सापेक्ष मापन त्रुटीची गणना. मोजमाप त्रुटींची गणना

1. परिचय

रसायनशास्त्रज्ञ, भौतिकशास्त्रज्ञ आणि इतर नैसर्गिक विज्ञान व्यवसायांच्या प्रतिनिधींच्या कार्यामध्ये बऱ्याचदा विविध प्रमाणात परिमाणवाचक मोजमाप करणे समाविष्ट असते. या प्रकरणात, प्राप्त मूल्यांच्या विश्वासार्हतेचे विश्लेषण करणे, थेट मोजमापांच्या परिणामांवर प्रक्रिया करणे आणि थेट मोजलेल्या वैशिष्ट्यांच्या मूल्यांचा वापर करणाऱ्या गणनांच्या त्रुटींचे मूल्यांकन करण्याचा प्रश्न उद्भवतो (नंतरच्या प्रक्रियेला परिणामांची प्रक्रिया देखील म्हणतात. अप्रत्यक्षमोजमाप). अनेक वस्तुनिष्ठ कारणांमुळे, मॉस्को स्टेट युनिव्हर्सिटीच्या रसायनशास्त्र विद्याशाखेच्या पदवीधरांचे ज्ञान त्रुटींची गणना करण्याबद्दल नेहमीच प्राप्त डेटाच्या योग्य प्रक्रियेसाठी पुरेसे नसते. यापैकी एक कारण म्हणजे मोजमाप निकालांच्या सांख्यिकीय प्रक्रियेवरील अभ्यासक्रमाच्या संकाय अभ्यासक्रमात अनुपस्थिती.

या टप्प्यावर, त्रुटींची गणना करण्याच्या समस्येचा अर्थातच सखोल अभ्यास केला गेला आहे. मोठ्या संख्येने पद्धतशीर घडामोडी, पाठ्यपुस्तके इत्यादी आहेत, ज्यामध्ये आपण त्रुटींची गणना करण्याबद्दल माहिती शोधू शकता. दुर्दैवाने, यापैकी बहुतेक कामे अतिरिक्त आणि नेहमी आवश्यक नसलेल्या माहितीसह ओव्हरलोड असतात. विशेषतः, विद्यार्थ्यांच्या कार्यशाळांच्या बहुतेक कामांना नमुन्यांची तुलना करणे, अभिसरणाचे मूल्यांकन करणे इत्यादीसारख्या क्रियांची आवश्यकता नसते. म्हणून, सर्वात वारंवार वापरल्या जाणाऱ्या गणनेसाठी अल्गोरिदमची रूपरेषा देणारा एक संक्षिप्त विकास तयार करणे योग्य वाटते, जे हा विकास आहे. साठी समर्पित आहे.

2. या कामात नोटेशन स्वीकारले

मोजलेले मूल्य, - मोजलेल्या मूल्याचे सरासरी मूल्य, - मोजलेल्या मूल्याच्या सरासरी मूल्याची परिपूर्ण त्रुटी, - मोजलेल्या मूल्याच्या सरासरी मूल्याची सापेक्ष त्रुटी.

3. थेट मोजमापांच्या त्रुटींची गणना

तर, ते पार पाडले गेले असे गृहीत धरूया n समान परिस्थितीत समान परिमाणाचे मोजमाप. या प्रकरणात, आपण घेतलेल्या मोजमापांमध्ये या मूल्याच्या सरासरी मूल्याची गणना करू शकता:

(1)

त्रुटीची गणना कशी करावी? खालील सूत्रानुसार:

(2)

हे सूत्र विद्यार्थी गुणांक वापरते. त्याची मूल्ये वेगवेगळ्या आत्मविश्वासाच्या संभाव्यतेवर आणि मूल्ये दिली आहेत.

३.१. थेट मोजमापांच्या त्रुटींची गणना करण्याचे उदाहरण:

कार्य.

मेटल बारची लांबी मोजली गेली. 10 मोजमाप केले गेले आणि खालील मूल्ये प्राप्त झाली: 10 मिमी, 11 मिमी, 12 मिमी, 13 मिमी, 10 मिमी, 10 मिमी, 11 मिमी, 10 मिमी, 10 मिमी, 11 मिमी. मोजलेल्या प्रमाणाचे सरासरी मूल्य (बारची लांबी) आणि त्याची त्रुटी शोधणे आवश्यक आहे.

उपाय.

