत्तर असे दिसते: व्यास असलेल्या वर्तुळांच्या क्षेत्रांची बेरीज aआणि bव्यासाच्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतका c.

गोलाकार भूमिती

त्रिज्येच्या गोलावरील कोणत्याही काटकोन त्रिकोणासाठी आर(उदाहरणार्थ, त्रिकोणातील कोन γ ही सरळ रेषा असल्यास) बाजूंसह a, b, cपक्षांमधील संबंध असे दिसेल:

ही समानता गोलाकार कोसाइन प्रमेयाची विशेष बाब म्हणून घेतली जाऊ शकते, जी सर्व गोलाकार त्रिकोणांसाठी सत्य आहे:

जेथे cosh हा हायपरबोलिक कोसाइन आहे. हे सूत्र हायपरबोलिक कोसाइन प्रमेयाचे एक विशेष प्रकरण आहे, जे सर्व त्रिकोणांसाठी वैध आहे:

जेथे γ हा कोन आहे ज्याचा शिरोबिंदू बाजूच्या विरुद्ध आहे c.

कुठे g ijत्याला मेट्रिक टेन्सर म्हणतात. हे स्थितीचे कार्य असू शकते. अशा वक्र स्थानांमध्ये सामान्य उदाहरण म्हणून रीमेनियन भूमितीचा समावेश होतो. वक्र निर्देशांक वापरताना हे सूत्र युक्लिडियन जागेसाठी देखील योग्य आहे. उदाहरणार्थ, ध्रुवीय निर्देशांकांसाठी:

वेक्टर उत्पादन

पायथागोरियन प्रमेय सदिश उत्पादनाच्या विशालतेसाठी दोन अभिव्यक्ती जोडतो. क्रॉस उत्पादन परिभाषित करण्याच्या एका दृष्टिकोनासाठी ते समीकरण पूर्ण करणे आवश्यक आहे:

हे सूत्र डॉट उत्पादन वापरते. समीकरणाच्या उजव्या बाजूस ग्राम निर्धारक म्हणतात aआणि b, जे या दोन सदिशांनी तयार केलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीचे आहे. या आवश्‍यकतेवर आधारित, तसेच सदिश उत्‍पादनाच्या लंबकतेसाठी त्‍याच्‍या घटकांची आवश्‍यकता aआणि bहे खालीलप्रमाणे आहे की, 0- आणि 1-मितीय जागेतील क्षुल्लक प्रकरणांचा अपवाद वगळता, सदिश उत्पादन केवळ तीन आणि सात परिमाणांमध्ये परिभाषित केले आहे. मध्ये कोनाची व्याख्या आपण वापरतो n- आयामी जागा:

सदिश उत्पादनाची ही मालमत्ता त्याचे मूल्य खालील स्वरूपात देते:

पायथागोरसच्या मूलभूत त्रिकोणमितीय ओळखीद्वारे, आम्ही त्याचे मूल्य रेकॉर्ड करण्याचा दुसरा प्रकार प्राप्त करतो:

क्रॉस उत्पादन परिभाषित करण्यासाठी पर्यायी दृष्टीकोन त्याच्या विशालतेसाठी अभिव्यक्ती वापरते. नंतर, उलट क्रमाने युक्तिवाद करताना, आम्हाला डॉट उत्पादनाशी कनेक्शन मिळते:

देखील पहा

नोट्स (संपादित करा)

1. इतिहास विषय: बॅबिलोनियन गणितातील पायथागोरसचे प्रमेय
2. (, पृष्ठ 351) पृष्ठ 351
3. (, खंड I, पृ. 144)
4. ऐतिहासिक तथ्यांची चर्चा (, पृष्ठ 351) पृष्ठ 351 मध्ये दिली आहे
5. कर्ट वॉन फ्रिट्झ (एप्रिल. 1945). "हिप्पासस ऑफ मेटापॉन्टमद्वारे असंतुष्टतेचा शोध." द एनल्स ऑफ मॅथेमॅटिक्स, दुसरी मालिका(गणिताचे इतिहास) 46 (2): 242–264.
6. लुईस कॅरोल, "अ स्टोरी विथ नॉट्स", एम., मीर, 1985, पी. ७
7. Asger aaboeगणिताच्या सुरुवातीच्या इतिहासातील भाग. - मॅथेमॅटिकल असोसिएशन ऑफ अमेरिका, 1997. - पी. 51. - ISBN 0883856131
8. पायथागोरियन प्रस्ताव, अलीशा स्कॉट लुमिस द्वारे
9. युक्लिडचा घटक: पुस्तक VI, प्रस्ताव VI 31: "काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन वजा करणाऱ्या बाजूची आकृती उजव्या कोन असलेल्या बाजूंच्या समान आणि समान वर्णन केलेल्या आकृत्यांच्या बरोबरीची असते."
10. लॉरेन्स एस. लेफ उद्धृत काम... - बॅरॉनची शैक्षणिक मालिका. - पी. ३२६. - ISBN ०७६४१२८९२२
11. हॉवर्ड व्हिटली इव्हस§4.8: ... पायथागोरियन प्रमेयाचे सामान्यीकरण // गणितातील महान क्षण (1650 पूर्वी). - मॅथेमॅटिकल असोसिएशन ऑफ अमेरिका, 1983. - पी. 41. - ISBN 0883853108
12. तबित इब्न कोर्रा (पूर्ण नाव थाबित इब्न कुर्रा इब्न मारवान अल-साबी' अल-हारानी) (826-901 AD) बगदादमध्ये राहणारा एक चिकित्सक होता ज्याने युक्लिडच्या घटकांवर आणि इतर गणिती विषयांवर विपुल लेखन केले.
13. आयदिन सायली (मार्च 1960). "थाबिट इब्न कुर्रा"चे पायथागोरस प्रमेयचे सामान्यीकरण." इसिस 51 (१): ३५–३७. DOI: 10.1086 / 348837.
14. ज्युडिथ डी. सॅली, पॉल सॅलीव्यायाम 2.10 (ii) // उद्धृत कार्य. - पृ. ६२. - ISBN ०८२१८४४०३२
15. अशा बांधकामाच्या तपशीलासाठी, पहा जॉर्ज जेनिंग्जआकृती 1.32: सामान्यीकृत पायथागोरियन प्रमेय // अनुप्रयोगांसह आधुनिक भूमिती: 150 आकृत्यांसह. - तिसरा. - स्प्रिंगर, 1997. - पी. 23. - ISBN 038794222X
16. अर्लेन ब्राउन, कार्ल एम. पियर्सीआयटम सी: अनियंत्रित साठी सर्वसामान्य प्रमाण n-tuple ... // विश्लेषणाचा परिचय. - स्प्रिंगर, 1995. - पी. 124. - ISBN 0387943692पृष्ठे 47-50 देखील पहा.
17. आल्फ्रेड ग्रे, एल्सा अबेना, सायमन सॅलमनगणितासह वक्र आणि पृष्ठभागांची आधुनिक विभेदक भूमिती. - तिसरा. - सीआरसी प्रेस, 2006. - पी. 194. - ISBN 1584884487
18. राजेंद्र भाटियामॅट्रिक्स विश्लेषण. - स्प्रिंगर, 1997. - पी. 21. - ISBN 0387948465
19. स्टीफन डब्ल्यू. हॉकिंग उद्धृत काम... - 2005. - पी. 4. - ISBN 0762419229
20. एरिक डब्ल्यू. वेईस्टीन CRC गणिताचा संक्षिप्त ज्ञानकोश. - दुसरा. - 2003. - पी. 2147. - ISBN 1584883472
21. अलेक्झांडर आर. प्रस

