Apakah sudut bersebelahan dan sifatnya. Sudut apa yang disebut bersebelahan? Berapakah jumlah dua sudut bersebelahan

Geometri adalah sains yang sangat pelbagai. Dia mengembangkan logik, imaginasi dan kecerdasan. Sudah tentu, kerana kerumitan dan sebilangan besar teorema dan aksioma, pelajar sekolah tidak selalu menyukainya. Di samping itu, terdapat keperluan untuk selalu membuktikan penemuan anda menggunakan standard dan peraturan yang diterima umum.

Sudut bersebelahan dan menegak tidak terpisahkan dengan geometri. Tentunya banyak pelajar sekolah hanya memujinya dengan alasan sifatnya jelas dan senang dibuktikan.

Membentuk sudut

Sebarang sudut dibentuk oleh persimpangan dua garis lurus atau dengan menarik dua sinar dari satu titik. Mereka dapat disebut satu huruf atau tiga, yang secara berturut-turut menentukan titik sudut.

Sudut diukur dalam darjah dan boleh (bergantung pada nilainya) disebut secara berbeza. Jadi, ada sudut yang tepat, akut, tidak jelas dan terbentang. Setiap nama sesuai dengan ukuran darjah atau selang masa.

Sudut disebut akut, ukurannya tidak melebihi 90 darjah.

Sudut tidak jelas lebih dari 90 darjah.

Sudut dipanggil tepat apabila ukuran darjahnya 90.

Sekiranya ia dibentuk oleh satu garis pepejal, dan ukuran darjatnya adalah 180, ia disebut tidak terbentang.

Sudut yang mempunyai sisi yang sama, sebelah yang saling bersambung, disebut bersebelahan. Mereka boleh menjadi tajam atau tumpul. Persimpangan garis membentuk sudut bersebelahan. Harta tanahnya adalah seperti berikut:

1. Jumlah sudut ini akan sama dengan 180 darjah (ada teorem yang membuktikannya). Oleh itu, salah satu daripadanya dapat dikira dengan mudah jika yang lain diketahui.
2. Dari sudut pertama, sudut bersebelahan tidak dapat dibentuk oleh dua sudut tajam atau dua sudut akut.

Berkat sifat-sifat ini, anda sentiasa dapat mengira ukuran darjah sudut, mempunyai nilai sudut lain, atau sekurang-kurangnya nisbah antara keduanya.

Sudut menegak

Sudut, sisinya adalah kesinambungan antara satu sama lain, disebut menegak. Mana-mana jenis mereka boleh bertindak sebagai pasangan. Sudut menegak selalu sama antara satu sama lain.

Mereka terbentuk di persimpangan garis lurus. Sudut bersebelahan selalu ada bersama-sama dengan mereka. Sudut secara bersamaan boleh bersebelahan dengan satu dan menegak ke yang lain.

Semasa melintasi garis sewenang-wenangnya, beberapa jenis sudut juga dipertimbangkan. Garis seperti itu disebut pemisah, dan membentuk sudut sepihak dan silang silang yang sepadan. Mereka sama. Mereka dapat dilihat berdasarkan sifat yang dimiliki oleh sudut menegak dan bersebelahan.

Oleh itu, topik sudut nampaknya agak sederhana dan mudah. Semua sifatnya senang diingat dan dibuktikan. Menyelesaikan masalah tidak sukar selagi sudut sesuai dengan nilai berangka. Sudah lebih jauh, ketika kajian mengenai dosa dan cos bermula, anda harus menghafal banyak rumus rumit, kesimpulan dan akibatnya. Sehingga masa itu, anda hanya dapat menikmati tugas mudah di mana anda perlu mencari sudut yang berdekatan.

Dua sudut disebut bersebelahan jika mereka mempunyai satu persamaan, dan sisi lain dari sudut ini adalah sinar tambahan. Pada Rajah 20, sudut AOB dan BOC bersebelahan.

Jumlah sudut bersebelahan ialah 180 °

Teorema 1. Jumlah sudut bersebelahan ialah 180 °.

Bukti. Rasuk OB (lihat Gambar 1) melintasi antara sisi sudut yang tidak dilipat. Oleh itu ∠ AOB + ∠ BOC = 180 °.

Dari Teorem 1 menunjukkan bahawa jika dua sudut sama, maka sudut yang berdekatan dengannya sama.

