Pemodelan matematik adalah ringkas. Asas Model Matematik

yang utama / Perceraian

Menurut buku teks Sovetov dan Yakovlev: "model (lat. Modulus - ukuran) adalah objek pengganti untuk objek asal, yang memberikan kajian tentang beberapa sifat yang asli." (hal. 6) "Mengganti satu objek dengan yang lain untuk mendapatkan informasi tentang sifat terpenting dari objek asli menggunakan objek model disebut pemodelan." (hal. 6) "Dengan pemodelan matematika kita bermaksud proses membangun korespondensi dengan objek nyata tertentu dari beberapa objek matematika, disebut model matematik, dan studi model ini, yang memungkinkan untuk memperoleh ciri-ciri objek nyata dalam pertimbangan. Jenis model matematik bergantung kepada sifat objek sebenar dan tugas mengkaji objek dan kebolehpercayaan dan ketepatan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini. "

Akhirnya, definisi model matematik yang paling ringkas: "Persamaan yang menyatakan idea».

Pengelasan model

Pengelasan model secara formal

Klasifikasi model secara formal berdasarkan klasifikasi alat matematik yang digunakan. Selalunya dibina dalam bentuk dikotomi. Contohnya, salah satu set dikotomi yang popular:

dan lain-lain. Setiap model yang dibina adalah linear atau tidak linier, deterministik atau stokastik, ... Secara semula jadi, jenis campuran juga mungkin: dalam satu aspek, tertumpu (dari segi parameter), pada model lain, model yang diedarkan, dll.

Klasifikasi dengan cara objek dipersembahkan

Seiring dengan klasifikasi formal, model berbeza dalam cara suatu objek dilambangkan:

Model struktur atau fungsional

Model struktur mewakili objek sebagai sistem dengan alatnya sendiri dan mekanisme berfungsi. Model berfungsi jangan gunakan gambaran seperti itu dan hanya menggambarkan tingkah laku objek yang difahami secara luaran (berfungsi). Dalam ungkapan utama mereka, mereka juga disebut model "kotak hitam". Jenis model gabungan juga mungkin, kadang-kadang disebut sebagai " kotak kelabu».

Kandungan dan model formal

Hampir semua pengarang yang menerangkan proses pemodelan matematik menunjukkan bahawa pertama sekali struktur ideal khas dibina, model yang bermakna... Tidak ada istilah yang mantap di sini, dan penulis lain menyebut objek ideal ini model konsep , model spekulatif atau model awal... Dalam kes ini, pembinaan matematik akhir dipanggil model formal atau sekadar model matematik yang diperoleh hasil daripada formalisasi model bermakna tertentu (pra-model). Pembinaan model yang bermakna dapat dilakukan dengan menggunakan satu set idealisasi siap pakai, seperti pada mekanik, di mana mata air yang ideal, badan yang kaku, bandul yang ideal, media elastik, dll. Menyediakan elemen struktur siap untuk pemodelan yang bermakna. Walau bagaimanapun, dalam bidang pengetahuan di mana tidak ada teori formal yang lengkap (canggih fizik, biologi, ekonomi, sosiologi, psikologi, dan kebanyakan bidang lain), penciptaan model yang bermakna menjadi lebih rumit.

Pengelasan model yang ketara

Tidak ada hipotesis dalam sains yang terbukti sekali. Richard Feynman menyatakannya dengan jelas:

"Kami selalu memiliki kesempatan untuk membantah teori, tetapi, perhatikan, kami tidak pernah dapat membuktikan bahawa ia betul. Anggaplah bahawa anda telah mengemukakan hipotesis yang baik, yang dihitung di mana ini membawa, dan mengetahui bahawa semua akibatnya disahkan secara eksperimen. Adakah ini bermaksud bahawa teori anda betul? Tidak, itu hanya bermaksud bahawa anda telah menolaknya. "

Sekiranya model jenis pertama dibina, maka ini bermaksud bahawa ia sementara diakui sebagai benar dan mungkin untuk menumpukan perhatian pada masalah lain. Walau bagaimanapun, ini tidak boleh menjadi titik penyelidikan, tetapi hanya jeda sementara: status model jenis pertama hanya sementara.

Jenis 2: Model fenomenologi (berkelakuan seolah-olah…)

Model fenomenologi mengandungi mekanisme untuk menggambarkan fenomena tersebut. Namun, mekanisme ini tidak cukup meyakinkan, tidak dapat disahkan dengan cukup oleh data yang ada, atau tidak setuju dengan teori yang ada dan pengetahuan terkumpul mengenai objek tersebut. Oleh itu, model fenomenologi mempunyai status penyelesaian sementara. Dipercayai bahawa jawapannya masih belum diketahui dan perlu untuk meneruskan pencarian "mekanisme sejati". Peierls merujuk, misalnya, kepada jenis kedua, model kalori dan model quark zarah unsur.

Peranan model dalam penyelidikan dapat berubah dari masa ke masa, mungkin berlaku bahawa data dan teori baru mengesahkan model fenomenologi dan mereka akan dipromosikan ke status hipotesis. Begitu juga, pengetahuan baru secara beransur-ansur dapat bertentangan dengan model hipotesis jenis pertama, dan pengetahuan tersebut dapat diterjemahkan ke dalam yang kedua. Oleh itu, model quark secara beransur-ansur masuk ke dalam kategori hipotesis; atomisme dalam fizik muncul sebagai penyelesaian sementara, tetapi seiring berjalannya sejarah, masuk ke jenis pertama. Tetapi model eter telah berjalan dari jenis 1 hingga jenis 2, dan sekarang mereka berada di luar sains.

Idea penyederhanaan sangat popular ketika membina model. Tetapi penyederhanaan berbeza. Peierls mengenal pasti tiga jenis pemodelan pemodelan.

Jenis 3: Penghampiran (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Sekiranya mungkin untuk membina persamaan yang menerangkan sistem yang sedang dikaji, ini tidak bermakna ia dapat diselesaikan walaupun dengan bantuan komputer. Teknik yang diterima umum dalam kes ini adalah penggunaan pendekatan (model jenis 3). Antaranya model tindak balas linear... Persamaan digantikan dengan yang linear. Undang-undang Ohm adalah contoh standard.

Dan inilah jenis 8, digunakan secara meluas dalam model matematik sistem biologi.

Jenis 8: Demonstrasi kemungkinan (perkara utama adalah menunjukkan konsistensi dalaman kemungkinan)

Ini juga merupakan eksperimen pemikiran. dengan entiti khayalan, menunjukkan bahawa fenomena yang didakwa selaras dengan prinsip asas dan konsisten secara dalaman. Ini adalah perbezaan utama dari model Type 7, yang memperlihatkan percanggahan tersembunyi.

Salah satu eksperimen yang paling terkenal adalah geometri Lobachevsky (Lobachevsky menyebutnya "geometri khayalan"). Contoh lain adalah pengeluaran besar-besaran model kinetik berayun kimia dan biologi, gelombang automatik, dan lain-lain. Paradoks Einstein - Podolsky - Rosen dikandung sebagai model jenis 7 untuk menunjukkan ketidakkonsistenan mekanik kuantum. Dengan cara yang sama sekali tidak dirancang, seiring berjalannya waktu, ia berubah menjadi model Jenis 8 - demonstrasi kemungkinan teleportasi maklumat kuantum.

Contohnya

Pertimbangkan sistem mekanikal yang terdiri daripada spring yang dipasang pada satu hujung dan berat jisim yang dipasang pada hujung spring yang bebas. Kami akan menganggap bahawa beban hanya dapat bergerak ke arah paksi pegas (contohnya, pergerakan berlaku di sepanjang batang). Mari kita bina model matematik sistem ini. Kami akan menerangkan keadaan sistem dengan jarak dari pusat beban ke kedudukan keseimbangannya. Marilah kita menerangkan interaksi penggunaan spring dan beban Hukum Hooke() maka kita akan menggunakan undang-undang kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan pembezaan:

di mana bermaksud terbitan kali kedua:.

Persamaan yang dihasilkan menggambarkan model matematik sistem fizikal yang dipertimbangkan. Corak ini dipanggil "osilator harmonik".

Menurut klasifikasi formal, model ini bersifat linear, deterministik, dinamik, pekat, berterusan. Dalam proses membinanya, kami membuat banyak andaian (mengenai ketiadaan daya luaran, ketiadaan geseran, penyimpangan kecil, dll.), Yang pada kenyataannya mungkin tidak terpenuhi.

Berkaitan dengan realiti, ini selalunya merupakan model jenis 4. penyederhanaan("Kami menghilangkan beberapa perincian untuk kejelasan"), kerana beberapa ciri universal yang penting (misalnya, penyebaran) dihilangkan. Untuk beberapa pendekatan (katakanlah, sementara penyimpangan beban dari keseimbangan kecil, dengan geseran rendah, untuk waktu yang tidak terlalu lama dan dalam keadaan tertentu yang lain), model seperti itu menggambarkan sistem mekanikal yang sebenarnya, kerana faktor-faktor yang dibuang mempunyai kesan yang boleh diabaikan terhadap tingkah lakunya ... Namun, model tersebut dapat diperhalusi dengan mengambil kira beberapa faktor ini. Ini akan membawa kepada model baru dengan skop yang lebih luas (walaupun terhad).