सूत्र (1) वापरून आम्हाला आढळते:

मिमी

आता, सूत्र (2) वापरून, आम्हाला आत्मविश्वास संभाव्यतेसह आणि स्वातंत्र्याच्या अंशांच्या संख्येसह सरासरी मूल्याची परिपूर्ण त्रुटी आढळते (आम्ही मूल्य = 2.262 वापरतो, येथून घेतलेले):

चला निकाल लिहू:

१०.८±०.७ ०.९५ मिमी

4. अप्रत्यक्ष मोजमापांच्या त्रुटींची गणना

चला असे गृहीत धरू की प्रयोगादरम्यान परिमाण मोजले जातात , आणि नंतर c प्राप्त मूल्यांचा वापर करून, सूत्र वापरून मूल्य मोजले जाते . या प्रकरणात, परिच्छेद 3 मध्ये वर्णन केल्याप्रमाणे थेट मोजलेल्या परिमाणांच्या त्रुटींची गणना केली जाते.

वितर्कांची सरासरी मूल्ये वापरून अवलंबनानुसार प्रमाणाच्या सरासरी मूल्याची गणना केली जाते.

त्रुटी मूल्याची गणना खालील सूत्र वापरून केली जाते:

,(3)

वितर्कांची संख्या कुठे आहे, वितर्कांच्या संदर्भात फंक्शनचे आंशिक व्युत्पन्न आहे, वितर्काच्या सरासरी मूल्याची परिपूर्ण त्रुटी आहे.

थेट मोजमापाच्या बाबतीत जसे परिपूर्ण त्रुटी, सूत्र वापरून मोजली जाते.

४.१. थेट मोजमापांच्या त्रुटींची गणना करण्याचे उदाहरण:

कार्य.

5 परिमाणांचे थेट मोजमाप आणि केले गेले. मूल्यासाठी खालील मूल्ये प्राप्त झाली: 50, 51, 52, 50, 47; प्रमाणासाठी खालील मूल्ये प्राप्त झाली: 500, 510, 476, 354, 520. सूत्राद्वारे निर्धारित केलेल्या प्रमाणाच्या मूल्याची गणना करणे आणि प्राप्त मूल्याची त्रुटी शोधणे आवश्यक आहे.

भौतिकशास्त्र हे एक प्रायोगिक विज्ञान आहे, ज्याचा अर्थ असा आहे की प्रायोगिक डेटा जमा करून आणि तुलना करून भौतिक नियम स्थापित केले जातात आणि सत्यापित केले जातात. भौतिकशास्त्र कार्यशाळेचा उद्देश विद्यार्थ्यांनी अनुभवाद्वारे मूलभूत भौतिक घटनांचा अभ्यास करणे, भौतिक प्रमाणांची संख्यात्मक मूल्ये अचूकपणे मोजण्यास शिकणे आणि त्यांची सैद्धांतिक सूत्रांशी तुलना करणे हा आहे.

सर्व मोजमाप दोन प्रकारांमध्ये विभागले जाऊ शकतात - सरळआणि अप्रत्यक्ष.

येथे थेटमोजमापांमध्ये, इच्छित प्रमाणाचे मूल्य थेट मोजमाप यंत्राच्या वाचनातून प्राप्त केले जाते. तर, उदाहरणार्थ, लांबी एका शासकाने मोजली जाते, वेळ घड्याळाने मोजली जाते इ.

जर इच्छित भौतिक प्रमाण यंत्राद्वारे थेट मोजता येत नसेल, परंतु सूत्र वापरून मोजलेल्या परिमाणांद्वारे व्यक्त केले गेले असेल, तर अशा मोजमापांना म्हणतात. अप्रत्यक्ष.

कोणत्याही प्रमाणाचे मोजमाप केल्याने त्या परिमाणाचे अचूक मूल्य मिळत नाही. प्रत्येक मापनात नेहमी काही त्रुटी (त्रुटी) असतात. त्रुटी म्हणजे मोजलेले आणि खरे मूल्य यांच्यातील फरक.

त्रुटी सहसा विभागल्या जातात पद्धतशीरआणि यादृच्छिक.

पद्धतशीरएक त्रुटी म्हणतात जी संपूर्ण मापन मालिकेत स्थिर राहते. अशा त्रुटी मोजण्याचे साधन (उदाहरणार्थ, डिव्हाइसचे शून्य ऑफसेट) किंवा मापन पद्धतीच्या अपूर्णतेमुळे उद्भवतात आणि तत्त्वतः, योग्य सुधारणा सादर करून अंतिम निकालातून वगळले जाऊ शकतात.