Sudut menegak sama

Dua sudut dipanggil menegak jika sisi satu sudut adalah sinar pelengkap sisi yang lain. Sudut AOB dan COD, BOD dan AOC, yang terbentuk di persimpangan dua garis lurus, adalah menegak (Gamb. 2).

Teorem 2. Sudut menegak sama.

Bukti. Pertimbangkan sudut menegak AOB dan COD (lihat Gambar 2). BOD sudut bersebelahan dengan setiap sudut AOB dan COD. Oleh Teorem 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Oleh itu kami menyimpulkan bahawa ∠ AOB = ∠ COD.

Akibat 1. Sudut bersebelahan dengan sudut kanan adalah sudut tepat.

Pertimbangkan dua garis lurus yang bersilang AC dan BD (Gamb. 3). Mereka membentuk empat penjuru. Sekiranya salah satu daripadanya lurus (sudut 1 pada Gambar 3), maka sudut lain juga tepat (sudut 1 dan 2, 1 dan 4 bersebelahan, sudut 1 dan 3 adalah menegak). Dalam kes ini, mereka mengatakan bahawa garis-garis ini bersilang pada sudut tepat dan disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus). Tegangan lurus garis lurus AC dan BD ditetapkan seperti berikut: AC ⊥ BD.

Titik tengah tegak lurus ke segmen adalah garis lurus tegak lurus ke segmen ini dan melewati titik tengahnya.

AH - tegak lurus dengan garis lurus

Pertimbangkan garis lurus a dan titik A yang tidak terletak di atasnya (Gamb. 4). Mari sambungkan titik A dengan segmen dengan titik H pada garis lurus a. Segmen AH disebut sebagai tegak lurus yang ditarik dari titik A ke garis jika garis AH dan tegak lurus. Titik H dipanggil asas tegak lurus.

Petak lukisan

Teorema berikut adalah benar.

Teorema 3. Dari mana-mana titik yang tidak berbaring, seseorang dapat menarik garis tegak lurus ke garis ini, dan lebih-lebih lagi, hanya satu.

Untuk melukis tegak lurus dari titik ke garis lurus dalam gambar, gunakan kotak lukisan (Gamb. 5).

Komen. Penyataan teorema biasanya terdiri daripada dua bahagian. Satu bahagian membincangkan apa yang diberikan. Bahagian ini dipanggil keadaan teorema. Bahagian lain membincangkan apa yang perlu dibuktikan. Bahagian ini dipanggil kesimpulan teorema. Sebagai contoh, keadaan Theorem 2 adalah bahawa sudut adalah menegak; kesimpulan - sudut ini sama.

Teorema apa pun dapat dinyatakan secara terperinci dengan kata-kata sehingga kondisinya akan dimulai dengan kata "if", dan kesimpulan dengan kata "kemudian". Sebagai contoh, Teorem 2 dapat dinyatakan secara terperinci seperti berikut: "Sekiranya dua sudut menegak, maka sama."

Contoh 1. Salah satu sudut bersebelahan adalah 44 °. Apa yang lain sama?

Keputusan. Kami menunjukkan ukuran darjah sudut lain dengan x, kemudian menurut Teorem 1.
44 ° + x = 180 °.
Menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kita dapati bahawa x = 136 °. Oleh itu, sudut yang lain ialah 136 °.

Contoh 2. Biarkan sudut COD dalam Rajah 21 menjadi 45 °. Apakah sudut AOB dan AOC?

Keputusan. Sudut COD dan AOB adalah menegak, oleh itu, oleh Teorem 1.2, mereka sama, iaitu ∠ AOB = 45 °. Sudut AOC bersebelahan dengan sudut COD, oleh itu, oleh Teorema 1.
∠ AOC = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

Contoh 3. Cari sudut bersebelahan jika salah satunya adalah 3 kali lebih besar daripada yang lain.

Keputusan. Marilah kita menunjukkan ukuran darjah sudut yang lebih kecil hingga x. Maka ukuran darjah sudut yang lebih besar akan menjadi Zx. Oleh kerana jumlah sudut bersebelahan adalah 180 ° (Teorema 1), maka x + 3x = 180 °, di mana x = 45 °.
Ini bermaksud bahawa sudut bersebelahan adalah 45 ° dan 135 °.

Contoh 4. Jumlah kedua sudut menegak ialah 100 °. Cari besarnya setiap empat sudut.

