Contoh polinomial pemfaktoran. Cara memfaktorkan trinomial kuadratik: formula

rumah / Suami curang

Trinomial segi empat sama ialah polinomial dalam bentuk ax^2 + bx + c, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ≠ 0.

Untuk memfaktorkan trinomial, anda perlu mengetahui punca trinomial itu. (selanjutnya contoh pada trinomial 5x^2 + 3x- 2)

Nota: nilai trinomial kuadratik 5x^2 + 3x - 2 bergantung pada nilai x. Contohnya: Jika x = 0, maka 5x^2 + 3x - 2 = -2

Jika x = 2, maka 5x^2 + 3x - 2 = 24

Jika x = -1, maka 5x^2 + 3x - 2 = 0

Pada x = -1, trinomial segi empat sama 5x^2 + 3x - 2 hilang, dalam kes ini nombor -1 dipanggil punca bagi trinomial segi empat sama.

Bagaimana untuk mendapatkan punca persamaan

Mari kita terangkan bagaimana kita memperoleh punca persamaan ini. Pertama, anda perlu mengetahui dengan jelas teorem dan formula yang akan kami gunakan:

“Jika x1 dan x2 ialah punca-punca trinomial kuadratik ax^2 + bx + c, maka ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

Formula untuk mencari punca polinomial ini ialah formula paling primitif, yang mana anda tidak akan keliru menggunakan formula ini.

Ungkapan ialah 5x^2 + 3x – 2.

1. Samakan dengan sifar: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Cari punca persamaan kuadratik, untuk melakukan ini kita menggantikan nilai ke dalam formula (a ialah pekali X^2, b ialah pekali X, sebutan bebas, iaitu angka tanpa X ):

Kami mencari punca pertama dengan tanda tambah di hadapan punca kuasa dua:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

Punca kedua dengan tanda tolak di hadapan punca kuasa dua:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Jadi kita telah menemui punca trinomial kuadratik. Untuk memastikan bahawa ia betul, anda boleh menyemak: pertama kita menggantikan punca pertama ke dalam persamaan, kemudian yang kedua:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Jika, selepas menggantikan semua punca, persamaan menjadi sifar, maka persamaan itu diselesaikan dengan betul.

3. Sekarang mari kita gunakan formula daripada teorem: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), ingat bahawa X1 dan X2 ialah punca-punca persamaan kuadratik. Jadi: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. Untuk memastikan bahawa penguraian adalah betul, anda hanya boleh mendarabkan kurungan:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. Yang manakah mengesahkan ketepatan daripada keputusan itu.

Pilihan kedua untuk mencari akar trinomial segi empat sama

Pilihan lain untuk mencari punca trinomial segi empat sama ialah teorem songsang kepada teorem Viette. Di sini punca-punca persamaan kuadratik didapati menggunakan rumus: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Tetapi adalah penting untuk memahami bahawa teorem ini hanya boleh digunakan jika pekali a = 1, iaitu nombor di hadapan x^2 = 1.

Contohnya: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Kami menyelesaikan: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Sekarang adalah penting untuk memikirkan apakah nombor dalam produk memberikan satu? Sememangnya ini 1 * 1 Dan -1 * (-1) . Daripada nombor ini kita pilih nombor yang sepadan dengan ungkapan x1 + x2 = 2, sudah tentu - ini adalah 1 + 1. Jadi kita dapati punca-punca persamaan: x1 = 1, x2 = 1. Ini mudah untuk memeriksa sama ada kita gantikan x^2 ke dalam ungkapan - 2x + 1 = 0.

Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari cara memfaktorkan trinomial kuadratik kepada faktor linear. Untuk melakukan ini, kita perlu mengingati teorem Vieta dan sebaliknya. Kemahiran ini akan membantu kita dengan cepat dan mudah mengembangkan trinomial kuadratik kepada faktor linear, dan juga akan memudahkan pengurangan pecahan yang terdiri daripada ungkapan.

