1 terbitan fungsi pada satu titik. Derivatif fungsi

Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x) \) ditakrifkan dalam beberapa selang yang mengandungi titik \(x_0 \) di dalamnya. Mari tambah \(\Delta x \) kepada hujah supaya tidak meninggalkan selang ini. Cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila melepasi dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Jika terdapat had perhubungan ini pada \(\Delta x \rightarrow 0 \), maka had yang ditentukan dipanggil fungsi terbitan\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menandakan terbitan. Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi dikaitkan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan fungsi y \u003d f (x).

Makna geometri bagi terbitan terdiri daripada yang berikut. Jika tangen yang tidak selari dengan paksi y boleh dilukis pada graf fungsi y \u003d f (x) pada titik dengan absis x \u003d a, maka f (a) menyatakan kecerunan tangen:
\(k = f"(a)\)

Oleh kerana \(k = tg(a) \), kesamaan \(f"(a) = tg(a) \) adalah benar.

Dan sekarang kita mentafsir takrifan terbitan dari segi kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x) \) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x, anggaran kesamaan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), iaitu \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Maksud bermakna kesamaan anggaran yang diperolehi adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan pada titik x tertentu. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2 \) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana untuk mencari terbitan fungsi y \u003d f (x) ?

1. Betulkan nilai \(x \), cari \(f(x) \)
2. Tambahkan argumen \(x \) \(\Delta x \), pindah ke titik baharu \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Susun hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada x.

Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari derivatif fungsi y \u003d f (x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).

Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan?

Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M (x; f (x)) dan, ingat, kecerunan tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu, fungsi mesti selanjar pada x.

Ia adalah alasan "pada jari". Mari kita kemukakan hujah yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x \) kekal. sifar, kemudian \(\Delta y \ ) juga akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.

Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia juga selanjar pada titik itu.

Sebaliknya tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik bersama" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika adalah mustahil untuk melukis tangen pada graf fungsi, maka tiada terbitan pada ketika ini.

Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x) \) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x \u003d 0. Tiada cerun untuk garis lurus sedemikian, yang bermaksud bahawa \ ( f "(0) \) juga tidak wujud

Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah anda boleh mengetahui sama ada fungsi boleh dibezakan daripada graf fungsi?

Jawapannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika tangen boleh dilukis pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi-x, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi-x, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.

Peraturan pembezaan

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, jumlah, hasil darab fungsi, serta dengan "fungsi fungsi", iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C ialah nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:

Jadual terbitan beberapa fungsi

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah geometri, mekanik, fizik dan cabang pengetahuan yang lain, ia menjadi perlu untuk menggunakan proses analisis yang sama daripada fungsi tertentu. y=f(x) dapatkan fungsi baharu yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan) bagi fungsi ini f(x) dan dilambangkan

Proses di mana fungsi yang diberikan f(x) dapatkan fungsi baharu f"(x), dipanggil pembezaan dan ia terdiri daripada tiga langkah berikut: 1) kami memberikan hujah x kenaikan  x dan tentukan kenaikan yang sepadan bagi fungsi itu  y = f(x+ x)-f(x); 2) membentuk hubungan

3) mengira x kekal, dan  x0, kita dapati
, yang dilambangkan dengan f"(x), seolah-olah menekankan bahawa fungsi yang terhasil hanya bergantung pada nilai x, di mana kita melepasi had. Definisi: Terbitan y "=f" (x) fungsi yang diberikan y=f(x) diberi x dipanggil had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah, dengan syarat kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika, sudah tentu, had ini wujud, i.e. terhingga. Oleh itu,
, atau

Ambil perhatian bahawa jika untuk beberapa nilai x, contohnya apabila x=a, perhubungan
di  x0 tidak cenderung kepada had terhingga, maka dalam kes ini kita katakan bahawa fungsi f(x) di x=a(atau pada titik itu x=a) tidak mempunyai terbitan atau tidak boleh dibezakan pada satu titik x=a.

2. Makna geometri bagi terbitan.

Pertimbangkan graf fungsi y \u003d f (x), boleh dibezakan di sekitar titik x 0

f(x)

Pertimbangkan garis arbitrari yang melalui titik graf fungsi - titik A (x 0, f (x 0)) dan bersilang graf pada satu titik B (x; f (x)). Garis lurus (AB) sedemikian dipanggil secant. Daripada ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; SM \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Sejak AC || Lembu, kemudian ALO = BAC = β (sebagai sepadan secara selari). Tetapi ALO ialah sudut kecondongan potongan AB ke arah positif paksi Lembu. Oleh itu, tgβ = k ialah kecerunan garis lurus AB.