एखाद्याला शंभर टक्के खात्री असू शकते की कर्णाचा वर्ग काय आहे हे विचारल्यावर, कोणताही प्रौढ धैर्याने उत्तर देईल: "पायांच्या चौरसांची बेरीज." हे प्रमेय प्रत्येक सुशिक्षित व्यक्तीच्या मनात घट्ट रुजलेले आहे, परंतु ते सिद्ध करण्यासाठी एखाद्याला विचारणे पुरेसे आहे आणि नंतर अडचणी उद्भवू शकतात. म्हणून, पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या वेगवेगळ्या पद्धती लक्षात ठेवू आणि विचार करू.

संक्षिप्त चरित्र

पायथागोरियन प्रमेय जवळजवळ प्रत्येकास परिचित आहे, परंतु काही कारणास्तव ज्या व्यक्तीने त्याला जन्म दिला त्या व्यक्तीचे चरित्र इतके लोकप्रिय नाही. हे निराकरण करण्यायोग्य आहे. म्हणून, पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या वेगवेगळ्या पद्धतींचा अभ्यास करण्यापूर्वी, आपल्याला त्याच्या व्यक्तिमत्त्वाशी थोडक्यात परिचित होणे आवश्यक आहे.

पायथागोरस हा एक तत्त्वज्ञ, गणितज्ञ, विचारवंत आहे जो मूळचा आज या महान माणसाच्या स्मरणार्थ विकसित झालेल्या दंतकथांपासून त्याचे चरित्र वेगळे करणे फार कठीण आहे. परंतु त्याच्या अनुयायांच्या लिखाणावरून खालीलप्रमाणे, सामोसच्या पायथागोरसचा जन्म सामोस बेटावर झाला. त्याचे वडील एक सामान्य दगड कापणारे होते, परंतु त्याची आई एका थोर कुटुंबातून आली होती.

पौराणिक कथेनुसार, पायथागोरसच्या जन्माची भविष्यवाणी पायथिया नावाच्या महिलेने केली होती, ज्याच्या सन्मानार्थ मुलाचे नाव ठेवले गेले. तिच्या भविष्यवाणीनुसार, जन्मलेल्या मुलाने मानवजातीसाठी अनेक फायदे आणि चांगुलपणा आणला असावा. जे त्याने प्रत्यक्षात केले.

प्रमेयाचा जन्म

तारुण्यात, पायथागोरस इजिप्तमध्ये प्रसिद्ध इजिप्शियन ऋषींना भेटण्यासाठी गेला. त्यांच्याशी भेट घेतल्यानंतर, त्याला अभ्यासासाठी दाखल करण्यात आले, जिथे त्याने इजिप्शियन तत्वज्ञान, गणित आणि वैद्यकशास्त्रातील सर्व महान कामगिरी शिकल्या.

कदाचित, ते इजिप्तमध्ये होते की पायथागोरस पिरॅमिडच्या भव्यतेने आणि सौंदर्याने प्रेरित झाला आणि त्याने त्याचा महान सिद्धांत तयार केला. यामुळे वाचकांना धक्का बसेल, परंतु आधुनिक इतिहासकारांचा असा विश्वास आहे की पायथागोरसने त्याचा सिद्धांत सिद्ध केला नाही. त्याने फक्त त्याचे ज्ञान त्याच्या अनुयायांना दिले, ज्यांनी नंतर सर्व आवश्यक गणिती गणना पूर्ण केली.

तसे असो, आज हे प्रमेय सिद्ध करण्याची एक पद्धत ज्ञात नाही, परंतु एकाच वेळी अनेक. आज, प्राचीन ग्रीक लोकांनी त्यांची गणना नेमकी कशी केली याचा अंदाज लावणे बाकी आहे, म्हणून येथे आपण पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या विविध मार्गांचा विचार करू.

पायथागोरियन प्रमेय

कोणतीही गणना सुरू करण्यापूर्वी, तुम्हाला कोणता सिद्धांत सिद्ध करायचा आहे हे शोधून काढणे आवश्यक आहे. पायथागोरियन प्रमेय खालीलप्रमाणे वाचतो: "त्रिकोणात, ज्यामध्ये एक कोन 90 ° आहे, पायांच्या चौरसांची बेरीज कर्णाच्या वर्गाइतकी असते."

एकूण, पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी 15 भिन्न मार्ग आहेत. ही एक बऱ्यापैकी मोठी आकृती आहे, म्हणून त्यापैकी सर्वात लोकप्रियकडे लक्ष देऊया.

पद्धत एक

प्रथम, आम्हाला काय दिले आहे ते नियुक्त करूया. हा डेटा पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या इतर पद्धतींवर देखील लागू होईल, म्हणून आपण सर्व उपलब्ध पदनाम त्वरित लक्षात ठेवावे.

समजा एक काटकोन त्रिकोण दिला आहे, ज्यामध्ये पाय a, b आणि कर्ण c च्या बरोबर आहेत. पुराव्याची पहिली पद्धत या वस्तुस्थितीवर आधारित आहे की आपल्याला काटकोन त्रिकोणातून चौरस काढण्याची आवश्यकता आहे.