Keputusan. Biarkan gambar 2 sesuai dengan keadaan masalahnya. Sudut menegak COD hingga AOB adalah sama (Teorema 2), oleh itu, ukuran darjah mereka juga sama. Oleh itu, ∠ COD = ∠ AOB = 50 ° (jumlahnya mengikut syarat adalah 100 °). Sudut BOD (juga sudut AOC) berdekatan dengan sudut COD, dan oleh itu, oleh Teorem 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180 ° - 50 ° = 130 °.

Bermula dengan Sudut

Mari kita diberi dua sinar sewenang-wenangnya. Mari letakkan permulaan mereka di atas satu sama lain. Kemudian

Definisi 1

Sudut bermaksud dua sinar yang mempunyai asal yang sama.

Definisi 2

Titik yang merupakan asal sinar dalam definisi 3 disebut puncak sudut itu.

Sudut akan dilambangkan dengan tiga titik berikut: titik puncak, titik pada salah satu sinar dan titik pada sinar yang lain, dan puncak sudut ditulis di tengah penunjukannya (Gbr. 1).

Mari kita tentukan berapa nilai sudut.

Untuk melakukan ini, anda perlu memilih beberapa sudut "rujukan", yang akan kita ambil sebagai satu unit. Selalunya, sudut ini adalah sudut yang sama dengan bahagian $ \ frac (1) (180) $ dari sudut rata. Nilai ini dipanggil darjah. Setelah memilih sudut seperti itu, kita membandingkan sudut dengannya, yang nilainya perlu dijumpai.

Terdapat 4 jenis sudut:

Definisi 3

Sudut disebut akut jika kurang dari $ 90 ^ 0 $.

Definisi 4

Sudut disebut kabur jika lebih besar daripada $ 90 ^ 0 $.

Definisi 5

Sudut disebut terungkap jika sama dengan $ 180 ^ 0 $.

Definisi 6

Sudut disebut sudut kanan jika sama dengan $ 90 ^ 0 $.

Sebagai tambahan kepada jenis sudut yang dijelaskan di atas, anda boleh memilih jenis sudut yang saling berkaitan, iaitu, sudut menegak dan bersebelahan.

Sudut bersebelahan

Pertimbangkan sudut $ COB $ yang belum dibuka. Lukis sinar $ OA $ dari bucunya. Sinar ini akan memisahkan yang asal menjadi dua sudut. Kemudian

Definisi 7

Dua sudut akan disebut bersebelahan jika satu pasang sisi mereka adalah sudut maju, dan pasangan yang lain bertepatan (Gbr. 2).

Dalam kes ini, sudut $ COA $ dan $ BOA $ berdekatan.

Teorema 1

Jumlah sudut bersebelahan ialah $ 180 ^ 0 $.

Bukti.

Pertimbangkan Rajah 2.

Dengan definisi 7, sudut $ COB $ di dalamnya akan menjadi $ 180 ^ 0 $. Oleh kerana sepasang sisi kedua sudut bersebelahan bertepatan, sinar $ OA $ akan membahagi sudut yang belum dilipat dengan 2, oleh itu

$ ∠COA + ∠BOA = 180 ^ 0 $

Teorema itu dibuktikan.

Pertimbangkan untuk menyelesaikan masalah menggunakan konsep ini.

Contoh 1

Cari sudut $ C $ dari gambar di bawah

Dengan Definisi 7, kita melihat bahawa sudut $ BDA $ dan $ ADC $ berdekatan. Oleh itu, dengan Teorem 1, kita memperoleh

$ ∠BDA + ∠ADC = 180 ^ 0 $

$ ∠ADC = 180 ^ 0-∠BDA = 180〗 0-59 ^ 0 = 121 ^ 0 $

Dengan teorema jumlah sudut dalam segitiga, kita ada

$ ∠A + ∠ADC + ∠C = 180 ^ 0 $

$ ∠C = 180 ^ 0-∠A-∠ADC = 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 = 40 ^ 0 $

Jawapan: $ 40 ^ 0 $.

Sudut menegak

Pertimbangkan sudut yang dilancarkan $ AOB $ dan $ MOC $. Marilah kita menyelaraskan bucu mereka antara satu sama lain (iaitu meletakkan titik $ O "$ pada titik $ O $) supaya tidak satu pun sisi sudut ini bertepatan. Kemudian

Definisi 8

Dua sudut akan dipanggil menegak jika pasangan sisi mereka bersudut terbuka, dan nilainya bertepatan (Gbr. 3).