Sekarang kita akan mengurangkan ∆x, i.e. ∆x→ 0. Dalam kes ini, titik B akan menghampiri titik A mengikut graf, dan sekan AB akan berputar. Kedudukan mengehadkan sekan AB pada ∆x → 0 akan menjadi garis lurus (a), dipanggil tangen kepada graf fungsi y \u003d f (x) pada titik A.

Jika kita melepasi had sebagai ∆х → 0 dalam kesamaan tgβ =∆y/∆x, maka kita dapat
atau tg \u003d f "(x 0), sejak
-sudut kecondongan tangen ke arah positif paksi Lembu
, mengikut takrifan terbitan. Tetapi tg \u003d k ialah cerun tangen, yang bermaksud bahawa k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Jadi, makna geometri bagi terbitan adalah seperti berikut:

Terbitan fungsi pada titik x 0 sama dengan kecerunan tangen kepada graf fungsi yang dilukis pada titik dengan absis x 0 .

3. Makna fizikal terbitan.

Pertimbangkan pergerakan titik sepanjang garis lurus. Biarkan titik menyelaras pada bila-bila masa x(t) diberikan. Adalah diketahui (dari kursus fizik) bahawa kelajuan purata sepanjang tempoh masa adalah sama dengan nisbah jarak yang dilalui dalam tempoh masa ini kepada masa, i.e.

Vav = ∆x/∆t. Mari kita lulus ke had dalam kesamaan terakhir sebagai ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - kelajuan serta-merta pada masa t 0, ∆t → 0.

dan lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (mengikut takrif terbitan).

Jadi, (t) = x"(t).

Makna fizikal terbitan adalah seperti berikut: terbitan fungsiy = f(x) pada titik itux 0 ialah kadar perubahan fungsif(x) pada titikx 0

Derivatif digunakan dalam fizik untuk mencari kelajuan daripada fungsi koordinat yang diketahui dari masa, pecutan daripada fungsi kelajuan yang diketahui dari masa.

 (t) \u003d x "(t) - kelajuan,

a(f) = "(t) - pecutan, atau

Jika hukum pergerakan titik bahan di sepanjang bulatan diketahui, maka adalah mungkin untuk mencari halaju sudut dan pecutan sudut semasa gerakan putaran:

φ = φ(t) - perubahan sudut dengan masa,

ω \u003d φ "(t) - halaju sudut,

ε = φ"(t) - pecutan sudut, atau ε = φ"(t).

Jika hukum taburan untuk jisim rod tidak homogen diketahui, maka ketumpatan linear rod tidak homogen boleh didapati:

m \u003d m (x) - jisim,

x  , l - panjang batang,

p \u003d m "(x) - ketumpatan linear.

Dengan bantuan derivatif, masalah daripada teori keanjalan dan getaran harmonik diselesaikan. Ya, mengikut undang-undang Hooke

F = -kx, x – koordinat pembolehubah, k – pekali keanjalan spring. Meletakkan ω 2 \u003d k / m, kami memperoleh persamaan pembezaan pendulum spring x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

di mana ω = √k/√m ialah kekerapan ayunan (l/c), k ialah kadar spring (H/m).

Persamaan dalam bentuk y "+ ω 2 y \u003d 0 dipanggil persamaan ayunan harmonik (mekanikal, elektrik, elektromagnet). Penyelesaian kepada persamaan tersebut ialah fungsi

y = Asin(ωt + φ 0) atau y = Acos(ωt + φ 0), di mana

A - amplitud ayunan, ω - frekuensi kitaran,

φ 0 - fasa awal.

Adalah mustahil untuk menyelesaikan masalah fizikal atau contoh dalam matematik tanpa pengetahuan tentang terbitan dan kaedah untuk mengiranya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dalam analisis matematik. Kami memutuskan untuk menumpukan artikel hari ini kepada topik asas ini. Apakah terbitan, apakah maksud fizikal dan geometrinya, bagaimana untuk mengira terbitan fungsi? Semua soalan ini boleh digabungkan menjadi satu: bagaimana untuk memahami derivatif?