Jadi mari kita kembali kepada persamaan kuadratik, di mana .

Apa yang kita ada di sebelah kiri dipanggil trinomial kuadratik.

Teorem adalah benar: Jika ialah punca trinomial kuadratik, maka identiti itu dipegang

Di manakah pekali pendahuluan, ialah punca-punca persamaan.

Jadi, kita mempunyai persamaan kuadratik - trinomial kuadratik, di mana punca-punca persamaan kuadratik juga dipanggil punca trinomial kuadratik. Oleh itu, jika kita mempunyai punca trinomial segi empat sama, maka trinomial ini boleh diuraikan kepada faktor linear.

Bukti:

Bukti fakta ini dilakukan menggunakan teorem Vieta, yang telah kita bincangkan dalam pelajaran sebelumnya.

Mari kita ingat apa yang teorem Vieta memberitahu kita:

Jika ialah punca bagi trinomial kuadratik yang , maka .

Pernyataan berikut berikut daripada teorem ini:

Kami melihat bahawa, mengikut teorem Vieta, iaitu, dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula di atas, kami memperoleh ungkapan berikut

Q.E.D.

Ingat bahawa kita telah membuktikan teorem bahawa jika adalah punca-punca trinomial segi empat sama, maka pengembangan adalah sah.

Sekarang mari kita ingat contoh persamaan kuadratik, yang mana kita memilih punca menggunakan teorem Vieta. Daripada fakta ini kita boleh memperoleh persamaan berikut terima kasih kepada teorem terbukti:

Sekarang mari kita semak ketepatan fakta ini dengan hanya membuka kurungan:

Kami melihat bahawa kami memfaktorkan dengan betul, dan mana-mana trinomial, jika ia mempunyai akar, boleh difaktorkan mengikut teorem ini kepada faktor linear mengikut formula.

Walau bagaimanapun, mari kita semak sama ada pemfaktoran sedemikian mungkin untuk sebarang persamaan:

Ambil, sebagai contoh, persamaan. Mula-mula, mari kita semak tanda diskriminasi

Dan kita ingat bahawa untuk memenuhi teorem yang kita pelajari, D mesti lebih besar daripada 0, jadi dalam kes ini, pemfaktoran mengikut teorem yang kita pelajari adalah mustahil.

Oleh itu, mari kita rumuskan teorem baharu: Jika trinomial kuadratik tidak mempunyai punca, maka ia tidak boleh difaktorkan kepada faktor linear.

Jadi, kita telah melihat teorem Vieta, kemungkinan menguraikan trinomial kuadratik kepada faktor linear, dan kini kita akan menyelesaikan beberapa masalah.

Tugasan No 1

Dalam kumpulan ini kita sebenarnya akan menyelesaikan masalah songsang kepada yang dikemukakan. Kami mempunyai persamaan, dan kami menemui puncanya dengan memfaktorkannya. Di sini kita akan melakukan sebaliknya. Katakan kita mempunyai punca-punca persamaan kuadratik

Masalah songsang ialah ini: tulis persamaan kuadratik menggunakan puncanya.

Terdapat 2 cara untuk menyelesaikan masalah ini.

Oleh kerana ialah punca-punca persamaan, maka ialah persamaan kuadratik yang puncanya ialah nombor yang diberi. Sekarang mari buka kurungan dan semak:

Ini adalah cara pertama kami mencipta persamaan kuadratik dengan punca yang diberikan, yang tidak mempunyai punca lain, kerana mana-mana persamaan kuadratik mempunyai paling banyak dua punca.

Kaedah ini melibatkan penggunaan teorem Vieta songsang.

Jika ialah punca-punca persamaan, maka ia memenuhi syarat bahawa .

Untuk persamaan kuadratik terkurang , , iaitu dalam kes ini, dan .

Oleh itu, kami telah mencipta persamaan kuadratik yang mempunyai punca yang diberikan.

Tugasan No. 2

Ia adalah perlu untuk mengurangkan pecahan.