Namun, apabila model diperhalusi, kerumitan kajian matematiknya dapat meningkat dengan ketara dan menjadikan model itu hampir tidak berguna. Selalunya, model yang lebih sederhana memungkinkan penyiasatan yang lebih baik dan mendalam mengenai sistem sebenar daripada yang lebih kompleks (dan, secara rasmi, "lebih betul").

Sekiranya kita menerapkan model osilator harmonik pada objek yang jauh dari fizik, status maknanya mungkin berbeza. Sebagai contoh, semasa menerapkan model ini pada populasi biologi, kemungkinan besar ia diklasifikasikan sebagai jenis 6 analogi("Mari kita pertimbangkan hanya beberapa ciri").

Model keras dan lembut

The Harmonic Oscillator adalah contoh model yang disebut "keras". Ia diperoleh sebagai hasil idealisasi sistem fizikal yang nyata. Untuk menyelesaikan masalah penerapannya, perlu memahami betapa pentingnya faktor-faktor yang telah kita abaikan. Dengan kata lain, adalah perlu untuk menyelidiki model "lembut", yang diperoleh dengan gangguan kecil dari model "keras". Ia dapat diberikan, misalnya, dengan persamaan berikut:

Berikut adalah fungsi tertentu, yang dapat mempertimbangkan daya geseran atau pergantungan pekali kekakuan pegas pada tahap peregangannya, adalah parameter kecil. Kami tidak berminat dengan bentuk fungsi yang jelas pada masa ini. Sekiranya kita membuktikan bahawa tingkah laku model lembut tidak pada asasnya berbeza dari tingkah laku yang tegar (tanpa mengira bentuk eksplisit faktor-faktor yang mengganggu, jika mereka cukup kecil), masalahnya akan dikurangkan kepada kajian tegar model. Jika tidak, penerapan hasil yang diperoleh dalam kajian model tegar akan memerlukan kajian tambahan. Sebagai contoh, penyelesaian persamaan osilator harmonik adalah fungsi bentuk, iaitu, ayunan dengan amplitud malar. Adakah berdasarkan ini bahawa pengayun sebenar akan berayun untuk jangka masa yang panjang dengan amplitud yang tetap? Tidak, kerana mempertimbangkan sistem dengan geseran kecil sewenang-wenangnya (selalu ada dalam sistem nyata), kita akan mengalami ayunan lembap. Tingkah laku sistem telah berubah secara kualitatif.

Sekiranya sistem mengekalkan tingkah laku kualitatifnya di bawah gangguan kecil, ia dikatakan stabil secara struktur. Pengayun harmonik adalah contoh sistem tidak stabil (tidak kasar) secara struktur. Walaupun begitu, model ini dapat digunakan untuk mengkaji proses dalam jangka masa yang terhad.

Serbaguna model

Model matematik yang paling penting biasanya mempunyai harta yang penting kesejagatan: fenomena sebenar yang berbeza asasnya dapat digambarkan oleh model matematik yang sama. Sebagai contoh, pengayun harmonik menerangkan bukan sahaja tingkah laku beban pada musim bunga, tetapi juga proses osilasi lain, yang sering kali sama sekali berbeza: ayunan kecil pendulum, ayunan tahap cecair dalam kapal berbentuk, atau perubahan kekuatan semasa dalam litar berayun. Oleh itu, dengan mempelajari satu model matematik, kita mengkaji sekaligus keseluruhan fenomena yang dijelaskan olehnya. Ini adalah isomorfisme undang-undang yang dinyatakan oleh model matematik dalam berbagai segmen pengetahuan saintifik yang menjadi prestasi Ludwig von Bertalanffy untuk membuat "Teori umum sistem".

Masalah pemodelan matematik secara langsung dan songsang

Terdapat banyak masalah yang berkaitan dengan pemodelan matematik. Pertama, perlu dibuat skema asas objek yang dimodelkan, untuk menghasilkannya semula dalam kerangka idealisasi sains ini. Jadi, kereta api berubah menjadi sistem plat dan badan yang lebih kompleks yang diperbuat daripada bahan yang berbeza, setiap bahan ditetapkan sebagai idealisasi mekanikal standardnya (ketumpatan, moduli elastik, ciri kekuatan standard), setelah itu persamaan dibuat, di sepanjang jalan beberapa butiran dibuang sebagai tidak penting, pengiraan dibuat, dibandingkan dengan pengukuran, modelnya diperhalusi, dan sebagainya. Walau bagaimanapun, untuk pengembangan teknologi pemodelan matematik, adalah berguna untuk membongkar proses ini menjadi unsur penyusun utamanya.

Secara tradisinya, terdapat dua kelas masalah utama yang berkaitan dengan model matematik: langsung dan terbalik.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utama adalah menjalankan kajian model untuk mengekstrak pengetahuan berguna tentang objek. Apakah beban statik yang akan ditanggung oleh jambatan itu? Bagaimana ia akan bertindak balas terhadap beban dinamik (contohnya, pada perjalanan pasukan tentera, atau perjalanan kereta api dengan kelajuan yang berbeza), bagaimana kapal terbang akan mengatasi halangan suara, sama ada ia akan jatuh dari flutter - ini adalah contoh khas tugas langsung. Menetapkan masalah langsung yang betul (mengemukakan soalan yang betul) memerlukan kemahiran khas. Sekiranya soalan yang tepat tidak diajukan, jambatan itu akan runtuh, walaupun model yang baik telah dibina untuk tingkah lakunya. Oleh itu, pada tahun 1879 di Great Britain sebuah jambatan logam di atas Tay runtuh, para pereka yang membina model jambatan itu, menghitungnya sebagai faktor keselamatan 20 kali ganda untuk muatan, tetapi melupakan angin yang sentiasa bertiup di tempat-tempat tersebut. Dan setelah satu setengah tahun, ia runtuh.

Dalam kes paling mudah (contohnya satu persamaan pengayun) masalah langsung sangat mudah dan mengurangkan penyelesaian persamaan ini.

Masalah terbalik: banyak model yang mungkin diketahui, model tertentu mesti dipilih berdasarkan data tambahan mengenai objek tersebut. Lebih kerap daripada tidak, struktur model diketahui dan beberapa parameter yang tidak diketahui perlu ditentukan. Maklumat tambahan boleh terdiri dalam data empirik tambahan, atau dalam keperluan untuk objek ( tugas reka bentuk). Data tambahan boleh datang secara bebas dari proses menyelesaikan masalah terbalik ( pengawasan pasif atau menjadi hasil percubaan yang dirancang khas ( pengawasan aktif).

Salah satu contoh pertama penyelesaian virtuoso untuk masalah terbalik dengan penggunaan sepenuhnya data yang ada adalah kaedah memulihkan daya geseran dari perayapan lembap yang diperhatikan, yang dibina oleh I. Newton.

Contoh lain ialah statistik matematik. Tugas sains ini adalah pengembangan kaedah untuk pendaftaran, penerangan dan analisis data pemerhatian dan eksperimen dengan tujuan membina model probabilistik fenomena rawak massa. Mereka. set model yang mungkin terhad kepada model probabilistik. Dalam tugas tertentu, set model lebih terhad.

Sistem simulasi komputer

Untuk menyokong pemodelan matematik, sistem matematik komputer telah dikembangkan, misalnya, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, dan lain-lain. Mereka membolehkan anda membuat model formal dan menyekat proses dan peranti yang mudah dan kompleks dan menukar parameter model dengan mudah semasa pemodelan. Blok model dilambangkan oleh blok (paling kerap grafik), set dan sambungannya ditetapkan oleh rajah model.

Contoh tambahan

Model Malthus

Kadar pertumbuhannya sebanding dengan ukuran populasi semasa. Ia dijelaskan oleh persamaan pembezaan

di mana beberapa parameter ditentukan oleh perbezaan antara kesuburan dan kematian. Penyelesaian untuk persamaan ini adalah fungsi eksponensial. Sekiranya kadar kelahiran melebihi kadar kematian (), saiz populasi bertambah tanpa had dan sangat cepat. Jelas bahawa pada hakikatnya ini tidak dapat berlaku kerana sumber daya yang terhad. Apabila jumlah populasi kritis tertentu tercapai, model tersebut tidak lagi memadai, kerana tidak mengambil kira sumber yang terhad. Model logistik, yang digambarkan oleh persamaan pembezaan Verhulst, dapat berfungsi sebagai penyempurnaan model Malthus

di mana ukuran "keseimbangan" populasi, di mana kadar kelahiran dikompensasi dengan tepat oleh kadar kematian. Ukuran populasi dalam model sedemikian cenderung untuk nilai keseimbangan, dan tingkah laku ini stabil secara struktur.