Makna geometri dan fizikal terbitan

Biar ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa selang (a,b) . Titik x dan x0 tergolong dalam selang ini. Apabila x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan hujah - perbezaan nilainya x-x0 . Perbezaan ini ditulis sebagai delta x dan dipanggil penambahan hujah. Perubahan atau kenaikan fungsi ialah perbezaan antara nilai fungsi pada dua titik. Takrif terbitan:

Terbitan fungsi pada satu titik ialah had nisbah kenaikan fungsi pada titik tertentu kepada kenaikan hujah apabila yang terakhir cenderung kepada sifar.

Jika tidak, ia boleh ditulis seperti ini:

Apa gunanya mencari had sedemikian? Tetapi yang mana satu:

terbitan bagi suatu fungsi pada suatu titik adalah sama dengan tangen sudut antara paksi OX dan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu.

Makna fizikal terbitan: terbitan masa laluan adalah sama dengan kelajuan gerakan rectilinear.

Memang sejak zaman sekolah, semua orang tahu bahawa kelajuan adalah laluan peribadi. x=f(t) dan masa t . Kelajuan purata dalam tempoh masa tertentu:

Untuk mengetahui kelajuan pergerakan pada satu-satu masa t0 anda perlu mengira had:

Peraturan satu: keluarkan pemalar

Pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Lebih-lebih lagi, ia mesti dilakukan. Apabila menyelesaikan contoh dalam matematik, ambil sebagai peraturan - jika anda boleh memudahkan ungkapan, pastikan anda memudahkan .

Contoh. Mari kita hitung derivatif:

Peraturan dua: terbitan hasil tambah fungsi

Terbitan hasil tambah dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah derivatif fungsi ini. Perkara yang sama berlaku untuk terbitan perbezaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorem ini, tetapi mempertimbangkan contoh praktikal.

Cari terbitan bagi suatu fungsi:

Peraturan tiga: terbitan hasil darab fungsi

Terbitan hasil darab dua fungsi boleh dibezakan dikira dengan formula:

Contoh: cari terbitan bagi suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini adalah penting untuk mengatakan tentang pengiraan derivatif fungsi kompleks. Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan oleh terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemui ungkapan:

Dalam kes ini, hujah perantaraan ialah 8x kepada kuasa kelima. Untuk mengira derivatif ungkapan sedemikian, kita mula-mula mempertimbangkan terbitan fungsi luaran berkenaan dengan hujah perantaraan, dan kemudian darab dengan terbitan hujah perantaraan itu sendiri berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Peraturan Empat: Terbitan hasil bagi dua fungsi

Formula untuk menentukan terbitan hasil bagi dua fungsi:

Kami cuba bercakap tentang derivatif untuk boneka dari awal. Topik ini tidak semudah yang didengar, jadi amaran: selalunya terdapat perangkap dalam contoh, jadi berhati-hati semasa mengira derivatif.

Dengan sebarang soalan mengenai perkara ini dan topik lain, anda boleh menghubungi perkhidmatan pelajar. Dalam masa yang singkat, kami akan membantu anda menyelesaikan kawalan yang paling sukar dan menangani tugas, walaupun anda tidak pernah berurusan dengan pengiraan derivatif sebelum ini.

Apabila seseorang telah mengambil langkah bebas pertama dalam kajian analisis matematik dan mula bertanya soalan yang tidak selesa, tidak lagi mudah untuk menyingkirkan frasa bahawa "kalkulus pembezaan ditemui dalam kubis." Oleh itu, sudah tiba masanya untuk menentukan dan menyelesaikan misteri kelahiran jadual terbitan dan peraturan pembezaan. Bermula dalam artikel tentang maksud terbitan, yang sangat saya syorkan untuk kajian, kerana di sana kami hanya mempertimbangkan konsep terbitan dan mula mengklik tugasan pada topik tersebut. Pelajaran yang sama mempunyai orientasi praktikal yang jelas, lebih-lebih lagi,

contoh yang dipertimbangkan di bawah, pada dasarnya, boleh dikuasai secara formal semata-mata (contohnya, apabila tiada masa / keinginan untuk mendalami intipati terbitan). Ia juga sangat wajar (tetapi sekali lagi tidak perlu) untuk dapat mencari derivatif menggunakan kaedah "biasa" - sekurang-kurangnya pada tahap dua kelas asas: Bagaimana untuk mencari terbitan? dan Terbitan bagi fungsi kompleks.