Kami mempunyai trinomial dalam pengangka dan trinomial dalam penyebut, dan trinomial mungkin atau mungkin tidak difaktorkan. Jika kedua-dua pengangka dan penyebut difaktorkan, maka di antara mereka mungkin terdapat faktor yang sama yang boleh dikurangkan.

Pertama sekali, anda perlu memfaktorkan pengangka.

Mula-mula, anda perlu menyemak sama ada persamaan ini boleh difaktorkan, mari cari diskriminasi. Oleh kerana , tanda bergantung pada produk (mesti kurang daripada 0), dalam dalam contoh ini, iaitu persamaan yang diberikan mempunyai punca.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan teorem Vieta:

Dalam kes ini, kerana kita berurusan dengan akar, agak sukar untuk hanya memilih akar. Tetapi kita melihat bahawa pekali adalah seimbang, iaitu, jika kita menganggap bahawa , dan menggantikan nilai ini ke dalam persamaan, kita mendapat sistem berikut: , iaitu 5-5=0. Oleh itu, kami telah memilih salah satu punca persamaan kuadratik ini.

Kita akan mencari punca kedua dengan menggantikan apa yang telah diketahui ke dalam sistem persamaan, contohnya, , i.e. .

Oleh itu, kami telah menemui kedua-dua punca persamaan kuadratik dan boleh menggantikan nilainya ke dalam persamaan asal untuk memfaktorkannya:

Mari kita ingat masalah asal, kita perlu mengurangkan pecahan.

Mari cuba selesaikan masalah dengan menggantikan .

Ia adalah perlu untuk tidak lupa bahawa dalam kes ini penyebut tidak boleh sama dengan 0, iaitu , .

Jika syarat ini dipenuhi, maka kami telah mengurangkan pecahan asal kepada bentuk .

Masalah No. 3 (tugas dengan parameter)

Pada nilai parameter apakah jumlah punca persamaan kuadratik

Jika punca-punca persamaan ini wujud, maka , soalan: bila.

Jadi mari kita kembali kepada persamaan kuadratik, di mana .

Apa yang kita ada di sebelah kiri dipanggil trinomial kuadratik.

Teorem adalah benar: Jika ialah punca trinomial kuadratik, maka identiti itu dipegang

Di manakah pekali pendahuluan, ialah punca-punca persamaan.

Bukti:

Bukti fakta ini dijalankan menggunakan teorem Vieta, yang telah kita bincangkan dalam pelajaran sebelumnya.

Mari kita ingat apa yang teorem Vieta memberitahu kita:

Jika ialah punca bagi trinomial kuadratik yang , maka .

Pernyataan berikut berikut daripada teorem ini:

Kami melihat bahawa, mengikut teorem Vieta, iaitu, dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula di atas, kami memperoleh ungkapan berikut

Q.E.D.

Ingat bahawa kita telah membuktikan teorem bahawa jika adalah punca-punca trinomial segi empat sama, maka pengembangan adalah sah.

Sekarang mari kita semak ketepatan fakta ini dengan hanya membuka kurungan:

Kami melihat bahawa kami memfaktorkan dengan betul, dan mana-mana trinomial, jika ia mempunyai akar, boleh difaktorkan mengikut teorem ini kepada faktor linear mengikut formula.

Walau bagaimanapun, mari kita semak sama ada pemfaktoran sedemikian mungkin untuk sebarang persamaan:

Ambil, sebagai contoh, persamaan. Mula-mula, mari kita semak tanda diskriminasi

Dan kita ingat bahawa untuk memenuhi teorem yang kita pelajari, D mesti lebih besar daripada 0, jadi dalam kes ini, pemfaktoran mengikut teorem yang kita pelajari adalah mustahil.

Oleh itu, kami merumuskan teorem baharu: jika trinomial segi empat sama tidak mempunyai punca, maka ia tidak boleh diuraikan kepada faktor linear.

Jadi, kita telah melihat teorem Vieta, kemungkinan menguraikan trinomial kuadratik kepada faktor linear, dan kini kita akan menyelesaikan beberapa masalah.