Sistem pemangsa-mangsa

Katakan bahawa dua spesies haiwan tinggal di kawasan tertentu: arnab (memakan tumbuhan) dan rubah (memberi makan arnab). Biarkan bilangan arnab, bilangan rubah. Dengan menggunakan model Malthus dengan pindaan yang diperlukan, dengan mengambil kira makan arnab oleh rubah, kami datang ke sistem berikut, yang diberi nama model Lotki - Volterra:

Sistem ini mempunyai keadaan keseimbangan apabila bilangan arnab dan rubah tetap. Penyimpangan dari keadaan ini membawa kepada turun naik bilangan arnab dan rubah, serupa dengan turun naik pada pengayun harmonik. Seperti dalam kes pengayun harmonik, tingkah laku ini tidak stabil secara struktural: perubahan kecil dalam model (misalnya, dengan mengambil kira sumber terhad yang diperlukan oleh arnab) boleh menyebabkan perubahan tingkah laku kualitatif. Contohnya, keadaan keseimbangan boleh menjadi stabil, dan turun naik bilangan akan pudar. Situasi sebaliknya juga mungkin berlaku, apabila terdapat sedikit penyimpangan dari kedudukan keseimbangan yang akan mengakibatkan malapetaka, hingga kepunahan salah satu spesies. Model Volterra-Lotka tidak memberikan jawapan kepada persoalan mana senario ini direalisasikan: penyelidikan tambahan diperlukan di sini.

Catatan (sunting)

"Perwakilan realiti matematik" (Ensiklopedia Britanica)
Novik I. B., Mengenai isu-isu falsafah pemodelan sibernetik. M., Pengetahuan, 1964.
B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Pemodelan Sistem: Buku teks. untuk universiti - edisi ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Pemodelan matematik. Idea. Kaedah. Contoh. - Edisi ke-2, Rev. - M .: Fizmatlit, 2001 .-- ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - Edisi ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pemodelan proses teknologi: buku teks / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M .: Industri cahaya dan makanan, 1984 .-- 344 p.
Wiktionary: model matematik
CliffsNotes.com. Glosari Sains Bumi. 20 Sep 2010
Pendekatan Pengurangan Model dan Pengambilan Kasar untuk Fenomena Multiscale, Springer, Series Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Teori dianggap linear atau tidak linier, bergantung pada apakah itu adalah alat matematik linier atau bukan linier, dan jenis model matematik linier atau nonlinier yang digunakannya. ... Tanpa penolakan yang terakhir. Seorang ahli fizik moden, sekiranya dia membuat semula definisi esensi penting seperti nonlineariti, kemungkinan besar, akan bertindak secara berbeza, dan, lebih memilih nonlineariti sebagai yang lebih penting dan tersebar luas dari dua lawan, akan mendefinisikan linearitas sebagai 'bukan nonlinearitas' . " Danilov Yu.A., Kuliah mengenai dinamika tidak linear. Pengenalan asas. Synergetics: dari masa lalu hingga siri masa depan. Edisi 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Sistem dinamik yang dimodelkan oleh sebilangan kecil persamaan pembezaan biasa disebut sistem lumped atau titik. Mereka digambarkan menggunakan ruang fasa dimensi terhingga dan dicirikan oleh sebilangan darjah kebebasan yang terhad. Satu dan sistem yang sama dalam keadaan yang berbeza boleh dianggap sama ada pekat atau diedarkan. Model matematik sistem diedarkan adalah persamaan pembezaan separa, persamaan integral, atau persamaan biasa dengan argumen ketinggalan. Jumlah darjah kebebasan sistem yang diedarkan tidak terbatas, dan jumlah data yang tidak terbatas diperlukan untuk menentukan keadaannya. " Anischenko V.S., Sistem dinamik, jurnal pendidikan Soros, 1997, no. 11, hlm. 77-84.
"Bergantung pada sifat proses yang dipelajari dalam sistem S, semua jenis pemodelan dapat dibagi menjadi deterministik dan stokastik, statis dan dinamis, diskrit, berterusan dan diskrit-berterusan. Pemodelan Deterministik memaparkan proses deterministik, iaitu proses di mana ketiadaan pengaruh rawak dianggap; pemodelan stokastik memaparkan proses dan peristiwa kebarangkalian. ... Pemodelan statik digunakan untuk menggambarkan perilaku objek pada setiap saat, sementara pemodelan dinamis mencerminkan perilaku objek dalam waktu. Pemodelan diskrit digunakan untuk menggambarkan proses yang dianggap diskrit, masing-masing, pemodelan berterusan membolehkan anda mencerminkan proses berterusan dalam sistem, dan pemodelan berterusan diskrit digunakan untuk kes-kes ketika anda ingin menyoroti kehadiran proses diskrit dan berterusan. " B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev ISBN 5-06-003860-2
Biasanya, model matematik menggambarkan struktur (peranti) objek simulasi, sifat dan hubungan komponen objek ini yang penting untuk tujuan penyelidikan; model sedemikian disebut struktur. Sekiranya model hanya mencerminkan bagaimana objek berfungsi - sebagai contoh, bagaimana ia bertindak balas terhadap pengaruh luaran - maka ia dipanggil berfungsi atau, secara kiasan, kotak hitam. Model gabungan juga mungkin. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
“Tahap awal yang paling penting, tetapi yang paling penting dalam membangun atau memilih model matematik adalah sejelas mungkin idea objek yang dimodelkan dan menjelaskan modelnya yang bermakna berdasarkan perbincangan tidak rasmi. Seseorang tidak boleh meluangkan masa dan usaha pada tahap ini, kejayaan keseluruhan kajian sangat bergantung padanya. Ini berlaku lebih dari satu kali bahawa pekerjaan penting yang dihabiskan untuk menyelesaikan masalah matematik ternyata tidak berkesan atau bahkan terbuang kerana perhatian yang tidak cukup terhadap sisi masalah ini. " Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - Edisi ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, h. 35.
« Penerangan mengenai model konsep sistem. Pada sub-tahap pembinaan model sistem: a) model konsep M dijelaskan dalam istilah dan konsep abstrak; b) penerangan model diberikan menggunakan skema matematik standard; c) hipotesis dan andaian akhirnya diterima; d) membuktikan pilihan prosedur untuk menghampiri proses sebenar semasa membina model. " B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Pemodelan Sistem: Buku teks. untuk universiti - edisi ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2, hlm. 93.
Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Matematik Gunaan: Subjek, logik, keunikan pendekatan. Dengan contoh dari mekanik: Tutorial. - Edisi ke-3, Rev. dan tambah. - M .: URSS, 2006 .-- 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Bab 2.

Adalah mungkin untuk menelusuri dinamika pengembangan suatu objek, inti nisbah nisbah unsur-unsurnya dan pelbagai keadaan dalam proses reka bentuk hanya dengan bantuan model yang menggunakan prinsip analogi dinamik, iaitu dengan bantuan model matematik.

Model matematik adalah sistem hubungan matematik yang menggambarkan proses atau fenomena yang sedang dikaji. Untuk menyusun model matematik, anda boleh menggunakan kaedah matematik - teori set, logik matematik, bahasa persamaan pembezaan atau kamiran. Proses menyusun model matematik disebut pemodelan matematik... Seperti jenis model lain, model matematik mewakili masalah dalam bentuk yang dipermudah dan hanya menerangkan sifat dan corak yang paling penting untuk objek atau proses tertentu. Model matematik memungkinkan untuk analisis kuantitatif pelbagai aspek. Mengubah data awal, kriteria, batasan, setiap kali anda dapat memperoleh penyelesaian optimum untuk kondisi yang ditentukan dan menentukan arah pencarian selanjutnya.

Penciptaan model matematik memerlukan dari pembangunnya, selain pengetahuan mengenai kaedah logik formal, analisis menyeluruh terhadap objek yang sedang dikaji untuk merumuskan idea dan peraturan asas dengan teliti, dan juga untuk mengenal pasti sejumlah fakta yang boleh dipercayai, data statistik dan normatif.

Perlu diperhatikan bahawa semua model matematik yang digunakan sekarang merujuk preskriptif... Tujuan mengembangkan model preskriptif adalah untuk menunjukkan arah mencari jalan keluar, sementara menerangkan model - refleksi proses sebenar pemikiran manusia.

Pandangannya cukup meluas bahawa dengan bantuan matematik adalah mungkin untuk memperoleh hanya beberapa data berangka pada objek atau proses yang sedang dikaji. “Sudah tentu, banyak disiplin matematik bertujuan untuk mendapatkan hasil berangka akhir. Tetapi untuk mengurangkan kaedah matematik hanya untuk masalah mendapatkan nombor bermaksud untuk terus matang memusnahkan matematik, memiskinkan kemungkinan senjata hebat yang ada di tangan penyelidik mereka hari ini ...

Model matematik yang ditulis dalam satu atau bahasa tertentu (misalnya, persamaan pembezaan) mencerminkan sifat tertentu dari proses fizikal sebenar. Hasil daripada analisis model matematik, pertama-tama, kita mendapat idea kualitatif mengenai ciri-ciri proses yang sedang dikaji, kita menetapkan corak yang menentukan siri keadaan berurutan yang dinamik, kita mendapat peluang untuk meramalkan perjalanan memproses dan menentukan ciri kuantitatifnya. "

Model matematik digunakan dalam banyak teknik pemodelan yang terkenal. Antaranya ialah pengembangan model yang menggambarkan keadaan statik dan dinamik objek, model pengoptimuman.