Tetapi tanpa sesuatu, yang kini sememangnya amat diperlukan, ia tiada had fungsi. Anda mesti FAHAM apa itu had dan boleh menyelesaikannya, sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Dan semua kerana terbitan

fungsi pada satu titik ditakrifkan oleh formula:

Saya mengingatkan anda tentang sebutan dan istilah: mereka memanggil pertambahan hujah;

– peningkatan fungsi;

- ini adalah simbol TUNGGAL ("delta" tidak boleh "diputuskan" daripada "X" atau "Y").

Jelas sekali, ialah pembolehubah "dinamik", adalah pemalar dan hasil pengiraan had - nombor (kadang-kadang - "tambah" atau "tolak" infiniti).

Sebagai asas, anda boleh mempertimbangkan SEBARANG nilai yang dimiliki domain fungsi yang mempunyai terbitan.

Nota: klausa "di mana terbitan wujud" - secara amnya ketara.! Jadi, sebagai contoh, titik, walaupun ia memasuki domain fungsi, tetapi terbitan

tidak wujud di sana. Oleh itu formula

tidak terpakai pada titik itu

dan perkataan yang dipendekkan tanpa tempahan adalah salah. Fakta serupa juga sah untuk fungsi lain dengan "pecah" dalam graf, khususnya, untuk arcsine dan arccosine.

Oleh itu, selepas menggantikan , kami memperoleh formula kerja kedua:

Beri perhatian kepada keadaan berbahaya yang boleh mengelirukan teko: dalam had ini, "x", sebagai pembolehubah bebas, memainkan peranan tambahan, dan "dinamik" sekali lagi ditetapkan oleh kenaikan. Hasil pengiraan had

ialah fungsi terbitan.

Berdasarkan perkara di atas, kami merumuskan syarat dua masalah biasa:

- Untuk mencari derivatif pada satu titik menggunakan definisi terbitan.

- Untuk mencari fungsi terbitan menggunakan definisi terbitan. Versi ini, mengikut pemerhatian saya, berlaku lebih kerap dan akan diberi perhatian utama.

Perbezaan asas antara tugas adalah bahawa dalam kes pertama ia diperlukan untuk mencari nombor (pilihan infiniti), dan dalam yang kedua

fungsi . Di samping itu, derivatif mungkin tidak wujud sama sekali.

bagaimana?

Buat nisbah dan hitung had.

Di manakah jadual terbitan dan peraturan pembezaan ? Dengan satu had

Nampak macam sihir, tapi

realiti - silap mata dan tiada penipuan. Pada pelajaran Apakah derivatif? Saya mula mempertimbangkan contoh khusus, di mana, menggunakan definisi, saya menemui terbitan fungsi linear dan kuadratik. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu jadual terbitan, mengasah algoritma dan penyelesaian teknikal:

Malah, ia diperlukan untuk membuktikan kes khas terbitan fungsi kuasa, yang biasanya muncul dalam jadual: .

Penyelesaiannya secara teknikal diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulakan dengan pendekatan pertama yang sudah biasa: tangga bermula dengan papan, dan fungsi terbitan bermula dengan derivatif pada satu titik.

Pertimbangkan beberapa titik (konkrit) kepunyaan domain fungsi yang mempunyai terbitan. Tetapkan kenaikan pada ketika ini (sudah tentu, tidak melebihi o / o - z) dan susun kenaikan fungsi yang sepadan:

Mari kita mengira had:

Ketidakpastian 0:0 dihapuskan dengan teknik standard yang dianggap sejak abad pertama SM. membiak

pengangka dan penyebut bagi setiap ungkapan bersebelahan :

Teknik untuk menyelesaikan had tersebut dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran pengenalan. tentang had fungsi.

Oleh kerana SEBARANG titik selang boleh dipilih sebagai

Kemudian, dengan menggantikan, kita mendapat:

Sekali lagi, mari kita bergembira dengan logaritma:

Cari terbitan bagi fungsi menggunakan definisi terbitan

Penyelesaian: Mari kita pertimbangkan pendekatan yang berbeza untuk memutarkan tugas yang sama. Ia betul-betul sama, tetapi lebih rasional dari segi reka bentuk. Ideanya adalah untuk menyingkirkan

subskrip dan gunakan huruf dan bukannya surat.