Tugasan No 1

Masalah songsang ialah ini: tulis persamaan kuadratik menggunakan puncanya.

Terdapat 2 cara untuk menyelesaikan masalah ini.

Oleh kerana ialah punca-punca persamaan, maka ialah persamaan kuadratik yang puncanya diberi nombor. Sekarang mari buka kurungan dan semak:

Ini adalah cara pertama kami mencipta persamaan kuadratik dengan punca yang diberikan, yang tidak mempunyai punca lain, kerana mana-mana persamaan kuadratik mempunyai paling banyak dua punca.

Kaedah ini melibatkan penggunaan teorem Vieta songsang.

Jika ialah punca-punca persamaan, maka ia memenuhi syarat bahawa .

Untuk persamaan kuadratik terkurang , , iaitu dalam kes ini, dan .

Oleh itu, kami telah mencipta persamaan kuadratik yang mempunyai punca yang diberikan.

Tugasan No. 2

Ia adalah perlu untuk mengurangkan pecahan.

Pertama sekali, anda perlu memfaktorkan pengangka.

Mula-mula, anda perlu menyemak sama ada persamaan ini boleh difaktorkan, mari cari diskriminasi. Oleh kerana , tanda bergantung pada hasil darab (mesti kurang daripada 0), dalam contoh ini, iaitu persamaan yang diberikan mempunyai punca.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan teorem Vieta:

Kita akan mencari punca kedua dengan menggantikan apa yang telah diketahui ke dalam sistem persamaan, contohnya, , i.e. .

Oleh itu, kami telah menemui kedua-dua punca persamaan kuadratik dan boleh menggantikan nilainya ke dalam persamaan asal untuk memfaktorkannya:

Mari kita ingat masalah asal, kita perlu mengurangkan pecahan.

Mari cuba selesaikan masalah dengan menggantikan .

Ia adalah perlu untuk tidak lupa bahawa dalam kes ini penyebut tidak boleh sama dengan 0, iaitu , .

Jika syarat ini dipenuhi, maka kami telah mengurangkan pecahan asal kepada bentuk .

Masalah No. 3 (tugas dengan parameter)

Pada nilai parameter apakah jumlah punca persamaan kuadratik

Jika punca-punca persamaan ini wujud, maka , soalan: bila.

Memperluas polinomial untuk mendapatkan produk kadangkala kelihatan mengelirukan. Tetapi ia tidak begitu sukar jika anda memahami proses langkah demi langkah. Artikel ini menerangkan secara terperinci cara memfaktorkan trinomial kuadratik.

Ramai orang tidak faham cara memfaktorkan trinomial segi empat sama, dan mengapa ini dilakukan. Pada mulanya ia mungkin kelihatan seperti latihan yang sia-sia. Tetapi dalam matematik tiada apa yang dilakukan dengan sia-sia. Transformasi adalah perlu untuk memudahkan ungkapan dan kemudahan pengiraan.

Polinomial dalam bentuk – ax²+bx+c, dipanggil trinomial kuadratik. Istilah "a" mestilah negatif atau positif. Dalam amalan, ungkapan ini dipanggil persamaan kuadratik. Oleh itu, kadangkala mereka mengatakannya secara berbeza: bagaimana untuk mengembangkan persamaan kuadratik.

Menarik! Polinomial dipanggil segi empat sama kerana darjah terbesarnya, segi empat sama. Dan trinomial - kerana 3 komponen.

Beberapa jenis polinomial lain:

binomial linear (6x+8);
kuadrinomial padu (x³+4x²-2x+9).

Memfaktorkan trinomial kuadratik

Pertama, ungkapan itu sama dengan sifar, maka anda perlu mencari nilai akar x1 dan x2. Mungkin tiada akar, mungkin ada satu atau dua akar. Kehadiran akar ditentukan oleh diskriminasi. Anda perlu mengetahui formulanya mengikut hati: D=b²-4ac.