हे करण्यासाठी, तुम्हाला लेग b च्या बरोबरीचा एक सेगमेंट a च्या लेगला आणि त्याउलट काढावा लागेल. यामुळे चौरसाच्या दोन समान बाजू तयार झाल्या पाहिजेत. हे फक्त दोन समांतर रेषा काढण्यासाठी राहते आणि चौरस तयार आहे.

परिणामी आकृतीच्या आत, तुम्हाला मूळ त्रिकोणाच्या कर्णाच्या समान बाजू असलेला दुसरा चौरस काढण्याची आवश्यकता आहे. हे करण्यासाठी, शिरोबिंदू ac आणि sv वरून, तुम्हाला c च्या बरोबरीचे दोन समांतर खंड काढावे लागतील. अशा प्रकारे, आपल्याला चौरसाच्या तीन बाजू मिळतात, त्यापैकी एक मूळ काटकोन त्रिकोणाचे कर्ण आहे. हे फक्त चौथा विभाग पूर्ण करण्यासाठी राहते.

परिणामी आकृतीच्या आधारे, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की बाह्य चौरसाचे क्षेत्रफळ (a + b) 2 आहे. तुम्ही आकृतीच्या आत पाहिल्यास, तुम्हाला दिसेल की आतील चौकोन व्यतिरिक्त, त्यात चार काटकोन त्रिकोण आहेत. प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ 0.5 av आहे.

म्हणून, क्षेत्रफळ समान आहे: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

म्हणून (a + b) 2 = 2ab + c 2

आणि म्हणून c 2 = a 2 + b 2

प्रमेय सिद्ध होतो.

पद्धत दोन: समान त्रिकोण

पायथागोरियन प्रमेयाच्या पुराव्यासाठी हे सूत्र समान त्रिकोणांबद्दलच्या भूमिती विभागातील विधानाच्या आधारे प्राप्त केले गेले. हे सांगते की काटकोन त्रिकोणाचा पाय हा त्याच्या कर्णाची आनुपातिक सरासरी आहे आणि कर्णाचा भाग 90 ° कोनाच्या शिखरातून बाहेर पडतो.

प्रारंभिक डेटा तोच राहतो, म्हणून आता पुराव्यासह प्रारंभ करूया. बाजूच्या AB ला लंबवत SD चा एक खंड काढू. वरील विधानाच्या आधारे, त्रिकोणाचे पाय आहेत:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

पायथागोरियन प्रमेय कसे सिद्ध करायचे या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, दोन्ही असमानतेचे वर्गीकरण करून पुरावा पूर्ण करणे आवश्यक आहे.

AC 2 = AB * HELL आणि SV 2 = AB * DV

आता आपल्याला परिणामी असमानता जोडण्याची आवश्यकता आहे.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), जेथे HELL + DV = AB

हे दिसून येते की:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

आणि म्हणून:

AC 2 + CB 2 = AB 2

पायथागोरियन प्रमेयाचा पुरावा आणि त्याचे निराकरण करण्याच्या विविध मार्गांसाठी या समस्येसाठी एक बहुमुखी दृष्टीकोन आवश्यक आहे. तथापि, हा पर्याय सर्वात सोपा आहे.

आणखी एक गणना तंत्र

पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या वेगवेगळ्या पद्धतींचे वर्णन, जोपर्यंत तुम्ही स्वतःचा सराव सुरू करत नाही तोपर्यंत काहीही सांगता येणार नाही. अनेक तंत्रे केवळ गणितीय आकडेमोडच देत नाहीत तर मूळ त्रिकोणातून नवीन आकृत्या तयार करतात.

या प्रकरणात, बीसीच्या पायापासून व्हीएसडीचा दुसरा काटकोन त्रिकोण पूर्ण करणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे, आता एक सामान्य पाय BC असलेले दोन त्रिकोण आहेत.

अशा आकृत्यांच्या क्षेत्रांमध्ये त्यांच्या समान रेखीय परिमाणांचे चौरस म्हणून गुणोत्तर आहे हे जाणून घेणे, नंतर:

S awd * s 2 - S awd * 2 मध्ये = S awd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S awd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

ग्रेड 8 साठी पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या विविध पद्धतींमधून हा पर्याय फारसा योग्य नसल्यामुळे, तुम्ही खालील तंत्र वापरू शकता.

पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग. पुनरावलोकने

प्राचीन ग्रीसमध्ये प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी ही पद्धत प्रथम वापरली गेली असे इतिहासकारांचे मत आहे. हे सर्वात सोपा आहे, कारण त्याला कोणत्याही गणनाची आवश्यकता नाही. जर तुम्ही आकृती अचूक काढली तर विधानाचा पुरावा 2 + in 2 = c 2 स्पष्टपणे दिसेल.

या पद्धतीची परिस्थिती मागीलपेक्षा थोडी वेगळी असेल. प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी, समजा की काटकोन त्रिकोण ABC समद्विभुज आहे.

आपण AC कर्ण वर्गाची बाजू म्हणून घेतो आणि त्याच्या तीन बाजूंना उपविभाजित करतो. याव्यतिरिक्त, परिणामी स्क्वेअरमध्ये दोन कर्णरेषा काढणे आवश्यक आहे. म्हणजे त्याच्या आत चार समद्विभुज त्रिकोण आहेत.

पाय AB आणि CB ला, तुम्हाला एका चौकोनात काढण्याची आणि त्या प्रत्येकामध्ये एक कर्णरेषा काढायची आहे. पहिली ओळ शिरोबिंदू A पासून, दुसरी C वरून काढली आहे.

आता आपल्याला परिणामी रेखांकनाकडे बारकाईने लक्ष देणे आवश्यक आहे. AC कर्णावर मूळ त्रिकोणाच्या बरोबरीचे चार त्रिकोण आणि पायांवर दोन असल्याने, हे या प्रमेयाची सत्यता दर्शवते.

तसे, पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या या पद्धतीबद्दल धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश जन्माला आला: "पायथागोरियन पॅंट सर्व दिशांनी समान आहेत."

जे. गारफिल्डचा पुरावा

जेम्स गारफिल्ड हे युनायटेड स्टेट्स ऑफ अमेरिकेचे 20 वे राष्ट्राध्यक्ष आहेत. युनायटेड स्टेट्सचा शासक म्हणून इतिहासावर आपली छाप सोडण्याव्यतिरिक्त, तो एक प्रतिभाशाली स्वयं-शिक्षित व्यक्ती देखील होता.