Pertimbangkan perkara sewenang-wenangnya domain fungsi (selang waktu), dan tetapkan kenaikan di dalamnya. Dan di sini, dengan cara ini, seperti dalam kebanyakan kes, anda boleh melakukannya tanpa sebarang tempahan, kerana fungsi logaritma boleh dibezakan pada mana-mana titik dalam domain definisi.

Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mari cari derivatif:

Kesederhanaan reka bentuk diseimbangkan oleh kekeliruan, yang boleh

timbul pada pemula (dan bukan sahaja). Lagipun, kita sudah biasa dengan fakta bahawa huruf "X" berubah dalam had! Tetapi di sini semuanya berbeza: - patung antik, dan - pelawat yang masih hidup, berjalan pantas di sepanjang koridor muzium. Iaitu, "x" adalah "seperti pemalar".

Saya akan mengulas mengenai penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Menggunakan sifat logaritma.

(2) Bahagikan pengangka dengan penyebut dalam kurungan.

(3) Dalam penyebut kita secara buatan darab dan bahagi dengan "x" supaya

mengambil kesempatan daripada yang indah , manakala sebagai sangat kecil membuat persembahan.

Jawapan: Mengikut definisi derivatif:

Atau ringkasnya:

Saya mencadangkan untuk membina dua lagi formula jadual secara bebas:

Cari derivatif mengikut takrifan

Dalam kes ini, kenaikan terkumpul adalah mudah untuk dikurangkan kepada penyebut biasa. Contoh anggaran tugasan pada akhir pelajaran (kaedah pertama).

Cari derivatif mengikut takrifan

Dan di sini segala-galanya mesti dikurangkan kepada had yang luar biasa. Penyelesaiannya dibingkai dengan cara kedua.

Begitu juga beberapa yang lain derivatif jadual. Senarai lengkap boleh didapati dalam buku teks sekolah, atau, sebagai contoh, jilid pertama Fichtenholtz. Saya tidak melihat banyak perkara dalam menulis semula daripada buku dan bukti peraturan pembezaan - ia juga dihasilkan

formula .

Mari kita beralih kepada tugas kehidupan sebenar: Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi , menggunakan takrif terbitan

Penyelesaian: gunakan gaya pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara yang dimiliki, dan tetapkan kenaikan hujah di dalamnya. Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mungkin sesetengah pembaca masih belum memahami sepenuhnya prinsip yang perlu dibuat kenaikan. Kami mengambil titik (nombor) dan mencari nilai fungsi di dalamnya: , iaitu, ke dalam fungsi

bukannya "x" harus diganti. Sekarang kita ambil

Peningkatan Fungsi Tersusun ia berfaedah untuk segera dipermudahkan. Untuk apa? Memudahkan dan memendekkan penyelesaian had selanjutnya.

Kami menggunakan formula, kurungan terbuka dan mengurangkan semua yang boleh dikurangkan:

Ayam belanda habis, tiada masalah dengan panggang:

Akhirnya:

Memandangkan sebarang nombor nyata boleh dipilih sebagai kualiti, kami membuat penggantian dan mendapat .

Jawapan: a-priory.

Untuk tujuan pengesahan, kami mencari derivatif menggunakan peraturan

pembezaan dan jadual:

Ia sentiasa berguna dan menyenangkan untuk mengetahui jawapan yang betul terlebih dahulu, jadi adalah lebih baik untuk secara mental atau pada draf membezakan fungsi yang dicadangkan dengan cara "cepat" pada permulaan penyelesaian.

Cari terbitan bagi suatu fungsi dengan takrif terbitan itu

Ini adalah contoh buat sendiri. Hasilnya terletak pada permukaan:

Kembali ke Gaya #2: Contoh 7

Mari kita ketahui segera apa yang sepatutnya berlaku. Oleh peraturan pembezaan fungsi kompleks:

Keputusan: pertimbangkan titik sewenang-wenangnya, tetapkan kenaikan hujah di dalamnya dan buat kenaikan

Mari cari derivatif:

(1) Kami menggunakan formula trigonometri

(2) Di bawah sinus kita membuka kurungan, di bawah kosinus kita memberikan istilah seperti.