Jika keputusan D adalah negatif, tiada punca. Jika positif, terdapat dua punca. Jika hasilnya sifar, puncanya adalah satu. Akar juga dikira menggunakan formula.

Jika, apabila mengira diskriminasi, hasilnya adalah sifar, anda boleh menggunakan mana-mana formula. Dalam amalan, formula dipendekkan secara ringkas: -b / 2a.

Formula untuk makna yang berbeza diskriminasi berbeza.

Jika D positif:

Jika D ialah sifar:

Kalkulator dalam talian

Di Internet ada kalkulator dalam talian. Ia boleh digunakan untuk melakukan pemfaktoran. Sesetengah sumber memberi peluang untuk melihat penyelesaian langkah demi langkah. Perkhidmatan sedemikian membantu untuk memahami topik dengan lebih baik, tetapi anda perlu cuba memahaminya dengan baik.

Video berguna: Memfaktorkan trinomial kuadratik

Contoh

Kami menjemput anda untuk melihat contoh mudah, bagaimana memfaktorkan persamaan kuadratik.

Contoh 1

Ini jelas menunjukkan bahawa keputusan adalah dua x kerana D adalah positif. Mereka perlu digantikan ke dalam formula. Jika akarnya menjadi negatif, tanda dalam formula berubah kepada sebaliknya.

Kita tahu formula untuk memfaktorkan trinomial kuadratik: a(x-x1)(x-x2). Kami meletakkan nilai dalam kurungan: (x+3)(x+2/3). Tiada nombor sebelum penggal dalam kuasa. Ini bermakna ada satu di sana, ia turun.

Contoh 2

Contoh ini jelas menunjukkan cara menyelesaikan persamaan yang mempunyai satu punca.

Kami menggantikan nilai yang terhasil:

Contoh 3

Diberi: 5x²+3x+7

Pertama, mari kita mengira diskriminasi, seperti dalam kes sebelumnya.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminasi adalah negatif, yang bermaksud tidak ada akar.

Selepas menerima keputusan, anda harus membuka kurungan dan menyemak hasilnya. Trinomial asal sepatutnya muncul.

Penyelesaian alternatif

Sesetengah orang tidak pernah dapat berkawan dengan diskriminasi. Terdapat satu lagi cara untuk memfaktorkan trinomial kuadratik. Untuk kemudahan, kaedah ditunjukkan dengan contoh.

Diberi: x²+3x-10

Kami tahu bahawa kami harus mendapat 2 kurungan: (_)(_). Apabila ungkapan kelihatan seperti ini: x²+bx+c, pada permulaan setiap kurungan kita letakkan x: (x_)(x_). Dua nombor yang tinggal adalah hasil darab yang memberikan "c", iaitu dalam kes ini -10. Satu-satunya cara untuk mengetahui nombor ini adalah dengan pemilihan. Nombor yang digantikan mesti sepadan dengan sebutan yang tinggal.

Sebagai contoh, mendarab nombor berikut memberikan -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Tidak.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Tidak.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Tidak.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. sesuai.

Ini bermakna bahawa penjelmaan ungkapan x2+3x-10 kelihatan seperti ini: (x-2)(x+5).

Penting! Anda harus berhati-hati untuk tidak mengelirukan tanda-tanda.

Pengembangan trinomial kompleks

Jika "a" lebih besar daripada satu, kesukaran bermula. Tetapi semuanya tidaklah sesukar yang disangka.

Untuk memfaktorkan, anda perlu terlebih dahulu melihat sama ada sesuatu boleh difaktorkan.