Dalam kes ini, sudut $ MOA $ dan $ BOC $ adalah menegak, dan sudut $ MOB $ dan $ AOC $ juga menegak.

Teorem 2

Sudut menegak sama antara satu sama lain.

Bukti.

Pertimbangkan Rajah 3. Mari kita buktikan, misalnya, bahawa sudut $ MOA $ sama dengan sudut $ BOC $.

Dua sudut terletak pada satu garis lurus dan mempunyai satu bucu disebut bersebelahan.

Jika tidak, jika jumlah dua sudut pada satu garis lurus adalah 180 darjah dan mereka mempunyai satu persamaan, maka ini adalah sudut bersebelahan.

1 sudut bersebelahan + 1 sudut bersebelahan = 180 darjah.

Sudut bersebelahan adalah dua sudut di mana satu sisi adalah umum dan dua sisi yang lain membentuk garis lurus secara amnya.

Jumlah dua sudut bersebelahan selalu 180 darjah. Contohnya, jika satu sudut 60 darjah, maka sudut kedua sama dengan 120 darjah (180-60).

Sudut AOC dan BOC adalah sudut bersebelahan, kerana semua syarat untuk ciri sudut bersebelahan dipenuhi:

1.OS adalah sisi umum dua sudut

2.AO adalah sisi sudut AOC, OV adalah sisi sudut BOC. Bersama-sama, sisi ini membentuk garis lurus AOB.

3. Sudut adalah dua dan jumlahnya sama dengan 180 darjah.

Mengingat kursus geometri sekolah, kita boleh mengatakan perkara berikut mengenai sudut bersebelahan:

sudut bersebelahan mempunyai satu sisi yang sama, dan dua sisi yang lain tergolong dalam garis lurus yang sama, iaitu pada garis lurus yang sama. Sekiranya menurut gambar, maka sudut COB dan BOA adalah sudut bersebelahan, jumlahnya selalu 180, kerana mereka berbagi sudut yang tidak dilipat, dan sudut yang dilipat selalu 180.



Sudut bersebelahan adalah konsep mudah dalam geometri. Sudut bersebelahan, sudut ditambah sudut menambah hingga 180 darjah.

Dua sudut bersebelahan - ini akan menjadi satu sudut terbuka.

Terdapat beberapa lagi sifat. Mudah menyelesaikan masalah dan teorema dengan sudut yang berdekatan.

Sudut bersebelahan terbentuk apabila sinar diambil dari titik sewenang-wenang pada garis lurus. Kemudian titik sewenang-wenang ini berubah menjadi bucu sudut, sinar adalah sisi umum sudut bersebelahan, dan garis lurus dari mana sinar ditarik adalah dua sisi sudut bersebelahan yang tinggal. Sudut bersebelahan boleh sama dalam keadaan tegak lurus atau berbeza dalam hal rasuk serong. Sangat mudah untuk difahami bahawa jumlah sudut bersebelahan adalah 180 darjah, atau sekadar garis lurus. Dengan cara lain, sudut ini dapat dijelaskan dengan contoh mudah - pertama kali anda berjalan dalam satu arah dalam garis lurus, kemudian berubah fikiran, memutuskan untuk kembali dan berpusing 180 darjah dan berangkat sepanjang garis lurus yang sama dengan arah yang bertentangan .



Jadi apakah sudut bersebelahan? Definisi:

Bersebelahan adalah dua sudut dengan bucu yang sama dan satu sisi yang sama, dan dua sisi yang lain terletak pada garis lurus yang sama.



Dan pelajaran video kecil, di mana ia diperlihatkan secara wajar mengenai sudut bersebelahan, sudut menegak, ditambah dengan garis lurus tegak lurus, yang merupakan kes khas sudut bersebelahan dan menegak

Sudut bersebelahan adalah sudut di mana satu sisi adalah umum dan yang lain adalah satu garis.

Sudut bersebelahan adalah sudut yang saling bergantung antara satu sama lain. Maksudnya, jika sisi umum sedikit diputar, maka satu sudut akan menurun beberapa darjah dan secara automatik sudut kedua akan meningkat dengan darjah yang sama. Kekayaan sudut bersebelahan ini memungkinkan menyelesaikan pelbagai masalah dan membuktikan pelbagai teorema dalam Geometri.

Jumlah sudut bersebelahan selalu 180 darjah.