Contoh model matematik yang menggambarkan keadaan statik dan dinamik suatu objek boleh menjadi pelbagai kaedah pengiraan struktur tradisional. Proses pengiraan, disajikan dalam bentuk urutan operasi matematik (algoritma), memungkinkan kita untuk mengatakan bahawa model matematik telah dibuat untuk mengira struktur tertentu.

DALAM pengoptimuman model mempunyai tiga elemen:

Fungsi objektif, yang menggambarkan kriteria kualiti yang diterima;

Parameter boleh laras;

Sekatan yang dikenakan.

Semua elemen ini mesti dijelaskan secara matematik dalam bentuk persamaan, keadaan logik, dll. Penyelesaian untuk masalah pengoptimuman adalah proses mencari nilai minimum (maksimum) fungsi objektif, tunduk pada batasan yang ditentukan. Hasil penyelesaian dianggap optimum jika fungsi tujuan mencapai nilai ekstremnya.

Contoh model pengoptimuman adalah deskripsi matematik kriteria "panjang ikatan" dalam metodologi reka bentuk varian bangunan perindustrian.

Fungsi objektif mencerminkan panjang wajaran semua sambungan fungsional, yang harus berusaha minimum:

di manakah nilai berat sambungan elemen dengan;

- panjang hubungan antara dan elemen;

- jumlah barang yang akan ditempatkan.

Oleh kerana kawasan elemen-elemen tempat yang ditempatkan dalam semua varian penyelesaian reka bentuk adalah sama, variannya berbeza antara satu sama lain hanya dengan jarak yang berbeza antara elemen dan lokasinya yang saling berkaitan. Oleh itu, dalam kes ini, koordinat unsur-unsur yang diletakkan pada pelan lantai adalah parameter yang boleh disesuaikan.

Sekatan yang dikenakan pada susunan elemen (di tempat rancangan yang telah ditentukan, di perimeter luar, satu di atas yang lain, dll.) Dan pada panjang pautan (nilai panjang pautan antara dan unsur-unsur ditetapkan dengan ketat, had nilai minimum atau maksimum ditetapkan, batas perubahan adalah nilai yang ditetapkan) ditulis secara formal.

Varian dianggap optimum (menurut kriteria ini) jika nilai fungsi tujuan yang dikira untuk varian ini adalah minimum.

Sejenis model matematik - model ekonomi dan matematik- adalah model hubungan antara ciri ekonomi dan parameter sistem.

Contoh model ekonomi dan matematik ialah penerangan matematik mengenai kriteria kos dalam kaedah reka bentuk varian bangunan perindustrian di atas. Model matematik yang diperoleh menggunakan kaedah statistik matematik mencerminkan pergantungan kos kerangka, asas, kerja tanah bangunan perindustrian satu tingkat dan bertingkat dan ketinggian, jangkauan dan ketinggian struktur pendukungnya.

Menurut kaedah perakaunan untuk pengaruh faktor rawak pada pembuatan keputusan, model matematik dibahagikan kepada deterministik dan probabilistik. Deterministik model tersebut tidak mengambil kira pengaruh faktor rawak dalam proses fungsi sistem dan didasarkan pada representasi analitis undang-undang berfungsi. Probabilistik (stokastik) model tersebut mengambil kira pengaruh faktor rawak semasa fungsi sistem dan berdasarkan statistik, iaitu. penilaian kuantitatif fenomena massa, yang memungkinkan untuk mengambil kira ketidakliniaran, dinamika, gangguan rawak yang dijelaskan oleh undang-undang pengedaran yang berbeza.

Dengan menggunakan contoh di atas, kita dapat mengatakan bahawa model matematik yang menjelaskan kriteria "panjang pautan" merujuk kepada deterministik, dan model matematik yang menggambarkan kumpulan kriteria "kos" - kepada model probabilistik.

Model linguistik, semantik dan maklumat

Model matematik mempunyai kelebihan yang jelas, kerana aspek pengukuran masalah memberikan idea yang jelas mengenai keutamaan tujuan. Adalah penting bahawa pakar selalu dapat membenarkan penerimaan keputusan tertentu dengan mengemukakan data berangka yang sesuai. Walau bagaimanapun, penerangan matematik lengkap mengenai aktiviti projek adalah mustahil, oleh itu, kebanyakan tugas yang diselesaikan pada peringkat awal reka bentuk seni bina dan pembinaan merujuk kepada separa berstruktur.

Salah satu ciri tugas separa berstruktur adalah penerangan secara lisan mengenai kriteria yang digunakan di dalamnya. Pengenalan kriteria yang dijelaskan dalam bahasa semula jadi (kriteria tersebut disebut linguistik), membolehkan anda menggunakan kaedah yang kurang kompleks untuk mencari penyelesaian reka bentuk yang optimum. Memandangkan kriteria ini, pereka membuat keputusan berdasarkan ungkapan tujuan yang biasa dan tidak dapat dipertikaikan.

Penerangan yang bermakna tentang semua aspek masalah membawa sistematisasi ke dalam proses penyelesaiannya, di satu pihak, dan di sisi lain, ini sangat memudahkan kerja pakar yang, tanpa mempelajari bahagian matematik yang berkaitan, dapat menyelesaikan secara lebih rasional masalah profesional mereka. Dalam rajah. 5.2 diberi model linguistik menerangkan kemungkinan mewujudkan keadaan untuk pengudaraan semula jadi dalam pelbagai pilihan untuk merancang penyelesaian kedai roti.

Kelebihan lain dari penerangan masalah yang bermakna adalah seperti berikut:

Keupayaan untuk menerangkan semua kriteria yang menentukan keberkesanan penyelesaian reka bentuk. Pada masa yang sama, penting bahawa konsep kompleks dapat dimasukkan ke dalam keterangan, dan dalam bidang penglihatan pakar, bersama dengan faktor kuantitatif, yang dapat diukur, faktor kualitatif yang tidak dapat diukur juga akan disertakan. Oleh itu, pada masa membuat keputusan, semua maklumat subjektif dan objektif akan digunakan;

Rajah. 5.2 Penerangan mengenai kandungan kriteria "pengudaraan" dalam bentuk model linguistik

Kemungkinan penilaian yang jelas mengenai tahap pencapaian matlamat dalam pilihan untuk kriteria tertentu berdasarkan kata-kata yang digunakan oleh pakar, yang memastikan kebolehpercayaan maklumat yang diterima;

Keupayaan untuk mempertimbangkan ketidakpastian yang berkaitan dengan pengetahuan yang tidak lengkap tentang semua akibat keputusan yang dibuat, serta maklumat yang bersifat ramalan.

Model semantik juga tergolong dalam model yang menggunakan bahasa semula jadi untuk menggambarkan objek penyelidikan.

Model semantik- terdapat perwakilan objek seperti itu, yang mencerminkan tahap interkoneksi (jarak) antara pelbagai bahagian penyusun, aspek, sifat objek. Keterkaitan saling difahami bukan sebagai susunan ruang relatif, tetapi sebagai penghubung makna.

Oleh itu, dalam pengertian semantik, hubungan antara pekali pencahayaan semula jadi dan kawasan cahaya kandang telus akan ditunjukkan sebagai lebih dekat daripada hubungan antara bukaan tingkap dan bahagian dinding buta yang berdekatan dengannya.

Keseluruhan hubungan kesambungan menunjukkan apa yang setiap elemen dan objek secara keseluruhan diperuntukkan dalam suatu objek. Pada masa yang sama, model semantik mencerminkan, selain tahap penyambungan pelbagai aspek dalam objek, juga isi konsep. Konsep yang dinyatakan dalam bahasa semula jadi berfungsi sebagai model asas.

Pembinaan model semantik didasarkan pada prinsip-prinsip yang mana konsep dan hubungan tidak berubah sepanjang tempoh penggunaan model; kandungan satu konsep tidak masuk ke konsep yang lain; hubungan antara kedua-dua konsep mempunyai interaksi yang sama dan tidak terarah sehubungan dengan mereka.

Setiap analisis model bertujuan untuk memilih elemen model yang mempunyai kualiti umum tertentu. Ini menyediakan asas untuk membina algoritma yang hanya mengambil kira sambungan langsung. Semasa mengubah model menjadi grafik tidak diarahkan, jalan dicari antara dua elemen yang menelusuri pergerakan dari satu elemen ke elemen lain, menggunakan setiap elemen hanya sekali. Urutan unsur-unsur disebut urutan dua unsur. Urutan boleh mempunyai panjang yang berbeza. Yang paling pendek disebut hubungan unsur. Urutan dua unsur juga wujud jika ada hubungan langsung di antara mereka, tetapi dalam hal ini tidak ada hubungan.