Contohnya, diberikan ungkapan: 3x²+9x-30. Di sini nombor 3 dikeluarkan daripada kurungan:

3(x²+3x-10). Hasilnya ialah trinomial yang sudah terkenal. Jawapannya kelihatan seperti ini: 3(x-2)(x+5)

Bagaimana hendak mengurai jika sebutan yang terdapat dalam segi empat sama adalah negatif? Dalam kes ini, nombor -1 dikeluarkan daripada kurungan. Contohnya: -x²-10x-8. Ungkapan itu kemudiannya akan kelihatan seperti ini:

Skim ini berbeza sedikit daripada yang sebelumnya. Cuma ada beberapa perkara baru. Katakan ungkapan diberikan: 2x²+7x+3. Jawapan juga ditulis dalam 2 kurungan yang perlu diisi (_)(_). Dalam kurungan ke-2 ditulis x, dan pada 1 apa yang tinggal. Ia kelihatan seperti ini: (2x_)(x_). Jika tidak, skema sebelumnya diulang.

Nombor 3 diberikan oleh nombor:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Kami menyelesaikan persamaan dengan menggantikan nombor ini. Pilihan terakhir adalah sesuai. Ini bermakna bahawa penjelmaan ungkapan 2x²+7x+3 kelihatan seperti ini: (2x+1)(x+3).

Kes lain

Ia tidak selalu mungkin untuk menukar ungkapan. Dengan kaedah kedua, menyelesaikan persamaan tidak diperlukan. Tetapi kemungkinan mengubah istilah menjadi produk disemak hanya melalui diskriminasi.

Ia bernilai berlatih untuk membuat keputusan persamaan kuadratik supaya tidak ada kesukaran semasa menggunakan formula.

Video berguna: memfaktorkan trinomial

Kesimpulan

Anda boleh menggunakannya dalam apa jua cara. Tetapi lebih baik untuk mengamalkan kedua-duanya sehingga ia menjadi automatik. Selain itu, mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadratik dengan baik dan polinomial faktor adalah perlu bagi mereka yang merancang untuk menghubungkan kehidupan mereka dengan matematik. Semua topik matematik berikut dibina atas perkara ini.

Memfaktorkan trinomial kuadratik mungkin berguna apabila menyelesaikan ketaksamaan daripada masalah C3 atau masalah dengan parameter C5. Selain itu, banyak masalah perkataan B13 akan diselesaikan dengan lebih cepat jika anda mengetahui teorem Vieta.

Teorem ini, tentu saja, boleh dipertimbangkan dari perspektif gred ke-8, di mana ia diajar buat kali pertama. Tetapi tugas kami adalah untuk membuat persediaan yang baik untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dan belajar menyelesaikan tugasan peperiksaan secekap mungkin. Oleh itu, pelajaran ini menganggap pendekatan yang sedikit berbeza daripada sekolah.

Formula untuk punca-punca persamaan menggunakan teorem Vieta Ramai orang tahu (atau sekurang-kurangnya pernah melihat):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

dengan `a, b` dan `c` ialah pekali bagi trinomial kuadratik `ax^2+bx+c`.

Untuk mempelajari cara menggunakan teorem dengan mudah, mari kita fahami dari mana asalnya (ini sebenarnya akan memudahkan untuk diingati).

Biarkan kita mempunyai persamaan `ax^2+ bx+ c = 0`. Untuk kemudahan selanjutnya, bahagikannya dengan `a` dan dapatkan `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik terkurang.

Idea pelajaran penting: sebarang polinomial kuadratik yang mempunyai akar boleh dikembangkan menjadi kurungan. Mari kita andaikan bahawa kita boleh diwakili sebagai `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, di mana `k` dan ` l` - beberapa pemalar.

Mari lihat bagaimana kurungan dibuka:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Oleh itu, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ini sedikit berbeza daripada tafsiran klasik Teorem Vieta- di dalamnya kita mencari punca-punca persamaan. Saya bercadang untuk mencari terma untuk penguraian kurungan- dengan cara ini anda tidak perlu mengingati tentang tolak daripada formula (bermaksud `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Ia cukup untuk memilih dua nombor sedemikian, jumlahnya sama dengan pekali purata, dan hasil darabnya sama dengan istilah bebas.