पद्धतशीर त्रुटींमध्ये मोजमाप यंत्रांची त्रुटी देखील समाविष्ट आहे. कोणत्याही उपकरणाची अचूकता मर्यादित असते आणि ती त्याच्या अचूकतेच्या वर्गाद्वारे दर्शविली जाते, जी सामान्यतः मोजमाप स्केलवर दर्शविली जाते.

यादृच्छिकभिन्न प्रयोगांमध्ये बदलणारी आणि सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही असू शकते अशी त्रुटी म्हणतात. यादृच्छिक त्रुटी अशा कारणांमुळे होतात जे मापन यंत्रावर (घर्षण, अंतर इ.) आणि बाह्य परिस्थितींवर (कंपन, नेटवर्कमधील व्होल्टेज चढ-उतार इ.) या दोन्हीवर अवलंबून असतात.

यादृच्छिक त्रुटी प्रायोगिकरित्या वगळल्या जाऊ शकत नाहीत, परंतु वारंवार मोजमाप करून परिणामावरील त्यांचा प्रभाव कमी केला जाऊ शकतो.

थेट मोजमापांमधील त्रुटीची गणना - सरासरी मूल्य आणि सरासरी परिपूर्ण त्रुटी.

आपण मानू या की आपण X मूल्याच्या मोजमापांची मालिका करतो. यादृच्छिक त्रुटींच्या उपस्थितीमुळे, आपल्याला प्राप्त होते nभिन्न अर्थ:

X 1, X 2, X 3… X n

सरासरी मूल्य सामान्यतः मापन परिणाम म्हणून घेतले जाते

सरासरी आणि निकाल यातील फरक मी -या मोजमापाची आम्ही संपूर्ण त्रुटी म्हणू

सरासरी मूल्याच्या त्रुटीचे मोजमाप म्हणून, आपण वैयक्तिक मोजमापाच्या परिपूर्ण त्रुटीचे सरासरी मूल्य घेऊ शकतो.

(2)

विशालता
अंकगणित मीन (किंवा परिपूर्ण) त्रुटी म्हणतात.

मग मापन परिणाम फॉर्ममध्ये लिहावे

(3)

मोजमापांची अचूकता दर्शवण्यासाठी, सापेक्ष त्रुटी वापरली जाते, जी सहसा टक्केवारी म्हणून व्यक्त केली जाते

(4)

मोजमापातील पद्धतशीर त्रुटी नगण्य असू द्या. जेव्हा मोजमाप मोठ्या संख्येने (n→∞) केले जाते तेव्हा प्रकरणाचा विचार करूया.

अनुभव दर्शविल्याप्रमाणे, मापन परिणामांचे विचलन त्यांच्या सरासरी मूल्याच्या वर किंवा खाली समान आहे. सरासरी मूल्यातील लहान विचलनांसह मोजमाप परिणाम मोठ्या विचलनांपेक्षा जास्त वेळा पाहिले जातात.

मापन परिणामांची सर्व संख्यात्मक मूल्ये चढत्या क्रमाने क्रमाने मांडू आणि या मालिकेला समान अंतराने विभागू.
. द्या - अंतराच्या आत परिणामांसह मोजमापांची संख्या [
]. विशालता
मध्यांतरातील मूल्यासह परिणाम मिळविण्याची ΔP i (x) संभाव्यता आहे [
].

ते ग्राफिक पद्धतीने मांडू
, प्रत्येक मध्यांतराशी संबंधित [
] (आकृती क्रं 1). आकृती 1 मध्ये दर्शविलेल्या चरणबद्ध वक्रला हिस्टोग्राम म्हणतात. आपण असे गृहीत धरू की मोजमाप यंत्रात अत्यंत उच्च संवेदनशीलता आहे. नंतर मध्यांतराची रुंदी अनंत dx केली जाऊ शकते. या प्रकरणात चरणबद्ध वक्र फंक्शन φ(x) (चित्र 2) द्वारे दर्शविलेल्या वक्रने बदलले आहे. फंक्शन φ(x) ला सहसा वितरण घनता फंक्शन म्हणतात. त्याचा अर्थ असा आहे की उत्पादन φ(x)dx हे x ते x+dx श्रेणीतील मूल्यासह परिणाम मिळविण्याची संभाव्यता dP(x) आहे. ग्राफिकदृष्ट्या, संभाव्यता मूल्य हे छायांकित आयताचे क्षेत्रफळ म्हणून दर्शविले जाते. विश्लेषणात्मकपणे, वितरण घनता कार्य खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

. (5)

(5) फॉर्ममध्ये सादर केलेल्या फंक्शन φ(x) ला गॉसियन फंक्शन म्हणतात, आणि मापन परिणामांचे संबंधित वितरण गॉसियन किंवा सामान्य आहे.