(3) Di bawah sinus kita mengurangkan sebutan, di bawah kosinus kita membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.

(4) Oleh kerana keganjilan sinus, kami mengeluarkan "tolak". Di bawah kosinus

menunjukkan bahawa istilah .

(5) Kami mendarabkan penyebut untuk digunakan secara buatan had indah pertama. Oleh itu, ketidakpastian dihapuskan, kami menyisir hasilnya.

Jawapan: mengikut definisi Seperti yang anda lihat, kesukaran utama masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada

kerumitan had itu sendiri + sedikit keaslian pembungkusan. Dalam amalan, kedua-dua kaedah reka bentuk ditemui, jadi saya menerangkan kedua-dua pendekatan dengan seberapa terperinci yang mungkin. Mereka adalah setara, tetapi masih, dalam tanggapan subjektif saya, adalah lebih suai manfaat untuk dummies untuk berpegang pada pilihan pertama dengan "X sifar".

Menggunakan takrifan, cari terbitan bagi fungsi tersebut

Ini adalah tugas untuk membuat keputusan bebas. Sampel diformat dalam semangat yang sama seperti contoh sebelumnya.

Mari analisa versi masalah yang jarang berlaku:

Cari terbitan fungsi pada satu titik menggunakan takrif terbitan.

Pertama, apa yang sepatutnya menjadi garis bawah? Nombor Kira jawapan mengikut cara standard:

Keputusan: dari sudut pandangan kejelasan, tugas ini lebih mudah, kerana dalam formula bukannya

dianggap sebagai nilai tertentu.

Kami menetapkan kenaikan pada titik dan mengarang kenaikan fungsi yang sepadan:

Kira terbitan pada satu titik:

Kami menggunakan formula yang sangat jarang berlaku untuk perbezaan tangen dan untuk kesekian kalinya kami mengurangkan penyelesaian kepada yang pertama

had yang menakjubkan:

Jawapan: mengikut takrifan terbitan pada satu titik.

Tugas itu tidak begitu sukar untuk diselesaikan dan "secara umum" - sudah cukup untuk menggantikan paku atau hanya, bergantung pada kaedah reka bentuk. Dalam kes ini, sudah tentu, anda tidak mendapat nombor, tetapi fungsi derivatif.

Contoh 10 Menggunakan takrifan, cari terbitan bagi suatu fungsi pada titik

Ini adalah contoh buat sendiri.

Tugas bonus terakhir ditujukan terutamanya untuk pelajar yang mempunyai kajian mendalam tentang analisis matematik, tetapi ia tidak akan menyakiti orang lain sama ada:

Adakah fungsi itu boleh dibezakan pada titik itu?

Penyelesaian: Adalah jelas bahawa fungsi yang diberikan sekeping adalah berterusan pada satu titik, tetapi adakah ia boleh dibezakan di sana?

Algoritma penyelesaian, dan bukan sahaja untuk fungsi piecewise, adalah seperti berikut:

1) Cari terbitan kiri pada titik tertentu: .

2) Cari terbitan kanan pada titik yang diberi: .

3) Jika terbitan satu sisi adalah terhingga dan bertepatan:

, maka fungsi itu boleh dibezakan pada titik dan

dari segi geometri, terdapat tangen sepunya di sini (lihat bahagian teori pelajaran Definisi dan maksud terbitan).

Jika dua nilai berbeza diterima: (satu daripadanya mungkin tidak terhingga), maka fungsi itu tidak boleh dibezakan pada satu titik.

Jika kedua-dua terbitan satu sisi adalah sama dengan infiniti

(walaupun mereka mempunyai tanda yang berbeza), maka fungsi itu tidak

boleh dibezakan pada satu titik, tetapi wujud terbitan tak terhingga dan tangen menegak sepunya pada graf (lihat Contoh 5 pelajaranPersamaan Normal) .

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar cara menggunakan formula dan peraturan pembezaan.

Contoh. Cari terbitan bagi fungsi.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Menggunakan Peraturan saya, formula 4, 2 dan 1. Kita mendapatkan:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Kami menyelesaikan dengan cara yang sama, menggunakan formula dan formula yang sama 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Menggunakan Peraturan saya, formula 3, 5 dan 6 dan 1.