Sebagai contoh model semantik, kami akan memberikan penerangan mengenai susun atur apartmen berserta pautan komunikasi. Konsepnya adalah premis sebuah apartmen. Sambungan langsung bermaksud sambungan dua bilik yang berfungsi, misalnya dengan pintu (lihat jadual 5.1).

Mengubah model menjadi bentuk grafik yang tidak diarahkan membolehkan anda memperoleh urutan unsur (Rajah 5.3).

Contoh urutan yang terbentuk antara elemen 2 (bilik mandi) dan elemen 6 (pantri) ditunjukkan dalam jadual. 5.2. Seperti yang anda lihat dari jadual, urutan 3 mewakili nisbah kedua elemen ini.

Jadual 5.1

Penerangan mengenai susun atur apartmen

Rajah. 5.3 Penerangan mengenai penyelesaian perancangan dalam bentuk grafik yang tidak diarahkan

Model matematik adalah sistem hubungan matematik - formula, persamaan, ketaksamaan, dan lain-lain, yang mencerminkan sifat penting objek atau fenomena.

Setiap fenomena alam tidak terbatas dalam kerumitannya... Mari kita gambarkan ini dengan bantuan contoh yang diambil dari buku V.N. Trostnikov "Manusia dan Maklumat" (Penerbitan "Sains", 1970).

Orang awam merumuskan masalah matematik seperti berikut: "Berapa lama batu akan jatuh dari ketinggian 200 meter?" Ahli matematik akan mula membuat versi masalahnya sendiri seperti ini: "Mari kita anggap bahawa batu jatuh dalam kekosongan dan bahawa pecutan graviti adalah 9.8 meter sesaat sesaat. Kemudian ..."

- Biar saya- boleh mengatakan "pelanggan", - Saya tidak berpuas hati dengan penyederhanaan ini. Saya ingin tahu dengan tepat berapa lama batu itu akan jatuh dalam keadaan sebenar, dan tidak dalam kekosongan yang tidak ada.

- Baik,- ahli matematik akan bersetuju. - Mari kita anggap bahawa batu itu mempunyai bentuk dan diameter sfera ... Berapakah kira-kira diameternya?

- Lebih kurang lima sentimeter. Tetapi sama sekali tidak berbentuk bulat, tetapi memanjang.

- Maka kita akan menganggap bahawa diamempunyai bentuk elipsoid dengan poros gandar empat, tiga dan tiga sentimeter dan bahawa diajatuh sehingga paksi separa utama tetap menegak sepanjang masa ... Tekanan udara dianggap760 mm Hg , dari sini kita dapati ketumpatan udara...

Sekiranya orang yang mengemukakan masalah dalam bahasa "manusia" tidak masuk campur lebih jauh dalam pemikiran ahli matematik, maka yang terakhir akan memberikan jawapan berangka setelah beberapa saat. Tetapi "pengguna" boleh keberatan seperti sebelumnya: batu itu sebenarnya sama sekali tidak elipsoidal, tekanan udara di tempat itu dan pada masa itu tidak sama dengan 760 mm Hg, dan seterusnya. Apa yang akan dijawab oleh ahli matematik kepadanya?

Dia akan menjawabnya penyelesaian tepat untuk masalah sebenar secara amnya mustahil... Bukan itu sahaja bentuk batu yang mempengaruhi rintangan udara, tidak dapat digambarkan oleh persamaan matematik; putarannya dalam penerbangan juga melebihi matematik kerana kerumitannya. Selanjutnya, udara tidak homogen, kerana, sebagai akibat tindakan faktor rawak, turun naik turun naik kepadatan timbul di dalamnya. Sekiranya anda pergi lebih dalam, anda perlu mempertimbangkannya menurut hukum graviti sejagat, setiap badan bertindak pada setiap badan yang lain... Ini menunjukkan bahawa bahkan bandul jam dinding mengubah lintasan batu dengan pergerakannya.

Ringkasnya, jika kita secara serius ingin menyelidiki perilaku objek dengan tepat, pertama kita harus mengetahui lokasi dan kelajuan semua objek lain di Alam Semesta. Dan ini, tentu saja. mustahil.

Model matematik yang paling berkesan dapat dilaksanakan pada komputer dalam bentuk model algoritma - yang disebut "eksperimen komputasi" (lihat [1], perenggan 26).

Sudah tentu, hasil eksperimen komputasi boleh berubah menjadi tidak benar sekiranya model tersebut tidak mengambil kira beberapa aspek penting dari realiti.

Oleh itu, untuk membuat model matematik untuk menyelesaikan masalah, anda memerlukan:

Semasa membina model matematik, adalah mustahil untuk mencari formula yang secara eksplisit menyatakan kuantiti yang diperlukan dari segi data. Dalam kes seperti itu, kaedah matematik digunakan untuk memberikan jawapan dari pelbagai tahap ketepatan. Tidak hanya pemodelan matematik fenomena apa pun, tetapi juga pemodelan skala penuh visual, yang disediakan dengan menampilkan fenomena ini dengan grafik komputer, iaitu. sejenis "kartun komputer" yang difilemkan dalam masa nyata ditunjukkan di hadapan penyelidik. Penglihatan sangat tinggi di sini.

Penyertaan lain

10.06.2016. 8.3. Apakah peringkat utama proses pengembangan program? 8.4. Bagaimana cara memeriksa teks program sebelum masuk ke komputer?

8.3. Apakah peringkat utama proses pengembangan program? Proses mengembangkan program dapat dinyatakan dengan rumus berikut: Adalah normal untuk melakukan kesalahan dalam program yang baru dikembangkan ...

10.06.2016. 8.5. Untuk apa debug dan pengujian? 8.6. Apakah penyahpepijatan? 8.7. Apa itu kuiz dan ujian? 8.8. Apa yang harus menjadi data ujian? 8.9. Apakah peringkat proses pengujian?

8.5. Untuk apa debug dan pengujian? Menyahpepijat program adalah proses mencari dan menghilangkan kesalahan dalam program berdasarkan hasil menjalankannya di komputer. Menguji…

10.06.2016. 8.10. Apakah kesalahan pengaturcaraan biasa? 8.11. Adakah ketiadaan kesalahan sintaks merupakan petunjuk bahawa program ini betul? 8.12. Kesalahan apa yang tidak dikesan oleh penterjemah? 8.13. Apakah penyelenggaraan program?

8.10. Apakah kesalahan pengaturcaraan biasa? Kesalahan dapat dilakukan pada semua peringkat dalam menyelesaikan masalah - dari rumusannya hingga pelaksanaannya. Jenis kesalahan dan contoh yang sesuai diberikan ...

Tahap pertama

Model matematik untuk OGE dan USE (2019)

Konsep model matematik

Bayangkan kapal terbang: sayap, pesawat, unit ekor, semua ini bersama-sama - sebuah kapal terbang yang sangat besar dan besar. Atau anda boleh membuat model kapal terbang, kecil, tetapi semuanya sebenarnya, sayap yang sama, dan lain-lain, tetapi padat. Begitu juga dengan model matematik. Terdapat masalah perkataan, membebankan, anda dapat melihatnya, membacanya, tetapi tidak begitu faham, dan lebih-lebih lagi tidak jelas bagaimana menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika anda membuat model kecil dari masalah verbal yang besar, model matematik? Apa maksud matematik? Ini bermaksud, menggunakan peraturan dan undang-undang notasi matematik, untuk menyusun semula teks menjadi representasi yang betul secara logik menggunakan angka dan tanda aritmetik. Jadi, model matematik adalah perwakilan situasi sebenar menggunakan bahasa matematik.

Mari kita mulakan dengan yang mudah: Nombornya lebih besar daripada nombor dengan. Kita perlu menuliskannya, bukan menggunakan perkataan, tetapi hanya bahasa matematik. Sekiranya lebih banyak, maka ternyata bahawa jika kita tolak, maka perbezaan yang sama dengan nombor ini akan tetap sama. Mereka. atau. Faham intinya?

Sekarang lebih rumit, sekarang akan ada teks yang harus anda cuba gambarkan dalam bentuk model matematik, sehingga anda membaca bagaimana saya akan melakukannya, cubalah sendiri! Terdapat empat nombor :, dan. Potongan lebih besar daripada sekeping dan dua kali ganda.

Apa yang berlaku?

Dalam bentuk model matematik, ia akan kelihatan seperti ini:

Mereka. produk berkaitan sebagai dua hingga satu, tetapi ini masih boleh dipermudahkan:

Baiklah, okey, dengan contoh mudah anda faham, saya rasa. Mari kita beralih ke masalah penuh di mana model matematik ini juga perlu diselesaikan! Inilah cabarannya.

Model matematik dalam praktik

Masalah 1

Selepas hujan, paras air di telaga mungkin meningkat. Anak lelaki mengukur masa jatuh batu kecil ke dalam sumur dan mengira jarak ke air mengikut formula, di mana jarak dalam meter, adalah masa jatuh dalam beberapa saat. Sebelum hujan, masa untuk batu jatuh adalah. Berapakah kenaikan paras air selepas hujan untuk masa yang diukur berubah dengan s? Nyatakan jawapan anda dalam meter.