त्याच्या कारकिर्दीच्या सुरूवातीस, ते लोकशाळेत एक सामान्य शिक्षक होते, परंतु लवकरच ते एका उच्च शैक्षणिक संस्थेचे संचालक बनले. आत्म-विकासाची इच्छा आणि त्याला पायथागोरियन प्रमेयच्या पुराव्याचा एक नवीन सिद्धांत प्रस्तावित करण्याची परवानगी दिली. प्रमेय आणि त्याच्या समाधानाचे उदाहरण खालीलप्रमाणे आहे.

प्रथम, आपल्याला कागदाच्या शीटवर दोन काटकोन त्रिकोण काढण्याची आवश्यकता आहे जेणेकरून त्यापैकी एकाचा पाय दुसर्‍याचा चालू असेल. या त्रिकोणांच्या शिरोबिंदूंना शेवटी ट्रॅपेझॉइड तयार करण्यासाठी जोडणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला माहिती आहेच की, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ त्याच्या पाया आणि उंचीच्या अर्ध्या बेरीजच्या गुणाकाराइतके असते.

S = a + b / 2 * (a + b)

जर आपण परिणामी ट्रॅपेझॉइडला तीन त्रिकोण असलेली आकृती मानली तर त्याचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे आढळू शकते:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

आता तुम्हाला दोन मूळ अभिव्यक्ती समान करणे आवश्यक आहे

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

पायथागोरियन प्रमेयाबद्दल आणि त्याच्या पुराव्याच्या पद्धतींबद्दल पाठ्यपुस्तकाच्या एकापेक्षा जास्त खंड लिहिले जाऊ शकतात. पण जेव्हा हे ज्ञान व्यवहारात लागू करता येत नाही तेव्हा त्याला काही अर्थ आहे का?

पायथागोरियन प्रमेयचा व्यावहारिक उपयोग

दुर्दैवाने, आधुनिक शालेय अभ्यासक्रम केवळ भौमितिक समस्यांमध्ये या प्रमेयाचा वापर करण्याची तरतूद करतो. पदवीधर आपले ज्ञान आणि कौशल्ये सरावात कशी लागू करू शकतात हे जाणून घेतल्याशिवाय लवकरच शाळेच्या भिंती सोडतील.

खरं तर, प्रत्येकजण त्यांच्या दैनंदिन जीवनात पायथागोरियन प्रमेय वापरू शकतो. आणि केवळ व्यावसायिक क्रियाकलापांमध्येच नाही तर सामान्य घरगुती कामांमध्ये देखील. पायथागोरियन प्रमेय आणि त्याच्या पुराव्याच्या पद्धती अत्यंत आवश्यक असू शकतात तेव्हा अनेक प्रकरणांचा विचार करूया.

प्रमेय आणि खगोलशास्त्र यांच्यातील संबंध

कागदावर तारे आणि त्रिकोण कसे जोडले जाऊ शकतात असे दिसते. खरं तर, खगोलशास्त्र हे एक वैज्ञानिक क्षेत्र आहे ज्यामध्ये पायथागोरियन प्रमेय मोठ्या प्रमाणावर वापरला जातो.

उदाहरणार्थ, अंतराळातील प्रकाश बीमची गती विचारात घ्या. हे ज्ञात आहे की प्रकाश दोन्ही दिशांना एकाच वेगाने फिरतो. प्रक्षेपण AB, ज्याला प्रकाश किरण हलतो, त्याला म्हणतात l. आणि बिंदू A ते बिंदू B पर्यंत प्रकाश येण्यासाठी अर्धा वेळ लागतो, चला कॉल करूया ट... आणि तुळईचा वेग - c. हे दिसून येते की: c*t = l

जर तुम्ही दुसर्‍या विमानातून हा किरण पाहिला, उदाहरणार्थ, स्पेस लाइनरमधून, जो वेग v ने हलतो, तर शरीराच्या अशा निरीक्षणाने त्यांचा वेग बदलेल. या प्रकरणात, स्थिर घटक देखील विरुद्ध दिशेने वेग v सह हलवू लागतील.

समजा कॉमिक लाइनर उजवीकडे जात आहे. नंतर बिंदू A आणि B, ज्यामध्ये किरण टाकला आहे, ते डावीकडे जातील. शिवाय, जेव्हा बीम बिंदू A वरून B बिंदूकडे सरकतो तेव्हा बिंदू A ला हलण्यास वेळ असतो आणि त्यानुसार, प्रकाश आधीच नवीन बिंदू C वर येईल. A बिंदू ज्याने सरकला आहे त्याचे अर्धे अंतर शोधण्यासाठी, आपल्याला गुणाकार करणे आवश्यक आहे. तुळईच्या प्रवास वेळेच्या निम्म्याने लाइनरचा वेग (t").

आणि या वेळी प्रकाशकिरण किती अंतरावर जाऊ शकतो हे शोधण्यासाठी, तुम्हाला नवीन अक्षर s सह मार्गाचा अर्धा भाग नियुक्त करणे आणि खालील अभिव्यक्ती प्राप्त करणे आवश्यक आहे:

जर आपण कल्पना केली की प्रकाश C आणि B चे बिंदू, तसेच स्पेस लाइनर हे समद्विभुज त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत, तर बिंदू A पासून लाइनरपर्यंतचा विभाग त्याला दोन काटकोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करेल. म्हणून, पायथागोरसच्या प्रमेयाबद्दल धन्यवाद, आपण प्रकाशाचा किरण प्रवास करू शकणारे अंतर शोधू शकता.

हे उदाहरण अर्थातच सर्वोत्कृष्ट नाही, कारण काही मोजकेच ते सरावात वापरून पाहण्यास पुरेसे भाग्यवान असू शकतात. म्हणून, आम्ही या प्रमेयाच्या अधिक सांसारिक अनुप्रयोगांचा विचार करू.

मोबाईल सिग्नलच्या प्रसारणाची त्रिज्या

स्मार्टफोनच्या अस्तित्वाशिवाय आधुनिक जीवनाची कल्पना करणे आधीच अशक्य आहे. परंतु जर ते ग्राहकांना मोबाईल संप्रेषणाद्वारे जोडू शकत नसतील तर त्यांचा जास्त उपयोग होईल का?!