Menggunakan Peraturan IV, formula 5 dan 1 .

Dalam contoh kelima, mengikut peraturan saya terbitan jumlah itu adalah sama dengan jumlah terbitan, dan kami baru menemui terbitan sebutan pertama (contoh 4 ), oleh itu, kita akan mencari derivatif ke-2 dan ke-3 terma, dan untuk 1hb istilah, kita boleh segera menulis hasilnya.

Membezakan ke-2 dan ke-3 istilah mengikut formula 4 . Untuk melakukan ini, kita menukar punca darjah ketiga dan keempat dalam penyebut kepada kuasa dengan eksponen negatif, dan kemudian, mengikut 4 formula, kita dapati derivatif kuasa.

Lihat contoh ini dan hasilnya. Adakah anda menangkap coraknya? Baik. Ini bermakna kami mempunyai formula baharu dan boleh menambahkannya pada jadual terbitan kami.

Mari kita selesaikan contoh keenam dan dapatkan satu lagi formula.

Kami menggunakan peraturan IV dan formula 4 . Kami mengurangkan pecahan yang terhasil.

Kami melihat fungsi ini dan terbitannya. Anda, sudah tentu, memahami corak dan bersedia untuk menamakan formula:

Belajar formula baru!

Contoh.

1. Cari kenaikan hujah dan kenaikan fungsi y= x2 jika nilai awal hujah ialah 4 , dan yang baharu 4,01 .

Keputusan.

Nilai hujah baharu x \u003d x 0 + Δx. Gantikan data: 4.01=4+Δx, maka pertambahan hujah Δх=4.01-4=0.01. Kenaikan fungsi, mengikut definisi, adalah sama dengan perbezaan antara nilai baharu dan sebelumnya bagi fungsi tersebut, i.e. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Memandangkan kita mempunyai fungsi y=x2, kemudian Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Jawapan: pertambahan hujah Δх=0.01; kenaikan fungsi Δy=0,0801.

Ia adalah mungkin untuk mencari kenaikan fungsi dengan cara lain: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Cari sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi y=f(x) pada titik x 0, jika f "(x 0) \u003d 1.

Keputusan.

Nilai terbitan pada titik sentuhan x 0 dan ialah nilai tangen cerun tangen (makna geometri terbitan). Kami ada: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, sebagai tg45°=1.

Jawapan: tangen kepada graf fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif paksi Lembu, sama dengan 45°.

3. Terbitkan formula untuk terbitan fungsi y=xn.

Pembezaan ialah tindakan mencari terbitan bagi suatu fungsi.

Apabila mencari derivatif, formula digunakan yang diterbitkan berdasarkan takrifan derivatif, dengan cara yang sama seperti kami memperoleh formula untuk darjah derivatif: (x n)" = nx n-1.

Berikut adalah formulanya.

Jadual terbitan ia akan lebih mudah untuk menghafal dengan menyebut rumusan lisan:

1. Terbitan bagi nilai malar ialah sifar.

2. Lejang X sama dengan satu.

3. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan.

4. Terbitan darjah adalah sama dengan hasil darab pangkat ini dengan darjah dengan asas yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.

5. Terbitan punca adalah sama dengan satu dibahagikan dengan dua punca yang sama.

6. Terbitan perpaduan dibahagikan dengan x ialah tolak satu dibahagikan dengan x kuasa dua.

7. Terbitan sinus adalah sama dengan kosinus.

8. Terbitan kosinus adalah sama dengan tolak sinus.

9. Terbitan tangen adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus.

10. Terbitan bagi kotangen ialah tolak satu dibahagikan dengan kuasa dua sinus.

Kami mengajar peraturan pembezaan.

1. Terbitan bagi hasil tambah algebra adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi sebutan terbitan.

2. Terbitan hasil darab adalah sama dengan hasil darab derivatif faktor pertama dengan yang kedua ditambah hasil darab faktor pertama dengan terbitan kedua.

3. Terbitan "y" dibahagikan dengan "ve" adalah sama dengan pecahan, dalam pengangkanya "y ialah lejang didarab dengan "ve" tolak "y, didarab dengan lejang", dan dalam penyebut - "ve kuasa dua. ”.

4. Kes khas formula 3.

Jom belajar sama-sama!

Muka surat 1 daripada 1 1