पर्याय
आणि σ चा खालील अर्थ आहे (चित्र 2).

- मापन परिणामांचे सरासरी मूल्य. येथे
=
गॉसियन फंक्शन त्याच्या कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते. जर परिमाणांची संख्या अमर्यादपणे मोठी असेल तर
मोजलेल्या परिमाणाच्या खऱ्या मूल्याच्या बरोबरीचे.

σ - त्यांच्या सरासरी मूल्यावरून मोजमाप परिणामांच्या स्कॅटरची डिग्री दर्शवते. सूत्र वापरून σ पॅरामीटरची गणना केली जाते:

. (6)

हे पॅरामीटर रूट मीन स्क्वेअर एरर दर्शवते. संभाव्यता सिद्धांतातील प्रमाण σ 2 ला फंक्शनचे फैलाव φ(x) म्हणतात.

मापन अचूकता जितकी जास्त असेल तितके मापन परिणाम मोजलेल्या परिमाणाच्या खऱ्या मूल्याच्या जवळ असतील आणि म्हणून, σ लहान.

फंक्शनचे स्वरूप φ(x) निश्चितपणे परिमाणांच्या संख्येवर अवलंबून नाही.

संभाव्यता सिद्धांत दर्शवितो की सर्व मोजमापांपैकी 68% मध्यांतरात, 95% मध्यांतर आणि 99.7% मध्यांतरात परिणाम देईल.

अशा प्रकारे, 68% च्या संभाव्यतेसह (विश्वसनीयता) सरासरी मूल्यापासून मोजमाप परिणामाचे विचलन मध्यांतर [
], 95% च्या संभाव्यतेसह (विश्वसनीयता) - मध्यांतरात [
] आणि 99.7% च्या संभाव्यतेसह (विश्वसनीयता) - मध्यांतरात [
].

सरासरी मूल्यापासून विचलनाच्या विशिष्ट संभाव्यतेशी संबंधित मध्यांतराला आत्मविश्वास म्हणतात.

वास्तविक प्रयोगांमध्ये, परिमाणांची संख्या स्पष्टपणे अमर्यादपणे मोठी असू शकत नाही, म्हणून हे संभव नाही
मोजलेल्या मूल्याच्या खऱ्या मूल्याशी जुळते
. या संदर्भात, संभाव्यता सिद्धांताच्या आधारे, संभाव्य विचलनाच्या विशालतेचा अंदाज लावणे महत्त्वाचे आहे.
पासून
.

गणना दर्शविते की जेव्हा मोजमापांची संख्या 68% च्या संभाव्यतेसह 20 पेक्षा जास्त असते
कॉन्फिडन्स इंटरव्हलमध्ये येते [
], 95% च्या संभाव्यतेसह - मध्यांतरात [
], 99.7% च्या संभाव्यतेसह - मध्यांतरात [
].

विशालता , जे आत्मविश्वास मध्यांतराच्या सीमा परिभाषित करते, त्याला मानक विचलन किंवा फक्त मानक म्हणतात.

मानक सूत्रानुसार गणना:

. (7)

सूत्र (6) विचारात घेतल्यास, अभिव्यक्ती (7) खालील फॉर्म घेते:

. (8)

n ची संख्या जितकी जास्त असेल तितका X जवळ असेल
. जर मोजमापांची संख्या मोठी नसेल, 15 पेक्षा कमी असेल, तर गौसियन वितरणाऐवजी, विद्यार्थी वितरण वापरले जाते, ज्यामुळे X च्या संभाव्य विचलनाच्या आत्मविश्वास मध्यांतराच्या रुंदीमध्ये वाढ होते
int n, p वेळा.

t n, p या घटकाला विद्यार्थी गुणांक म्हणतात. P आणि n निर्देशांक कोणत्या विश्वासार्हतेसह आणि किती मोजमापांच्या संख्येशी विद्यार्थी गुणांक जुळतात ते दर्शवतात. दिलेल्या मोजमापांची संख्या आणि दिलेल्या विश्वासार्हतेसाठी विद्यार्थी गुणांकाचे मूल्य तक्ता 1 नुसार निर्धारित केले जाते.