मोबाइल संप्रेषणाची गुणवत्ता थेट मोबाइल ऑपरेटरच्या अँटेनाच्या उंचीवर अवलंबून असते. मोबाईल टॉवरवरून फोन किती अंतरावर सिग्नल प्राप्त करू शकतो याची गणना करण्यासाठी, आपण पायथागोरियन प्रमेय लागू करू शकता.

समजा तुम्हाला स्थिर टॉवरची अंदाजे उंची शोधण्याची आवश्यकता आहे जेणेकरून ते 200 किलोमीटरच्या त्रिज्येत सिग्नल प्रसारित करू शकेल.

AB (टॉवरची उंची) = x;

विमान (सिग्नल ट्रान्समिशन त्रिज्या) = 200 किमी;

OS (जगातील त्रिज्या) = 6380 किमी;

OB = OA + ABOV = r + x

पायथागोरियन प्रमेय लागू करून, आम्हाला आढळले की टॉवरची किमान उंची 2.3 किलोमीटर असावी.

दैनंदिन जीवनात पायथागोरियन प्रमेय

विचित्रपणे, पायथागोरियन प्रमेय दैनंदिन बाबींमध्ये देखील उपयुक्त ठरू शकतो, जसे की वॉर्डरोबची उंची निश्चित करणे, उदाहरणार्थ. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, अशी जटिल गणना वापरण्याची आवश्यकता नाही, कारण आपण टेप मापन वापरून मोजमाप करू शकता. परंतु अनेकांना आश्चर्य वाटते की असेंब्ली प्रक्रियेदरम्यान काही समस्या का उद्भवतात, जर सर्व मोजमाप अचूकतेपेक्षा जास्त घेतले गेले.

वस्तुस्थिती अशी आहे की अलमारी क्षैतिज स्थितीत एकत्र केली जाते आणि त्यानंतरच ती उगवते आणि भिंतीवर स्थापित केली जाते. म्हणून, रचना उचलण्याच्या प्रक्रियेत कॅबिनेटची बाजू खोलीच्या उंची आणि तिरपे दोन्हीमध्ये मुक्तपणे जाणे आवश्यक आहे.

समजा तुमच्याकडे 800 मिमी खोली असलेली अलमारी आहे. मजल्यापासून छतापर्यंतचे अंतर - 2600 मिमी. एक अनुभवी फर्निचर निर्माता तुम्हाला सांगेल की कॅबिनेटची उंची खोलीच्या उंचीपेक्षा 126 मिमी कमी असावी. पण नक्की 126 मिमी का? एक उदाहरण पाहू.

कॅबिनेटच्या आदर्श परिमाणांसह, आम्ही पायथागोरियन प्रमेयची क्रिया तपासतो:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 मिमी - सर्वकाही एकत्र होते.

समजा कॅबिनेटची उंची 2474 मिमी नाही तर 2505 मिमी आहे. मग:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 मिमी.

म्हणून, हे कॅबिनेट या खोलीत स्थापनेसाठी योग्य नाही. त्याला सरळ स्थितीत उचलल्याने त्याचे शरीर खराब होऊ शकते.

कदाचित, वेगवेगळ्या शास्त्रज्ञांद्वारे पायथागोरियन प्रमेय सिद्ध करण्याच्या वेगवेगळ्या पद्धतींचा विचार केल्यावर, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की ते सत्यापेक्षा जास्त आहे. आता आपण प्राप्त केलेली माहिती आपल्या दैनंदिन जीवनात वापरू शकता आणि पूर्णपणे खात्री करा की सर्व गणना केवळ उपयुक्तच नाही तर बरोबर देखील आहे.

पायथागोरियन प्रमेयाचा अॅनिमेटेड पुरावा हा एक आहे मूलभूतयुक्लिडियन भूमितीची प्रमेये, काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंमधील संबंध स्थापित करतात. असे मानले जाते की हे ग्रीक गणितज्ञ पायथागोरस यांनी सिद्ध केले होते, ज्यांच्या नावावरून त्याचे नाव दिले गेले आहे (इतर आवृत्त्या आहेत, विशेषतः, हे प्रमेय सामान्य स्वरूपात पायथागोरियन गणितज्ञ हिप्पासस यांनी तयार केले होते असे एक पर्यायी मत आहे).
प्रमेय म्हणते:

काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णावर बांधलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते.

त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी दर्शवित आहे क,आणि पायांची लांबी aआणि ब,आम्हाला खालील सूत्र मिळते:

अशाप्रकारे, पायथागोरियन प्रमेय एक संबंध प्रस्थापित करतो जो तुम्हाला काटकोन त्रिकोणाची बाजू निर्धारित करण्यास अनुमती देतो, इतर दोनची लांबी जाणून घेतो. पायथागोरियन प्रमेय हे कोसाइन प्रमेयाचे एक विशेष प्रकरण आहे, जे एका अनियंत्रित त्रिकोणाच्या बाजूंमधील गुणोत्तर निर्धारित करते.
संभाषण विधान देखील सिद्ध झाले आहे (ज्याला कॉन्व्हर्स पायथागोरियन प्रमेय देखील म्हणतात):

a, b आणि c अशा कोणत्याही तीन सकारात्मक संख्यांसाठी a? + ब? = c?, पाय a आणि b आणि कर्ण c सह काटकोन त्रिकोण आहे.