Oh Tuhan! Rumusan apa, telaga macam apa, apa yang berlaku, apa yang harus dilakukan? Adakah saya membaca fikiran anda? Tenang, dalam masalah jenis ini keadaannya lebih teruk, perkara utama adalah untuk mengingati bahawa dalam masalah ini anda berminat dengan formula dan hubungan antara pemboleh ubah, dan apa maksud semua ini dalam kebanyakan kes tidak begitu penting. Apa yang anda nampak berguna di sini? Saya sendiri melihat. Prinsip untuk menyelesaikan masalah ini adalah seperti berikut: anda mengambil semua kuantiti yang diketahui dan menggantikannya.TETAPI, kadangkala anda perlu berfikir!

Mengikuti nasihat pertama saya, dan menggantikan semua yang diketahui dalam persamaan, kami mendapat:

Akulah yang menggantikan waktu sesaat, dan mendapati ketinggian batu itu terbang sebelum hujan. Dan sekarang kita perlu mengira hujan dan mencari perbezaannya!

Sekarang dengarkan nasihat kedua dan pikirkan, pertanyaannya menentukan "berapa banyak permukaan air harus naik setelah hujan sehingga waktu yang diukur berubah dengan s". Segera perlu untuk memperkirakan, soooo, setelah hujan permukaan air naik, yang bermaksud bahawa waktu batu jatuh ke permukaan air kurang, dan di sini ungkapan hiasan "sehingga waktu yang diukur berubah" mengambil spesifik maksudnya: masa jatuh tidak meningkat, tetapi menurun mengikut detik yang ditentukan. Ini bermaksud sekiranya berlaku lontaran setelah hujan, kita hanya perlu mengurangkan c dari waktu awal c, dan kita mendapat persamaan untuk ketinggian bahawa batu akan terbang setelah hujan:

Dan akhirnya, untuk mengetahui berapa tinggi paras air yang harus naik setelah hujan, sehingga waktu yang diukur berubah dengan s., Anda hanya perlu mengurangkan ketinggian jatuh kedua dari yang pertama!

Kami mendapat jawapannya: mengikut meter.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit, yang utama adalah, jangan terlalu bersusah payah, dari mana persamaan yang tidak dapat difahami dan kadang-kadang rumit berasal dari keadaan dan apa yang ada di dalamnya, ambil perkataan saya, kebanyakan persamaan ini diambil dari fizik, dan ada hutan lebih teruk daripada di aljabar. Kadang kala saya rasa masalah ini diciptakan untuk menakut-nakutkan pelajar dalam peperiksaan dengan banyak formula dan istilah yang rumit, dan dalam kebanyakan kes, mereka tidak memerlukan hampir pengetahuan. Cukup baca syaratnya dengan teliti dan masukkan nilai yang diketahui ke dalam formula!

Inilah masalah lain, bukan lagi dalam bidang fizik, tetapi dari dunia teori ekonomi, walaupun pengetahuan sains selain matematik tidak diperlukan lagi di sini.

Tugasan 2

Ketergantungan jumlah permintaan (unit per bulan) untuk produk perusahaan monopoli pada harga (ribu rubel) diberikan oleh formula

Pendapatan syarikat setiap bulan (dalam seribu rubel) dikira menggunakan formula. Tentukan harga tertinggi di mana pendapatan bulanan sekurang-kurangnya ribu rubel. Berikan jawapan anda dalam ribuan rubel.

Teka apa yang akan saya buat sekarang? Ya, saya akan mula menggantikan apa yang kita tahu, tetapi, sekali lagi, saya harus berfikir sedikit. Mari pergi dari akhir, kita perlu mencari di mana. Jadi, ada, sama dengan seseorang, kita dapati apa yang lain sama, dan sama, dan kita akan menuliskannya. Seperti yang anda lihat, saya tidak terlalu memikirkan makna semua nilai ini, saya hanya melihat dari keadaan yang sama, jadi anda perlu melakukannya. Mari kembali ke masalah, anda sudah memilikinya, tetapi seperti yang anda ingat dari satu persamaan dengan dua pemboleh ubah, tidak ada yang dapat dijumpai, apa yang harus dilakukan? Ya, kita masih mempunyai bahagian yang tidak terpakai dalam keadaan ini. Sekarang, sudah ada dua persamaan dan dua pemboleh ubah, yang bermaksud bahawa sekarang kedua-dua pemboleh ubah itu dapat dijumpai - hebat!

- bolehkah anda menyelesaikan sistem sedemikian?

Kami menyelesaikan dengan penggantian, kami telah menyatakannya, yang bermaksud kami menggantinya menjadi persamaan pertama dan mempermudah.

Ternyata inilah persamaan kuadratik:, kita selesaikan, akarnya seperti ini,. Dalam tugas tersebut, anda perlu mencari harga tertinggi di mana semua syarat yang kami pertimbangkan ketika sistem disusun akan dipenuhi. Oh, ternyata itulah harganya. Hebat, jadi kami dapati harga: dan. Harga tertinggi, anda katakan? Baiklah, yang terbesar, jelasnya adalah tindak balas dan kami menulis. Adakah sukar? Saya rasa tidak, dan tidak perlu terlalu banyak menyelidiki!

Dan inilah fizik yang hebat, atau lebih tepat lagi, cabaran lain:

Masalah 3

Untuk menentukan suhu efektif bintang, undang-undang Stefan - Boltzmann digunakan, yang mana, di mana daya sinaran bintang, adalah tetap, adalah luas permukaan bintang, dan suhu. Telah diketahui bahawa luas permukaan beberapa bintang sama, dan kekuatan sinarannya sama dengan W. Cari suhu bintang ini dalam darjah Kelvin.

Dari mana asalnya? Ya, syaratnya menyatakan sama. Sebelum ini, saya mengesyorkan untuk menggantikan semua yang tidak diketahui sekaligus, tetapi di sini lebih baik anda menyatakan yang tidak diketahui terlebih dahulu. Lihatlah betapa mudahnya semuanya: ada formula dan diketahui di dalamnya, dan (ini adalah huruf Yunani "sigma". Secara umum, ahli fizik menyukai huruf Yunani, biasakanlah). Dan suhu tidak diketahui. Mari kita ungkapkan sebagai formula. Saya harap anda tahu bagaimana melakukan ini? Tugas seperti untuk GIA di kelas 9 biasanya memberi:

Sekarang tetap menggantikan angka dan bukan huruf di sebelah kanan dan mempermudah:

Inilah jawapannya: darjah Kelvin! Dan betapa mengerikannya tugas itu!

Kami terus menyeksa teka-teki fizik.

Masalah 4

Ketinggian di atas tanah bola yang dilemparkan ke atas berubah mengikut undang-undang, di mana ketinggian dalam meter, adalah waktu dalam detik yang berlalu sejak lontaran. Berapa saat bola akan bertahan sekurang-kurangnya tiga meter?

Itu semua persamaan, tetapi di sini adalah perlu untuk menentukan berapa banyak bola pada ketinggian sekurang-kurangnya tiga meter, yang berarti pada ketinggian. Apa yang akan kita buat? Ketidaksamaan, betul-betul! Kami mempunyai fungsi yang menerangkan bagaimana bola terbang, di mana ketinggian yang sama dalam meter, kita memerlukan ketinggian. Bermakna

Dan sekarang anda hanya menyelesaikan ketaksamaan, yang utama adalah, jangan lupa untuk menukar tanda ketidaksamaan dari lebih atau sama menjadi kurang, atau sama, apabila anda membiak dengan kedua-dua sisi ketaksamaan untuk menyingkirkan tolak sebelum ini.

Ini adalah akarnya, kami membina selang untuk ketidaksamaan:

Kami tertarik pada selang di mana tanda minus berada, kerana ketidaksamaan mengambil nilai negatif di sana, ini adalah dari kedua-duanya inklusif. Dan sekarang kita menghidupkan otak dan berfikir dengan teliti: kerana ketidaksamaan kita menggunakan persamaan yang menggambarkan penerbangan bola, entah bagaimana ia terbang di sepanjang parabola, iaitu. ia lepas landas, mencapai puncak dan jatuh, bagaimana memahami berapa lama jaraknya pada ketinggian sekurang-kurangnya meter? Kami menjumpai 2 titik tolak, iaitu saat dia melonjak di atas meter dan saat dia, jatuh, mencapai tanda yang sama, kedua titik ini dinyatakan oleh kita dalam bentuk waktu, iaitu kita tahu pada saat kedua penerbangan dia memasuki zon menarik bagi kita (di atas meter) dan ke mana ia meninggalkannya (jatuh di bawah tanda meter). Berapa detik dia berada di zon ini? Adalah logik bahawa kita meluangkan masa untuk meninggalkan zon dan mengurangkan masa memasuki zon ini darinya. Oleh itu: - begitu banyak dia berada di zon di atas meter, ini adalah jawapannya.