Dari kursus geometri, (sejauh yang saya ingat di kelas 6), dua sudut disebut bersebelahan, di mana satu sisi adalah umum, dan sisi lain adalah sinar tambahan, jumlah sudut bersebelahan adalah 180. Masing-masing dari dua bersebelahan sudut melengkapkan yang lain ke sudut yang diperluas. Contoh sudut berdekatan:



Sudut bersebelahan adalah dua penjuru dengan bucu yang sama, salah satu sisi yang umum, dan sisinya terletak pada satu garis lurus (tidak bertepatan). Jumlah sudut bersebelahan adalah seratus lapan puluh darjah. Secara amnya, semua ini sangat senang dijumpai di Google atau buku teks geometri.

1. Sudut bersebelahan.

Sekiranya kita memanjangkan sisi sudut mana pun di luar bucunya, kita mendapat dua sudut (Gamb. 72): ∠ABS dan ∠СВD, di mana satu sisi BC adalah biasa, dan dua sisi lain, AB dan BD, membentuk garis lurus.

Dua sudut di mana satu sisi adalah umum dan dua yang lain membentuk garis lurus disebut sudut bersebelahan.

Sudut bersebelahan juga dapat diperoleh dengan cara ini: jika kita menarik sinar dari beberapa titik pada garis lurus (tidak berbaring di garis lurus ini), maka kita mendapat sudut bersebelahan.

Contohnya, ∠ADF dan ∠FDB adalah sudut bersebelahan (Gamb. 73).

Sudut bersebelahan dapat memiliki berbagai posisi (rajah 74).

Sudut bersebelahan menambah sudut rata, jadi jumlah dua sudut bersebelahan ialah 180 °

Dari sini, sudut yang tepat dapat didefinisikan sebagai sudut yang sama dengan sudut yang berdekatan.

Dengan mengetahui nilai salah satu sudut bersebelahan, kita dapat mengetahui nilai sudut bersebelahan yang lain.

Sebagai contoh, jika salah satu sudut bersebelahan adalah 54 °, maka sudut kedua adalah:

180 ° - 54 ° = l26 °.

2. Sudut menegak.

Sekiranya kita memanjangkan sisi sudut melebihi bucunya, kita akan mendapat sudut menegak. Dalam Rajah 75, sudut EOF dan AOC adalah menegak; sudut AOE dan COF juga menegak.

Dua sudut dipanggil menegak jika sisi satu sudut adalah lanjutan dari sisi sudut yang lain.

Biarkan ∠1 = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° (Gamb. 76) ∠2 yang bersebelahan akan 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °, iaitu 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 °.

Dengan cara yang sama, anda boleh mengira sama dengan ∠3 dan ∠4.

∠3 = 180 ° - 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °;

∠4 = 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° = 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° (Gambar 77).

Kami melihat bahawa ∠1 = ∠3 dan ∠2 = ∠4.

Anda dapat menyelesaikan beberapa masalah yang sama, dan setiap kali anda mendapat hasil yang sama: sudut menegak sama antara satu sama lain.

Namun, untuk memastikan bahawa sudut menegak selalu sama antara satu sama lain, tidak cukup untuk mempertimbangkan contoh berangka individu, kerana kesimpulan yang diambil dari contoh tertentu kadang kala salah.

Adalah perlu untuk mengesahkan kesahihan sifat sudut menegak dengan bukti.

Buktinya dapat dilakukan seperti berikut (Gbr. 78):

∠a +∠c= 180 °;

∠b +∠c= 180 °;

(kerana jumlah sudut bersebelahan adalah 180 °).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(kerana sebelah kiri persamaan ini sama dengan 180 °, dan sebelah kanannya juga sama dengan 180 °).

Persamaan ini merangkumi sudut yang sama dari.

Sekiranya kita mengurangkan sama dari nilai yang sama, maka ia akan tetap sama. Hasilnya akan: ∠a = ∠b, iaitu, sudut menegak sama antara satu sama lain.

3. Jumlah sudut dengan bucu yang sama.

Dalam lukisan 79 ∠1, ∠2, ∠3 dan 4 terletak di satu sisi garis lurus dan mempunyai bucu yang sama pada garis lurus ini. Bersama-sama, sudut ini membentuk sudut yang dikerahkan, iaitu

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °.

Dalam lukisan, 80 1, ∠2, 3, ∠4, dan ∠5 mempunyai bucu yang sama. Sudut ini menambah jumlah sudut, iaitu ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360 °.