"चु पेई" 500-200 बीसी या पुस्तकातील त्रिकोणासाठी (3, 4, 5) दृश्य पुरावे. प्रमेयाचा इतिहास चार भागांत विभागला जाऊ शकतो: पायथागोरियन संख्यांबद्दलचे ज्ञान, काटकोन त्रिकोणातील बाजूंच्या गुणोत्तराबद्दलचे ज्ञान, समीप कोनांच्या गुणोत्तराबद्दलचे ज्ञान आणि प्रमेयाचा पुरावा.
2500 BC च्या आसपास मेगालिथिक संरचना इजिप्त आणि उत्तर युरोपमध्ये, पूर्णांकांच्या बाजूंसह काटकोन त्रिकोण असतात. बार्टेल लीन्डर्ट व्हॅन डर वेर्डन यांनी अनुमान काढले की त्या वेळी पायथागोरियन संख्या बीजगणितानुसार सापडल्या होत्या.
2000 ते 1876 बीसी दरम्यान लिहिलेले मध्य इजिप्शियन राज्याचा पॅपिरस बर्लिन 6619एक समस्या आहे ज्याचे निराकरण पायथागोरियन संख्या आहे.
हमुराबी द ग्रेटच्या कारकिर्दीत, बॅबिलोनियन गोळी प्लिम्प्टन ३२२, 1790 आणि 1750 बीसी दरम्यान लिहिलेल्या अनेक नोंदी आहेत ज्यात पायथागोरसच्या संख्येशी जवळचा संबंध आहे.
बुद्धायन सूत्रांमध्ये, जे आठव्या किंवा दुसर्‍या शतकापूर्वीच्या विविध आवृत्त्यांवर आधारित आहेत. भारतामध्ये, बीजगणितानुसार मिळविलेल्या पायथागोरियन संख्या, पायथागोरियन प्रमेय तयार करणे आणि सॅगिंग काटकोन त्रिकोणासाठी भौमितिक पुरावा समाविष्ट आहे.
आपस्तंब सूत्रे (इ. स. पू. ६००) क्षेत्रफळाची गणना वापरून पायथागोरियन प्रमेयाचा संख्यात्मक पुरावा देतात. व्हॅन डर वेर्डनचा असा विश्वास आहे की ते त्याच्या पूर्ववर्तींच्या परंपरेवर आधारित होते. अल्बर्ट बुर्कोच्या मते, हा प्रमेयाचा मूळ पुरावा आहे आणि त्याने असे गृहीत धरले की पायथागोरसने अराकॉन्सला भेट दिली आणि त्याची कॉपी केली.
पायथागोरस, ज्यांचे आयुष्य सामान्यतः 569 - 475 ईसापूर्व दर्शविले जाते. प्रोक्लोव्हच्या युक्लिडवरील भाष्यानुसार, पायथागोरियन संख्या मोजण्यासाठी बीजगणितीय पद्धती वापरतात. प्रोक्लस, तथापि, 410 ते 485 CE दरम्यान जगला. थॉमस गीझच्या मते, पायथागोरसनंतर पाच शतके प्रमेयाच्या लेखकत्वाचे कोणतेही संकेत नाहीत. तथापि, जेव्हा प्लुटार्क किंवा सिसेरो सारखे लेखक पायथागोरसला प्रमेयाचे श्रेय देतात, तेव्हा ते असे करतात की लेखकत्व व्यापकपणे ज्ञात आणि निर्विवाद आहे.
सुमारे 400 बीसी प्रोक्लसच्या मते, प्लेटोने बीजगणित आणि भूमिती एकत्र करून पायथागोरियन संख्या मोजण्याची पद्धत दिली. सुमारे 300 ईसापूर्व, मध्ये सुरुवातयुक्लिड, आमच्याकडे सर्वात जुना स्वयंसिद्ध पुरावा आहे, जो आजपर्यंत टिकून आहे.
500 BC च्या दरम्यान कुठेतरी लिहिले आणि 200 बीसी, चिनी गणिती पुस्तक "चु पेई" (????), पायथागोरियन प्रमेयाचा एक दृश्य पुरावा देते, ज्याला चीनमध्ये गुगु (????) प्रमेय म्हणतात, बाजू असलेल्या त्रिकोणासाठी (3 , 4, 5). हान राजवंशाच्या कारकिर्दीत, इ.स.पू. २०२ पासून 220 AD पूर्वी पायथागोरियन संख्या गणिताच्या कलाच्या नऊ विभागांमध्ये काटकोन त्रिकोणांच्या उल्लेखासह दिसतात.
प्रमेयाचा वापर प्रथम चीनमध्ये नोंदवला गेला, जिथे तो गुगु (????) प्रमेय म्हणून ओळखला जातो आणि भारतात, जिथे तो बास्करचा प्रमेय म्हणून ओळखला जातो.
पायथागोरियन प्रमेय एकदा किंवा अनेक वेळा शोधला गेला असा वाद आहे. बॉयर (1991) असे मानतात की शुल्बा सूत्रामध्ये सापडलेले ज्ञान मेसोपोटेमियन मूळचे असावे.
बीजगणितीय पुरावा
चौरस चार काटकोन त्रिकोणांपासून तयार होतात. पायथागोरियन प्रमेयाचे शंभराहून अधिक पुरावे ज्ञात आहेत. आकृतीच्या क्षेत्रासाठी अस्तित्व प्रमेयावर आधारित एक पुरावा येथे आहे:

चित्रात दाखवल्याप्रमाणे चार समान काटकोन त्रिकोण ठेवा.
बाजूंसह चतुर्भुज cदोन तीव्र कोनांची बेरीज असल्याने, एक उलगडलेला कोन आहे.
संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ, एकीकडे, "a + b" बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि दुसरीकडे, चार त्रिकोण आणि आतील चौकोनाच्या क्षेत्रांची बेरीज आहे.

जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.
त्रिकोणांच्या समानतेने
समान त्रिकोण वापरणे. द्या ABCएक काटकोन त्रिकोण आहे ज्यामध्ये कोन आहे सीचित्रात दाखवल्याप्रमाणे सरळ. बिंदूपासून उंची काढू क,आणि कॉल करा एचबाजूचे छेदनबिंदू एबीएक त्रिकोण तयार होतो ACHत्रिकोणासारखे ABC,कारण ते दोन्ही आयताकृती आहेत (उंचीच्या व्याख्येनुसार) आणि त्यांचा एक समान कोन आहे अ,अर्थात या त्रिकोणांमध्येही तिसरा कोन सारखाच असेल. त्याचप्रमाणे mirkuyuchy, त्रिकोण CBHतसेच त्रिकोणासारखे ABC.त्रिकोणांच्या समानतेवरून: जर

हे असे लिहिले जाऊ शकते

जर आपण या दोन समानता जोडल्या तर आपल्याला मिळेल

HB + c वेळा AH = c वेळा (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

दुसऱ्या शब्दांत, पायथागोरियन प्रमेय:

युक्लिडचा पुरावा
युक्लिडियन "सिद्धांत" मध्ये युक्लिडचा पुरावा, पायथागोरियन प्रमेय समांतरभुज चौकोनांच्या पद्धतीद्वारे सिद्ध केला जातो. द्या A, B, Cकाटकोन त्रिकोणाचे शिरोबिंदू, काटकोन ए.बिंदू पासून लंब ड्रॉप एकर्णावर बांधलेल्या चौकोनातील कर्णाच्या विरुद्ध बाजूस. रेषा चौरसाला दोन आयतांमध्ये विभाजित करते, ज्यापैकी प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांसारखेच असते. पुराव्यातील मुख्य कल्पना अशी आहे की वरचे चौरस समान क्षेत्राच्या समांतरभुज चौकोनात बदलतात आणि नंतर ते परत येतात आणि खालच्या चौकोनात आणि पुन्हा त्याच क्षेत्रासह आयतामध्ये बदलतात.