Anda bernasib baik kerana kebanyakan contoh topik ini dapat diambil dari kategori masalah dalam fizik, jadi tangkap sekali lagi, ini adalah yang terakhir, jadi tegaskan diri anda, masih ada sedikit yang tersisa!

Masalah 5

Untuk elemen pemanasan peranti tertentu, pergantungan suhu pada masa operasi diperoleh secara eksperimen:

Di manakah masa dalam beberapa minit,. Telah diketahui bahawa pada suhu elemen pemanasan di atas peranti boleh merosot, oleh itu ia mesti dimatikan. Cari masa paling lama selepas memulakan kerja yang anda perlukan untuk mematikan peranti. Nyatakan jawapan anda dalam beberapa minit.

Kami bertindak mengikut skema debug, semua yang diberikan, pertama kami menulis:

Sekarang kita mengambil formula dan menyamakannya dengan nilai suhu yang boleh dipanaskan peranti sebanyak mungkin sehingga terbakar, iaitu:

Sekarang kita menggantikan nombor dan bukan huruf di mana ia dikenali:

Seperti yang anda lihat, suhu semasa operasi peranti dijelaskan oleh persamaan kuadratik, yang bermaksud bahawa ia diedarkan di sepanjang parabola, iaitu. peranti memanaskan hingga suhu tertentu, dan kemudian menyejukkan. Kami menerima jawapan dan, oleh itu, dengan dan dengan pemanasan minit, suhunya sama dengan yang kritikal, tetapi antara dan minit - ia bahkan lebih tinggi daripada yang terhad!

Ini bermaksud bahawa anda perlu mematikan peranti dalam beberapa minit.

MODEL MATEMATIK. RINGKAS TENTANG UTAMA

Selalunya, model matematik digunakan dalam fizik: bagaimanapun, anda mungkin harus menghafal puluhan formula fizikal. Dan rumusnya adalah representasi matematik dari keadaan.

Dalam Ujian OGE dan Unified State terdapat tugas-tugas mengenai topik ini. Dalam peperiksaan (profil), ini adalah masalah nombor 11 (dahulunya B12). Dalam OGE - tugas nombor 20.

Skema penyelesaiannya jelas:

1) Perlu "mengasingkan" maklumat berguna dari teks keadaan - apa yang kita tulis dalam masalah fizik di bawah perkataan "Diberikan". Maklumat berguna ini adalah:

Formula
Kuantiti fizikal yang diketahui.

Maksudnya, setiap huruf dari formula mesti dikaitkan dengan angka tertentu.

2) Anda mengambil semua kuantiti yang diketahui dan menggantinya dengan formula. Nilai yang tidak diketahui kekal dalam bentuk huruf. Sekarang yang harus anda lakukan ialah menyelesaikan persamaan (biasanya agak mudah) dan jawapannya sudah siap.

Baiklah, topiknya sudah selesai. Sekiranya anda membaca petikan ini, anda pasti hebat.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca hingga akhir, anda berada dalam 5%!

Sekarang datang perkara yang paling penting.

Anda telah mengetahui teori mengenai topik ini. Dan, sekali lagi, ini ... sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada sebilangan besar rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi ...

Untuk apa?

Untuk kejayaan lulus dalam peperiksaan, untuk masuk ke institusi dengan anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang telah mendapat pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang belum menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini juga bukan perkara utama.

Perkara utama adalah bahawa mereka LEBIH SELAMAT (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana ada banyak lagi peluang untuk mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Saya tidak tahu...

Tetapi fikirkan sendiri ...

Apa yang diperlukan untuk menjadi lebih baik daripada yang lain dalam peperiksaan dan akhirnya ... lebih gembira?

DAPATKAN MASALAH MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada peperiksaan, anda tidak akan diminta teori.

Anda perlu menyelesaikan masalah sebentar.

Dan jika anda tidak menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti pergi ke suatu tempat yang keliru atau tidak akan tepat pada waktunya.

Seperti dalam sukan - anda mesti mengulanginya berulang kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di tempat yang anda mahukan, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan tentu saja kami mengesyorkannya.

Untuk memenuhi tugas kami, anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

Kongsi semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 r
Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel tutorial - RUB 999

Ya, kami mempunyai 99 artikel seperti itu di buku teks kami, dan akses untuk semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat dibuka sekaligus.

Dalam kes kedua kami akan memberi anda simulator "6000 masalah dengan penyelesaian dan jawapan, untuk setiap topik, untuk semua tahap kerumitan." Pasti cukup untuk mengatasi masalah dalam topik apa pun.

Sebenarnya, ini lebih daripada sekadar simulator - keseluruhan program latihan. Sekiranya perlu, anda juga boleh menggunakannya secara PERCUMA.

Akses ke semua teks dan program disediakan sepanjang hayat laman web ini.

Kesimpulannya...

Sekiranya anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Jangan hanya memikirkan teori.

"Memahami" dan "Saya dapat menyelesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda memerlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Akhirnya, definisi model matematik yang paling ringkas: "Persamaan yang menyatakan idea."

Pengelasan model

Pengelasan model secara formal

Klasifikasi model secara formal berdasarkan klasifikasi alat matematik yang digunakan. Selalunya dibina dalam bentuk dikotomi. Contohnya, salah satu set dikotomi yang popular:

Klasifikasi dengan cara objek dipersembahkan

Seiring dengan klasifikasi formal, model berbeza dalam cara suatu objek dilambangkan:

Model struktur atau fungsional

Model struktur mewakili objek sebagai sistem dengan struktur dan mekanisme fungsi tersendiri. Model fungsional tidak menggunakan perwakilan seperti itu dan hanya mencerminkan tingkah laku objek yang dilihat secara luaran (berfungsi) Dalam ekspresi ekstrem mereka, mereka juga disebut model "kotak hitam". Jenis model gabungan juga mungkin, yang kadang-kadang disebut model "kotak kelabu".

Kandungan dan model formal

Pengelasan model yang ketara

Tidak ada hipotesis dalam sains yang terbukti sekali. Richard Feynman menyatakannya dengan jelas:

"Kami selalu memiliki kesempatan untuk membantah teori, tetapi, perhatikan, kami tidak pernah dapat membuktikan bahawa ia betul. Anggaplah bahawa anda telah mengemukakan hipotesis yang baik, yang dihitung di mana ini membawa, dan mengetahui bahawa semua akibatnya disahkan secara eksperimen. Adakah ini bermaksud bahawa teori anda betul? Tidak, itu hanya bermaksud bahawa anda telah menolaknya. "

Jenis 2: Model fenomenologi (berkelakuan seolah-olah…)

Idea penyederhanaan sangat popular ketika membina model. Tetapi penyederhanaan berbeza. Peierls mengenal pasti tiga jenis pemodelan pemodelan.

Jenis 3: Penghampiran (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Dan inilah jenis 8, digunakan secara meluas dalam model matematik sistem biologi.

Jenis 8: Demonstrasi kemungkinan (perkara utama adalah menunjukkan konsistensi dalaman kemungkinan)

Ini juga merupakan eksperimen pemikiran dengan entiti khayalan, yang membuktikannya fenomena yang didakwa selaras dengan prinsip asas dan konsisten secara dalaman. Ini adalah perbezaan utama dari model Type 7, yang memperlihatkan percanggahan tersembunyi.

Contohnya

Pertimbangkan sistem mekanikal yang terdiri daripada pegas yang dipasang pada satu hujung dan berat m melekat pada hujung musim bunga yang bebas. Kami akan menganggap bahawa beban hanya dapat bergerak ke arah paksi pegas (contohnya, pergerakan berlaku di sepanjang batang). Mari kita bina model matematik sistem ini. Kami akan menerangkan keadaan sistem mengikut jarak x dari pusat beban ke kedudukan keseimbangannya. Marilah kita menerangkan interaksi penggunaan spring dan beban Hukum Hooke (F = − kx dan kemudian gunakan undang-undang kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan pembezaan:

di mana bermaksud terbitan kedua dari x pada masa:.

Persamaan yang dihasilkan menggambarkan model matematik sistem fizikal yang dipertimbangkan. Corak ini dipanggil "osilator harmonik".

Model keras dan lembut

Berikut adalah fungsi tertentu, yang dapat mempertimbangkan daya geseran atau pergantungan pekali kekakuan pegas pada tahap peregangannya, adalah parameter kecil. Fungsi tersurat f kami tidak berminat buat masa ini. Sekiranya kita membuktikan bahawa tingkah laku model lembut tidak pada asasnya berbeza dari tingkah laku yang tegar (tanpa mengira bentuk eksplisit faktor-faktor yang mengganggu, jika mereka cukup kecil), masalahnya akan dikurangkan kepada kajian tegar model. Jika tidak, penerapan hasil yang diperoleh dalam kajian model tegar akan memerlukan kajian tambahan. Sebagai contoh, penyelesaian persamaan osilator harmonik adalah fungsi bentuk, iaitu, ayunan dengan amplitud malar. Adakah berdasarkan ini bahawa pengayun sebenar akan berayun untuk jangka masa yang panjang dengan amplitud yang tetap? Tidak, kerana mempertimbangkan sistem dengan geseran kecil sewenang-wenangnya (selalu ada dalam sistem nyata), kita akan mengalami ayunan lembap. Tingkah laku sistem telah berubah secara kualitatif.