Jika kita memerlukan penyelesaian kepada persamaan, maka jelaslah: punca `x=-k` atau `x=-l` (kerana dalam kes ini salah satu kurungan akan menjadi sifar, yang bermaksud keseluruhan ungkapan akan menjadi sifar ).

Saya akan menunjukkan kepada anda algoritma sebagai contoh: Bagaimana untuk mengembangkan polinomial kuadratik ke dalam kurungan.

Contoh satu. Algoritma untuk pemfaktoran trinomial kuadratik

Laluan yang kita ada ialah sukuan trinomial `x^2+5x+4`.

Ia dikurangkan (pekali `x^2` adalah sama dengan satu). Dia mempunyai akar. (Yang pasti, anda boleh menganggarkan diskriminasi dan memastikan bahawa ia lebih besar daripada sifar.)

Langkah selanjutnya (anda perlu mempelajarinya dengan menyelesaikan semua tugas latihan):

Lengkapkan entri berikut: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Daripada titik, biarkan ruang kosong, kami akan menambah di sana nombor yang sesuai dan tanda-tanda.
Lihat semua pilihan yang mungkin, bagaimana anda boleh menguraikan nombor `4` kepada hasil darab dua nombor. Kami mendapat pasangan "calon" untuk punca persamaan: `2, 2` dan `1, 4`.
Tentukan pasangan mana anda boleh mendapatkan pekali purata. Jelas sekali ia adalah `1, 4`.
Tulis $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Langkah seterusnya ialah meletakkan tanda di hadapan nombor yang dimasukkan.
Bagaimana untuk memahami dan mengingati selama-lamanya tanda apa yang harus muncul sebelum nombor dalam kurungan? Cuba bukanya (kurung). Pekali sebelum `x` kepada kuasa pertama ialah `(± 4 ± 1)` (kita belum tahu tandanya - kita perlu memilih), dan ia sepatutnya sama dengan `5`. Jelas sekali, akan ada dua tambah $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Lakukan operasi ini beberapa kali (hello, tugas latihan!) dan lebih banyak masalah ini tidak akan berlaku.

Jika anda perlu menyelesaikan persamaan `x^2+5x+4`, maka sekarang menyelesaikannya tidak akan sukar. Akarnya ialah `-4, -1`.

Contoh dua. Pemfaktoran trinomial kuadratik dengan pekali tanda yang berbeza

Mari kita perlu menyelesaikan persamaan `x^2-x-2=0`. Secara tidak langsung, diskriminasi adalah positif.

Kami mengikuti algoritma.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Terdapat hanya satu pemfaktoran dua kepada faktor integer: `2 · 1`.
Kami melangkau perkara - tiada apa untuk dipilih.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Hasil darab nombor kita ialah negatif (`-2` ialah sebutan bebas), yang bermaksud bahawa salah satu daripadanya akan menjadi negatif dan satu lagi akan menjadi positif.
Oleh kerana jumlahnya adalah sama dengan `-1` (pekali `x`), maka `2` akan menjadi negatif (penjelasan intuitif ialah dua adalah lebih besar daripada dua nombor, ia akan "menarik" dengan lebih kuat ke dalam sisi negatif). Kami mendapat $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Contoh ketiga. Memfaktorkan trinomial kuadratik

Persamaannya ialah `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Penguraian 84 kepada faktor integer: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Oleh kerana kita memerlukan perbezaan (atau jumlah) nombor menjadi 5, kita sepasang akan lakukan `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Harapan, pengembangan trinomial kuadratik ini ke dalam kurungan Ia jelas.

Jika anda memerlukan penyelesaian kepada persamaan, berikut ialah: `12, -7`.

Tugas latihan

Saya membawa kepada perhatian anda beberapa contoh yang mudah diselesaikan menggunakan teorem Vieta.(Contoh diambil dari majalah "Matematik", 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Beberapa tahun selepas artikel itu ditulis, koleksi 150 tugasan untuk mengembangkan polinomial kuadratik menggunakan teorem Vieta muncul.

Suka dan tanya soalan dalam komen!