चला खंड काढू CFआणि इ.स.आम्हाला त्रिकोण मिळतात BCFआणि BDA.
कोपरे टँक्सीआणि बॅग- सरळ रेषा; अनुक्रमे गुण सी, एआणि जीसमरेख आहेत. त्याच प्रकारे बी, एआणि एच.
कोपरे CBDआणि FBA- दोन्ही सरळ रेषा, नंतर कोन ABDकोनाच्या समान FBC,कारण दोन्ही काटकोन आणि कोनाची बेरीज आहेत ABC.
त्रिकोण ABDआणि FBCदोन्ही बाजूंनी पातळी आणि त्यांच्यामधील कोपरा.
गुण पासून ए, केआणि एल- समरेख, आयता BDLK चे क्षेत्रफळ त्रिकोणाच्या दोन क्षेत्रांइतके आहे ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
त्याचप्रमाणे, आम्हाला मिळते CKLE = ACIH = एसी २
एका बाजूचे क्षेत्र CBDEआयतांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके BDLKआणि सीकेएलई,आणि दुसरीकडे, चौरसाचे क्षेत्रफळ इ.स.पू. २,किंवा AB 2 + एसी २ = इ.स.पू. २.

भिन्नता वापरणे
भिन्नता वापरणे. उजवीकडील आकृतीमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे साइड गेन कर्णाच्या विशालतेवर कसा परिणाम करते याचा अभ्यास करून आणि थोडी गणना करून पायथागोरियन प्रमेय गाठला जाऊ शकतो.
बाजूने वाढ झाल्यामुळे एकअसीम वाढीसाठी समान त्रिकोणांचे

समाकलित करणे आम्हाला मिळते

तर a= 0 नंतर c = ब,म्हणून "स्थिर" आहे b 2.मग

तुम्ही बघू शकता की, वाढ आणि बाजू यांच्यातील गुणोत्तरामुळे वर्ग मिळतात, तर बेरीज ही बाजूंच्या वाढीच्या स्वतंत्र योगदानाचा परिणाम आहे, भौमितिक पुराव्यांवरून स्पष्ट नाही. या समीकरणांमध्ये daआणि डीसी- अनुक्रमे, बाजूंच्या अनंत लहान वाढ aआणि cपण त्याऐवजी आपण वापरतो का? aआणि? क,मग गुणोत्तराची मर्यादा शून्याकडे झुकल्यास da / डीसी,व्युत्पन्न, आणि समान आहे c / एकत्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबीचे गुणोत्तर, परिणामी आपल्याला एक विभेदक समीकरण मिळते.
सदिशांच्या ऑर्थोगोनल प्रणालीच्या बाबतीत, समानता धारण करते, ज्याला पायथागोरियन प्रमेय देखील म्हणतात:

जर - हे समन्वय अक्षांवर वेक्टरचे प्रक्षेपण आहे, तर हे सूत्र युक्लिडियन अंतराशी जुळते आणि याचा अर्थ व्हेक्टरची लांबी त्याच्या घटकांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या वर्गमूळाच्या समान आहे.
सदिशांच्या अमर्याद प्रणालीच्या बाबतीत या समानतेच्या अॅनालॉगला पारसेव्हलची समानता म्हणतात.

पायथागोरियन प्रमेय

पुरावा

याक्षणी, या प्रमेयाचे 367 पुरावे वैज्ञानिक साहित्यात नोंदवले गेले आहेत. कदाचित पायथागोरियन प्रमेय हे इतके प्रभावी प्रमाण असलेले एकमेव प्रमेय आहे. ही विविधता केवळ भूमितीच्या प्रमेयाच्या मूलभूत अर्थाद्वारे स्पष्ट केली जाऊ शकते.
अर्थात, वैचारिकदृष्ट्या त्या सर्वांना थोड्या वर्गात विभागले जाऊ शकते. त्यापैकी सर्वात प्रसिद्ध आहेत: क्षेत्र पद्धतीनुसार पुरावे, स्वयंसिद्ध आणि विदेशी पुरावे (उदाहरणार्थ, भिन्न समीकरणे वापरणे).

समान त्रिकोणांद्वारे

बीजगणितीय सूत्रीकरणाचा खालील पुरावा थेट स्वयंसिद्धांवरून तयार केलेल्या पुराव्यांपैकी सर्वात सोपा आहे. विशेषतः, ते आकृतीच्या क्षेत्राची संकल्पना वापरत नाही.
ABC हा काटकोन C असलेला काटकोन त्रिकोण असू द्या. C वरून उंची काढा आणि त्याचा आधार H ने दर्शवा. त्रिकोण ACH दोन कोनांमध्ये त्रिकोण ABC सारखा आहे.
त्याचप्रमाणे CBH त्रिकोण ABC सारखा आहे. नोटेशन सादर करत आहे

आम्हाला मिळते

समतुल्य काय आहे

जोडणे, आम्हाला मिळते

किंवा

क्षेत्र पुरावा

खाली दिलेले पुरावे, दिसायला साधेपणा असूनही, इतके सोपे नाहीत. ते सर्व क्षेत्रफळाचे गुणधर्म वापरतात, ज्याचा पुरावा पायथागोरियन प्रमेयाच्या पुराव्यापेक्षा अधिक कठीण आहे.

समान पूरकता पुरावा

स्कॅटरिंग द्वारे पुरावा

अशा पुराव्यांपैकी एकाचे उदाहरण उजवीकडील रेखांकनात दाखवले आहे, जेथे कर्णावर बांधलेला चौरस क्रमपरिवर्तनाने पायांवर बांधलेल्या दोन चौरसांमध्ये बदलला जातो.

युक्लिडचा पुरावा

लिओनार्डो दा विंचीचा पुरावा

पुराव्याचे मुख्य घटक सममिती आणि गती आहेत.