Serbaguna model

Model matematik yang paling penting biasanya mempunyai harta yang penting kesejagatan: fenomena sebenar yang berbeza asasnya dapat digambarkan oleh model matematik yang sama. Sebagai contoh, pengayun harmonik menggambarkan bukan sahaja tingkah laku beban pada musim bunga, tetapi juga proses pengayun lain, yang sering kali sama sekali berbeza: ayunan kecil pendulum, ayunan tahap cecair di U-bentuk kapal atau perubahan kekuatan semasa dalam litar berayun. Oleh itu, dengan mempelajari satu model matematik, kita mengkaji sekaligus keseluruhan fenomena yang dijelaskan olehnya. Ini adalah isomorfisme undang-undang yang dinyatakan oleh model matematik dalam berbagai segmen pengetahuan saintifik yang menjadi prestasi Ludwig von Bertalanffy untuk membuat "Teori umum sistem".

Masalah pemodelan matematik secara langsung dan songsang

Secara tradisinya, terdapat dua kelas masalah utama yang berkaitan dengan model matematik: langsung dan terbalik.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utama adalah menjalankan kajian model untuk mengekstrak pengetahuan berguna tentang objek. Apakah beban statik yang akan ditanggung oleh jambatan itu? Bagaimana ia akan bertindak balas terhadap beban dinamik (contohnya, untuk perarakan pasukan tentera, atau laluan kereta api yang tidak mempunyai kelajuan yang berbeza), bagaimana pesawat akan mengatasi halangan suara, sama ada ia akan jatuh dari flutter - ini adalah contoh khas tugas langsung. Menetapkan masalah langsung yang betul (mengemukakan soalan yang betul) memerlukan kemahiran khas. Sekiranya soalan yang tepat tidak diajukan, jambatan itu akan runtuh, walaupun model yang baik telah dibina untuk tingkah lakunya. Oleh itu, pada tahun 1879 di England, sebuah jambatan logam di atas Tay runtuh, para pereka yang membina model jambatan itu, menghitungnya sebagai faktor keselamatan 20 kali ganda untuk muatan, tetapi melupakan angin yang sentiasa bertiup di tempat-tempat itu. Dan setelah satu setengah tahun, ia runtuh.

Dalam kes paling mudah (contohnya satu persamaan pengayun) masalah langsung sangat mudah dan mengurangkan penyelesaian persamaan ini.

Contoh tambahan

Di mana x s- "keseimbangan" ukuran populasi, di mana kesuburan dikompensasi dengan tepat oleh kematian. Ukuran populasi dalam model sedemikian cenderung kepada nilai keseimbangan x s dan tingkah laku ini stabil secara struktur.

Catatan (sunting)

"Perwakilan realiti matematik" (Ensiklopedia Britanica)
Novik I. B., Mengenai isu-isu falsafah pemodelan sibernetik. M., Pengetahuan, 1964.
B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Pemodelan Sistem: Buku teks. untuk universiti - edisi ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Pemodelan matematik. Idea. Kaedah. Contoh. ... - Edisi ke-2, Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - Edisi ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Wiktionary: model matematik
Nota Cliffs
Pendekatan Pengurangan Model dan Pengambilan Kasar untuk Fenomena Multiscale, Springer, Series Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Teori dianggap linear atau tidak linier, bergantung pada apakah itu adalah alat matematik linier atau bukan linier, dan jenis model matematik linier atau nonlinier yang digunakannya. ... Tanpa penolakan yang terakhir. Seorang ahli fizik moden, sekiranya dia membuat semula definisi esensi penting seperti nonlineariti, kemungkinan besar, akan bertindak secara berbeza, dan, lebih memilih nonlineariti sebagai yang lebih penting dan tersebar luas dari dua lawan, akan mendefinisikan linearitas sebagai 'bukan nonlinearitas' . " Danilov Yu.A., Kuliah mengenai dinamika tidak linear. Pengenalan asas. Synergetics: dari masa lalu hingga siri masa depan. Edisi 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Sistem dinamik yang dimodelkan oleh sebilangan kecil persamaan pembezaan biasa disebut sistem lumped atau titik. Mereka digambarkan menggunakan ruang fasa dimensi terhingga dan dicirikan oleh sebilangan darjah kebebasan yang terhad. Satu dan sistem yang sama dalam keadaan yang berbeza boleh dianggap sama ada pekat atau diedarkan. Model matematik sistem diedarkan adalah persamaan pembezaan separa, persamaan integral, atau persamaan biasa dengan argumen ketinggalan. Jumlah darjah kebebasan sistem yang diedarkan tidak terbatas, dan jumlah data yang tidak terbatas diperlukan untuk menentukan keadaannya. " Anischenko V.S., Sistem dinamik, jurnal pendidikan Soros, 1997, no. 11, hlm. 77-84.
"Bergantung pada sifat proses yang dipelajari dalam sistem S, semua jenis pemodelan dapat dibagi menjadi deterministik dan stokastik, statis dan dinamis, diskrit, berterusan dan diskrit-berterusan. Pemodelan Deterministik memaparkan proses deterministik, iaitu proses di mana ketiadaan pengaruh rawak dianggap; pemodelan stokastik memaparkan proses dan peristiwa kebarangkalian. ... Pemodelan statik digunakan untuk menggambarkan perilaku objek pada setiap saat, sementara pemodelan dinamis mencerminkan perilaku objek dalam waktu. Pemodelan diskrit digunakan untuk menggambarkan proses yang dianggap diskrit, masing-masing, pemodelan berterusan membolehkan anda mencerminkan proses berterusan dalam sistem, dan pemodelan berterusan diskrit digunakan untuk kes-kes ketika anda ingin menyoroti kehadiran proses diskrit dan berterusan. " B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Pemodelan Sistem: Buku teks. untuk universiti - edisi ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Biasanya, model matematik menggambarkan struktur (peranti) objek simulasi, sifat dan hubungan komponen objek ini yang penting untuk tujuan penyelidikan; model sedemikian disebut struktur. Sekiranya model hanya mencerminkan bagaimana objek berfungsi - sebagai contoh, bagaimana ia bertindak balas terhadap pengaruh luaran - maka ia dipanggil berfungsi atau, secara kiasan, kotak hitam. Model gabungan juga mungkin. Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - Edisi ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
“Tahap awal yang paling penting, tetapi yang paling penting dalam membangun atau memilih model matematik adalah sejelas mungkin idea objek yang dimodelkan dan menjelaskan modelnya yang bermakna berdasarkan perbincangan tidak rasmi. Seseorang tidak boleh meluangkan masa dan usaha pada tahap ini, kejayaan keseluruhan kajian sangat bergantung padanya. Ini berlaku lebih dari satu kali bahawa pekerjaan penting yang dihabiskan untuk menyelesaikan masalah matematik ternyata tidak berkesan atau bahkan terbuang kerana perhatian yang tidak cukup terhadap sisi masalah ini. " Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - Edisi ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, h. 35.
« Penerangan mengenai model konsep sistem. Pada sub-tahap pembinaan model sistem: a) model konsep M dijelaskan dalam istilah dan konsep abstrak; b) penerangan model diberikan menggunakan skema matematik standard; c) hipotesis dan andaian akhirnya diterima; d) membuktikan pilihan prosedur untuk menghampiri proses sebenar semasa membina model. " B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Pemodelan Sistem: Buku teks. untuk universiti - edisi ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 p. ISBN 5-06-003860-2, hlm. 93.

Pengelasan model

Pengelasan model secara formal

Klasifikasi dengan cara objek dipersembahkan

Kandungan dan model formal

Pengelasan model yang ketara

Jenis 2: Model fenomenologi (berkelakuan seolah-olah…)

Jenis 3: Penghampiran (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Jenis 8: Demonstrasi kemungkinan (perkara utama adalah menunjukkan konsistensi dalaman kemungkinan)

Contohnya

Model keras dan lembut

Serbaguna model

Masalah pemodelan matematik secara langsung dan songsang

Sistem simulasi komputer

Contoh tambahan

Model Malthus

Sistem pemangsa-mangsa

Catatan (sunting)

Penyertaan lain

Model matematik untuk OGE dan USE (2019)

Konsep model matematik

Model matematik dalam praktik

MODEL MATEMATIK. RINGKAS TENTANG UTAMA

Pengelasan model

Pengelasan model secara formal

Klasifikasi dengan cara objek dipersembahkan

Kandungan dan model formal

Pengelasan model yang ketara

Jenis 2: Model fenomenologi (berkelakuan seolah-olah…)

Jenis 3: Penghampiran (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Jenis 8: Demonstrasi kemungkinan (perkara utama adalah menunjukkan konsistensi dalaman kemungkinan)

Contohnya

Model keras dan lembut

Serbaguna model

Masalah pemodelan matematik secara langsung dan songsang

Contoh tambahan

Catatan (sunting)

Pilihan Editor