तक्ता 1

विद्यार्थ्याचे गुणांक.

उदाहरणार्थ, दिलेल्या विश्वासार्हतेसह 95% आणि मोजमापांची संख्या n = 20, विद्यार्थ्याचे गुणांक t 20.95 = 2.1 (आत्मविश्वास मध्यांतर
) मोजमापांच्या संख्येसह n=4, t 4.95 =3.2 (आत्मविश्वास मध्यांतर
). म्हणजेच, मोजमापांच्या संख्येत 4 ते 20 पर्यंत वाढ झाल्यास, संभाव्य विचलन
fromX 1.524 पट कमी होते.

खाली निरपेक्ष यादृच्छिक त्रुटीची गणना करण्याचे उदाहरण आहे

सूत्र (2) वापरून आपण मोजलेल्या मूल्याचे सरासरी मूल्य शोधतो
(भौतिक प्रमाणाचे परिमाण दर्शविल्याशिवाय)

.

सूत्र (8) वापरून आम्ही मानक विचलनाची गणना करतो

.

विद्यार्थ्याचे गुणांक n=6, आणि P=95%, t 6.95 =2.6 अंतिम निकालासाठी निर्धारित केले:

X=20.1±2.6·0.121=20.1±0.315 (P=95% सह).

आम्ही संबंधित त्रुटीची गणना करतो:

.

अंतिम मापन परिणाम रेकॉर्ड करताना, हे लक्षात घेतले पाहिजे की त्रुटीमध्ये फक्त एक महत्त्वपूर्ण आकृती (शून्य व्यतिरिक्त) असणे आवश्यक आहे. त्रुटीमधील दोन महत्त्वपूर्ण आकडे केवळ उपांत्य आकृती 1 असल्यासच नोंदवले जातात. मोठ्या संख्येने महत्त्वपूर्ण आकडे नोंदवणे निरुपयोगी आहे, कारण ते विश्वसनीय नसतील. मोजलेल्या मूल्याच्या सरासरी मूल्याच्या रेकॉर्डिंगमध्ये, शेवटचा अंक त्रुटीच्या रेकॉर्डिंगमधील शेवटच्या अंकाशी संबंधित असणे आवश्यक आहे.

X=(243±5)·10 2;

X=232.567±0.003.

अनेक मोजमाप घेतल्यास समान परिणाम मिळू शकतो. मापन यंत्राची संवेदनशीलता कमी असल्यास हे शक्य आहे. जेव्हा मोजमाप कमी संवेदनशीलता असलेल्या उपकरणाने केले जाते, तेव्हा एकच मोजमाप पुरेसे असते. उदाहरणार्थ, सेंटीमीटर विभाजनांसह टेप मापाने टेबलची लांबी वारंवार मोजण्यात काही अर्थ नाही. या प्रकरणात मापन परिणाम समान असेल. एकल मापन दरम्यान त्रुटी डिव्हाइसच्या सर्वात लहान विभागाच्या मूल्याद्वारे निर्धारित केली जाते. त्याला इन्स्ट्रुमेंट एरर म्हणतात. त्याचा अर्थ
खालील सूत्र वापरून गणना केली जाते:

, (10)

जेथे γ ही उपकरणाची विभागणी किंमत आहे;

t ∞, p – अनंत मोठ्या संख्येच्या मोजमापांशी संबंधित विद्यार्थी गुणांक.

इन्स्ट्रुमेंट त्रुटी लक्षात घेऊन, दिलेल्या विश्वासार्हतेसह परिपूर्ण त्रुटी सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते:

, (11)

कुठे
.

सूत्रे (8) आणि (10), (11) विचारात घेऊन खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

. (12)

साहित्यात, रेकॉर्ड लहान करण्यासाठी, त्रुटीची तीव्रता कधीकधी दर्शविली जात नाही. त्रुटीची परिमाण शेवटच्या लक्षणीय अंकांपैकी अर्धा आहे असे गृहीत धरले जाते. उदाहरणार्थ, पृथ्वीची त्रिज्या फॉर्ममध्ये लिहिली आहे
m. याचा अर्थ असा आहे की त्रुटी ± च्या समान मूल्य म्हणून घेतली पाहिजे
मी