रेखाचित्र विचारात घ्या, जसे की सममितीवरून पाहिले जाऊ शकते, सेगमेंट CI ABHJ स्क्वेअर दोन समान भागांमध्ये कापतो (कारण ABC आणि JHI त्रिकोण समान आहेत). घड्याळाच्या उलट दिशेने 90 अंश फिरवल्यास, CAJI आणि GDAB या छायांकित आकृत्या समान आहेत हे आपण पाहतो. आता हे स्पष्ट झाले आहे की छायांकित आकृतीचे क्षेत्रफळ पायांवर बांधलेल्या चौरसांच्या भागांच्या अर्ध्या भागांच्या बेरीज आणि मूळ त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या समान आहे. दुसरीकडे, हे कर्णावर बांधलेल्या चौरसाच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरच मूळ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे. पुराव्याची अंतिम पायरी वाचकांवर सोडली आहे.

पायथागोरसच्या थिओरेमचे सर्वात मनोरंजक पुरावे

पायथागोरियन प्रमेय हे युक्लिडियन भूमितीच्या मूलभूत प्रमेयांपैकी एक आहे, जे काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंमधील संबंध स्थापित करते. c2 = a2 + b2 हे प्रमेय सिद्ध करण्याचे बरेच मार्ग आहेत, परंतु आम्ही सर्वात मनोरंजक निवडले ...

वधूची खुर्ची चित्रात, पायांवर बांधलेले चौकोनी पायर्‍यांमध्ये दुसऱ्याच्या पुढे ठेवलेले आहेत. ही आकृती, जी 9व्या शतकापूर्वीच्या पुराव्यामध्ये आढळते. ई., भारतीयांना "वधूची खुर्ची" म्हणतात. कर्णाच्या बरोबरीची बाजू असलेला चौरस तयार करण्याचा मार्ग रेखाचित्रातून स्पष्ट होतो. पायांवर बांधलेले दोन चौरस आणि कर्णावर बांधलेला चौरस यांचा सामाईक भाग म्हणजे अनियमित छायांकित पंचकोन 5. त्यास त्रिकोण 1 आणि 2 जोडल्यास, आपल्याला दोन्ही पायांवर बांधलेले चौरस मिळतात; जर आपण त्रिकोण 1 आणि 2 च्या जागी समान त्रिकोण 3 आणि 4 ने केला तर आपल्याला कर्णावर बांधलेला चौरस मिळेल. खालील आकृत्या पहिल्या आकृतीत दिलेल्या स्थानाच्या जवळपास दोन भिन्न स्थाने दर्शवितात.

भारतीय गणितज्ञ भास्करीचा पुरावा आकृतीत दाखवलेल्या चौकोनाचा विचार करा. स्क्वेअरची बाजू b च्या बरोबरीची आहे, आकृतीमध्ये दाखवल्याप्रमाणे, a आणि c चे पाय असलेले 4 मूळ त्रिकोण चौरसावर सुपरइम्पोज केलेले आहेत. मध्यभागी असलेल्या लहान चौकोनाची बाजू c - a, नंतर: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + c2

पायथागोरियन प्रमेयाचा सर्वात सोपा पुरावा. आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या चौरसाचा विचार करा. चौरसाची बाजू a + c आहे. एका प्रकरणात (डावीकडे), चौकोनाची बाजू b असलेल्या चौकोनात आणि पाय a आणि c सह चार काटकोन त्रिकोणामध्ये विभागली जाते. दुस-या बाबतीत (उजवीकडे), चौरस अ आणि c बाजू असलेल्या दोन चौरसांमध्ये आणि पाय a आणि c सह चार काटकोन त्रिकोणांमध्ये विभागलेला आहे. अशा प्रकारे, आपल्याला आढळते की बाजू b असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ a आणि c बाजू असलेल्या चौरसांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके आहे.

समान त्रिकोणांद्वारे पुरावा ABC हा काटकोन C असलेला काटकोन त्रिकोण असू द्या. C पासून उंची काढा आणि त्याचा पाया H ने दर्शवा. त्रिकोण ACH दोन कोनांमध्ये त्रिकोण ABC सारखा आहे. त्याचप्रमाणे CBH त्रिकोण ABC सारखा आहे. नोटेशनचा परिचय करून देताना, आम्ही जे समतुल्य आहे ते मिळवतो. जोडून, ​​आम्ही एकतर मिळवतो

हॉकिन्सचा पुरावा येथे आणखी एक पुरावा आहे, जो संगणकीय स्वरूपाचा आहे, परंतु मागील सर्व पुराव्यांपेक्षा खूप वेगळा आहे. हे इंग्रज हॉकिन्स यांनी १९०९ मध्ये प्रकाशित केले होते; हे आधी माहीत होते की नाही हे सांगणे कठीण आहे. काटकोन त्रिकोण ABC ला काटकोन C सह 90° ने फिरवा म्हणजे ते A "CB" स्थान घेईल. कर्ण A "B" बिंदू A च्या पलीकडे वाढवू या जोपर्यंत तो बिंदू D मधून AB ला छेदत नाही. B "AB" त्रिकोणाची उंची खंड B" D असेल. आता छायांकित चौकोन A" AB" B चा विचार करा. ते असू शकते. दोन समद्विभुज त्रिकोण CAA" आणि SVB" (किंवा दोन त्रिकोण A"B"A आणि A"B"B) मध्ये विघटित. SCAA" = b² / 2 SCBB "= a² / 2 SA" AB "B = (a² + b²) / 2 त्रिकोण A" B " A आणि A "B" B चा सामान्य पाया c आणि उंची DA आणि DB आहे, म्हणून: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ) / 2 = c² / 2 क्षेत्रासाठी मिळालेल्या दोन अभिव्यक्तींची तुलना केल्यास, आम्हाला मिळते: a ² + b ² = c ² प्रमेय सिद्ध झाला आहे.

वोल्डहेमचा पुरावा हा पुरावा संगणकीय स्वरूपाचा आहे. पहिल्या आकृतीचा वापर करून प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी, ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र दोन प्रकारे व्यक्त करणे पुरेसे आहे. स्ट्रेपेझियम = (a + b) ² / 2 स्ट्रेपेझियम = a²b² + c² / 2 उजव्या बाजूच्या समीकरण केल्यास आपल्याला मिळते: a² + b² = c² हे प्रमेय सिद्ध झाले आहे.